（概率论与数理统计专业论文）高斯过程的轨道性质及其相关问题.pdf

p r e f a c e p r o b a b i l i t yl i m i tt h e o r yi so n eo ft h ei m p o r t a n tb r a n c h e so fp r o b a b i l i t yt h e o r y i t i so n eo ft h e m o s ti m p o r t a n tf u n d a m e n t a l so fp r o b a b i l i t ya n ds t a t i s t i c st h et h e o r yo ns a m p l ep a t hp r o p e r t i e s o fg a n s s i a np r o c e s s e si so n eo ft h em o s ti m p o r t a n tf i e l d so ft h er e s e a r c ho fm o d e r np r o b a b i l i t yl i m i t t h e o r yt h el e v y sm o d u l u so fc o n t i n u i t yt h e o r e ma n dt h en o n d i f f e r e n t i a b i l i t ym o d u l u st h e o r e m d e s c r i b et h ee x a c tl o c a lp r o p e r t i e so fs a m p l ep a t h so faw i e n e rp r o c e s sm c s 6 r 9 6a n dr r d v 6 s z i n v e s t i g a t e dt h ee x a c tg l o b a lp r o p e r t i e so fs a m p l ep a t h so fab r o w n i a nm o t i o n ( b m ) ( o rw i e n e r p r o c e s s ) ，w h o s er e s u l t sa r ec a l l e dt h el a r g ei n c r e m e n t st h e o r e m t h e s ef u n d a m e n t a lr e s u l t sw e r e o b t a i n e di n1 9 7 0 s ，w h i c hw e r ec o l l e c t e di nt h ef a m o u sw o r ko fmc s s r 9 6a n dr ，r 4 v 4 s z ( 1 9 8 0 ) n a m e d s t r o n ga p p r o x i m a t i o n si np r o b a b i l i t ya n ds t a t i s t i c s ” i nt h el a t e ro f1 9 8 0 s ，m a t l ya u t h o r si m p r o v e dt h et h e o r i e sm e n t i o n e da b o v ei nv a r i o u sd i r e c t i o n t h e ya l s ob e g a nt os t u d yt h e s es a m p l ep a t hp r o p e r t i e sf o ro t h e rk i n d so fg a u s s i a np r o c e s s e s m o s to ft h ei m p o r t a n tr e s u l t sw e r ec o l l e c t e di nt h ew o r ko fzy l i na n dc r l u ( 1 9 9 2 ) n a m e d ”s t r o n gl i m i tt h e o r y ”a n dt h er e c e n tw o r ko fz y ，l i n ，c r l ua n dl x z h a n g ( 2 0 0 1 ) n a m e d ”p a t hp r o p e r t i e so fg a u s s i a np r o c e s s e s ”a l m o s ta 1 1t h er e s u l t sc o l l e c t e di nt h ew o r k sm e n t i o n e d a b o v ea r ea b o u tt h e ”l i m s u p ”a n dt h e l i m i n f b e h a v i o u r so fs a m p l ep a t h so fs t o c h a s t i cp r o c e s s e s b u tl i t t l ei sk n o w na b o u tt h es t r a s s e n sf u n c t i o n a lt y p er e s u l t sb e c a u s eo ft h ed i f f i c u l t yo ft h e p r o o f b u tt h er e s e a r c ho ft h e s ep r o p e r t i e si sv e r ym e a n i n g f u l t h ef u n c t i o n a lt y p er e s u l t su s u a l l y i m p l yt h ec l a s s i c a ll i m i tr e s u l t s ，s u c ha st h es t r a s s e n sl i l ，t h em o d u l u so fc o n t i n u i t ya n dt h e l a r g ei n c r e m e n tt h e o r e ma n ds oo n s ot h i sk i n do fr e s u l t sc a nd e s c r i b et h el i n f i t i n gb e h a v i o r so f s t o c h a s t i cp r o c e s s e sm o r ec a r e f u l l y i nr e c e n ty e a r s ，s o m en e wd e v e l o p m e n t sw e r eg o t t e n ，s u c