（应用数学专业论文）系统结构函数的一种构造方法.pdf

西南交通大学硕士研究生学位论文第l 页 摘要 c o p u l a 作为一种刻画随机变量之间相依性的方法，近几年受到许多统计 学者的普遍关注，它的出现使随机变量之间相依性的刻画趋于完善。c o p u l a 理沦不仅可以用于概率、统计和随机过程中，它在其他领域中应用也非常广 泛，本文把c o d u l a 方法应用到系统研究当中。 系统的结构函数是可靠性理论的一个重要概念，它是连接系统状态和部 件状态的一个量。可靠性理论中，结构函数以及对偶结构函数的定义都是以 系统所处的状态为基础给出的，并且在定义中只涉及到正常和失效两种状 态，若系统正常表示系统正处于工作状态。显然，不同的两个部件工作时的 状态相同，但此时两个部件的可靠度以及失效率并不一定相同，所以此定义并 不能对可靠度以及累积失效率这些表征系统的量给予很好的解释。为了更全 面的去描述系统在不同时刻的各种状态，就需要一种新的方法去研究系统的 结构函数。 鉴于此，本文从累积失效率出发给出了系统结构函数的另外一种定义。 结构函数作为连接部件状态与系统状态的量，系统不同，其连接方式也不同。 本文提出了一种特殊的连接方式，并据此研究了以这种特殊方式构造出来的 系统的一些性质，最为重要的是从这类特殊的结构函数给出了一+ 种寻找等价 系统的方法。另外，在结构函数定义的基础上，本文又给出了对偶结构函数 的定义，这个定义对部件之间独立和相依的情况都是成立的。当部件之问不 独立的时候，此定义不仅可以给出相应的对偶结构形式，而且对对偶系统部 件之间的相依性也有很好的刻画。 关键词：c o p u l a ；阿基米德c o p u l a ；生成元：系统；累积失效率 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 i 页 a l b s t r a c t c o p u l a sa r ew i d e l yp a i d a t t e n t i o ni nr e c e n ty e a r sa sam e t h o dw h i c h d e s c r i b ed e p e n d e n c eo fr a n d o mv a r i a b l e s i t se m e r g em a k e st h ed e s c r i p t i o no f d e p e n d e n c eb e t w e e nr a n d o mv a “a b l e sp e r f e c t b u tc o p u l a sc a nu s en o to n l yi n p r o b a b i l i t y ，s t a t i s t i c s ，a n ds t o c h a s t i cp r o c e s s e s ，b u ta l s oi nm a n yo t h e rf i e l d s 1 n t h i sp a p e r ，t h ea u t h o ra p p l i e sc o p u l at h e o r yi n t os y s t e mt h e o r y s y s t e m a t i cc o n s t r u c t i o nf u n c t i o ni sa ni m p o r t a n tn o t i o n 1 ti saf u c t i o nt h a t l i n k ss y s t e m a t i cc o n d i t i o na n dc o m p o n e n tc o n d i t i o n i nt h er e l i a b i l i t yt h e o r y ，t h e d e f i n i t i o n so fc o n s t r u c t i o nf u n c t i o a n dd u a lc o n s t r u c t i o nf u n c t i o na r eg i v e no n t h eb a s j so fs y s t e m a t j cc o n d i t i o n ，a n dt h et w oc o n d j t j o n s ，j n c l u d j n gn o f m a la n d i v a l i d ，a r ec o n s i d e r e d e v i d e n t ly ，t w od 引! f e r e n tc o m p o n e n t sa r ei nt h es a m e c o n d i t i o nw h e nt h e ya r ew o