（课程与教学论专业论文）高一新生对数学证明类型的理解和运用.pdf

摘要 证明的思想在数学中起中心枢纽的作用。数学证明是初中和高中课程中的一 项重要内容。 本文采用了量的和质的两种研究方法。分别通过问卷调查和访谈来收集数据 和信息。 问卷分为代数和几何两部分，其中有主观题和客观题。其中的选择题，是让 学生从已经给出的多种证明类型中，选择他们认为老师会最喜欢的证法和自己会 采用的证法，目的是考察学生对数学证明类型的理解。解答题是让学生自己写出 证明过程，目的是考察学生对多种证明类型的运用。然后针对问卷中出现的典型 错误和不明白的地方做访谈，进一步摸清学生对数学证明的理解和掌握程度，找 出他们认知的障碍及做具体题目出错的原因。 下面简要概括本研究得到的一些结果： 1 学生都非常肯定数学证明在数学学习中的重要地位； 2 数学证明在头脑中的形式是学生选择的一个很重要的依据。如，绝大多 部分学生倾向于选择常见的证明类型。极少数会选择代入具体数值进行 检验的证明类型。 3 学生对于自己写数学证明的掌握并不好。他们非常重视证明的形式，这 是导致证明出错的重要因素之一。 针对本文中学生出现的问题，希望初高中教师总结出以后教学中应注意的 问题，更好地提高教学质量，为学生服务。 关键词：数学证明，写证明，数学证明类型，代数，几何，理解和运用 a b s t r a c t m a m e m a t i c a lp r o o fi so n eo ft h ed e f i n i n gf e a t u r e so fm a t h e m a t i c s a n da ss u c hi ts h o u l db eam a j o rp a r to ft h es e c o n d a r ya n dt h es e n i o r m a t h e m a t i c sc u i t i c u l u m t h i ss t u d yu s e sb o t hq u a n t i t a t i v ea n dq u a l i t a t i v er e s e a r c hm e t h o d s t w os u r v e yi n s t 八l m e n t sw e r eu s e dt oc o u e c td a t aa n di n f o r m a t i o n t h ef i r s ti n s t r u m e n tc o n s i s t so ft h ep r e s e n t a t i o no fp f o o f si ns e v e r a l f o n n sa c r o s st w oc u m c u l u ma f e a s ( a l g e b r aa n dg e o m e t r y ) i nt h e s e s e c t i o n s ，s t u d e n t sc h o s ew h i c hp r o o ft h e yw o u l dc o n s t n l c tt h e i ro w na n d w h i c hp r o o ft h e yt h o u g h tt h e i rt e a c h e rw o u l dt h i n kw a st l l eb e s t t h e s e e x a m i n e dt h es t u d e n t s u n d e r s t a n d i l l ga b o u ts e v e r a lf o r m so fp r o o f s t h e n t h i si n s t m m e n ta l s oe x p l o r e dt h e i ra b i l i t i e si np r 0 0 fc o n s t m c t i o na n dh o w t h e i ru n d e r s t a n d i n gi m p a c to nt h i sa b i l i t y t h es e c o n di n s t m m e n ti si n t e r v i e w s t bs u p p o r to u r c o n c l u s i o n s ，w e d r e w 自o mac o 巾u so fi n t e i e w sw i t hf o u rs t u d e n t s 1 1 l ef o l l o w i n gi st h es u m m a 哆o ft h i ss t u d y f i r s n y ，t h i ss t u d yc o n f i m st h a tt h es t l l d e n t sh a v ea g e n e r a n y p o s i t i v ev i e wo ft h er o l eo fp r o o fi i lt h ec u r r i c u l u m s e c o n d l y ，f o mi si m p o r 耋a n tw h e nj