（理论物理专业论文）非均匀性及海森堡自旋链中多杂质对纠缠的影响.pdf

大连理t 大学硕士学位论文 摘要 量子信息学是量子力学与信息论相结合的一个产物，而量子纠缠是量子信息学中一 个非常重要的资源，是量子计算以及量子通讯的基础。由于量子纠缠的脆弱和易于被破 坏，寻找可以利用的纠缠资源的研究是当前量子理论的一个前沿研究热点。 本文围绕纠缠资源的探索，研究了多杂质对海森堡环中近邻q u b i t 之间纠缠的影响， 非均匀磁场下，各向异性海森堡x y z 链中的纠缠；时问依赖的原子间的耦合对两原子 纠缠的影响。本文共分为四章。第一章简要介绍了量子纠缠的概念以及相应的一些测量 方法，除此之外，还有近些年在这方面的研究概述。本文的第二，第三和第四章是我们 的主要研究工作。第二章介绍了多个杂质对各向异性海森堡环中近邻q u b i t 之间纠缠的 影响，指出了杂质在增强量子纠缠中的作用。其中分别考虑了当杂质为近邻情况和非近 邻情况对纠缠的影响，以及在链中放置数量不同的杂质时对纠缠的影响。在第三章中， 我们指出了随时间变化的耦合对两原子纠缠的影响，同时还考虑了在衰减存在的情况下 的影响。在最后一章即第四章中，我们研究了在非均匀磁场存在的条件下，各向异性海 森堡x y z 链中纠缠的变化情况。 关键词：量子纠缠；多杂质；随时间变化的耦合；各向异性；非均匀磁场 大连理工大学硕士学位论文 r e s e a r c ho ne f f e c t so fm u l t i i m p u r i t y ，c o u p l i n ga n di n h o m o g e n e o u s m a g n e t i cf i e l do ne n t a n g l e m e n to fh e i s e n b e r gm o d e l a b s t r a c t t h eq u a n t u mi n f o r m a t i o ni san e wc r o s sf i e l dw h i c hc o m b i n e dt h eq u a n t u mm e c h a n i c s w i t ht h ei n f o r m a t i o nt h e o r y t h eq u a n t u me n t a n g l e m e n ti sav e r yi m p o r t a n tr e s o u r c ef o r q u a n t u mi n f o r m a t i o n ；t h e r e f o r e ，w i t ht h eb i r t ha n dd e v e l o p m e n to fq u a n t u mi n f o r m a t i o n , i ti s u n a v o i d a b l et h a tm o s to ft h er e s e a r c h e r sp a yt h e i ra t t e n t i o nt oq u a n t u me n t a n g l e m e n t r e c e n t y e a r s ，t h e r eh a v e b e e nm a n y k i n d so fs t u d yr e s u l t sa b o u tq u a n t u me n t a n g l e m e n t t h es t u d yo n q u a n t u me n t a n g l e m e n ti saf r o n t a la n dp o p u l a rd i r e c t i o no fq u a n t u mt h e o r yb e c a u s eq u a n t u m e n t a n g l e m e n tw i l ld e c i d ew h e t h e rt h ef u t u r eq u a n t u mc o m p u t e rc a nb ec r e a t e d t h i sd i s s e r t a t i o nc o n t a i n sf o u rc h a p t e r s i nt h ef i r s tc h a p t e r , w eh a v ec o m p r e h e n s i v e l y i n t r o d u c e dt h ed e f i n i t i o no fq u a n t u me n t a n g l e m e n ta n ds o m em e a s u r e so fq u a n t u m e n t a n g l e m e n t f u r t h e r m o r e ，w eh a v ea l s os h o w nt h er e c e n tr e s e a r c h e so nt h i sa s p e c t t h e r e a r