（应用数学专业论文）带有参数和外力激励的josephson系统的复杂动态.pdf

摘要 本文应用动力系统的分支与混沌理论，以及数值模拟研究带有参数 和外力激励的j o s e p h s o n 系统通过运用m e l n i k o v 方法，证明系统在周期 扰动下的混沌的存在性；通过运用二阶平均方法和m e l n i k o v 方法，得到 在拟周期扰动下当忱= u 。+ e 时平均系统的混沌存在准则，证明了当 忱= 砌1 + e 礼2 时，平均系统的混沌存在准则不能通过运用m e l n i k o v 方法给出数值模拟( 包括同宿分支曲面，分支图，最大l y a p u n o v 指数图， 相图，p o i n c a r e d 映射图等) 不仅验证了理论结果的正确性，还发现了系 统的许多新的复杂动态这包括正向和逆向周期倍分支到混沌，混沌的 突然发生和突然消失到周期轨道，非吸引的混沌集，混沌吸引子，不变 环和混沌的交替出现，等等。 全文共分三章第一章是关于连续动力系统的分支理论、二阶平均 方法、m e l n i k o v 方法，混沌理论的预备知识 第二章简单介绍了j o s e p h s o n 方程的一些历史背景知识和已知的研 究结果。 第三章应用二阶平均方法，m e l n i k o v 理论，研究带有参数和外力激 励的j o s e p h s o n 系统，给出了周期扰动下系统产生混沌的准则，得到在 拟周期扰动下当忱= u 。+ e 时平均系统的混沌存在准则，证明了当 0 1 2 = 舢。+ e ，n 2 时，平均系统的混沌存在准则不能通过运用m e l n i k o v 方法给出通过数值模拟验证了理论结果，并发现系统的一些新的有趣 的动态 关键词：二阶平均；m e l n i k o v 方法；分支；混沌；周期扰动；拟周 期扰动 a b s t r a c t j o s e p h s o ns y s t e mw i t hp a r a m e t r i ca n de x t e r n a le x c i t a t i o n si si n v e s t i g a t e di n d e t a i l t h et h r e s h o l dv a l u e so fe x i s t e n c eo fc h a o t i cm o t i o na r eo b t a i n e du n d e r t h ep e r i o d i cp e r t u r b a t i o n w ep r o v et h ec r i t e r i o no fe x i s t e n c eo fc h a o si na v e r a g e d s y s t e mu n d e rq u a s i - p e r i o d i cp e r t u r b a t i o nf o r0 3 220 3 1 + e vb ya p p l y i n gt h es e c o n d - o r d e ra v e r a g i n gm e t h o da n dm e l n i k o v sm e t h o d ，a n dp r o v et h a tt h ec r i t e r i o no f e x i s t e n c eo fc h a o si ns e c o n d - o r d e ra v e r a g e ds y s t e mu n d e rq u a s i - p e r i o d i cp e r t u r b a ， t i o nf o rw 2 = r z o j l + e ，n 2c a n n o tb eo b t a i n e db ya p p l y i n gm e l n i k o v sm e t h o d n u m e r i c a ls i m u l a t i o n si n c l u d i n gh o m o c l i n i cb i f u r c a t i o ns u r f a c e s ，b i f u r c a t i o nd i a - g r a m s ，l y a p u n o ve x p o n e n t ，p h a s ep o r t r a i t sa n dp o i n c a r e dm a p ，n o to n l ys h o w t h ec o n s i s t e n c ew i t ht h et h e o r e t i c a la n a l y s i sb u ta l s oe x h i b i ts o m en e wc o m p l e x d y n a m i c s ，i n c l u d i n gt h ep e r i o d i cd o u b l i n gb i f u r c a t i o na