（运筹学与控制论专业论文）两险种复合二项风险模型和破产概率.pdf

2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 摘要 对于离散型风险模型，讨论得最多的是完全离散的复合二项风险模型在完 全离散的复合二项风险模型中，个体索赔额的分布服从取值为正整数的离散型分 布 但是由于保险公司经营规模的不断扩大，显然单一险种的经典风险模型具有 太多的局限性本文首先建立了完全离散的两险种复合二项风险模型，在调节系 数存在的前提下，借助离散更新方程的一个极限定理得到了该模型下初始资本为 u 时的最终破产概率皿( “) 、破产前一刻盈余为x 的概率，( u ；。) 、破产时刻的赤字 大于或等于y 的概率妒( u ；9 ) 特别地，得到了它们初始资本u = 0 时的明确表达式 和u 充分大时的渐近解此外，还对任意初始余额。用鞅分析的方法导出了最终 破产概率的一个l u n d b e r g 型上界 当个体索赔额服从一般的分布时，上述模型可以拓广成一般情形的两险种复 合二项风险模型，本文研究了该模型下初始资本为0 时的最终破产概率皿( 0 ) 的明 确表达式和任意初始余额的l u n d b e r g 型不等式，最后给出了初始资本为u 且索赔 额均服从指数分布这一特殊情形时的最终破产概率如果考虑经营过程中可能存 在的某些投资回报和随机风险，又可进一步把模型拓广成带扰动的两险种复合二 项风险模型，本文用鞅分析的方法给出了破产概率的l u n d b e r g 型不等式 关键词：最终破产概率；复合二项风险模型；两险种风险模型；破产前一 刻的盈余；破产时赤字；调节系数；离散更新方程；离散鞅论；停时；带扰动的风 险模型 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 i i a b s t r a c t i nt h ed i s c r e t er i s km o d e l ，t h ef u l l yd m c r e t ec o m p o u n db i n o m i a l r i s km o d e lh a sb e e n d i s c u s s e dm u c h i nt h i sm o d e l ，t h ed i s t r i b u t i o no ft h ec l a i m si sa l s od i s c r e t e b u tt h ei n s r u a n c ec o m p a n yi n c e s s a n t l ye n l a r g e st h eb u s i n e s ss c a l e ，c o n s i d e r i n gt h e l i m i t a t i o n so ft h ec l a s s i c a ls i n g l e i n s u r a n c er i s km o d e l ，a tf i r s t ，w ec o n s t r u c t e dt h ef u l l y d i s c r e t ec o m p o u n db i n o m i a lr i s km o d e lw i t ht w o - t y p e - i n s u r a n c e u n d e rt h ea s s u m p t i o n s f o re x i s t e n c eo ft h ea d j u s t m e n tc o e f f i c i e n ta n dt h ei n i t i a ls u r p l u su 0 ，t h eu l t i m a t e r u i np r o b a b i l i t y 皿( u ) ，t h ep r o b a b i l i t i e so f ，( u ；z ) i nt h ec a s et h a tt h es u r p l u se q u a l sx i m m e d i a t e l yb e f o r er u i na n d 妒( u ；y ) i n t h ec a s et h a tt h ed e f i c i tg r e a t e rt h a no re q u a lt oy a tr u i na r ed i s c u s s e db ym e a n so fad i s c r e t ek e yr e n e w a ll i m i tt h e o r e m ，p a r t i c u l a r l y ，w e h a v eg o tt h e i re x p l i c i te x p r e s s i o n sf o r “= 0a n dt h ea s y m p t o t i cf o m u l a sf o rs u f f i c i e n t l y l a r g ei