u d g i n gap f o o f sv a l i d “y ap r o o f i sj u d g e dm o r ev a l i di fi t i so faf a m i l i a rf o r m g e n e r a la 礓u m e n t sc h a t e x p l a i na r ec o n s i d e r e dm o r ev a l i dt h a ne x a m p l e st h a td o n te x p l a i n t h i r d i y ，s t u d e n t sa r en o tp r o f i c i e n ti np r o v i n g s t u d e n t s v i e w so n t h ef o r mt h a ta p r 0 0 fm u s th a v ec a nl e a dt h e mt od oe r r o n e o u sa n d n o n s e n s i c a ls y m b o l i cm a n i p u l a t i o n s t h er c s u j t so fc h j ss t u d yp r o v i d em a l h e m a t i c se d u c a t o r sw i c hf u r c h e r i n s i g h ti n t oh o wt oi n 】p r o v eo u rs t u d e n t s v i e w so fa n dc o m p e t e n c i e sw i t h p r o o f k e yw o r d s ：m a t h e m a t i c a lp r o o f ；p r o o fc o n s t n l c t i o n ；f o r m s ；a l g e b r a ； g e o m e t r y ；s i u d e n t s u n d e r s t a n d i n g 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在我的导师的指导下进行的研究工 作及所取得的研究成果。据我所知，除文中已经引用的内容外，本论 文不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出 重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名：旃莉两日期：铆a j 平蚺5h 学位论文使用授权声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学 校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电 子版和纸质版。有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论 文进入学校图书馆被查阅。有权将学位论文的内容编入有关数据库进 行检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。 学位论文作者签名：甜苇1 菊 日期：加；! b 目bh 导师签名j 丝交戬 日期：蒯事苦月占日 高一新生对数学证明类型的理解和运用 第一章序言 1 1 研究背景 数学证明是初中和高中课程中的一项重要内容。 在国家教育部颁布的全日制义务教育数学课程标准( 实验稿) 中，就对 基础教育阶段的学生提出：“能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想， 并进一步寻求证据，给出证明或举出反例。” 在“学段目标”的“数学思考”部分表述了三个学段，第一、第二学段中， 要求学生“能进行简单的、有条理的思考”，“能进行有条理的思考，能对结论的 合理性做出有说服力的说明。”在第三阶段明确提出“体会证明的必要性，发展 初步的演绎推理能力”的要求。并以“空间与图形”的学习为例，在第一、第二 学段中，要求学生主要通过简单的“看”“摆”“拼”“折”“画”等实践活动，能 感知图形的性质，或归纳得到一些结论；而到了第三阶段，要求在各种形式的时 间活动中探索得到的结论，有时需要运用演绎推理的方式加以证明。 普通高中数学课程标准( 实验) 要求学生通过对已有知识的回顾与总结， 体会数学证明的特点，了解数学证明的基本方法，感受逻辑证明在数学以及日常 生活中的作用，养成言之有理、论证有据的习惯。 而在前人做过有关学生学习证明的研究中，发现学生对于数学证明的学习存 在很多问题。其中包括对数学证明的认识方面的错误，对于数学证明方法的掌握 等等。 f i s c h b e i n 和k e d e m f l 9 8 2 ) 在一份问卷中叙述了命题：彻c d 是凸四边形，p 、 q 、r 、s 依次为各边的中点，则四边形p q r s 是平行四边形。在列出了该命题的 证明后，问学生是否承认结论在所有情况下都成立，并提出以下问题：“某人对 此有怀疑。