（计算数学专业论文）椭球边界helmholtz外问题的自然边界元法.pdf

摘要 本文利用自然边界元方法，研究了椭球内边界三维h e l m h o l t z 外问题的数值方 法，并详细地论述了在此问题中遇到的椭球波函数的性质及其计算方法 h e l m h o | t z 方程来源于时间调和声波或电磁波的辐射和散射等数学物理问题， 应用非常广泛，但此前对该问题的研究中大多是基于圆、椭圆及球面等一些简单边 界。在本文中，基于椭球内边界，在椭球坐标下私用分离变量法及椭球波函数，给出 了h e l m h o l t z 外问题相应的p o i s s o n 积分公式和自然积分方程，并导出了刚度矩阵的计 算公式，讨论了数值技术。椭球波函数是数学物理中的特殊函数，它们在使用椭球坐 标系的科学与工程中有许多重要和实际的应用，计算复杂，在本文中给出了它们的一 些结果。 自然边界元方法在处理圆、椭圆、球面等特殊边界外边值问题和奇异问题时十分 有效。但对一般区域问题，仅使用自然边界元方法是不够的，我们需要耦合或区域分 解方法自然积分方程是准确的人工边界条件，其积分算予正是d i r i c k l e tt on e u m a n n ( d t n ) 算子。在耦合和区域分解算法中起到关键作用，为迸一步用d t n 有限元方法解 决数值计算问题提供了一条途径。 关键诃：h e h n h o l t z 方程，自然边界元方法，椭球坐标，椭球波函数，p o i s s o n 积 分公式。自然积分方程，d t n 算子 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，t h r e ed i m e n s i o n a le x t e r i o rh e h n h o l t zp r o b l e mw i t hi n n e rs p h e r o i d a lb o u n d - a r yi s8 t u d i e d1 1 s i n gn a t l l r a lb o u n d a r ye l e m e n tm e t h o d ，t h ep r o p e r t i e sa n dt h ec o m p u t a t i o n a l m e t h o d so fs p h e r o i d a lw a v ef u n c t i o n se n c o u n t e r e di nt h i sp a p e ra r ed i s c u s s e di nd e t a i l s t h eh e l m h o l t ze q u a t i o nc o m e sf r o mm a t h e m a t i c a lp h y s i c sp r o b l e m ss u c h t i m eh a r m o m e r a d i a t i o na n ds o a t t e r i n go fa c o u s t i co re l e c t r o m a g n e t i c sa n ds oo n a n di ti 6w i d e l yu s e d i nt h e b e f o r e r e s e a r c h e so i lt h i sp r o b l e ma 托m a i n l yb a s e do ns i m p l e rb o u n d a r i e ss u c ha sc i r c l e ，e m p a n ds p h e r i c a ls u r f a c ea n d8 0o n i nt h i sp a p e r b a s e d o ni n n e rp m l a t es p h e r o i d a lb o u n d a r y , u s i n gm e t h o do fs e p a r a t i o no fv a r i a b l e sa n ds p h e r o i d a lw a v ef u n c t i o n si ns p h e r o i d a lc o o r d i n a t e s y s t e m ，t h ep o i e s o ni n t e g r a lf o r m u l aa n dt h en a t u r a li n t e g r a le q u a t i o nc o r r e s p o n d i n gt ot h e e x t e r i o rh e l m h o l t zp r o b l e ma r eg i v e n a n dt h e nt h es t i f f n e s sm a t r i xi sd e r i v e d ，t h en u m e r i c a l t e c h n o l o g yj 8d i s c u s s e d s p h e r o i d a lw a v ef u n c t i o n sa r es l e c i a lf u n c t i o n si nm a t h e m a t i c a lp h y s i c s w h i c hh a v ef o u n dm a n yi m p o r t a n ta n dp r a c t i c a la p p l i c a t i o n si ns c i e n c e 觚i de n g i n e e r i n gw t h es p h e r o i d a lc o o r d i n a t es y s t e mi su s e d i ti 8d i f f i c u l tt oc a l c u l a t et h e mb u ts o m er e s u l t sa b o u t t h e ma r eg i v e nh e r e t h eb o u n d a r ye l e m e n tm e t h o di sv e r ye f f i c i e n tw h e ni ti su s e dt os o l v ee x t e r i o rb o u n d a r y v a l u ep r o b l e m sa n d s i n g u l a rp r o b l e m sw i t hs p e c i a lb o u n d a r i e s ，s u c ha sc i r c l e ，e l l i p s ea n ds p h e r i c a l s u r a c e b u tf o rg e n e r a lc a s e 8 ，o n l yn a t u r a lb o u n d a r ye l e m e n tm e t h o di sn o te n o u g h ，w en e e