（计算数学专业论文）具有间断流函数的守恒律方程的初值问题.pdf

摘要 双曲型守恒律方程是偏微分方程中的一类重要方程，它反应了自然界 的波动现象，特别是欧拉方程，在气体动力学中，反映流体质量、动量、能 量守恒等重要现象。在流体力学中两相流，多孔媒介渗透，以及交通流中 等，通过守恒关系，得到具有间断流函数的守恒律方程的数学模型关于 这种模型方程的理论较少。在本文中，我们研究具有间断流函数的单个守 恒律方程的初值问题给出了r o z l k i n e - h u g o n i o 关系和全局熵条件，得到具 有间断流函数的单个守恒律方程的r i e m a n n 解；通过研究三片常数初值的 c 8 u c h y 问题，详细地讨论了基本波的互相作用；给出一种在空间上具有间 断流函数的守恒律方程改进e - o 格式，并利用这种格式给出相关情形的数 值模拟，而且数值模拟结果和上面的理论分析一致 格式 关键词：守恒律方程间断流函数基本波初值问题 e - o a b s t r a c t t h eh y p e r b o l i cs y s t e mo fc o n s e r v a t i o nl a w sp l a y sas p e c i a li m p o r t a n tr o l e i np a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i tr e s p o n d st ow a v ep h e n o m e n ai no u rn a t u r e ， e s p e c i a l l ye u l e re q u a t i o n ss y s t e m su s e di nt h eg a sd y n a n f i c sw h i c hr e p r e s e n t s t h e s ei m p o r t a n tp h e n o m e n ao fm a s s ，m o m e n ta n de n e r g yc o n s e r v a t i o n s i nf l u i d d y n a m i c s ，f o re x a m p l e ，t w o - p h a s ef l o wi np o r u sm e d i a ，t r a f f i cf l o wa n d s oo n ，w e o b t a i nm a t h e m a t i cm o d e lo fc o n s e r v a t i o nl a w sw i t hd i s c o n t i n u o u sf l u xa c c o r d i n g t os o m ec o n s e r v a t i o n a lr e l a t i o n s b u tt h et h e o r ya b o u ti t i sp o o r i nt h i sp a p e r ， w es t u d yi n i t i a lv a l u ep r o b l e m sf o rc o n s e r v a t i o nl a w sw i t hd i s c o n t i n u o u sf l u x w e g i v er m l k i n e - h u g o n i o tr e l a t i o na n dt h eg l o b a le n t r o p yc o n d i t i o na n do b t a i na l l t h es o l u t i o n so ft h er i e m a n np r o b l e mf o rc o n s e r v a t i o nl a w sw i t hd i s c o n t i n u o u s f l u x b ys t u d y i n gt h ec a n c t l yp r o b l e mo ft h r e ep i e c e w i s ec o n s t a n t s ，w ed i s c u s s t h ei n t e r a c t i o no fe l