2016年高考数学圆锥曲线.docx

圆锥曲线专题训练1、已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过F的直线与抛物线C交于A、B两点，如果12，那么抛物线C的方程为()Ax28y Bx24y Cy28xDy24x 答案C解析由题意，设抛物线方程为y22px(p0)，直线方程为xmy，代入抛物线方程得y22pmyp20，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，得x1x2y1y2y1y2m2y1y2(y1y2)y1y2p212p4，即抛物线C的方程为y28x.2、设直线l与抛物线相交于A，B两点，与圆相切于点M，且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（ ）（A） （B） （C） （D） 答案D 解析：显然当直线的斜率不存在时，必有两条直线满足题设.当直线的斜率存在时，设斜率为.设，则，相减得.由于，所以，即.圆心为，由得，所以，即点M必在直线上.将代入得.因为点M在圆上，所以.又（由于斜率不存在，故，所以不取等号），所以.选D.【考点定位】直线与圆锥曲线，不等式.【名师点睛】首先应结合图形进行分析.结合图形易知，只要圆的半径小于5，那么必有两条直线（即与x轴垂直的两条切线）满足题设，因此只需直线的斜率存在时，再有两条直线满足题设即可.接下来要解决的问题是当直线的斜率存在时，圆的半径的范围是什么.涉及直线与圆锥曲线的交点及弦的中点的问题，常常采用“点差法”.在本题中利用点差法可得，中点必在直线上，由此可确定中点的纵坐标的范围，利用这个范围即可得到r的取值范围.3设双曲线（a0,b0）的右焦点为1，过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点，过B,C分别作AC，AB的垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（）A、 B、 C、D 【答案】A4.【2015高考新课标2，理11】已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，ABM为等腰三角形，且顶角为120，则E的离心率为（ ）A B C D 【答案】D【解析】设双曲线方程为，如图所示，过点作轴，垂足为，在中，故点的坐标为，代入双曲线方程得，即，所以，故选D5、平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点，若的垂心为的焦点，则的离心率为 【解析】设 所在的直线方程为 ,则 所在的直线方程为,解方程组 得： ，所以点 的坐标为 ,抛物线的焦点 的坐标为: .因为是 的垂心，所以 ,所以， . 所以， .6.【2015江苏高考，12】在平面直角坐标系中，为双曲线右支上的一个动点。若点到直线的距离大于c恒成立，则是实数c的最大值为 【解析】设，因为直线平行于渐近线，所以点到直线的距离恒大于直线与渐近线之间距离，因此c的最大值为直线与渐近线之间距离，为解答题1、已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，一个焦点与抛物线y24x的焦点重合，直线l：ykxm与椭圆C相交于A，B两点 (1)求椭圆C的标准方程；(2)设O为坐标原点，kOAkOB，判断AOB的面积是否为定值？若是，求出定值，若不是，说明理由解析(1)由题意得c1，又e，所以a2，从而b2a2c23，所以椭圆C的标准方程为1.(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(34k2)x28mkx4(m23)0， 由(8mk)216(34k2)(m23)0得m20.由弦长公式得|AB|x1x2|.又点O到直线l：ykxm的距离d，所以SAOBd|AB|， 故面积为定值.2、已知圆M：x2(y2)21，直线l：y1，动圆P与圆M相外切，且与直线l相切设动圆圆心P的轨迹为E. (1)求E的方程；(2)若点A，B是E上的两个动点，O为坐标原点，且16，证：直线AB恒过定点解析(1)O的圆心M(0,2)，半径r1，设动圆圆心P(x，y)，由条件知|PM|1等于P到l的距离，|PM|等于P到直线y2的距离，P点轨迹是以M(0,2)为焦点，y2为准线的抛物线方程为x28y. (2)设直线AB：ykxb，A(x1，y1)，B(x2，y2)将直线AB的方程代入到x28y中得x28kx8b0，所以x1x28k，x1x28b，又因为x1x2y1y2x1x28bb216b4所以直线BC恒过定点(0,4)3、已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|FD|.当点A的横坐标为3时，ADF为正三角形 (1)求C的方程； (2)若直线l1l，且l1和C有且只有一个公共点E，()证明：直线AE过定点，并求出定点坐标； ()ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由解析(1)由题意知F(，0)，设D(t,0)(t0)，则FD的中点为(，0)因为|FA|FD|，由抛物线的定义知3|t|，解得t3p或t3(舍去)，由3，解得p2.所以抛物线C的方程为y24x.(2)()由(1)知F(1,0)设A(x0，y0)(x0y00)，D(xD,0)(xD0)，因为|FA|FD|，得|xD1|x1，由xD0得xDx02，故D(x02,0)故直线AB的斜率kAB.因为直线l1和直线AB平行，设直线l1的方程为yxb，代入抛物线方程得y2y0，由题意0，得b，设E(xE，yE)，则yE，xE.当y4时，kAE，可得直线AE的方程为yy0(xx0)，由y4x0，整理可得y(x1)，故直线AE恒过点F(1,0)当y4时，直线AE的方程为x1，过点F(1,0)所以直线AE过定点F(1,0) ()由()知直线AE过焦点F(1,0)，所以|AE|AF|FE|(x01)(1)x02.