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文档简介

摘要 摘要 近十年来,作为一门新兴的交叉科学,复杂网络在各个学科中有着广泛的应 用。从整个人类社会到细胞内部的蛋白质,网络的概念为我们提供了一个认识现 实复杂系统的新视角。 现实中的复杂系统的复杂性大体上包含两个方面,一方面是个体动力学行为 的复杂性,现实的个体往往是非线性系统,它会有周期地或混沌地振荡,还会发 生各种复杂的分岔行为。另一方面是个体间的相互作用的复杂性,即使是简单的 个体组成的复杂系统,也会涌现出丰富的整体现象。那么,个体间的相互作用和 整体的复杂现象有着怎样的关系,就是复杂网络研究的内容之一。 耦合神经元网络就是一个典型的复杂系统,一方面,神经元本身就是一个具 有多时间尺度的可激发的非线性动力系统,它在不同的外界刺激下,会表现出不 同动力学行为:当外界刺激改变时,还会出现丰富的分岔现象。另一方面,神经 元的相互连接也具有两种复杂性,一是神经元的突触连接本身的复杂性,例如神 经元的化学突触在传递信号时需要在胶质细胞的辅助下释放和接受神经递质,同 时还需要a t p 提供能量,这个过程中就涉及到非常复杂的生物化学反应。二是 神经元网络拓扑结构的复杂性,大量的实验数据表明,大脑中神经元的结构网络 和功能网络都不是一个简单的规则网络或者完全随机的网络,而是具有小世界性 质和无标度性质的复杂网络。在个体和相互作用的复杂性的共同作用下,耦合神 经元网络表现出丰富的时空动力学现象,簇放电同步态就是其中之一。本论文中 的一个主要研究方面就是关于耦合神经元网络上的簇放电同步态。 在研究复杂体系的时空行为时,除了常偏微分方程外,我们还可以使用耦 合映象格子。与微分方程相比,耦合映象格子的计算量更小,更有利于数值模拟。 本论文的另一个方面就是研究耦合l o g i s t i c 映射的时空斑图的行为。 总的来说,本论文主要研究了耦合神经元网络以及耦合映象格子上的时空动 力学问题,包括以下几部分内容: 复杂网络上的簇放电同步过程 与全同振子的完全同步态不同,耦合神经元的簇放电同步态不是一个同步流 形。因此,对于神经元的簇放电同步态的研究不能宜接使用全同振子的完全同步 态的主稳定方程分析方法。我们研究了在n e w m a n w a t t s ( n w ) 型小世界网络上通 过电突触耦合的h i n d m a s h r o s e ( h r ) 神经元的簇放电同步过程。随着耦合强度的 摘要 增大,系统先从时空混沌态转变到第一种属于f o l d h o m o c l i n i c 类型的簇放电同步 态,然后这种簇同步态经历一个s p i k e - a d d i n g 过程到达另一种f 0 i d h o p f 类型的 簇放电同步态。在这个过程中,神经元的度起着关键性的作用,所有度七 k 的 神经元都会从f o i d - h o m o c i i n i c 类型的簇放电态转变为f o l d h o p f 类型的簇放电态。 这种动力学成簇的现象可以通过局域平均场近似来得到定性解释。我们还简要的 讨论了通过化学突触耦合的神经元系统的簇放电同步态的转变行为。( 这部分内 容发表在p h y s i c a lr - e v i e we 上) 在此基础上,我们研究了一系列基于n w 型算法生成的复杂网络上耦合h r 神经元的同步过程。通过数值模拟,我们给出了在二维相图上的几种不同的斑图 类型的区域以及过渡区域的范围,并且与理论的完全同步以及簇同步阈值做了对 比。我们还发现当网络属于小世界类型时,系统最容易出现时空规则的簇放电同 步态。 从神经元放电行为推测网络拓扑性质 在很多实际网络中,尤其是神经元网络,有时难以获得网络的具体结构。这 时,如何通过动力学性质来推测网络的拓扑结构的“逆向工程”,就成为了一个 令人关心的话题。在这里,我们就提出了两种通过神经元放电的信息来推测网络 度分布性质的方法,一种是根据神经元放电的振幅,而另一种是根据神经元在 次簇放电过程中放电的次数。 我们发现通过电突触耦合的m o 喇s l e c a r 神经元网络在发生簇同步时,其放 电的振幅与神经元的度有着非常好的线性关系,这种线性关系的关键之处在于在 发生簇同步时各个神经元的尖峰放电的无关性。我们根据这一关系提出了用放电 的振幅来推测网络的度分布的方法,最后在无标度网络和小世界网络上验证了这 一方法。( 这方面的部分内容已经提交给p h y s i c a lr e v i e we ) 我们在研究耦合h r 神经元通过簇同步的过程中发现,h r 神经元在 f o l d _ h o m o c l i n i c 型簇放电模式和f 0 i d h o p f 型簇放电模式下在一个簇放电过程中 有着明显不同簇放电数目。我们还发现神经元在达到f o l d h o p f 型簇放电所需的 耦合强度与它的度成倒数关系。