r k i n g h o w e v e r ，t h e i rr e l i a b i l i t ya n da c c u m u l a t e d i n v a l i dr a t eo fs y s t e m sm u s tn o tb ee q u a l ，s ot h i sd e f i n i t i o nd o e sn o to f f e rt h o s e m e a s u r e st h a ti n d i c a t et h es y s t e m s ，s u c ha sr e l i a b i l i t ya n da c c u m u l a t e di n v a l i d r a t eo fs y s t e m sw i t hf i n e e x p l a n a t i o n i no r d e rt od e s c r i b et h e s y s t e m a t i c c o n d i t i o ni nd i f f e r e n tt i m e ，w en e e dan e wm e t h o dt os t u d yt h es y s t e m a t i c c o n s t r u c t i o nf u n c t i o n s o ，t h ep a p e rg i v e sa n o t h e rd e f i n i t i o no fs y s t e m a t i cc o n s t r u c t i o nf h n c t i o n f r o ma c c u m u l a t e di n v a l i dr a t eo fs y s t e m s i ft h es y s t e mi sd i f f e r e n t ，s oi st h el i n k w a y t h i sp a p e rg i v e sas p e c i f i cl i n kf a s h j o nt os t u d ys o m ec h a r a c t e r so ft h o s e s y s t e m st h a ta r ec o n s t r u c t e db yt h i ss p e c i f i cc o n s t r u c t i o nf l l n c t i o n i na d d i t i o n ， t h i sp a p e rg i v e st h ed e f i n i t i o no ft h ed u a ls y s t e m t h i sd e f i n i t i o nc a nb eu s e di n t h cc o n d i t i o no f i n d e p e n d e n c e a n dd e p e n d e n c e w h e nt h e c o m p o n e n t i s 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 ii 页 d e p e n d e n t ，t h i sd e f j n i t i o nc a nn o to n l yg i v et h ea c c o r d i n gd u a lc o n s t m c t i o ns t y l e ， b u ta l s od e p i c tt h ed e p e n d e n c ea m o n gt h ec o m p o n e n t s k e y w o r d s ：c o p u l a ；a r c h i m e d e a nc o p u l a ； g e n e r a t o r ； s y s t e m ；a c c u m u l a t e d i n v a l i dr a t e 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 第1 章绪论 1 1 c o p u l a 产生的背景 传统的概率统计理论对于二维随机变量之间的相依性是利用相关系数p 来刻画的，但是用相关系数p 来描述随机变量之间的相依性总是存在很多的 缺陷，因为p 只是一个表征随机变量之间线性关系紧密程度的量。当川较大 时，只能说明两个随机变量之间线性相关的程度较好；而当捌较小时，也只 能说明随机变量之间线性相关程度较差，所以说根据相关系数p 的大小关系 并不能如实的反映相依性的强弱。 