他认为我们还需要至少检验一百个这样的图形，才能确信尸q r s 是平 行四边形，你的看法是什么? 请你做出解释。”在相当于高一至高三的学生的答 卷中，认为完全不必再作检验者不超过1 0 ，而约有三分之一的人既承认证明是 普遍有效的，但又不反对另外再作检验。这个研究结果表明大部分学生没意识到 数学的形式证明确认了数学命题在所有情况下的正确性，不再需要进一步的检 验。 s h a r o nls e i l l 【在他的如何写好几何证明? 的文章中提到，大部分学生 写几何证明是有困难的，他们对证明的掌握程度并不好；在上一年几何课程的学 生中，大约有3 0 的学生能够掌握其中7 5 的证明这块内容。 j o h nf r a l l c i sj o s e p hk d d y 的博士论文调查了初中生数学证明的信念，调查 结果反映出许多问题，如部分学生仍然没有认识到数学证明的一般性；大部分学 生没有掌握好数学证明的方法，会感到做数学证明题有困难，等等。 数学证明是学生学习的一个难点。又因为它贯穿在整个课程中，不像代数、 几何，可以作为一块具体的教学内容，所以也是老师教学的一个难点。 有一次我给几位即将升入市重点高中的学生讲函数单调性时，介绍完定义， 接下来给出了函数，0 ) 一z 2 在( o ，+ m ) 是增函数的证明后，一位同学举手问：“老 师，为什么不代值进行检验呢? ”我立即问：“你认为代几组值就能作为证明吗? ” 学生回答：“不然太多了! ”我接着问：“你挑几组是满足的，能保证所有的都满 足吗? ”学生回答：“当然! ”从这个学生的回答中，我发现了一些问题，这些问 题在学生中是经常出现的。他们用特殊代替一般，通过代入几组值进行检验，就 作为一个命题的证明。学生出现这些错误表明他们对数学证明的认识是模糊的。 我开始思考，学完了初中的课程，这些高一新生对数学证明的理解和掌握程度如 何呢? 即他们在学习高中数学证明前的认知起点和认知困难。造成认知困难的原 因是什么呢? 如果能够回答这些问题，一方面，可以为高中教师提供学生学习的 第一手资料，如发现学生对证明的模糊认识，纠正他们认识中错误的地方。另一 方面，还可以为初高中教师以后的教学指明改进的方向。以这些为出发点，我开 始设计这次研究。 1 2 研究综述 1 2 1 什么是证明 在日常生活中，人们对证明有许多不同的看法。如数学与其它一些学科对证 明就有不同的标准。物理、化学等学科，通过观察发现一些结论，为了检验这个 结论的正确性，可以再通过做实验收集数据，如果在这个过程中没有什么疑点， 2 那么就可以认为证明了这个结论是正确的。法庭上，律师提供证据，让陪审团相 信他的委托人是无罪的，律师认为这是证明。但是在数学上，这些都算不上是证 明。 什么是数学证明? 数学界内部对这个问题的认识分歧很大。目前多数人接受 的说法是：数学证明就是一些基本概念、基本公理为基础，运用逻辑规则和方法 推导数学命题的方法和过程。 对普通高中数学课程标准( 实验) 内容的有关说明中，提到证明通常包 括逻辑证明和实验、实践证明，但是数学结论的正确性必须通过逻辑证明来保证， 即在前提正确的基础上，通过正确使用推理规律得出结论。这是由数学的特征所 决定的。 综上所述，证明可以看成是两种：非数学的证明( 或称经验性的证明) 和数 学证明。我们把通过非演绎的方法，如观察、测量、个人日常生活经验等，获得 的证明称为经验性证明。我们把逻辑演绎的证明方法称为数学证明。演绎推理方 法才是数学证明的惟一方法，这是由数学的本质及其组织、构造的方式所决定的， 它使得数学只能接受演绎证明( 李士铸，2 0 0 1 ) 。教学中一个重要目的是希望学 生能够区分这两种证明，达到数学证明的水平，这需要有一个较长的过程。在这 个过程中，我们应该考虑学生的思维发展水平，在教学中合理选择学生能够接受 的证明方法，任何“强调一种、排斥另一种证明方法”的行为都会妨碍学生对数 学证明的认识和理解。 结合认知理论的观点来看，为了让学生形成良好的认知结构，在数学教学 中不应只重视逻辑演绎的数学证明。应该是通过证明的教与学，使学生理解相关 的数学知识；训练和培养学生的思维能力( 包括逻辑和非逻辑的思维) 以及数学 的交流能力；帮助学生寻找新旧知识之间的内在联系，使学生获得的知识系统化； 使学生更牢固地掌握已学到的知识，并尽可能让学生自己去发现新知识。 m a l l e r 和m a n i n o ( 1 9 9 6 ) 提出在数学教育中我们更加关心的是学生的理解。 本篇论文是关于学生和证明的，对学生来说什么是数学证明? a m s t i n ( 1 9 9 5 ) 希望成功的数学教育是能够让学生体会到： 数学证明是一种说理。一方面，它和数学之外的其它一些说理相似，也包 括了一些日常的合情理的思考；另一方面，它又与那些说理不同，它具有完全确 定性，一经证明，此结论肯定正确。 a u s t i n 概括了许多有关如何看待数学证明的观点。我们承认数学证明和其 它一些学科的证明有许多共同特征，但数学中的证明有更加特殊而权威的地位。 正如前面所说，它使数学区别于其它一些学科。 l 。2 2 证明的作用 在西方，最典型的教材几何原本按照严密的逻辑体系进行编排，这一传 统占据统治地位。古希腊的先贤智者十分重视数学对心灵的启迪，目的是为了陶 冶情操、追求真理和训练心智。