（概率论与数理统计专业论文）充电系统的可靠性分析以及广义p值的应用研究.pdf

摘要 摘要 本文的研究内容主要有两个方面第一，主要讨论的是某武器充电系统的 可靠性分析该武器的柴电分系统主要由三台柴电设备给电池充电该系统的 充电功能是周期性的( 并不要求连续工作) ，在一个择优的充电周期内大致分为 三个时间段：第一个时间段要求三台设备同时工作，大电流充电；第二个时间 段内只要求两台设备工作；第三个时间段内只要求一台设备工作即可通过对 充电机理的研究，我们建立了柴电分系统可靠性统计模型，提出其可靠性评估 方法及计算方法，同时还建立了柴电分系统数值仿真模型，研究其仿真算法， 编制仿真程序并对分系统可靠性进行模拟分析在以往的研究中，设计师系统 假设柴电分系统的所有单机均服从指数分布，并认为在上述充电的第一个时 间段内，三台设备构成串联模型；在第二个时间段内，认为是2 3 ( c ) 模型； 在第三个时间段内是三台并联模型整个柴电分系统是由指数分布单机构成 的串联系统，则视该系统为指数分布对此，本文提出了充电系统的第二和第 三阶段实际是典型的贮备冗余系统最后还对装备三台柴电机组与两台柴电 机组的柴电分系统的可靠性进行了对比研究 第二，主要讨论的是广义p 值的应用研究对于双参数指数分布模型，我 们基于李新民( 2 0 0 7 ) 提出的方法给出了广义p 值f i d u c i a l 推断的统计模拟 对于非平衡单项分类随机模型，我们利用广义p 值和f i d u c i a l 推断的概念，研 究了该模型中方差分量的广义检验问题迸一步又给出了这个广义检验方法 所犯第一类错误的概率的计算方法 关键词：可靠性；充电系统；贮备冗余系统；指数分布；广义p 值；f i d u c i a l 推断；双参数指数模型；非平衡单项分类随机模型 a b s t r a c t a bs t r a c t t h et h e s i si sc o n c e r n e dw i t ht w oa s p e c t s f i r s t l y , t h er e l i a b i l i t yo faw e a p o n c h a r g i n gs y s t e mi sc o n s i d e r e d t h eb a t t e r i e so ft h i ss y s t e ma r ec h a r g e db yt h r e e d i e s e lg e n e r a t o r s t h ec h a r g i n gs y s t e mi sp e r i o d i c a l ( n o tc o n t i n u o u s ) ac y c l eo fa s i n g l ec h a r g ei n c l u d e st h r e es t e p s ：( 1 ) w i t h i nt h ef i r s ts t e p ，t h r e ee q u i p m e n t sw o r k t o g e t h e ra n dc h a r g eb a t t e r i e sw i t hh i 曲r a t e ；( 2 ) d u r i n gt h es e c o n ds t e p ，t w oo f t h r e eg e n e r a t o r sk e e po nw o r k i n g ；( 3 ) a n dw i t h i nt h el a s ts t e p ，o n eo ft w og e n e r a - t o r sc o n t i n u e st ow o r k a c c o r d i n gt ot h er e s e a r c ho nm e c h a n i s m ，s t a t i s t i c a lm o d e l o fr e l i a b i l i t yo ft h ec h a r g i n gp r o c e s si se s t a b l i s h e da n dq u a n t i t a t i v ee v a l u a t i o na n d c o m p u t a t i o nm e t h o d sa r eo b t a i n e d m e a n w h i l e ，w ea l s op r o v i d en u m e r i cs t i m u l a t i o nm o d e l ，d ot h er e s e a r c ho na l g o r i t h ma n dd e s i g np r o g r a m s i nt h ef o r m e r r e f e r e n c e s ，s o m er e s e a r c h e r sa s s u m e dt h a tt h el i f