（概率论与数理统计专业论文）关于经典风险模型分红问题的推广.pdf

曲阜师范大学硕士学位论文 关于经典风险模型分红问题的推广 摘要 关于保险风险模型的分红问题，是由d ef i n e t t i 于1 9 5 7 年最初提出的，并 且他发现离散风险模型的最优策略是带有分红界限的策略另外由g e r b e r ( 1 9 7 0 ) 将经典风险模型推广为带扰动的经典风险模型，随后，l i n 等( 见文献 1 】) 利用 期望折扣罚金函数，即著名的g e r b e r - s h i u 函数，研究了经典风险模型的完全 分红问题 得到了很好的结果 本文也用g e r b e r - s h i u 函数这一重要工具来研究两类带分红的风险模型： 个是带扰动的经典风险模型，另一个是含有两类索赔的一类风险模型 第一章讨论了带扰动的经典风险模型，我们用到参考文献【1 1 中的思想，即 根据分红界限上下方g e r b e r - s h i u 函数性质不同而把它分两部分研究，求出了 g e r b e r - s h i u 函数满足的积分微分方程，并给出了它的解析性表示，主要结果 如下： 定理1 4 1 九( 可通过以下两步解析性的表示出来 a ) “) = ( t ) 一q i q + 2 q 3 _ ，f 。e 一 2 缸，d ( t 一盘) 妃。s t 6 ( “) 如，：( 妨= ( g - a 2 ) + “ j v ( ，钍 6 第二章讨论了含有两类索赔的一类风险模型，得到了关于g e r b e r - s h i u 函 数的积分微分方程，主要结果如下 定理2 2 1 当0 仳6 时，函数妒1 心) 和矗( 缸) 满足下面的积分一微分方程 娥( 牡) = 半毋t ( u ) 一害z 。九( 一z ( g ) 如一害。- ( 钍) 一等& ( t 4 曲阜师范大学硕士学位论文 银u ) = 号掣卿) 一珂昨刊础肛等f 州m 枇 一查。o a l ( u ) ， 其中，w l ( u ) = j ? w l ( u ，。一t ) p ( z ) 如并且作为特例，当这两类索赔服从同一 指数分布时，我们给出了g e r b e r - s h i u 函数的确切解 关键词：经典风险模型；布朗运动；g e r b e r - s h i u 函数；最终破产概率； 积分一微分方程；s p a r r ea n d e r s e n 风险模型；广义e r l a n g ( 2 ) 过程 曲阜师范大学硕士学位论文 a b s t r a c t d i v i d e n ds t r a t e g i e sf o ri n s u r a n c er i s km o d e lw e r ef i r s tp r o p o s e db yd e f i n e t t ii n1 9 5 7 ，a n dh ef o u n dt h a tt h eo p t i m a ls t r a t e g ym u s tb eab a r r i e r s t r a t e g yf o rt h ed i s c r e tr i s km o d e l a n o t h e re x t e n s i o no fc l a s s i c a lr i s km o d e l i s t h a tt h ec l a s s i c a lr i s km o d e lp e r t u r b e db yd i f f u s i o n ，w h i c hw a sf i r s ti n t r o d u c e d b yg e r b e r ( 1 0 7 0 ) l i ne a 1 c 1 1 ) h a ds t u d i e dt h ec l a s s i c a lr i s km o d e lw i t h c o n s t a n td i v i d e n db a r r i e rb yu s i n gt h ed i s c o u n t e dp e n a l t yf u n c t i o n ，w h i c hi s t h ef a m o u