（光学专业论文）非简并级联双光子激光器的混沌动力学.pdf

摘要 摘要 在原子和光子的相互作用中原子相干性起着重要的作用 i - 4 j 。原子相干性引起 的很多重要现象已经众所周知，比如无粒子数反转激光发射l ”，电磁感应透明l 钥， 缓慢和停止发光刚，量子计算和量子信息方法【l “以及洛伦兹奇怪吸引子的抑制 1 i j 2 1 。目前操纵原子相干性已经成为一种重要的控制量子和普通经典过程的技术。 对于原子相干性和经典动力学之问关系的研究将会更深刻的认识基础物理学。 尽管不考虑原子相干性和注入经典光场情况下非简并级联双光子激光器动力 学行为已经有人研究过 1 ”，但是到目前为止考虑了原子相干性和注入经典光场 情况下系统动力学行为还没有人研究。本工作我们考虑了原子的量子相干性和注 入经典光场，利用量子郎之万算符方法，尝试推导非简并级联双光子激光器的动 力学方程，并且通过数值方法研究原子相干性和注入经典光场对非简并级联双模 双光子激光器动力学的影响。 结论是：加入原子相干性和经典光场，系统由洛伦兹混沌状态或周期状 态产生了超混沌状态，或者系统的这种超混沌状态被抑制到周期状态或稳定 点状态。系统经由霍普夫分岔或者暂态后直接进入混沌状态。李雅普诺夫指 数和分岔图的计算也表明了这一点。 关键词：非简并级联双光子激光器；混沌；分岔；注入经典光场；原子相干性 a b s t r a c t a t o m i cc o h e r e n c ep l a y sa l li m p o r t a n tr o l ei nt h ei n t e r a c t i o nb e t w e e np h o t o n a n da t o m s t l 4 】m a n yr e m a r k a b l ep h e n o m e n ac a u s e db ya t o m i cc o h e r e n c e a r er e v e a t e d ， s u c ha sl a s i n gw i t h o u tp o p u l a t i o ni n v e r s i o n 9 1 e l e e t r o m a g n e t i c a l l yi n d u c e d 仃a n s p a r e n c y l 6 1 ，s l o wa n ds t o p p e dl i g h t 【8 9 】，q u a n t u mc o m p u t a t i o na n dq u a n t u m i n f o r m a t i o np r o c e s s i n g 1 0 】a n di n h i b i t i o no f l o r e n zs t r a n g ea t t r a c t o r m a n i p u l a t i o n o fa t o m i cc o h e r e n c en o wb e c o m e sa ni m p o r t a n tt e c h n i q u et oc o n t r o lq u a n t u ma n d e v e nc l a s s i c a lp r o c e s s e s s t u d i e so f t h er e l a t i o n sb e t w e e na t o m i ce o h e r e n c e sa n d c l a s s i c a ld y n a m i c sw i l lp r o v i d ed e e pi n s i g h ti nt h ef u n d a m e n t a lp h y s i c s a l t h o u g ht h ed y n a m i c so f n o n d e g e n e r a t ec a s e a d et w o - p h o t o n j a s e rw a ss t u d i e d i nt h ea b s e n c eo f a t o m i cc o h e r e n c e sa n di n j e c t e dc l a s s i c a lf i e l d u “t h ed y n a m i c s o f t h es y s t e mi nt h ep r e s e n c eo fa t o m i cc o h e r e n c e sa n dc l a s s i c a lf i e l dh a sn o tb e e n s t u d i e ds of a r b a s e do nt