用一个简单例子就可以说明：设x 服从标准正态分布( o ，1 ) ，y = x2 4 ( 其 中栉= ，2 s ，则根据相关系数的定义p 一了揣，又因为 c o v ( ，y ) = e ( j ) 一e ( x 皿( y ) ；伍2 1 ) 一e 伍皿2 “) 且e 伍2 1 ) ；) 2 1 了 一等出= 。( 奇函数在对称区间上的定积分为。) ，由 于e 伍) = o ，故p ；o 。 说明：由上面例题可知x ，y 是不线性相关的，但x ，y 之间却具有很强 的相依性，由此可见相依系数p 并不能很好的刻画随机变量之问的相依性， 充其量不过是从相依机制的某个角度进行了宏观的描述。 相依理论的薄弱严重的制约了概率论和随机理论的发展，幸运的是，许 多著名学者经过数十年的探索和研究终于找到了比较有效的解决办法。主要 足从概率积分变换【1 9 】、脆弱模型f 3 1 】和c o p u l a 【1 2 】三个方面研究有了大的突破。 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 页 其中c o p u l a 函数几乎蕴涵了随机变量的全部相依信息，它的出现使得随机变 量之间相依性的刻画趋于完善。 c o p u l a 的概念是s k l a r 【2 】在1 9 5 9 年回答m f r e c h e t 关于多维分布函数和低 维边缘之间关系的问题时首次被引入的。起初，c o p u l a 主要被用于概率度量 空间理论的发展；后来，随着理论的逐渐完善，它们又被用于确定随机变量 之间相依性的非参数度量上。 c o p u l a 之所以能受到统计学者的青睐主要源于以下两个原因：第一个是 c o p u l a 是研究相依性测度的一种方法；第二个是c o p u l a 作为构造二维分布族 的起点，可用于多元模型分布和随机模拟【2 3 】。 那么何谓c o p u 】a 【5 】【8 】? 从某种意义上来说，c 叩u l a 是连接多维分布函数和 一维边缘分布函数的函数。换句话说，c o p u l a 是个多维分布函数，并且其 边缘分布函数是服从( o ，1 ) 区间上的均匀分布的。 1 2 问题的提出及研究意义 c o p u l a 理论的日趋完善，使其应用也更加广泛，本文把c o p u l a 方法应用 于系统的研究当中。 系统理论在实际中的广泛应用决定了其研究的熏要性。比如，一个诈在 海上运行的轮船，我们可以把它看成一个大的系统，而它的各个配件就相当 于这个大系统的部件，部件之间通过一些连接方式构成了这样一个人系统。 显然，部件的可靠度决定了轮船的可靠度。在运行过程巾，如果轮船中某个 配件的失效将导致整个轮船处于瘫痪状态，因此就要求在运行中有储备部件， 此时轮i | 就变成了我们可靠性理论中的储备系统，利用储备系统的有关方法， 西南交通大学硕士研究生学位论文第3 页 可以根据部件的可靠度来计算轮船的可靠度，从而为轮船的出行做好各种准 备，避免了运行中一些事故的发生，由此可以看出系统的研究是很重要的。 系统的结构函数是可靠性理论的一个重要概念，它是连接系统状态和部 件状态的一个量。可靠性理论中结构函数以及对偶结构函数的定义都是以系 统所处的状态为基础给出的，并且在定义中只涉及到正常和失效两种状态。 失效是一种最简单的状态，若系统失效，则系统的可靠度为o ，失效率为1 ； 但若系统正常，此时我们只知道系统是处于工作状态，而可靠度以及累积失 效率等这些表征系统的量却无从知晓，因此由系统的两个状态所引出的结构 函数并不能很好的刻画系统的状态。 鉴于此，本文从累积失效率出发引出了系统结构函数以及对偶结构函数 的另外一种定义。系统结构函数作为一个连接系统状态和部件状态的量，系 统不同，其连接方式也不同。本文在给出结构函数定义的基础上，提出了一 种特殊的连接方式，并据此研究了以这种特殊方式构造出来的系统的一些性 质。另外，从这类特殊的结构函数出发给出了一种寻找等价系统的方法，这 种方法使很多复杂的问题更加简单化。 1 3 本文的主要工作 第1 章主要介绍了c o p u l a 理论产生的背景以及研究问题的提出。第2 章 介绍了c o p u l a 的定义和一些重要的性质，并重点介绍了阿基米德c o p u l a 。第 3 章介绍了一些特殊系统的定义以及在某种特殊情况下的累积失效率。第4 、 5 、6 章是本文的主要工作。第4 章从累积失效率m 发给出了系统结构函数以 及对偶结构函数的定义，系统的结构函数作为一个连接系统状态和部件状态 西南交通大学硕士研究生学位论文第4 页 的量，系统不同，其结构函数一定不同。本文提出了一种特殊的连接方式， 并且把可以用这种方式连接的结构函数所对应的系统称为阿基米德单调结构 系统。第5 章给出了部件之间不独立的情况下一些阿基米德单调结构系统的 生成元以及伴随函数。第6 章从阿基米德单调结构系统的结构函数出发给出 了一种系统等价简化的方法。