（运筹学与控制论专业论文）幻方的变换群.pdf

摘要 方阵a = ( 口j ) n x n ( 15 蕾j n ) 含数集n = 1 ，2 ，3 ，| 2 ) 的全部元素，若 a 中每行，每列，两条对角线之和为常值n ( 扩+ 1 ) 2 ，那么方阵a 驾( 啦j ) n 珏就 称为阶幻方本文主要研究幻方的变换及其生成的变换群，从而对阶幻方进 行分类 在前两章中，我们将建立幻方的数学模型，简述幻方变换的定义，给出三阶 幻方的变换群；在第三章中，我们给出四阶幻方的8 阶和3 2 阶变换群，并将已知 的8 8 0 种基本形式分类成2 2 0 类不同形式；接着继续研究具有特殊性质的四阶幻 方给出1 9 2 阶和3 8 4 阶变换群；在第四章中，我们将给出四阶幻方分类的一些 结论；在最后一章中，我们给出将四阶幻方分成不同形式的2 2 0 类和进一步研究 得到的9 类，它们是通过计算机直接搜索得到的 关键词：四阶幻方；基本形式；旋转；反射：变换群；分类 a b s t r a c t l e ta = ( 啦j ) n x n ( 1 i ，j n ) b ea s q u a r em a t r i x ，i n c l u d i n ga l le l e m e n t s o ft h es e t = 1 ，2 ，3 ，舻 i ft h es u m so fe v e r yr o w ，e v e r yc o l u m na n dt w o d i a g o n a l sa r ea n 犯( 铲+ 1 ) 2 ，t h e na i sc a n e dt h em a g i cs q u a r eo fo r d e rn i n t h i st h e s i s , w em a i n l yi n v e s t i g a t et h et r a n s f o r m a t i o n so ft h em a g i cs q u a r ea n d t h et r a n s f o r m a t i o ng r o u p sg e n e r a t e db yw h i c h ，f u r t h e r m o r et h em a g i cs q u a r e s c a nb ec l a s s i f i e dm a k i n gu s eo ft h et r a n s f o r m a t i o ng r o u p s i n c h a p t e r 1a n dc h a p t e r2 ，w es h a l lg i v eab r i e fi n t r o d u c t i o nf o rt h em a g i c s q u a r ea n d t h ec o n c e p to ft h et r a n s f o r m a t i o n ，a l s ot h eg r o u po ft h em a g i cs q u a r e o fo r d e rt h r e ew i l lb eg i v e n i nc h a p t e r3 , w er e p r e s e n tt h et r a n s f o r m a t i o ng r o u p s o f8a n d3 2o r d e r s ，t h e nt h ek n o w n8 8 0b a s i cf o r m sc a nb es o r t e di n t 02 2 0d i f f e r - e n tf o r m s ；f o l l o w i n gt h em a g i cs q u a r eo fo r d e rf o u rw i t hs p e c i a lp r o p e r t i e sa r e d e v e l o p e d ，a n dt h eg r o u p so f1 9 2a n d 3 8 4o r d e r sw i l lb ep r e s e n t e d ；i nc h a p t e r 4 ，w es h a l lg i v e5 0 m ec o r o l l a r i e