（计算数学专业论文）cagd中cbezier曲线上曲面可展性研究.pdf

摘要 本文对计算机辅助几何设计中( c a g d ) 中的一类新自由形曲线上曲面可展性进 行了深入研究。着重讨论了c - b 6 z i e r 曲线上可展曲面造型和曲面展开方法。完成的 主要研究内容和结果如下： 一、回顾了可展曲面的概念和性质，系统叙述了c a g d 中可展曲面造型和复杂曲 面展开方法的发展和理论及应用研究成果。 二、推导出了三次c - b 6 z i e r 曲线导矢计算的简洁公式，证明了b 4 z i e r 曲线的速 端曲线( f i r s th o d o g r a p h ) 性质对c - b 4 z i e r 曲线不成立。第一次给出了三次c - 瞻z i e r 曲线导矢的一个极限性质：当口- - o 时，三次c - b 6 z i e r 曲线一阶导矢的极限为同次 b 6 z i e r 曲线的一阶导矢，并指出了该极限性质对c b z i e r 曲线的二阶导矢不成立。 揭示了c - b 4 z i e r 曲线更深刻的特征。 三、在三维射影空间中运用对偶思想，提出了两种c - b 4 z i e r 曲线上可展曲面造 型的方法：一个是作为单参数平面族包络面的可展曲面构造，另一个是作为脊线的切 线曲面的可展面构造。并给出了c - b e z i e r 曲线上单参数平面族与控制平面的关系。 四、给出了c - b 6 z i e r 曲线上锥面、切线曲面以及复杂曲面的展开方法。首先， 构造了c - b 6 z i e r 曲线上的锥面和切线曲面，分别建立了它们到平面的等距映射，给 出了c - b 6 z i e r 曲线上锥面、切线曲面的展开方法。然后，构造两条空间b 6 z i e r 曲线 上的直纹面，给出了它成为可展曲面的一个充分条件，并通过保角保长原则，将其贴 含劐平面上。最后，采用分片与近似的思想，给出了复杂曲面展开的算法，并提出由曲 面面积和曲面展开面积的相对误差调节分片程度来满足精度要求。 五、给出了c - b 6 z i e r 曲线作为特征曲线的可展曲面造型方法。对任意给定的空 间c - b 6 z i e r 曲线，分别得到了一个可展曲面，使这条c - b 6 z i e r 曲线为该可展曲面的 曲率线和测地线。 六、以上提出的c - b 4 z i e r 曲线上可展曲面造型方法和曲面展开算法，均给出了 当口一0 时的极限，并与b 6 z i e r 曲线的情形作了分析和比较。这些方法和算法均应 用于实例在计算机上得以实现。 关键词：c - b 4 z i e r 曲线对偶可展曲面曲面造型曲面展开特征曲线 a b s t r a c t n l i sp a p e r p r o f o u n d l ys t u d i e ss u r f a c ed e v e l o p a b l i t yo n n e was e to fc t l r v e si nt h ef i e l d o fc a g da n d p a y sa t t e n t i o nt ot h em e t h o d so fd e v e l o p a b es u r f a c em o d e l i n ga n d s u r f a c e d e v e l o p m e n t o nc - b $ z i e rc u r v e t h er e s e a r c ha c h i e v e m e n t sa n dm a i nc o n t e n t sa r ea sf o l l o w s ： 1 n l eh i s t o r ya n dr e p r e s e n t a t i v ew o r ko fm e t h o 如o ft h e d e v e l o p a b l e s u r f a c e m o d e l i n ga n ds u r f a c ed e v e l o p m e n ti nt h ef i e l do f c a g d a r eb r i e f l yr e v i e w e d 2 as u c c i n c tf o r m u l af o rc a l c u l a t i n gt h ed e r i v a t i v eo f t h ed e g r e e3c b d z i e rc l u w ci s g i v e n ，t h e na ni m p o r t a n tp r o p e r t yi so b t a i n e d ：w h e n 口一0 t h ef i r s to r d e rd e r i v a t i v eo f m e d e g r e e3c - b d z i e rc u r v ei s t