通过此方法，可以把复杂的阿基米德单调结构 系统等价成简单的串联或并联系统，从而使很多复杂的问题更加简单化。另 外，本章也讨论了串联系统和并联系统的一些性质，为阿基米德单调结构系 统的等价转化奠定了基础。 西南交通大学硕士研究生学位论文第5 页 第2 章c o p u la 的定义及其基本性质 21c o 口u l a 的定义 在1 1 节中我们曾提到c o p u l a 是连接多维分布函数和它们一维边缘分布 函数的函数，抉句话说，c o p u l a 足一个多维分布函数，并且其边缘分伟函数 服从( o ，1 ) 区间上的均匀分布。咀上两种陈述描述了c o p u l a 函数所具有的某种 特性，f r 作为定义不够明确，本节将给出c o p u l a 的确切定义。 首先给出二维c o p u l a 的定义，对于多维的可类似推广得到。 定义2 1 1 1 卅c o p u l a 是一个【0 ，圩一【o ，l 】的函数，且满足 ( l ) c “，o ) e c ( o ，v ) = o c 0 j ) 一“，c 也r ) - v ( 2 ) 对任意的o s “ism 2s l o s v lsv 2 l ，有 c 0 ：，v ：) 一c 函：，v 。) 一c “。，如) + c - ，v ，) zo 。 可以验证c o p u l a 就是一个定义在【o ，1 】 o j 】上的二维分布函数，其边缘分 布是 o ，1 上的均匀分布。 n e ls e n 等人提出了与之对应的牛存c o p u l a 的概念： 定义2 2 8 1 漫随机变量z ，l r 的生存雨数分别为f 0 ) ，石( y ) ，联合生存函 数为百0 ，y ) ，一个二元函数0 称之为生存c o p u l a ，若e ：，2 一，且 诹z ，y ) = 0 ( f ( x ) ，石( y ) ) 定理2 1 【8 】l 2 】设工和l ，的c o p u l a 是c ，若0 是j2 _ j 卜的甬数，且 0 m ，、t ) = “+ r 1 + c ( 1 一“，1 一r ) ，则0 “，v ) 是个c o p u l a 。 m ，v ) ：“+ v 一1 + c ( 1 一“，1 一r ) ，则0 ( “，v ) 是一个c o p u l a 。 证明： 西南交通大学硕士研究生学位论文第6 页 ( 1 ) e 0 ，o ) t e ( o ，v ) 一o ，0 白，1 ) ；“，e ( 1 ，v ) ；v ，第一个条件显然满足。 ( 2 ) 对任意的0 s “1s “2s 1 ，0sv 1 茑v 2s 1 ，有 0 白：，v ：) 一e 0 ：，v ，) 一e 0 。，v ：) + 0 “，v ，) = c ( 1 一。，1 一v 。) 一c ( 1 一h ：，1 一v ，) 一c ( 1 一“，1 一v ：) + c ( 1 一“。，1 一v ：) 由于0 s “1s “2e 1 ，0sv ley 2s 1 ，贝0 0s l 一“2 主1 一“1s 1 ，0s 1 一v 2 写1 一v 1s 1 又由于c 是c o p u l a ，故 e 以：，v 。) 一e 0 ：，v ，) 一e 0 。，v ：) + 0 ( “。，v ，) 苫。 第二个条件也满足，故00 ，v ) 是一个c o p u l a 。 这里，e0 ，v ) 实际上就是c “，v ) 的生存c o p u l a 。 2 2s k la r 定理 c o p u l a 在统计学中的重要性主要体现在s k l a r 定理【1 9 】当中。s k l a r 定理阐 明了c o p u l a 在多维分布函数和其一维边缘的关系中所扮演的角色。 定理2 2 ( s k l a r 定理) 没h 是一个联合分布函数，其边缘分布函数分别是 f 和g ，则一定有一个c o p u l ac ，使对尺中所有x 和y 有 h b ，_ ) ，) = c ( f b lg ( _ ) ，) ) 成立，若f 和g 是连续的，则c 是唯一的，否则c 在 砌n f 月g 卜唯一确定的。反之，若c 是一个c o p u l a ，f 和g 足分布函数， 则由上式所定义的h g ，y ) 是一个联合分布函数，其边缘分和函数分别是f 和g 。 西南交通大学硕士研究生学位论文第7 页 说明：通过日“，y ) = c ( f b lg ( ) ，) ) ，c o p u l a 将x ，y 的联合分邪函数 日b ，y ) 与其一维边缘联系起来，展示了联合分布函数是由它们边缘生成的 变化特性。 2 3 阿基米德c o p u ia 2 3 1 阿基米德c o p u ia 的定义及性质 阿基米德c o p u l a f 5 】【8 】作为一类特殊的c o p u l a ，由于以下几个原因而被广泛 应用：( 1 ) 容易构造：( 2 ) 许多c o p u l a 都属于这类c o p u l a ；( 3 ) 有很多好的性 质。