因此在神经元发生分岔类型转变的过程中,我们 可以根据的神经元在个簇放电过程中的放电数目来推测出各个神经元的相对 度的大小,从而得到整个网络的度分布的性质。 复杂网络上耦合映象格子的同步与时空斑图 耦合映象格子是另一种重要的时空体系模型。我们在这里研究了n w 型复 摘要 杂网络上的耦合l o g i s t i c 模型。首先,结合数值模拟和主方程分析,我们给出了 在以耦合强度和随机长程连接几率为参量的二维相空间内的同步区域。然后我们 发现在不同的耦合强度下,系统的时空斑图会随着长程连接的增多而发生不同的 变化:在强耦合条件下,系统会从时空无序斑图先变成两种斑图的共存态,然后 变成同步混沌斑图;在弱耦合条件下,系统会变成三种斑图的共存态,并且最终 会变成时间有序空间也较同步的时空有序斑图。在这个过程中,最终的两种斑图 时空有序和同步混沌斑图是规则网络上不曾出现的。因此,我们认为拓 扑无序会导致耦合映象格子从时空混沌态中产生新的斑图,并且在某种程度上也 有“随机长程连接驯服时空混沌”的效果。( 这方面的工作发表在c h i n e s ep h y s i c s l e t t e r 上面) 关键词:复杂网络动力系统神经元耦合映象格子同步时空斑图分岔 局域平均场近似 a b s 打a c t a b s t r a c t i nr e c e n td e c a d e s ,a sa ni n l p o r l a n ti n t e r d i s c i p l i n a 巧s c i e n c e ,t h ec o n c e p to f c o m p l e xn e t w o r l ( sh a sb e e na p p l i e di nm a n ys u b j e c t s r a n g i n gf - r o mt h ew h o l eh u m a n s o c i e t yt op r o t e i ni nc e l l s ,t h ec o n c e p to fc o m p l e xn e t v v o r k sp r o v i d e su san e wp o i n t o f v i e wi nt h er e s e a r c ho fc o m p i e xs y s t e m s b a s i c a l ly ,t h ec o m p l e x i t yo fc o m p l e xs y s t e m sc a nb et r e a t e da st w op a r t s :o n ei s t h ec o m p l e x i t yo ft h ec o m p o n e n t s t h eo t h e ro n ei st h ec o m p l e x i t yo fi n t e r a c t i o n s t h ec o m p l e xs y s t e mw i l le m e 唱eal o to fc o l l e c t i v eb e h a v i o re v e ni ti sc o m p o s e do f t h es i m p l e s tc o m p o n e n t s t h e r e f o r e ,t h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h ei n t e r a c t i o no ft h e c o m p o n e n t sa n dt h ec o m p l e x b e h a v i o ro ft h ew h o l es y s t e mi so n eo ft h em a i nt o p i c s i nt h er e s e a r c ho nc o m p l e xn e “v o r l ( s ac o u p l e dn e u r o nn e t w o r ki sat y p i c a lc o m p l e xs y s t e m f i r s t ,an e u r o ni sa e x c i t a b l en o n l i n e a rd y n a m i c a ls y s t e mo fm u l t i t i m es c a l e i ts h o w sd i f r e r e n t d y n a m i c a lb e h a v i o r sw h i l et h eo u t e r s t i m u l a t i o n sa r ed i f r e r e n t ,a n di ta l s oh a v e a b u n d a n tt y p e so fb i f u r c a t i o n sd u r i n gt h ec h a n g i n go fo u t e rs t i m u l a t i o n s s e c o n d ,t h e c o n n e c t i o n sb e t w e e nn e u r o n sa r ca l s oc o m p l i c a t e d 。