e m e n t a r yw a v e si nd e t a i l d e s i g na ni m p r o v e de os c h e m e w i t had i s c o n t i n u o u sf l u xf u n c t i o ni ns p a c ea n dp r e s e n ts o m es i m u l a t i o n st a k i n g a d v a n t a g eo f t h i ss c h e m e t h er e s u l t so ft h e s es i m u l a t i o n sa r ec o n s i s t e n tw i t h t h ea b o v ea n a l y s e s k e yw o r d s ： c o n s e r v a t i o nl a w sd i s c o n t i n u o u sf l u xf u n c t i o ne l e m e n t a r yw a v e s i n i t i a lv a l u ep r o b l e m se os c h e m e 1 1 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作除了文 中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表或撰写过的 研究成果参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均已在论文 中作了明确的说明并表示了谢意 签名影嘶嘛晒一f c 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留，使用学位论文的规定，即：学校有权保 留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全 部或部分内容 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：导师签名： 日期 2 0 0 5 上海大学硕士学位论文 第一章引言 1 1 概论 很多领域中的数学模型都可以用偏微分方程来描述，很多重要的物理、 力学学科的基本方程本身就是偏微分方程。从微积分理论形成以后不久，人 们一直用偏微分方程来描述、解释或预见各种自然现象，并用于各门科学 和工程技术，不断地取得了显著的成效。以应用为目的或以物理、力学等其 他科学( 包括数学的其他分支) 中的问题为背景的应用偏微分方程的( 定性 及定量的) 研究，不仅是传统应用数学的一个最主要的内容，而且是当代数 学中的一个重要的组成部分，它是数学理论与实际应用之间的一座重要的 桥梁。研究工作一直非常活跃，研究的领域日益扩大。 偏微分方程的兴起已有两百多年的历史了在2 0 世纪以前，人们多是 直接联系着具体的物理或几何问题来讨论各种偏微分方才在1 9 世纪与2 0 世纪之交，由于材料的大量积累，开始出现了新的变化1 9 0 0 年，希尔伯特在 巴黎的国际数学大会上提出了著名的2 3 个数学问题，其中有好几个都提出 了建立系统的偏微分方程理论的必要性。这实际上孕育了现代偏微分方程 理论的问题与方法的萌芽其后出现了偏微分方程( 包括线性与非线性的) 巨大发展，问题不断深化，新概念，新方法层出不穷二，三十年代兴起的希 尔伯特空间方法，在s o b o l e v 空间理论基础上建立起来的泛函分析方法，以及 五十年代出现的广义函数论( 即分布理论) 已成了常规”武器”。这样许多经 典的方法进一步发挥了重大的作用。进入六十年代后期，几何拓扑概念和 代数概念的渗入又在强迫着人们实行或准备实行”设备更新”。六十年代以 后，拟微分算子理论，f o u r i e r 积分算子理论，微局部分析，超函数理论等新的 强有力的理论和工具，不仅极大地改交了线性偏微分方程的面貌，并开始应 用干非线性偏微分方程的问题，使偏微分方程理论更加丰富所以，我们看 到偏微分方程的研究不仅是历史不衰而且是方兴未艾 偏微分方程一般可以分为双曲型，椭圆型和抛物型偏微分方程三种类 型。其中这三大类方程的典型代表分别是波动方程，拉普拉斯方程和热传导 方程。