sa b o u tt h ec l a s s i f i c a t i o no ft h em a r cs q u a r e s o fo r d e rf o u r i nt h el a s tc h a p t e r , w es h o wt h e2 2 0a n d9d i f f e r e n tf o r m sm a g i c s q u a r e so fo r d e rf o u r k e yw o r d s ：m a g i cs q u a r e o fo r d e rf o u r ；b a s i cf o r m ；r o t a t i o n ；r e f l e c t ；t h e t r a n s f o r m a t i o ng r o u p ；出嚼毋 学位论文独创性声明 本人郑重声明： 1 、坚持以“求实，创新力的科学精神从事研究工作 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构已经发表或撰 写过的研究成果。 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示了谢意 作者签名：缝显丑 开 期： 啦! 渔 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留 学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版；有权将学 位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅；有权将学 位论文的内容编入有关数据库进行检索：有权将学位论文的标题和摘要汇编出 版保密的学位论文在解密后适用本规定。 作者签名： 丛客盎盘 e l 期： 墨盒：羔： 第1 章幻方的背景 组合设计问题是组合数学的一个重要的分支，是一门研究将事物按特定要求 进行安排并讨论其性质的学问组合设计理论是一个既有古老历史渊源而又相当年 轻的数学分支它的历史可以追溯到很远，4 0 0 0 年前我国就有关于“河图洛书一 的美丽传说，其中搿洛书一就是简单的组合设计，用现在的数学符号表示出来就 是一个三阶幻方( 见下图) 这是中国人首先发现的世界上第一个幻方，它奠定了组 合学的基础 幻方在我国称为纵横图与龟背图，西方称为魔方或幻方( m a g i cs q u a r e ) ，是 由数1 ，2 ，舻排列而成的n n 方阵，方阵中每一行，每一列以及两对角线 上的n 个数之和均相等，这个和数就叫“幻方常数一或“幻和”( m a g i c 阢神对 于一个任意阶幻方，其幻方常数s 与方阵阶数n 的关系为：。= n ( n 2 + 1 ) 2 例 如3 阶的幻和为1 5 ，4 阶的幻和为3 4 ，5 阶的幻和为6 5 等 幻方最早记载于我国公元前5 0 0 年的春秋时期大戴礼中，这说明我国 人民早在2 5 0 0 年前就已经知道幻方的排列规律而在国外，公元1 3 0 年，希腊人 塞翁才第一次提到幻方欧洲最早幻方是1 5 1 4 年德国画家a l b e r c h td u r e 在他著 名铜版画“m e l e n e 静l i a 一上的4x4 幻方【1 】，有趣的是，他连创作年代( 1 5 1 4 ) 也 镶嵌在这个方阵中，而且上下左右，四个小方阵和皆为3 4 ，是欧洲最古老的幻方 ( 见下图) 三阶幻方 1 1 6321 3 51 01 18 9671 2 41 51 41 四阶幻方 第1 章幻方的背景 2 幻方已应用于“建路一、“约当曲线一、“七座桥一等的位置解析学及组合 解析学中幻方引出了拉普拉斯的导引系数和哥斯定理、格里定理、斯笃克定理， 还引出了普生、布鲁汀两氏的电子方程式电子科学已把幻方的排列路线看成是一 种理想的电子回路网图形，飞机驾驶员培训课上的就是幻方知识课，因为幻方的 构造原理与飞机上的电子回路设置密切相关幻方还可用于测量仪、通讯交换仪以 及水电、火力、航空等的管制系统，例如海上漂浮建筑，首先要解决的问题，就 是要将建筑面分割成方阵格，每格的建筑重量的确定，需要象构造幻方一样巧妙 布局，因为只要各线各方向上的重量处处均衡就不致于倾斜此外，幻方在人工智 能，图论，对策论，实验设计，工艺美术方面有着更加广泛的应用关于幻方的构 造和应用的更多知识，可参阅【2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，9 ，1 0 】 本文主要研究幻方的变换，以及由变换所生成的交换群，最终利用幻方的交 换群对幻方进行分类1 9 9 8 年北方工业大学齐东旭教授在文章【8 】中提出。