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寿险中的风险及随机问题 摘要 利用精算技术处理风险尤其是金融风险是特别有效的方法，在现代保险业的发 展巾精算理论有着非常重要的作用传统的精算理论总是假设利率是确定的，但实 际生活中利率具有随机性，会引起利率风险，而且随机利率产生的风险对寿险公司 影响极大从2 0 世纪7 0 年代开始，寿险中的利率随机性问题成为保险精算研究的 热点之一 本文在前人研究的随机利率模型的基础上，讨论两个寿险精算中的随机问题：第 一，通过引入准备金过程，详细分析了几种全连续型增额定期寿险在不同随机利率 模型下的保费计算，并以其中一种增额寿险为例分析了不同随机利率模型下费率的 稳定悒第一二，讨论了m a r k o v 链在重人疾病保险中的应用，并估计其准备金 j i v f 内容如下： 第一章，介绍了随机利率下的寿险精算在国内外研究概况，并详细回顾了前人对 本文讨论的两个问题的研究，引出本文所做的主要工作 第：二章，介绍了必要的基础知识，并给出经典随机利率模型 第三和第四章是本文的主体部分其中，在第三章里，引入准备金过程，给出不同 随机利率模型阢种全连续型增额寿险的趸缴纯保费及均衡纯保费的精确表达式， 并在此基础上以其中一种增额寿险为例对费率的稳定性作出了评析同时，在本章 末详细分析了实务中一类累积增额两全保险的给付现值，并给出在死亡均匀分布假 设下给付现值前二阶矩的具体表达式第四章，讨论m a r k o v 链在重大疾病保险中 的应用，并估计其准备金 关键词：趸缴纯保费；均衡纯保费；责任准备金 寿险中的风险及随机问题 a b s t r a c t a c t u a r i a lt h e o r yi sv e r yi m p o r t a n ti l lt h em o d e r ni n s u r a n c ei n d u s t r y u s u a l l y ，t h e t r a d i ti o n a lt h e o r yi sb a s e do n af i x e di n t e r e s tr a t e h o w e v e rt h ef a c to fg o v e r n m e n t p o l i c ya n de c o n o m i cc y c l e sm a yc a u s et h ei n t e r e s tr a t e t ob eu n c e r t a i ndur i n gt h e t i m eo fi n s u r a n c e t h es t u d yo na c t u a r i a lt h e x ) r ya n dm e t h o du n d e rs t o c h a s t i cr a t 鹤o f i n t e r e s th a sb e c o m ea l li m p o r t a n ta n dp o p u l a rt o p i cf r o m1 9 7 0 8 t h i sa r t i c l e ( 1 0 s et h e d e t a i l e da n a l y s i st ot h ep r e m i u ma n di t ss t a b i l i t ya b o u ti n c r e 稻i n gl i f ei n s u r a n c eu n d e r d i f f e r e n ts t o c h a s t i ci n t e r e s tm o d e l sf i r s t l y , a n dt h e nd i c u s s e st h ea p p l i c a t i o no fm a r k o v c h a i n si ns e r i o u ss i c k n e s si n s u r a n c e t h i st h e s i si so r g a n i z e da sf o l l o w s ： c h a p t e r1 i si n t r o d u c t i o n i tg i v e si n t r o d u c t i o n st ot h ed e v e l o p m e n ta n dr e s e a r c h o fl i f ei n s u r a n c ea c t u a r i a lt h e o r yu n d e rs t o c h a s t i ci m e r e s tr a t e i ta l s oi n t r o d u c e st h e m a i nw o r ko ft h i sa r t i c l e c h a p t e r2d i s c u s s e st h