n dt h er e v e r s e dp e r i o d i c d o u b l i n gb i f u r c a t i o nl e a d i n gt oc h a o s ，t h ec h a o ss u d d e n l ya p p e a r i n ga n dd i s a p - p e a r i n gt op e r i o d i c a lo r b i t s ，n o n - a t t r a c t i v ec h a o t i c a ls e t s ，c h a o t i c a la t t r a c t o r ，a n d t h ei n t e r l e a v i n go c c u r r e n c e so fc h a o t i cb e h a v i o r sa n di n v a r i a n tt o r u s ，e t c t h e p a p e rc o n s i s t so ft h r e ec h a p t e r s c h a p t e r1i st h ep r e p a r a t i o nk n o w l e d g e ab r i e fr e v i e wo fs e c o n d - o r d e ra v e r a g i n gm e t h o d sa n dm e l n i k o v sm e t h o d s ，c h a o s a n ds o m er o u t e st oc h a o sf o rc o n t i n u a ld y n a m i c a ls y s t e mi sp r e s e n t e d i nc h a p t e r2 ，w eb r i e f l yi n t r o d u c et h eb a c k g r o u n d s ，h i s t o r i e sa n dk n o w nr e - s e a r c hr e s u l t so fj o s e p h s o ns y s t e m i nc h a p t e r3 ，w es t u d yj o s e p h s o ns y s t e mw i t hp a r a m e t r i ca n de x t e r n a le x c i - t a t i o n sb yu s i n gs e c o n d - o r d e ra v e r a g i n gm e t h o d sa n dm e l n i k o v sm e t h o d s t h e t h r e s h o l dv a l u e so fe x i s t e n c eo fc h a o t i cm o t i o na r eo b t a i n e du n d e rt h ep e r i o d i c p e r t u r b a t i o n w ep r o v et h ec r i t e r i o no fe x i s t e n c eo fc h a o si na v e r a g e ds y s t e m u n d e rq u a s i - p e r i o d i cp e r t u r b a t i o nf o rw 2 = 0 3 1 + e b ya p p l y i n gt h es e c o n d - o r d e r a v e r a g i n gm e t h o da n dm e l n i k o v sm e t h o d a n dp r o v et h a tt h ec r i t e r i o no fe 菇s t e n c eo fc h a o si ns e c o n d - o r d e ra v e r a g e ds y s t e mu n d e rq u a s i - p e r i o d i cp e r t u r b a t i o n f o r0 3 2 = 伽l + e 佗芝2c a n n o tb eo b t a i n e db ya p p l y i n gm e l n i k o v sm e t h o d t h et h e o r e t i c a lr e s u l t sa x ev e r i f i e da n ds o m en e wd y n a m i c sa x ed e m o n s t r a t e db y i i i n u m e r i c a ls i m u l a t i o n k e yw o r d s ：s e c o n d - o r d e ra v e r a g i n gm e t h o d ，m e l n i k o v sm e