ha st h e ya r ef o rab m ，af r a c t i o n a l b r o w n i a nm o t i o n ( f b m ) a n ds o m eg a u s s i a np r o c e s s e si ns u p - n o r m ，a n dm f l yf o rab mi nh 6 1 d e r n o r m t h ep u r p o s eo f t h ep r e s e n tr e s e a r c hi st oi n v e s t i g a t es o m ef u r t h e rc l a s s i c a la n df i n er e s u l t so n t h el i m i t i n gb e h a v i o r so fs o m ei m p o r t a n tk i n d so fg a n s s i a np r o c e s s e sr e l a t e dt ob m s m o r e o v e rw e a l s os t u d yp r e c i s ec o n v e r g e n c eo fs o m es e q u e n c e so fr a n d o mv a r i a b l e s t h er e s e a r c he m p h a s i z e st h e s t u d yo ft h ef u n c t i o n a lt y p er e s u l t so nt h el i m i t i n gb e h a v i o r sf o ri n c r e m e n t so fg a u s s i a np r o c e s s e s a n dt h es t u d yo fp r e c i s er a t e si nt h el a wo fl o g a r i t b a nf o rt h em o m e n tc o n v e r g e n c eo fl i dr a n d o m v a r i a b l e sa n do fa s y m t o t i c sf o rs e l f - n o r m a l i z e dr a n d o mp r o d u c t so fs u m so fi i dr a n d o mv a r i a b l e s l i m i tt h e o r e m so nt h ei n c r e m e n t so fab ma n dag a u s s i a np r o c e s sa r ec l o s e l yr e l a t e dt ot h e p r o p e r t i e so ft h e i rs a m p l ep a t h ss ot h ec o n v e r g e n c ep r o p e r t i e so ft h ei n c r e m e n t st h o s ep r o c e s s e s h a v ea t t r a c t e dt h ea t t e n t i o no fm a n yp r o b a b i l i t i s t si nal a s tf e wd e c a d e s r e c e n t l y ，t h el i m i t t h e o r e m so nt h ei n c r e n l e n t so fs o m ek i n d so fs t o c h a s t i cp r o c e s s e s ，s u c ha 8t h eb m ，f b m ，m u l t i f f a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o n ，o r n s t e i nu h l e n b e c k ( o u ) p r o c e s s e s ，i v _ v a l u e dg a u s s i a np r o c e s s e s a n dr e l a t e dp r o c e s s e s ，h a sb e e ni n v e s t i g a t e di nv a r i o u sd i r e c t i o nb ym a n ya u t h o r s ，f o ri n s t a n c e ， ec a s k i ，ykc h o i ，mc s s r 9 5 ，nk 6 n o ，zyl i n ，p r 6 v d s z qms h a oa n di xz h a u g ，e ta l i nc h a p t e ri w eo b t a i ns o n l el i m i tt h e o r e mo nt h ei n c r e m e n t so fad - d i m e n s i o n a lg a u s s i & n p r o c e s sw i t ht h eu s u a le u c l i d e a nn o r m | 1 | | a n dt h ei n c r e m e n t so fl p - v a l u e dm u l t i p a r a m e t e r g a u s s i a np r o e e s s e st h em a i nt h e o r e t i c a lt o o o ft h i sc h a p t e ri st oe s t a b l i s hu p p e rb o u n d so fl a r g e d e v i a t i o np r o b a b i l i t i e so nt h es u p r e m ao ft h ei n c r e m e n t so fd - d i m e n s i o n a lg a u s s i a np r o c e s s e sa n ( 1 7 p v a l u e dm u l t i p a r a m e t e rg a u s s i a np r o c e s s e s w h o s ep r o o fi sb a s e do naf a m o u st h e o r e mo fx f e r n i q u e ( 1 9 6 4 ) a n dt oe s t a b l i s hl o w e rb o u n d so fl a r g ed