n i t i a ls u r p l u s f u r t h e r m o r ew e o b t a i n e dal u n d b e r gu p p e rb o u n d f o rt h eu l t i m a t e r u i np r o b a b i l i t yf o ra r b i t r a r yi n i t i a ls u r p l u sb yt h ed i s c r e t em a r t i n g a l ea p p r o a c h w h e nt h ec l a i ma r eg e n e r a l l yd i s t r i b u t e d ，w ec a nc o n s t r u c tt h eg e n e r a lt w o - t y p e i n s u r a n c ec o m p o u n db i n o m i a lr i s km o d e l w eg o tt h ee x p l i c i te x p r e s s i o nf o rt h er u i np r o b a b i l i t y9 ( 0 ) a n dt h el u n d b e r gu p p e r b o u n df o ra r b i t r a r yi n i t i a ls u r p l u s ，a tt h es a m et i m e ，w e o b t a i n e dt h er u i np r o b a b i l i t yu n d e ras p e c i a lc a s ew h e r et h et w o t y p e c l a i md i s t r i b u t i o n sa r ee x p o n e n t i a l c o n s i d e r i n gt h er e t u r n so ni n v e s t m e n t sa n ds t o c h a s t i cr i s k s ，a t l a s t ，w ee s t a b l i s h e dt h et w t y p e i n s u r a n c ec o m p o u n db i n o m i a lr i s km o d e lp e r t u r b e db y d i f f u s i o n w eg o tt h el u n d b e r gi n e q u a l i t yb yt h em a r t i n g a l ea p p r o a c h k e y w o r d s ：t h e u l t i m a t er u i np r o b a b i l i t y ；c o m p o u n db i n o m i a lr i s km o d e l ；t w o - t y p e i n s u r a n c er i s km o d e l ；s u r p l u si m m e d i a t e l yb e f o r er u i n ；d e f i c i ta tr u i n ；a d j u s t m e n t c o e f f i c i e n t ；d i s c r e t er e n e w a lt h e o r y ；d i s c r e t em a r t i n g a l et h e o r y ；s t o p p i n gt i m e ；t h e r i s k m o d e lp e r t u r b e db yd i f f u s i o n 上海大学 本论文经答辩委员会全体委员审查，确认符合上海大学 硕士学位论文质量要求 答辩委员会签名： 主任： 委员： 姆孳 荔凌盏芝 诌蟛 詹砀关 彬 上( 白驽m ；c 考j c 5 善乏 多悔天呼表趁 芦l 刍学默使 妫犬蚕蛾 瞅 弱啜 导师：诈殇 导 师：够拶殇 答辩日期：1 彳矿v r 。y7 ，、 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作。 除了文中特别加以标沣和致谢的地力+ 外，硷义 小包含其他人已发表 或撰写过的研究成果。