ed i s t r i b u t i o no fe v e r yd i e s e lg e n - e r a t o rw a se x p o n e n t i a l f u r t h e r m o r e ，t h e yt h o u g h t ：( 1 ) w i t h i nt h ef i r s ts t e p ，a l lo f t h ee q u i p m e n t sw e r es e r i e s ；( 2 ) d u r i n gt h es e c o n ds t e p ，t h ep r o c e s sw a sc o n s i d e r e d a s2 3 ( g ) m o d e l ；( 3 ) a n dw i t h i nt h el a s ts t e p ，t h e yw e r ep a r a l l e l 髓e ya l s op r e s e n t e dt h a tt h eo v e r a l lp r o c e s sc o n s i s t i n go ft h r e eg e n e r a t o r sw a ss e r i e s h o w e v e r , w er e a l i z et h a tt h es e c o n da n dt h i r ds t e po fc h a r g i n gp r o c e s si st y p i c a l l yr e d u n d a n c y s y s t e m s m o r e o v e r , w ec o m p a r et h es y s t e mw i t ht w oa n dt h r e eg e n e r a t o r s s e c o n d l y , w ed i s c u s st h ea p p l i c a t i o no fg e n e r a l i z e dpv a l u eb a s e do nt h ef i d u - c i a li n f e r e n c e f o rt h et w o - p a r a m e t e re x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o n ，w ei n v e s t i g a t et h e s t a t i s t i c a lp r o p e r t i e so ft h er e s u l t i n gt e s t s s o m es i m u l a t i o nr e s u l t so nt h et y p ei e l l o rp r o b a b i l i t ya r er e p o r t e d f o rt h eu n b a l a n c e do n e - w a yr a n d o mm o d e l s ，t h e p r o b l e mo fh y p o t h e s i st e s t i n gf o rv a r i a n c ec o m p o n e n t i sc o n s i d e r e d t e s ti sd e v e l o p e db a s e do nt h eg e n e r a l i z e da p p r o a c h ( g e n e r a l i z e dp v a l u ea n df i d u c i a li n f e r e n c e ) ， w h i c hi sm e n t i o n e db yx i n m i nl i ( 2 0 0 7 ) i na d d i t i o n ，t h ef r e q u e n c yp r o p e r t i e so f i i i 北京工业大学理学硕士学位论文 t h er e s u l t i n gt e s ti si n v e s t i g a t e d k e y w o r d s ：r e l i a b i l i t y ；c h a r g i n gs y s t e m ；r e d u n d a n c ys y s t e m ；e x p o n e n t i a ld i s t r i b u - t i o n ；g e n e r a l i z e dpv a l u e ；f i d u c i a li n f e r e n c e ；t w o - p a r a m e t e re x p o n e n t i a ld i s t r i b u - t i o n ；u n b a l a n c e do n e - w a yr a n d o mm o d e