h ec a s c a d et w o - p h o t o nl a s e rd y n a m i ce q u a t i o nd e r i v e db y u s i n gt h et e c h n i q u eo f q u a n t u ml a n g e v i no p e r a t o r s w i t ht h ec o n s i d e r a t i o n so t c o h e r e n t l yp r e p a r e dt h r e e 1 e v e la t o m s a n dt h ec l a s s i c a lf i e l di n j e c t e di n t ot h ec a v i t y ， b en u m e r i c a l l ys t u d yt h ee f f e c t so f a t o m i cc o h e r e n c ea n d c l a s s i c a lf i e l do nt h ec h a o t i c d y n a m i c so f at w o - p h o t o nl a s e r l y a p u n o ve x p o n e n ta n d b i t u r c a t i o nd l a g r a m c a l c u l a t i o n ss h o wt h a tt h el o r e n zc h a o sa n dh y p e r c h a o sc a n b ei n d u c e do ri n h i b i t e d b vt h ea t o m i cc o h e r e n c ea n dt h ec l a s s i c a lf i e l dv i a 嘶s i so rh o p f b i f u r c a t i o n s k e yw o r d s ：n o n d e g e n e r a t e c a s c a d et w o - p h o t o nl a s e r , c h a o s ，b i f u r c a t i o n , i n j e c t e d c l a s s i c a lf i e l d a t o m i cc o h e r e n c e 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 研究生签名：醚丝e l 期：星q q 鱼：3 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位 论文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人 电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论 文被套阕租借阕，可以公布( 包括h 登) 论文的全部或部分内容。论文的公布( 包 括刊登) 授权东南大学研究生院办理。 研究生签名：嵫导师签 第一章绪论 第一章绪论弟一早珀下匕 关于光学系统的非线形动力学问题。特别是光学系统的不稳定性和混沌，目 前正在进行大量的理论和实验研究，意在建立一门新的光学学科混沌光学和 发展相应的高技术。 简单的说，混沌是指在确定性的动力学系统中的无规行为或内在的随机性； 混沌不是噪声，是对初始条件极其敏感的非周期的有序运动，这罩的有序是一种 混沌序。混浊与不稳定性是两个完全不同的概念，不稳定性是指系统产生的自脉 动现象。对于混沌的系统研究起源于20 世纪60 年代初洛仑兹对大气运动的研 究【1 1 。现今，人们认为混沌是一种关于过程的科学、关于演化的科学。在非线形 动力学中，对动力学系统的不稳定性和混沌的研究已相当广泛和深入。这一类确 定性的动力学系统通常由微分方程、偏微分方程、差分方程以至简单的代数迭代 方程描述，并且这些方程都是定系数的。 最先研究光学混沌的是哈肯，他在1975 年从理论上指出，描写单模激光 器运转的麦克斯韦布洛赫方程与描写大气湍流运动的洛仑兹方程在形式上 一致，从而预言激光混沌的存在1 1 4 1 。最早在实验上观察到光学混沌现象的是在 光学双稳态系统，激光的动力学行为与其它领域的动力学行为、混沌行为和湍流 行为有很大相似性i t 4 。另一方面，非稳输入、激光脉冲的弱复制、超短脉冲可 获得的线宽的限制、相干长度、辐射模式、自发无规则脉冲等等皆是由于激光内 在的非线性性质引起，所以理解激光的动力学有助于解释其它系统的丰富现象 ”。