sg e r b e r - s h i uf u n c t i o n t h ep u r p o s eo ft h i st h e s i si st op r e s e n ts o m er e s u l t so nt h eg e r b e r - s h i u f u n c t i o nu n d e rac o m p o u n dp o i s s o nr i s km o d e lp e r t u r b e db yd i f f u s i o nw i t ha t h r e s h o l dd i v i d e n ds t r a t e g ya n dar i s km o d e li n v o l v i n gt w oi n d e p e n d e n tc l a s s e s o fi n s u r a n c er i s k sw i t hac o n s t a n td i v i d e n db a r r i e r i nc h a p t e r1 w ec o n s i d e rt h ec l a s s i c a lr i s km o d e lp e r t u r b e db yd i f f u s i o n w eu s et h ea p p r o a c ho f 【1 】，i e ，b e c a u s et h eg e r b e r - s h i nf u n c t i o nb e h a v e s d i f f e r e n t l y , d e p e n d i n go nw h e t h e ri t si n i t i a ls u r p l u sui sb e l o wo ra b o v et h e b a r r i e rl e v e lb ，s ow ew r i t ei td i f f e r e n t l yi n t ot w op a r t s i n t e g r o - d i f f e r e n t i a i e q u a t i o n sw i t hc e r t a i nb o u n d a r yc o n d i t i o n sf o rt h eg e r b e r - s h i nf u n c t i o n sa r e d e r i v e d w ea l s oo b t a i na n a l y t i c a le x p r e s s i o n sf o rt h eg e r b e r - s h i ud i s c o u n t e d p e n a l t yf u n c t i o n s 如( ) w es t a t et h em a i nr e s u l t sa sf o l l o w s ： t h e o r e m1 4 1 w ec a no b t a i na n a l y t i c a le x p r e s s i o n sf o rf u n c t i o n s 如( u ) 忡) = 撕) _ 里学z “抄“u 叫如，。牡妯 ( i o 如，2 ( “) = ( g i g 2 ) ” ( “) ，“ b i nc h a p t e r2 ，w ec o n s i d e rar i s km o d e li n v o l v i n gt w oi n d e p e n d e n tc l a s s e s o fi n s u r a n c er i s k s w ea s s u m e dt h a tt h et w oc l a i mn u m b e rp r o c e s s e sa r e 曲阜师范大学硕士学位论文 i n d e p e n d e n tp o i s s o na n dg e n e r a l i z e de r l a n g ( 2 ) p r o c e s s e s ，r e s p e c t i v e l y t w o i