d t h ec o u p l i n go rd o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o d s t h en a t u r a li n t e g r a le q u a t i o nj 8t h ee x a c t a r t i f i c i a lb o u n d a r yc o n d i t i o na n di t si n t e g r a lo p e r a t o ri 5j u s tt h ed i r i c h l e tt on e u m a n n ( d t n ) o p e r a t o r t h i so p e r a t o rp l a y sak e yr o l ei nt h ec o u p l i n ga n dd o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o d s a w a yf o rf u r t h e ru s i n go ft h ed t nf i n i t ee l e m e n tt os o l v en u m e r i c a lp r o b l e m si 8p r o v i d e d k e y w o r d s ：h e h n h o l t ze q u a t i o n ；n a t u r a ib o u n d a r ye l e m e mm e t h o d ；s p h e r o i d a lc o o r d i n a t e ； s p h e r o i d a lw a v ef i m c t i o n s ；p o i e s o ni n t e g r a lf o r m u l a ；n a t u r a li n t e g r a le q u a t i o n ；d t no p e r a t o r i v 学位论文独创性声明 本人郑重声明： 1 、坚持以“求实、创新”的科学精神从事研究工作。 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果。 3 、本论文中除弓 文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的。 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构已经发表或撰写过的 研究成果。 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示了谢意。 作者签名：拯勉 日 期： 丝红：三! f 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学位论 文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版；有权将学位论文用于 非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅：有权将学位论文的内容编 入有关数据库进行检索；有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在 解密后适用本规定 作者签名：这麦幺 日期：竺! f ：互压 c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n u n b o m l d e dd o m a i n sa r eo f t e ne n c o u n t e r e di na p p l i e dm a t h e m a t i c sa n de n g i n r i n g s c a t - f e t i n gf r o m8b o d yo fa r b i t r a r ys h a p ei sat y p i c a la p p f i c a t i o ni na c o u s t i co re l e c t r o m a g n e t i c w a v ep r o p a g a t i o n , w h e r et h e 倒f i n i t ed o m , i ni st h es u r r o n u d n ge n v i r o n m e n t ，s u c ha st h eo c e a n o ra t m o s p h e r e ，a n dt h er e g i o no fi n t e r e s te m b r a c e san e i g h b o r h o o do ft h eo b s t a c l e u n l e s st h e o b s t a c l eh a s8s i m p l es h a p e ，s u c h 鹞ac i r c l e ，as p h e r eo rac y l i n d e r ，i ti si m p o 髓i b kt os o l v e t h e s ep r o b l e m se x p l i c i t l y t h e r e f o r ew es e e kn u m e r i c a lm e t h o d sw h i c hh a n d l ep r o b l e m si nu n b o u n d e dd o m a i n s t h e y m u s th a n d l ea r b i t r a r yo b s t a c l e s ，n o n l l n e a zb u tc o m p a c t l ys u p p o r t e d8 0 t l l - c et e r m s ，i n h o m o g e - n e o u sm e d i a ，a n da r b i t r a r yb o m d a r yc o n d i t i o n sa tt h es u r f a c eo ft h eo b s t a c l e u s u a l l y , n u m e r i o c a lm e t h o d sa r eb a s e de i t h e ro nt h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o no ro l lt h ei n t e 盯虹e q u a t i o nf o r m u l a t i o n o ft h ep r o b l e mc o n s i d e r e d t h e yh a v el e dt o8 0 m ed i f f e r e n tn u m e r i c a lc o m p u t a t i o n a lm e t h o