按幻方 的图像置乱变换 。可以将需保密的图像置乱后，再按幻方的原理复原，这种置 乱变换可以进行多次下面建立幻方的数学模型 定义1 1 ： 设a = ( ) n x 矗( 1 l ，歹n ) 含数集n = 1 ，2 ，3 ，n 2 ) 的全部 元素 若满足 住 住nn = 啦j 墨= 口州一皇n ( n 2 + 1 ) 2 = 1 j = l i ；巧= l i = l 则称a 为阶幻方 由上述定义可以得到，一阶幻方和二阶幻方是不存在的，因此研究幻方的变 换群是从三阶幻方开始接着我们给出幻方变换的定义： 、liliiilij， m m 乱 似： 甄 盘 盘 盘 虮 眈： “ 弦： 陬 ，jj-iiii_-li-iiiil ；a 第1 章幻方的背景 3 若a = ( c i i j ) n n 的第i 行，第j 列的位置用( 主，j ) 来表示，那么n 阶幻方中 元素a i d 位置的集合就用s = ( i ，歹) ：1 i n ，l j 佗 表示 定义1 2 ：设妒是s 上的一个一一变换，a = ( a i , j ) n 曩是任意一个阶幻 方，并设= 口9 一- ( j ) 及b = ( 6 j ) n 拈若b 总是一个n 阶幻方，即满足 nnt tn - i 。j ) = i ( 1 i ，) = 叫j ) = 一- ( t , s + t - i ) - - - - - ( n 2q - 1 ) 2 i f f i l j = li = j = l 证1 则称妒是一个阶幻方变换，并记妒( a ) = b 由我们所定义的幻方变换得到的群就是幻方的变换群在下一章中。我们给出 三阶幻方的变换群及分类：在第三章中，我们将给出四阶幻方的变换群，特殊四 阶幻方的变换群；第四章中给出关于四阶幻方分类的一些结论：第五章附录2 2 0 类四阶幻方，和特殊四阶幻方的代表类，它们是通过计算机直接搜索得到 第2 章三阶幻方的变换群 南宋杨辉在十三世纪对三阶幻方提出了科学的构造方法【3 1 ，我们可以通过代 数方法探讨来证明三阶幻方也只有这一种构造方法 设三阶幻方各格中应填之数如图，则按三阶幻方的要求可以排出下列各式 口1 。1 n l 。2g 1 。3 眈。1o 2 。20 2 。3 0 , 3 ，1a 3 ，2 口3 3 横行三式： g 1 ，14 - g 1 2 + a 1 3 = 1 5 o 2 。1 + o 2 , 2 + g 2 。32 1 5 a s 。14 - a 3 ，24 - 口3 ，3 = 1 5 纵行三式： g , 1 14 - 8 2 1 + 口3 。1 1 5 0 - 1 , 2 + a 2 , 2 + 咄2 = 1 , 5 a l , s 4 - g 3 1 + 口3 。3 毒1 5 对角线二式： ( 1 ) 十字线的横行( 2 ) ( 3 ) 十字线的纵列( 5 ) ( 6 ) g 1 。1 - i - o , 2 ，2 + a 3 3 = 1 5 ( 7 ) 口1 + o , 2 2 + g 3 ，1 = 1 5 ( 8 ) 将十字线上二式和对角线上二式相加( 此四式中皆有o , 2 2 ) ： ( o , 2 。l + n 2 ，2 + 口2 3 ) + ( 口1 2 + 勉。2 + 幻，2 ) + ( d 1 ，l + 0 2 ，2 + d 3 3 ) + ( 口1 ，3 + 口2 。2 + a 3 ，3 ) = 4 1 5 口l 。1 - i - a l , 24 - 0 , 1 34 - a 2 。14 - 4 a 2 , 2 + 锄，3 + o , 3 ，1 + a 3 ，2 + 0 , 3 3 = 4 1 5 ( 9 ) 横行三式相加： ( 口1 1 + a l , 2 + a 1 3 ) + ( a 2 , 1 + 口2 | 2 + a 2 。3 ) + ( 口3 。