eo u rm a i nw o r k so ft h i sd i s s e r t a t i o ni nt h es e c o n d ，t h i r da n df o u r t hc h a p t e r w eh a v e s t u d i e dt h ee f f e c to fm u l t i - i m p u r i t yo nt h ee n t a n g l e m e n tb e t w e e nn e a r e s t n e i g h b o r i n gt w o q u b i t so fh e i s e n b e r gr i n gi nt h es e c o n dc h a p t e r , a n dt h e nw eh a v es h o w nt h er o l eo f i m p u r i t i e si ni m p r o v i n gq u a n t u me n t a n g l e m e n t i nt h i sc h a p t e r ，w eh a v ec o n c e r n e dd i f f e r e n t s i t u a t i o no fn e a r e s t - n e i g h b o r i n gi m p u r i t ya n dn o n - n e a r e s t n e i g h b o r i n go n e ，a n dt h ed i f f e r e n t n u m b e ro fi m p u r i t yp u ti nt h er i n g i nt h et h i r dc h a p t e r , w eh a v ed e s c r i b e dt h ee f f e c to f t i m e d e p e n d e n tc o u p l i n g s ，a n da tt h es a m et i m ew eh a v ea l s ot h o u g h tt h ee f f e c tw h e nt h e r ei s d e c a yi nt h es y s t e m ht h el a s tc h a p t e r , n a m e l yt h ef o u r t ho n e , w eh a v es t u d i e dt h e e n t a n g l e m e n to fa n i s o t r o p i ch e i s e n h e r gx y zr i n gu n d e ri n h o m o g e n e o u sm a g n e t i cf i e l d k e yw o r d s ：q u a n t u me n t a n g l e m e n t ；m u l t i i m p u r i t y ；t i m e - d e p e n d e n tc o u p l i n g ； a n i s o t r o p y ；i n h o m o g e n e o u sm a g n e t i cf i e l d 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其它人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 工大学或者其它单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名：墨叁玉盘日期：2 鲤：2 2 ：丛 大连理工大学硕士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文版权使用 规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论 文。 作者签名：叠叁垃作者签名：豳叁丛 导师签名 大连理工大学硕士学位论文 0 引言 0 1 量子纠缠的研究背景 0 1 ，1 量子信息学的兴起 物理学的革命给我们很多的启示，首先是作为研究物质结构和运动的基本规律的物 理学，总是生机勃勃，不断地开辟自己前进的道路i l j 。1 9 0 0 年，由p l a n k 引进的微观粒 子能量的量子化概念，成功解释了黑体辐射问题，从而刨立了量子论。利用p l a n k 的量 子论，经过e i n s t e i n ，b o h r ，d eb r o g l i e ，h e i s e n b e r g ，s c h r 6 d i n g e r ，b o m ，d i r a c 等一批 杰出物理学家的努力，在1 9 2 5 年到1 9 2 8 年闻，量子力学便诞生了l z j 。2 0 世纪物理学取 得的两个划时代的进展是相对论和量子理论。相对论的建立从根本上改变了人们原有的 空间和时间的概念，开辟了人们认识微观世界的道路。