双曲型方程反映了自然界的波动现象( 例如一维的波动方程反映了 弦的振动规律，二维、三维的波动方程分别反映了水波，声波的传播规律) ， 它的应用十分广泛，而且理论成果也十分丰富如在流体力学，气体动力学 2 0 0 5 上海大学硕士学位论文 2 等中的应用。其中最具有典型的是一维定常流的欧拉方程( 组) ，它反映了理 想气体在流动过程中所要遵守的质量，动量及能量的守恒律，它们分别对应 着连续性方程，运动方程和能量方程而且在交通流，两相流，多孔媒质渗透 等方面也有广泛的应用。 1 2 研究背景 许多物理现象都遵循守恒律，例如某些物理量( 质量、动量，能量等) 在 空间某一区域内总量的变化量等于其通过此区域边界时内部的净流量( 假 定没有能量损耗) 这样，守恒律方程被许多研究领域作为现象模型，如空 气、流体动力学，交通流以及流体中固体微粒的沉积等一维守恒律方程的 理论成果已经发展得很丰富( 如【2 - 4 ，7 1 0 ，2 3 27 】) 在这篇文章里，我们主要 考虑具有间断流函数的单个守恒律方程模型( 如下面的方程1 1 ) 这个模 型出现在很多方面，如石油工业中的溢水问题，废水处理工业中的连续沉积 模型，半导体工业中的运用离子刻蚀术，交通流，两相流，多孔媒介渗透等 其中在交通流模型里，扛，t ) 表示汽车密度，( ) 表示单位时间内的汽车流 量，e 扛) 表示高速路路面状况的改变量近年来，一些作者关注这个模型并 发展了一些理论，如f 1 2 - 16 1 。 本文主要做了下面两个方面的一些工作： 一，具有问断流函数的单个守恒律方程的基本波的互相作用 本文主要研究7 具有间断流函数的单个守恒律方程 啦+ ( ( z ) ，( “) ) 。= 0( 1 1 ) 其中： ，= 拦 z ， 且分别带有初始值 。( 圳) ：。( z ) ： 钛 ( 1 3 ) i “，。 0 z o z 0 。记) 、( u ) = ，( “) ，则它是单调 连续函数。为了构造( + ) 的解，我们给出关于( + ) 的一些基本概念 2 1 基本知识 对于单个守恒律方程，因为我们仅限于考察实函数，所以单个守恒律 方程( + ) 总是双曲型的。 定义2 1 1 如果函数“及其一阶微商在某一区域内n 连续，且满足方 程( + ) ，则称“为方程( + ) 的古典解 众所周知( 见【9 ，【2 3 1 ) ，方程( + ) 的连续可微的解即古典解可能不存在 因为即使所给的初值“o ( z ) 十分光滑，方程( t ) 的解随着时间的发展也可能 产生间断，但是含有间断的解不再按古典意义满足方程一) 。因此我们须寻 找满足下面形式的弱解( 见【3 6 】) 。 定义2 1 2设方程( + ) 带有初值u ( z ，0 ) = u o ( z ) ，咖( 。，t ) 是( o ，t ) 平面的 具紧支集的无穷阶连续可微函数，即c 字( r 【0 ，+ o 。】) ，如果对任意的 c 铲( r 0 ，+ o 。) ) 都有以下关系式成立 ，o 。r + o of + ( “也+ ，( ) 九) d x d t + 乱o ( 。) 咖( 赋o ) d x = 0( 2l 1 ) j o j 一。 j 一。 则称有界可测函数u ( x ，t ) 是方程( + ) 的弱解， 2 0 0 5 上海大学硕士学位论文 6 定义2 1 ，3设“( z ，t ) 是方程( t ) 的一个弱解，而且除了在有限条光滑 曲线上它有第一类间断外，在定义域的其余部分它具有连续的一阶徽商，则 称u ( x ，t ) 是一个分片光滑解。 在实际应用中受到较多关注的是分片光滑解的间断解在分片光滑的 问断解之中，闻断线两侧的解应该满足如下的r a n k i n e - h u g o n i o t ( r - h ) 条件： a ( u e ，u ，) 川= ，( u ) 】 ( 2 1 2 ) 其中口( 毗，u ，) ：警称为间断速度，z = z ( t ) 是方程( + ) 的解的间断线，u 和 ，分别是间断线两侧的分片光滑解其中“f = u ( ) 一0 ，味u r = l z ( t ) + o ，t ) ，阻】= “，一毗和【，( u ) = ，( “，) 一，( u ) 分别稚为量u 和，( 让) 穿过间断线 时的跃度。 