l 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得北京工业大学或其它 教育机构的学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做 的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意 签名： 擎啦魄芈 关于论文使用授权的说明 本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部 或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：趣i 尘i 逡导师签名： 逖喻珥毕 第1 章绪论 第1 章绪论 本章主要包括以下内容：由于柴电分系统的主要功能是给电池充电， 因此我们首先介绍充电过程的运行机理其次，在可靠性研究中双参数 指数分布有很高的应用价值，然而对于其可靠性函数的检验问题却一直 是个难解的问题，本文利用广义p 值的方法对其进行了计算模拟 1 1 柴电分充电系统概论 据初浅的了解j 柴电分系统主要由三台柴电设备，控制板，排气装 置及管路系统等组成，其主要功能是给电池充电该系统的充电功能是 周期性的( 并不要求连续工作) ，在一个择优的充电周期内大致分为三个时 间段：第一个时间段要求三台设备同时工作，大电流充电；第二个时间 段内只要求两台设备工作；第三个时间段内只要求一台设备工作即可 以往，设计师系统假设柴电分系统的所有单机均服从指数分布，并 认为在上述充电的第一个时间段内，三台设备构成串联模型；在第二个 时间段内，认为是2 3 ( c ) 模型；在第三个时间段内是三台并联模型整 个柴电分系统是由指数分布单机构成的串联系统，则视该系统为指数分 布对此，本文提出以下几点看法 首先，对柴电设备单机作指数分布的假设，在没有充分试验数据可 供进行分布类型检验的情况下，先做这一假设是可以的随着研制工作 的深入，有意识地积累数据，待以后具备条件时再确认设备的寿命分布 类型其次，在需要三台同时充电的第一个时间段内，三台设备构成串 联模型是对的，且可以证明由指数分布的单机构成的串联系统仍然是指 数分布 设有k 台其失效率分别为九( i = 1 ，2 ，k ) 的指数寿命型产品组成 一个串联系统，设系统可靠性记为见，单机的可靠性为足，则串联系统的 北京工业大学理学硕士学位论文 可靠性为 玩=警。冠 e a t e a l t e a 2 t e a 詹t = e e ：_ - xx , t 即有，系统的失效率a 。= 笔，九仍是一个常数可见构成的串联系 统仍为指数分布但是在充电的第二和第三个时间段内，该系统已不是 指数分布，也可证明由指数分布产品组成的并联系统( 或2 3 ( g ) ) 不是指 数分布记并联系统可靠性为见，单机的可靠性为r ( i = l ，2 ，七) ，系 统的失效率为a 。，单机的失效率为九( i = 1 ，2 ，七) ，则由可靠性与失效 率函数之间的关系式可知： 并联系统的可靠性忍= 1 一冬1 ( 1 一冠) d ，+ 、 并联系统的失效率k21 翥皆 为推导简便，假设上式中k = 2 ，且r 1 = r 2 = 冗，九= a ( i = 1 ，2 ) ，则： r 。= 1 一( 1 一冗) 2 = 2 r r 2 ：2 e 一她一e 一2 a 。 护器= 一2 x e - x t _ 2 ) l e - 2 x t 蝴 蓦 由上式可知，由指数分布产品组成的并联系统已不是指数分布，因为系 统的失效率九不再保持常数 由前文可知，以往常用的：在充电的第二个时间段内将三台设备视 为2 3 ( g ) 模型，以及第三个时间段内将三台设备视为并联模型的假设不 妥实际上是一个典型的贮备冗余系统在第二个充电时间段内是两台 设备工作，一台设备贮备，在第三个充电时间段内是一台设备工作，两 台设备贮备中取凫表决系统是指个单元在工作，其中有k 个或七 2 第1 章绪论 个以上单元工作正常则系统正常 ( 一1 ) 个单元( 冷、热、温) 贮备， 替，直到所有贮备单元都失效了， 型，详细在后文中叙述 1 2 广义p 值 而一般贮备系统是指一个单元工作， 其中工作单元失效了，由贮备单元接 系统才失效柴电分系统符合这种模 广义p 值是t u s i 和w e e r a h a n d i 1 1 9 8 9 年提出来的，其主要目的就是 在小样本检验中，克服在检验中冗余参数所带来的困难研究表明在一 些较复杂的情形下，传统的频率方法无法进行统计推断，而广义推断方 法能够较好地解决近些年来，有不少统计学者利用广义推断方法研究 了许多复杂问题，见文献 2 7 广义p 值还广泛应用于线性混合模型中c h i 和w e e r a h a n d i 8 , 9 把广 义p 值应用于生长曲线模型中方差分量的检验；l i n 和l e e 1 0 】把广义p 值应用于简单生长曲线模型中固定效应的检验z h o u 和m a t h e w 