ep r e l i m i n a r yk n o w l e d g eo fa c t u a r i a lt h e o r y as e r i e so f s t o c h a s t i ci n t e r e s tm o d e l sa l ea l s og i v e di nt h i sp a r t c h a p t e r3a n dc h a p t e r4i st h em a i np a r to f t h ep a p e r i nc h a p t e r3 t h ep r e m i u m s a b o u ti n c r e a s i n gl i f ei n s u r a n c eu n d e rd i f f e r e n ts t o c h a s t i ci n t e r e s tm o d e l sa r es t u d i e db y i n t r o d u c i n gt h er e s e r v ep r o c e s s ，an u m e r i c a le x a m p l ei sg i v e nt oc a l c u l a t ea n da n a l y z e a tt h es a m et i m e ，t h ep r e n s e n tv a l u eo fas p e c i a li n c r e a s i n gl i f ei n s u r a n c ei sc a n v a s s e d i nc h a p t e r4 ，t h ea p p l i c a t i o no fm a r k o vc h a i n si ns e r i o u ss i c k n e s si n s u r a n c ei sd i s c u s s e d a n dr e s e r v e sa r ec o m p ut e d k e yw o r d s ：s i n g l en e tp r e m i u m ；l e v e rn e tp r e m i u m ；r e s e r v e s 厦门大学学位论文原创性声明 兹呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立完成的研究成果。 本人在论文写作中参考的其他个人或集体的研究成果，均在文中以明 确方式标明。本人依法享有和承担由此论文而产生的权利和责任。 声明人( 签名) ： 江目生签 矽刁年夕月p 日 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人完全了解厦门大学有关保留、使用学位论文的规定。厦门大 学有权保留并向国家主管部门或其指定机构送交论文的纸质版和电 子版，有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学 校图书馆被查阅，有权将学位论文的杰容编入有关数据库进行检索， 有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适 用本规定。 本学位论文属于 l 、保密() ，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密() ( 请在以上相应括号内打“j ) 作者签名：奄芷苍 别隘名严卜 霹期：亏年多月f 。冒 日期：呷年占月f 日 寿险中的风险及随机问题 第一章引言 保险精算足以经济原理为基础，以现代数学为上具，对保险业未来财务风险的评 估、预测、管理的一门综合性学科它主要研究保险事故的出险规律、保险事故损失 额的分布规律、保险人承担风险的、l ，均损失及其分市规律、保险费率和责任准备金 等具体问题的计算，给保险公司的各种经营决策提供了科学的依据，因而从发展之 初就受到众多学者的青睐。 近几1 啤来，精算科学理论与应用都有了显著的发展从2 0 世纪7 0 年代开始， 寿险巾的利率随机性问题成为保险精算研究的热点之一这是因为实际生活【 | 利率 具有随机陛，会引起利率风险，而且利率随机性产生的风险对寿险公司i f l i i 言是相当 大的1 9 7 1 年j h p o l l a n d 首次把利率( 利息力) 视为随机变董对精算函数进行 了研究此后，一批学者开始采用各种随机模型来模拟随机利率1 9 7 6 年b o y e l 考 虑了寿险与年金中死亡率与利率均为随机的情况，即所谓的“双随机性”相应的 随机利率的一般理论由p a n j e r ，b e l l h o u s e ( 1 9 8 0 ) 2 】建立，随后g i a c c o t t o ( 1 9 8 6 ) ， d h a e n e ( 1 9 8 9 ) ，h u r l i m a n n ( 1 9 