原子和分子之谜解开t 3 1 。 量子力学经过这么多年的发展历程，从建立到发展，但我们并不能草率地就认为它 已经是一个完备的，彻底的理论。因为从它最开始诞生以来，它的一些基本原理等就引 起过理论界的极大的争论。当然通过这些争论，更促进了量子力学的长足发展。 随着量子力学的发展，产生了一门新兴学科即量子信息学，量子信息学的研究内容 主要包括：量子计算机、量子通信、量子密码术、量子测量等。随着量子信息学近年 来在理论和实验方面不断取得的重大突破，量子信息学具有的潜在应用价值和重要科学 意义，已经引起各国政府、科学界和信息产业界的高度重视。量子信息学为信息学的发 展开创了新的原理和方法，注入了新的活力，将对今后的研究产生重要影响。 0 1 2 量子纠缠的研究 随着量子信息学的不断发展，人们提出了量子纠缠的概念。纠缠的概念在量子力学 以及量子信息学的研究中具有重要的地位，物理学家们也已经提出纠缠是一种资源，龙 桂鲁等在【4 l 中详尽而深刻地阐述了与纠缠相关的概念，并对纯态及混态的纠缠判据进行 了评述张永德p j 在“量子测量理论和量子计算”的文章中也对量子纠缠做了很明确的阐 述。量子信息学最根本的资源是量子纠缠态阵7 】。所以制备和存储纠缠态是量子信息学 领域中被公认的两大重大课题。在这方面，郑仕标和郭光灿f 8 】提出了一个有效的产生两 原子纠缠的方案，并把它应用到量子信息过程。此外在【8 】中他们巧妙地利用这种相互作 用实现控制非们操作，从而实现量子隐形传态。由于这一方案在很多方面有明显的优势， 例如在克服退相干，因此受到了国内外的极大关注。并且在实验方面已经有利用这方案 的实验出现p l 。 我们研究的纠缠通常是考虑纯态下的纠缠和混态下的纠缠。纯态即凡是能用希尔伯 特空间中的一个矢量描写的状态就都是纯态。有时量子系统所处的状态，由于统计物理 大连理工大学硕士学位论文 的原因或量子力学本身的原因无法用一个态矢量来描写。系统并不处在一个确定的态中 而是有可能处于i 讫) ，j 伤) 等各个态中，分别对应概率只，足这种状态无法用一 个态矢量表示，称为混态。 由于人们清楚地知道纠缠在量子信息发展中的重要地位，所以在这方面的研究也受 到了大家的青睐，如腔q e d 中原子间的纠缠，自旋链中的纠缠，约瑟夫逊结中的纠缠等等 而关于自旋链的纠缠，由于这种相互作用不仅在固体体系中而且在腔q e d 中以及量子点 中都可以实现，从而引起了人们的关注。在这方面的工作，人们做了大量的研究，如各 种不同形式的h e i s e n b e r g 模型) ( ) 【，x y ，x y z 等等。体系也从两个q u b i t s 发展到多q u b i t s 的大体系。这方面的研究是很多的，例如“4 ”“”1 8 ”42 ”。 0 2 本文的大体框架 量子纠缠是量子信息学中最重要也是最为奇特的一个课题。在量子信息学中，量子 信息的处理离不开量子态及其操纵，而量子纠缠态毫无疑问是各种各样的量子态中最重 要的一种。量子纠缠在量子信息学的两大领域一量子通信和量子计算中都有着广泛的 应用。要实现量子计算首先就要实现两比特逻辑门，通常是受控非门( c n o t ) ，这种 逻辑门事实上就是将两个量子比特纠缠起来的过程。除此之外，量子纠错码方案通常也 要使用量子纠缠态；在量子通信中，使得纠缠态具有重要意义的主要是量子隐形传态技 术。甚至有人认为在某种意义上可以将量子通信等价于异地纠缠态的建立，操纵和测量。 另一方面，对于量子纠缠态的性质研究也会使得我们能够更深刻地理解量子力学。所以 本人决定在论文中以对量子纠缠的研究作为重点 本文共分四章，在第一章中我们简要地介绍了量子纠缠的一些理论概述，从总体上 介绍了量子纠缠的概念，还有纠缠的一些测量方法以及影响纠缠的一些因素。接下来的 一章，我们讨论了在有均匀外磁场存在的情况下，多个杂质对海森堡自旋环中近邻q u b i t 之间纠缠的影响。同时还考虑了温度的效应。在第三章中，我们研究了耦合对两原子纠 缠的影响，其中主要讨论了不随时间变化的耦合的作用，同时还考虑了在衰减存在的情 况下的随时间变化的耦合对两原子纠缠的影响。在最后一章中，我们着重研究了在各向 异性的海森堡x y z 链中，非均匀磁场的存在对纠缠的影响。 大连理工大学硕士学位论文 1 量子纠缠理论概述 随着量子信息学的产生与发展使人们更加了解了量子力学的精髓。而量子之间的相 互作用是由量子纠缠加以体现的。谈到纠缠我们就能想到量子退相干，由于环境或其他 影响导致相干性消失的的现象称之为量子退相干( q u a n t u md e c o h e r e n c e ) 田“。而我 们要增强量子性就要使纠缠增大或保持，而不是让纠缠减小或消失。所以产生了许多增 强量子纠缠的建议与理论研究。人们做了许多尝试来增大量子纠缠减少量子退相干。因 此在量子信息学领域里量子纠缠就成为了众多研究者的核心问题。 1 1 量子纠缠态和量子纠缠的概念 制备和储存纠缠态是量子信息学的重大课题。纠缠态的本质是量子体系的相干性， 一旦失去相干性，量子信息学的优越性就会消失殆尽。因为在量子计算机中，执行运算 的量子比特不是一个孤立系统。