e v i a t i o np r o b a b i l i t i e so nt h es u p r e m ao ft h e i n c r e m e n t so fd - d i m e n s i o n a tg a u s s i a np r o c e s s e sv i au s i n gag e n e r a l i z a t i o no fs l e p i a n sl e m m ao f smb e r m a nf 1 9 6 4 ) t h er e s u l t so fs e c t i o n12g e n e r a l i z et h el i la n dt h eb o o k - s h o r et y p et h e o r e m f o rt h ei n c r e m e n t so fad - d i m e n s i o n a lg a u s s i a np r o c e s si ns e c t i o nl3 ，w ea l s og e n e r a l i z es o m e l i m i tt h e o r e m so nt h ei n c r e m e n t so ff p v a l u e do n e p a r a m e t e rg a u s s i a np r o c e s s e so fmc s s r 9 5a n d q m s h a o ( 1 9 9 3 ) t ot h ec a s eo fn m l t i - p a r a m e t e rg a u s s i a np r o c e s s e su n d e rm o r ee x p l i c i tc o n d i t i o n s i no r d e rt os t u d yt h ea s 1 i m i t i n gb e h a v i o u r so f s t o c h a s t i cp r o c e s s e s t w om a i nw a y su s u a l l y u s e do n ei st ot u r nt os t u d yt h ec o r r e s p o n d i n gb e h a v i o u ro fr e l a v a n tb m sa n dt h eu t h e ri st h e d i r e c tw a yi no r d e rt os t u d yt h en o n g a u s s i a np r o c e s s e s jt h ef i r s tw a yi su s u a l l yu s e d ，s u c ha s i ut h ec a s eo ft h eb r o w n i a nl o c a lt i m ep r o c e s s e s i no r d e rt os t u d yt h ea s 1 i m i tb e h a v i o u r so f g a u s s i a np r o c e s s e s ，t h ed i r e c tw a yi su s u a l l yu s e d i nt h ec h a p t e ri i ，i i i ，i v ，w eo n l yc o n s i d e r t h el i m i t i n gb e h a v i o u ro ft h r e ek i n d so fs o m eg a u s s i a np r o c e s s e s ，n o to n l yb e c a u s et h e ya r ev e r y i n t e r e s t i n ga n da p p e a ri nl i t e r a t u r ef r e q u e n t l yb u ta l s ob e c a u s et h e ya r ec l o s er e l a t e dt ot h eb m s t h ef b mi n v e s t i g a t e di ns e c t i o n2 1o fc h a p t e ri ia n di nc h a p t e ri hi st h ed i r e c te x t e n s i o n so f t h eb m s w h i c hc 卸a l s ob er e p r e s e n t e da ss t o c h a s t i ci n t e g r a lr e s p e c tt ot h eb m t h ei n f i n i t e s e r i e so fi n d e p e n d e n to up r o c e s s e si n v e s t i g a t e di ns e c t i o n2 2o fc h a p t e ri ii st h ei n f i n i t es e r i e s o ft h es o l u t i o n so f8 1 1i n f i n i t ea r r a yo fs t o c h a s t i cd i 如r e n t i a le q u a t i o n s e a c ho up r o c e s sc a nb e r e p r e s e n t e da f t as t o c h a s t i ci n t e g r a lt ot h eb m t h ed - d i m e n s i o n a ls e l f - s i m i l a rg a u s s i a np r o c e s s i nc h a p t e ri vi st h ed i r e c tg e n e r a l i z a t i o no ft h ef b m w h i c hi sr e p r e s e n t e da ss t o c h a s t i ci n t e g r a l u s i n gt h es p e c t r a lr e p r e s e n t a t i o nr e s p e c tt ot h ec o m p l e x v a l u e dg a u s s i a nr a n d o mm e a s u r e i nc h a p t e ri i ，t h eas 1 i m i t i n gb e h a v i o u r sf o rt h ei n c r e m e n t so fo n e 。