9 2 ) 等有过这方面的研究i s 】9 0 年代，批学者利用 摄动方法建模，得到了具有双随机陛的某些年金及寿险的一系列结果t _ 3 e e k m a n ， f u e l l i n g ( 1 9 9 0 ，1 9 9 1 ) 4 得到了息力由0 u 过程和w i e n e r 过程建模的某些确定 年金的前二阶矩，1 9 9 3 年又得到了息力由o - u 过程和w i e n e r 过程建模的终身寿 险给付现值的前二阶矩【6 】，d es c h e p p e r ，g o o v a e r t s ( 1 9 9 2 ) 年得到息力由w i e n e r 过程建模的某些年金的矩母函数【引、分布函数i s 与l a p l a c e 变换i 1 0 1 ，i 1 1 1 m v a n n e s t e 等( 1 9 9 7 ) 1 2 l 则给出了息力由w i e n e r 过程建模的某些年金的生成函 数的一系列结果 本文在前人研究的随机利率模璎的基础上讨论寿险精算中的两个随机问题 首先，考虑了随机利率下的几种增额寿险模型变额寿险( 特别是增额寿险) 是 寿险中的风险及随机问题 近年来非常流行的险种，它被认为是抑制通货膨胀、保证生活保障的对策之一尤其 在我国保险市场开始出现变额寿险后，国内许多专家、学者着手研究变额寿险何文 炯、蒋庆荣( 1 9 9 8 ) i 1 5 j 对随机利率采用g a u s s 过程建模，研究了即时给付的增额寿险 的给付现值及各阶矩，并在死亡均匀分布假设下得到矩的简洁表达式；刘凌云、汪荣 明( 2 0 0 1 ) i x 6 i 考虑了突发事件的影响，利用g a u s s 过程和p o s s i o n 过程联合建模， 推广了何、蒋的结果；欧阳资生、谢赤( 2 0 0 3 ，2 0 0 5 ) 1 1 7 j 1 8 j 对随机利率采用w i e n e r 过程和0 u 过程建模，得到了离散型增额寿险保险金给付现值及各阶矩一瞄文献 均是将保险金给付的现值作为随机变量，推导f 它的各阶矩本文讨论的是随机利 率下几种全连续型增额寿险的保险费率及其稳定性，与前人不同的足我们通过引入 准备金过程，利用i 陷原理来得出结论。同时，详细分析了实务中一类半连续型累 积增额两全保险的给付现值，并给出在死亡均匀分布假设下给付现值前二阶矩的具 体表达式 其次，讨论了m a r k o v 链在重大疾病保险中的应用。早在19 6 9 年h o e m ，j m 就讨论了m a r k o v 链在寿险中的应用，但多数学者关注的是前文所述利率模型的发 展与完善，对m a r k o v 链的应用研究不多由于m a r k o v 链的良好f 生贡，近年来又 有学者开始关注它在多状态保险研究中的应用n o r b e r g ( 1 9 9 2 ) 2 0 l 利用m a r k o v 链 的性质，推导出多状态保单的准备金的微分方程， n o r b e r g ( 1 9 9 5 ) 2 0 】利用t h i e l e s 微分方程，给出多状态保单的各种状态下未来准备金现值的期辫及高阶矩的微分方 程，并以残疾年金为例给出简单的数值计算n o r b e r gr 和o i eh e s s e l a r g e r ( 1 9 9 6 ) 2 1 j 研究了m a r k o v 假设一i 昧来现金流现值的概率分布，给出了具体的积分方 程n o r b e r g ( 1 9 9 9 ) 2 引，j j 连续时1 1 l j 的m a r k o v 链建立利率模氆，计算了残疾年金 的未来准备金现值的期望及高阶矩j a a ps p r e e u w ( 2 0 0 6 ) i 2 3 j 给出了残疾年金给付 现值的分布函数的两种近似借助前人的研究方法，本文详细分析了实务中的重大 疾病保险的准备金估算问题 2 寿险中的风险及随机问题 3 具体内容如下t 第一章，介绍了随机利率下的寿险精算在国内外研究概况，并详细回顾了前人对 本文讨论的两个问题的研究，引出本文所做的主要工作 第二章，介绍了必要的基础知识，并给出经典随机利率模璎 第：三和第四章是本文的主体部分其中，在第蔓章里，引入准备金过程，给出了 在4 z ) f ( x ) 表明新乍婴儿尚未能活到x 岁就发生死亡的概率；s ( x ) 即新生婴儿将至 少活到z 岁的概率在寿险精算中s ( z ) 被称作关于z 的生存函数，显然s ( o ) = 1 人的生命足有限的，所以存在一个正数u ，当z 0 ；当z 。 时，s ( z ) = 0 ，称u 为极限年龄在我国，取u = 1 0 5 为叙述方便起见，引入行号【列农水牛龄为z 岁的人；用7 - 。