1 + a 3 , 2 + 口3 3 ) = 3 1 5 ( 1 0 ) 4 笙兰耋三堕望查箜奎换登一 5 式( 9 ) 一( 1 0 ) 得： 3 a 2 2 = 1 5 0 , 2 , 2 = 5 a 2 , 2 值分别代入( 7 ) ，( 5 ) ，( 8 ) ，( 2 ) 得： 0 , 1 。1 + d 3 3 = 1 0 g 1 , 2 + a 3 , 2 皇1 0 0 , 1 。3 + 口3 。l = 1 0 口2 。1 + 口2 1 3 = 1 0 分析式( 1 2 ) 一( 1 5 ) 可知： ( 1 1 ) ( 1 2 ) ( 1 3 ) ( 1 4 ) ( 1 5 ) ( 1 1 1 ，口3 1 3 的值必同奇偶性； o l 2 g 3 。2 的值必同奇偶性； a l , s 。口3 1 的值必同奇偶性： 口2 t l ，o 2 , 3 的值必同奇偶性； 各数的奇偶性可由以下计算推知 式( 1 ) + ( 4 ) 0 , 1 。1 + 口1 。2 + a 1 3 ) + ( 0 1 1 + 口2 。l + 幻。1 ) = 3 0 2 口1 1 1 + 0 , 1 。2 + 0 2 。1 = 3 0 一( a l 。3 + 0 , 3 ，1 ) 。 2 a l ，1 + 口l 。2 + a 2 1 ；2 0 ( 1 6 ) 式( 1 6 ) 的和数2 0 为偶数，而2 口1 。l 又必为偶数故可推知口l ，2 ，a 2 。l 必同奇偶 性，而与a l , 2 锄，l 对称的幻，2 ，口2 。3 也必同奇偶性，另外四个数g l 。1 口1 。3 ，奶1 ， 口3 3 也必同奇偶性而式( 4 ) a 1 1 + 砚，l + a a ，l 1 5 式中的口1 ，1 + 口3 。l 的和必为偶 数，( 因g 1 。l ，口3 。l 同奇偶性) ，从而可推知a 2 i 必为奇数，口l 。2 ，锄3 ，c 1 1 3 。2 亦必为 奇数；另四个数( 四角上的数) 口i 。l ，口1 1 3 ，口3 。l ，口3 ，3 必同为偶数 口1 1 的值可为2 ，4 ，6 ，8 中的任一数 设 则 0 , 1 。1 - 2 口3 1 3 - - 8 ( 1 7 ) ( 1 8 ) 第2 章三阶幻方的变换群6 = i,i ii = = 皇= = 詈詈皇芒! = 篁= = = 皇皇 另二角 口1 ，3 = 4 或6 ( 假定为4 ) ( 1 9 ) 口31=6(20) 将口1 。1 ，口1 鼻值代入式( 1 ) 求a l , 2 值 口l 。l + a 1 2 + d 1 3 = 1 5 ( 2 0 ) 2 + 口1 2 + 4 = 1 5 a l , 2 - - 9( 2 1 ) 对边口32=1(22) 将口l 。i ，口3 ，1 值代入式( 4 ) 求o 2 。1 值 口l 。1 + 勉，1 + 口3 1 = 1 5 2 + o 2 1 + 6 = 1 5 勉。1 = 7 ( 2 3 ) 对边o2,3=3(24) 至于口l 。l = 4 ，6 ，8 的算法略通过讨论，三阶幻方共有下面8 种不同形式： 如 a 5凡 考虑下列变换：a 1 在平面上绕中心o 2 2 旋转0 0 ，9 0 d ，1 8 0 0 ，2 7 0 0 可以获得 a l ，如，凡，凡) ：再绕四条对称轴翻转可以得到 a ，a 6 ，a 7 ，凡 定理2 1 ：三阶幻方共有8 种不同形式，在8 阶变换群作用下，只有一种基 本形式 第3 章四阶幻方的变换群 在这一章中，我们先解决了四阶幻方的8 阶和3 2 阶变换群，把已有8 8 0 个基 础形式的四阶幻方分成2 2 0 类；接着研究了具有特殊性质的四阶幻方的变换群 3 1四阶幻方的8 阶变换群和3 2 阶变换群 假设a = ( 口j ) 4 4 是一个四阶幻方，船( ( 主，歹) ：1 i 4 ，1 j f 4 ，是四阶幻 方中元素啦j 位置的集合 定义3 1 ： 设妒是s 上的一个一一变换，a = ( 口j ) 4 是任意一个四阶幻方， 并设坟j = 一1 ( j 及b = ( b i d ) 4 若b 总是一个四阶幻方，j , l a 你妒是一个四阶幻 方变换，并记v ( a ) = b 定义3 2 ： ( 1 ) 以r 表示绕四阶方阵a 皇( 氐j ) 的中心沿反时针旋转警 得到变换，则这个方阵的所有旋转都可以表成一o = 1 ，2 ，3 ，4 ) 的形式。