n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sf o rt h eg e r b e r - s h i ud i s c o u n t e dp e n a l t yf u n c t i o n s 眦d e r i v e d w es t a t et h em a i nr e s u l t sa 8f o l l o w s ： t h e o r e m2 2 1 以( u ) = 半妒，( 让) 一会z ”币，( 缸一茁) p ( 霉) d z 一害u ( ) 一等6 ( 札) 爵( ) = 半f - ( ) 一害z “6 ( 牡一z ) p ( z ) d z 一鲁z “驴( 钍一写) 口( z ) d z 一- a 。w l ( t ) ， w h e r ew l ( u ) = f w 1 ( u ，z - u ) p ( z ) 如t h e ne x p l i c i tr e s u l t sa r ed e r i v e dw h e n t h ec l a i m sf r o mb o t hc l a s s e sa r ee x p o n e n t i a l l yd i s t r i b u t e d k e y w o r d s ：c l a s s i c a lr i s km o d e l ；b r o w nm o t i o n ；r u i np r o b a b i l i t y ；g e r b e r - s h i nf u n c t i o n ；i n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；s p a r r ea n d e r s e nr i s km o d e l ；g e n - e r a l i z e de r l a n g ( 2 ) p r o c e s s 第一章带干扰的复合p o i s s o n 模型的部分分红策略 1 1 引言 考虑带扰动的复合p o i s s o n 模型 ( t ) u ( t ) = u + e f t - 五+ 仃b ( t ) ，t 0 ， ( l 1 1 ) = l 其中u20 是初始准备金，c l 0 是单位时间征收的保费( 保费率) ，矿是非负常 数，c b ( t ) ，t o 为标准布朗运动， ( t ) ，t 0 是参数为a ( a 0 ) 的p o i s s o n 过程，l v ( t ) 表示至时刻t 为止发生的索赔个数， 五，l 1 ) 是非负独立随机 变量序列，分布函数为p ( x ) = 1 一( z ) ，密度函数为p ( z ) ，均值为p ，烈8 ) = 型 f o e l 。p ( z ) 出为p ( 蕾) 的l a p l a c e 变换我们令s ( t ) = k ，拶0 ) ，t 0 k = l 表示索赔总额过程，并假定 b ( 力，t o ) ， ( ，t2o ) ，t 墨，i 1 ) 是独立的， 且c l a 饥 在模型( 1 1 1 ) 的基础上考虑带有常数界限的部分分红策略，即引入分红 界限b ( b 0 1 ，当盈余达到或超过b 后，将保费的部分作为分红设分红率为 口( o b 令瓦= 讯，0 ：u b ( t ) o 表示破产时刻，巩( 死一) 与i 巩( t d l 分别表示破产 前瞬时盈余和破产时赤字， 对于6 0 及非负函数u ( z ，) ，( 为y o ) ，定义 九，d ( t ) = e k m ，( 死 o o ，砺( 乃) = 0 ) l u g ( 0 ) = 翻，钍芝0 ， 第一章带干扰的复合p o i s s o n 模型的部分分红策略 为破产由扰动产生时死的关于6 的l a p l a c e 变换，易知如，d ( o ) = 1 再定义 如 i ( t ) = ee 一仉u ( 砜( 死一) ，i u 6 ( t , ) i ) x c t o o 。