他们认为，数学是门演绎的科学，是哲学家所 追求的真理总体的一部分。虽然这些观点比较极端，但数学历来被看成是一个严 密的逻辑体系，数学在培养逻辑思维能力方面具有不可替代的作用。 l u t h u l i ( 1 9 9 6 ) 列举了如下一些证明的作用： ( i ) 证实建立一个陈述的正确性 ( i i ) 解释提供为什么正确的理由 ( i i i ) 系统化使数学知识形成一个框架 ( i v ) 发现发现和发明新的结论 ( v ) 交流传递数学知识 ( v i ) 面对智力的挑战试着回答这些问题。如：这个证明方法很好，但 能用别的方法吗? 这是最好的方法吗? 还有更简单的方法吗? 在这个证明中有 些不足，你能找出来吗? 在这个证明中，说理有些松散，你能给出一个更紧凑的 说理吗? ( i ) 证实 数学家们一方面依赖于实验、归纳、比较、分析来发现新的数学事实：一方 面借助于数学证明确认事实。数学中证明的一个很重要的方面就是对数学结论的 证实。这是有历史根源的。古巴比伦和古埃及的数学，从她的萌芽之臼起，就是 以实际需要为基础的，他们的数学知识仅仅表现为对一些实际问题观察的结果， 以及某些经验的积累，那时数学作为一门科学还没有建立起来。直到演绎推理引 入数学，才建立起现代意义上的数学。因此，他们坚持认为所有数学结论都只能 建立在演绎推理之上。 其实他们当时的看法是有局限性的，因为忽视了通过非演绎手段而得到的结 论。由于计算机介入证明之中，用机器证明产生定理( 如四色问题等) ，所以它 也应该成为判断数学命题真假的一种手段。 数学证明的这一作用，有助于创立新的数学知识，但是我们不应将数学证明 只局限于对知识的证实，在课堂上应重视让学生了解证明为什么和怎样发生作 用。 ( i i ) 解释 数学证明除了证实命题外，它的一个更重要的作用就是通过它去理解命题。 法国以布尔巴基( b o u r b a k i ) 为笔名的数学家在1 9 5 0 年写的一篇题为数学的 建筑的文章中说：“每个数学工作者都知道，单是验证一个数学证明的逻辑推 导，却没有试图洞察获致这一连串推导背后的意念，并不算理解了那个数学证 明。”就如使用计算机检验全部可能情况得出结论的证明，并没有使我们增添理 解。计算机的证明令我们不满意并不是它没有核实命题，而是它没有使我们通过 证明获得理解。 在数学教学中，证明的重要目的之一就是理解。不仅要求学生理解概念定义 及其中的逻辑过程，也需要让他们了解证明为什么和怎样发生作用。 b a l a c h e f f ( 1 9 9 1 ) 提出，如果认为教学的目标是理解，那么课堂上应重视 利用和发展理解性的证明，因为它有助于理解而不只是让学生模仿。 ( i i i ) 系统化 证明的另一个作用就是系统化。数学领域中有共同的语言，在这个数学文化 社区里就存在一种自然调节的机制，把正确无误的结果保留下，把错误的结果修 补或者排除；把看似无关的理论统一融合起来，把纷杂的成果精简整理，一代一 代的传授下去。数学证明是这种调节机制里的一个重要部分( 萧文强，1 9 8 9 ) 。 它把各种结论形成一个公理、概念、定理的演绎推理的系统。 ( i v ) 发现 证明除了上述作用外，还是引导人们发现数学新事实的重要方法。就用一个 著名的例子加以说明。 “工”+ y 4 - z 8 ，当胛，2 时无整数解”这一段简单的注解，在数学的发展史 上引起了久久不能平息的巨大反响，这就是著名的费尔马大定理。对于这个定理， 据说费尔马本人曾用无穷下推法证明了当，l = 4 时的猜想。1 8 4 3 年，德国数学家 库默尔认为自己给出了完整的证明，后经狄利克雷审查，发现证明中使用了未知 证明的假设。尽管库默尔没能证明这个猜想，但对于证明中利用的假设的研究， 导致了一门新的分支代数数论的诞生。2 0 世纪最伟大的数学家希尔伯特把 费尔马大定理比喻成“一只会下金蛋的母鸡! ”这个比喻倒是很好地形容了证明 在数学发展中所具有的发现的作用。 ( v ) 交流 交流也是证明的作用之一。比方说，大部分读者素昧平生，大家的生活背景 不尽相同，学历背景也不尽相同，但却能在数学上沟通。例如，当大家读到“任 何两点有惟一一条直线通过它们”时，大家的脑海里会浮现同样的图形；当大家 读到“二次方程至多有两个( 复) 根”时，大家的脑海里又会浮现同样的印象； 当大家读到“闭区间上的连续函数有界”时，大家都能明白它的意思。这是不是 很奇妙? 其实数学证明在其中起到了交流的作用。通过证明将知识传递给大家， 在大脑中将数学对象和数学现象联系起来。通过证明，数学家之间可以探讨新的 数学发现，老师可以向学生传授数学知识，学生之间也可以相互交流，使得大家 都能生活在一个共同的数学文化社区里，呼吸着同样的数学空气，获得可以共同 分享的信息。 证明的思想在数学中起中心枢纽的作用。正是有了这种思想我们才能揭示概 念的内涵，从而建立概念间的联系，发现新的知识。所以数学证明是初中和高中 课程的一项重要内容。 