( z ) = x z 表不 新生儿在x 岁活着的条件下未来仍生存的时问，简称为( z ) 的未米寿命t ( x ) 也 是个连续型随机变量 引入围际精算界公认的符号： 舻即k 脚) 圳z o 胁= 1 砒= 等p ( t 班 4 寿险中的风险及随机问题 从概率论的角度来说t q l r 是随机变最t ( x ) 的分布函数，表示( z ) 将在t 年内死 亡的概率；从精算的角度说，c 是关于t ( x ) 的生存函数，即表述( z ) 将在z + t 岁时仍生存的概率 特别地，当z = 0 时，c p o = s ( t ) ；当t = 1 时，1 啦简记为，1 p ，简记为 m 2 1 2 离散型未来寿命的生存分布 在寿险精算中，年龄变量通常取整数用k ( x ) 表示( z ) 未来寿命的整年数， 即k ( x ) = 【t ( z ) l ，有当七= 0 ，1 ，2 ，u z 一1 时， p ( ( z ) = k ) = p ( k5t ( x ) k + 1 ) 所以，根据生命表中的数据就可以算出( 。) 在未来的第k 年内死亡的概率而 p ( k ( x ) k ) = e ( k ( x ) = j ) j = 七 在不易发牛混肴的情况下，可将t ( x ) ，k ( x ) 简记为r ，k 2 2 死力 2 2 1 死力的定义及性质 所谓死力，是指在到达z 岁的人当中，在此一瞬问里死亡的人所占的比率死 力也称瞬问死亡率或死亡密度，通常在z 岁时的死力用符号地表示则 = l i r a 盟瓮型志 z + o +厶zs i z s 7 ( z )f 7 ( z ) s ( z )1 一f ( x ) 死力也如同生存函数一样，可以用米确定随机变量x 的分布它们之间的关系为 阮= e 印( 一“如d y )或t p 卫= e x p ( 一f o 如+ 。幽) 5 寿险中的风险及随机问题 6 特别地，当z = 0 ，t = z 时，有s ( z ) = z p o = e 印( 一f 地d s ) ，从而随机变 量x 的分布函数与密度函数分别足 取( z ) = 1 叫) = 1 印卅z 儿幽) 厶( z ) = 一s 协) = e 印( 一z 2 加如) t ( x ) 的分布j 甬数与密度丽数分别是 肿) - - - 1 - t m = 1 - e x p ( 一肌删 厅( t ) = 一蕊d ( f m ) = f 阮+ ( t2o ) 死力具有如下降质： ( 1 )当z 0 时，p 。0 。 ( 2 ) 对于任意z 0 ，都有e l t , d s = + o 。； ( 3 ) 口“t p ，阮+ t d t = 1 2 2 2 关于尾龄的若干假设 生命函数通常是连续型的，而生命表描述死亡年龄分布的常规方式是离散的，因 此连续的死亡年龄的尾龄需耍做出某种假设。并将其离散化。转化为生命表中的整 数死亡年龄来描述， 1 死亡均匀分布假设 死亡均匀分布假设，有时也称u d d 假没，若生存甬数s ( z ) 满足如下关系 s ( x + t ) = ( 1 一t ) s ( x ) + t s ( x + 1 )( 0 曼t 1 ) 则称( z ) 在kz - t1 1 上服从均匀分市，简称死亡均匀分布 在死亡均匀分布假设下，可得 t 口2 = t q z 寿险中的风险及随机问题 t p 。= 1 一t q 。 吼 地+ r 雨 厅( ) = t p t p 。+ ，= 其中，0 t 1 2 常值死力假设 常值死力假设，有时也称c f m 假设，即生存甬数s ( z ) 满足关系式 s ( z + t ) = s ( z ) e - p z ( 0 ts1 ) 其中，如= 一l n p ， 在常值死力假设下，我们可得 其中，0 t 1 恤x + t ：= 恤z ， ( ) = p 。肛。+ = p 卫e p 。 2 3 随机利率模型 在寿险定价过程中，利率是其重要的影响冈素之一而在传统的寿险精算研究中 总是假设利率是确定的，只考虑死亡的不确定性，其实利率具有随机性，会引起利率 风险于是，近十余年来，在随机利率一f 构建寿险精算模型成为人们关注的焦点本 节将详细介绍各种利率模型下的折现函数以及其在精算中的应用 7 寿险中的风险及随机问题 8 设r f ，t 0 足随机利力过程，通常有两种描述利率随机性的方式t 一是直接 对n 建立随机模型，二是对其积累函数y ( t ) = f or , d s 建立随机模型 设乙。= e - rr , d s ，( sst ) ，令9 ( s ，t ) = e 【五，t 1 ，称g ( s ，t ) 为1 8 ，t 】i ；q 的利 力在s 时刻的折现函数，特别地9 ( 0 ，t ) 简记为g ( t ) 1 直接对n 建立随机模型 设n 其为一扩散过程 d r t = t t ( r t ，t ) d t + a ( r t ，t ) d m 其中m 为一标准的布朗运动，p ( n ，t ) 为漂移系数，a ( r t ，t ) 为扩散系数最常用 的有如下两种模型 ( 1 ) v a s i c e k 模型 d r f = a ( b n ) ( 托+ 盯d 此时g ( s ，) = e x p 