，玩( 死) b ( 1 2 1 ) 其中a b ，a d 为正常数，9 为( b ，0 0 ) 上非负函数考虑方程 a c t 2 + 且o + d 反口) 一d = 0 ，( 1 2 2 ) 由文献【2 】知，方程( 1 2 2 ) 有一个正根口l 和一个负根一口2 ，假定d b ， 而( 9 1 + 9 2 ) “为( 9 l t 9 2 ) 的礼重卷积，即( 9 l 事9 2 ) ”2 乏：! ! ：芝：乡 证明：在( 1 2 4 ) 式中对，做叠代即得( 1 2 1 1 ) 再考虑另一种齐次积分一微分方程 百10 2 , v l t ( u ) + c i v ( t ) + a m z ) p ( ) 如= q + 6 ) 秽( u ) ，t 0 ( 1 2 1 2 ) j 0 文献【1 0 】对它进行了研究，我们将主要结果介绍如下 方程( 1 2 1 2 ) 的通解可表示为 v o , ) = e l v l ( u ) + 0 2 v 2 ( u ) ，牡0 ， 其中口- ( 与v 2 ( u ) 是方程( 1 2 1 2 ) 的两个线性无关的特解，而p - ，如为任意常 数令 v l ( o ) = 1 ，口i ( o ) = 一( 角+ 2 c l 盯一2 ) ，v 2 ( o ) = 0 ，呓( o ) = 1 ， 则有 讥( u ) = 西酬( “) ，坳( “) = f ，4 。，d 一盘) 出，( 见文献 1 0 】) 其中尻为l u n d b e r g 方程 妄盯2 卢2 - 4 - 碳卢) + c l 卢一a 一6 = 0 的非负根 1 3 曲6 ，d ( 让) 及九，。( 乱) 满足的积分- 微分方程 显然九，d ( ) 及机，( t ) 在分红界限的上下方是不同的，故我们根据u 的情 况定义 州= 竺臀乱，欹：戳 5 第一章带干扰的复合p o i s s o n 模型的部分坌红$ 匡堕 注意到咖( t ) = c b ，d ( “) + 九一( u ) ，我们应定义 九( u ) ： 九，1 似) = 九 “+ 九一，“一o u 玩 ic b ，2 ( “) = 庐6 ，d ，2 ( t ) + 九，2 ( t ) ，u b 在本文中我们假定机，d 与机，( 在b 处连续【当仃= 0 时文献【1 2 】证明 了g e r b e r - s h i u 函数在b 的连续性) ，即c b ，d ，1 ( 6 ) = 九，阳( 6 ) ，九，1 ( 6 ) = 九，。2 ( 6 ) ， 毋b ，l ( b ) = 九z ( 6 ) ，则有如下定理 定理1 3 1 也 i l ( t ) 和也，2 “) 满足下面积分微分方程 妒( u ) + c 1 以水) + a j o 蛳。一。) p o ) d z + a 洲 1 ) 一n + 6 ) 6 l ( “) ，0 t b ， i 矿媸。，2 ( ) + 晚以2 ( 让) + a 上 如一2 扣一z ) p ( z ) 如 l 厂” ，r ，。一“。d z + x 广，。、(132c ) + a b ，。，l ( 一2 ) p ( z ) d z + a e ( u ) = ( a + 6 ) h ，2 ( 世) ，i , b 其中( ( “) = r w ( ，z 一) p ( ：) 如，且有 如，“( o ) = 0 ， ( 1 3 3 ) ；盯2 ( 6 ) + c t ( 6 ) 5i 矿螂2 ( 6 ) + c 2 以一，2 ( 6 ) ( 1 3 4 ) 证明：当0 t b 时，令w i 为首次索赔发生时刻，由 阮( 力，t o ) 的强马 氏性可得 九，| ，l ( u ) 一e e 一拙妒6 ，l ( 玩( 出) ) 】 = p ( i n b ( 1 3 1 1 ) 且有 九，l ( o ) = 1 ， ；盯2 始。( 6 ) + c 1 吼，。( 6 ) = ；矿镌：( 6 ) + c 2 戤二( 6 ) 令屁为l u n d b e r g 方程 妻盯2 卢2 + 顾卢) + c 2 卢一a j = 0 的非负根，则有 定理1 3 4 对固定的正盯和九，。，2 ( t | ) ，九，础( “) ，啦( t | ) ，若 、墨恐e 一跏。( 钍) - - 0 ，。熙e 柏“。