1 2 3 学生证明的能力水平 p i e r r em a r i ev a nh i e l e 和妻子d i n av a nh i e l e g e l d o f 提出了一个学习 几何的模型，这个模型就是著名的v a nh i e l e 模型，它将几何思维的发展划分成 五个水平，h o f f e r ( 1 9 8 1 ) 表述如下： 水平1 ( 直观) 学生对基本几何概念的学习主要是通过对概念表象整体的 认识，并不关注组成部分的特点和性质。 水平2 ( 分析) 学生对几何概念的推理，主要是通过对概念的组成部分和 特点的非形式的分析，建立概念的必要条件。他们会发现，把一些性质组合起来， 可以说明一类几何对象，但还不能看出几类对象之间的关系。 水平3 ( 抽象) 学生按逻辑顺序对概念性质和抽象定义进行分类，能区别 概念的必要条件和充分条件，能理解，甚至做一些逻辑推理，这一水平是正确演 绎的开始，但学生仍然不能真正理解几何真理要靠逻辑演绎来确定。 水平4 ( 演绎) 学生在数学公理体系中，能建立未定义的概念，建立了各 个定理之间的相互关系，学生不再记忆定理证明而是建构出几何证明。 水平5 ( 严格) 学生能比较不同的公理体系，能脱离具体的模型学习各种 几何。 在设计这个模型时，假设学生几何思维是按从低到高的水平依次发展的， 而处于不同水平的人理解能力也不同。如一个学生思维只达到了水平n ，那么他 就不能理解水平，l + 1 或更高的水平。在某个班级中，学生的思维也并不都处于同 一水平，因此，在学习上必然存在差异，那么对证明的认识也会有差异。 1 3 研究的目标 在平时的练习和考试中，学生做证明题会出现各种各样的错误。对于同一道 证明题，有些学生的证明是利用文字语言叙述说理，有些学生的证明是利用符号 语言推理论证，有些学生是利用表格、图象来证明，有些学生代入具体数值来证 明。我将各种证明进行分类，概括出常见的证明类型。 本文就主要研究以下问题： 1 考查高一新生对各种数学证明类型的理解。 2 考查高一新生对各种数学证明类型的运用。 1 4 研究的目的和意义 证明是初中和高中课程中的一项重要内容，它贯穿在整个课程中，不像代 数、几何，可以作为一块具体的教学内容，所以给教学上带来一定的困难。本研 究旨在考查高一新生对数学证明的理解，因为学生对数学证明的理解直接影响到 后继知识的学习。数学证明可以利用语言、符号、表格、图象等多种类型。考查 学生对多种证明类型的理解和运用，了解学生是否真正理解了数学证明的本质。 通过这项研究寻找学生在学习高中数学证明前的认知起点和认知困难，为高中教 师提供了学生学习的第一手资料。针对本文中学生出现的问题，总结出以后教学 中应注意的问题，更好地提高教学质量，为学生服务。同时为初高中教师以后的 教学指明改进的方向。 第二章研究方法 2 1 研究思路 文献探讨设计问卷进行预测 问卷修订 正式施测，访谈统计结果分析 2 2 研究对象 本研究的样本来自上海市市区的三所高中，一所市重点，一所区重点，一所 普通高中。在市重点和区重点的两所学校中，各选取了高一年级的一个普通班的 学生进行测试，共计1 0 0 人。在普通高中，选取了高一年级的两个普通班的学生 进行测试，共计9 5 人。测试是在2 0 0 5 年9 月中旬完成的，研究对象都是高一新 生。 访谈对象选取了市重点高中受测班级的4 名学生。他们的数学成绩在班级中 属于中上、中和中下等水平，具有一定的代表性。如下表所示： 中上m ， 中 f 2m 3 中下e 其中m 代表男生，f 代表女生，字母下标表示的是接受访谈的次序。 2 3 研究工具 2 3 1 设计思想 本研究设计了二份问卷，测试时间为3 0 分钟。问卷一是3 道代数证明题， 问卷二是3 道几何证明题。问卷的题型包括主观题和客观题，内容分= 类：一类 主要是考查学生对数学证明类型的理解；另一类主要是考查学生对多种证明类型 的运用。然后针对问卷中出现的典型错误和不明白的地方做访谈，对问卷调查做 补充和说明，进一步摸清学生对数学证明的理解和掌握程度，找出他们认知的障 碍及做具体题目出错的原因。 9 2 3 2 内容说明 预研究设计了三份问卷，测试时间为4 0 分钟。在上海市市区的一所普通高 中，选取了高一年级的两个普通班的学生进行测试，共计8 5 人。测试后进行了 试题分析，对问卷一和问卷二的测试题的文字表达进行了修改，形成了正式的代 数证明问卷一和几何证明问卷二。而问卷三在正式研究中没有采用。这份问卷有 4 道题目： 1 在数学学习的过程中，经常用到“证明”一词，你认为什么是数学证明? 2 当你知道了一个新的数学结论时，你会立即相信它是正确的吗? 如果给出证 明过程，你会相信它是正确的吗? 3 课堂上老师教了一个新的数学证明，你认为需要去理解这个证明怎样做和为 什么这样做吗? 这对你有多重要? 4 你认为我们为什么要学习数学证明? 第l 题是为了了解学生对“什么是数学证明”的认识。从学生的回答看，大 部分学生对数学证明的认识并没有什么错误。例如： 学生回答：“数学证明就是用所学的知识、定义、公式，一步步推理，得到 结论”：“数学证明就是通过一系列的论述以及运算解答，从而求证出结论是 正确的”；“数学证明就是通过知道的定理，从已知条件，推导到想要得到的结 论的推理过程”， 第2 题，9 6 的学生回答都是“不会”、“会”。 第3 题，大部分学生都认为需要，而且非常重要。由此我们已经可以看出， 学生对数学证明的重要性是高度认可的。 第4 题。