h a to ft h ed e g r e e3b d z i e rc u r v e a b e rt h es e c o n do r d e r d e r i v a t i v eo f t h ed e g r e e3c - b d z i e rc u r v eh a sn ot h e p r o p e r t y 3 b yu s i n g t h ed u a lc o n c e p tb e t w e e n p o i n t sa n dp l a n e si t l3 dp r o j e c t i v es p a c e ，t w o c l a s s e so fd e v e l o p a b l es u r f a c e so nc - b d z i e rc h i v ea r ec o n s t r u c t e d 田圮f o r m e ri sa sa e n v e l o p eo f o n e - p a r a m e t e rp l a n ef a m i l y t h el a t t e ri sat a n g e n ts u r f a c ew i t hc - b d z i e rc u r v e a ss p i n ec u r v e 4 t h em e t h o d so f d e v e l o p m e n tf o rc o n e sa n d t a n g e n ts u r f a c eo nc b 6 z i e rc u r v ea n d t h ec o m p l e xs u r f a c e sa r eo b t a i n e d f i r s t am a pb e t w e e n 也ec o n e sa n d t a n g e n ts u r f a c eo n c - b 6 z i e rc u r v eu n dt w o d i m e n s i o n a l p l a n e i sf o u n dr e s p e c t i v e l ya n dt h e nar u l e d s u r f a c eb e t w e e nt w ob d z i e rc u i w e s i sc o n s t r u c t e da n das n 伍c i e n t c o n d i t i o no ni t s d e v e l o p a b l i t yi sg i v e n f i n a l l y , t h ec o m p l e xs r r f a c e sa r ed e v e l o p e db yp a r t i t i o no ft h e s u r f a c e si n t os m a l ls u r f a c es e g m e n t ，a n da p p r o x i m a t i o no ft h es m a l ls e g m e n tw i t ht h e d e v e l o p a b l es u r f a c eb e t w e e nt w ob d z i e rc n r v e s t h en u m b e ro f p a r t i t i o ni sd e c i d e db y 血e a r e a a c c u r a c y 疋 5 t w oc l a s s e so f d e v e l o p a b l es u r f a c e sw i t ha n yc b d z i e rc u l w ea sc u r v a r t r ec u r v e a n d g e o d e s i c c l r v er e s p e c t i v e l ya r ec o n s t r u c t e d f i n a l l y , w h e n 口专0 t h el i m ts i t u a t i o n sf o rt h ed e v e l o p a b l em o d e l i n ga n ds u r f a c e d e v e l o p m e n ta b o v ea r ea l l d i s s c u s s c da n dc o m p a r e dw t t ht h o s eo nb e z i e rc u r v e t h e p r o g r a m so ft h ea b o v em e t h o d su n da l g o r i t h m sa r ed e v e l o p e d ，w h i c hs h a l lb cu s e di nt h e