( ) = 0 ， l i n l e-42u九，船(t)=0，墨恐8呐“以，d，2(“)=0u-，00 ， 叶 则( l 3 2 ) ，( 1 3 7 ) 和( 1 3 1 1 ) 式有下面卷积形式的解 九舶m ) = ( g 1 c 2 ) ”嚣o ) ，u b n 盘o 也( u ) = ( g - + g 2 ) ”t 二( u ) ，t b n = 0 0 0 九，。( u ) = ( g z g 。) ”+ ( ，u 6 8 ( 1 3 1 2 ) ( 1 3 1 3 ) 4 5 6 l 1 1 1 3 3 3 1 1 ，1 曲阜师范大学硕士学位论文 其中 而 日( t ) = e 2 伊：+ 。4 。) ( “如砧( 的4 - 日1 丑j ( t ) ， ( t ) = e 2 ( 口2 + 。4 2 ) ( 6 一”) 币b ，1 ( 6 ) + 日i 卑l 1 ( ， 五( ) = e 2 ( 几十句4 2 ) ( 6 一”) b , d , l ( b ) 4 - 丑i 唪岛( t ) ， 日1 ( t ) = 2 a 一2 e 一池+ 2 句7 卅扣， 脚m e 跏z ”e - 2 v 屺( 一取挑删卜 “炉伊z ”e 呐”眨。氏山嘞蚺蚀) 卜 g l ( t ) = 2 a 仃一2 e 一渤+ 2 c 2 4 “扣， 以u ) = 沙z 。e 呐9 仁。氏虮( 一) p ( 扪砒 ， g 2 ( 妨= 毋“e - 如+ p ( y ) d y ，u 证明：将引理1 2 2 应用于( 1 3 2 ) ，( 1 3 7 ) 和( 1 3 1 1 ) 式即可 1 4c b ，d ( u ) 及九，。( u ) 的解析性表示 观察( 1 2 7 ) ，( 1 3 1 ) 和( 1 , 3 6 ) 式，我们应得 妒6 1 ( t ) = k l u 1 ( u ) 4 - k 2 v 2 ( u ) ，0 u b ，( 1 4 1 ) 毋h 。，l ( = 币。，。( t ) 4 - k 3 v l ( t ) 4 - 4 也( ，0 u 6 ， ( 1 , 4 2 ) 其中a = 1 ，2 ，3 ，4 ) 为任意常数，而v l ( u ) 与啦( 在第2 节中已在一定初值 条件下表示出来 9 第一章带干扰的复合p o i s s o n 模型的部分分红策略 ，d 【社) 与w 【t ) 在文献【6 j 与文献【2 j ，【6 j ，【7 j ，i s ，【9 | 中分别有研究，可以 用它们的性质来分析钆一( u ) 和九，。( t ) 我们剩余的工作便是确定系数h 0 = 1 ，2 ，3 ，4 ) ， 首先要用到( 1 2 5 ) 式对( 1 2 5 ) 式两边关于求导可得 ，7 ( z ) = 一o f l ，( z ) 一o q e ( 孙1 + i l a - z ) ( 6 2 ) ，( 6 ) + 百d 上ze 州) ，( z ) 仁e 咖龇) d y d z + 者e 口”上9 ( 可) e ”埘匆，霉 6 ， ，”。) - - i 生1 ，。) + 2 a i e ( 缸l + 目 一1 ) ( 6 一z ) ，( 6 ) + - d a f ( z o 。e a l ，p 。) d 可 + o a e l e a l z 厶f o o 州e 咄，匆一斧1 ( z ) ，$ 6 令z _ b + 得到 ，( 6 ) = 嘞1 f ( b ) 4 - 。1 _ _ a i bj ( g ( 可) e ”坩妣 ， ，( 6 ) = 4 。；+ 等烈口。) ，( 6 ) 一五1 9 ( 6 ) 将其应用于九d , 2 ( t 1 ) 及九 ：( “) 有 以朋( 6 ) = 一2 岛九，j ，2 ( 6 ) 蚴盯2 沙_ o oe 叫c 。( 一阱弛) 卜 醒啦( 6 ) = 4 魇+ 2 a 盯一敏岛) 九j ，2 ( 6 ) 一2 a 伊吨z 6 九 - ( 6 一茹) p ( z ) 如_ 2 a c - 2 e ( 的， 以，d , 2 ( b ) = 一2 屁九。d 2 ( 6 ) ， 一 ，簟 + 2 a a 以e 脚e 助，九 1 白一茹) p 0 ) 出匆， j 6 j i - b 1 0 曲阜师范大学硕士学位论文 始d ，2 ( 6 ) = 【4 鹰+ 2 a a _ 2 烈岛) 九，d ，2 ( 6 ) 一2 a o 2 机，画z ( b 一。) p ( z ) d z 注意到九 ，( 6 ) = 也 2 ( 6 ) ，并令 q ：= 去a r 2 彰( 6 ) + c l ( 6 ) + 2 q 岛一2 0 2 鹾一坝屁) 】轧( 6 ) 一a 地( 6 一。