我们知道对于同样的初值u 0 扣) ，一个很自然的问题就是这个不连续解 在物理上是否是可容许的唯一的，那么我们就将介绍可容许判别准则( 稳 定性判别准则) ( 见【2 5 1 ，【2 6 1 ， 2 7 1 ) ：l a x 几何激波不等式( 熵条件) ，即对波速a 有： a ( “，) t r ( u ，t 蚌) 0 的疏散波( r ) 及 激波( s ) 的各种互相作用，通过它们的互相作用，就可以完全构造出带有初 值的问题的解( 见f 6 ) 。 我们考虑初值为如下的c a u c h y 问题： u ( o ) = u o ( x ) =( 2 3 1 ) 2 3 1 一个中心疏散波( r ) 追赶一个中心疏散波( r ) ：r r 我们考虑砸 “。 坼这种情形( 见图形2 1 ) 可以看到出现两个中心 疏散波： r l ：；= ，m ) ，毗茎u r n ； r 2 ：；= ，7 心) ，乱m s u u ， 因为冗l 的波前速度和飓的波后速度都等于，( “。) ，所以这两个疏散波不 会出现重叠互相作用现象 0 叭 o 茁 “， “。 t o 时不再是一条直线。但在i f = 意给定的很小邻域内， 我们仍然可以把它看作直线从而，我们也可以得到同样r 一日的可容许稳 警：嘶( 邢) 十o 窥心一。泓) = 丽i f 其中： u = “扛( t ) + 0 ，t ) 一“ ( t ) 一0 ，t ) ，【f = ，( u ( z ( f ) + 0 ，t ) 一，( u 扛 ) 一0 ，t ) ) ， 稳定性条件仍然保持一致。这个激波传播速度一是通过下面式子来决定的， 即： 蒜d x 。= ，：a ( 。u 。“) a 。，：；，。，；。， c z 。2 ， 因为：z = a ( t ) t = ，( n ) t ，则： 寨刮，( u ) 面d u + ，( u ) 又有： 堂：! 垫l 幽 訾_，(“)圳(”)面duugu 丽厅笳券矿而= 生t ( 2 3 1 3 ) ( ，( 札) 一，( u ) ) ( u 一“) 一，( u ) 、 。 f ( u ) a u ( ，( u ) 一f ( u ) ) ( u t 一“) 一，( “)= f 警地三t o ( “函舛) ( 2 。4 ) 图形2 3 2 0 0 5 上海大学硕士学位论文 1 0 ( 1 ) 如果，= 毗，我们可以清楚地看到当u 。墨u 0 。守恒律方程( 3 1 1 ) 在许多模型中出现过，例如：交通流是最 简单莳模型( 见f 1 6 ) ，另外一个是在多空渗透媒介中的两相流问题星( 见 1 2 】，【1 4 】， 1 3 ) 。在【6 】中，张和肖详细地讨论了下面单个守恒律方程的基本波 的互相作用： 饥+ ，( u k = 0( 3 1 2 ) 其中，( u ) 是光滑非线性函数。这些具有光滑流函数的单个守恒律方程的 弱解的存在和唯一性可以在一些经典论文中得到，如：o l e i n i k 和k r u z k o v 的 【2 3 和【2 4 】等。关于具有间断流函数的单个守恒律方程( 3 1 ) 的类似结论可 以在 1 和【1 2 h 1 6 中看到在本章中，我们构建了具有间断流函数的守恒律 方程( 3 1 1 ) 的初始值问题的解，详细地讨论了方程( 3 1 1 ) 基本波的互相作 用在下面第一节里，我们给出一些必要的有关知识 3 2 r i e m a n n 问题 这一节，我们将给出方程( 3 1 1 ) 的r i e m a n n 问题及有关一些概念。我 们考虑方程( 3 1 1 ) 的r i e m a n n 问题： 心 0 ) = k 鬟 ( 3 2 1 ) 弄丑 地，= 乏蒜 z 其e e ，肆，“，u f 是常数。从有关物理背景( ，( u ) = “m 一1 ) ) ( 见【1 5 】， 1 6 1 ) 知 2 0 0 5 上海大学硕士学位论文 1 2 道，我们能假设，( n ) 满足下面的条件 ，( “) c 2 n ，b 】，”( “) 0 ，u ( n ，6 ) ，( o ) = f ( b ) = 0( h 1 ) 为了简单起见，不失一般性，我们可l ；c 设 肆 0 ， 珏，“( g ，b )( h 2 ) 则，我们很容易得到下面的结果( 见图形3 1 ) 引理3 1 如果l 妯e m a n n 问题( 3 1 1 ) 和( 3 1 2 ) 满足假设皿和h 2 ，则 ( 1 ) 存在u 0 1 ，“，u o ( n ，b ) ，u o l u o u 0 2 ，使得： k f ( u o ) = k r f ( u 0 1 ) = ，( u 0 2 ) ，和，( u o ) = o ； ( 2 ) 存在u n ，札船a ，6 ) ，“l u u 9 2 ，使得： h ，( 毗) = b ，( 咖1 ) = 坼f ( u 2 ) 。 