参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 - 签名： 日期 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使崩学位论文的规定，即：学 校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可 以公布论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名 铆繇牲吼塑芏7 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 第一章引言 1 1 风险理论及风险模型 人类社会生活中，不可避免地要面对各种各样的风险，如：火灾，交通事故， 人身意外等保险的基本原理是将众多投保人的保费集中到承保人处，当风险发 生后，由承保人承担损失，同时承保人通过分析和计算来合理调整资金，最终使 投保人和承保人都获得收益 风险理论( 1 2 】) 是决策者对风险进行定量分析和预测的一般理论，它可以 应用于许多涉及风险分析和决策的领域，例如：投资分析，资产管理，经营风险分 析等风险理论作为保险精算的一部分，主要处理保险实务经营中的随机风险模 型，从定量的角度研究保险公司经营的安全性一一保险公司最终破产或在短期内 破产的概率有多大 风险论( r i s kt h e o r y ) 的核心内容是破产论( r u i nt h e o r y ) ，破产论的研究溯源于 瑞典精算师f i l i pl u n d b e r g ，不过l u n d b e r g 的工作不符合现代数学的严格标准。而 它的严格化是以h a r a l d c r a m d r 为首的瑞典学派完成的。与之同时，c r a m r 也发 展了严格的随机过程理论，现已公认，l u n d b e r g 和c r a m r 是经典风险理论的奠 基人。 经典风险模型是最为简单的也是研究得最为透彻的风险模型，它的通常表述 为：给定保险公司一定的初始资本，允许它承担具有某种统计分布的风险，并允 许它根据风险的特点连续或离散地收取相应的保费，我们可以建立经营者的资本 剩余量模型：u ( t ) = u o + 保费收入一总索赔其中u ( t ) 表示t 时刻的资本剩余 量，砜为初始准备金，如果收入按一定的比率增加，并且索赔的某些统计性质 已知，那么就可以研究u ( t ) 的分布。许多的情况下v ( t ) 具有很强的实际背景， 如u ( t ) 0 表示分司出现负剩余，而r = i n f t l u t o ) 则表示破产的时刻，定义 ( “) = p ( r o o ) 为破产概率，皿( u ，t ) = p ( r t ) 为在时刻t 前破产的概率经 典风险模型提出后，许多的研究人员对其进行了推广，以使得更符合保险公司的 实际经营模型其中较为常见的推广主要有以下四方面：一是用更一般的点过程来 描述索赔次数( 【2 8 ， 3 7 】) ，二是改变保费收入，即考虑实际经营过程中的利率、通货 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 2 膨胀率等因素的影响( 【1 9 2 1 ，【2 5 】， 3 8 】) ，三是建立多险种风险模型( 2 7 2 8 ，【3 9 ) ， 用不同分布的随机系列描述不同险种的索赔额，并用不同的点过程来描述不同险 种的索赔次数，四是考虑保险公司经营过程中的可能存在的投资回报和各种不确 定因素，建立了带扰动的风险模型( 2 2 2 4 】， 3 1 3 6 】) 本文将在第一章里介绍一下有关鞅论的基本知识和完全离散的复合二项风险 模型中已有的有关破产概率的结果；第二章首先建立了完全离散的两险种复合二 项风险模型，在调节系数存在的前提下，借助离散更新方程的一个极限定理得到 了该模型下初始资本为u 时的最终破产概率( u ) 、破产前一刻盈余为x 的概率 ，( 叭。) 、破产时刻的赤字大于或等于y 的概率妒( “；) 特别地，得到了它们初始资 本“= 0 时的明确表达式和u 充分大时的渐近解此外，还对任意初始余额，用鞅 分析的方法导出了最终破产概率的一个l u n d b e r g 型上界第三章建立了索赔为一 般情形的两险种复合二项风险模型，并研究了该模型下初始资本为0 时的最终破 产概率皿( o ) 的明确表达式和l u n d b e r g 型不等式，最后给出了初始资本为u 且索 赔额均服从指数分布这一特殊情形时的最终破产概率；第四章考虑了经营过程中 可能存在的投资回报和各种不确定因素，进一步将模型拓广成带扰动的两险种复 合二项风险模型，并用鞅分析的方法给出了破产概率的l u n d b e r g 型不等式 5 1 2 鞅论基本知识 在证明l u n d b e r g 不等式时，我们采用的方法是鞅方法，本小节将介绍一下有 关鞅的基本概念和知识( 6 】) 定义1 2 1 称随机过程 x ( t ) ：t 0 ) 为一鞅( m a r t i n g a l e ) ，若有 ( 1 ) e x ( 0 1 】 0 ，恒有 e x ( t ) = e ( e 【x ( ) ix ( o ) 】= e x ( o ) 】 ( 1 ) 下例给出了构造鞅的一个重要途径 例l 设 y ( t ) ：t 0 ) 是零初值，且具有齐次独立增量的随机过程记 x ( t ) = y ( o ) e 、( “x ( o ) 为一常数 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 3 若e e y ( 1 】_ 1 ，则( x ( t ) ：t 0 ) 为一鞅事实上 e i x ( t ) 1 = i x ( 0 ) i e e y ( 。