加p ) 如 f r o ，v 一2 c 忽a o 一2 妯，e 一岛7 仇白一z 扫p ) d z 由，i = 1 ，2 ， , i b j y - b 由( 1 3 9 ) 和( l 4 1 ) 式我们可得 q l 版+ 锄乜= o ( 1 4 3 ) 由( 1 3 4 ) 和( 1 4 2 ) 式及九，d ，l ( = 九，d ，2 ( 6 ) ，若令 q a ：= 一；口2 驴惫一( 6 ) 一n 心，( 6 ) 十 2 矿蘑+ a 烈岛) 一2 c 2 嘲一( 一 一a 曲j ( 6 一正) p ( 茁) d 茁 ， 一 + 2 c 2 沁一2 。6f e - 细毋。妇一z ) p ( 功如如 j b ，l l - b k ( 6 ) + 2 c 2 a a 以驴6 e - 口 2 z ( ( 石) 出， 则有 q l 七3 + q 乜= 仍 由( 1 3 8 ) 和( 1 4 1 ) 式有 k l v l ( o ) + k o v 2 ( o ) = l ， 由( 1 3 3 ) 和( 1 4 2 ) 式 村1 ( o ) + 您( o ) = 一牵曲一( o ) = 0 ( 1 4 4 ) ( 1 4 5 ) ( 1 4 第一章带干扰的复合p o i s s o n 模型的部分分红策略 这样由( 1 4 4 ) 一( 1 4 6 ) 组成的方程组，及第2 节所取初值条件 l ( o ) = 1 ，v 2 ( o ) = 0 我们得到 k l = 1 , 如一是，岛_ o ，k 一塞 综合以上讨论我们得到以下主要结果： 定理1 4 1 九，d ( 缸) 可通过以下两步解析性的表示出来 “u ) = 缸小) 一象f 护如小一$ ) 妃。牡 b 钆。，( 可通过以下两步表示出来 ( 4 ) 妒6 ，- ( = 九，( 似) 一旦q 兰2 厂o ”e ，l 。西。d ( “一z ) d 霉，。t 6 ( 。；) c b 2 ( u ) = ( g i 0 2 ) ”+ 日( t ) ，u b 相应的妒6 ( “) 可通过以下两步解析性的表示出来 ( 1 ) 如，l ( u ) = 丸) 一q i 矿+ q s 厶 i e 以。咖。4 ( u z ) 如，。“以 0 1 ) 咖，2 ( t ) = ( g t g 2 ) “+ ( “) ，u b 其中。( t ) = 。( t ) + 币b 一( u ) 注1 4 1 我们也可直接用分析币b ，1 ( u ) 的方法分析如，( “) 设 妒( “) = 。( “) + 七5 v 1 ( u ) + 也( ， 曲阜师范大学硕士学位论文 令 ， q 4 ：= 一；盯2 比( 6 ) 一c l 心( 6 l + 2 a 2 鹰+ 烈尾) 一2 c 2 岛 妒。( 砷 一 一a7 妒b ( 6 一p ( $ ) 出 讹胪沙6 z 。e 呐。矧岬) p ( 帕句 一a ( 6 ) + 2 c 2 a 盯一2 2 b e 一岛2 e ( 功d 岔， 我们可以得出= o ，= 一赛，而我们不难看出：轨= q l + q s 1 5 最终破产概率 令j = 0 ，u 瓴可) 兰1 ，则靠一( t ) ，九“) 与咖( u ) 简化为最终破产概率 雪6 ，d ( ) ，雪6 ，。( t ) 与( “) 而j = 0 时l u n d b e r g 方程( 1 3 1 0 ) 的非负解变为 屁= 0 ，从而( ( 也) 变为( t ) ，口l ( t ) 变为无分红情况下最终破产概率皿。，d ( t ) ， v 2 ( u ) 变为j 田。，d p ) 如 进一步假设个体索赔额服从指数分布，即p ( 可) = 1 一e - - t r y ，此时( “) = g 2 ( u ) = e 一胛，p ( v ) = 叶e 一珊 由文献【1 1 】知，此时 酬u ) 2 研r - - r l 咄“+ 苦去e 响。 “。1 ) 霍。一) = 丽晏；兰；丽( e - r l u _ e - r a l 卜“ 其中一r 1 ，一岛为方程 互1 。