阿基米德c o p u l a 首次出现在概率度量空间研究中，而不是统计研究中。 引出阿基米德c o p u l a 定义之前，先给出函数伪一逆定义。 定义23 1 1 】1 5 1 没妒是【o 1 一【o o 。 上连续的降函数，则妒的伪一逆妒川是 ，1 】上的硪且一= k j 蒿；竺，) 说明：由定义妒川在【o o 。】上是连续非增的，且在【0 ，妒( o ) 】是严格降的， 另外，在 0 ，1 上妒0 0 ) ) = “，且 妒b 飞) ) = 妒：o ) ：慕三罂硎n ( f 刺) 最后注意到，若妒( o ) = 。，则妒 _ 1 】= 妒一。 在伪一逆定义基础上引出阿基米德c o p u l a 定义： 定义24 【5 1 1 8 1 设妒是 o ，1 卜+ 0 ，m 上连续的、严格降的凸函数且妒( 1 ) = o ， 设妒川是( 2 1 ) 式所定义的妒的伪一逆函数，则c 0 ，p ) = 妒 1 如0 ) + 妒( v ) ) 被称 为阿基米德c o p u l a ，其中妒被称为c o p u l a c 的生成元。特殊的，若妒( o ) = c 。， 则称为严格，| i 成元，在这种情况下伊 - l 】：妒，且c 0 ，p ) = 妒。( 妒( ) + 驴卜) ) 被 西南交通大学硕士研究生学位论文第8 页 称为严格的阿基米德c o p u l a 。 阿基米德c o p u l a 除可以用以上方式简单构造外，还有一些很好的性质 定理2 3 【1 】设c 是由妒所生成的阿基米德c o p u l a ，则 ( 1 ) c 是对称的，即对，中所有的h ，v 有c 0 ，v ) = c ( v ，“) ； ( 2 ) c 满足结合律，即c ( c 0 ，v lw ) ；c “，c “，w ) ) ； ( 3 ) 若c 是任意大于零的常数，则c 妒也是c 的生成元。 证明： ( 1 ) 由阿基米德c o p u l a 定义知， c 0 ，v ) = 妒【一1 1 ( 驴“) + 妒如) ) ；妒【一1 1 ( 妒“) + 伊0 ) ) = c ( v ，h ) ( 2 ) 由c 0 ，v ) ；一1 1 0 0 ) + 妒p ) ) 知， c ( c 0 ，v lw ) 一妒【一1 1 白( c 0 ，v ) ) + 妒( w ) ) = 妒【_ 1 】b b 【4 1 b “) + 驴卜) ) ) + 妒( w ) ) = 妒i 一1 1 ( 伊“) + 妒一) + 妒( w ) ) 同理 c 0 ，c p ，w ) ) = 妒【。1 1 如0 ) + 妒( c 0 ，w ) ) ) = 妒【。1 】b 0 ) + 妒b 【一1 1 0 ( v ) + 妒( w ) ) ) ) ；妒【一1 1 ( 妒0 ) + 伊( v ) + 妒( w ) ) 即c ( c 仁，v lw ) = c 0 ，c 扣，w ) ) 。 ( 3 ) 由于( c 妒y 。1 t 伊0 ) + c 伊- ) ) ：( 三妒 一1 1 ) ( c 妒( “) + c 伊卜) ) ：妒【。1 】( 妒0 ) + 妒p ) ) 故c 田也是c 的生成元。 23 2 阿基米德c o p uja 的大小比较 西南交通大学硕士研究生学位论文 帚9 页 阿基米德c o p u l a 作为一类特殊的c o p u l a ，有许多一般的c o p u l a 没有的优 越性质，比如说利用生成元的有关性质可以比较阿基米德c o p u l a 之间的大小 关系。 定理2 4 1 9 1 设c 1 ，c ：分别是生成元妒，妒：所生成的阿基米德c o p u l a ，则 c ，s c ：当且仅当妒。妒：【| 1 是次可加的a 证明：设，；妒，。妒：【- 1 】，则，是连续的，非降的且，( o ) = o ，又由c o p u l a 定义知，c c ：当且仅当对，中所有“，v 有 妒，【一“和。缸) + 甲，( v ) ) s 甲：一1 1 如：0 ) + 妒：0 ) ) ( 2 2 ) 设x ：“ly ：伊：卜) ，则对【o 妒：( o ) 】中所有x ，y 上式等价于 妒。h ( ，b ) + 厂( y ) ) s 伊：一1 1 b + y ) ( 2 3 ) 而且若x ，妒：( o ) 或y ，妒：( o ) ，则上式都等于o ，假若c ，s c ：，用吼作用于( 2 3 ) 式两边，注意到对所有的w ，o ，妒，。吼h sw ，则对【o ，* ) 中所有z ，y 有 ，b + y ) s ，b ) + ，( ) ，) ，因此，是次可加的。 反之，若，满足次可如性即，b + y ) ，g ) + ，( y ) ，则把伊 - 1 1 作用于不等 式两边，由于妒。