1 1 用广 义p 值方法研究了混合模型中的方差分量的检验问题另外，t i a n 【1 2 】把 广义p 值方法应用于医学或是生物学中几个总体共同变异系数的检验 下面我们来介绍一下广义p 值的概念在介绍之前，先给出随机单 调增的概念以及一个判别方法 定义1 2 1 1 3 设r e ：p r 是定义在实值线上的分布函数若对任 意的口 z ) v ( x z ) 3 北京工业大学理学硕士学位论文 即x 7 比x 更倾向于取更大的值，这时就称随机变量x 7 随机大于随机变 量x 定理1 2 1 【11 3 】令昂，只是两个定义在实值线上的分布函数如果存在 两个非降函数南， 和一个随机变量y ，使得：( a ) s o ( v ) ( u ) ，( b ) s o ( v ) ， ( y ) 的分布函数正好是娲，毋，则对任意的z r ，f o ( z ) f l ( z ) 如果随机变量 x o ，墨的分布函数分别是昂，r ，则墨随机大于 证明：因为对任意的u r ，s o ( v ) ( u ) ，所以 日( z ) = p ( ( y ) z ) p ( f o ( v ) z ) = f o ( z ) ，z r 证毕 从证明过程看，如果把随机变量y 改成随机向量，会有相同的结论， 只要五( u ) 的每个分量是单调不减的 随机单调减的概念与此类似，这里不再赘述有了随机单调性的概 念，可以如下定义广义p 值，这里我们主要参考了t u s i 和w e e r a h a n d i 【1 1 的研究成果 设随机变量x 的分布依赖于参数7 7 = ( 0 ，6 ) ，其中7 7 为参数空间q 上的 未知参数，0 = o ( o ) 为所关心的实值参数函数，占为冗余参数记o 为目 的参数空间，z 为x 的观测值考虑单边假设检验问题 h o ：0 o oh 皿：0 e l ， 其中e o 和e 1 分别为e 的两个互不相交的子集 定义1 2 2 对于给定值岛和观测值z ，若存在实值函数t ( z ；o o ) 满足 如下条件 ( a ) t = t ( x ；0 0 ) 的分布与冗余参数占无关； ( b ) t 关于0 随机单调( 随机单调增或随机单调减) ，即p ( t t ) 为0 的单调 - 4 第1 章绪论 函数，其中t 为t 的观测值 则称t 扛；0 0 ) 为p 的检验统计量 定义1 2 3 设c ( x ；z ) 为样本空间芏的子集，若c ( x ；z ) 满足如下条 件 ( a ) x 的观测值x 位于c ；z ) 的边界上； ( b ) c ( x ；z ) 与冗余参数6 无关； ( c ) c ( x ；x ) 的概率与7 7 无关，其中p = o o ，且满足p ( c ( x ；z ) l 口e o ) p ( c ( x ；z ) 1 9 e 1 ) 则称g ( x ；z ) 为极值域 定义1 2 4 设c ( x ；z ) 为极值域，则相应的p 值由下式所定义 p = s u p p ( c ( x ；z ) 旧e o ) 定义1 2 5 对于观测值z 和参数7 7 ，若存在实值函数t = t ( x ；z ，7 7 ) 满 足如下条件 ( a ) t 的分布与冗余参数6 无关； ( b ) t 的观测值t = t ( z ；x ，? 7 ) 与任何位置参数无关； ( c ) 对于给定的z 和6 ，t 关于口随机单调( 随机单调增或随机单调减) ，即 p ( t t ) 为口的单调函数 则称t = t ( x ；z ，叼) 为广义检验变量 事实上，定义1 2 5 中的条件( b ) 是可以略去的因为假如t 不满足此 条件，则我们可以定义t = t ；z ，叼) 一t ( z ；z ，叼) ，易见t 满足定义1 2 5 中条的件( b ) 条件( a ) 确保了基于广义检验变量所定义的p 值是可以计算 的而条件( c ) 使得这种检验方法是无偏的 特别地，在本文中我们考虑假设检验问题 h o ：p o oh1 4 1 ：护 如 5 北京工业大学理学硕士学位论文 如果广义检验变量t 关于口随机单调增，那么相应的广义p 值可以表示 为 其中t = t ( z ；z ，刀) p = p ( t ( x ；z ，叼) t i e = 6 0 ) 6 第2 章 柴电分系统的可靠性模型 第2 章柴电分系统的可靠性模型 本系统可靠性模型表达了系统与其组成单元之间的可靠性逻辑关 系，这种逻辑关系与产品的功能定义及任务时间定义等因素有关，不同 的任务时间段，可以用不同的工作模式完成不同的功能根据柴电分系 统的组成及功能要求，建模如下 2 1 系统可靠性模型 电分系统的主要任务是给蓄电池充电，而且充电是周期性的，充一 次，使用一次，每次系统充电可看作是一次成败型试验在工程实际中， 关心的是在反复充电使用中首次发生故障的概率 记：事件 蜀) 表示系统第i 次充电成功； 事件 扇 - 表示系统第i 次充电失败； 事件 最】表示系统首次发生充电故障是出现在第k 次； p 表示第i 次充电发生故障的概率 