t h o d ，b i f u r c a - t i o n ，c h a o s ，p e r i o d i cp e r t u r b a t i o n s ，q u a s i - p e r i o d i cp e r t u r b a t i o n s i v 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含 任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的研究做出 重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识到 本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名： 诮日争考， 矽i 口年6 月幻日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，研 究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属湖南师范大学同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅本人授权湖南师范大学可以将学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段 保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 ，不保密 ( 请在以上相应方框内打“ ”) 作者签名：硝。一争笙 导师签名： 乙1 毋积7 5 7 日期：沙j 啤6 月厂。日 日期：硼i 律l 月阳日 带有参数和外力激励的j o s e p h s o n 系统的复杂动态 1 预备知识 1 1 动力系统概述 动力系统的研究来源于常微分方程定性理论考虑舻中的常微分 方程( 组) 圣= ，( z ) ， ( 1 1 1 ) 其中，z = ( z 。，z 。) t 形是n 维向量，表示系统的状态，而右端函数 ，：舻_ 舻是c 7 向量r 1 ，它由系统所遵循的一些规律决定对于任 意的z o 舻，方程( 1 1 1 ) 以x ( o ) = x o 为初值的解( ，x 0 ) 在包含t = 0 的 某区间上存在如果f ( x ) 满足适当条件，则解( t ，x 0 ) 可以对于一切t r 存在且满足 ( i ) 西( 0 ，z ) = z ，v z r n ( i i ) ( s + t ，z ) = ( s ，( ，z ) ) ，v s ，t r ，z r n ( i i i ) 妒( ，z ) 对于( t ，z ) 连续 我们把满足上述条件( i ) ( i i ) ( i i i ) 的映射：rx 舻_ 舻称为酽中的 动力系统 从群作用的角度来看，动力系统可以分为连续动力系统( 亦称之为单 参数变换群或连续流) 和离散动力系统动力系统的严格定义为： 定义1 1 1 设x 是一个空间，t = r + 或z + ，对任意z x ，z 称为一个 “状态”，而t 称为时间连续映射妒：t x x 若满足半群性质? j ，妒( 0 ，z ) = z ， i x x i 2 ) 妒( s + t ，z ) = 妒( s ，妒( 亡，z ) ) ，v s ，t lv 叠x ， 则称( x ，妒) 为半动力系统当t = r 或z ，且妒是可逆映射时，称( x ，妒) 为动力系统当t = r 绒肘j 时，称( x ，妒) 为连续伴，动力系统或连 续伴，流当t = z 绒z + ，时，称( x ，妒) 为离散伴j 动力系统 动力系统的历史要追溯到1 9 世纪末p o i n c a r d 关于天体力学及微分 方程定性理论的研究，其讨论的课题( 如稳定性，周期轨道的存在性及回 1 湖南师范大学2 0 1 0 届硕士学位论文 归性等等) 以及所用方法的着眼点，即为后来所言的动力系统的创始继 之，g b i r k h o f f 以三体问题为背景，扩展了动力系统的研究，包括其给出的 遍历性定理，其1 9 2 7 年出版的专著动力系统标志着动力系统的正式诞 生随后，m a r k o v 总结b i r k h o f f 理论，提出动力系统的抽象概念，进一步推 动了动力系统的发展 1 9 3 7 年a n d r o n o v 和p o n t r j a g i n 就平面中的常微分方程组提出结构稳 定性的概念；1 9 5 9 年到1 9 6 2 年，p e i x o t o 给出紧二维流形上c 1 动力系统 结构稳定性的充要条件，并证明结构稳定性的稠密性定理然而，在高维 情形下，结构稳定系统的相图一般很复杂，且稠密性定理不再成立随着 2 0 世纪6 0 年代s m a l e 马蹄的发现，动力系统( 尤其是和计算机迭代直接 相关的离散时间的动力系统) 迅速活跃起来，新的研究方向也相继出现， 如混沌和分形，其中有许多挑战性的难题需要研究 1 2 m e l n