，。9 掣。吼。妒 1 1 。妒 ”，故 驴；一，】( 吼( “) + 仍扣) ) s 伊 1 1 ( 妒：“) + 伊：卜) ) 。 类似于吼。驴： _ 1 这类函数的次可加性验证起来依然十分困难，为了更容易 比较c o p u l a 之间的大小关系，这里又给出了定理的几个推论。 首先介绍一个引理： 一 曲南爻通大掌硕士研究生学位论文第1 0 页 引理4 1 设，是定义在 0 ，* ) 上的函数，若，是凹函数且满足，( o ) ：o ，则 ，是次可加的。 证明：设x ，y 0 ，。) ，若z + y = o ，则z - ) ，= o ，由，( o ) ：o ，显然有 ，b + _ ) ) s ，b ) + ，( y ) 。现假设z + ) ，o ，贝0 x = 0 + y ) + 士( 0 ) 妒上( 0 ) + 上b + y ) z + yz + yz + y工+ y 若，是凹的且，( o ) = o ，则 ，b ) ：三，b + y ) + l ，( o ) 。土，b + y ) x + yx+yz+y 且 几) z ，( o ) + 士，b + y ) ；上，b + y ) 石+ vx+y工+ v 故，仁) + ，p ) z ，仁+ y ) ，即，是次可加的。 结合定理2 4 和引理可以得到下面的推论： 推论2 1 设c l ，c 2 分别是由生成元仍，伊2 所生成的阿基米德c o p u l a ，若 吼。妒2 【_ l 】是凹的，则c 。s c 2 。 证明：由于妒。妒：一1 1 ( o ) ；o ，且由已知吼。妒：是凹的，则由引理伊，。妒2 - l 】 是次可加的，故由定理2 3 知c ，s c ：。 推论2 2 【5 1 设c ，c ：分别是由生成元妒，伊：所生成的阿基米德c o p u l a ，若 堕在( o ，1 ) 上是非降的，则c 。s c ：。 妒2 证明：设g 是( 0 ，。) ( o ，。) 上的函数，且满足g ( | ) ：趔，这里 ，0 ) ；讫。驴：【一1 1 0 ) 西南交通大学硕士研究生学位论文第11 页 假设塑在( o ，1 ) 上非降的，由于g 。伊：。旦是非降的，且妒。是降的，从 甲2 甲2 而g ( f ) 在( o ，m ) 上也是非降的，故对所有的x ，_ ) ，zo ， x k 扛+ y ) 一g b ) 】+ y k b + y ) 一g g ) 】s o ，即b + y k b + y ) s 昭b ) + 粥( y ) ， 故，o ) 一占( f ) f 是次可加的，因此c ，s c ：。 以上定理和推论为阿基米德c o p u l a 之间大小关系的比较提供了很大方 便，也为c o p u l a 在系统研究中的应用奠定了基础。 2 3 3 生成元族 这一节我们首先介绍从单个生成元出发来构造阿基米德c o p u l a 生成元族 的方法。假设妒是一个生成元，从这样一个生成元我们可以构造出一个生成 元参数族，而这个参数族又可以构造出一个阿基米德c o p u l a 族。 这里定义q = 知i 湿 o ，1 一 0 。o 止连续的严格降的凸函数，且妒( 1 净o 。 定理25 嘲设妒q ，且口，卢是正实数，记，o ) 一伊g 。) ，吼，口o ) = k ( f 冲 ( 1 ) 若卢1 ，则吼口是q 中的一个元素； ( 2 ) 若d ( o ，1 ，则吼，是q 中的一个元素； ( 3 ) 若妒是二阶可导的，且f 妒，( f ) 在( o ，1 ) 上是非降的，则对所有的a ) o ， 1 q 。 此定理只要证明吼，。满足连续的、严格降的、i 兀】的，且妒。，p ( 1 ) 一。和 。( 1 ) = o 这四个条件就可以了，由已知条件这四点可以很容易得到。 以后我们称，卜成元族切叫q i ( f ) = 妒6 “) j 为和妒有关的。族，生成元 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 2 页 族切。，q i 妒。，o ) ，k ( f 矿 为和伊有关的卢族。 定理2 6 设妒q ，且，o ) 妒i “) ，吼，( f ) - k ( f 妒，又假定r 妒。，口 分别生成c o p u l a c ，c ，口( 这里卢1 ，a 是( o ，。) 中的子集4 当中的元素 且子集中包含( 0 川) ， ( 1 ) 若1s 卢1s 卢2 ，则c l ，ns c l ，如 ( 2 ) 若在( o 1 ) 中对所有的口，妒峙o 汗) 是次可加的，且q ，。：都属于爿， 则口1 d 2 意味着c 1s c 1 。 砚靴邬艮剖撕舻腓黼舢推龅z 可知 l 1 ，ns l l ，卢z 。 ( 2 ) 由弧哦胁妒咿。吼由日知。始) 是次可加的，结 合定理2 3 可知c 1 c 1 。 