很容易与外界环境发生相互作用，非可逆的非幺正演化 直接导致量子态的塌缩进而导致退相干l 硼。量子力学是非定域的理论，这点已被违背 贝尔不等式的实验结果所证实，因此，量子力学展现出许多反直观的效应。量子力学中 不能表示成直积形式的态成为纠缠态。纠缠态之间的关联不能被经典地解释。所谓量子 纠缠指的是两个或多个量子系统之间存在非定域，非经典的强关联。量子纠缠涉及实在 性，定域性，隐变量以及测量理论等量子力学的基本问题，并在量子计算和量子通信的 研究中起着重要的作用。 多体系的量子态的最普遍形式是纠缠态，而能表示成直积形式的非纠缠态只是一种 很特殊的量子态。历史上，纠缠态的概念最早出现在1 9 3 5 年薛定谔关于“猫态”1 2 5 , 2 6 】的论 文中。纠缠态对于了解量子力学的基本概念具有重要意义，近年来已在一些前沿领域中 得到应用，特别是在量子信息方面。例如，量子远程通信。 1 2 量子纠缠的度量 量子纠缠的度量有多种方法，其中大家最熟知的就是部分转置正定。还有就是我们 常用的形成纠缠度量( c o n c u r r e n c e ) ，我们在本文中也主要使用的是c o n c u r r e n c e 这个 度量方法。下面我们就对其做简要地介绍。 大连理工大学硕士学位论文 c o n c u r r e n c e 是测量两个q u b i t 之间的纠缠的一种方法。利用这种方法时，我们取p 作为由q u b i ta 和b 组成的系统的密度矩阵，那么矩阵声。有四个非负的本征值，将 它们按降序排列即为： 之九苫屯芑九) 。其中豇是的s p i n f l i p p e d 形式，即： p 4 b = o yoo - y p 4 a b o y 固oy ( 1 1 ) 由以上结果我们便可得出c o n c u r r e n c e 满足如下形式： x 肛一耄历 ；0 ) ：， 我们应该指出的是p 是任意的态，也就是说c o n c u r r e n c e 对于两q u b i t 的纯态和混 态都适用。由上式可知c o n c u r r e n c e 的最小值是0 ，这时对应着两个态是分立的，当 o 时，丽个q u b i t 之间就存在了纠缠。c 么的最大值是1 ，此时对应着最大纠缠态即相当于 b e l l 态l 卸。 大连理工大学硕士学位论文 2 多杂质对均匀外磁场下的各向异性海森堡x x z 纠缠的影响 h e i s e n b e r g 模型而言，目前已经不再局限于自旋系统，人们发现在量子点体系【矧， 核自旋系统1 冽以及腔q e d 体系【旭3 1 l 中都能够实现h e i s e n b e r g 模型的相互作用。 在过去的工作中，人们在h e i s e n b e r g 自旋链中加入外磁场【3 2 l 和温度效应以及改变 各向异性参数来改变热纠缠。后来发现，在一定的温度下，我们可以通过控制b 和，来 获得强的热纠缠。还有关于在体系中引入杂质的情况，考虑到杂质对纠缠的影响。以及 边界效应对纠缠的影晌1 3 3 l 。结果发现边界效应可以导致纠缠大小的起伏。而且杂质效应 可以使杂质附近的杂质和紧邻q u b i t 之间的纠缠产生附加的起伏。 目前，已经有很多工作都是围绕不同类型的海森堡模型而做的1 1 0 ，1 2 , 1 4 , 2 0 , 3 2 , 3 4 , 3 5 , 3 6 , 3 7 ， 弼，3 9 ，柏】。众所周知，在实际体系中通常都存在杂质，并且杂质在凝聚态物理学中也起到 了非常明显和重要的作用。作为q 邛一个候选者，含有杂质的体系同样是我们研究的主 要对象。在前人的研究当中，关于杂质对量子纠缠的影响也已经有过对于三个自旋体系 的，例如1 1 9 , 4 1 】。此外温度为零时的对于大体系的纠缠研究【4 2 】。然而，对于这些工作，他 们都仅考虑了单个杂质的影响。这也是我们要做多杂质影响纠缠的主要原因。 在这一章中，我们将考虑两个杂质和三个杂质的情况。我们还分别对杂质近邻和非 近邻的不同情况做了分别的讨论。我们的体系是由十个q u b i t s 组成的。第一节中我们考 虑杂质非近邻的情况，第二节我们讨论杂质近邻的情况。下面就让我们来分别讨论。 2 1 非近邻杂质的影响 在这种情况下我们体系的模型如图2 1 所示。 ( a )( b ) 9 8 3 9 4 8 3 4 大连理工大学硕士学位论文 图2 1 当杂质非近邻情况下的自旋环。( a ) ：由十个q u b i t s 组成的环，其中第四和第六个 为两个相同的杂质。( b ) ：由十个q u b i t s 组成的环，其中第四，第六和第八个为三个相同 的杂质。 