d i m e n s i o n a lf b mi n s u p n o r ma n dt h ei n f i n i t es e r i e so fo up r o c e s s e si nh s l d e rn o r ma r es t u d i e du s i n gar e s u l to f v g o o d m a na n dj k u e l b s ( 1 9 9 1 ) ，w sw a n g ( 2 0 0 1 ) o b t a i n e dal a r g ed e v i a t i o ni n e q u a l i t yf o r t h eg e n e r a lg a u s s i a nr a n d o mv e c t o r si ns e c t i o n21 w eo b t a i ns o m ef u n c t i o n a ll i m i tr e s u l t so f t h ei n c r e m e n t so fo n e d i m e n s i o n a if b mv i at h i si n e q u a f i t yi ns e c t i o n2 2 t h er e s u l t so b t a i n e d e x t e n dt h o s eo fw s w a n g ( 2 0 0 3 ) b ye s t i m a t i n gl a r g ed e v i a t i o np r o b a b i l i t i e sf o ri n f i n i t es e r i e s o fi n d e p e n d e n to u p r o c e s s e si nh 6 1 d e rn o r m w eo b t a i nf u n c t i o n a ll i m i tt h e o r e m sf o rt h i sp r o c e s s i nt h eh 5 1 d e rn o r n l w h i c hi n c l u d ef u n c t i o n a lm o d u l u so fc o n t i n u i t ya n df u n c t i o n a ll i lf o rt h e i n f i n i t es e r i e so fi n d e p e n d e n to u p r o c e s s e si nt h eh 5 1 d e rn o r m i nc h a p t e ri i i ，b a s e do nl a r g ed e v i a t i o np r o b a b i l i t i e so ng a u s s i a nr a n d o mv e c t o r so f w s w a n g ( 2 0 0 1 ) ，w eo b t a i ns o m el i m i tt h e o r e m sf o rf u n c t i o n a lm o d u l u so fc o n t i n u i t ya n df u n c t i o n a ll a r g e i n c r e m e n t so fd - d i m e n s i o n a lf b mi nt h eh 6 1 d e rn o r n lv i ae s t i m a t i n gl a r g ed e v i a t i o np r o b a b i l i t i e s 一1 1 i nc h a p t e ri v ，w es t u d ym o r eg e n e r 越g a u s s i a np r o c e s s e sa n do b t a i ns t r a s s e n sf u n c t i o n a l l i la n df u n c t i o n a lm o d u l u so fc o n t i n u i t yf o rd - d i m e n s i o n a is e l f - s i m i l a rg a u s s i a np r o c e s s e si nt h e h 6 1 d e rt y p en o r mv i ae s t i m a t i n gl a r g ed e v i a t i o np r o b a b i l i t i e sf o rt h e s ep r o c e s s e s i nc h a p t e rv ，u s i n gs t r o n ga p p r o x i m a t i o na n dt r u n c a t i o nm e t h o d so fw f e l l e r ( 1 9 4 5 ) a n d ue i n m a h l ( 1 9 8 9 ) ，w eo b t a i np r e c i s er a t ei nt h el a wo fl o g a r i t h mf o rt h em o m e n tc o n v e r g e n c eo f l i dr a n d o mv a r i a b l e si ns e c t i o n5 1 i ns e c t i o n5 2 ，w ec o n s i d e ras e q u e n c eo fr a n d o mv a r i a b l e s w h i c hi si nt h ed o m a i no fa t t r a c t i o no ft h en o r m a ll a wi n s t e a do fas e q u e n c eo fc o n s t a n t su s e di n r e s u l t so fgr e m p a l aa n dj w e s o l o w s k i ( 2 0 0 2 ) a n dqcq i ( 2 0 0 3 ) ，t h es o c a l l e ds e l f - n o r m a l i z e d p r o d u c t s w eo b t a i np r e c i s ec o n v e r g e n c ea b o u ts e l f - n o r m a l i z e dp r o d u c t sw i t hr a n d o mi n d e x w et r yo u rb e s tt om a k