s y s t e mo f d e v e l o p a b l es u r f a c em o d e l i n gf 1 0 rc a d c a m k e y w o r d s ：c - b 6 z i e rc u r v e d u a l i t y d e v e l o p a b l es u r f a c e s u r f a c em o d e l i n g s u r f a c ed e v e l o p m e n t f l a t t e n i n g c h a r a c t e r i s t i cc u r v e 南京航空航天大学硕士学位论文 第一章绪论 可展曲面( d e v e l o p a b l es u r f a c e ) 作为直纹面的一个重要子类，在微分几何中已有丰 富的理论研究成果。近年来随着c a g d 中的曲面造型理论和应用的不断深入，为适应 曲面造型和工程应用不断提出的新需求，国内外学者对可展曲面理论和应用开展了深 入的研究。本文试图在这个领域内对一类自由形曲线上曲面的可展性进行某些研究。 本章首先回顾可展曲面的概念和有关性质，然后对可展曲面的造型方法、复杂 曲面的展开技术以及可展曲面在其它领域的应用作一个系统的综述，最后介绍本文的 研究工作。 1 1 可展曲面及其性质 直纹面是由一类连续的直线族成的曲面，这个族中的直线称为直母线。在直纹面 上取一条曲线( 通常称为导线) ： ，： 多= 芦( “) 口 材 b 算设a ( “) 为导线，上一点的直母线上的一个非零向量，则直纹面的向量方程为： g ( u ，v ) = 卢( “) + 啊1 ( “) ( 口 “ 6 ， v 佃) ( 1 1 1 ) 特别地，当磊( “) = 磊( 常矢量) 时，直纹面为锥面：当矗( ”) 的方向固定时，直纹面为柱 面。 一条曲线的切线所产生的直纹面称为该曲线的切线曲面，其向量方程为： x ( u ，v ) = 卢( “) + 巾( “) ( 1 1 2 ) 定义1 1 一个直纹面z 如果沿着它的母线只有一个切平面，则称此直纹面 为可展曲面。 根据定义，显然圆柱面、圆锥面，切线曲面都是可展曲面。以下简要叙述可展曲 面的一些性质( 详见文献 1 2 ) 。 引理1 1 下列条件均是直纹面：牙( “，v ) = 芦( “) + 伊。( “) 为可展曲面的充要条 件： ( 1 ) c b c u ) ，芦，( “) ，声。( “) ) = 0 ； ( 1 - 1 3 ) c a g d 中c b d z i c r 曲线上曲面可展性研究 ( 2 ) 曲面z 为柱面或锥面或曲线的切线曲面 ( 3 ) 曲面为单参数平面族的包络； ( 4 ) 曲面的高斯曲率k = 0 ； ( 5 ) 曲面与平面等距对应。 1 2 可展曲面的造型方法综述 可展曲面由于其造型简单和容易加工被广泛应用于工业界产品零件的几何外形 设计中。我们可以使用通用的曲面造型技术来设计曲面，然后用可展面逼近算法得到 欲求的曲面，但为了提高工作效率和加工精度，就必须研究专门的可展曲面设计和构 造方法。可展曲面的应用范围十分广泛，对其几何设计和构造方法的研究成果已经有 许多。 =1 ：” 早在1 9 8 8 年，w e i s s 和p e t e r 3 1 研究了可展面的计算机辅助处理，但只是一最近点 匹配的方法用平面片逼近一些简单曲面a 1 9 8 9 年，r e d o n t m 为了便于可展憾画的交 互设计，基于高斯球面像提出了多片圆锥面组成可展面样条的离散表示( d i s e r e t e r e p r e s e n t a t i o n ) 与变形方法。1 9 9 2 年b o d d u l u r i 和r a v a n i t ”研究了可展面的几何设计和 装配。他们还进步把研究推广可展b d n e r 曲面和b 样条曲面，并利用平面和点几何 ， 墼对偶性研究可展曲面的设计方法。a u m a n n 吲则提出并研究了类特殊的可展 b d n e r 曲面。 p 在服装设计和加工领域，有比较多的研究成果。h i n d s 和m c c a r t n e y z 7 i 把一个人 体模特的躯干表示为双三次b 样条曲面，在此基础上进行了三维的交互服装设计。 a o n o 、b r e e n 和w o z n y 嗍则对纺织品的纹路特征研究在扭曲面( d o u b l ec u r v e ds u r f a t e ) 上放置织物的映射算法。杨继新、刘健和肖正扬9 1 研究了可展面的实现方法及其在三 维服装c a d 中的应用。 在飞机、汽车、舰船制造领域，m a n c e w i c z 和f r e y i ”1 研究了可展曲面的性质、 表示和设计方法用于通用汽车( g 1 ) 设计。进而，f m y 和b i n d s c h a d l e r 1 1 1 给出了一类 可展面b d z i e r 曲面的计算机辅助设计。