雎竺兰坐业等竽丝巫型一肚荨业 ( 2 ) c o x - i n g e r s o l l r o s s 模型 d r t = a ( b r t ) d t + 仃、伍d m 此时9 ( s ，) = l 高篇篇1 2 叫a 2 e x p 一高篙1 其中7 = “研 2 对利力的积累函数y ( t ) = 菇r , d s 建市随机模型 设 y ( t ) = r o t 十? x ( t ) + 7 z ( t ) 为g l l a s s 过程，其中伯为常利力，x ( t ) 被假设为标准布朗运动或漂移市朗运动 或在原点反射的布朗运动，反映利率的随机波动； z ( t ) 是参数为a 的p o s s i o n 过 程，反映突发事件对利率的影响；并且它们相互独立r 0 ，1 为与t 无关的相互 寿险中的风险及随机问题 9 独立的随机变鳋或常数此时，扬，t = e - y ( ) = e - r 0 2 一p x ( ) 1 z 【，显然折现函数是 r o ，卢，7 和的函数，所以将其记作g ( r o ，p ，7 ；t ) 令 g ( r o ，7 ；t ) = e i e y 】 = e | e _ 。一口x m 馏( f ) 】 = e - r o t + a t ( e - - 1 ) e 【e 一卢x ( f ) 1 ( 1 ) 当x ( t ) 为衔；准布明运动，即爿( t ) 一n ( 0 ，t ) 时， e 【y ( ) j ：珊t + 7 a tv a r l y ( ) 】：f 3 2 t + 一y 2 a ze l e p x ( 1 ：e 譬 从而 9 ( r 。，y ；t ) ：e 浮咱+ ) l ( e - r - i ) pe e - 2 rc j = e 【2 卢- - 2 t o + ) , ( e - 2 t - 1 ) 1 ( 2 ) 当x ( t ) 为漂移布朗运动时，设其漂移系数为n ，则x ( ) 一n ( a t ，t ) ， e 【y ( ) 1 ：r 。t + 1 3 。t + ，y a v a d y ( t ) l ：口2 + 7 2 a f i e 一口x “1 ：e 【譬一n 口j l 从而 9 ( r o ，口，7 ；t ) ：e 【譬一q 卢- v o + a ( e t 1 ) ) te e - 2 y ( 】：e i 2 芦一一2 。卢一2 r 。+ 入( e - 2 3 , _ 1 ) j t ( 3 ) 当x ( ) 为原点反射的布朗运动时，设其密度函数为 m ) = 丽2 e 一出2 t ( z ( ) 。) e l y ( 圳= 伯十1 攀+ 7 a y n r 【y ( 纠= r 。+ 2 ( 1 一昙) z + 7 a 徘邓州叫= e 譬f 丽2 e 一譬如 从而 如加c ) “椰一1 ) j f 去e 一番扳 本文，我们采用第二种方式，对利力累积函数y ( t ) 采用g a u s s 过程和p o s s i o n 过程联合建立随机模型，简i 己折现函数! ( f ( r o ，p ，y ：t ) = e 叩，记e e 一2 y ( t ) ：舀 寿险中的风险及随机问题 有卜面的讨论知，当y ( ) 为标准布朗运动时，叩= 譬一r o + a ( e 一1 1 ) ， 专= 2 3 2 r o + a ( e 一2 7 一1 ) ；当x ( ) 为漂移布朗运动时，叩= 譬一a p r o + 入( e 一1 1 ) ，= 2 口2 0 b2 r o + a ( e 一2 一1 ) 在下一章的计算中，我们将采 用该简记符号 2 4 多状态保单的m a r k o v 链模型 在寿险实务中，有很多保险合同有多种保单状态，在这些问题中，要求建立多状 态的生存模璎由于一卟生命未来的变化仅与现在的状态有关，而与过去的情况无 关，显然m a r k o v 链可以作为一个很好的研究工具本节将详述如何利用m a r k o v 链描述多状态保单 2 4 1m a r k o v 链的相关性质 本小节简单介绍m a r k o v 链的相关基本性质，其详细叙述及证明。见参考文献 【3 4 1 1 3 0 1 1 相关定义： 设z ( t ) = o ，l ，j ) 为一有限状态集，对任意两个状态i ，歹z ( i j ) 和任两时刻0 s t ，称条件概率r j ( s ，t ) = p ( z ( t ) = j l z ( 8 ) = i ) 为状态i 到j 的转移概率 设kcz ，令p j k ( s ，t ) = p i z ( t ) k l z ( 8 ) = jj = p j k ( s ，t ) ，称其为状态 k e k j 到集合k 的转移概率 显然，坳有，p 3 z ( s ，t ) = p z ( t ) z l z ( * ) = j 】 p j k ( s ，t ) = 1 若极限，t i j ( ) 。