f i g 2 1t w oc o n f i g u r a t i o n so fs p i nr i n gw h e nt h ei m p u r i t i e sa r en o n n e a r e s tn e i g h b o r s ( a ) ： q u b i tr i n gf o r m e dw i t h1 0q u b i t s t h e4 “a n d6 t ha r et w oi d e n t i c a li m p u r i t i e s ( b ) ：q u b i tr i n g f o r m e dw i t h1 0q u b i t s t h e4 也6 t ha n d8 t ha r ct h r e ei d e n t i c a li m p u r i t i e s 根据图2 1 ( a ) 的情况，我们体系的哈密顿量可以很容易的写出如下： h = 丢套 ，( 咖扣咖二。+ j z c r 雠。 j ( 仃；x u ；x + - + o , r o l 。) + ，：；磊- j ( 盯? 仃五- + ，y u 。y + ，) + ，：仃j 二t ( 2 1 ) b ( 仃；+ 二。) 其中孑；= ( 仃，o r ，产) 是泡利矩阵的向量，和正表示任意近邻两。；。 之间的实耦合参数。我们限制b = 0 沿着z 方向并且n + 1 = 1 。除此之外，我们选取的参 数b ，j ，j ：和t 都是无量纲的量并且我们取杂质和其近邻的q u b i t 之间的耦合满足关 系： = a 术 = a 3 ， ：l ： j 一 ( 2 2 ) 其中a 代表杂质和其近邻的q u b i t 之间耦合的附加强度【3 3 】。对于图2 1 ( b ) ，我们可以很 容易的像图2 1 ( a ) 一样给出其哈密顿量。这里就不再赘述。 x台。v鲁 1 2 1 2 1 2 + + + 大连理：c 大学硕士学位论文 正如我们所知道的，对于一个处在温度为t 下的热平衡体系，其密度算符为： p 其中， z b ( 2 4 ) 是配分函数，并且k 。是玻尔滋曼常数，为了简单我们取k 。= 1 。正如我们在第一章中介 绍的，两个q u b i t 之间的纠缠可以通过c o n c u r r e n c ec 来计算【2 7 ，4 3 ，4 4 ，蛔， c = m a x ( 0 ，2 m a x ( a i ) 一二。九) ，仁；， 在上式中，a f 是如下矩阵的本征值的平方根。 r = p ( 盯fo 仃；) p + ( 仃fo 仃；)( 2 6 ) 其中p 是密度矩阵，符号“”表示复共轭。无论p 代表纯态还是混态c o n c u r r e n c e 都可以 用来测量纠缠大小。接下来，将只考虑两个近邻q u b i t 之间的纠缠，而且我们会对体系 中其他的q u b i t 取迹，然后只考虑我们感兴趣的两个q u b i t 之i 日j 的约化密度矩阵，进而求 出它们之间的纠缠。 现在，让我们回颥一下理想的环和开链之间的区别。对于一个理想的环，它属于一 个对称体系，所以每个q u b i t 都相当于处于同一个位置，所以每两个近邻的q u b i t 之间的 纠缠都是一样的。但是对于一个理想的开链而言，这种纠缠就和q u b i t 所处的位置有关 系了，并且由于这种体系对称性的破坏将导致纠缠的起伏震动f 4 2 】。 因为我们要考虑的是多个杂质的效果，所以我们在这里不做解析计算，直接给出它 们的数值结果进面盎观察纠缠的变化。在图2 2 中，我们分别同图2 1 ( a ) 和图2 1 ( b ) 对应 着绘出了c o n c u r r e n c e 随着d 变化的曲线。从图中我们可以很清楚地看到，对于两种情 况下，在远离杂质的区域纠缠只受到a 变化的很小的影响，几乎都不影响，例如图中所 、1；j t ， ，b t ，一， p p x 眩 1 一z f = = 篁 大连理工大学硕士学位论文 示的c 1 ：和c l 。而在杂质附近的区域，存在几乎相同的l i 缶界口值，当达到此值时，杂质 将与它近邻的q u b i t 开始产生纠缠，就像图中的g 。，c 4 ，等等。在图2 3 中我们绘出了 纠缠随q u b i t 的位置i 变化的关系图。由图2 3 ( a ) 可知，这种情况就相当于将这个环从第 四个q u b i t 和第八个q u b i t 处截断了，所以由9 1 012 3 这几个q u b i t 组成了一个相当于 开链的体系，同时年5 6 7 8 也同样，但是这段开链由于耦合常数接近于零所以他们几 个之间没有纠缠。当我们将口取为大于一的情况下例如取为a = 2 如图2 3 ( b ) 所示，由于 j ) j 我们仍然可以将这个环截断为两个开链。 在图2 4 中我们画出了a 和温度在三个非近邻杂质存在的体系中对纠缠的影响曲 线。从这个图中我们也可以判断出第二个和第三个q u b i t 是纯的非杂质的q u b i t ，同时可 以知道第三个和第四个中含有一个杂质。通常，我们如果要调整耦合常数的值是很困难 的，也就是说，如果我们想直接按照图2 3 那样来判断哪一个是杂质是很困难的。但是 我们仍然可以通过测量纠缠随温度的变化而来解决上面的问题( 1 4 6 ，4 7 中已经指出 c o n c u r r e n c e 是可以测量的) ，因为我们调节温度是很容易的。另外，从图2 3 和图2 4 中我们可以发现，当口 1 时，它可以很有效地增大纠缠和临界温度。