1 - i x ( 0 ) l ( z e 7 ( 1 伊= i x ( o ) 再对0 s t ，恒有 e ( ) lx f f ) ：r 曼s 】- e x ( s ) e ，( c ) 叫( 5 ) ix ( r ) ：r 8 1 = x ( s ) e e y ( ) 一y ( 5 ) = x ( s ) e e y ( 一5 ) 1 = x ( s ) o s 定义1 2 2 称非负随机变量r 是关于随机过程 x ( t ) ) 的随机时间，若对一切 r t ) 口 x ( s ) ：s 茎味 其中口 x ( s ) ：s t ) 表示包含一切形如 x ( s ) z ) ( s 茎t ，。r 1 ) 的事件的最 小a 代数 特别地，称随机时间r 是关于随机过程 x ( ) ) 的停时，若 刻t p ( f 。) = 1 不难验证，若r 是随机过程 x ( ) ：t 兰o ) 一个随机时间，则对任意固定的时 r a t = m i n ( r ，t ) 是关于这个随机过程的有界停时 鞅论的一个重要结果是停时定理，即给出适当的条件，使得将( 1 ) 式中的t 置 换成随机时间时，仍然成立 定理1 2 3 假设r 是关于鞅 x ( ) ：t o ) 的一个有界停时，则有 e x ( r ) = e x ( o ) 鞅论的另一个重要结果是鞅收敛定理 定理1 2 4 设 x ( t ) ：t o ) 是一个非负鞅，则存在几乎处处收敛的有限极限 即有 c l 。i m x ( t ) = x ( 。) 。o 5 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 4 弘3 完全离散的复合二项风险模型 按照保险公司对收取保费的方式的划分，可以把风险模型划分为连续型和离 散型两种连续型风险模型采取连续收费的原则，即以时间为连续变化的量连续 地收取保费，对于连续时间的风险模型，讨论得最多的是复合泊松模型，许多的 文献进行了研究，得出了许多较为经典的结果( 3 5 1 ) ；而离散型风险模型则采用 离散收费的原则，即以一定的时间长度为收费的单位区间，在每一单位区间内只 收取一次固定的保费，对于离散时间的风险模型，讨论得最多的是完全离散的复 合二项模型( 【1 1 1 6 】，( 1 8 ， 2 9 1 ) ，这里完全离散的复合二项风险模型指的是个体索 赔额服从离散型分布的复合二项风险模型 定义131 设z 是非负整数的集合，z t 为正整数的集合设ne ( n ) ：n o ) 为定义在某完备概率空间( q ，f ，p ) 上的非负整值随机变量序列，如果满足下列条 件： ( 1 ) 零初值：x ( 0 ) = o ； ( 2 ) 独立增量：对于0 n 1 n 2 n k 7 u z + ，( ”1 ) ，n ( n 2 ) 一n ( n 1 ) ，n ( n k ) 一 n ( n 一1 ) ，是独立的随机变量； ( 3 ) 平稳增量：对n 0 ，m l ，( n + m ) 一( n ) 的分布与n 无关； ( 4 ) 二项分布：对n 0 ，m 1 ，( n 十m ) 一( n ) 有二项分布b ( m ，p ) ，其中p ( 0 ，1 f 称n = ( | v ( ，z ) ，n 0 ) 是具有参数为p 的二项随机序列( 1 9 1 h 3 0 】) 当p = 1 时，二项随机序列n 是平凡的，显然，对于给定的p ( 0 ，1 ，存在参数为 p 的二项随机序列，且记q = 1 一p 当我们取定一个时间单位a 后( 不失一般性，我们不妨取a = 1 ) 可以假定在 任意一个时间区间( ( 1 1 _ 1 ) j j l 中，仅可能出现两种情况：索赔或者不发生( 用靠= 0 表示) ，或者只发生一次( 用f 。= 1 表示) 我们可以假定t ，2 ，靠，为独立同分 布( ii d ) 的随机变量序列，且满足： 在上述假定下 p ( 。= 1 ) = p ，p ( 矗= 0 ) = q = 1 一p ( 0 p 1 ) ( n ) = 1 + f 2 上+ f n ，v n 0 我们约定( o ) = 0 ，上式便表示到时刻1 1 为止所发生的索赔数，显然 ( n ) ：n 0 ) 是以p 为参数的二项序列。 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文5 我们进一步假设如果在时间区间( m 一1 ) ，州内进行的一切工作，均视为是在 时刻n 进行的，即保险公司收取保费和进行赔付工作都是在离散时刻进行的我 们以x 。表示保险公司所支付的第n 个索赔额，如果取定了货币单位，我们可以 假定x 。仅取正整数值，且x l ，x 2 ，也是i id 随机变量序列，而至时刻n 为止保 险公司所支付的索赔总额品则由下式给出 s n = x 1 + 托+ + x n ( 。) ，v n 0 ( 3 ) 且约定s o = 0 ，再进一步假定f x “n 三1 与 。