o no n eh a n d ,t h ed y n a m i c so ft h e n e u r o n s 。s y n a p s e sa r ec o m p l e x e 吾w h e nan e u r o nt r a n s m i t sas i g n a lt oa n o t h e r n e u r o nv i ac h e m i c a ls ”a p s e t h ea x o no ft h ef i r s tn e u r o nr e l e a s e san e u r o t r a n s m i t t e r , a d j u s t e db yt h ea s t r o c y t e s ,a n dt h e nt h en e u r o t r a n s m i t t e rr e a c h e st h ed e n d r i t eo ft h e s e c o n dn e u r o n d u r i n gt h i sp r o c e s s ,t h ee n e r g yi sp r o v i d e db ya t pm o l e c u l a r s t h i s p r o c e s sh a ss om a n yb i o l o g i c a l a n dc h e mi c a lr e a c t i o n st h a tt h ep r o c e s si t s l e fi s c o m p i i c a t e de n o u g h o nt h eo t h e rh a n d ,a l o to fe x p e r i m e n tr e s u l t si n d i c a t et h a te i t h e r t h e 向n c t i o no rt h es t r u c t u r eo fan e u m ns y s t e mi sn o tar e g u l a ro rr a n d o mn e t w o r k a c t u a il y ,t h es t m c t u r eo rt h e 允n c t i o nn e 似,0 r ko ft h eb r a i nh a sb o t hs m a l lw o r l da n d s c a l e仔e ec h a r a c t e r i s t i c s t h u s , t h en e u r o n sc o m p l e x i t ya n dt h ec o n n e c t j o n s c o m p i e x i t ym a k et h ec o u p i e dn e u r o nn e t w o r k sh a v ea b u n d a n to fs p a t i o t e m p o r a l d y n a m i c a ip h e n o m e n a o n eo ft h e s en o n t r i v i a ld y n a m i c a l p h e n o m e n ai s b u r s t s y n c h r o n i z a t i o n ( b s ) ,w h i c hi so n eo f t h i se s s a y st o p i c s a sw e i ia st h ed i 丘e r e n t i a ie q u a t i o nm o d e i s ,t h ec o u p l e dm a pl a t t i c em o d e li sa l s o v a b s t r a c t au s e f u it o o lt os t u d yt h es p a t i o - t e m p o r a lb e h a v i o ro fc o m p l e xs y s t e m s t h ec o u p l e d m a pl a t t i c em o d e li sm o r es u i t a b i ef o rn u m e r a ls t u d yb e c a u s ei