通过引入耦合比 较大的杂质，我们也可以增大临界温度和纠缠。所以，我们的研究不但提供了一个杂质 的判断标准还展示了一种增强纠缠和临界温度的方法。 大连理工大学硕士学位论文 图2 2 对于含有两个非近邻杂质和三个非近邻杂质的情况下c o n c u r r e n c e 随口变化的图象。( 第四 和第六个为两个完全相同的杂质) ( a ) ，( 第四，第六和第八个为三个完全相同的杂质) ( b ) 。 t = 1 ，b f 0 a ，j = 1 ，- ，= o 6 5 。 f i g 2 2n e a r e s tn e i g h b o r i n gc o n c m _ f e n c e s af u n c t i o no f 口f o rt h et w o - i m p u r i t ym o d e l a n d6 恤a r e t w oi d e n t i c a li m p u r i t i e s ) ( a ) a n dt h et h r e e i m p u r i t ym o d e l ，6 “a n d8 “a r et h r e ei d e n t i c a li m p u r i t i e s ) ( b ) t = i ，b = 0 4 ，j = 1 ，j = 0 6 5 一1 0 大连理工大学硕士学位论文 图2 3 含有三个非近邻杂质的情况下c o n c u i t e o c c 随i 变化的图象。( 第四，第六和第八个为三个完 全相同的杂质) a - - 0 1 ( a ) ，口= 2 ( b ) 。3 - - 1 ，b - - 0 4 ，= 1 ，j ：= 0 6 5 。 f i g 2 2n e a r e s tn e i g h b o r i n gc o n c u r r e n c e sa s af u n c t i o no f if o rt h et h r e e i m p u r i t ym o d e l ( 4 “，矿a n d 矿a r e t h r e ei d e n t i c a li m p u r i t i e s ) 口= o 1 ( a ) ，口= 2c o ) t = i ，b - - 0 4 ，j = 1 ，：= o 6 5 大连理工大学硕士学位论文 ( a ) 图2 3 含有三个非近邻杂质的情况下c o n c u r r e n c e 乞和c _ 随a 和温度变化的图象。( 第四，第六 和第八个为三个完全相同的杂质) 。b = 0 4 ，= 1 ，：- - 0 6 5 。 f i g 2 2n e a r e s tn e i g h b o r i n g n c u h 锄c ec 矗a n dc - v e r s u s 口a n dtf o rt h et h r e e - i m p u r i t ym o d e l ( 4 血，6 i ha n d8 0a l et h r e ei d e n t i c a li m p u r i t i e s ) 。b = 0 4 ，j = 1 ，：= o 6 5 2 2 近邻杂质的影响 在这一节中，我们将研究近邻杂质对纠缠的影响。这里我们选用的体系模型如图2 5 所示。 一1 2 一 大连理工大学硕士学位论文 9 8 ( a )( b ) 9 8 3 4 图2 5 当有杂质近邻情况下的自旋环。( a ) ：由十个q u b i t s 组成的环，其中第五和第六个 为两个相同的杂质。( b ) ：由十个q u b i t s 组成的环，其中第四，第七和第八个为三个相同 的杂质。 f i g 2 5t w oc o n f i g u r a t i o n so fs p i nr i n gw i t hn e a r e s t - n e i g h b o ri m p u r i t i e s ( a ) ：q u b i tr i n g f o r m e dw i t h1 0q u b i t s t h e5 ”a n d6 “a r et w oi d e n t i c a li m p u r i t i e s ( b ) ：q u b i tr i n gf o r m e dw i t h 1 0q u b i t s n e4 也7 l l - a n d8 ma l et h r e ei d e n t i c a li m p u r i t i e s 由图2 5 0 ) ，我们可以给出系统的哈密顿量直n t ( 2 7 ) 式和( 2 8 ) 式。其中，芦代表两个近 邻杂质之间耦合的附加强度，并且j 和- ，：仍然满足方程( 2 2 ) 。同理，我们可以很容易地 写出对应于图2 5 ( b ) 描述的体系的哈密顿量，这里也不做赘述了。在图2 6 中，我们绘 制了两个相邻杂质附近区域的纠缠随芦的变化曲线图。从这个图中，我们可以很容易地 看出，近邻杂质的耦合只影响了近邻的两个杂质的纠缠以及和其相耦合的q u i b i t 之f 日j 的 纠缠。