k g f 图形3 1 我们在广义的意义下寻求r i e m a n n 问题( 3 1 1 ) 和( 3 1 2 ) 的弱解。这 个问题的弱解唯一性需要满足下面的r a j l k i n e - h u g o n i o t 关系和全局熵条 件( 见 1 5 1 6 】，1 3 7 】) 在下面以后的文章里，我们记： + 。当器u ( 墨) ，= l i mu ( x ，t ) 。 t h er a n k i n e 。h u g o n i o t ( r - h ) 关系： ( 1 ) 在= 0 的区域里( 表示间断线两边的跳跃值) ；“，盯u ，其 中，a 表示间断线的传播速度( 它和连续的流函数情形是类似的) ，见( 【8 】，【1 3 和【1 2 ) ； ( 2 ) 在【k 0 这个区域里，乜，( 一) = k ，f ( u + ) 。 2 0 0 5 上海大学硕士学位论文 1 3 全局熵条件： ( 1 ) 在 k = 0 区域里，熵条件和连续流函数的情形是一样的( 见 8 】， 1 3 】 和 1 2 ) ； ( 2 ) 在嘲0 这个区域里， “一一u + 取最小值 则，在x o ( 啤 = 0 ) 这个区域里，问断解就是激波；在。= o ( 嘲0 ) 时， 它是一个线性间断( l d ) 因此，守恒律方程( 31 1 ) 和( 31 2 ) 的基本波就包括疏散波，激波，线性间 断( l d ) x = 0 。 3 3 r i e m a n n 解 我们仅须要考虑u l u ，可以用同样的方 法得到。前者包括下面三种情形： 1 u t u r u o ，2 札l u o “r ，3t 正o u l u r 通过上面的r a n k i n e h u g o n i o t 关系和全局熵条件，在下面各种情形，我 们可以逐个得到相应的r i e m a n n 解。 情形1 “l ， o ，这种情形包括下面两种情形： 情形1 1 “f “， “o l ，它的解在图形3 2 完中全表示出来，它由一个 疏散波r ：x = k , f 7 ( u ) t ，毗s “一和一个线性间断( l d ) x = 0 构成，这个 线性间断( l d ) x = 0 连接u 一和u + ，其中u 一和”+ 满足k l f ( u 一) = b ，( “，) 和 “+ = u r 。 t 忒 = u ， u 。 图形3 2 情形1 2u o l u ，这种情形的解被表示在图形3 3 中。它是由一个疏 散波r ：x = ，( 珏) ，诎s “让o ，一个连接咎一= u 6 和让+ = “0 2 的线性间断 ( l 。) z = 。，和一个激波s ：d 出x x = 生垡掣构成 l 2 0 0 5 上海大学硕士学位论文1 4 l u 圈形3 3 情形2 毗 u o ，这种情形包括下面两种情形： 情形2 1 “， “0 2 ，这种情形的解与情形1 2 的解类似。 情形2 20 2 u ，我们可l ；i 通过图形3 4 清楚地看到，它的解由以下 几部分构成：一个疏散波r ：z = k e f ( “) t ，毗su “一= “o ，一个连接一和 “+ 的线性间断( l d ) x = 0 ，一个疏散波r ：。= k r f ( ) t ，u + ，这里u 一 和u + 满足k , f ( u 一) = ，( “，) 和u + = u 0 2 。 船， 忒矽 图形3 4 情形3u o “ u ，这种情形包括以下两个情形： 情形3 1u ， u 腔，我们很容易从下面图形3 5 清楚看到它的解由下面 两部分构成：一个连接“= “，和u + = u 晚的线性间断( l d ) x = 0 ，和一个激 波s ：i d x ：k r ( u ( u r ) - - f ( u + ) ) 。 