则有： 咒= e 1 易忍一1 最 所以，系统首次发生充电故障出现在第k 次的概率为 尸( 最) = p ( 蜀) p ( e 2 ) 尸( 鼠一1 ) p ( 最) = ( 1 r ) ( 1 一p 2 ) ( 1 一p k 一1 ) r 则 又设柴电分系统每次充电成功的概率均等，即只= p ，( i = 1 ，2 ，忌) ， 尸( 最) = ( 1 一p ) 七一1 p 7 - 北京工业大学理学硕士学位论文 这是几何分布的分布函数可见该系统的可靠性是成败型贝努里试 验模型 2 2 周期性充电的可靠性模型 该系统可靠性模型中涉及到的分系统每次充电成功的概率p ，也就是 每次充电的可靠性下面介绍周期性充电的可靠性模型通常情况下， 柴电分系统充电一次( 称一个周期) 包含三个时间段，由于在这三个时 间段内完成的功能和任务可能不一样，因此，其可靠性模型应分别讨论 如下 2 2 1 第一个充电时间段的充电可靠性模型 第一个充电时间段内需要大电流充电，三台柴电设备必须同时工作 显然，这三台柴电设备和控制板，排气装置，管路系统等设备构成一个 可靠性串联系统在此不再赘述 2 2 2 第二个充电时间段的充电可靠性模型 进入第二个充电时间段内，操作人员可随意地关停三台柴电设备中 的任意一台，让其中的两台设备同时工作，在两台工作的设备中如果其中 的任意一台出现故障，则人工会立即启动关停的一台，替换故障设备， 使系统仍保持两台同时工作的状态这是一个典型的贮备冗余系统，三 台设备，两台工作，一台备份，其中切换开关的可靠性假设为1 ，因为是 人工切换贮备冗余有冷，热和温贮备冷贮备是指贮备期间部件无故 障，而热贮备的部件在贮备中也可能有故障冷贮备系统见下图： - 8 第2 章柴电分系统的可靠性模型 热，温贮备本项目不涉及下面仅介绍冷贮备的可靠性模型 a 系统有一个部件工作，( k 一1 ) 个贮备 由七个部件组成的系统，其中一个部件工作，( k 一1 ) 个部件作贮备 当工作的部件故障时，贮备的部件通过切换开关逐个顶替，直到k 个部 件全部失效，系统才失效可见，该系统可靠性与切换开关有关我们讨 论切换开关完全可靠的情况假设七个相同的部件，服从失效率为入的 指数分布由概率论知识可知，失效率a 为常数的部件在( 0 ，t 的时间内 发生k 次故障的概率为泊松( p o i s s o n ) 分布其密度函数为： m ；a ，z ) = 啬( 她) 七e 以。 ( 2 1 ) 针对由k 个部件组成的冷贮备系统，工作中的一个部件一旦失效，由切 换开关完全可靠地切换到另一个贮备部件，这样逐一切换，直到k 个部 件都失效可见，该系统允许有1 次故障，( 七一1 ) 次故障，即系统发 生了“1 ，2 ，( k 一1 ) ”次故障( 也就是失效了( k 一1 ) 个部件) 仍能保持正 常工作因此，系统的可靠性兄( t ) 即为该系统在( 0 ，t 】时间内“不发生 故障”，“坏一个部件”，“坏两个部件”，直到“坏( k 一1 ) 个部件” 的概率之和 k - 1k - 1 1 u s ( t ) = 朋；a ，) + 十m 一1 ；a ，t ) = 砌；a ，t ) = 寺( 沁) n e - 魁 n = o n = 0 = e 以。 1 + a 汁寺( a ) 2 + + 面南( a 尸1 ( 2 - 2 ) 由式( 2 2 ) 可见，当七一时，式中右边的k 个求和项 熙( 1 + a t + 互1 ：( a t ) 2 + + 志- 1 ) _ 此时， 。l i mr 。( ) = e 。e 胤= 1 靠+ 9 北京工业大学理学硕士学位论文 从理论上表明，由无穷多个部件构成的冷贮备系统永远不会发生故障， 完全可靠 该系统的平均寿命m t b f , 即为构成系统的所有单个部件的寿命之 和，可以证明下式成立 m t b f o 。 o 。 r 。( t ) d t 去( v 出 = ；k 。一- 。1 i f 。( a t ) n e a 。d t = ；k 。一- 。i i i z 0 0 0 e 一2 t “d z = ；k - i 1 1 ( 一护e 一2 i 铲+ o 。0 礼e 一。矿一1 班) 暂e 1 “出 掣z 。e 飞棚出 = 三k - i 习ii n ! = x k 球 式( 2 3 ) 中为单个部件的m t b f ，且= b 系统有1 个部件s 作，( 七一1 ) 个贮备 1 0 - ( 2 3 ) “脚 l n 1 一住 脚h脚 e z 剐一入1 一几 晶脚 第2 章柴电分系统的可靠性模型 一个系统要求始终有2 个部件在工作，其中任意一个工作的部件有故 障，立即由切换开关切换到贮备部件进行替代因此，可以将z 个工作、 ( k 2 ) 个等待的系统，看成是一个失效率为( f a ) 的部件在工作，( k f ) 个部件在等待的冷贮备系统仿照( 2 3 ) 式的推导，其系统可靠性和系统 平均寿命分别为： 咒s ( ) = e 一 1 + i a + 互! ( b x ) 2 + + 刁i 兰可( f a ) 七。】 ( 2 4 ) m t b f = 灰k ( 2 5 ) 2 2 3 第三个充电时间段的充电可靠性模型 进入第三个充电时间段，三台设备随意关停了其中二台，只有一台 设备工作对此，由上述介绍可知，这也是一个冷贮备系统三台设备， 一台工作，二台备份，切换开关的可靠性也视为1 综上所述，该柴电分系统完成一次充电功能的可靠性框图示意如下： 北京工业大学理学硕士学位论文 该分系统的可靠性为 七 见= i i 忍 i = 1 2 3 系统一次充电的描述 考虑两种充电系统的设计方案：一种方案是三台发电机的充电系统； 另一种方案是两台发电机的充电系统 a 三台发电机的充电系统方案 利用三台发电机为蓄电池充电，充电过程包括以下三个阶段； 第一阶段充电：三台发电机同时工作在规定时间内，当有一台发 电机出现故障时，充电失败三台发电机同时完成无故障工作规定的时 间后，系统完成第一阶段充电，进入第二阶段充电 第二阶段充电：两台工作，一台冷贮备即完成第一阶段充电后，在 三台发电机中，随机停止一台，作为冷贮备在规定时间内，假设当工作 中的任意一台出现故障时，贮备发电机完好，贮备发电机立即去替换， 使系统继续工作，当达到规定充电时间后，系统完成第二阶段充电，进 入第三阶段充电 第三阶段充电：一台工作，两台冷贮备即完成第二阶段充电后，在 两台工作的发电机中，再随机停止一台，作为冷贮备在规定时间内， 假设两台贮备发电机都完好，当工作的一台出现故障时，贮备发电机立 即去替换，使系统继续工作，达到规定充电时间后，系统完成第三阶段 充电 系统逐步完成以上三个阶段充电，被看作一次成功充电 b 两台发电机的充电系统方案 利用两台发电机为电池充电，充电过程包括以下两个阶段： 1 2 第2 章柴电分系统的可靠性模型 第一阶段充电；两台发电机同时工作在规定时间内，当有一台发 电机出现故障时，充电失败两台发电机同时完成无故障工作规定的时 间后，系统完成第一阶段充电，进入第二阶段充电 第二阶段充电：一台工作，一台冷贮备即完成第一阶段充电后， 在两台发电机中，随机停止一台，作为冷贮备在规定时间内，假设贮 备发电机完好，当工作的一台出现故障时，贮备发电机立即去替换，使 系统继续工作，达到规定充电时间后，系统完成第二阶段充电 系统逐步完成以上两个阶段充电，被看作一次成功充电 两种设计方案的可靠性模型比较见下表2 1 2 4 系统一次充电的可靠性的计算 下文我们分别对三台和两台发电机系统一次充电的可靠性进行研 究 2 4 1 三台发电机系统一次充电可靠性 规定第一阶段充电时间为t 1 ，第二阶段充电时间为t 2 ，第三阶段充电 时间为t 3 设第一，二，三台发电机的工作寿命为墨，x 2 ，x 3 ，分别服从参 数为a 1 ，a 2 ，a 3 的指数分布，假定转换开关完全可靠下文分别给出三台 发电机系统三个阶段充电的可靠性，从而推出三台发电机系统一次充电 的可靠性 a 第一阶段充电可靠性 即三台发电机串联工作 1 3 北京工业大学理学硕士学位论文 表2 1 比较三台与两台装备( 相同装备) 系统的优劣 第一时段第二时段 第三时段 厶 串联模型2 台工作1 台储备模型1 台工作2 台储备模型 口 装 r 1 = 璃r 2 = e - 2 a t ( 1 + 2 a t )疡= e - a t 1 + a + 刍( a t ) 2 】 备 = e - 3 a t 两 厶 爿有影响，充电时间串联模型 1 台工作1 台储备模型 口 装加长，不能按时完成任务冠= 确飓= e - a t ( 1 + a t ) 备 = e - 2 a t 忍一是飓一磁 比 = e - 2 t ( 1 + 2 a ) 一e 一2 沁 = e - - a t 1 + a + 刍( 入) 2 】一e - a t ( 1 + 入) 较 = 2 a t e 一2 a t = 刍( 入) 2 e 以 0 0 结三台装备优三台装备要优于三台装备要优于 论 两台装备的方案两台装备的方案 1 4 第2 章柴电分系统的可靠性模型 第一阶段充电可靠性r 1 ( z 1 ) 为 1 4 】： r 1 ( t i ) = p 墨 以， t i ，托 t l = e - q l + a 2 + 沁) 1 b 第二阶段充电可靠性 即两台发电机串联工作，一台作冷贮备 ( 2 6 ) 设a 1 = 第i l 台发电机作冷贮备) ，a 2 = 第i 2 台发电机作冷贮备) ，a 3 = 第i 3 台发电机作冷贮备) ，由全概率公式可知，第二阶段充电可靠性为： r 2 ( t 2 ) = p a 1 ) r 似) ( 2 ) + p a 2 ) 咒( f 2 ) ( t 2 ) + p a i a 1 ( 3 ) ( t 2 ) ( 2 7 ) 其中，r ( i i ) ( t 2 ) 为第i l 台发电机作冷贮备的充电可靠性，r ( i 2 ) ( t 2 ) 为第i 2 台发电机作冷贮备的充电可靠性，r ( i a ) ( t 2 ) 为第i 3 台发电机作冷贮备的 充电可靠性， 1 ，i 2 ，t 3 互不相等且i 1 ，i 2 ，娼= l ，2 ，3 由于随机停止一台作为冷贮备，因此有 p a i 。 = p t 2 ) + p x i l t 2 ，x 2 t 2 ) + p 五1 t 2 ，x i l + x 3 t 2 ) = p x n t 2 p x 2 t 2 ) 十p x 1 t 2 p x 2 2 ) + p x i 2 t 2 p x i l t 2 = p x 1 t 2 p x i 2 屯) + p 咒1 t 2 p x 2 + 叉娼 t 2 ) 一p x i 2 t 2 ，x i 2 + x 3 t 2 ) 】 + p 五2 t 2 ) p x 1 + x 3 t 2 卜一p x n t 2 ，五1 十x i 3 t 2 ) 】 = p 五1 t 2 p x i 2 t 2 ) + p x 1 t 2 ) 【p 五2 + 叉铝 t 2 一p x i 2 + x z t 2ix i 2 t 2 p x i 2 t 2 ) 】 + p x i 2 t 2 ) p 磁1 + t 2 ) 一p 五1 + 五3 t 2i 五1 t 2 ) p x 1 t 2 ) 】 = p x 1 t 2 归 x i 2 t 2 + p 五1 t 2 ) 【p x i 2 + 叉矗 t 2 一p 五2 t 2 + p _ ( 咒2 t 2 ) p 【五1 + 咒3 亡2 ) 一p z 2 ) 】 ( 2 9 ) 由x i l ，墨3 分布可知， p 五1 t 2 ) = e 以水2( 2 1 0 ) p x 2 t 2 ) = e k ：红 ( 2 1 1 ) p _ ( 五3 t 2 = e 以小2( 2 1 2 ) 当九1 = a 2 = a i 3 = 入时， p x l + x 3 t 2 = p 五2 + 五3 t 2 = e - a t 2 ( 1 + a t 2 ) ( 2 1 3 ) 1 6 - 第2 章柴电分系统的可靠性模型 当九l = 九2 九3 时， 尸_ x l + x 3 t 2 】= p 五2 + 五3 t 2 】 ：厂佃害年( e 却订枷) 如 = ，一l p l r z z 以：如一a n r 。 r 一 = i ) s 忑3e - - a i t 2 一) 、i a - l , x 1e 山切 ( 2 1 4 ) 当a a = k 久2 时， p 五l 十五3 t 2 ) p _ x i 2 十五3 t 2 当a , 2 = a i 3 a 诅时， p x a + 五3 t 2 = p x i 2 + 五3 t 2 = 当凡1 九2 入t 3 时， e 一九m ( 1 + a i i t 2 ) f 兰c e - ) h 2 x _ _ e - a , 1 z ，如 尘! ! 户一a 2 t 2 一 尘望 p - a i l t 2 八1 一九2 。九1 一九2 。 f 。0 拽c e - , m l z _ e - a 2 x ，如 尘! ! 户一a n t 2 一 尘! p a i 2 t 2 九2 一a n 。2 一a n 。 e - a 2 t 2 ( 1 + a i 2 t 2 ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) 啦低 埘= f 蕊( e _ 址- e 一妇胁 = 鼍e - a _ i t 2 一再) s 百1 e 以跳 ( 2 - 9 ) 啪z 低 埘= f 。0 兰( e _ 妇一协 = 熹e - a i 2 l 2 一盎e 咄3 乜 江2 。， 1 7 北京工业大学理学硕士学位论文 将公式( 2 1 0 ) 一( 2 2 0 ) 代入( 2 9 ) ，整理可得 r ( i 3 ) ( t 2 ) = e - 2 a t 2 ( i 十2 a t 2 ) a 1 = 九2 = a 3 = 入 e 峨t ：+ i 2 a 百a e - a t i l 2 ( e - a i l t 2 _ e - a i z t 2 ) 九1 = 入 2 e - ( 沁l + 沁2 ) 2 2 ( 1 + a i l t 2 ) + x 芝e - a i l t 2 ( e - a + 2 t 2 _ e - a _ l t 2 ) 九，= 儿s 凡： e - ( k 1 + a 2 ) 2 ( 1 + a i 2 t 2 ) + x 五会兰天：e - a i 2 t 2 ( e 一知“2 一e 九2 幻) a t 。= a 娼九- e m n 劫幻+ 忐e - a i l t 2 ( e - - a i 2 t 2 _ e - ) t t 3 t 2 ) + 0 e - a 2 t 2 ( e - j + t t 2 _ e - x , 3 t 2 ) h 鼬z 鼬。 ( 2 2 1 ) 因此，第二阶段充电可靠性为： r 2 ( t 2 ) = r ( 1 ) ( t 2 ) + j 1r ( 2 ) ( t 2 ) + 百1r ( 3 ) ( t 2 ) ( 2 2 2 ) c 第三阶段充电可靠性 即一台工作，两台作冷贮备 1 8 第2 章柴电分系统的可靠性模型 第三酚段充电可靠性( i 3 ) 为： 当九1 = 九2 一h = 入时， 喇一地妾学 ( 2 2 3 ) 当a i i = a i 2 a 3 时， 一 溉+ 五2 1 5 】的概率密度踊数为j ，+ 溉：( z ) = 碡z e 一拇，弱的概率密 度蹑数为托。( 髫) 一, , x i 3 e - x i 3 2 ，赋麓l 墨t + 燕3 酶褫率密度函数为： ，2 托l 十墨2 + 墨3 ( z ) 一 a 轰z l e k l 霉1 a i 3 e 一 3 0 w 1 ) d z l - ，0 一畿e 一杀每p 堍善可妇， 由公式( 2 2 4 ) ，有 恁( t 3 ) = p 茂l + 置2 + 篾3 t 3 熹e - i t a z _ a i i 毋备扩k 善百w 。a 娼一( a 诏一a f l ) 2 、。 。 7 ”“ ，= e 咄慨( h 蔑 当丸l a i 2 时， 、2 t 3 ) + 鼎( e k 3 缸一e k “3 ) r 3 ( t 3 ) = 丽j 积, 入i 2 a 翮i 3 8 州3 + 气l 太2 ( 丸l a 1 3 ) ( 丸2 一a 3 ) e - - ) t i 3 t 3 1 9 九l a 3 ( 九l a 2 ) ( 入珏一a 2 ) e - 如t a ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) ( 2 。2 8 ) 北京工业大学理学硕士学位论文 因此，由公式( 2 2 3 ) 、( 2 2 5 ) 、( 2 2 6 ) 可知，第三阶段充电可靠性为： 风( t 3 ) = e 砒a ：。可( a t 3 ) k a i 。：) k 2b ：入 e 咄椭( 1 + 兰勘 、2 + 南( e 一沁3 幻一e k “3 ) 入t l2a t 2 丸3 + 兀# 安龛生弋弋e k t 3 九1 九2 九3 ( 九1 一a 论) ( 入 3 一入t 2 ) 。 化”1 ”化3 l 尘! ! ! 望 p a t 3 t 3 1 ( a 诅一入铝) ( 入t 2 一入i 3 ) 。 ( 2 2 7 ) d 三台发电机系统一次充电可靠性 由于系统逐步完成以上三个阶段充电，被看作一次成功充电因此， 由公式( 2 6 ) 、( 2 2 2 ) 、( 2 2 5 ) 可得三台发电机系统一次充电的可靠性凰( 亡o ) 为： 凰( t o ) = r i ( t i ) r 2 ( t 2 ) r a ( t 3 ) ( 2 2 8 ) 特别地，当a i = 入2 = a 3 时，三台发电机系统一次充电可靠性凰( t o ) 为： r o ( t o ) e - - 3 ) d 1 e - 2 x t 2 ( 1 蚴妫e - , x t a ( 1 + a t 3 + 学) ( 2 2 9 ) 其中，t o = t 1 + t 2 + t 3 2 0 第2 章柴电分系统的可靠性模型 2 4 2 两台发电机系统一次充电可靠性 规定第一阶段充电时间为t 4 ，第二阶段充电时间为t 5 设第一，二台发 电机的工作寿命为五，咒，分别服从参数为a l ，九的指数分布，假定转换 开关完全可靠下文分别给出两台发电机系统两个阶段充电的可靠性， 从而推出两台发电机系统一次充电的可靠性 a 第一阶段充电可靠性 即两台发电机串联工作 ，、- 一 第一阶段充电可靠性r 1 ( 以) 为： 当a l = a 2 = 入时， r 1 ( t 4 ) = p x l t 4 ，x 2 如) 三e - 2 m 4 当a 1 入2 时， ，。、- _ 一一 r i ( t 4 ) = p x i t 4 ，x 2 t 4 =e n 1 + a 2 ) “ b 第二阶段充电可靠性 即一台工作，一台作冷贮备 2 1 ( 2 3 0 ) ( 2 3 1 ) 北京工业大学理学硕士学位论文 ，、_ ， 第二阶段充电可靠性r 2 ( 5 ) 为： 当入1 = a 2 = a 时， 当入1 入2 时， ，、_ 一一 r 2 ( t 5 ) = e - a t 5 ( 1 + a 5 )( 2 3 2 ) 丽= 凼e - a x t 5 + 禹e 咄如 ( 2 3 3 ) 因此，由公式( 2 3 2 ) 、( 2 3 3 ) 可得第二阶段充电可靠性为： 珏e 喃砒拓h 2 二 - 2 2 - 第2 章柴电分系统的可靠性模型 2 5 系统k 次充电可靠性 每次系统充电都可以看作是一次贝努里试验，每次系统充电成功的 概率( 即可靠性) 为风，充电失败的概率为l 一岛( 0 r o 1 ) ，设系统充电 进行到第次才出现失败，则服从几何分布 1 6 p = k + 1 = 磁( 1 一r o ) k = 0 ，1 ，2 ， ( 2 3 7 ) 设卵表示系统成功充电的周期数，则系统成功充电k 次的概率为： p 7 7 = 七) = p 七+ 1 ) = p = 孙 i -