是为了了解学生对数学证明的作用的认识。学生的回答主要集中在 以下几个方面：有8 2 的学生认为数学证明可以“培养逻辑思维和论证推理能 力”；7 的学生认为数学证明可以“增强对数学的理解和认识”；有三个学生 认为数学证明可以“验证结论或猜想的正确性”；有六个学生认为学习数学证 明只是“为了考试”。从学生的回答中可以发现，大部分学生认为数学证明的 作用主要是“培养逻辑思维和论证推理能力”。 我们把学生对问卷一和问卷二的回答情况进行了分析，统计的结果反映出一 些问题。可是从问卷三的回答情况看，并不能对这些问题做出合理的解释。由于 1 0 我们的研究主要集中在以下两方面；考查高一新生对各种数学证明类型的理解； 考查高一新生对各种数学证明类型的运用。所以在正式实施时，并没有采用这份 问卷，而是决定把一些问题放到了访谈中。 但是从学生对这份问卷的回答来看，也给了我们一些启示。如学生对数学证 明的重要性是高度认可的；在教学中，老师不应局限于细节的推导上，也应该向 学生传达数学证明的意义和作用。因为从学生的回答情况看，学生对证明的作用 的认识并不全面，如果能向学生传达数学证明的意义和作用，可以更加提高学生 学习的兴趣。 正式研究中使用的测验工具：代数证明问卷一，以研究高一新生对各种代数 证明类型的理解和运用；几何证明问卷二，以研究高一新生对各种几何证明类型 的理解和运用。 1 代数证明问卷一 第1 题和第2 题帮助我们了解高一新生对各种代数证明类型的理解。例如第 1 题： 1 证明：两个连续整数的平方和一定是奇数 下面给出六种证法： 证法1 ： 设口是任意一个奇数，6 = 痒+ 1 ，则6 是偶数 口2 + 6 2 置c 2 ，贝0 口2 ；c 2 6 2 ，6 2 昌c 2 一口2 口2 + 6 2 = c 2 6 2 + c 2 一口2 - 2 c 2 02 + 6 2 ) = 五2 0 + 扫) 2 2 c 2 是一个偶数，n + 6 是一个奇数，则0 + 6 ) 2 也是一个奇数 而一个偶数减去一个奇数，结果是一个奇数 所以这个命题是正确的 证法2 ： 1 2 + 2 2 = 1 + 4 王5 奇数2 2 + 3 2 昌4 + 9 皇1 3奇数 3 2 + 4 2 牟9 + 1 6 _ 2 5奇数 4 2 + 5 2 兰1 6 + 2 5 墨4 1 奇数 所以这个命题是正确的 证法3 ： 设h 是一个整数，则 托2 + ( ，l + 1 ) 2 篁，1 2 + ，1 2 + 知+ 1 掌知2 + 2 h + 1 _ 2 0 2 + 栉) + 1 所以这个命题是正确的 证法4 偶数是以0 ，2 ，4 ，6 或8 结尾： 平方后是以0 ，4 ，6 ，6 或4 结尾： 奇数是以1 ，3 ，5 ，7 或9 结尾； 平方后是以1 ，9 ，5 ，9 或1 结尾 两个连续整数的平方和，即是连续的一奇一偶两数的平方和，那么只可能是以1 ，3 1 ，5 或5 结尾，所以这个命题是正确的 证法5 ； 如果第一个数是偶数，则它的平方是偶数乘以偶数，结果仍是偶数 那么与它连续的整数必是奇数，则它的平方是奇数乘以奇数，结果仍是奇数 将一个偶数加上一个奇数，结果是一个奇数 所以这个命题是正确的 证法6 用以下这张图来说明 女女士士 士 士士 151 32 5 1 2 所以这个命题是正确的 ( a ) 如果让俅来证明这个命题，你的证法会与上述证法最相似 ( b ) 你认为老师最喜欢证法 我们把选项给出的证明进行分类，并对最后的分类进行编码。 编码爿，代表引入字母变量，进行代数运算的证明，如证法1 、证法3 。 编码占，代表代入具体数值进行检验的证明，如证法2 ； 编码c 。代表无引入新的字母变量，文字说理的证明，如证法4 、证法5 编码d ，代表利用图示作为证明，如证法6 。 第3 题帮助我们了解高新生对代数证明的掌握程度。从学生写的证明过程 中，寻找各种错误的类型，并分析出错的原因。 2 几何证明问卷二 第1 题和第2 题帮助我们了解高一新生对各种几何证明类型的理解。例如第 1 题： 1 小红、小兰、小明、小勇和小凯分别给出了判断以下这个命题真假的证明。 命题；线段艘钋的一点尸到线段爿曰的最短距离是户与线段爿墨中点c 的连线段p c 小红的证明： 两点之间连线段最短 所以这个命题是正确的。 小兰的证明 7 我从点p 向线段引了许多线段，可以看到其中一些是比p c 短的 所以这个命题是错误的 小明的证明： d 是爿c 上任意一点，e 是口c 上任意一点 因为爿c = b c( c 是爿口中点) 所以c d2 + p c2 - 肋2 ( 勾股定理) c e2 + p c2 朋2( 勾股定理) 所以ms p d ( c d o ) p cs 雎 ( c e 苫0 ) 所以p c 是点p 到b 的最短距离 所以这个命题是正确的 小勇的证明 h j l 、 ， f 盲 一 b 口是爿c 上任意一点，e 是b c 上任意一点 如果凹c e 9 0 ， 则只e c p c ( 同一个三角形内大角对大边) 但如果p c e 9 0 则厶p c d 9 0 ( 平角等于1 8 0 。) 则二肋c 可能大于9 0 ( 三角形内角和等于1 8 0 。) 