彗j 局( t + 8 ) 存在，则称肛巧( t ) 为在t 时刻自i 至j 的转 移密度 类似地，定义状态j 到集合的转移密度t t j k ( t ) = 膨 ( ) ，特别地， k 称( ) 全心k ( ) 为状态j 的转出密度，可以得到时刻滞留在歹状态的概率 1 0 寿险中的风险及随机问题 1 1 粝( z ，札) = e - f 坳 2 转移函数的性质t 对任意状态i ，j 和任意三时刻一仳t ，有p i j ( s ，t ) = g , k ( s 让) r j ( t ，t ) ， 该式通常称为c h a p m a r - k o l m o g o r o u 方程它表达了三个不同时刻转移概率之间的 关系 转移概率是时 j 的二元甬数，可以推导出其偏微分方程 爰州蚍) = 蹦跳) 蛳一刚州) 舢) ( 2 1 ) 爰b ( ，札) = 乃 ( ，让) 助小) 一心小) b 女( ，缸) ( 2 埘 ( 2 1 ) ( 2 2 ) 分别称为k o l m o g o r o v 向前、向后微分方程 由上述微分方程我们还以得到转移概率的积分方程 聊k ( ，让) ：厂“蕲( ，7 - ) 心，( 7 - ) 局k ( t , u ) d r + p j k ( ，) 粝( ，z 。) 9 j 2 4 2 多状态保单的m a r k o v 链模型 考虑一个0 时刻签发的7 1 , 年期保单，设z ( t ) ： o ，l ，j ) 为一有限状态集， 从0 时刻处于0 状态开始，在任何时刻保单都处于且仪处于一种状态下，由z ( z ) 表 示t 时刻保单所处的状态对于只有生死两个状态的生命，生存和死亡概率或死力 在保险精算中起着非常重要的作用对多状态生命起相似中作用的是转移概率和转 移密度 还需定义以一卜两个随机过程 ( 1 ) 示性过程5 ( t ) = ，【：( ) = jjt 即表示t 时刻保单处于j 状态时为l ，否 则为0 ( 2 ) 计数过程妈k ( t ) = 舞 7 - ：z ( t - - ) = j ，z ( t ) = 七，7 - 【0 ，1 ) 。即表示在 ( 0 ，t 1 内由j 状态转移到七状态的次数( ) ? n j ( t ) 分别表示( 0 ，t 】内由j 状态 寿险中的风险及随机问题 转出的次数和转入歹状态的次数则e 【j ( 7 ) iz ( t ) = j l = p 3 k ( t ，7 - ) ， e d n k d v ) iz ( t ) = j 】= p 3 k ( t ，r ) p k z ( r ) d r 在保险业和金融业，由于支付额是在合同有效期内控制的，因此考虑一个在0 时 刻签发在竹( 竹 。j d s c ( t ) z o , t i i r 】1 ( 3 1 ) ，d 其【 l 若考虑趸缴纯保费则在准备金计算式巾v ( s ) 恒取0 ；若考虑连续的均衡纯 保费则d 取0 ，且v ( s ) 三 由此可得准备金在保单签发h 寸剡的现值 ， v ( t ) = d + z o ，s ( s ) ，【丁如l d s c ( t ) z o ，t i t s d s l 一目f ( 丁) , t i i t s 如】=和e - y t s ) 小) p ( 丁 s ) d s z 竹夕( r 。，p ，y ；) ( ) p ( t t ) ( f e c ( t ) z o ，r 如。】一c ( t ) e e y ) l f t ( t ) d t ，0 ，n = c ( t ) g ( r o ，卢，1 ：t ) f r ( t ) d t 。= z 0 n c ( ) 夕( 绚，7 ；t ) 厅( ) 出 = 嬲畿篙糍 3 3 各种具体情形下保费的计算 本节将在死力为常值和死亡均匀分布的假设下，分别推导出随机利率下保额按 缵陛形式和指数形式递增的定期寿险的趸缴纯保费和均衡纯保费公式 3 3 1 常值死力假设下纯保赞的表达式 1 5 寿险中的风险及随机问题 在常值死力假设下，设+ f 三肛。则有i r ( t ) = l “e 一川，p ( 7 1 t ) = e - 肛 从而 。= p “c ( ) g ( r 。，p ，1 ；) e p d z ，= 等g 潞( r o 黑t ) e 螋- t l t d t j o ，y ； 1 投保额线性递增，即c ( t ) = 1 + t 所以 ( 1 ) 利力为常数r o 时，y ( t ) = r o t ，g ( r o ，7 ，；t ) = e - r 舭，此时 c ( t ) g ( r o ，p ，7 ；t ) e 一以 j 0 = ( 1 + t ) e - - r o t e 叫出 = 而1f l - ( 1 川e _ 叼叫+ 再b 【1 _ e 却o + m ”l 1 一e - ( r o + p ) n 钾e 一( 7 0 + p ) n 1 一e - ( t o - + t o n 肛+ r o砌十p 。 ( p + r o ) 2 z “9 c r 。