即 7 ( 歹) = ( ( 1 4 ) ( 2 3 ) g ) ，1 ) ，1 i 一1 “，歹) = g ，( 1 4 ) ( 2 3 ) g ) ) ( 2 ) 以仃表示四阶方阵以主对角线为对称轴所作翻转变换，即仃( 蟊j ) = u ，t ) 引理3 3 ：四阶幻方中的元素满足如下关系： 口l 。1 + a l 。4 + 钆l + a 4 4 = 3 4 o 2 。2 + 口2 3 + 口3 2 + 口3 。3 = 3 4 证明：根据四阶幻方定义可得如下的等式： ( 0 , 1 ，l + 口2 。1 + 口3 t 1 + 1 4 ，1 ) + ( 口l 。4 + 口2 。4 + 0 , 3 , 4 + a 4 , 4 ) = 3 4 + 3 4 = 6 8 ( a l 。1 + 1 1 1 , 4 + 1 + 啦，4 ) + ( l + 口3 ，1 + o 2 , 4 + 口3 。4 ) = 3 4 + 3 4 = 6 8 可以得到：口1 1 + 0 1 + n 4 。1 + 钒。4 = 6 8 一o 2 。1 一二岫1 一口2 ，4 一口3 ，4 ； 第3 章四阶幻方的变换群8 ( a 2 。2 + 0 2 ，3 + a 3 。2 + n 3 3 ) + ( n 2 1 + 嬲，1 + a 2 。4 + n 3 ，4 ) = 3 4 + 3 4 = 6 8 可以得到：o 2 。2 + 口2 3 + g 3 。2 + g 3 。3 = 6 8 一o 2 ，l c 1 3 ，1 一口2 。4 0 3 , 4 ； 因此得到： g 1 ，1 + g 1 。4 + a 4 , 1 + a 4 , 4 = a 2 2 + a 2 3 + g 3 ，2 + t z 3 ，3 ； 根据两条主对角线：1 2 1 。1 + o , 2 ，2 + 口3 3 + g 4 , 4 = 3 4 ， 口l ，4 + 锄。3 + g 3 ，2 + 0 1 4 = 3 4 从而结论成立 引理3 4 ：矿和f 是两个四阶幻方的变换 证明：设a = ( 毗j ) 4 4 是任一个四阶幻方，对a 分别进行矿和r 变换，则有： a l 。1d 1 。20 , 1 。3 a 1 4 c 1 2 1 o , 2 2g 2 ，3 a 2 。4 a 3 。1 ( 2 3 ，2 口3 。3 ( z 3 。4 口4 。1 d 4 2 口4 。3 2 4 ，4 口l 。1q 1 。2口1 。3a l , 4 c 1 2 1o , 2 ，2口2 。3o , 2 , 4 a 3 。1a 3 。2口3 。3a 3 , 4 1 z 4 。2 g 4 。3口4 。4 n l ，1口2 1口3 。1口4 1 口1 ，2n 2 ，2a 3 20 , 4 2 g 1 3o , 2 3g 3 ，3 0 4 3 0 1 40 2 4 幻4 0 4 4 d l ，4口2 。4口3 4瓯。4 g 1 3a 2 3铂。3口4 。3 a l , 2a 2 。2g 3 。2口4 。2 e l l ，1a 2 ，1 g 3 1锄。1 由引理3 3 知，盯( 4 ) 和r ( a ) 是两个四阶幻方，因此矿和1 是两个四阶幻方 的变换 引理3 5 ：假设日是由，t 生成的群那么口，r 有下面关系式： 矿= 一= r 口r 口= e 从而进一步有日为8 阶群 证明：因为盯( 主，j ) = ( 歹，主) ，沪( j c ，j ) = u ，t ) ，即0 , 22 e r ( 暮，j f ) = ( ( 1 4 ) ( 2 3 ) ) ，i ) ，户= ( c 1 4 ) ( 2 3 ) ( i ) ，( 1 4 ) ( 2 3 ) 0 ) ) ，7 3 = 0 ，( 1 4 ) ( 2 3 ) 0 ) ) ， 一= ( 毛歹) - 即一= e 第3 章四阶幻方的变换群 9 又由条件：，r 是生成元，通过变换作用可以得出： 7 矿r = e ，仃丁= 7 一1 盯，r 盯= 盯r l 故而日= e ，l 7 2 ，7 3 ，眠盯一，盯户) = e ，吼r ，r 2 ，一，碱7 2 0 - ，丁3 仃 其中卯= r 一1 盯= 一口；竹w o - , - 一1 = 叮丁3 ： 1 2 0 = 一 这就证明了1 日i = 8 ，生成元素盯，r 同时满足如上所述的关系显然日是在四 