i k o v 方法 m e l n i k o v 方法是一种扰动方法，最初由m e l n i k o v ( 2 3 ) 于1 9 6 3 年提出， 后来经h o l m e s ( j 1 0 ) ，w i g g i n s ( 4 0 ，4 1 ) 等人的补充和推广，用来证明一类时 间周期向量场中p o i n c a r e 映射的稳定流形和不稳定流形横截同宿点的存 在性，从而导致s m a l e 意义下的混沌 而s u b h a r m o n i c - m e l n i k o v 方法用来判定同一系统中次谐波解分支轨 道的存在性近十年来，m e l n i k o v 方法得到了很大的发展，取得了许多 成果这些成果包括由建立高阶m e l n i k o v 方法来处理超次谐波分支轨 道；用m e l n i k o v 方法来研究多自由度的m e l n i k o v 系统的动力学行为；把 m e l n i k o v 函数方法和平均方法结合起来，可以处理一些特殊系统的动力 学性质 1 同宿轨道的m e l n i k o v 函数 考虑系统： 二 圣= f ( x ) + 夕( z ，t ) ，( 1 2 1 ) 其中z = ( 钍， ) r r 2 ，f ( x ) = ( l ( z ) ，厶( z ) ) 丁，g ( x ，t ) = ( g l ( z ，) ，9 2 ( x ，t ) ) t 是充 2 带有参数和外力激励的j o s e p h s o n 系统的复杂动态 分光滑的函数( c r ，r 2 ) ，且在有界集上有界9 ( x ，t ) 是t 的周期函数， 周期为t 对方程( 1 2 1 ) 做如下假设： 研当g = 0 时，方程( 1 2 1 ) 为h a m i l t o n 系统，其h a m i l t o n 函数为 h ( u ，钞) ，也就是此时我们有 也= ( t l ，口) = a 驯跏，( 1 2 2 ) 1 西：五( t ，口) ：一o h o u 名。 日2 当e = 0 时，方程( 1 2 1 ) ，也就是方程( 1 2 2 ) 存在一个双曲鞍点 p o ，以及一条连接p 0 的同宿轨道g o ( t ) = ( u 0 ( t ) ，护( t ) ) 方程( 1 2 1 ) 的等价扭扩系统为 专。m ) + e g ( x , e ) ，( 1 2 3 ) 口= 1 其中，( x ，p ) 芹s t ，s l _ s 1xs 1x s 1 ，s 1 代表周长为t 的圆下面 先以f _ 1 来说明m e l n i k o v 函数方法取相空间横截面 = 他日) 归= t o ( o ，卅) c r 2 s 1 对于方程( 1 2 3 ) 产生的扭扩流，定义p o i n c a r e 映射 p ：o ( q ( t ，南) ) = 1 - i ( q , ( t o + t ，t o ) ，口( t ) ) = q , ( t o + 正) ， 其中，啦( t ，t o ) 为方程( 1 2 3 ) 的解，兀表示投影到第一因子的映射 显然方程( 1 2 3 ) 的周期t 解就相当于p o i n c a r e 映射磴的不动点，方 程( 1 2 3 ) 的周期m t 解就相当于p o i n c a r e 映射砖的周期m 点自然就 想到，把方程( 1 2 3 ) 的动态的讨论化为对低一维的p o i n c a r e 映射砖的 讨论，如果能找到p o i n c a r e 映射碚：幻_ 幻存在横截同宿点，就能 判定系统具有s m a l e 变换意义下的的混沌为此，我们首先要讨论砖的 鞍点的存在性，并且给出该鞍点的稳定流形和不稳定流形的有关性质 性质1 2 1 ( 【1 0 】) 在上述假定下，对于充分小的e ，方程( 1 2 3 ) 有唯 一的双曲周期轨道理( t ) = k t ) + d ( ) ，即p o i n c a r e 映射砖存在唯一的双 曲鞍点砖= p o + d ( e ) 湖南师范大学2 0 1 0 届硕士学位论文 性质1 2 2 ( 1 0 】) ( i ) 对于充分小的，方程( 1 2 3 ) 的周期轨道理( t ) = r 0 ( t ) + o ( e ) 与未扰动的周期轨道r 0 ( 亡) 有同样的稳定性 ( i i ) 方程( 1 2 3 ) 的双曲周期轨道砖的局部稳定流形w s 以k 0 ( t ) ) 和局 部不稳定流形w u 以k 0 ( t ) ) 是伊接近于s = 0 时未扰动系统( 1 2 2 ) 的周期 轨道一( 亡) 的局部稳定流形w 5 ( r o ( t ) ) 和局部不稳定流形”( r 0 ( ) ) ( i i i ) 初始点在幻上且位于w 8 ( 埋( t ) ) ，w “( r ? ( ) ) 上的轨道畦( ，t o ) ， q y ( t ，t o ) 可展成下列的展开式，并且在所表示的时间间隔上一致有效： ( t ，t o ) = q o ( t t o ) + 西 ，t o ) + o ( s 2 ) ，t 【t o ，+ o o ) 和 吼u 、t ，t o ) = q o ( t t o ) + e 口；( t ，t o ) + o ( 2 ) ，t ( 一o 。