th a sl e s sc a l c u i a t e d a m o u n tt h a nd i f r e r e n t i a le q u a t i o nm o d e l s t h eo t h e rt o p i co ft h i se s s a yi sf - o c u s e do n t h eb e h a v i o ro f s p a t i o t e m p o r a lp a t t e m so f c o u p l e dl o g i s t i cm a p s o v e r a i l ,t h es p a t i o - t e m p o r a ld y n a m i c a lb e h a v i o r so fc o u p i e dn e u r o n sn e t w o r k s a n dc o u p l e dn l a pi a t i c ea r es t u d i e di nt h i se s s a y ;w h i c hi n c l u d e st h ef o l l o w i n gp a r t s : t h eb 坩s n n gs ) ;n c h r o n i z n t i o np r o c e s s0 nc o m p l e xn e 柳o r h t h em l ls y n c h r o n i z a t i o ns t a t eo fh o m o g e n e o u so s c i l l a t o r si sas y n c h r o n o u s m a n i f o l d ,b u tt h eb ss t a t ei sn o t t t h e r e f o r et h em a s t e rs t a b i l i t yf u n c t i o n ( m s f ) c a n n o tb eu s e dt oa n a l y s et h eb sb e h a v i o r h e r e ,w es t u d i e dt h ee l e c t r i c a lc o u p l e d h i n d m a s h r o s en e u r o n so ns m a l lw o r l dn e t w o r k sp r o p o s e db yn e w m a na n sw a t t s w i t ht h ei n c r e a s i n gc o u p l i n gs t r e n 鲈h ,t h es p a t i o - 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0 u n do u tt h es p i k en u m b e rp e r b u r s t ( s p b ) i sq u i t ed i 疵r e n tb e t w e e nf o i d - h o m o c i i n i cn e u r o n sa n df o l d h o p fn e u r o n s a n dt h ec r t i c a lc o u p l i n gs t r e n 舒hf o ran e u r o nt ob e c o m ef o i d - h o p ft y p eh a sa r c c i p r o c a ir e l a t i o n s h i pw i t ht h en e u r o n sd e g r e e 7 r h u s ,c o m b i n i n gt h ei n f 0 彻a t i o no f t h es p ba n dc r i t i c a ic o u p l i n gs t r e n 酉h ,w ec a ng e tt h ed e g r e ep r o p e r t yo ft h en e t w o r k s y n c h o n i z n t i 明彻dp d t t e m 匆n a m i c s 西c 0 印! e dm n pi n t t i c e 0 nc o m p t e x c o u p i e dm a p i a t t i c ei sa n o t h e ri m p o r t a n ts p a t i o - t e m p o r a lm o d e l h e r ew es t u d i e d t h ec o u p l e dl o g i s t i cm a p so nc o m p l e xn e t w o r k so fn wt