2 矿+ c t s - a ( s + 功+ a 刁= 。 的负根 1 3 第一章带干扰的复合p o i s s o n 模型的部分分红策略 此时有 q ，= 高陋刊( ；矿- c t r , - a 研) + a 研c 叩+ 。矿2 ) 卜风6 1 + 蘑两= 两 细一r 2 l ；盯2 一c t 岛一a 境) 一a 端加+ z 饧仃以) e 一蚴， q ：= 赤 c 叩- r i ) ( 1 a 2 - c , r 1 - a ) 一a 刁一z 晚仃一2 e m ( 如一们( ；，二c 岛一0 + 蛔- + 2 c 2 g - 2 ) e 一蚴 一蕊2 a ( 叩+ c 2 盯2 ) 醌= 莉i 葡1 面了面 ( r l 一，7 ) ( a 研一2 c , a a 一2 r i + 2 a a 一2 ) + 2 a a 一2 ，7 4 c 2 a 2 盯一4 e 一冠1 6 1 + 硒f i 瓣两 加一兄) ( a 谚一2 c i x 0 2 飓+ 2 a a 以) + 2 a a 以7 7 + 4 c 五a 2 a - 4 e 一而6 + + a + z c 2 a 盯一2 叩一1 e 一，一 g 1 ( t ) = 2 a a 一2 e 一锄，一k ，g 2 ( ) = e - 弘，日l ( u ) = 2 0 2 e 一锄4 4 ”， 由1 5 1 此时 = 鼍紫寄立e - 1 u _ 鼍警甓产e 喝q 一鑫笼， 从而 如( = a e - 【瓦q 孬2 币r 2 i 两+ q ie - p n b _ 瓦q 五2 币r 1 涌+ q 1e r 曲 ：= a j i 缸e _ i t ， 曲阜师范大学硕士学位论文 日l k ( u ) = f 日1 “一=2aa-一2m1ez)l2(z)dx 呷一e - 和e 锄r 气概】， 日l k ( u ) = 日1 “一 = 一舭一e - 帅e 锄”1 扣哪l ， j 6 o l ( t ) = e 2 c 2 叮一2 p 一。砷b ，d ，1 ( 6 ) + 地e 一和】+ 以e 一秘， 由1 5 1 还知此时 如) = 等鬻志羞篙型e 呐 一2 a a - 2 q 2 1 h + 7 1 q 3 0 1 - r 2 ) e - 而。一鱼! ! ! q 2 岛，7 ( 飓一r 1 )q ：岛兄2 ：= 幻e 一凰“一m 3 e - 。r 2 ”一 以， 从而 酬娥一删螋r 1 - r 一可m 3 ( 1 - e ( - m ) b ) + 尬( 1 - - e b ) + 期 ：= a m 5 e 一 风飓(u)=厂“凰一z)鹧知)如=蒜2)=、a-：i2msdb 。t , 2 0i e 1 ，t - 一e 一和e 一卜q 】， 风飓( t ) = 凰一z ) 鹧知) 如= 蒜= ：f = i e 俨一e 哪e ”1 脚i ， 一，l j 脚) = 矽。卜“6 ) 一面2 a a = - f 2 m 写5e 一寸。五2 a 矛a - 2 石m s e 一 m b ，1 ( t ) = 面6 。d ，l ( + 霹6 ，l ( = 2 a a - 2 q 弋2 r 1 丽+ 1 丽( i - - f r l 可) ( q 2 一r 1 + q 4 ) e 呐u q 2 冗l q ( 岛一兄1 ) 。 一! 苎! 二：垡鱼翌纽二璺丛鱼鱼垡2 。一脚一垡! q 2 岛叩( 昂2 一r 1 )q 2 r 1 忌 ：= 地e - 舢一坻e 一脚一坼， 从而有 孙) = a e 一【m 5 ( 1 最- - 一e ( n 7 - r , ) b ) - 一 ：= a 磊e 一刖， 警+ ( 1 - e r 两) + 羽1兄一 7 “、 7 j 第一章带干扰的复合p o i s s o n 模型的部分分红策略 h i * l d ) 一2 a c - 2 m s e 一删一e 一呐e 一砸刊 ， 嘶) _ = e 2 c 2 a - 2 ( b - u ) 卜( 6 ) 一面2 a a = - f 2 m i se 却 + 两2 a a - 2 m 8 e 一似 综上可得此时的最终破产概率为， f 皿。 l 重( = h ，。 l ：鱼= 鱼! f q ! 