：n 1 ) 相互独立，则索赔总额 序列即为复合二项序列 定义1 3 2 设“z ，c z + ( 不失一般性，我们可以取c = 1 ) ，在某概率 空间( n ，f p ) 上，假定取值为正整数的相互独立且同离散分布的随机变量序列 ( x 。：n 1 ) 和具有参数为p 的二项序列( ( n ) ：n o ) 相互独立，令 恤) = “+ n 一叉， 是= e x i ，n = 0 ，l ，2 ，t i = 1 则称f 巩 为完全离散的复合二项风险模型，其中u 为保险公司的初始余额， 为保险公司在n 时刻的盈余 为了讨论的需要，我们再引入量k = 岛一n ，这样巩= “一k 为了保持保险公司的正常运行，设保险公司在每个单位时间区问的始端收取 一个钱币单位的保费，并假定x 与各x 。同分布。称之为个体索赔额再记 p = p ( 矗= 1 ) ，v n l p ( 0 ) = 0 ， p ( n ) = p ( x = i t ) ，v n 1 n p ( n ) = p ( ) ，v n 1 ，= 1 尸( n ) = 1 一p ( n ) ，v n 0 。 o 。 ，。= e x l 】= ，z p ( ，i ) = 户) 。 n = 0n = 0 本章恒假定e ( s i ) = p 芦 0 ， 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 6 易见p p ( 1 + p ) = 1 关于破产时刻的g e r b e r 与s h i u 给出的定义略有不同，g e r b e r 定义破产时刻 ( 3 0 1 ) 为 r = i n n 1 ，“s0 1 ； 而s h i u 则把它定义( 1 2 ) 为 r = i n ， n 1 ， o ) 本文将采用s h i u 给出的破产定义保险公司感兴趣的是与破产时刻r 有关的下列 三个风险量： 贾= 珥“ y = l 珥i = 一珥， 岔：贾+ 矿+ 1 其中，贾表示保险公司破产前一刻盈余，p 表示破产时赤字，2 表示导致保险 公司破产发生的索赔量，与上述风险量有关的概率表达式主要有 皿( “) = p t o 。i u o = u ) ，( “；z ) = p v 。；阱一i = z l u o = u ) ， 。0 妒( u ；y ) = p t 0 ( 4 ) ( 5 ) ( 6 ) 在上述定义中，1 i r ( “) 表示在初始资本为u 的条件下，保险公司最终破产的概率； ，( “；z ) 表示在初始资本为u 的条件下，保险公司在破产的前一刻的盈余为x 的概 率；妒( “；y ) 表示在初始资本为u 的条件下，破产时刻的赤字大于或等于y 的概 率，并称垂( “) = 1 一毋f n ) 为初始资本为t t 时的生存概率， 在研究保险公司的各概率的时候，调节系数起到了关键的作用，下面给出其 定义与相关的等式不难算出在第一个单位时间区间内保险公司所支付的索赔总 额s - 的母函数为： ( ，) = f 一i j = p g x r ) + q ， 其中g x ( r ) 为个体索赔额x 的母函数，且有 o 。 a x ( r ) = e 】_ p ( n ) p 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文7 若记r 0 为( r ) 的收敛半径，则显然珊l ( 有可能取值为十。) 同时不难看出毋( r ) 是( 0 ，r o ) 上的递增凸函数，故知方程 妒( r ) = r ( 7 ) 在( 0 ，。) 上至多有两个解，而咖( 1 ) = 1 ，即r = l 是其中的一个解 且( r ) = p c k - ( , ) ，故( o ) = v c x ( o ) = p e x 】= p , u 1 定义13 ，4 若方程( 7 ) 存在惟一的大于1 的正解r ，则称r 为调节系数 引理1 3 5 ( 7 ) 式与下列各式中任一式等价 e 】= 1 g x ( r ) 一1 = 一一1 ) ( 1 + p ) p e 一1 = r p ，【l p ( z ) 】- 1 x = o 证明：将= 1 一s l 代入，可立即得出上述结论 旺4 完全离散复合二项风险模型的破产概率 ( 8 ) ( 9 ) 对于复合二项风险模型的讨论，大都集中在完全离散的复合二项风险模型上， 如w i l l m o t 1 4 1 和s h i u 1 2 1 研究了有限时间内的生存概率以及最终破产概率文献 3 0 】仅在初始盈余为零的情况下，给出了最终破产概率、破产前一刻的盈余和破产 时赤字的概率规律的显式解；文献【1 3 则对任意初始盈余与任意的个体索赔额给 出了上述概率规律和递推解、变换解和显式解；此外，文献 1 1 】还首次提出了保 险公司生存至任一有限时刻n m 0 ) 、并在时刻n 的盈余恰好等于z ，0 0 ) 的概 率这一概念，并得到了它的显式解。