d s r e s p e c t i v e l y , s u c ha st h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d ( f e m ) ，t h ef i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d ( f d m ) ，t h e b o t m d a r ye l e m e n t ( m t e 叫) m e t h o d ( b e mo rb m ) ，t h ei n f i m t ee l e m e n tm e t h o d ( r a m ) ，t h e p 口鼬1 ym a t c h e dl a y e rm e 蝴( p m l m ) a n d 8 0o i l t h em e t h o do fc h o i c ed e p e n d so i lt h e s h a p ea n dc o m p l e x i t yo ft h es c a t t e r i n go b j e c t ，i n h o m o g e s a e i t i e s , f r e q u e n c yr a n g e ，a n dr e s o l u t o n m = q 1 1 i r e m 蛳a m o n go t h e rp a r a m e t e r s t h e s em e t h o d sh a v eb e e nd e v e l o p e da n dg e n e r a l i z e dt o m a n ya p p l i c a t i o 峨i n c l l 蛐c o m p u t a t i o n a la c o u s t i c s ，e l e c t m m a g n e t i c s ，e l a s t o d y n a m i c s , g e o - p h y s i c s , e t c i nt h i st h e s i sw ea r ei n t e r e s t e di ns o l v i n gt h et h r e ed i m e n 丑i o n a e x 右e d o rh e l m h o i t zp r o b l e m w i t ha ni n n e 蛋p r o l g 乞e8 p h e r o i d 8 lb o u n d a r yu 8 i 醇t h en a t u r a lb o u n d a r ye l e m e n tm e t h o d ht h e f o l l o w i n g tf i r s tg i v es o m ei n f o r m a t i o na b o u tt h eh e l m h o l t ze q u a t i o nb r i e f l ya n dt h en 越删 b o u n d a r ye l e m e n tm e t h o di s , 9 ，1 7 ，1 6 1 ，i nt h ee n dw ew a 斌t oi n v e s t i g a t et h ep r o l a t es p h e r o i d a l l 2 t h e s i sf o rm a s t e rd e g r e e z h a n gj i h i 】c h w a v ef t m c t i o n sa n dt h e i rn u m e r i c a lc o m p u t a t i o n s 1 1s t a t e m e n to ft h ep r o b l e m h e l m h o l t ze q u a t i o nd e s e r i h e 8m a n yd i v e r s ef o r m so fs c a t t e r i n gp h e n o m e n a t h e s ea r i s ei n s u c hs e e m i n g l yu n r e l a t e df i e l d ss u c h a c o u s t i e s 。e l e c t r o m a g n e t i ，e l a s t r o d y n a m i c s ，q u a n t u m m e c h a n i c s ，a n d m e d i c a l i m a g i n g t h i s e q m t i o n n s u a l l y c o p s e 8 a b o u t b y a s s u m i n g a t i m e p e r i o d i c s o l u t i o no ft h eg o v e r n i n gp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n l e tncr 3h eau n b o u n d e dd o m a i nw i t hb o u n d a r yr 0 = 铀c f i g u r e1 1 1 f i m l wl1 1 “# w “i t ，m a i l i i na p p l i c a t i o n s t h ed o m a i nnu s u a l l yr e p r e s e n t sa no b s t a c l ea tw h i c ha ni n c i d e n tw a v ef i e l di s s c a t t e r e d a n df o rt h i sr e a s o nw ew i l lr e f e rt oq s y n o n y m o u s l ya sf , h eo b s t a c l eo rs c a t t e r g i v e n d a t a g o ：r 0 。