人们对于激光器、光学双稳态系统、非线性光学现象以及其它光学现象的 混沌问题的研究，已经形成了非线性动力学中的一个引人注目的研究方向。 光学混沌的研究将使人们对原子系统发光机制有新的更深入的认识，激光混 沌、散射光混沌等等都具有一系列时新性质。实验表明，光学混沌是一种可控制 的现象，因此，这方面的研究除对进一步改善激光器、光学双稳态器件以及其它 光学元器件和系统的性能有实际意义以外，光学混沌在信息科学技术方面的应用 是有潜力的，光学混沌在光计算、神经网络模拟、通讯、编码等等方面的可能应 用是显而易见的。至于那些在发展为光学混沌的途径上所经历的物理过程，将会 使人们开辟出更多的应用领域。 目前对于光学混沌的研究大多是专注于单模激光器，而对于双光子激光器动 力学的研究少见报道。双光子激光器在实验上将克服单光子激光器的某些缺陷， 并且双光子技术在光存储，光信息等领域已见很多应用报道 t 5 , 1 6 】，是一个非常值 得研究的领域。 我们考虑了原子的量子相干性和注入经典光场，利用量子郎之万算符方法， 尝试推导非简并级联双光子激光器的动力学方程，并且通过数值方法研究了原子 相干性和注入经典光场对非简并级联双模双光子激光器动力学的影响。 东南大学硕上学位论文 第二章物理模型与激光方程推导 这一章我们主要描述非简并级联双光子激光器动力学方程的起源。 级联三能级原子处于相干初始状态，经典光场被注入双重谐振腔，在这个腔罩原 子与双模腔场相互作用，并且腔场被注入经典光场所驱动。图2 1 描绘了原子能 级图像。这样个系统在旋转波近似条件下的哈密顿量( h ：1 ) 是： 图2 - l ：级联双光子激光器的原子能级图象。原子起始处于相干叠加态1 1 ，1 2 ，1 3 。 3 日= s h 口 口l + n 啦+ 曲i f ) ( f 卜74 - 【8 ( t - 岛) ( m 口l i 2 ( 1 i + 仍啦f 3 “2 p ) jf = l j + l e a i p 一- n 4 - 蛭如f 一“协砖+ 鼠“】( 1 ) 其中a 。+ 和a 。o = 1 ，2 ) 是这两个腔场模式的产生和湮灭算符，这两个腔场模式的频率 是q ，原子能级l l 的能量算符是。，( 1 _ l ，2 ，3 ) 。参数岛( ，；1 ，2 ) 表示原子和场的耦 合常数，e ( t t ，) 是梯度函数，并且说明了这样的事实：在相干时间t ，罩每个原子 和场都相互作用。以频率的注入经典光场激发了腔场模式q 。令： 0 1 = 4 l e 一1 。；n 2 = a 2 e 一”掣； i 1 ( 3 1 , = f l ( 以一。2 一i ，2 l 一1 】1 2 和1 3 ) - - i2 ) 之间的原子能级跃迁所产生的无量纲激光场；弘，j ，：, n y ，分别是原子 能级1 1 卜1 2 ，1 2 - 1 3 和l l 卜1 3 之f b j 的无量纲原子极化；而z 。，z ：，和z 3 则分别是 能f 1 5 ) 1 2 ) 一1 1 ) ，1 3 ) - - 1 2 ) ，和i3 卜1 1 之问的无量纲粒子数反转。无量纲经典光场 ；( i _ l ，2 ) 被用作激发光场x ，时间写做r = l t 。在推导方程( 6 ) 时，我 们假设原子j 初始状态为相干叠加态o ( o ) ) = 3 = 。石卿i i ) 而 户l l 十尹沈+ p 3 3 = 1 ，并且 p 加= ( ，i ，( o ) ) ( ，( o ) l m ) = 瓜e x p i ( c p 一缈州) - i p 加i p 由y - 不同的原子j 其相应的原子相位不同，所以我们写做 e q ) 0 咖) = e x p ( 扎p t m o + 韬如时) ，并且对于所有原子的平均服从规律： ( e x p ( i p 抽o + f 西聊) ) e x p ( i q ，j 。o ) e x p ( 一i 1 妒1 2 聊) ) = n 蛔e x p ( i q ，拥o ) ，( 0 之间的原子相干性i p 。i 可 以被写作 陇m i = n f 班、力霸磊( osn 鲰s1 ) 。 东南大学硕士学位论文 第三章激光方程稳定性理论分析 为简化起见，我们把方程( 6 ) 写做这样的形式： 膏= o c ) , ( x l ，卫2 ，y l ，y 2 ，y 3 ，2 ：1 ，砭，z 3 ) t _ f ( x ) ，并且设置口：1 。非常 有趣的是我们注意到方程( 6 ) 是由两个非线性耦合洛沦兹一哈肯方程组成。下面 给出k = p c r a i = 0 时方程( 6 ) 的九个稳定解 c i = ( 2 1 ，2 2 。