b o e r s m a 和m o l e n a a r 1 2 1 做了工业中一个实例 c a g d 中c - b z i e r 曲线上曲面可展性研究 用两个方向上的带状区域展开曲面去逼近旋转曲面。 曲面展开算法已经在许多工业里得到应用，但是各行各业因各自材料、展开目 的不同而又各自的目标，因而产生了许多应用成果。在钣金材料加工领域，如汽车制 造业、航空制造业和造船业曲面展开问题一直是一个研究的热点。管道曲面的展丌也 是一个重要的研究方向，大量的文献报道了螺旋弯头、等径、对称叉管、空间叉管、 正交大小管、球面分头圆管的工程展开方法。1 9 8 9 年，a u m a n n 先用三角网格近似 给定的曲面，把三角网格的面积作为原曲面的近似，进而给出了斜直纹曲面近似保面 积展开的一个简单算法。康小明和马泽恩【2 4 1 则研究了一般不可展曲面近似展开的四 边形网格等面积法。杨继新、刘健和肖正扬1 2 5 - 2 7 1 给出了复杂曲面的可展化及其展开 方法。 1 4 可展曲面在其它领域的应用 可展曲面和曲面的展开理论和方法已经在c a d c a m 系统中广泛应用。由于可展曲 面本身具有很多独特的良好性质，在其它领域，也有广泛的应用。 自从7 0 年代中期c a t m u l l 首次采用纹理映射( t e x t u r e m a p p i n g ) 技术生成景物 表面的纹理细节以来，纹理映射技术得到了广泛的研究和应用【2 8 】。纹理映射技术关 键是如何建立景物空间与纹理空间之间的映射。基于可展曲面展平三维曲面后可以减 少纹理映射中扭曲现象的事实，1 9 9 1 年，b e n n i s t2 9 】等引入一个新的技术用于交互的 展平三维参数曲面，以实现非扭曲的纹理映射。不过它需要人工干预，存在一些不便 之处。 在计算机动画和曲面造型中，许多对象可以用分片连续的可展曲面来近似。但是， 当利用通常的分片多项式曲面模型来造型操作动画曲面时，很容易失去曲面的等距 性。因此直接研究用可展曲面进行造型并且操作动画曲面时保持等距性的技巧是很有 意义的。组构科学家j o h ns k e l t o n 指出，布料建模的方法应当是基于粒子的垂帘模 型。以次为基础，国际上目前已经出现了许多布料动画的研究工作。确切地模拟纸、 布料等的褶皱需要考虑诸如机械壳模型( m e c h a n i c a ls h e l l m o d e l ) 、弯曲动力、材料的 塑性等许多复杂的问题，而且可能出现边界层现象( b o u n d a r yl a y e rp h e n o m e n a ) 。为 了提高模拟计算的效率，k e r g o s i e n ”1 建立了一个可展曲面的数学模型用于模拟象纸 类的薄片( p a p e r - l i k es h e e t ) 的弯曲、折皱变形。同时这个模型允许曲面在变形的同 南京航空航天大学硕士学位论文 时保持与平面矩形片的等距性，从而可以真实地显示褶皱出现的过程。 在进行世界地图或的区地图绘制的时候，必须解决这样一个问题，即把三维的球 面投影到二维平面上【“1 ，因此，g i s g p s 系统中地图的绘制是可展曲面和曲面的展开 的一个典型的应用领域。并且考虑到绘制地球不同区域的需要，应该采用不同的投影 方法：如绘制两极需要采用极平面的投影方法、绘制整个世界地图则通常采用柱面投 影的方法、绘制上下半球的地图用锥面投影的方法等等。另外，g i s g p s 系统中还需 要研究方位角投影、正形( 等角) 投影、等面积投影、等距离投影、投影误差计算、 投影方位计算等。 1 5 本文主要研究内容 本文在消化、研究国内外有关文献资料的情况下，基于微分几何的理论，汲取已 有曲面造型中曲面可展性研究方法的精华。对新的更广泛类c b e z i c r 曲线上曲面可展 性进行了研究。主要研究内容由三个部分构成： 1 c - b e z i c r 曲线上可展曲面的构造； 2 c b 6 z i e r 曲线上可展曲面以及复杂曲面的展开方法； 3 c - b 6 z i e r 曲线作为特征曲线的可展曲面设计方法。 全文共分五章，各章内容安排如下； 第一章对可展曲面的造型技术和曲面展开方法研究的发展、意义和代表性工作以 及应用作了系统的综述。并介绍了本文的研究内容。 第二章给出三次c b 6 z i e r 曲线和二次c b 6 z i e r 曲线的概念和性质，推导三次 c - b 6 z i e r 曲线的导矢公式，研究c - b s z i e r 曲线导矢性质和当口呻0 时的极限 性质。并在扩大欧氏空间中根据对偶思想，在c b 6 z i e r 曲线上提出了两种 可展曲面的构造方法：作为单参数平面族包络面和作为脊线的切线曲面可 展曲面构造。并探讨c b 6 z i e r 曲线上单参数平面族与控制平面的关系。