，p ，7 ；z ，e - 肛d t = z ”e 一( r 。+ p p d c = 箐 ( 3 2 ) ( 3 3 ) 。= 訾一等芋+ 豁r o 陋4 ， l ， = 卜一 - ql p 斗伯绚- 肛i p 十j = p + 忐一f # 7 1 , e 万- ( t o ：而+ “) n ( 3 5 ) ( 2 ) 当y ( t ) = r o t + x ( t ) 十 t z ( t ) ，且x ( t ) 为标准布朗运动或漂移布朗运动 时，g ( r o ：t ) = e ) l ，贝0 有 “c ( ) 9 ( ，r 。，p ，1 ；t ) e 一c f t = 小删w 屹t 寿险中的风险及随机问题 所以 2 而1 【( 1 + 扎) 扣叫加一1 1 一丢奇妙脚，一l j e ( 叶一p ) n 一1h e ( r 1 一p ) t le ( 叼一p ) 竹一1 叩一p。叩一p( r l 一肛) 2 厂”9 ( r o ，p t ) e - ( f l ! = i ne 0 1 - t u ) t 疵：型 d=型：! 二! j 上竺竺竺 叼一p刁一 一蝶兰 ( 3 6 ) ( 刀一弘) 2 、7 = 弘一点r + 黑p 鲨) n 1 ( 3 7 ) 一“e i ，一 ( 3 4 ) 一( 3 7 ) 式给出了在常值死力假设下线性增额寿险的纯保费公式传统的定额 寿险纯保费为d = 业亏高暑尘， = 肛，不难发现线陛增额寿险的保费等于与 传统的定额寿险保费与由于递增的保额所需增加的保费之和 2 投保额按指数形式递增，即( ( t ) = e 越，( n 0 ) ( 1 ) 利力为常数r o 时，y ( t ) = r o t ，g ( r o ，1 ，；t ) = e 一叫，此时 所以 小咖( 枷一) e 叫出 z n 9 ( r 。，y ；) e p d = p e - r o 官班 ：= l e ( 。一r o p n 一1 1 =l p 。 ， 一 a r o 一肛 f o n e - e - r o t 班 而1 f l e 一( 训“】 d = _ 生i i e ( o - r o 刊n 一1 1 ( 3 8 ) n r 0 一p ：啬a 岩怒芸e - ( 器 9 ) f ， = - - - - - - - - - - - - - - 一 i ? u - ( 一一肛) f 1 一r o + | l m l 、“。7 1 7 寿险中的风险及随机问题 ( 2 ) 当y ( t ) = r o t + p x ( t ) + 1 z ( ) ，且x ( t ) 为标准布朗运动或漂移布朗运动 时，g ( r o ，卢，7 ；t ) = e , 7 ，贝u 有 所以 小咖( r o 胁咖叫班= ，0 n e a t c t l t 疗( z ) 班 = 再三f 计唧m _ l j z 竹夕( r 。，p ，7 ；t ) e m “d = n e - l a t e r t t 班 = 而1 f e ( n - u ) n - 1 1 d ：了 = 【e ( q + a - l z m 一1 】 ( 3 1 0 ) 叼+ n p 。、7 = 器岩篙斟( 3 11a 1 ， = 1 【卵+一，) i e 【口一p j ”一l ( 3 8 ) 一( 3 1 1 ) 式给出了在常值死力假设下保额以指数形式增长的增额寿险的纯 保费公式以( 3 8 ) 为例，当增长系数o = 0 时公式便化简为业j 未告幽，与传 统的定额寿险的趸缴纯保费一致但与线陛假设下的纯保费公式同的是，它并不是 传统的定额寿险趸缴纯保费加上某些值而得来，指数增长系数体现在了公式中的各 个因子中 3 3 2 死亡均匀分布假设下纯保费的表达式 假设在每个保单年度内死亡是均匀发生的，即在【0 ，n ) = u 【k ，k + 1 ) 上丁服 从均匀分布，所以有 肿) = + 1 ) ( ) 姚啦m p ( t ) = 枇+ 1 ) ( ) ( 1 一札+ 七) 1 8 寿险中的风险及随机问题 从而 。= 小岫( r 0 价蝴肚 1 22 nl ， + 1 z 哪) 9 p o 尻州h p l 叭础 k - - 0t p ，啦+ t ，。k t m c ( t ) 夕( r 。，7 ；t ) d z 1 ：c ( t ) g ( r o 、e ，7 ；t ) f r ( t ) d t 竞g ( r o 、瞰1 jt ) p ( t t ) d t 宅胁啦+ 露+ 1c ( 肿。，p t ) d t k = 0 董露川9 ( r f j ，3 ，7 ；0 ( 1 一t q 霉+ k ) d t 。 七! o 1 投保额线性形式递增，即c ( t ) = 1 十t ( 1 ) 利力为常数f 0 时，y ( t ) = r o t ，g ( r o ，y ，；t ) = e ”叶，此时 k k + l c ( ) 夕( r 。，7 ；) 出 = 门矿吲以 ! 二呈：二! ! e 州+ 嵋 。 