y l ，珈y 3 ，g l ，钮9 3 ) c o = 0 0 ! ：坐：竺：! o k 一 c 1 士= 土、6 ( c 1 一1 ) ，0 ，士 6 ( c 1 1 ) 0 ，0 ，( c l 1 ) ，一；( e l 一1 ) ；( c 1 一1 ) ) c 2 士= f o ，士b ( c 五一1 ) ，0 土、6 ( 吃一1 ) 0 ，一( c 2 1 ) ，( 您一1 ) ， ( c 2 1 ) ) c 3 士= ( 士d 8 士d 。e ，0 ( c l 一1 ) ，( f 硷一1 ) ，( c 3 2 ) ) ， c 4 士= ( 土d ，一e ，士d ，e ，0 ，f c l 一1 ) ，f c 生一l 。( c 3 2 ) ) 其中d = 、警( q + c 3 3 ) ，e = 警( 也+ 仍一3 ) ，并且 c 3 一c 2 0 ( m 3 一p n ) 。 通过计算雅可比矩阵d f ( g ) 的特征值可以分析这些解e 的线形稳定性。 d f c d ： 一一1 0 q 一：1 1 i 2 + 蜘 l 2 妇 掣l - i 24 y l 1 2 p l 0 一仃o 1 2 女y 3 c 2 一勿 - 1 2 十y l 一1 2 妇 珑 l 2 + 啦 d 1 0 一l o 一, 2 0 2 卫1 - u 2 z 1 1 2 霉l 00 0 0 1 2 7 2 一f l 一1 2 十1 0 一l 0 0 6 o 0 oo 00 00 0o z 2 0 00 00 - b0 06 因此d f ( c o ) 的八个特征值可以给出( ，如，厶，九，以，丸，厶，以) = ( 一1 ，一b ，山，一b ，一3 2 + 1 2 雨i ，- 3 2 1 2 而i ，一1 + i ，一1 一i ) 。 如果0 c ， l ( f - 1 ，2 ) 则上面八个特征值 1 时c 0 变的不稳定，经由叉形分岔在q ：l ，c 2 勉(2) 勉 伪3 p 1 1 ： p 3 3 p n 勉；( 4 ) 融2 p l l 细；( 5 ) p a a 助 p h ； 和 6 ) n l 触 舳。因为泵浦参数( 2 1 = 嘞( p 2 2 一p 1 1 ) 和 c 2 = r 锄f p 3 3 一助) 分别影响着洛仑兹振子1 ( ：r l ，骓。：1 ) 和2 ( 现爹2 - 犰) 的混沌动力学行为。从方程( 6 ) 和图4 - 1 ，我们可以很容易的看到在区域( 1 ) 9 东南大学硕十学位论文 和( 3 ) 存在着这样的情况：( 2 1 ，y t y a ) 2 ( 0 - 0 。o ) 的同时x 2 ，y 2 名1 ，勿，z s 处 于混沌状态。 相似地，区域( 2 ) 和( 4 ) 存在着这样的情形( x 2 ，y 2 ，y 3 ) = ( 0 , 0 ，0 ) 同时 x 。，) ，。，乙，z 2 ，毛处于混沌状态。在区域( 5 ) 的混沌范围中，所有的变量都是混沌 状态，我们把这叫做超混沌状态，因为混沌吸引子具有两个正的李雅普诺夫指数； 而在区域( 1 ) ( 4 ) ，系统只有一个正的李雅普诺夫指数【见图4 2 】。 图4 - 20 i = 2 ，0 2 = 1 b = o 1 。k = 0 ，口幻2o 时对于不同的c 2 0 最大李雅普诺夫 指数m l e a i ( 上面的曲线) 和次大李雅普诺夫指数a 2 ( 下面的曲线) 。 ( a ) t p u = 0 1 艘2 = 0 3 脚= 0 6 ；a a o 并且a 220 ： ( b ) 对于p l l = 0 2 ，艘220 5 ，p 3 a = 0 , 3 ；a l 0 并且a 2 0 ，系统处于洛仑 兹混沌状态，此时x 2 = 0 。 ( c ) 对y - p l l = 0 6 ，瑚2 = 0 1 ，p 3 3 = o 3 ：a 1 o 摊t a 2 曼0 ，系统处于洛 仑兹混沌状态此时z 1 = 0 。 相位空间中超混沌的轨迹绕一个或者两个鞍焦点旋转，并且当参数改变时，会 从一个焦点转变到另外一个焦点。下一章将会详细讨论这个问题。 在区域( 6 ) ，系统处于稳定状态c o 。区域( 1 ) ( 5 ) 中非混沌状态要么是稳定状态， 亚稳混沌状态或者是准周期状态。 双光子激光器中稳定状态和混沌状态共存的情况是一个非常有趣的现象。这 种情况下的鞍焦点要么是q 士，要么是岛士，并且在相位空间( z ，玑，五) 中吸 引子是寻常洛仑兹奇怪吸引子，这是因为单个洛仑兹方程现在已经从非线性耦合 方程( 6 ) 中被解耦合了。如果经典光场j t 和原子相干性 l _ i ，叼l n 、彳i 万( o s1 ) 存在的话情况又有所改变。图4 3 显示对 于n 3 2 o - 1 3 ，a 1 变成了负的了。这意味着，髫2 的混沌状态被能级1 3 ) 和1 2 ) 第四章李雅普诺丈指数和分岔 之问的原子相干性所抑制了，并且现在变成了z l 一0 ，x 2 = 3 4 6 。 