最 后将这些方法在计算机上得到实现，并应用于实例构造可展曲面。 第三章研究c b 6 z i e r 曲线上锥面、切线曲面以及复杂曲面的展开问题。首先建立 c b 6 z i e r 曲线上锥面和切线曲面的方程，分析它们的特性，给出它们到平 面的等距映射，使它们在等距意义下贴合到平面上。然后讨论复杂曲面的 展开。先讨论两条空间b e z i e r 曲线上直纹面的构造，研究它可展的条件， 通过保角保长原则依次展，建立它到平蕊的等距映射：再将复杂曲面分割 成条状，对每个条状曲面片，用两条b z i e r 曲线拟合其边界曲线，并在它 们间构造可展曲面逼近条状曲面片使其可展化，从而完成复杂曲面的展 c a g d 中c b 6 z i e r 曲线上曲面可展性研究 第四章 第五章 开，最后讨论曲面面积墨。和曲面展开面积芝。间的相对误差问题。 研究c - b 6 z i e r 曲线作为特征曲线的可展曲面设计方法。就重要的特征线： 曲率线和测地线进行讨论。对任意给定的空间c b 6 z i e r 曲线，根据曲率线 的性质，在该曲线的法线曲面基础上，设计求出一个可展曲面，使这条 c b 6 z i e r 曲线为该可展曲面的曲率线；根据测地线曲线的从切面与曲面的 切平面重合的特征，在插值该曲线的直纹面的基础上，设计求出一个可展 曲面，使这条c b z i e r 曲线为该可展曲面的测地线。使提出c - b 6 m e r 特征 曲线上的可展面设计在计算机上得以实现。 全文的总结。对研究工作的展望。 南京航空航天大学硕士学位论文 第二章c b d z i e r 曲线上可展曲面的构造 可展曲面在工业产品的制造方面有多种应用。近年来可展曲面的构造是微分几何 计算几何化研究中的一个非常重要的课题( 文献 1 4 卜 1 8 ， 3 9 卜 4 0 ) 。本章讨论基 于c - b 6 z i e r 曲线( 文献e 3 2 3 一 3 8 ) 的可展曲面造型方法。c - b d z i e r 曲线是张纪文利 用非多项式基函数 s i n t , c o s t ，t , 1 ，构造的一类新的曲线类，由于它保留了b d z i e r 曲线许 多优点，还具有比有理b d z i e r 曲线更简单方便的精确表达圆弧、椭圆弧等二次曲线的 能力，因此在c b d z i e r 曲线上构造的可展面，具有更灵活更强大的造型功能。 本章研究c - b d z i e r 曲线的导矢及导矢极限性质，采用直线的p l i l c k e r 坐标和对偶 思想，从两个不同角度探讨c - b d z i e r 曲线上可展曲面构造。 2 1 c b 6 z i e r 曲线及其性质 在这一节中给出c b d z i e r 曲线的定义和有关性质。 定义2 1 1 设孔，牙。，牙：，磊r3 或r2 是四个控制顶点，口是任意实数，且 0 口万，则曲线 n ：( u ) = s i n uc o s u “1 d q o ，磊，磊，磊r ( o “a ) ( 2 1 1 ) 其中 d ：l 口一s c1 一c mm l s f 口一k ) m 一，”0 1mm1 口一k k ) m i o n0 j = s i n a ，c = c o s a ，k = 掣 l c f 1当口= 万 一1 志凯口s 石【口一2 i 称为三次c b d z i e r 曲线。 式( 2 1 1 ) 可表示为 毽 ) = z 0 0 ) 磊+ z 1 ) 萌+ z ：0 ) 玩+ z 3 0 ) 磊 ( 2 1 1 ) c a g d 中c b d z i e r 曲线上曲面可展性研究 其中 z 0 ( “) ：( a - u ) - _ s i n ( a 一- u ) ， 口一s 1 n 口 z ，( ”) = 半， 口一s m 口 z 。( “) = m i v l - l c 一。s ( a 口- u ) c o s z 。( ”) i ， l l 一口 i z 2 ( 加m l l - 1 - c c 。o s s i u - z 如) i 称为三次c - b d z i e r 曲线的基函数，它们满足权性和非负性，即 ( 1 ) 互( “) ；1 ( 2 ) l ( u ) 0 ( i = 0 ，1 ，2 ，3 ) 定义2 1 2 设彳o ，牙l ，牙2 rs 或r2 为三个控制顶点，a 是任意实数，i t 0 口万， 职三嚣q oz b l i 鬻s o ，口 旺， = 岛( “) + ( “) 磊+ ( “) 玩，。一一 7 称为二次c - b d z i e r 曲线。 舯 m = 而1 f - s i n a 口一：二s 篡i n a _ ：) 亿 ， z o ( “) ：1 - = _ c o s ( a - 一u ) ； z i ( “) ：c o s ( o r - _ u ) + c o s u - c o sc t - 1 ； z 2 ( “) = _ 1 - - c o s u 。 