g ( r o ，y ：t ) p ( t t ) d t e l o ( 1 一t k ) d t 1 二竺( 七+ 2 ) e 砂 绚 ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) 去i ( 1 一后+ t ) e - k r o 【1 一( + 1 ) + t e - ( k + 1 ) r o ) 一百q x + ki f e - ( k + 1 ) r o - - e - k r o 1 - - e - r 。e _ k r o ( 1 一七吼+ t ) + ! ! = 。字啦+ * e 一七r 。 1 9 七 七 z z 寿险中的风险及随机问题 所以 工， 2 d = 学曼。儿蛳e 川t r 3 急纠血啦以 + l e 一0 r o n 1 与p 善，* m 咖e 川+ 2 ) k p z q 。+ e 一o n 一1 竿三( 七+ 2 ) 胁叭e 。拈 n 一1札一l 上竽e 渤。( 1 一虹+ 七) + 垃产兰e 山。啦+ 。 k = 0 ” k = 0 ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) ( 2 ) 当y ( t ) = r o t + 3 x ( t ) 十7 z ( t ) ，且x ( t ) 为标准布朗运动或漂移布朗运动 时，g ( r o ，7 ；t ) = e 班，则有 所以 c ( t ) g r o ，7 ；t ) d t ，k f k 4 - 1 = ( t + 1 ) e r j d t = 扣十2 ) e c k + i ) n _ ( 七+ 1 ) 一】+ 川h 。1 ：盟( 尼+ 2 ) e 切+ 掣一 g ( r o ，y ；) p ( t t ) d t e 彬( 1 一缸+ k ) d t = 一刍【( 1 一奄啦+ t ) e k q 1 1 一( 七十1 ) + t 】e 仙牛1 h 】一q 叼z + ，k e ( k + 1 ) r _ e k r 掣e k e ( 1 一k ) + 叩 d ：! 竺 叩 l 二笙掣e h 7 7 2 十”。 2 妇叶竽叼邛耶， 七 + + 七 七 z ， | | 脚 寿险中的风险及随机问题 等( 七十2 ) k p 。q a + k e 蛔+ 乒 m + e q ：二生里_ 二生譬一 ( 3 1 7 1 ) 工， = 一 1j j 兰孚e 蜘( 1 一坛+ ) 十字f b + 2 投保额按指数形式递增，即c ( ) = e “，( o 0 ) 所以 ( 1 ) 利力为常数r o 时，y ( t ) = r o t ，9 ( r o ，7 ，p ；t ) = e 。毗，有 + 1c ( ) 夕( r o ，y ；z ) d t = 十1 e t d r 。p d t = 而l f e ( k + 1 ) ( a - r o ) _ e k a - r o ) 工，2 k + 1 9 ( r o ，p ，7 ；t ) 尸( 丁 ) 出 1 一e - - t o r o ( 1 一七+ ) 十! 二望兰三口尘+ e 一r 。 0 d= e ( a 一o ) 一1 n r 0 n 一1 阮+ k e ( p 加冲 - = 0 n 一1 1 m e ( 。r o ) 6 七：0 n 一1y t , 一1 l 孑e - j , , o ( 1 一七啦+ ) + 垃气 业e - k r o + 。 k = o ” k = o ( 3 1 8 ) ( 3 1 9 ) ( 2 ) 当y ( t ) = r o t + l y ( t ) + 7 z ( ) ，且x ( t ) 为标准布朗运动或漂移布朗运动 时，g ( r o ，7 ；t ) = e 班，则有 f k k + lc ( c ) 夕( r 。，卢，y ；) d t = z + 1 e c + 们：2 = 而1 妙1 帅) 一e ) j f k + 1 上9 ( r o , m ) p ( t 。) 班 竿一( 1 - k q 。+ k ) + 等笋咖 2 1 寿险中的风险及随机问题 所以 。= 等黔批 似2 。， 等芝m q 酬en + 竹。二一，| j 。_ 卜u = _ j 二旦r ( ：；2 1 ) 竿( 声叩( 卜尼+ 七) + 半p 切+ 是 k = o k = 0 ( 3 1 4 ) 一( 3 2 1 ) 式给出了均匀分布假设下该增额寿险的纯保费公式，对它们做 类似于( 3 4 ) 到( 3 1 1 ) 式的分析，我们同样也可以得到相同的结果，说明在死力的 各种假设一瞒够影响纯保费的死亡因素足相同的，这也是符合实际情况的 3 4 费率分析 本节仅以保额线陀递增的定期寿险的趸缴纯保费为例，在常值死力假设f ，考察 不同随机利率模砸的费牢稳定性问题 假设保险期限n = 1 0 ，常利力r o = 0 0 5 ，死力肛= 0 0 4 ，且取a = 0 0 1 ， 1 = 0 0 4