y p e f i r s t ,c o m b i n i n g n u m e r i c a ls i m u l a t i o n sa n dm a s t e r凡n c t i o n a n a l y s i s , w e f i g u r e d o u tt h e s y n c h r o n i z a t i o nz o n ei nt h ep a r a m e t e rs p a c eo fc o u p l i n gs t r e n g t ha n dt h ef h c t i o no f r a n d o ms h o n c u t s s e c o n d ,w es t u d i e dt h ep a t t e mf o m a t i o na n ds e i e c t i o np r o c e s s u n d e rs t r o n gc o u p l i n gc o n d i t i o n ,t h es y s t e mw i l lc h a n g e 矗o ms p a t i o - t e m p o r a lo r d e r p a t t e mt ot 、od i 骶r e n tp a t t e r n sa n df i n a l l yc h a n g e dt 0t h e 如l ls y n c h o n i z e dc h a o t i c p a t t e m u n d e rw e a kc o u p l i n gc o n d i t i o n ,m es y s t e mu n d e r g o e st h ep a t t e m so ft h r e e t y p e sa n df i n e l i ys t a y sa tt h es p a t i o t e m p o r a lo r d e r e dp a t t e m ,w h i c hi s o n eo ft h e f o r m e rp a t t e m s d u r i n gt h e s ep r o c e s s e s ,t h e r ca r et w on e wp a t t e m s ,s p a t i o - t e m p o r a l o r d e r e da n ds y n c h r o n i z e dc h a o t i cp a n e m s ,w h i c ha r en o te x i s t e di nr e g u i a rn e t w o r k s h e n c e ,i ss e e m st h a tt h et o p o i o g i c a ld i s o r d e rh a si n d u c e ds o m e w h a tp a t t e mf o r n l a t i o n a n dh a sa ne f 话c to f 。r a n d o ms h o r t c u tc a nt a m es p a t i o t e m p o r a lc h a o s a b s t r a c t k e y w o r d s :c o m p l e xn e t 、o r k ,d y n a m i c a ls y s t e m ,n e u r o n ,c o u p l em a pl a t t i c e , s y n c h r o n i z a t i o n ,s p a t i o - t e m p o r a lp a t t e m ,b i 凡r c a t i o n ,l o c a lm e a nf i e l da p p r o a c h v u i 中国科学技术大学学位论文原创性声明 本人声明所呈交的学位论文,是本人在导师指导下进行研究工作所取得的成 果。除己特别加以标注和致谢的地方外,论文中不包含任何他人已经发表或撰写 过的研究成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了明确 的说明。 作者签名:趋逾签字日期:兰= ! ! ! :三 中国科学技术大学学位论文授权使用声明 作为申请学位的条件之一,学位论文著作权拥有者授权中国科学技术大学拥 有学位论文的部分使用权,即:学校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交 论文的复印件和电子版,允许论文被查阅和借阅,可以将学位论文编入有关数据 库进行检索,可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。