文献 2 9 运用了过程的马氏性和概率母函数 得到了生存到固定时刻n ( n o ) ，在此时刻n 恰好发生第k 次索赔、并且此时此刻 i i 的盈余为某数x ( x 0 ) 的概率，而文献f 1 6 】刚对任意充分大的盈余，导出了最终 破产概率、破产前一刻的盈余和破产时赤字的概率的渐近解，此外还对任意的初 始盈余值，给出了最终破产概率的l u n d b e r g 型上界，文献 1 8 1 也导出了任意初始 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 8 盈余和任意个体索赔额情形下的最终破产概率的递推解和渐近解这些结果形式 上都很简明，便于应用主要的结论如下： 设w ( t ) 为任一有界函数，并令 皿( 眦训) = e 叫( 【0 一i ) ，f r o o l u 0 = u = e w ( u r 一1 ) ；r o 。l v o = u 其中“表示集合a 的示性函数且记 a = k r 1 一p ( ) 】 ( 1 0 ) 结论1 4 1 在上述完全离散的复合二项风险模型中，保险公司的最终破产概率 为 ( o ； ) = ：w ( ) 1 一p ( 十1 ) 】(11)l k = 0 ( “；w ) 满足下述瑕疵离散更新方程： 毋阻；叫) = p ( u 一七；叫) 1 一p ( 七) + p 山( 七) 1 一p ( k + 1 ) ， ( 1 2 ) 此外，m ( “；”) 的渐近解为 皿；w ) 一( k r 一“，( “。) ， ( 1 3 ) 其中 薹釜q 圣釜! 墨：竺f ! ! 【! 二! ! ! 12 j 结论1 42 在上述完全离散的复合二项风险模型中， f ( o 2 卜脚+ 1 ) 1 ， ( 1 4 ) ，( w 。) 的渐近解为：，( u ：z ) 一g _ r ( t t _ 。) ，其中 g = 丽b ( 酽“_ 1 ) 【l - m 十1 ) m ) = 凌l 叫m ) ( 1 5 ) 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 9 妒( u ；) 的渐近解为：妒( u ；) 一岛兄“ ( _ o 。) ，其中 q = 志 警州y 歪- 1 ”扩w 1 叫矧) 叩) = ：( 一u 皿( “) 的渐近解为：皿( u ) 一c r _ 1 ，( u _ o 。) ，其中 门 l p p 。2 两丽 结论1 4 3 在上述完全离散的复合二项风险模型中， 结论1 4 4 在上述完全离散的复合二项风险模型中， 特别地 皿( u ) = 可耳币再r - 瓦u 而 皿( u ) r 一“，( v u 0 ) ( 1 6 ) r 一“：n 0 ) 为一正鞅 ( u ) 满足如下等式 ( 1 7 ) ( 1 8 ) 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文1 0 第二章完全离散的两险种复合二项 风险模型和破产概率 随着新险种的不断开发和保险公司经营规模的不断扩大，必然会导致多元化 经营，文献【2 7 】建立了连续型多险种的经营模式，并对其破产概率进行了研究， 得到了初始资本为0 时的破产概率的皿( o ) 明确表达式，以及初始资本为u 时两险 种索赔额均服从均值为a 的指数分布这一特殊情形时破产概率的皿( u ) 的精确表 达式；文献【3 9 建立了两险种p o i s s o n 风险模型，给出了初始资本为0 和个体索赔 额分别服从指数和混合指数分布时破产概率的明确表达式；文献【2 8 】建立了双险 种的c o x 风险模型，得到了破产概率满足推广的l u n d b e r g 不等式，以及在特殊情 况下时9 ( 0 ) 的明确表达式本章则建立了完全离散的两险种复合二项风险模型， 并借助离散更新方程的一个极限定理研究了该模型下初始资本为0 时的最终破产 概率母( o ) 、破产前一刻盈余为x 的概率，( o ；。) 、破产时刻的赤字大于或等于y 的 概率妒( o ；y ) 的明确表达式和初始资本为t t 时它们的渐近解此外，还对任意初始 余额，用鞅分析的方法导出了最终破产概率的一个l u n d b e r g 型上界 9 2 1 完全离散的两险种复合二项风险模型 假设 ( 1 ( n ) ：n 0 ) 和 ( 2 ( n ) ：n o ) 分别是以p t 和p 2 为参数的二项序 列，且当取定一个时间单位a 后( 不失一般性，我们不妨取a = 1 ) ，假定在任意一 个时间区间( ( n 1 ) ，n 中，第一个险种的索赔仪可能出现两种情况：或者不发生( 用 毋) = 0 表示) ，或者仅有一个发生( 用毋= 1 表示) 假定! ”，5 ”，胡) ，为i i d 的随机变量序列，类似地，可以用的值来表示第二个险种在这个时间区间内 索赔的发生与否我们假设： p ( 9 = 1 ) = p 1 ，p ( 1 1 ) = 0 ) = q l = 1 一p 1 ( 0 p t 1 ) p ( f 乎) = 1 ) = p 2 ，p ( f 铲= o ) = q 2 = 1 一p 2( 0 p 2 1 ) 