例题2 1 设妒0 ) ：兰一1 ，考虑由生成元吼，。( 这里口) o ) 生成的a 族。 这罩妒哆【- 1 地汗) ；o + 1 广一1 ，通过求导可知妒峙【卅( f ) y ) 是凹的，并且 妒峙 1 1 ( o ) y ) ：o ，因此由上面定理和推论2 1 可知，此c 。p u l a 族中的元素随着 n 的增女而增大。 西南交通大学硕士研究生学位论文第13 页 第3 章几类常见系统 3 1 系统的简单介绍 一般来说，由一些基本部件( 其中也包括人) 组成的完成某种指定功能 的整体称之为系统。系统的概念是相对的，例如一个核电站可以看成一个系 统，其中的安全保护装置可以看成它的一个部件，但是如果我们单独的研究 安全保护装置则可以把它看成一个系统，它也是由某些部件组成的完成某种 指定功能的整体。系统( 部件或产品) 寿命与许多因素有关，对同一产品在 同样环境下使用，由于规定功能不同产品寿命将会不同。 定义3 u j i j 纠假设用一个非负随机变量盖来表示系统寿命，且x 相应 的分布函数为f o lf = o ，则系统在时刻f 以前都正常的概率即系统在时刻f 的生存概率为r ( f ) = p 忸，f ) = 1 一f o ) = f ( f ) ，r o ) 称为该产品的可靠度函数 或可靠度。 可靠度理论中还有一个重要概念：失效率函数 定义3 2 【3 3 】3 4 1 设产品的寿命为非负连续型随机变量，其分布函数为f 0 ) ， 密度函数为，o ) ，定义r ( f ) 一；黯( 其中f f ，o ) c 1 ) ) 为随机变量x 的失 效率函数，简称失效率。 r 0 ) 的概率解释是：若产品工作到时刻f 仍然正常，则它在o ，f + 缸】中失效 的概率为p 忸sr + 血i x ，r ) ：型样，则 溉盘掣谗掣= 器_ ，( 班 酊_ o f a ，- o f 产i fjf i rj 当出很小时，p 忸s f + f i x ，f ) 一r o p ，因此，o 沁表示浚产品在f 时刻 西南交通大学硕士研究生学位论文第14 页 以前正常工作的条件下在o ，f + 中失效的概率。 定义3 3 3 5 1 假设系统的失效率函数为r o ) ，则系统在f 时刻累积失效为 a g ) 2 上r o 协。 由硎) = 锱删川= 上黯一n ( f ) ) 刊n 删 定义3 4 3 6 1 假设系统的可靠度函数为尺0 ) ，若初始时刻f ；o ，则系统在 bf 时间内的平均寿命为m 玎，= f r ( ，如。 3 2 串联系统 一个由，1 个部件构成的系统，若h 个部件中有一个失效则系统就失效，称 此系统为h 个部件的串联系统。 一口一口口一 由，1 个部件组成的串联系统中，假设第f 个部件的寿命为z ，可靠度为 r j ( f ) ，f ；1 ，2 ，n 并且假定n 个部件是相互独立的，若初始时刻所有部件都 是新的，且同时开始工作，则此系统寿命为x = m i n 忸。，x ：，x 。) ，系统 在任意时刻f 的可靠度为j r ( f ) ，这里 r o ) = p m i n ( x 。，x ：，x 。) ，f ) = p 忸，f ，x ：，f ，x 。，f ) = n 尺：o ) 设系统在f 时刻的累积失效率为a ( f ) ，各部件在f 时刻的累积失效率为 o ) ，则a ( f ) = 一1 n r ( f ) = 一荟1 n r ( f ) 2 著一1 n r ( r ) 2 著a 疋) 。 因此，个山独立部件组成的串联系统在f 时刻的累积失效率为各部件在 f 时刻累积失效率? 和。 西南交通大学硕士研究生学位论文第15 页 系统的平均寿命朋刀下：f 月o 谚= f e - ( 出；f 。一；“么 当月；( f ) 一e x p _ 雄) ，f = 1 ，2 ，n ，即当第f 个部件的寿命遵从参数 的指 数分布时，系统在f 时刻的累积失效率和平均寿命分别为 a o ) 2 善枷 m 旺t f ! 一 善 3 3 并联系统 个由n 个部件组成的系统，若只有当系统中h 个部件全部失效时系统失 效，则此系统为，1 个部件的并联系统。 习 n 个部件并联所组成的系统中，假设第f 个部件的寿命记为x ；，可靠度为 r 扛) ，f = 1 ，2 ，h ，并且假定z 。，x ：，x 。相互独立。若初始时刻所有部件 都是新的，且同时开始工作，则并联系统的寿命为x = m a x 。，：，x 。) ， 且系统的可靠度为r o ) = p m a x 伍。，石：，x 。) f ) = 1 一p m a x ( x ，x ：，x 。) s f ；1 一p 忸1 f ，x 2s f ，一，x 。f ) = 1 一兀 1 一r 0 ) 】 西南交通大学硕士研究生学位论文第16 页 系统在时刻t 的累积失效率为川一l n 心| - l n 1 一n 1 _ r m ) ) ， 平均寿命m 册2 触如2 f - 一i ：i m t 。