阶幻方上的一个交换群 引理3 6 ： 【1 1 1 不同形式的四阶幻方共有7 0 4 0 个 引理3 7 ： 【1 1 】在变换群日的作用下，四阶幻方有8 8 0 个基本形式 通过仔细研究我们发现了下面两个四阶幻方的变换 定义3 8 ：s 上的两个一一变换妒和妒： ( i ，歹) = ( ( 1 4 ) ( t ) ，( 1 4 ) ( 歹) ) ， 妒( 蟊歹) = ( ( 1 3 ) ( 2 4 ) ( i ) ，( 1 3 ) ( 2 4 ) u ) ) 引理3 9 ： 咖和矽是四阶幻方的两个变换 证明：设a = ( 啦j ) t x 是任一个四阶幻方，对a 进行多和妒变换，则有： a l 。1 a 1 。2 o 1 ，3 o , 1 ，4 0 2 ，10 , 2 2 锄。3a 2 , 4 a 3 ，1g 3 。20 , 3 。3 口3 。4 口4 。1 a 4 。2a 4 , 3a 4 , 4 a l 。1a 1 。2a 1 5 a l ，4 口2 。1a 2 ，2 口2 - 3a 2 ，4 9 3 ，1a 3 2口3 。3a 3 , 4 a 4 , 1a 4 , 2 口4 - 3a 4 。4 a 4 ，4a 4 , 2a 4 , 3a 4 。1 0 2 。4a 2 。2 口2 3 a 2 ，1 口3 4 a 3 ，2 口3 3 0 , 3 ，1 a l , 4口1 1 2a l ，3a l ，1 口3 。3o 3 40 , 3 ，1a 3 , 2 a 4 ，3a 4 ，40 , 4 ，1a 4 。2 ( z l 。3o , 1 4 o , 1 ，1 a , 1 。2 眈，3o 2 ，4a 2 ，1o 2 。2 第3 章四阶幻方的变换群1 0 可见( a ) 和妒( a ) 皆为四阶幻方，多和妒是四阶幻方的两令变换，因此结论 得证 下面证明变换o r 。下，和矽生成了3 2 阶变换群 定理3 1 ：假设是由盯。r 矽扣矽生成的群那么有下面关系式： 仃2 = 一= 扩却2 = e 矿 = i - - 1 0 ，口妒= 如，仃妒= 妒盯。 r = 打，砷= 妒，w = 丁2 鲫 从而进一步有为3 2 阶群 证明：首先将矿，r ，和矽作用于四阶幻方进行变换，则有下列的关系式： 仃2 = 一= 扩= 矽2 = e 口下= t - - l ( y ，盯= 西盯，仃= 1 汐盯， r 多= 衍，f 妒= 订，妒多= 7 2 矽 。 由于是口， ，妒和矽生成的群，分别将，妒，鲫遍历日，可得如下陪 集： 妒日= 协如。帆妒2 。矿，如l 如一，如户) 日= ，盯，r ，r 2 ，一妒，盯1 ，盯一咖，盯一) 接着根据上面的关系式：如= 仃妒；妒= 7 可以得出结果： 户= 一，爹r 3 = r 3 妒，( 仃丁) 荨叮妒= ( 盯1 ) ， ( 仃7 1 2 ) = = ( 仃咖) r 2 = 仃r q 汀= ( a r 。r 2 ) 这样便证得日中的每个元素在日中都可以找到唯一一个元素与之对应， 所以咖日= 脚 同理可证得妒日= 聊= ，妒吼饥妒一，1 沙户，妒矽一，如r 3 ) 我们已得到日的两个陪集：妒日，妒日，并且日1 3 移日= 历 我们再考虑鲫日与日抛的情况： 第3 章四阶幻方的变换群 1 1 摊日= 鲫，鲫矿，御r ，幼2 ，鲫一，舭l 鲫盯一，御叮一) 日鲫= 鲫，仃钟，丁御，r 2 鲫，一钟，吖撕，仃一鲫，仃户伽 又因为下列关系式： 妒矿= 砷，( 摊) 矿= q i i 啦； 如= 仃，咖盯妒= 盯( 鲫) ； ( 矽) 盯- r 口( 妒) 利用相同的等价关系，我们可以得到更多的变换关系式； ( 鲫) r = 丁( ，( 坤) r 2 = t 2 ( 鲫) ，( 鲫) 声名声( 摊) ， ( 鲫) 盯r = 口r ( 御) ，( 御) 叮户= 仃r 2 ( 鲫) ，( 御) 盯一= 矿一( 钟) 简单验证可以得到： 妒日= 日矽= 妒爹，妒如，妒帆妒痧r 2 ，妒痧r 3 ，妒如r ，妒西7 户，1 9 c ，西盯一 所以御日中的每个元素与日御中的元素一一对应相等，即钟日= 日却 显然日，日，妒日，伽日两两不相交并且由关系可知日没有其它的陪 集，这就是说，n = 日u 妒日u 矽日u 摊- 为3 2 阶群 下面我们来证明四阶幻方的3 2 阶变换群是唯一的，也就是不存在其它满足四 阶幻方性质的变换假设1 ，j 4 ，1 吣s1 6 ，那么四阶幻方的行，列，对 角线可以有如下的表示： 行：厶1 皇 口i 1 ，吣2 ，锄。