上述毛( “) ，气似) 毛( “) 称为2 次c - b d z i e r 曲线的基函数，有类似于三次的权性和非负性。 c - b 6 z i e r 曲线有许多类似于b d z i c r 曲线的性质：端点插值、凸包、离散性质等， 还可精确表示二次曲线，它依赖于参数口，这增加了曲线构造的自由度。下面给出一 引理2 i ”1 d _ 0 时，二次、三次c - b d z i e r 曲线的极限分别是二次b d z i e r 曲线、 南京航空航天大学硕士学位论文 定理2 1 三次c b 6 z i e r 曲线( 2 1 1 ) 的导矢为 酉a b 2 ( u ) = i 1 s i i l “c 。s “1 m m * a l a 2 玎。 a 万，。s “口( 2 1 4 ) 其中 萄= q l - - q o ；雹= 玩一磊；磊= 磊一玩 m “d i a g 1 ，- j 兰坠，1 】 z s m 口一口一口c o s 口 一， l0 10l 等母卜：刘万， ( 2 1 5 ) ( 2 1 4 ) 其中a ：= q ：- 要磊 这说明c - b 6 z i e r 曲线的速端曲线性质对b 6 z i e r 曲线不成立。 证明：当a 万时 影( u ) = 蜀0 ) 磊+ 墨( “) 磊+ 互 ) 牙：+ 互( “) 吼 = 二；掣s m 牙。+ 三j ：! s ；i l 兰l 牙， 口一口口一口 + ! 垫垡k ! 二竺! ! 翌竺二! ! ! 竺2 1 1 1 1 ! 竺! ! ! ! 二! 垫竺! ! ! 呈! ! = ! ! ! 竺】云 ( 2 s i n a ! 一口一口c o s 口) 一s i n f z ) 1 + 些嗡羔竺竺c 高o s 拦s 掣i n 牙： m ， ( 2 s i n 口一口一口口1 ( 口一口1 1 。、一。 扣m 巨葛k 等掣”黑玩 l x s # s 一吼 +(-(x,+x,)cosg-x,)cosu+(-(x,+x4)sinaosinu+x,cosg+x,+x4五 口一5 1 1 1 口 一 + 垃竺苎出塑型竺竺堂竺l 尘型雷：( 2 1 7 ) 口一s l l l 口 一 楸砖h m 隧磁旧c z ： 删有 l 鼍磊一魄吼j c a g d 中c b 6 z i c r 曲线上曲面可展性研究 一( x l + x 4 ) c o s = 一x 4 ：( 1 一a s i n 口- - c o s 口) = - 竺l 兰一 一( + x 4 ) s i n a = ( o f c o s s i n 口) ：- 竺型兰一 ( 2 i 8 ) j i u u 一“一“o u 5 “ x 4c o s 口+ x i + = ( i - c o s d ) _ 竺旦 i x 3c o s z 蝎十= ( i - c o s 口) 若翌l 2 8 1 n 口一口- - c f c o $ z l x 3s i n = 一s i n 口) 石竺l lz s i n 口一口一口c o s 口 由( 2 1 8 ) 、( 2 1 9 ) 解得： 口一s i n 口 x 12 2 1 ：屯2 x 4 = = _ 一 z s i n 口一口一口c o s 口 即( 2 1 4 ) 式成立。 = 霈时 r 簪妣c o s 1 仁 毒妣c o s 圳巨。 7 r i ：土【s i i l 甜 7 1 o 一 0 1 1 10 。k 茸 l0o 一1 10 2 oll ( 2 1 9 ) = 昙【s i i l “c o 鲫l 】1 1o - l i 磊乏秀】7 ，定理证毕。 l 101 j 由定理2 1 立刻得以下结论 推论2 1 b d z i e r 曲线的速端曲线( f i r s th o d o g r a p h ) 性质对蹬6 z i e r 曲线不成立。 推论2 2 当口呻o 时，三次c - b d z i e r 曲线导矢的极限为三次b d z i e r 曲线的导矢，即 0 o l 0 l r 一 - 一 ，万一2 l 一 一 万一2 1万一2 1 一 一吼_吼一乳一吼 1旷ooooooooo卜 o 一1 1j 一吼一吼一吼一吼 旷o。oooo业 p咪 甜瞄 南京航空航天大学硕士学位论文 学= ，缸翎2 螂， 其中p ( f ) 表示i 阶b d z i e r 曲线( - - 3 ，2 ) ，e 2 ( f ) ( f - o ，1 ，2 ) 为b e m s t e i n 基函数。 证明：在( 2 1 4 ) 中令f = u c t ，使o u 口( 0 口 石) 变成0 r 1 ，则 掣= a 扣刚脚能嘎玎 l i r a 旦：l i m 口_ oka - - o 口( 1 - - c o s 口) 口一s l n 口 = 3 将s i n u 和c o s u 作幂级数展开，当口斗0 ，0 u 口时， s i l l 甜* “+ d 3 ) ，c 。