，t o 】) 由性质1 2 1 和性质1 2 2 ，得到w 3 ( 理( t ) ) 和w “( 程( t ) ) 之间的距离函数为 0 ) - e 盟业等掣州) 由此可定义同宿轨道的m e l n i k o v 函数为 m ( t o ) = m o ( t - t o ) ) a g ( q o ( t - t o ) ，t ) d t ( 1 2 4 ) 综合上述，得到下面的m e l n i k o v 定理： 定理1 2 3 ( 1 0 1 ) 对于系统( 1 2 3 ) ，假定( 风) 一( 飓) 成立，如果m ( t o ) 具有不依赖于的简单零点，则对充分小的s ，就能保证幻上的稳定 流形w s ) 和不稳定流形w 让( p 蓼) 横截相交，则方程( 1 2 3 ) 有s m a l e 意 义下的混沌 2 异宿轨道的m e l n i k o v 函数 设方程( 1 2 3 ) 满足日1 如果还满足 弼方程( 1 2 2 ) 存在两个或两个以上的双曲鞍点仇，i = 1 ，2 ，七，以及 一条连接p i ，p i + 。的异宿轨道醪( t ) = ( 札? ( t ) ，凹( t ) ) ，且这些异宿轨道形成一 个异宿环 4 带有参数和外力激励的j o s e p h s o n 系统的复杂动态 那么对这k 条异宿轨道建立k 个相应的m e l n i k o v 函数，如前可以定 义异宿轨道的m e l n i k o v 函数为 m ( t ) = ，( 醪( t 一白) ) 夕( 醪 一岛) ，t ) 班， ( 1 2 5 ) j 一 其中i = 1 ，2 ，k 则有如下定理： 定理1 2 4 ( 4 3 1 ) 对于系统( 1 3 3 ) ，假定凰，嘎成立如果m ( t i ) 具有 不依赖于e 的简单零点，则对充分小的e ，就能保证“雠：) ( 或w 5 0 象) ) 和w s 蛾。；) ( 或w u 雠t + l ，o 。) ) 横截相交，即存在横截异宿点如果对每一 个i ，m ( 屯) 都存在简单零点，则对充分小的，可保证p o i n c a r e 映射砖 存在n 一横截环，从而使得碓具有s m a l e 马蹄变换意义下的混沌 3 次谐波轨道的m e l n i k o v 函数 对于系统( 1 2 3 ) ，假定日1 一凰成立，且有 日3 令f 0 = q o ( t ) l t r u p o ，在r 0 内部充满了一族以口为参数的轨 道矿( t ) ，口( - 1 ，o ) 凰令k = h ( q 口( ) ) ，死为g n 的周期，死为h n 的可微函数，且在r o 内满足识d k o ( 或( d t d h a o ) 或者 日1 ，日；成立，且 瑞令f o = u q o ( t ) l t r 】- u0 鼽) ，在r o 内部充满了一族以q 为参 数的轨道g q ( t ) ，o t ( - 1 ，o ) 以及凰成立 那么次谐波的m e l n i k o v 函数为 r m t m 咖( 幻) = ，( 口口( t ) a o ( q - ( t ) ，t + t o ) d r ( 1 2 6 ) ，u 于是有如下定理： 定理1 2 5 ( 【1 0 】) 如果m m n ( ) 具有不依赖于的简单零点，则对 充分小的g ，系统( 1 2 3 ) 存在周期为m t 的次谐波解，相当于p o i n c a r e 映 射孵存在周期m 的不动点如果佗= 1 ，结论仍然成立 5 湖南师范大学2 0 1 0 届硕士学位论文 1 3平均方法 平均方法是研究周期轨分支的一种方法，最早由k r y l o v 和b o g o l i u b o v 【1 7 ，1 8 】给出，它在弱非线性问题及线性振子的小扰动问题的研究中尤为 有用在一定的条件下，动力系统的一些性质可由平均方程的性质而获 得 考虑微分方程 圣= ，( z ，e 现，w t ) + e 2 9 ( x ，以，) ，z = ( u ，u ) t r 2 ，0 e 1 ， ( 1 3 1 ) 其中，f ( x ，丁，口) 和g ( x ，r ，p ) 是伊，r 3 ，在有界集上有界，且关于7 - ，p 是以 t 为周期的周期函数系统( 1 3 1 ) 包含一个快时间t 和一个慢时间酣 当= 0 时，方程( 1 3 1 ) 成为 圣= ，( z ，亡) + 8 2 9 ( x ，t ) ，z = ( 仳， ) t r 2 ，0 0 t l 他们在引入l i - y o r k e 混沌的同时指出，若区间映射，有周期3 轨道，则， 是l i - y o r k e 混沌的；换言之，周期3 意味着混沌 b m a r o t t o 意义下的混沌定义 1 9 7 8 年，m a r o t t o 2 1 】将l i - y o r k 