妒 3 4 串一并联系统 如图所示的系统为串一并联系统： 田 假设x i 表示部件移的寿命，x ；表示各子系统的寿命( 其中f = 1 ，2 ，研； ，= 1 ，2 ，h 。) 。若各部件可靠度分别为民( f ) ，且所有部件寿命都相互独立， 则系统在任意时刻f 的可靠度 尺0 ) ：p ( m i n 。，x ：，x 。) ，f ) = p ( x 。) f b ( z ：) f ) p ( x 。) r ) ； 1 一p ( z 。s f ) 】 1 一p ( z ：s f ) 1 一p ( 盖。s f ) = 【1 一p ( m a x 忸，x 。：，x ，。) sr ) j 【1 一p 【m a x 。，x 。：，x 。j sr ) j ；b p ( x ，s f ) p 恤。s f ) j b p ( x 。，s f b ( x 。：s f ) p ( 。s f ) j = 外妒啪) 当每个并联系统中部件个数都是n ，即n 。= n ：= n 。= ”，且m 个并联 子系统中所有对应部件都相同即 曰曰；。固 一 一 一 1 j 田田；田 田曰 西南交通大学硕士研究生学位论文第17 页 r o ) 篁r ：。( f ) 兰 马：( r ) = r ：o ) = 暑r 。( f ) = r 。( f ) = r ，：o ) = r ：o ) 墨( f ) 一r ：。e ) 一一r 。( f ) = r 和) 眦朋吨a 川幺此哪) 十豇m p 且系统在t 时刻的累积失效率即为删一n 一心o - 平均寿命为 一= f m m 朋p 3 。5 并一串联系统 如图所示的系统为并一串联系统 一田 一目 一田：一曰 假设x 。表示部件玎的寿命，x ，表示各子系统的寿命( 其巾 f = 1 ，2 ，m ；，= 1 ，2 ，l ：) 。若各部件可靠度分别为尺i o ) ，且所有部件相互 独立，若初始时刻所有部件都是新的，且同时开始工作，则此系统在任意时 刻的n j 靠度为 西南交通大学硕士研究生学位论文第18 页 r ( f ) = p ( m a x ( x 。，x 。，x ，) ，f ) ；1 一p ( m a x 伍。，z 。，x 。) s f ) = 1 一p ( x 。 f ) = 一l n 1 一p ( m a x ( x ，。，x ：一，。) s f ) 】 = 一l n 1 一c ：( e 。o l 疋。o 卜，。0 ) ) 】 ：一l n ( 1 一c ：0 一a ( 1 一0 1 1 一，2 0 l ，1 一只t ) x ，1 一e 。( 1 一f 1 0 1 1 一只o l ，1 一只o ) ) ) j 。一l n ( 1 一c ：( 1 一e 。( _ 巾) ，e “m 1 1 ，1 一e 。( e “m ) ，e “) ) ) ) 并一串联系统的结构函数为 a ：0 ) = 也( a 。o la ：o l ，a 。o ) ) = 一l n p ( m i n ( 盖，。，x ：，x 。) ，f ) = 一l n 0 伍。，f ，z 。，r ，x 。，t ) ) = 一1 n e 。( 1 一f l 。0 一r 。( f l ，1 一f o ) ) = 一1 n e 。( 1 一c ，( f 1 ( f lf 2 0 l e o ) x ，1 一c ，( f l ( f 1 只( f l ，o ) ) ) ：- l n o 。( 1 一c 3 0 一e 州，1 一e ( f ) 卜，l c 3 ( 1 一e “巾，1 一e “ ( f ) ) ) ：- l n c ：【1 一g ( 1 一e “怫1 1 一e “ ) 卜1 - e ，( 1 一e “ ) ，t 1 1 一e “) ) ) 由对偶结构函数的定义 a ：0 ) = 卯( a ，( f la ：t 1 t - ，a 。g ) ) 西南交通大学硕士研究生学位论文第3 4 页 = 一l n i j e 一一l l n 一p 一“l l _ 一l n h e 一“- “l j ；_ 1 n c ：( 1 一g ( 1 一e “ ) ，1 一e “1 ，1 一a ( 1 一e “l ( r ) ，1 一e “) ) ) = a ：( f ) 故命题中的串一并联系统和并一串联系统互为对偶系统。 命题4 8 由三个部件所组成的2 3 ( g ) 表决系统，若部件寿命之间具有 c o p u l a c ，“，“：，“，) ，则其对偶系统也是2 3 ( g ) 的表决系统，并且部件寿 命之间具有c o p u l a c ：0 。，“：，“，) ；e 。0 。，“：，“，) 。 证明：设系统中各部件可靠度分别为r ，o lf = 1 ，2 ，3 ，且各部件在任意时刻 f 的累积失效率分别为a