本人 提交的电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 , 国公开口保密( 年) 作者签名: 签字日期: 乡见谕 导师签名:蟹生! 函 签字日期:三弓么易亏_ 第一章复杂网络动力学研究进展 第一章复杂网络动力学研究进展 由大量个体组成的复杂系统的复杂性包含两个部分,个体的复杂性与相互作 用的复杂性。对于耦合时空体系,个体的复杂性在于个体的动力学性质及其产生 的各种动力学现象,比如不动点、极限环及其相互转变时的各种分岔行为。而相 互作用的复杂性的一个重要方面在于个体间相互耦合的关系形成的网络的拓扑 结构的复杂性。研究表明,大量实际的网络并不是完全规则或者完全随机的,而 是介于其中的复杂网络,比如小世界网络和无标度网络。本论文着重于探索相互 作用的复杂性如何影响复杂系统的整体性质,尤其是时空动力学行为;以及如何 通过系统的时空动力学性质来判断个体之间的相互作用的拓扑结构。 在这一章中,我们首先介绍了有关网络拓扑结构的一些重要的统计性质和几 种典型的复杂网络的模型,然后就动力系统及其分岔进行了简单的概述,最后, 我们总结了复杂网络上两种常见的时空动力学行为的研究进展:同步和时空有序 结构。 第一章复杂网络动力学研究进展 1 1 复杂网络及其性质【1 】【2 】【3 】【4 】【5 】 网络很简单,它就是一些用线连起来的点。作为一个纯理论的模型,至少早 在1 8 世纪,作为图论的网络就已经被详细研究了【。 但是,网络又不简单。现实世界不是孤立的个体,而是存在着相互作用的复 杂系统。最近十多年,网络在研究复杂系统中展现了简单但惊人的效果,从而成 为了最主要的工具【7 j 。例如,由光缆、电缆等连接起来的计算机、路由等组成的 因特网【8 】、由超级链接所连接的网页组成的万维网、人与人之间的交往形成的人 际关系网【9 】【i0 1 、生物体内的新陈代谢网【1 、通过神经突触连接的神经元形成的神 经元网络【1 2 】等等。构成网络的元素可以千差万别,连接这些元素的关系也可以各 不相同,但这些网络却具有一些共同的统计性质,这些统计性质也对其上的种种 动力学行为产生了重要的影响。这为我们研究它们提供了可能性和必要性。 早期对网络的研究主要是属于数学领域的图论。除了规则图外,最简单的模 型是有e r d o s 等提出来的随机图。随着研究的不断深入,尤其是最近数十年网络 在各个领域的的大量应用,人们发现实际的网络既不是完全规则的,也不是完全 随机的。1 9 9 8 年,w a t t s 和s t r o g a t z 提出小世界网络模型【1 3 】:1 9 9 9 年,b a r a b a s i 和a i b e r t 提出无标度网络模型【l4 1 。这两项工作揭开了不同领域不同尺度的网络 所拥有的共同本质的神秘面纱,掀起了复杂网络研究的热潮。在这两个工作的基 础上,人们一方面不断改进网络的模型,并提出了更新颖有效的统计性质,另一 方面开始研究在这些抽象网络上动力系统的性质以及与网络统计性质的相互关 系。 1 1 1 复杂网络的统计性质【1 】【2 】【3 】【4 】【5 】 为了考察网络的性质,我们把网络表达为由点和连接着点的边组成的图。在 无向图中边是无向的,而在有向图中边是有向的。在这里,我们既不考虑一个点 与其自身相连以及两个点之间多条边的情况,也不考虑有权重的网络。 这样的网络的结构可以通过邻接矩阵a 来表示。如果点f 和点相连,则在 矩阵对应的元素么移= l ,否则者彳移= 0 。这样的一个邻接矩阵就可以用来表达一 个忽略掉无关细节的抽象网络,通过考察它的性质就可以得到网络的拓扑结构性 质。 2 第一章复杂网络动力学研究进展 1 1 1 1 度及其分布 度( d e g r e e ) 是关于节点最简单也是最重要的性质。节点f 的度岛定义为与该 节点连接的其他节点的数目。网络中所有节点的度的平均度称为平均度( 0 ,则网络是同配的( a s s o r t a t i v e ) ;反乞当, 0 ,那么网络就是异配的 ( d i s a s s o r t a t i v e ) 。 对于同配的网络,度较大的点会相互连接从而形成一个高度连接的核心,度 较小的点环绕在其周围;对于异配的网络,那些度较大的点倾向于散布在整个网 络中。 这种拓扑结构上的差异导致了其上动力学行为的不同影响。例如在同配性网 络上,传染病比较容易在核心点上相互传染,从而更容易持续存在下去,但同时 3 第一章复杂网络动力学研究进展 也难以扩散到周围那些度较小的点,因此难以影响整个网络。反之,在异配性的 网络上,传染病比较难以维持下去,但一旦能持续下去,它很容易就会传遍整个 网络【6 1 。 另外,人们还发现异配网络上的全同混沌振子更容易达到同步。其原因在于 异配网络的拓扑结构特性使得其同步流形更稳定【1 7 1 。 