定理推广到高维，说明对于高维( 维数 大于等于2 ) 映射，若存在s n a p - b a c kr e p e l l e r ，则该映射存在混沌 对可微映射，：舻一舻及其给定的正数七，知代表，的k 次迭代； d f ( x ) 表示，在点z 舒取值的j a c o b i a n 矩阵，i d f ( x ) i 表示d f ( x ) 的行 列式；b r ( x ) 为舻中半径r 中心在z 的闭球，霹( z ) 是其内部；记恻i 是形 中通常的e u c l i d 范数 定义2 设，在耳( 名) 中可微，如果f ( z ) = z ，且对所有z 属于耳( z ) ，d f ( x ) 的所有特征值的范数大于j 成立，则称点名舻是，在研( 名) 中的一个 扩张不动点 定义3 假定名是，在研( z ) 中的一个扩张不动点如果存在一点z o 研( z ) 且x o 名；f k ( z o ) = z 以及i o f 七( 黝) l 0 对某个正数k 成立，则z 被 称之为，的一个s n a p 沈如r e p e l l e r 定义4 若映射，存在一个s n a p b a c kr e p e l l e r , 则，是混沌的也就是说， 存在 一个正数，使得对每一个整数p n ，有一个周期p 点i 俐一个，的”s c r a m b l e ds e t ”，即，一个包括，的非周期点的不可数集 s 使碍： ( 伍) f ( s 、cs ： 俐对每一个z ，可s 且z y ，有 1 i ms 婶l l f 七( z ) 一f k ( ) l l 0 俐对每一个z s 以及，的任意周期点y ， 。l i ms 札p l l f 詹( z ) 一，七( y ) 0 0 9 湖南师范大学2 0 1 0 届硕士学位论文 俐一个s 的不可数子集岛，使得对每一个z ，y 岛： h mi n f l l f 七( z ) 一，2 ( ) 0 = 0 七 c d e v a n e y 意义下的混沌定义 设x 是一个度量空间，jcx ，首先，我们给出拓扑传递和对初值的 敏感依赖性这两个概念，然后给出d e v a n e y 意义下的混沌定义 定义5 设，是度量空间x 上的一个系统倩散的或连续的，如果对任 意的开集以vcx ，总存在k 0 使得，奄( u ) nv ，则称，：x x 是 拓扑传递的( t o p o l o g i c a l l yt r a n s i t i v e 拓扑传递等价于存在，在x 上的一条稠密轨道 定义6 如果存在6 0 使得对任意的z j 和z 的任一邻域，总存在 y n 和t , 0 满足i 广( z ) 一，( y ) l 5 ，则称，：j 一，对初值具有敏感依 赖性 定义7 5 设x 是一个度量空间称连续映射，：x _ x 在x 上是混沌 的，如果 ( 1 ) f 是拓特传违的； ( g ) | 的鼠觏点枉x 寺稠密的： 俐，对初始值具有敏感依赖性 d e v a n e y 定义的三个条件中，条件( 1 ) 和( 2 ) 为拓扑条件，( 3 ) 为度量条 件；条件( 1 ) 表示系统是不可分解的，即d e v a n e y 意义下的混沌系统不能 分解成两个子系统的和；条件( 2 ) 说明随机行为中仍有“正则元素舛( 混 沌是“有序的嚣) ，同时也说明没有周期点的系统都不是d e v a n e y 混沌的； 条件( 3 ) 意味着系统不可预测，即初始值的任意小改变可能导致迭代结 果产生不可忽视的误差，给出了混沌行为的一种直观描述 d p t o u h e y 意义下的混沌定义 1 9 9 7 年，t o n h e y 3 7 给出混沌的另一个定义： 定义8 设x 是一个度量空间称连续映射f ：x x 在x 上是混沌的， 如果对x 的任意两个非空开子集u 和y ，总存在周期点p u 和非负 1 0 带有参数和外力激励的j o s e p h s o n 系统的复杂动态 整数k ，使，0 ) v ，即，x 的任一对非空开子集都包含同一个周期点的 一部分轨道 t o u h e y 证明此定义与d e v a n e y 定义中，的传递性和，的周期点稠密 性等价因此，t o u h e y 混沌定义等价于d e v a n e y 的混沌定义 e v e l l e k o o p 意义下的混沌定义 3 8 】 1 9 9 4 年，v e l l e k o o p 对于区间上的映射( 一维动力系统) ，给出混沌的更 简单的定义： 定义9 设，为一区间怀一定有限，若f ：，一，是连续映射且拓扑传 递，l i if 的周期点在j 中稠密，且，具有对初始条件的敏感依赖性，即， 在j 上是混沌的 由v e l l e k o o p 的? 