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 若进一步记 ( 1 ( n ) = i 1 ) + f 1 1 + + f 0 ) ，v n 0 ， ( 2 ( n ) = f 2 + 孑+ + 窘) ，v n 0 ( 1 9 ) ( 2 0 ) 约定( - ) ( 0 ) = 0 ，( 2 ( 0 ) = 0 ，上面式子便分别表示到时刻n 为止两种险种发生的 索赔次数 我们进一步假设如果在时间区间( ( n 一1 ) ，n 内进行的一切工作，均视为是在 时刻n 进行的，即保险公司收取保费和进行赔付工作都是在离散时刻进行的我 们用x 来表示保险公司所支付的第一个险种的第n 个索赔额，用硝2 来表示保 险公司所支付的第二个险种的第n 个索赔额，假定x l 与各砖u 同分布，勘与各 x # 同分布，且( 芯1 ) ：n 1 和 赋2 ) ：n 1 ) 相互独立，同时记x = x l + x 2 则 至时刻n 为止保险公司所支付的索赔总额s 。= 辨+ 好) ，其中s ( 2 ( z = 1 ，2 ) 可由 下式给出 s 2 ) 垒x 2 + x 52 + - + x g 。1 ，v r j o ，i = 1 ，2 ( 2 1 ) 再进一步假定( 硝) ：n 1 ) 与 鳞：n 1 ) ( i = 1 ，2 ) 相互独立，则索赔总额序列即 为两险种的复合二项序列 再记 p 1 = p ( 攒) = 1 ) ，v n 1 p l ( 0 ) = 0 ， p l ( n ) = p ( x l = ，1 ) ， v n 1 p 1 ( n ) = p l ( ) v n 1 = i p l ( 7 l ) = 1 一尸l ( ，i ) ，v n 0 小= e 1 p 2 = p ( g ) = 1 ) ，v n 1 p 2 ( 0 ) = 0 ， p 2 ( i i ) = p ( x 2 = n ) ， v n l 矗 删 | | p j 脚 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文1 2 p 2 ( n ) = p 2 ( k ) ，v n 1 k = l p 2 ( n ) = 1 一p 2 ( n ) ，v n 0 o o p 2 = e x 2 】= 印2 ( n ) = 恳( n ) o o p 3 ( 0 ) = 0 p 3 ( n j = p ( x = n ) ，v n 1 n p 3 ( n ) = p 3 ( k ) ，v n l = l 扇( n ) = 1 一r 3c n ) ，v n 0 肛= e x 】= e x 1 + 托 = n p 3 ( n ) = e 磊( n ) 0 p l 卢l 十p 2 1 t 2 易见( p l “l + p 2 p 2 ) ( 1 + p ) = 1 2 2 调节系数 我们可以算出在第一个单位时间区间内保险公司所支付的索赔总额s l 的母 函数为； ：砷s ：l 】+ s 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文1 3 根据两个相互独立的随机变量之和的母函数的性质知， ( r ) = e r s p 】e r s f 2 】：囟l g x l ( r ) + q 1 】 p 2 a x 2 ( r ) + 如】( 2 2 ) 其中g 凡，( r ) 和g x 。( r ) 分别为个体索赔额x 1 和x 2 的母函数，即有 o c 。o g x ，( ，) = e t x l = p l ( n ) r “；g x 。( r ) = e z = p 2 ( n ) 一 n = 1n = l 若记为的收敛半径，则显然r o l ( 有可能取值为+ o 。) 同时不难看出( r ) 是( 0 ，r o ) 上的递增凸函数，故知方程 币( r ) = r ( 2 3 ) 在( 0 ，。) 上至多有两个解，而曲( 1 ) = 1 ，即r = 1 是其中的一个解且 ( r ) = p l g 父。( 7 ) b 2 c x ，妒) + q 2 】+ 胁1 g x 。( r ) + q 1 p 2 g 父。p ) ，故有 ( 1 ) = q 2 p l g i 。( 1 ) + q l p 2 g 父。( 1 ) + p w 2 c k 。( t ) g x ：( 1 ) + p l p 2 g x 。( 1 ) g 欠2 ( 1 ) = q 2 p l # l + q l p 2 # 2 + p l p 2 p l + p l p 2 # 2 = p l p l + p 2 # 2 1 定义2 , 2 1 若方程( 2 3 ) 存在惟一的大于1 的正解r ，则称为调节系数 由x = 义l + x 2 及x l 和托的相互独立性可知g x ( r ) = g x 。( r ) g x 。( r ) ，故由 ( 2 2 ) 式和( 2 3 ) 式可得 q 2 p l g x ，( r ) 一l 】+ q l p 2 g x 。