图4 - 3 ， p i i20 4 艘2 = 0 i ，p 3 3 = 0 5 ，b = o 1 ，伊1 = 2 ，( 7 2 = 1 ，咖= 3 0 0 时对 于不同的动力学参数k 和a 幻，m l e a l 的情况。 有一点需要强调的是z l 混沌状态的产生是非常敏感于h ，a 2 1 ，和a z i 雕 ， 这些参数非常小的值( i 0 - 9 ) 就可以产生卫1 混沌，因此洛仑兹混沌状态变为超 混沌状态。图4 - 3 ( a ) 显示只要a 3 l 和( 或) 8 2 1 取某一特定值，z l 和t 2 的混 沌状态都可以被同时抑制到稳定状态。例如，对于锄l 班9 6 ，啦! = 0 时， 稳定值为研= 一1 0 7 ，髫2 3 4 7 ；对于眈l 0 9 ，( 1 3 1 = 0 稳定值为 2 i = 0 3 3 ，i 2 - - - - 3 4 6 。增加a 2 1 和a 3 1 ，超混沌状态通过亚稳混沌状态突然到 稳定状态。增加蚝，发生的情况也比较相似。但是增加k ，系统从超混沌状态 ( 0 冬k p 1 的 情况下，并且可以被k 或者p v 经由单场或者稳定状态而产生。在系统的超混沌 行为中，要么一个场具有7 相位差而另一个场没有石相位差，要么两个场都没有 筇相位改变。图5 - 2 显示了不同的动力学参数下部分变量组成的相位空间 ( 卫；，y t ，名；) 的不同的奇怪吸引子和相应以的时间序列。由于l j 和i p o i 的存在破 坏了在两个b a s i n 吸引子的焦点中跳柬跳去的随机性，产生了无万相位变化的场 图5 2 ( b ) ( d ) 】。事实上对于k = i p o l = o ，情况下，考虑到做变换 ( 扎鼽2 ) 一( 一以，热、z i ) ( i = l ，2 ) ，方程( 6 ) 是对称的，所以对于每个一 解( 也p ) ，鼽( f ) ，( f ) ) ，其对称解。取( ，一弘( ) ，磊( f ) ) 都是存在的。 幽5 - 2 ( a ) ( 7 122 ，0 2 = 1 ，b = o 1 ，r 2 023 0 0 ，k = 0 ，p l l2o 4 ，) 2 250 1 ，p a z2 0 5 ，p z jf i j ) = o 时由变量上2 ，抛，z 2 所定义的相位空间轨迹。 ( b ) 和图( a ) 一样。但是条件是 o 1 = 2 。o 2 = 1 ，b = u 1 ，( 韵25 2 0 ，h = 1 0 ，i = 0 。p i i = 0 6 ，p 2 2 = o 1 ，腑= 0 3 。p o ( 歹) = 0 。 ( c ) 和图( a ) 一样，但是条件是 0 1 = 2 ，0 2 = 1 ，b = o 1 ，0 2 0 = 5 2 0 ，k = 0 ，p i t = 0 6 p 2 2 = 0 1 蹦50 3 ， p 3 2 = p 3 1 - = o ，p 2 1 = o 5 撕五万万 ( d ) 和i 璺l ( a ) 一样，但是条件是 0 122 ，0 221 。b = o 1 ， c 2 0 = 3 0 0 ，h = 4 8 ，k = 0 p l l = 0 4 ，衄= o 1 ，, 0 3 3 = 0 5 ， p , j ( i 歹) = 0 。图( a ，) - ( d ，) 分别是( a ) ( d ) 相应的时间序列。 1 第六章几种特殊情况单列 第六章几种特殊情况单列 6 1 特殊的原子相干性 6 1 1 p 1 1 = p 2 2 = 0 ，p ”- - - 1 一p l l p 2 2 = 1 这时自然有l i = h f m 、历历焉( os a r ms 1 ) ：0 ，即原子相干性不 存在也加不上去，我们仍设置口= = 1 ，我们观察其李雅普诺夫指数与各参量关 系( 图6 1 ) ， 图6 - 1 一6 一d 一口一y l y 2 发现当b 非常小的时候( b = o 0 0 0 1 0 0 1 ) ，系统存在着混沌状态，其混沌形状如 图6 2 。经过观察模拟仿真可以看到系统进入混沌的道路也是周期分岔到混沌状 态。注入经典光场】| ；，y 2 也可以抑制混沌状态，其抑制过程是周期分岔到稳定点。 图6 - 2 混沌形状和时间序列 6 1 2 p l l = p = 0 ，p 2 2 = 1 一p 1 1 一p = 0 这时自然有i | = a l m 厮( osn 概1 ) ；0 ，即原子相干性不存 在也加不上去，我们仍设置口= 口= 1 ，我们观察其李雅普诺夫指数与各参量关系 ( 图6 3 ) 我们可以看到系统仍然存在混沌现象，混沌形状是洛仑兹混沌( 另一 振子为x ：= y ：= y ，= 0 ) ，系统的洛仑兹混沌行为和普通的洛仑兹混沌几乎一样， 它始终围绕着两个鞍焦点旋转，并且在两个b a s i n 吸引子的焦点中随机跳来跳去。 