昆沌定义，对于一维动力系统d e v a n e y 定义中的敏感 依赖性和周期点的稠密性是多余的 同时，v e l l e k o o p 指出：区间上的连续函数，其周期点稠密推不出它具 有对初始条件的敏感依赖性；周期点稠密和对初始条件的敏感依赖性推 不出它是传递的；对初始条件的敏感依赖性推不出它是周期点稠密 f w i g g i n s 意义下的混沌定义【4 1 】 w i g g i n s 指出d e v a n e y 定义中的( 2 ) 是混沌集中的“正则元素”，不是 混沌集的本质，他用d e v a n e y 定义中的( 1 ) 和( 3 ) 作为混沌定义 考虑缈上的伊( r 1 ) 自治向量场或映射 或 zh g ( x ) ，( 1 4 2 ) 设v ( t ，z ) ，t 0 是由( 1 4 1 ) 生成的流，ac7 z n 是妒( ，z ) ( 夕( z ) ) 作用下的一个 紧致不变集称妒( 厶z ) ( 夕( z ) ) 对a 上的初始条件具有敏感依赖性，如果存 在e 0 使得对任意的z a 和x 的任一领域u ，总有y u 和t 0 ( n 0 ) 满足i p ( t ，z ) 一妒( ，可) i e ( 扩( z ) 一g n ( 可) l e ) 称一个闭不变集a 是拓扑 传递的，如果对任意开集以vca ，存在t r 使得妒( 厶u ) nv 咖( 存在 n z 使得9 n ( u ) nv ) 1 1 湖南师范大学2 0 1 0 届硕士学位论文 定义1 0 称人是混沌的，如果 例妒( 亡，z ) ( g ( z ) ) 对妒上的初始条件具有敏感依赖性， 俐妒( t ，z ) ( 夕( z ) ) 在妒上是拓扑传递的 注：1 a 的紧性是不可缺少的2 初值敏感性和拓扑传递反映混沌 的本质；并且，初值敏感性导不出拓扑传递性，反之，拓扑传递性也导不 出初值敏感性 1 4 2 通向混沌的路径 迄今为止，从理论分析、数值模拟及实验观察发现，系统通过局部分 支和全局分支两大类路径产生混沌 i 通过局部分支 1 1 倍周期分支通向混沌 2 2 ，2 4 ，3 6 】 当参数6 在某一范围内，系统有一个周期t 的稳定的周期轨，随 着参数的变化，当6 = 6 ，时，发生倍周期分支，原有的稳定周期轨失去 稳定性，产生新的周期为2 t 的稳定的周期轨；随着参数进一步变化，当 6 = 以，k = 1 ，2 ，3 ，o 。时，出现无穷序列的倍周期分叉，产生周期为2 七t 的稳定周期轨，当此周期轨失去稳定性时，出现了新的周期为2 1 t 的稳 定周期轨随着倍周期分支的进一步发生，当6 = 氏时，系统陷入混沌 1 2 i n t e r m i t t e n c y 到混沌【2 2 ，2 4 ，2 8 ，2 9 ，3 0 】 当参数6 小于一个临界过渡值曲时吸引子是一个周期轨，当6 稍大 于而时，在很长时间内轨道呈现出周期的而且非常接近6 西时的轨 道，但是，这种周期行为会被间歇性的打断，也就是说，轨道会在短时间 内产生截然不同的行为随着参数的进一步变化，这种打断周期振动的 行为所间隔的时间越来越短，最终消失，出现了混沌 1 3 拟周期运动道路 2 2 】 具有两个或多个不可公约频率的轨道称为拟周期轨；拟周期轨的环 面结构破裂可能使系统陷入混沌 i i 通过全局分支 1 1 1 过鞍点的稳定流形w s 和不稳定流形w “横截相交产生”s m a l eh o r s e - 1 2 带有参数和外力激励的j o s e p h s o n 系统的复杂动态 s h o e ”意义下的混沌【4 1 】这是一种用分析方法( m e l n i k o v 函数) 判别混沌 存在的准则 1 1 2 c r i s i s ( 转折或危机) 【7 ，8 ，9 ，2 4 当参数变化达到某一临界值时混沌吸引子尺度( 状态) 突然改变，或 者混沌突然消失，或者出现另一个吸引子( 突然变成周期的) ，这种现象 称为c r i s i s 这种改变是由于混沌吸引子与不稳定周期轨，或与混沌吸引 子中的稳定流相碰而引起当参数变化时，c r i s i s 破裂混沌吸引子，而从另 一方向来看，即参数从另一方向变化时，c r i s i s 产生混沌吸引子，并且可以 看成c r i s i s 导出i n t e r m i t t e n c y , 因此可认为c r i s i s 是产生混沌的道路之一 1 5 分支 1 5 1 连续动力系统的分支( 【4 1 】) 考虑含参变量的向量场 雪= g ( y ，a ) ，y 月，a f ，( 1 5 1 ) 其中g ：舻y , _ 舻是c 的设点( y o ，知) 是方程( 1 5 1 ) 的不动点，即 g ( y o ，知) = 0 向量场( 1 5 1 ) 在不动点( y ，a ) = ( y o ，知) 处的线性化方程为： = d 翟g ( y o ，a o ) ff 舻( 1 5 2 ) 假设将方程( 1 5 1 ) 的平衡点( y o ，知) 平移到点( o ，o ) ，并且应用中心流 形定理，得到了决定( 0 ，0 ) 附近轨道结构的限制在中心流形上的向量场 考虑带一维参数的限制在中心流形上的向量场在( 0 ，0 ) 处的局部分支 i 一个零特征值 假设d y g ( y o ，) 有且只有一个零特征值，其它特征值的实部均不为 零，那么( y o ，知) 附近的轨道结构由限制在中心流形上的向量场 圣= ( x ，p ) ，z r 1 ，p r 1( 1 5 3 ) 所决定其中p = 入一a o 而且，( 1 5 3 ) 必须满足 ( o ，0 ) = 0 ， g 一( o ，o ) = 0 】3 湖南师范大学2 0 1 0 届硕士学位论文 下面我们就给出几类分支发生的条件 ( i ) s a d d l 争n o d e 分支 定理1 5 1 考虑系统p 5 剀若 1 ) ，( 0 ，0 ) = 0 ， 2 ) _ o 叩f ( 0 ，o ) = o ， 3 ) 否o “f ( 0 0 ) 0 ， 4 ) 髻( 0 ，0 ) 。