所以p d 可能小于尸c ( 同一个三角形内大角对大边) 则p c 就不一定是p 到爿口的最短距离 所以这个命题是错误的 1 4 小凯的证明 以p 为圆心，画一个与a b 相切的圆 从图中可以看出p c 与圆尸相交，所以尸c 不是点p 到彳口的最短距离 所以这个命题是错误的 ( a ) 如果让你来给出这个命题真假的证明，你的证法会与上述的证法最相似 ( b ) 你认为老师最喜欢的证法 我们把选项给出的证明进行分类，并对最后的分类进行编码。 编码爿2 代表运用几何的数学符号，进行推理的证明，如小明、小勇的证明。 编码曰：代表文字说理的证明，如小红的证明； 编码c ：代表通过观察、测量等经验型的证明，如小兰的证明； 编码d ：代表构造直观图形作为反例并进行推理的证明，如小凯的证明。 第3 题帮助我们了解高一新生对几何证明的掌握程度。从学生写的证明过程 中，寻找各种错误的类型，并分析出错的原因。 3 访谈 ( 1 ) 访谈的意义 访谈是质的研究中一个十分有用的收集资料的方法。访谈有很多种不同的方 式，质的研究主要采用开放型和半开放型访谈。开放型的访谈通常是没有固定的 访谈问题，访谈者鼓励受访者用自己的语言发表看法，此类访谈的目的是了解受 访者自己认为重要的问题，他们看待问题的角度以及对问题所作的解释。在半开 放的问题中，访谈者对访谈的结构具有一定的控制，根据自己的研究设计对受访 者提出的问题，但同时也鼓励受访者参与，提出自己感兴趣的问题。由于我们访 谈的目的主要是为问卷调查作补充和说明，所以访谈中，希望学生对在测试中的 选择做出解释和说明，针对问卷中出现的典型错误和不明白的地方，进一步摸清 错误产生的根源，试图诊断做题困难的主要原因。所以我采用了半开放型的访谈 方式。受访者由班主任老师请来，并告诉他们有些答案不理解需要你解释一下。 这样防止他们的恐惧心理，在宽松的环境下，与他们进行面对面的交谈。 ( 2 ) 访谈的提纲如下： 1 如果是选择题，我会问 你为什么选，为什么你认为老师最喜欢 你认为其它的选项错了吗? 你怎样理解证法一或的证明? 能说说你 的理由吗? 2 如果是解答题，我会问 你证明这道题目的思路是什么? 为什么想到用这种证法? 考虑过其它的 方法吗? 你能检查出错在哪里吗? 3 你认为我们为什么要学习数学证明? 我在访谈过程中做了录音，随后对录音做了文字的书面整理。 第三章数据的整理与统计分析 3 1 高一新生对各种代数证明类型的理解和运用 我们通过问卷一对1 9 5 名高一新生进行了调查，并对获得的数据进行了统 计。表3 一l 是对问卷一中第1 题的选项的人数统计。 表3 一l 第1 题的选项的人数统计表 圈3 一l 第1 题的选项的人数统计图 表3 2 是对问卷一中第2 题的选项的人数统计。 表3 2 第2 题的选项的人数统计表 图3 2 第2 题的选项的人数统计图 表3 3 是对问卷一中第3 题学生回答情况的人数统计。 表3 3 高一新生回答情况的人数统计表 测试题采用4 的采用的b ，采用的e 第3 题 证明类型证明类型证明类型 正确 2 6 1 21 1 0 9o1 5 0 3 百分比( 人数) 基本正确 1 5 2 81 0 3 904 8 9 百分比( 人数) 不正确 4 4 1 92 1 4 21 4 6 38 1 4 百分比( 人数) 总计 8 5 5 94 2 9 08 1 43 4 5 5 i 占给出证明的 5 0 1 23 2 7 81 7 1 0 1 人数的百分比 从表3 一l 的数据看，第1 题的六种证法中，有6 1 3 5 的学生认为，老师会最 喜欢证法3 。而在剩余的学生中，超过一半的学生认为老师会最喜欢证法l 。从 表3 2 的数据看，对于第2 题的五种证法，有6 9 7 9 的学生认为老师会最喜欢 小凯的证明。而在剩余的学生中，认为老师最喜欢小红的证明的人数也最多。这 四种证法的类型都是丘，即引入字母变量，进行代数运算的证明。其中第1 题 的证法3 和第2 题的小凯的证明都是正确的，而第1 题的证法1 和第2 题的小红 的证明都是错误的。对于第1 题，有5 5 8 1 的学生认为自己会采用证法3 ；对于 第2 题。有4 0 9 6 的学生认为自己会采用证法5 。 从表3 一l 和表3 2 的数据也可以看出，极少数的学生选择最是老师最喜欢的 证法，而且认为自己会采用这种证法的学生人数也相对较少。这说明学生已经能 意识到代入具体数值进行检验的证明是有局限性的。但是对于第2 题选项中小勇 的证法，这是代数证明中常用的构造反例的方法，却只有4 8 蹦的学生认为会是 老师最喜欢的，也只有1 4 。4 6 的学生认为自己会采用这种证法。 从表3 3 的数据看，有8 5 5 9 的学生尝试给出第3 题的证明。有4 2 9 0 的 学生采用 ，的证明类型，即引入字母变量，进行了一些代数运算，占尝试给出 证明的学生人数的5 0 1 2 ( 4 2 9 0 8 5 5 9 ) 。这说明在尝试给出证明的学生中， 有一半左右的学生采用丘的证明类型。 有2 6 1 2 9 6 的学生给出了正确的证明过程。在这部分学生中，有4 2 4 6 ( 1 1 0 9 2 6 1 2 ) 的学生采用4 的证明类型( 即引入字母变量，进行代数运算的 证明) 。