1 7 东南大学硕士学位论文 图5 - 3 一6 一一口一y 1 一y 2 增加e ，系统产生超混沌( 双场混沌) ，并随着匕继续增加，系统进入周期 状态最后进入稳定点状态( 稳定值而= o ，x ：0 ) 增加k ，系统仍然是单场混沌( 另一振子为如= y ：= y ，= 0 ) ，并随着k 继 续增加，系统进入周期状态最后进入稳定点状态( 稳定值x 1 0 ，z2 0 ) 。 6 2 特殊的混沌到超混沌的转变 萤_ “ l 蕾 # “ 图6 4 o 1 = 2 ，0 2 = 1 ，b = o 8 ，k = 0 ，m l = 0 2 伪2 = 0 3 ，脚= 0 5 ( i 力= 而时，( a ) 连= 5 5 0 时相空间( x 。，j ，l ，毛) 轨迹。( b ) 一5 5 0 时相 空间( x 2 ，j ，2 ，z 2 ) 轨迹。( c ) ，( d ) 毫= 6 0 0 时相空间( x l ，y l ，z 1 ) ，( x 2 , y 2 , z 2 ) 轨迹。 当原子相干性p 。0 j ) 。0 ；历i 完全存在时，做变换 f 扎，矾一麓) 一( 一，一致，z o ( i = l ，2 ) ，方程( 6 ) 不是对称的。i 黝i 的存 在破坏了在两个b a s i n 吸引子的焦点中跳来跳去的随机性，但是随着e 2 的增大， 系统超混沌( 双场混沌) 的相空间形状从单焦点的吸引子突然变成了具有两个 b a s i n 吸引子的焦点形状的超混沌( 双场混沌) 。可以给出具体转变的点： 4 8 1 4 5 7 7 1 超混沌( 双焦点，见图6 - 4 ( c ) ，( d ) ) 蟛 11l。 惭罄一 斯排妒茹 第七章结论 第七章结论 概括地说，使用量子拉格朗同算符方法，我们推出了非简并级联双光子激光 器的动力学方程，这就是非线性耦合双重洛仑兹哈肯方程。李雅普诺夫指数的 计算表明起始原子状态和注入经典光场对混沌动力学行为有着强烈的影响。洛仑 兹混沌和超混沌可以在系统中共存。分岔图形显示原子相干性和经典光场可以经 由霍普夫分岔分岔或者突然性转变产生或者抑制混沌。特别是，超混沌的产生对 动力学参数r t 和p * 3 非常敏感，这是个在简并级联双光子激光器呷1 中所没有发 现的。 1 9 东南大学硕士学位论文 第八章附录 由于非线性方程( 6 ) 一般情况下没有解析解，所以我们通过数值计算来 模拟该方程组的解，我们采用4 阶龙格库塔法，并通过计算李雅普诺夫指数 来判断系统是否处于混沌状态，并通过时间序列和空b j 相图来观察方程( 6 ) 所组成的系统解的情况。由于c + + 计算速度较快，而m a t l a b 画图比较方 便，我们采用c + + 计算，把所得数据导入m a t l a b 作图的方法。对于我们 的每一个得到的小结果，我们都是先通过扫描李雅普诺夫指数先大概判断系 统所处的状态，然后根据李雅普诺夫指数的正负性在具体某一个参数值附近 再去画方程( 6 ) 的六个变量组成的空间相图，通过放大仔细研究相图结构 作横象和纵向比较，再计算该点李雅普诺夫指数核实。力求每个结论都比较 准确，另外对于所得到的相图做理论分析，分析其为什么会有这样的相图结 果和为什么会有这样的李雅普诺夫指数值。然后再和已有的文献比较，考察， 最后得出比较合理的结果。期间遍历各个参数可能的取值。 附录a 计算李雅普诺夫指数的程序 # i n c l u d e # i n c l u d e # i n c l u d e # i n c l u d e d o u b l e s i g m a l ，s i g m a 2 ，y i ，y 2 ，b ，e l ，c l l ，p 2 1 ，a i f a = l ，b e i d a = l ，c 2 2 ，c 2 ，p 3 2 ，c 3 3 ，p 3 1 , p 1 1 , p 2 2 ，p 3 3 ，a 1 = 0 ，a 2 = o ，a 3 = o ；定义变量 l | | | 懒戡蕞瀚鼹誉噶程贾掘 d o u b l ef l ( d o u b l ex l ，d o u b l ey 1 ) r e t u r n ( s i g m a l + ( y 1 - x l + y 1 ) ) ； ) d o u b l ef 2 ( d o u b l ex 2 ，d o u b l ey 2 ) r e t u m ( s i g m a 2 + ( y 2 一x 2 + y 2 ) ) ； ) d o u b l ef 3 ( d o u b l ex l ，d o u b l ex 2 ，d o u b l ey