c ，s e e ka f u n c t i o n t ：l p n _ c w h i c hs a t i s f i e s t + 妒“= 0 眈= 册， 熙r 一i k u ) 2 0 i n l p n c ， o n r 0 ， ( 1 1 1 ) ( 1 1 2 ) ( 1 1 3 ) t h ee q u a t i o n ( 1 1 1 ) i sk n o w n 抽t h er e d u c e dt i 口we q u a t i o no rh e l m h o l t ze q u a t i o n8 0n a m e d i nh o n o ro ft h eg e r m a np h y s i c i s th e z m a u nl u d w i gf e r l n a n dv o nh e l m h o l t zf o rh i sp i o n e e r i n g w o r ko nm a t h e m a t i c a lt h e o r yo fa c o u s t i c sa n de l e c t r o n m g n e t i e s t h eo p e r a t o rad e n o t e st h e l a p l a c i a na n dt h ep a r a m e t e r 七ci sc a l l e d 叫d 钾n 埘7 妇r w ec h o o 船t h es i g no f 是s u c ht h a t i r n ( k ) 0 ，b u tw ea r em a i n l yi n t e r e s t e di nt h ec eo fr e a lkw h i c hm o d e i sp r o p a g a t i n gw a v e 8 ， w h e r e a san o n z e r oi m a g h a r yp a r to f r e s u l t si nw a v e sw h i c ha r ea t t e n u a t e d t h eo p e r a t o r 8 i n ( 1 1 2 ) s t a n d sf o ral i n e a rc o m b i n a t i o no ft h ef u n c t i o na n di t sn o r m a ld e r i v a t i v er e s u l t i n g i nad i r i c h i e t ，n e u m a n no rr o b i nb o u n d a r yc o n d i t i o no nt h eo b s t a c l eb o u n d a r y t oe n s u r e w e l i - p o s e d n e s so ft h ep r o b l e mi nt h ei n f i n i t ed o m a i n , i tm u s tb es u p p l i e dw i t ht h es o m m e r f e l d 1 2t h en a t u r a lb o u n d a r ye l e m e n tm e t h o d 3 r a d i a t i o nc o n d i t i o n ( t 1 3 ) a ti n f i n i t y 【1 1 ，w h i c hg u a r a n t e e st h a tw r v e 8a r ep u r e l yo u t g o i n ga n d d e c a y i n g t h e ya p p r o a c hi n f i n i t y ag e n e r a ld i s c u s so nf i n i t ee l e m e n tm e t h o d sf o rs o l v i n gt h e h e l m h o l t ze q u a t i o ni nu n b o u n d e dd o m a i n sc a nb ef o u n di n 【1 2 】| 1 2t h en a t u r a lb o u n d a r ye l e m e n tm e t h o d t h eb o u n d a r ye l e m e n tm e t h o di s8 c o m p u t a t i o n a lm e t h o dw h i c hr e d u c e sab o u n d a r yv a l u e p r o b l e mo fad i f f e r e n t i a le q u a t i o n a li nad o m a i nt or ni n t e g r a le q u a t i o no nt h eb o u n d a r ya n d t h e ns o l v e si to nt h eb o u n d a r yn u m e r i c a l l y t h en a t u r a lb o u n d a r ye l e m e n tm e t h o di st o t a l l yd i f f e r e n tf r o mt h ec l a s s i c a lb o u n d a r ye l e - m e n tm e t h o d s t h et r a d i t i o n a lw a y sf o rb o u n d a r yr e d u c t i o nu s u a l l yf a l li n t ot w oc a t e g o r i e s ： t h ei n d i r e c ta p p r o a c ha n dt h ed i r e c ta p p r o a c h t h ef o r m e rl e a d st oap r e d h o l mi n t e g r a le q u a - t i o nv i at h ef u n d a m e n t a ls o i n t m na n dt h ep o t e n t i a lt h e o r y , w h e r ea ni n t e r m e d i a t el m k i l o w i s i n t r o d u c e d c o n v e r s e l y , t h el a t t e rd i r e c t l ys t a r t sf r o mg r e e l l sf o r m u l aa n dt h ef u n d a m e n t a l s o l u t i o n w h e r en on e wu n k n o w ni su s e d g e n e r a l l y , t h eb o u n d a r yi n t e g r a le q u a t i o no b t a i n e d v i at h o s et w oa p p r o a c h e si 8n o ts e l f - a d j o i n t ，c o n t r a r yt ot h e 鲥g i n 8 ld i f f e r e n t i a le q u a t i o nl i 0 t h eu a t u r a lb o u n d a z ye l e m e n tm e t h o ds t a r t sf r o mg r e e n 8f u n c t i o na n dg r e e n sf o r m u l a r e d u c e st h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo f p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o ni n t oa h y p e r s i n g u l a ri n t e g r a l e q u a t i o no nt h eb o u n d a r y t h j 8n o t d yr e d u c e st h ep r o b l e md i m e n s i o n sb y1b u ta l s os a t i s f i e s a u t o m a t i c a l l yt h es o m m e r f e l dr a d i a t i o nc o n d i t i o na ti n f i n i t y s i n c et h ev a r i a t i o n a lp r i n c i p l ec a n b ec o n s e r v e da f t e rt h en a t u r a lb o u n d a r yr e d u c t i o n ，8 0 l n eu s e f u lp r o p e r t i e s ，e g ，s e l f - a d j o i n t n e s s a n dc o e r c i v e n e s s ，c a na l s ob ep r e s e r v e dw e l l t h u st h ee x i s t e n c e ，u n i q u e n e s sa n ds t a b i l i t yo ft h e s o l u t i o no fr e s u l t i n gb o u n d a r yi n t e g r a le q u a t i o nc a nb eo b t a i n e dc o n v e n i e n t l y h o w e v e r i ti 8 d i f f i c u l tt oo b t a i ng r e e n sf u n c t i o mf o rm o s tg e n e r a ld o m a i n s t h en a t u r a lb o u n d a r ye l e m e n t m e t h o di so f t e nu s e dt os o l v es o m ee x t e r i o rb o u n d u r yv a l u ep r o b l e m sa n ds i n g u l a rp r o b l e m sw i t h as p e c i a lb o u n d a r y , s u c hu sc i r c l e1 1 7 ，2 l l e l l i p s e 2 s ，3 3 ，a n ds p h e r i c a l 眦r f a o e 【3 1 ，3 2 1 b u t f o rg e n e r a lc a s e 8 ，o n l yn a t u r a lb o u n d a r ye l e m e n tm e t h o di sn o te n o u g h ，mn e e dt h ec o u p h n g d o m a i nd e c o m p e s i t i o nm e t h o d s t h ec o u p l i n go fn a t u r a lb o u n d a r ye l e m e n tm e t h o da n df i n i t ee l e m e n tm e t h o di sa p p l i e dt o s o l v eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m si ng e n e r a lu n b o n n d e dd o m a i n s s o m e t i m e sf o rs i m p l i c i t yw es 七m c a l li t 衅n a t u r a lb o u n d a r ye l e m e n tm e t h o d ，o rm o r es h o r t l y , d t nm e t h o d 【1 6 ，2 1 1 i t sm a i ni d e a i sd e s c r i b e d f o l l o w f i r s t ，t h eu n b o u n d e dd o m a i ni sd i v i d e di n t ot w os u b r e g i o n s ，ah o u n d e d i n n e rr e , o na n da nu n b o u n d e do u t e ro l l e ，b yi n t r o d u c i n ga l la r t i f i c i a lb o u n d a r y n e x t ，t h e 4t h e s i sf o rm a s t e rd e g r e e z h a n gj i a n x i a o f f , h a lp r o b l e mi sr e d u c e dt oa ne q u i v a l e n to n ei nt h eb o u n d e dr e g i o n t h e ea r em a n yw a y s t oa c c o m p l i s ht h i sr e d u c t i o n h o w e v e r ，t h ea d v a n t a g e so ft h en a t u r a lb o u n d a r yr e d u c t i o nj u s t a sd 船c r i b e da b o v e 咖u r et h a tt h ec o u p l e db i l i n e a rf o r mp r e s e r v e sa u t o m a t i c a l l yt h es y m m e t r y a n dc o e r c i v e n e s so ft h eo r i g i n a lb i l i n e f o r m ，s on o to n l yt h ea n a l y s i 8o ft h ed i s c r e t ep r o b l e m i 8s i m p l i f i e db u ta t s ot h eo p t i m a le r r o re s t i m a t e sa n dt h en u m e r i c a ls t a b i l i t ya r er e s t o r e d 9 1 i nt h r e ed i m e n s i o n a lu n b o u n d e dd o m