以下两种证法出现的最多， 证法1 设f t 孙+ 1 ，日z2 6 + 1 ，6 q + 孽) 0 一日) = ( 2 口+ 1 ) + ( 2 6 + 1 ) 】 ( 2 口+ 1 ) 一( 2 6 + 1 ) 】 = ( 2 口+ 2 6 + 2 ) ( 2 口一2 6 ) = 4 ( 口+ 6 + 1 ) ( 口一6 ) ( p + 鼋) 0 一目) 一定是4 的倍数 证法2 p 、q 是任意两个奇数 设p + 鼋昌2 小。p 目一2 甩，优z ，甩z ( p + 鼋) 0 一留) = 力 2 再= 4 ，l ，1 。( p + q ) 0 一口) 一定是4 的倍数 有5 7 。5 4 ( 1 5 0 3 2 6 1 2 ) 的学生采用c 的证明类型( 即文字说理的证明) 。 以下这种证法出现的最多， p 、q 是任意两个奇数 p + q 是偶数，则p + g 是2 的倍数 p 一日也是偶数，则p q 是2 的倍数 p + q ) 0 一鼋) 一定是4 的倍数 有1 5 2 8 的学生给出的证明是基本正确的。这些学生证明的基本思路是正确 的，只是过程中有些小错误。这部分学生中，有6 8 ( 1 0 3 9 1 5 2 8 ) 的学生采 用4 的证明类型。这些小错误主要出在p 、口的设法上，如 设口，p + 2 _ r l ，l p + g ) 一日) t p + + 知) 】p o + 办) 】 鼻( 2 p + 2 阿) ( 一2 n ) ；一4 0 + 以咖 - 0 + g ) 0 一口) 一定是4 的倍数 有3 2 ( 4 8 9 1 5 2 8 ) 的学生采用c l 的证明类型。一般是叙述中有些小错误， 如以下这个证明 p 、q 是任意两个奇数 。p + q 是偶数， p q 也是偶数 则0 + 鸟) 一目) 是2 的倍数 所以( p + q ) ( p q ) 一定是4 的倍数 2 0 有4 4 1 9 i j 6 的学生给出的证明是错误的。有些证明过程复杂，没有条理；有些 只是对代数式做各种各样的变形；有些只是代入几组数值进行检验等。这些学生 中，采用爿。的证明类型的人数也最多。这部分学生主要错误出在p 、q 的设法上， 如有的同学设p = 孙一1 ，q = 知+ 1 ；有的同学设p = m l ，q 一川+ 1 等。 而采用c l 的证明类型的人数最少，这部分学生给出的证明中，主要出现以下两 种错误：一部分学生仿造选择题中的证法，如 0 + q ) 0 一g ) 一p 2 一q 2 奇数是以1 ，3 ，5 ，7 ，9 结尾； 平方后是以1 ，9 ，5 ，9 ，1 结尾； 两奇数平方相减，只可能是以4 ，8 结尾，所以( p + q ) ( p g ) 一定是4 的倍 数 另一部分学生几乎都是这样证明的， p + g ) q q ) 一p 2 一目2 p 、q 是任意两个奇数 。p 2 、q 2 也是奇数 p 2 一口2 是偶数 p 2 一口2 是4 的倍数 - 。- 0 + q ) p q ) 一定是4 的倍数 其中有3 3 1 1 ( 1 4 6 3 4 4 1 9 ) 的学生采用且的证明类型( 郎代入具体数值 进行检验的证明) 。 3 1 1 高一新生对各种代数证明类型的理解 从以上数据的分析可以看出，大部分学生认为，老师会最喜欢引入字母变量， 进行代数运算的证明，认为这种证明的类型是比较好的、有效的证明。而多数学 生认为，自己也会采用这种类型的证明。结合访谈的结果，发现学生对各种证明 类型的理解主要有以下几种：对于爿，这种类型，m 认为是老师常用的类型，它 可以包括所有的情况；f 认为这种类型可以包括所有情况，比较有说服力；m ， 和只都认为这种形式比较常见、比较简单。对于且这种类型，四位同学都认为 第1 题的证法2 和第2 题中小明的证明不能包括所有的情况，是不对的，而第2 题中小勇的证明也可以，但不常见。m ，认为老师在讲技巧时会用；e 认为对于 解答题，这种证法不保险。对于c 1 、d ，这两种类型，四位同学一致认为不常见， 比较复杂，但c ，这种类型可能是对的，易是不对的。结合访谈的结果可以发现， 绝大多部分学生倾向于选择常见的证明类型。极少数会选择代入具体数值进行检 验的证明和图示的证明类型，绝大部分学生都认为这两个证明是不对的，他们认 为证明是要说理的。这也造成学生对反例证明的理解和掌握不好。 从以上的分析可以说明，代数证明在头脑中的形式是学生选择的一个很重要 的依据。其中有的学生选择的依据的主要成分是逻辑。但这种理解对学生而言是 不深刻的，有的学生在个别情境中的依据的是这个，但在其它情境中又会消失。 例如，从表3 1 可以看到，对于第1 题的证法2 ，只有2 6 的学生认为老师会最 喜欢这种证法，但有1 5 1 2 的学生认为自己会采用这种证法。从表3 2 可以看 到，对于第2 题的选项中小明的证明，只有2 4 1 的学生认为老师会最喜欢这种 证法，但有9 6 4 的学生认为自己会采用这种证法。这些数据表明，对于代入具 体数值进行检验的证明，认为自己会采用这种证法的学生人数比认为老师会最喜 欢这种证法的学生人数多。这就说明，其中有部分学生已经能意识到代入具体数 值进行检验的证明是有局限性的，但他们还是选择了这种证法，认为是自己会采 用的。又如r 在访谈时，也承认自己有时会采用像第1 题证法2 的类型。还有 的学生依据的仅仅是经验，如