ee a c ho fo u rr e s u l t sa 8p e r f e c ta sp o s s i b l e ，b u tw ea p o l o g i z ef o rt h a t w ec a n n o td os os o m e t i m e s s o m eo ft h er e s u l t sw eo b t a i na r ep o s s i b l yn o tt h eb e s tt h ep r e s e n t r e s e a r c hi ss e p a r a t e di n t os e v e r a ip a p e r ss u b m i t t e df o rp u b l i c a t i o ni nv a r i o u sj o u r n a l s ，a n ds o m e o ft h e mh a v eb e e np u b l i s h e d 一1 1 1 一 k y o s h i nh w a n g m a r c h2 0 0 5 c h a p t e ri i n c r e m e n t so fs o m eg a u s s i a np r o c e s s e s 1 1 i n t r o d u c t i o n l i m i tt h e o r e m so nt h ei n c r e m e n t so fab r o w n i a nm o t i o nf b m 1a n dag a u s s i a np r o c e s sa r ec l o s e l y r e l a t e dt ot h ep r o p e r t i e so ft h e i rs a m p l ep a t h s s ot h ec o n v e r g e n c ep r o p e r t i e so ft h ei n c r e m e n t s t h o s ep r o c e s s e sh a v ea t t r a c t e dt h ea t t e n t i o no fm a n yp r o b a b i l i t si na1 a s tf e wd e c a d e s r e c e n t l y t h el i m i tt h e o r e m so nt h ei n c r e m e n t so fs o m ek i n d so fs t o c h a s t i cp r o c e s s e s ，s u c ha st h eb m ， f r a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o n ( f b m ) ，m u l t i f r a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o n ，o r n s t e i nu h l e n b e c k ( 0 u ) p r o c e s s e s ，f ”v a l u e dg a u s s i a np r o c e s s e sa n dr e l a t e dp r o c e s s e s h a sb e e ni n v e s t i g a t e di nv a r i o u s d i r e c t i o nb ym a n ya u t h o r s ，f o ri n s t a n c e ，c g s k ia n dc s 5 1 r 9 6 1 5 】，c d s k i ，c s s r 9 6a n ds h a o 【18 ，c d s k i e ta 1 f 1 6 ，c h o i 【12 】，c h o ia n dk 6 n o 1 3 ，c s s r 9 5a n dr 6 v 4 s z 【2 2 ，l i nf 4 8 ，l i na n dl u 5 1 】，l i n ，l u a n dz h a n g 5 2 】a n ds oo n i nt h i sc h a p t e r w eo b t a i ns o m el i r a i tt h e o r e mo nt h ei n c r e m e n t so fad - d i m e n s i o n a lg a u s s i a n p r o c e s sw i t ht h eu s u a le u c l i d e a nn o r m | ja n do nt h ei n c r e m e n t so fl p v a l u e dm u l t i p a r a m e t e r g a u s s i a np r o c e s s e s i ns e c t i o n1 2 e s t i m a t i n gu p p e rb o u n d sa n dl o w e rb o u n d so fl a s g ed e v i a - t i o np r o b a b i l i t i e so nt h es u p r e m ao ft h ei n c r e m e n t so fd - d i m e n s i o n a lg a n s s i a np r o c e s s e s ，w h o s e p r o o f sa x eb a s e do naf a m o u st h e o r e mo ff e r n i q u ef 3 0 a n dag e n e r a l i z a t i o no fs l e p i a n l sl e m m ao f b e r m a nf 5 】r e s p e c t i v e l y ，w ee s t a b l i s ht h el i la n dt h eb o o k - s h o r et y p et h e o r e mf o rt h ei n c r e m e n t s o fad - d i m e n s i o n a lg a n s s i a np r o c e s sw i t ht h eu s u a le u c l i d e a nn o r m i ns e c t i o n1 3 w ea l s o g e n e r a l i z es o m el i m i tt h e o r e m so nt h ei n c r e m e n t so fl p v a