例如，图2 6 ( a ) 中的c k 有一个临界卢值，当达到此值以后，它们就会开始纠缠， 而此时由于近邻q u b i t 之间的竞争作用，c 4 ，依然将减小。对于图2 5 ( b ) ，虽然我们有更 多的杂质，但是近邻杂质的耦合芦却也只影响他们自身的纠缠和与其耦合的q u b i t 的纠 缠，如图2 6 ( ”中所示的c k 以及c 6 ，和g ，。同时其他的纠缠几乎不受影响。 大连理工大学硕士学位论文 h = 丢熹 ，( 仃f 屹+ 。，喝) + j z c r k ， + 丢耋 j ( 咖矗+ 盯m ，) + j z u 玩， + 丢；。仃k - + m ，) “。仃k ， + 丢善 j ”( 仃? 。五。+ 仃，口二，) + jz c r j 二， 仁乃 + 虿1 著b ( j + 仃。，) ，”= 卢术j ，j ：= 木jz ( 2 8 ) 一1 4 一 大连理工大学硕士学位论文 i a ) p ，圜 一一一：一一一一一一 ”“+ ：。一 图2 6 对于含有两个近邻杂质和三个近邻杂质的情况下c o n c u 玎e n 随口变化的图象。( 第五和第 六个为两个完全相同的杂质) ( a ) ，( 第四第七和第八个为三个完全相同的杂质) ( b ) 。t = i ，b = 0 a ， - 厂= l ，：= 0 6 5 ，n 卸8 。 f i g ，2 2n e a r c s tn e i g h b o r i n g “m 口c e sa saf u n c t i o no f 卢f o rt h et w o - n e a r e s t i m p u r i t ym o d e l ( 5 。a n d 矿a i ct w oi d e n t i c a li m p u r i t i e s ) ( a ) a n dt h et h r e e - n c a m s t - i m p u r i t ym o d e l ，7 也a n d8 “a r et l e ei d e n t i c a l i m p u r i t i e s ) c o ) t ；1 ，b - q ) 4 ，i ，；1 ，正= o 6 5 ，a = o 8 ， 2 3 本章总结 在本章中，我们主要研究了对于在一个均匀磁场下的海森堡x x z 模型中，在存在 两个杂质和三个杂质并且杂质有近邻和非近邻的不同情况下的纠缠受到的影响。我们发 现，由于杂质的引入，对于大a 以及小a ，我们可以将环截断为不同的开链形式，然后 根据开链的特征来解释纠缠的变化特征，进而解释q u b i l 之间的对纠缠的竞争现象。对 于近邻杂质的情况，相对耦合常数口只影响同杂质近邻的q u b i t 和杂质之间的纠缠。如 大连理工大学硕士学位论文 果我们引入比较大的a 和卢值，那么和杂质近邻的q u b i t 同其近邻杂质之间的纠缠，以 及近邻杂质之间的纠缠能够被很有效的增大，并且临界温度也会被提高。 大连理工大学硕士学位论文 3 不同的随时间变化的耦合对两原子纠缠的影响 腔q e d 体系( 量子电动力学体系) ，作为量子信息硬件的一个重要的侯选者一直 是人们研究的主要焦点。在腔o e d 中，两原子和腔场的相互作用可以导致两原子之间 产生纠缠，这种情况不仅存在于腔泄露的情况【4 8 , 4 9 1 ，也存在于高q 的情况 s , 5 0 , 5 1 , 5 2 】。在 以上这些研究当中，为了计算的方便，把两个原子分别和腔场的偶合g ，“t l 2 ) 看成是 相同的。然而，在实验中原子场的耦合依赖于时间和空间的变化【5 孔5 4 。最近【5 5 l 研究了带 有不同耦合常数的两原子体系并且发现，在某些特定情况下，不同的耦合常数可以引发 最大纠缠。c a s t r o 5 6 l 研究了随时间变化的耦合对初态为l e g o ) 的纠缠态的对称性的影响。 除此之外，c a s t r o 还用不同的耦合常数来制备了多粒子的类w 态( w 态不能由相同的 耦合来制备) s t l 。两原子的不同耦合也是z h e n g 的原子量子逻辑门方案【蚓的一个非常重 要的条件。然而，关于不同的随时间变化的耦合是否对纠缠有影响还没有人考虑过。这 也是我们做这个工作的动机。 3 1 随时间变化的耦合对纠缠的影响 我们首先考虑随时间变化的耦合对纠缠的影响。当两原子穿过一个腔或者两个超冷 原子被束缚在腔中时，在相互作用绘景下的哈密顿量为： h = f g z ( f ) ( 口+ a - 一以一广) ( 3 1 ) 其中耦合作为空间变量的一个函数可以表示为1 5 4 】： g ( r ) = g o s i n ( 等z ) e x p ( 一( x 2 + y 2 ) w 2 ) ( 3 2 ) 、。+ 吖 上式中z 被规定为沿着腔轴线的方向。如果原子穿越了腔那么变量z 将会被时间变量t 所替代，所以我们假定g ：o ) 一gs i n ( 2 m r ) 。