， 则系统在不动点似砂处发生s a d d l e n o d e 分支 注：1 对于s a d d l e - n o d e 分支，在p = 0 的一侧系统没有不动点当t ：0 时系统有一个不动点在t = 0 的另一侧系统存在唯一的平衡点曲线 t = p ( z ) ，对应于每一个p 有两个不动点 2 象( o ，o ) 荔( o ，o ) 的符号决定不动点曲线( z ) 在p ：0 的哪一侧 ( i i ) t r a n s c r i t i c a l 分支 定理1 5 2 考虑系统以5 动若 1 jf 【0 ，0 ) = 0 ， 2 ) _ o f ( o ，0 ) = o ， 3 ) 瓦o f ( 0 7 0 ) = 。， 4 ) 甏( 0 ，0 ) 。， 5 ) 嘉( o 0 ) 。， 那么，在不动点似砂处发生t r a n s c r i t i c a l 分支 注：1 对于t r a n s c r i t i c a l 分支，在肛= 0 的两侧同时存在两条不动点曲线 z = 0 和肛( z ) ，并且当它们穿过肛= 0 时，其不动点的稳定性发生改变 带有参数和外力激励的j o s e p h s o n 系统的复杂动态 2 。0 2 i ( 、0 ，o ) 矗( o ，o ) 的符号决定其中一条不动点曲线p ( z ) 的位置 ( i i i ) p i t c h f o r k 分支 定理1 5 3 考虑系统以5 砂若 1 ) f ( o ，0 ) = 0 ， 2 ) 跏0 ) - o ， 3 ) 否o p f ( o ) 0 ) = 。， 4 ) 0 2 f ( 。，。) = 。， 5 ) 磊( o ，o ) 。， 6 ) 磊( o ，0 ) 0 ， 则系统在不动点似砂处发生p i t c h f o r k 分支 注：1 对于p i t c h f o r k 分支，一条不动点曲线z = 0 在p = 0 的两侧存在但 不动点的稳定性不同，另一条不动点曲线p ( z ) 只存在于p = 0 的一侧，且 肛( z ) 上的不动点的稳定性相同 2 如x f 。( o ，o ) 蛊( o ，o ) 的符号决定p ( z ) 的位置 i i 一对纯虚特征值：p o i n c a r d - a n d r o n o v - h o p f 分支 如果d y g ( y o ，h ) 仅有一对纯虚根，其余特征值无零实部，则系统( 1 1 5 ) 在 中心流形上可简化为二阶方程 圣= f ( x ，p )z r 2 ，p r ( 1 5 4 ) 定理1 5 4 考虑系统口5 钞若 砂f ( o ，0 ) = 0 ，d x f ( o ，0 ) 有一对纯虚根， 1 5 湖南师范大学2 0 1 0 届硕士学位论文 矽掣b = d 0 ， 则系统在化砂处发生h o # 分支，并且在p = 0 的小邻域内至少产生一个 周期轨如果周期轨是稳定的，称此h o w 分支为s u p e r c r i t i c a lh o p f 分支； 若周期轨是不稳定的，称此h o p 分支为s u b c r i t i c a lh o p 分支 将系统( 1 5 4 ) 在p = 0 时转化为如下形式： ( ；) = 0 ，i - ) ( ：) + ( 三篆：；) 得到：口= 去( 厶王+ 厶v + g 嚣掣+ 鲰鲫) + 击( 厶”( 厶z + ) 一啦( 如z + 观) 一 厶+ 可) 如果a 0 时，周期轨是不稳定的 1 5 2 离散动力系统的分支( 【4 1 】) 考虑含参变量的映射 y g ( y ，入)y 月，p f f ( 1 5 5 ) 其中g ：px p , _ 舻是伊的设点( y o ，a o ) 是方程( 1 5 5 ) 的不动点，即 g ( y o ，k ) = y o 映射( 1 5 5 ) 在不动点( y ，a ) = ( y o ，入o ) 处的线性化映射为： _ d 掣g ( y o ，a o k p ( 1 5 6 ) 假设将方程( 1 5 5 ) 的平衡点( y o ，a o ) 平移到点( 0 ，o ) ，并且应用中- 5 - 流 形定理，得到了决定( 0 ，0 ) 附近轨道结构的相应的中心流形方程，我们考 虑带一维参数的限制在中心流形上的映射在( 0 ，0 ) 处的局部分支 i 一个特征值1 假设d 掣g ( y o ，a