( r ) 一1 】+ p l p 2 g x ( 兄) 一1 】= 月一1 ( 2 4 ) 此外，若分别记q l ( 7 ) 、q 2 ( r ) 和q f ，) 是以索赔发生区间的索赔额x l 、x 2 和x 的尾概率为系数的幂函数，即令 0 0 o o q d ，) = 芝：f l 一只( n ) 】r “， “= 1 。2 ) ， q p ) = 1 一p 3 ( n ) r ” ( 2 5 ) n = on = 0 不难验证明以下等式成立 g v ，( 尺) 一1 = ( 兄一1 ) q 。( 7 ) ，( z = 1 2 ) ，g x ( r ) 一1 = ( 冗一1 ) q 扣) ( 2 6 ) 从而由上式和( 2 4 ) 式( 2 5 ) 式可得 o 。 o 。 q 2 p 1 ，。 1 一p 1 ( z ) 】+ q l p 2 r 1 1 一p 2 ( z ) 】+ p l p 2 r 。【1 一只0 ) = 1 ( 2 7 ) x = oz = oz = 0 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文1 4 引理2 2 2 ( 2 3 ) 式与下列各式中的任一式等价 e f r = l ， e r s l ”+ s l ”l - e r s - 】：r o o 。 q 2 p 1 r 2 1 一p l ( 。) 1 + q l p 2 r 。 1 一p 2 ( 。) + p i p 2 r 。【1 一乃扛) 】= 1 z = 0z = 0 x = 0 证明：将碓= s 1 ) 十s f “一1 代入，即可得到上述结论 。 2 3 皿( o ) 的解析表达式和皿( 让) 的渐近解 定理2 3 1 在上述模型中，公司的最终破产概率 毋( o ) ：型生竺丝二地 口1 q 2 且皿( “) 满足离散更新方程： u 尘( ) = 雪( “一k ) q 2 p d l p 1 ( ) 】+ q z p 2 1 一恳( 女) 】十p i 船 1 一恳( 女) ) k = 0 ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 3 0 ) o o + q 2 p l 1 一p l ( 七+ 1 ) + q l p 2 1 一p 2 ( 七+ 1 ) 1 + p l p 2 1 一p 3 ( k + 1 ) 】) ( 3 1 ) k = u 证明：以第一个单位时间区间内是否发生索赔，以及发生索赔时的索赔额为条件 利用全概率公式，可得 “+ 1 m ( 扎) = q l q 2 ( u 十1 ) + q 2 p t 皿( “+ 1 一七) p l ( 南) + 1 一p l ( u + 1 ) ) 】 = 1 上式可以变形为 “+ 1 矗) p 2 ( 砖) + 1 一p 2 ( 扎+ 1 ) 】) + p i p s 皿( 钍+ l 一七) p 3 ( 南) + 【l p 3 ( u - f 1 ) k = l u + 1 皿( u 十1 ) 一皿m ) 2q 2 p l 皿( u + 1 ) 一雷( u + l - k ) p t ( k ) 一f 1 一p l ( u + 1 ) 】) + 9 1 p 2 雪扣+ 1 ) k = l “+ lu + 1 一皿( u + l - k ) p 2 ( k ) 一【1 一p 2 ( u + 1 ) 】) + p l p 2 皿( u + 1 ) 一m ( u + 1 一k ) v 3 ( k ) - 1 一b ( + 1 ) 】) = 1七= 1 +皿 川 ，l 2pq + 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文1 5 2 ( 2 ) 一中( 1 ) = q 2 p l ( 2 ) 一皿( 2 一) p l ( ) 【l p 1 ( 2 ) 】) + q l p 2 皿( 2 ) k = l 22 一皿( 2 一k ) p 2 ( k ) 一【l 一岛( 2 ) ) + p l p 2 皿( 2 ) 一皿( 2 一k ) p a ( k ) 一【1 一b ( 2 ) ) k = l七= l 皿( 1 ) 一m ( o ) = q 2 p d 皿( 1 ) 一皿( 1 一k ) p l ( k ) 1 一p l ( 1 ) ) + 口1 p 2 皿( 1 ) 一毋( 1 一 ) 船( 女) 一 1 一p 2 ( 1 ) 】 + p 1 p 2 k o ( 1 ) 一雪( 1 一k ) p a ( k ) 一 1 一p 3 ( 1 ) 】) 女= 1k ；1 将上面各式相加可得 即 n 皿( “) 一皿( o ) = q 2 p l 皿( ) t = 1 p l ( + 1 ) 】) “u iu 一1 + q l p 2 ( 皿( ) 一皿“一k ) p 2 ( k ) 一 1 一p 2 ( k + 1 ) 】) 女= 1i = l 女= l k = o ut “一l + p i p 2 ( ) 一皿( i k ) p 3 ( k ) 一