a i n ，as p h e r e 【3 2 i sn s n s n ys e l e c t e da 8t h ea r t i f i c i a l b o u n d a r y h o w e v e r ，f o re l o n g a t e dc i g a r - s h a p e do rs h i p - s h a p e do b s t a c l e s ，as p h e r o i db o u n d a r y ne n c l o s e t h eo b s t a c l e sv e r ye f f i c i e n t l y , s i n c ei tl e a d st os m a l l e rc o m p u t a t i o n a ld o m a i n i nt h e p a p e r 2 0 】，h u a n gh a sd i s c u s s e dt h ee x t e r i o rh a r m o n i cp r o b l e mw i t ha ni n n e rp r o l a t es p h e r o i d b o u n d a r yb yt h en a t u r a lb o u n d a r ye l e m e n tm e t h o d i nt h i st h e s i s ，w ew i l ls t u d yn a t u r a lb o u n d - a t yr e d u c t i o nf o rh e l m h o l t ze q u a t i o nw i t hn e u m a n nb o u n d a r yc o n d i t i o ni nat h r e ed i m e n s i o n a l u n b o u n d e dd o m a i no u t s i d e8p r o l a t es p h e r o i d f o rt h i sp r o b l e m ，t h e r ea r es o m er e s u l t s ，s e e 2 3 ，2 4 , 2 s ，i nt h e s ep a p e r s ，t h e yu s e dd i r i c h l e t - t o - n e u m a n nf i n i t ed e m e u tm e t h o d ，b u th a d l i t t l ed i s c u s s i o n0 2 2t h et o p i co ft h ep r o l a t es p h e r o i d a lw a v ef l m c t i o a st h a te n c o u n t e r e di nt h e s e p a r a t i o no fh e l m h o l t zf u n c t i o ni nt h es p h e r o i d a lc o o r d i n a t e s 1 3 s p h e r o i d a lw a v ef u n c t i o n s s p h e r o i d a lh a r m o n i e sa r es p e c i a lf u n c t i o n si nm a t h e m a t i c a lp h y s i c sw h i c hh a v ef o u n dm a n y i m p o r t a n ta n dp r a c t i c a la p p l i c a t i o n si ns c i e n c ea n de n g i n e e r i n gw h e r et h es p h e r o i d a lc o o r d i n a t e s y s t e mi su s e d b e c s , u s eo ft h e i rc o m p u t a t i o n a lc o m p l e x i t y , t h e r e 啪o n l yaf e wp a p e r sh a v e d i s c u s s e dt h e ma n dt h e r ea r es t i l l 嘲et r o u b l e st od e a lw i t h i nt h ee v a l u a t i o no fe l e c t r o - m a g n e t i cf i e l d si ns p h e r o i d a ls t r u c t u r e s ，s p h e r o i d a lw & v ef u n c t i o n sa l ef r e q u e n t l ye n c o u n t e r e d ， e s p o d a l l yw h e nt h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m si ns p h e r o i d a ls t r u c t u r e sa l es o l v e du s i n gf n i l - w a v e a n a l y s i s b ya p p l y i n gt h es e p a r a t i o no fv a r i a b l e st om a x w e l l se q u a t i o n so fe i t h e rt h ee l e c - t r i co rm a g n e t i cf i e l di nt h ep r o l a t es p h e r o i d a lc o o r d i n a t e s ，g e tt h r e ei n d e p e n d e n tf u n c t i o n s ： ( 1 ) t h er a d i a ls p h e r o i d a lf u n c t i o n 踹( c ，f ) ( i = 1 ，2 ，3 ，4 ) ；( 2 ) t h ea n g u l a rs p h e r o i d a lf u n c t i o n 晶m ( c ，叩) ；a n d ( 3 ) t h es i n ea n dc o s i n ef u n c t i o n s t h el a s tp a i ro ft r i g o n o m e t r i c a lf u n c t i o n si s w e l lk n o w n b u tt h ef i r s tt w oa r en o t e a s i l yc o m p u t e d c o m p u t a t i o no ft h ep r e l a t es p h e r o i d a l r a d i a l ( o