由于量子绝对理论，体系的时间演化算符 对于随时间变化的耦合来说满足如下方程： 大连理工大学硕士学位论文 u=tex p h j ( o ，f ) d f i ( 3 3 ) 其中t 代表时间算符。为了研究不同的随时间变化的耦合对纠缠的影响，我们需要一个 初始态k e o ) ，其中最后一个指标对应于腔场，而前两个对应于原子态。在我们的这种情 况下，对于初始态i 昭o ) ，当9 2 ( f ) 一gs i n ( 獗t r ) ，我们并没有观察到不同的随时间 变化的耦合能够很明显的增大纠缠，所以这也是我们为什么选择l 甜0 作为初态的原因。 上面哈密顿量的本征值为： a 3 g2 ，a2 ；一 g2 ，九4 = 一 g2 ， g2 ，( 3 4 ) 其中q ，2 = 3 + 3 r z + _ 护丽，q ( ) 分别对应黜和 负值并且r 一争被假定为常数在子空间i e e o ) ，i 缮1 ) ，l 舻1 ) ，i 髂2 ) ，对应的本征函数为： 52 丐利阻 ) l 司心 ) i 剥+ 吗翰) | 鲫+ 鲥 ， 鼍利 q 妇) l 目一吃翰) l 剥飞翰) l 鲫+ i 刚 ， 鬈= b q 娩) i 叫+ 呸心) i 刨+ 吩 ) l 鲥+ l 鲥 ， 叱= b q 娩) l 叫呜娩) f 剐鸭娩) f 鲫+ l 刚 ， 其中， ( 3 5 ) 大连理工大学硕士学位论文 州小等2 一 a2 ( x ) = a3 ( x ) = ( 4 ，2 + 2 一 ( 2 厂2 + 4 一 ( 3 6 ) 并且a 和b 都是归一化常数。在a d d r e s ss t a t e 绘景f ，我们最终能得剑对应于彻态l e e o ) 的时间演化如下： 垂g ) ；2 a 1 2 a ；( q ) c o s q + 例2 口：2 ( 吡) c o s 岛1 f 韶o ) - 2 i a 2 a l ( q ) 口：( q ) s i i l q + b 2 q ( ) 口：( 哆) s i i l 吃1 昭1 ) - z i a 2 a l ( o j ，) a 3 ( q ) 如q + b 2 口，( c 0 2 ) a 3 ( 哆) s i n a = g e l ) ( 3 7 ) + 2 a2 a ，( q ) c o s o l + b a 2 ( c 0 9 c o s o ： l 9 9 2 ) 其中，0 - ，z 2 f g2dt 。 我们知道两q u b i t 之间的纠缠可以用c o n c u r r e n c e 来计算，就象我们上一章中用到 的并且在第一章中介绍的。 图3 1 展示了c o n c u r r e n c e 随时间t 和两个耦合的比值r 的变化关系。其中，图3 1 “) 对应于两个耦合保持为常数但是他们的比值却是变化的。当两个原子都处予激发态的时 候，他们由真空态或是f o c k 态是不能产生纠缠的【5 1 ，”i ，同样在经典的混合态下也是不 能的。但是如果这两个耦合不相同，这两个原子是可以纠缠的f 矧。我们在图3 1 ( a ) 中能 够看到许多“山峰”的效果，但是纠缠在实验上还是很难产生的，因为当r 的值发生大的 变化时纠缠通常都出现在不同的时间区域，并且不规则的“山峰”使得纠缠很难产生。然 万一一万一一 大连理工大学硕士学t 奇论文 而，如果耦合是随时间变化的，那么根据规则g ：( f ) 。g s i n ( 2 x t r ) ，纠缠将会随着r 展 现出周期性的变化。这就意味着我们不需要过多的考虑两原子是否处于对称的位置，我 们只需要控制使这种相互作用时间保持为某个固定的时间间隔。例如在0 3 t o 7 情况 下，如果o = 膨g 矽愀力i 当初态为l 曙0 ) 时，体系的密度算符有如下的形式： 艇) = 假i ) ( i + l 昭0 ) ( 昭。陟o ( 3 1 0 ) 佑1 1 ) i 掣二) = 2 j l g ) l 曙o ) + 包p ) l 伊o ) + 吃g ) l9 9 1 ) 。 其中， 岛= 乏羞 一r + 曲产一位一r 一咖吨 + 7 1 e m ； 吃2 翥雨 ( r - f + e - 也一 - r - 矿卜专矿； 、7 r 3 1 3 ) 6 3 ；堕p 一一) ； 大连理工大学硕士学位论文 西坩= 虿1 彭+ r ) d f 根据量子跳跃近似有昂= 1 王么1 2 ) ，并且气即= 2 r | ：岛1 2 + b 22 ) a t 。 在图3 2 中，我们绘出了当耦合为不随时间演化的和随时间演化的不同情况下，两 原子之间纠缠的演化图形。其中，图3 2 ( a 1 表示了当r = l 和1 - - 0 4 的情况下不随时间演化 的耦合所对应的情况，而图3 2 ( b ) 则表示对应于随时间演化的耦合的情况。我们发现纠 缠不断的减小。但是当我们考虑随时间演化的耦合时，一些比较深的“峡谷”在下倾的线 中周期性的出现，并且这个周期时间与r 无关。为了找出这种周期性“峡谷”的原因，我 们做了在g - 一0 3 的情况下纠缠演化图象。将图3 2 ( b ) 和图3 2 ( c ) 做对比，很明显，这周 期性出现的深“峡谷”是由随时间变化的耦合导致的。由于腔场