l u e do n e p a r a m e t e rg a u s s i a np r o c e s s e s o fc s 6 r 9 6a n ds h a oj e 3 t ot h ec a s eo fm u l t i - p a s a m e t e rg a u s s i a np r o c e s s e su n d e rm o r ee x p l i c i t c o n d i t i o n s a tf i r s tw ei n t r o d u c et h eb a s i cl e m m a si ns e c t i o n1 2 w es h a l la c c o m p l i s ht h ep r o o f so fo u r t h e o r e m so fs e c t i o n1 2t h r o u g hs e v e r a ll e m m a st h ef o l l o w i n gl e m m a sa x ee s s e n t i a lf o rt h ep r o o f o ft h e o r e m1 2 1 l e m m a1 1 1i saw e l l k n o w ne x t e n s i o no ft h es e c o n db o r e l - c a n t e u i l e m m a ： l e m m a1 1 1 l e t a k ，k 1 ) b eas e q u e n c e 吖e v e n t s 巧 ( a ) ：p ( a k ) = o o ， ( b ) 岘i n f p ( a _ jn a k ) - = p _ ( a j 广) p ( a e ) o ， 、“+ 。- ! 二墨! 。 ( e j _ - l p ( 且j ) ) 2 一。 t h e np ( a n ，i o ) = 1 ， t h ep r o o fo fl e m m a1 1 1c a l lb ef o u n d ，f o re x a m p l e ，i nt h e o r e m6 4i nb i l l i n g s l e y 6 1 t h e f o l l o w i n gl e m m a1 1 2i sag e n e r a l i z a t i o no fs l e p i a n sl e m m a ( c f e g b e r m a n 【5 】) l e m m a1 1 2 l e t 玛，j = 1 ，2 ，n ) b ec e n t e r e ds t a t i o n a r yg a u s s i a nr a n d o mv a r i a b l e sw i t h e x i x j = r oa n dr i i = 1 l e t 口1 = 【c ，o o ) ，a n df 1 = ( 一e o ，c ) d e n o t eb yf jt h ee v e n t 西霹) ，o rc j ( 一o o ，o 。) ，j = 1 ，2 ，n ，w h e r e 勺i se i t h e r + 1o r 一1l e t k c 1 ，2 ， ，礼) a n d 硒，f _ 1 ，2 ，s ) i sap a r t i t i o n 。，k ，t h e n ，、 j f p n 乃j i i p n 毋) l 兰h l ( c “q ；r ；) ， 一1 一 2c h a p t e r1 i n c r e m e n t so fs o m eg a u s s l a np r o c e s s e s h e ( z ，”；r ) i st h es t a n d a r db i v a r i a t en o r m a ld e n s i t yw i t h c o r r e l a t i o nra n dr i * 1i snn u m b e r b e t w e e nt 3a n dr i j u s i n ga n o t h e rv e r s i o no ff o r n i q u e sl e m m a 3 0 o nt h ed - d i m e n s i o n a lg a u s s i a np r o c e s s ，t h e f o i l o w i n gl e m n l ae s t i m a t e sa nu p p e rb o u n do ft h el a r g ed e v i a t i o np r o b a b i l i t y ( c f 4 9 ) l e m 眦1 1 3 f o ra n yg i v e n 0t h e r ee x i s t sop o s i v ec o n s t a n tc ed e p e n d i n go n l yo nes u c h t h a t f o ra l lz 1 p 0 墨。墨，螋糍鲁地z ) 5 g ( 嘉) 吼( 熹z ) ， ( 1 “) 埘h e r e 圣d ( z ) = p i i n 8 ( o ，1 ) 1 1 z ) a n dn 4 ( 0 ，1 ) d e n o t e snd - d i m e n s i o n a ls t a n d a r dn o r m a lf a n d o r l t v e c t o r w en o wi n t r o d u c es o m en o t a t i o n sa n dl e m m a st ob eu s e di ns e c t i o n1 3 l e tt = ( t l ，抽) a n ds = ( 8 1 ，一，8 v ) b ev e c t o r si n 【0 ，o 。) ”w ed e f i n e ： 0 = ( 0 ，0 ) i n 【0 ，。) “； “，s ) = ( t 1 ，一，t ，s l ，- - ，8 ) 【0 ，。) 2 “； t 墨si f 乱s3 i f o re a c h i n t e g e x1 s i s ； tsi f 赴 以f o re a c h i n t e g e r1 茎i ； t 士s = 0 1 土s l ，t n 士s ) ；b t = ( 6 t 1 ，一，b t n ) f o rb 1 0 ，o 。) t s = ( t ls l ，一，t n s n ) ； t , = ( t 1 s l ，一，t n s n ) f o r8 1 0 ，1 曼ts n t 吨 ( 量。2