设直线AE的方程为xmy1，因为点A(x0，y0)在直线AE上，故m.设B(x1，y1)直线AB的方程为yy0(xx0)，由于y00，可得xy2x0，代入抛物线方程得y2y84x00.所以y0y1，可求得y1y0，x1x04.所以点B到直线AE的距离为d=4()则ABE的面积S4()(x02)16，当且仅当x0，即x01时等号成立所以ABE的面积的最小值为16.方法点拨定点问题的求解策略把直线或曲线方程中的变量x、y当作常数看待，把方程一端化为零，既然直线或曲线过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x、y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点4、已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线xy0相切 (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线l：ykxm与椭圆C相交于A、B两点，且kOAkOB，试判断AOB的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由解析(1)由题意知e，e2，即a2b2，又b，a24，b23，故椭圆的方程为1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(34k2)x28mkx4(m23)0，64m2k216(34k2)(m23)0,34k2m20. x1x2，x1x2.y1y1(kx1m)(kx2m)k2x1x2mk(x1x2)m2.kOAkOB， y1y2x1x2， 2m24k23，|AB|. d，S|AB|d.5、如图，椭圆经过点，且离心率为.(I)求椭圆的方程； (II)经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同两点（均异于点），证明：直线与的斜率之和为2. (I)由题意知，由，解得，继而得椭圆的方程为；(II) 设，由题设知，直线的方，代入，化简得，则，由已知， 从而直线与的斜率之和化简得.试题解析：(I)由题意知得，椭圆的方程为.(II)由题设知，直线的方程为，代入，得 ，由已知，设， ，从而直线与的斜率之和 . 方法点拨定值问题的求解策略(1)在解析几何中，有些几何量与参数无关，这就是“定值”问题，解决这类问题常通过取特殊值，先确定“定值”是多少，再进行证明，或者将问题转化为代数式，再证明该式是与变量无关的常数，或者由该等式与变量无关，令其系数等于零即可得到定值(2)求解定值问题的三个步骤 由特例得出一个值，此值一般就是定值；证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值； 得出结论5、设椭圆C：1(ab0)的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为. (1)求椭圆C的方程；(2)直线l：ykxt(t0)与椭圆C交于M、N两点，线段MN的垂直平分线与y轴交点P，求MON(O为坐标原点)面积的最大值解析(1)e，a23c23a23b2，2a23b2 将xc代入椭圆方程得：y2，y，由题意：，2ab2 ，解得：a23 b22椭圆C的方程为：1 (2)联立方程组：消去y整理得：(3k22)x26ktx3t260 36k2t24(3k22)(3t26)24(3k22t2)0，3k22t2设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1，x2是方程的两个解，由韦达定理得：x1x2， y1y2k(x1x2)2t2t 设MN的中点为G(x0，y0)，则x0，y0 线段MN的垂直平分线方程为：y 将P代入得：化简得：3k224t代入式得：4tt2，0t0，b0)的两条渐近线分别为l1：y2x，l2：y2x.(1)求双曲线E的离心率； (2)如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1、l2于A，B两点(A、B分别在第一、四象限)，且OAB的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，说明理由解析(1)双曲线E的渐近线分别为y2x，y2x，2，2，故ca 从而双曲线E的离心率e. (2)由(1)知，双曲线E的方程为1.设直线l与x轴相交于点C，当lx轴时，若直线l与双曲线E只有一个公共点，则|OC|a，|AB|4a，又OAB的面积为8，|OC|AB|8， 因此a4a8，解得a2，此时双曲线E的方程为1，若存在满足条件的双曲线E，则E的方程只能是1. 以下证明：当直线l与x轴不垂直时，双曲线E：1也满足条件，设直线l的方程为ykxm，依题意得k2或k2，则C(，0)，记A(x1，y1)、B(x2，y2)由得y1，同理得y2. 由SOAB|OC|y1y2|得|8，即m24|4k2|4(k24)，由得，(4k2)x22kmxm2160，4k204k2m24(4k2)(m216)16(4k2m216)， 又m24(k24)，0，即直线l与双曲线E有且只有一个公共点，因此，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为1.方法点拨1.求曲线的轨迹方程时，先看轨迹的形状是否预知，若能依据条件确定其形状，可用定义法或待定系数法求解；若动点P与另一动点Q有关，Q在已知曲线上运动，可用代入法求动点P的轨迹方程；否则用直译法求解2存在性问题主要体现在以下几方面：(1)点是否存在；(2)曲线是否存在；(3)命题是否成立解决这类问题的一般思路是先假设存在满足题意的元素，经过推理论证，如果可以得到成立的结果，就可以作出存在的结论；若得到与已知条件、定义、公理、定理、性