d c u r 一“上 2 0 0 5 上海大学硕士学位论文 1 5 o 图形3 5 情形3 2 “船 u ，它的解是由一个连接u 一= 抛与u + = “2 的线性间 断( l d ) x = 0 ，和一个疏散波r ：z = k r f 7 ( u ) t ，u o “，构成。可以参照图 形3 5 ，右边的激波变成疏散波，也可以参照图形3 4 的右边。 3 4 基本波的互相作用 现在我们考虑守恒律方程f 3 11 ) 带有三片常数初始值的c a u c h y 问题 u 扣，0 ) = u o ( x ) =( 3 4 1 ) 这里“2 ，；和坼是常数，且勘 0 ，啦， 。，n ，( o ，6 ) 。我们也仅颁考虑这种 毗 “，我们也可以用类似的方法可以得 到。前者有三种情形：l 啦 钍m “，2 性m 蛳 珏，3 f 撕 乱m ( 这 种例子和前面两种是类似的) 现在我们就详细讨论情形1 和情形2 。 情形1u “。 “，它包括下面两种情况： 情形1 1 毗 u o ( 1 ) 啦 u m “o ( 1 a ) 毗 u 。 ， u 0 1 ，它的解是由一个连接啦与u 一= “o 的疏散波 ( r ) 和一个连接u 一与“，的线性间断( l d ) = 0 组成正如图形3 6 清楚地 表示 0( 。o z 茁 o “ m n 珏 让 珏 ，、【 2 0 0 5 上海大学硕士学位论文 1 6 l t r 、u 一u 。= u ， 刘 “r 图形3 6 ( 1 b ) 珏f 让m 蛳1 t b u 啦，它的解由下面三部分构成：一个连接钍 与u = u 。的疏散波( r ) ，一个连接“一与u ，的线性问断( l d ) = 0 ，和一个 连接“+ 与u ，激波( s ) ，我们省略它的图形。 ( 1 c ) m u 。 u 【) 2 “，它的解是由一个连接咖与“一= “o 的疏散波 ( r ) ，一个连接u 一与u 0 2 的线性间断( l d ) z = 0 ，以及一个连接u + 与u ，的疏 散波( r ) 构成。根据前面的情况，我们也容易画出解的图形，也省略它的图 形 ( 2 ) u 蛳 u m ( 2 a ) 蛳 “o u 。 o ，”( u ) o ，所以我们得到： 警 t 1 时，激波s ：z = x ( t ) 的曲线正如图形3 7 所示 ( 2 b 1u u o u m 0 2 “， “m 2 ，它的解和上面情形( 2 a ) 相似，只是 右边的激波s 不能穿透疏散波珥。 ( 2 c ) p o m 札m 2 u r 它的解由下面几部分构成：一个连接珏 与u 一，其中u o “珏m 的疏散波，一个连接u 一与札+ ，其中 0 0 2s u + 墨u m 2 的线性间断( l d ) 。= 0 ，两个疏散波( r ) ，它们连接u 0 2 ，2 和u r ，正如图形 3 8 所示。其中r l ，r 2 ，r 3 分别为： r l ：x - - _ x 0 = 觑，( ) ， m “墨u m r 2 ：者= k r ，协) ， u 睨 “s 岫 r 3 ：4 7 = ，7 ( u ) ， 仙m 2 u u r 其中，t 一2 丽- - x 0 ，咖 u s “m k t f 0 0 情形1 2 ”o u 赫蕊善主漩嚣淼s 冀窭攀： 我们可以容易知道它的全部解图形右边的激波：i = 竖i 二寺型， “u + “。2 将穿透疏散波兄：f 兰( = k ，( m p ) ，“2 u + t 啪而变成 一个新的激波s 1 ：塞咄訾。 2 0 0 5 上海大学硕士学位论文 1 9 l k s 1 么爹 图形3 9 ( 2 ) u o u ，啦2 “， u 。2 ，这个情形和上面的情形是相似的，只 是右边的激波( s ) 将在无穷远处穿透疏散渡( r ) 。 ( 3 ) o u 。，“。2 u ，这种情形也和上面的情形相似，只是右边的 激波( s ) 不能穿透疏散波( r ) 。 情形2 “。 啦 ， 情形2 1u m u t t 0 ( 1 ) “0 1 ， t l 时，激波s ：z = z ( ) ， 面2 产八“ l 挝夕 图形3 1 0 证明：在t t 1 时，激波s ：z = x ( t ) 是由下面式子决定 d z 出 兰= t z ( t l ：地l 丛! u t 正f ，( “) ，( t ( m u o ，”( u ) 0 ，所以我们得到： 豢 o ( 圳- ) 则：当t t l 时，左边的澉波s ：z = x ( t ) 曲线正如图形3 1 0 所示。 ( 2 ) u 。 毗 u o ，u ， u 0 1 它是和上面情况类似的，但是u 一满足 k f f ( u 一) = k r f ( u + ) ，“+ = u ，我们可以看图形3 1 1 。 图形3 1 1 r | 一 t 忒 “- = u u 。 2 0 0 5 上海大学硕士学位论文 2 1 ( 3 ) u 。 毗 u 0 2 ，这种情形和上面的情形( 1 ) 类似，不同之 处在于线性间断右边不是一个激波而是一个连接u + = “o 。与u ，的疏散波 r ：；= k ，( 钍) ，u 0 2 “， 情形2 2 仳m “o 0 2 u ，k o ，我们得知：盯1 0 2 ，这样激波 u 0 2 一 s 1 将在某个有限时刻t = t 。追上激波s 2 ，从而又形成另外新的激波岛 塑一 她尘二! 竺! ! d 钍n 一坼 ( 2 ) u 0 2 坛激波z = z ( ) 有警 o 证明：从上面的讨论及图形3 1 3 ，我们得知在t t l 时，激波z = z ( t ) 是 由下面式子决定的： f 鲁= 坼訾，u m u “ ；= 辞，( “) ，“。2 “s ”， ( 3 - 4 1 0 ) 。) 锄， 由( 3 3 1 0 ) 的第一式关于t 求导得到： 2 0 0 5 上海大学硕士学位论文 丽d 2 x = 磊d ( 面d x ) = 磊d ( 砖訾) 咄尘迪岽嚣掣象 得到 u 9 2 - - u ) 2 丽d 2 x = m - ，( 州u 船一u ) + ( 伽回一m ) ) ) 象 ( 3 a 1 1 ) 再由( 3 3 1 0 ) 的第二式关于t 求导得： d xz 五= 叭“) 面d u ( 3 4 1 2 ) 把( 3 3 1 0 ) 的第一式和第二式分别代入上面( 3 ，3 1 2 ) 式得到 ，( u e z ) 一，) 札晗一 一坼，( “) = 辟，7 强) 面d u 面d u ：型u t 2 柰- u 掣 慨。埘 出 t ，( 1 把( 3 4 1 3 ) 代入( 3 4 i i ) ，我们得到了： ( t t 9 2 - - i t ) 2 丽d 2 x = 岛姓哿糕掣 又因为u 船一“ 0 ，肆 0 ，”( “) 0 ，所以我们有： 豢 o ，( 冰川3 ) 从而，激波z = z ( t ) ，t 2 f t 3 的曲线正如图形3 - 1 3 所示 ( 3 ) u 船 坼这种情形和上面的情形很类似，只是右边的激波s 不能穿 我们通过上面的详细讨论，已经构建了带有三片常数的初始值的c a u c h y 问题的所有解张和肖在 6 】中，在连续流函数的情况下讨论了多片常数的 c a u c h y 问题的解在间断流函数情况下，我们也可以按照上面的方法讨论初 2 0 0 5 上海大学硕士学位论文 始值是四片，五片常数，或更多片常数的c a u c h y 问题。通过讨论各种情况的 基本波的互相作用，从而构建得到每种情况的所有解。 在下面的一章里，我们将给出一种格式，并给出相关的数值模拟。 2 0 0 5 上海大学硕士学位论文2 5 第四章在空间上具有间断流函数的 e o 型格式 4 1 基本概念 在本章里，我们将介绍一神改进的e - o 型流函数的格式，并用它来处理 在空间上具有间断流函数的守恒律方程。为了简单起见，我们考虑： ( 。) ： k t , do ( 4 _ 1 1 ) i 乜， z 0 ，t 0 、 由偏微分方程的解的理论，我们知道即时所给的初值z $ 0 0 ) 是任意光滑的，经 过某个时间后，方程( 4 1 2 ) 的解也会出现不连续的解这时这个解不满足方 程( 4 1 2 ) 的，所以我们寻求弱意义下的解一弱解形式 对任意的如，t ) 栌( r r + ) ，如果满足下面的式子： f o 。( “害州训) 珈仁州嘶0 ) d 删 ( 4 ) 这里，f ( z ，u ) = h ( z ) k ，厂托) + ( 1 一h ( x ) ) k e f m ) ，其中日0 ) 是h e a v i s i d e 函数， 即： ， 日( z ) ： 1 d o 【0 ，。 o ，和。= n ， 一百a t 对于所给的初值u o ( x ) l 。( r ) ，我们再