垒堡! ! 。一如u q 2 岛( r 1 一奶) 。 一虹必搿e-r1q2rt(r1一彘q i r i ，0 6 f 雪如，1 ( - ) = m 2 e m ”一m s e 一如”一m 4 ，0 珏b ， 吼，“卜沁小) ：妻( g 。蚓m 咧毗例 1 6 耽 小嚣 嵩脚 小 第二章完全分红的两类索赔风险模型的g e r b e r - s h i u 函数 2 1 引言 考虑一类s p a r r ea n d e r s e n 风险模型 ， d 巩( ： c d 。一d s ( 力，巩( 。) 0 是常数红利吸收壁，c 是保险费收取率， s ( t ) ，t o ) 是总的索赔 量过程在本文中，s ( t ) 是由两类索赔组成，即 1 ( t )飓( t ) s o ) = 岛( t ) + 岛( t ) = 墨+ ，t 0 ， s - ：li = l 其中 五 。 l 是第一类索赔的索赔量，假设它们是独立同分布的正的随机变 量序列，共同的分布函数是p ，密度函数是p k ) i l 是第二类索赔的索赔 量，假设它们是独立同分布的正的随机变量序列，共同的分布函数是q ，密度 函数是q 以锹和t y 分别表示x 和y 的均值，多( 8 ) = j e - = p ( x ) d x 和 口( 8 ) = j e - - j 2 9 ( $ ) 如分别表示p 和q 的拉普拉斯变换 n 10 ) ，t o 表示第一类索赔的索赔次数过程，设它的跳跃时间间隔为 职) 。l ，暇是相互独立且同分布于参数为a 的指数分布 2 ( t ) ，t o 表 示第二类索赔的索赔次数过程，设它的跳跃时间间隔为 k ) i 1 ，k 是相互独 立且同服从于广义e r l a n g ( 2 ) 分布，即k 是两个独立的指数分布的和的分布 1 4 , = l s l - b l a ，其中f 厶l i l 是相互独立的参数为a 1 的指数分布的随机变量序 列， 厶2 ) l 1 是相互独立的参数为她的指数分布的随机变量序列，a 1 和沁可能 不相同最后假设 五。1 ， 。l ， l ( t ) ，# o ，f 2 ( t ) ，t o ) 是相互独立 的，为了保证3 i m 仉( t ) = o o 几乎处处成立，我们假设c ( a u x + 竿 “l ，) 11 - 口 1 7 第二章完全分红的两类索赌风险模型的g e r b e r - s h i u 函数 定义 瓦= i n f t 0 ：( t ) o ， 为破产时刻 妒( 札) = p ( 霸 i 巩( o ) = 钍) ，“0 ， 是最终破产概率 ，表示破产原因的随机变量，如果破产由第j 类索赔引起，j = 1 ，2 ，我 们定义j = 歹那么最终破产概率妒( 珏) 可以被分解为妒( ) = 妒，( 钍) + 仍( ) ， 其中 也( t ) = p ( 丑 引m = l 1 1 ) = e 一h h ) t 则( 2 2 3 ) 可以整理为 舴闭。广e 撕卿f i ( u + e t ) d t 0+ 嵩e 一唑掣 九( ”) = a lr e 埘班 + t 等墨- e - 娃丛掣绁 j ，i7 l 曲阜师范大学硕士学位论文 + a z 毕e c x + , x 哳删a t + 煮e 一唑一 + a 。e t + 即( + c ) d t + t ! 等! 罢j e 一垡丛砖掣 j 07 t l t o 对( 2 2 4 ) 式进行变量替换得 州= t hj 广e 一唑掣“蚰t + 害f e 一龇掣们) 出 + t ：j 8 一业丛咤2 ! = 韭n 1 6 ( 6 ) + a 舶( 6 ) 1 + i ；j i 干i 8 。 p 1 1 【+ 舶【”j 对( 2 2 5 ) 式关于“求一阶导数得 ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) 拍) _ a if b e - 掣( 岂半) “棚t 一等) + 害z e 一一( 半) 舶a t 一尝舶 ， + 觜e 一掣( 岂掣) ， = 半州旷孙”咖出粕旷扣 设z = 嘶 l 1 2 ，则当0 b 时 ，= !，t + d 矗m ) = 。p ( z = 岛z = l 1 2 ) e 一以 妒1 扣+