l ，d o u b l ey 3 ，d o u b l ez d r e t u r n ( 2 * b c 1 1 + f a b s ( p 2 1 ) + c l + x l - x l + z l - y l + o 5 + a i f a + b e i d a + x 2 + y 3 ) ； d o u b l ef 4 ( d o u b l ex l ，d o u b l ex 2 ，d o u b l ey 2 ，d o u b l ey 3 ，d o u b l ez 2 ) r e t u r n ( 2 * b + c 2 2 + f a b s ( p 3 2 ) + c 2 + x 2 - x 2 + z 2 y 2 - 0 5 ( a i f a + b e i d a ) + x l4 y 3 ) ； ) 第八章附录 d o u b l ef s ( d o u b l ex l ，d o u b l ex 2 ，d o u b l ey l ，d o u b l ey 2 ，d o u b l ey 3 ) r e t u m ( 2 + b + c 3 3 + f a b s ( p 3 1 ) 一y 3 + o 5 + a i f a + b e i d a + x l + y 2 0 5 ( a i f a + b e i d a ) + x 2 + y 1 ) ； d o u b l ef 6 ( d o u b l ex l ，d o u b l ex 2 ，d o u b l ey l ，d o u b l ey 2 ，d o u b l ez d r e t u r n ( - b + z l + x l + y l 一0 5 + a i f a + a i f a + b e i d a + b e i d a + x 2 + y 2 ) ； ) d o u b l ef 7 ( d o u b l ex l ，d o u b l ex 2 ，d o u b l ey l ，d o u b l ey 2 ，d o u b l ez a ) r e t u r n ( - b + z 2 + x 2 4 y 2 0 5 ( a i f a + a i f a + b e i d a + b e i d a ) + x l + y 1 ) ； d o u b l ef s ( d o u b l ex l ，d o u b l ex 2 ，d o u b l ey l ，d o u b l ey 2 ，d o u b l ez 3 ) r e t u r n ( 一b z 3 + o 5 ( a i f a + b e i d a ) + x l + y l + o 5 + a i f a + b e i d a + x 2 + y 2 ) ； d o u b l ef 9 ( d o u b l ey 9 ，d o u b l ey 2 5 ) r e t u m ( s i g m a l + ( y 2 5 y 9 ) ) ； d o u b l er i o ( d o u b l ey 1 7 ，d o u b l ey 3 3 ) r e t u r n ( s i g m a 2 + ( y 3 3 一y 1 7 ) ) ； d o u b l er i l ( d o u b l ey l ，d o u b l ey 2 ，d o u b l ey 5 ，d o u b l ey 6 ，d o u b l ey 9 ，d o u b l e y 1 7 ，d o u b l e y 2 5 ，d o u b l ey 4 1 ，d o u b l ey 4 9 ) r e t u r n ( ( c l y 6 ) + y 9 + o 5 + a i f a b e i d a + y 5 + y 1 7 一y 2 5 + 0 5 + a i f a + b e i d a + y 2 + y 4 1 一y l + y 4 9 ) ； ) d o u b l ef l2 ( d o u b l ey l ，d o u b l ey 2 ，d o u b l ey 5 ，d o u b l ey 7 ，d o u b l ey 9 ，d o u b l e y 1 7 ，d o u b l ey 3 3 ，d o u b l ey 4 1 ，d o u b l ey 5 7 ) r e t u r n ( - 0 5 ( a i f a + b e i d a ) + y 5 4 y 9 + ( c 2 一y 7 ) + y 1 7 一y 3 3 0 5 ( a i f a + b e i d a ) + y 1 + y 4 1 一y 2 + y 5 7 ) ； ) d o u b l ef 1 3 ( d o u b l ey l ，d o u b l ey 2 ，d o u b l ey 3 ，d o u b l ey 4 ，d o u b l ey 9 ，d o u b l e y 1 7 ，d o u b l ey 2 5 ，d o u b l e y 3 3 ，d o u b l ey 4 1 ) r e t u r n ( o 5 + a i f a + b e i d a + y 4 + y 9 0 5 ( a i f a + b e i d a ) + y 3 4 y 1 7 - 0 5 ( a i f a + b e i d a ) + y 2 + y 2 5 + 0 5 + a i f a + b e i d a + y l + y 3 3 - y 4 1 ) ； ) d o u b l ef 1 4 ( d o u b l ey l ，d o u b l ey 2 ，d o u b l ey 3 ，d o u b l ey 4 ，d o u b l ey 9 ，d o u b l e 2 1 东南人学硕十学位论文 y 17 ，d o u b l ey 2 5 ，d o u b l ey 3 3 ，d o u b l ey 4 9 ) r e t u r n ( y 3 + y 9 - 0 5 + a i f a + a i f a + b e i d a + b e i d a + y 4 + y 1 7 + y l + y 2 5 0 5 + a i f a + a i f a + b e i d a 4 b e i d a + y 2 + y 3 3 一b + y 4 9 ) ； d o u b l ef 1 5 ( d o u b l ey l ，d o u b l ey 2 ，d o u b l ey 3 ，d o u b l ey 4 ，d o u b l ey 9 ，d o u b l e y 1 7 ，d o u b l ey 2 5 ，d o u b l ey 3 3 ，d o u b l ey 5 7 ) r e t u r n ( - 0 5 ( a i f a + a i f a + b e i d a + b e i d a ) + y 3 4 y 9 + y 4 4 y 17 0 5 ( a i f a + a i f a + b e i d a + b e i d a ) + y l4 y 2 5 + y 2 + y 3 3 一b + y 5 7 ) ； d o u b l ef 1 6 ( d o u b l ey l ，d o u b l ey 2 ，d o u b l ey 3 ，d o u b l ey 4 ，d o u b l ey 9 ，d o u b l e y 17 ，d o u b l ey 2 5 ，d o u b l e y 3 3 ，d o u b l ey 6 5 ) r e t u r n ( o 5 ( a i f a + b e i d a ) + y 3 + y 9 + o 5 + a i f a + b e i d a + y 4 y 1 7 + 0 5 ( a i f a * b e i d a ) 4 y l + y 2 5 + 0 5 a i f a + b e i d a + y 2 + y 3 3 一b + y 6 5 ) ； ) | | | m 悯嵌疑警甫鼹镪责程蟪 v o i d m a i n o i f s t r e a mi n p u t ； i n p u t o p e n ( ”f i p a r a m e t e r s t x t ”) 输入参数初始设置 o f s t r e a mo u t p u t ； o u t p u t o p e n ( ”f 三能级结果t x t ”) ；输出结果 i 盯! o u t p u t ) e o u t ”c a n to p e nf i l e 2 ” s i g m a l s i g m a 2 y 1 y 2 b c 2 2 ； l l l l 碱dc o d e p 1 1 = 0 4 ，p 2 2 = 0 1 ； f o r ( y 2 = o ；y 2 = 5 0 ；y 2 + = o 5 1 | 开强弧1 f o r ( a 2 = o ；a 2 = 1 0 1 ；a 2 + = o 0 2 5 ) | | p 3 3 5 1 p 1 1 - p 2 2 ，p 2 1 - a 1 + s q r t ( p 2 2 + p 1 1 ) ，p 3 2 = a 2 s q r t