s “* 1 一譬+ o 4 ) ，略去高阶量得 s i n u c o s l 4 1 m m + a la 2 毛r 咄一譬- ，去降s i n a 一篙s i n c t 寺圳胃铷寺“f 寺庠- a s i n c t 1 i m 上一 口o l c o s 口 o 一1 l 姜sm2sin c o s 0 。1 。目j 口 l 口一口一口 。i l 一2i i l “3 口2 ( 1 + c o s 口) s i n 口 2 2 s i n 口一口一口c o s 7 f s t l l 口 c z s m c r z s m 口一口一口c o s 口 0 竺：1 2 1 竺 一竺：! ! ! ! ! 竺! ! 垫口 22 一c t s i n 口d s i n 口 1 一c o s 口 2 s i n 口一口一c z c o s o f s i n 口 2 s i n 口一口一z c o s c 0 口2 2 o 0 几一21 ：i _ 2 2o l 1 1 o o j 陌隅喃 叫 | 薯而 o s | i o | ：萋 1lj _q一色一吒 1000jirj 矿丁o o c a g d 中c b 6 z i e r 益线上曲面可展性研究 恻刚，7 邛，一料魁 2 2 可展曲面作为单参数平面族的包络面 2 2 1 直线的p l t i c k e r 坐标及点的对偶 直线坐标是p r i c k e r 最早提出来的，在扩大的欧氏空间中，用齐次坐标表达的直 线方程： z ： u l x l + u 2 x 2 + 蚝x 3 = 0 ( 2 2 1 ) 定义2 2 1 对于直线( 2 2 1 ) ，如果“，( f = l ，2 3 ) 不全为0 ，则称“。，u ：，蚝为平面 上直线f 的p 1 0 e k e r 坐标，又称线坐标，记作( ，u 2 ，u 3 ) 。 定义2 2 2 设有点、直线、平面及其相互结合与顺序关系所构成的一个命题， 将此命题中的各元素改为它的对偶元素，各运算改为它的对偶运算，其结果形成另一 个命题，则这两个命题叫空间对偶命题。 引理2 2 在射影空间里，如果一个命题成立，则对偶命题也成立。 。在3 d 射影空间中，点的对偶元素是平面，直线的对偶元素是直线。如点尸的坐 标为( q ，“2 ，蚝) ，可用 l ，“2 ，蚝，“1 2 + “2 2 + ”3 2 ) 表示过点p 的平面，其法向( “l ，“2 ，虬) 。 2 2 2 可展睦面作为单参数平面族的包络面 下面应用引理1 1 的第二个条件，基于三次c b 6 z i e r 曲线构造可展曲面。主要思 想是在3 d 射影空间中利用点的对偶元素是平面及直线的p l i i c k e r 坐标，先在三次 c - b 6 z i e r 曲线上产生单参数平面族，然后求其包络面，寻出动直线( 母线) 的表达式， 即为所求可展曲面。 在三次c - b 6 z i e r 曲线表达式中，将控制顶点玩( f = 0 ，1 ，2 ，3 ) 用控制平面 h ，( f = 0 ，1 ，2 ，3 ) 代替，根据点与平面之间对偶性，在3 d 射影空间可设控制平面 i x ，( i = 0 ，1 ，2 ，3 ) 的坐标分别为q i = ( q ，b ，c ，d ) ，( f - 0 , 1 ，2 ，3 ) ，由此产生c b 6 z i e r 曲线上 i ， 南京航空航天大学硕士学位论文 一个单参数平面族，其方程为： n 。) ：u a u ) = s i n uc o s “1 d q oq l 口2q 3 】7 ( o s “s 口) 式中d 见式( 2 1 1 ) ，“为 1 7 。 的族参数，方程( 2 2 2 ) 可写为： n 。) ：u ：( “) = 甜。o ( “) ，；o 。( “) ，蚝2 ( ) ，甜。3 ( ) 式中 ( 2 2 2 ) ( 2 2 _ 3 ) u a o ( “) = z 0 ( u ) a o + z l ) q + z 2 ( u ) a 2 + z 3 ( “) 码 乏：；三乏葛60+五。地：主62：笔63(2124)coq - z i ( u ) c l ( u ) c z ( u ) c 3甜。2 ( 钍) = 2 j ( “+ z 2+ z j 3 0 ) = z o ( u ) a o + z l ( “) 4 + z 2 ( “) 吐+ z 3 ( u ) d s 在平面族 n 。 中，两个相邻的平面相交成一条直线，由包络面的定义知，这条直 线位于包络面即可展曲面上，方程( 2 2 3 ) 可用向量的形式表示为： 死( “) 贾= 3 ( “) ( 2 2 5 ) 式中：毛( ”) = ( “( “) ，“m ( ) “。2 ( ”) ) ，矛= ( x ，y ，z ) ， 将方程( 2 2 5 ) 两边对u 求导数为： 吃( “) x = 乙3 ( 甜) ( 2 2 6 ) 式中：- t 似) = ( u - 。( 越) ，l ：。 ) ，吒：( 甜) ) ， 则平面( 2 2 5 ) 和( 2 2 6 ) 的交线位于可展曲面上，称为可展曲面对应于甜的母线。 这母线记作( “) = 上( t 芦) 可依p l u c k e r 坐标计算出。其中 i = 露。0 ) x - 。t )f ：“1 0 ) 露。( 一1 , 1 。0 ) 疋乜) i 为直线z ( u ) 的方向向量，设声为直线l ( u ) 上最接近原点的点，那么声可用直线的 p l ( i c k e r 坐标表示为： 卢：旦兰， i j 直线z ( u ) 用参数形式表示为： 赏( “，v ) = 订+ 户v ( , - 0 0 ，佃)( 2 2 7 ) 当参数“在区间 0 ，口】上变化时，直线上( “) 形成可展曲面。 c a g d 中c b 6 z i e r 曲线上曲面可展性研究 特剖地，当d 斗0 时，t = u c t ，使0 材口( o 图2 2 ( 1 )( 2 )( 3 )( 4 )( 5 )( 6 ) c a g d 中c b 6 z i e r 曲线上曲面可展性研究 ( 6 ) 图2 1 作为单参数平面族包络面的可展曲面构造 图2 2 作为单参数平面族包络面的可展曲面构造 例2 作为脊线的切线面的可展曲面构造。 ( 1 ) 控制平面的平面坐标为： 绕= 学，萼，警慨 吲一萼，萼，竽盈s ， 南京航空航天大学硕士学位论文 q 2 = ( - l o , - l o , l o 西0 0 ) ，q 3 = 譬，一萼，半 6 2 5 ) ， ( 2 ) 控制平面的平面坐标为： q o = ( - 2 - q 5 ，6 ，2 4 3 ，6 0 ) ， q l = ( 3 4 3 ，9 ，3 4 3 ，1 3 5 ) ， q 2 = ( _ 4 拈，1 2 一括，2 4 0 ) ， a ，= ( - 5 4 3 , 1 5 ，一5 4 3 ，3 7 5 ) ， 对于参数盯= o ，素，三，詈，。7 2 8 。，石构造可展曲面分别见图2 3 和图2 4 中的诸图形，各图 表2 2 口 o 石 万 刀 7 石玎 1 6428 图2 _ 3 ( 1 )( 2 ) ( 3 )( 4 ) ( 5 )( 6 ) 图2 4 ( 1 )( 2 )( 3 )( 4 )( 5 )( 6 ) c a g d 中c b 6 z i e r 曲线上曲面可展性研究 ( 5 ) ( 6 ) 图2 3 作为脊线的切线曲面的可展曲面构造 图2 4 作为脊线的切线曲面可展曲面构造 本章首先给出c b 6 西盯曲线的定义和性质，给出y - 次c b 6 z i 盯曲线的导矢公 式，由此揭示b 6 z i e r 曲线的速端曲线性质对c b 6 z i e r 曲线不成立。但证明了当口斗0 时，b 6 z i e r 曲线的速端曲线性质成立。接着在扩大欧氏空间中根据对偶思想，在 c b 6 z i c r 曲线上提出了两种构造可展面的方法：作为单参数平面族包络面和作为脊线 的切线面可展面构造。并给出了c - b 包i c r 曲线上单参数平面族与控制平面的关系。最 后将这些方法应用于实例构造可展面，在计算机上得到实现。 南京航空航天大学硕士学位论文 第三章c - b 6 z i e r 曲线上可展曲面及复杂曲面的展开 曲面的展开问题，一直为航天器制造、造船、通用机械、轻工机械、服装设计等 领域关注，并已成为计算机辅助设计( c a g d ) 的- - 项重要课题( 见文献【2 1 ，【2 4 】- 【2 7 】， 【4 1 4 3 】) ，本章讨论c - b 6 z i e r 曲线上锥面、切线曲面以及复杂曲面的展开问题。先在 c - b 6 z i e r 曲线上构造锥面和切线曲面，建立它们到平面的等距映射，从而将它们在等 距意义下贴合到平面上。对于复杂曲面的展开是基于分片与近似处理的思想：先讨论 两条b z i e r 曲线上直纹面的可展性，然后将复杂曲面分成若干条状，再对每个条状蛆 面片用两条b 6 z i e r 曲线上可展曲面作逼近，使条状曲面片可展化，最后得以展开。 3 1 可展曲面展开的基本原则 一 由引理1 1 知，可展曲面只有三类，即锥面、柱面和切线曲面。曲面的展开是指 在不改变曲面的内在性质的前提下，将曲面无压缩无拉伸无皱折的弯曲变形贴合到平 面上，数学上就是建立曲面和平面之间的等距映射。 。 曲面的内在几何性质将不因曲面展开而变化，归纳起来有如下几点 1 ) 等长：曲面上已知曲线在展开后保持弧长不变： ( 2 ) 保角：曲面上两条曲线在展开后保持交角不变； ( 3 ) 等积：曲面上已知域的面积在展开后保持不变； ( 4 ) 等测地曲率：曲面上已知曲线的测地曲率在展丌后保持不变。 由于柱面的直母线方向固定，因此柱面的展开非常容易。以下将只讨论c b 6 z i e r 曲线上锥面、切线曲面以及复杂曲面的展开。 3 2c b 6 z i e r 曲线上锥面的展开 过定点赢r 3 或r 2 ，取导线为c b 6 z i e r