1 1 1 3 平均路径长度 网络中两个点之间的距离( 蝴定义为连接这两个节点的最短路径上的边数。 网络中任意两个点之间的距离的最大值称为网络的直径( d ) 。网络的平均路径长 度定义为所有节点对之间的距离的平均值,即:工= ( 乃) 。尖括号表示对所有 节点对平均。 在研究中人们发现现实网络的路径长度异乎寻常的小,比如著名的“六度分 离”实验表明地球上数十亿人组成的庞大的关系网的平均路径长度仅仅为6 。这 种情况被称为具有“小世界”性质。这一特性表明现实网络上的传播是非常迅速 有效的【1 3 】【9 1 。 我们可以从另一个角度来理解这种“小世界”性质:对于网络中的每一个点, 他都连接着大概门个点,而这刀个点中的每一个又会连接着大概,z 个点。这样的, 一个点在距离,的范围内能连接的点的个数会随着,的增大而以指数级迅速增多。 那么,一个网络的平均路径长度,应该与它的大小有着对数的关系:,l o g ( ) 【3 】 1 1 1 4 聚类系数 在很多现实网络中,一个点a 如果和点b ,而点b 又和另外一个点c 相连 的话,那么点a 和点c 也会有很大的概率相连。这种现象称作聚类( c l u s t e r i n g ) 或传递( t r 锄s i t i v i t ”。我们通过聚类系数c ( c l u s t e r i n gc o e f f i c i e n t ) 来衡量这种效果。 某个点f 的聚类系数定义如下: 2 e 争而习 l 3 ) 其中,岛为点f 的度,即与它相连的点数。易为与该点相连的毛个点之间实际存 在的边数。整个网络的聚类系数就是所有节点的聚类系数的平均值:c = ( c j ,) 。 实际上,对于一个随机网络,当节点数很大时,c :d f - 1 ) 。而对于实 际网络,当节点数很大时,聚类系数会趋向于一个常数,即c = d ( 1 ) 。与具有 4 第一章复杂网络动力学研究进展 相同的点和边的随机网络相比,实际网络的聚类系数更大,这表明随机网络并不 是描述实际网络的一个很好的模型。 1 1 1 5 介数 在研究网络上的传播时,一个重要的拓扑结构参数是介数饵e t w e e n n e s s c e n t r a l i t y ) 。一个点的介数岛( d 的定义为都是通过它们的最短路径的数目,即: g ( f ) = 掣 ( 1 4 ) j “州u 耵 其中,j 和f 为网络中的节点,妇为从源点s 到目标点t 的最短路径的数目,吼,( f ) 为这些最短路径经过点f 的数目。 一般来说,网络中度较大的点的介数也都较大,但介数大的点却不全是度大 的点。尤其在社团结构比较明显的网络中,介数大的点也有可能是处于社团与社 团的连接处的点( 图1 1 ) 。 图1 1 网络中点的介数 注:方形和圆形表示点属于不同的集团,大小代表介数的大小 1 1 1 6 社团结构,模体与子图 除了上述那些全局的统计性质,网络的局部拓扑结构及其组成成分也有着重 要地位。 很多网络,比如社会网络,计算机网络,新陈代谢网络等等都会自发的分成 社团结构或者说是模块。社团结构( c o m m u n i t ) ,s t m c 咖e ) 或模块( m o d u l a r ) 指的是网 络中的节点的子集。在这些子集内部的边的密度要比子集间的边的密度大得多。 图1 2 所示的是一个典型的社团结构,它是一个由6 2 头宽吻海豚组成的社会网 5 第一章复杂网络动力学研究进展 络。 图1 2 网络中的社团结构 社团结构可以说是表征了复杂网络的局部拓扑结构,而模体( m o t i f ) 则是复杂 网络的基本模块。在前面提到,真实的复杂网络的聚类系数要远远大于同样节点 数和边数的随机网络。这表明网络在局部会包含各种有高度连接的节点构成的子 图( s u b g r a p h ) 。这些子图并不具有同等的拓扑或者功能上的重要性,实际上,那 些在实际网络中所占的比例明显高于在相应大小的完全随机化的网络中的子图 才起着关键作用,这样的子图就称为模体( 图1 3 ) 。 6 图1 3 网络中的模体 第一章复杂网络动力学研究进展 1 1 1 7 矩阵谱 既然网络可以用矩阵来表示,那么考察网络结构的另一个方法就是去考察相 应矩阵的特征。特征值是矩阵的一个非常重要的量。下面介绍几种常见的矩阵及 其特征谱和它们的应用。 1 邻接矩阵谱与环结构 含有n 个节点的图g 可以用邻接矩阵a ( g ) 来表示。如果点f 和点_ ,相连, 则彳 ,= 1 ,否则一扩= 0 。图g 的谱即为邻接矩阵a 的特征值。含有n 个点的图 拥有n 个特征值。通常情况下,我们可以定义谱密度函数: 尸( 五) 。专荟万( 五一乃) , ( 1 5 ) 当哼时,谱密度函数成为一个连续函数。 谱密度函数与图的拓扑性质密切相关。考察它的七阶矩: 专姜( 乃) = 专

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