3 ，q 一) ，令厶l = ( 厶，l ； 列：= 口l j ，a 2 j ，a a j ，吼j ) ，令如= 岛j ) ； 对角线( 左) ：上，3 = t 口1 1 ，a 2 ，2 ，a 3 ，3 ，c 1 4 i ) ； 对角线( 右) g 厶篁 ； 当6 l ，1 = 口3 3 时，6 2 2 ；q - | 6 3 。3 = 0 , 1 ，1 ，6 4 i = 锄2 或者 6 2 。2 = 口l ，1 ，6 3 3 = 口哇一，b 4 ，4 = o a ，2 ，此时在变换群中对应着变换 妒，鲫 ； 当b t ，1 = 钆4 时，6 2 ，2 = n 2 t 2 ，6 3 3 = o s ，3 ，“，4 = 0 - 1 1 或者 6 2 2 = 幻3 ，6 3 3 = n 2 ，2 ，b 4 ，4 = 0 , 1 1 ，此时在变换群中对应着变换 咖，丁2 因此通过对角线元素讨论，可以得到情形( 1 ) 对应着8 种变换同理，情形 ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) 也各有8 种不同的元素变换并且这些元素变换在中都有唯一一个四阶 幻方变换与之相对应综合上所述，3 2 阶变换群是唯一的 定理3 2 ：在变换群作用下，四阶幻方分成2 2 0 个不同形式的类( 详见附 录a ) 3 2 特殊的四阶幻方的变换群 在这一节中，我们将解决满足特殊条件的四阶幻方的变换群，对2 2 0 个不同 形式的四阶幻方进一步分类 定义3 1 0 ：假设g = ( q j ) 4 x 4 是一个四阶幻方，若诸元素c d 满足下面性质： e t , a + c 3 。l + c a , 4 + c 4 , 2 = 3 4 c 1 2 + e a 1 + c 3 , 4 + e 4 a ；3 4 则称g = ( q j ) 叙是特殊四阶幻方 推论3 n ：假设c = ( q j ) j 4 是特殊四阶幻方，那么满足如下关系： c 1 1 + c 1 ，2 + c 2 。1 + c 2 2 = 3 4 ， c 3 。l + c 3 。2 + c 4 。i + 龟，2 = 3 4 兔，3 + c 1 4 + c 2 。3 + 国。i 暑3 4 c 3 3 + c 3 4 + c t ，3 + c t 4 = 3 4 证明：根据四阶幻方的定义，直接可以得到如下等式： ( c l 。l + c l , 2 + c 1 3 + c 1 , 4 ) + ( c 2 。1 + e 2 , 2 + c 2 ，3 + c 2 。4 ) = 3 4 + 3 4 = 6 8 ， ( c l 。l + c | 2 。1 + c 3 。l + c 4 。1 ) + ( c 1 2 + c 2 2 + c 3 2 + c 4 。2 ) = 3 4 + 3 4 = 6 8 ； 将上面两个等式变形得到： c l 。l + c l ，2 + c 2 。l + c 2 。2 = 6 8 一c 1 3 一c 1 , 4 一饧，3 一c 2 4 ， c l 。i + c 1 。2 + 您。l + 饧。2 = 6 8 一c 甄l c t 。1 一铅，2 一c t 。2 ； 2 ( c i 1 + c 1 ，2 + c 2 。l + c 2 ，2 ) 薯6 8 2 一e l , 3 - - c 1 ，4 一c 2 ，3 一c 2 t c 3 1 一c 4 1 一c 3 ，2 一c 4 ，2 ， 而已知等式：c 1 3 + 饧。4 + c 3 ，l + c 4 t 2 = 3 4 6 l ，4 + c 2 3 + c 3 ，2 + c 4 ，1 = 3 4 ； 所以就有：c l ，l + c l ，2 + c 2 ，l + c 2 2 = 3 4 ，还有三个等式同理可以证明 推论3 1 2 ：假设c = ( c j ) 4 4 是特殊四阶幻方，那么满足如下关系： c l ，l + c l ，3 + 铅，l + c 3 3 = 3 4 c 1 ，2 + c l + c 3 ，3 + c 3 = 3 4 c 2 。1 + 饧，3 + c t ，l + 郇= 3 4c 2 ，2 + c 2 4 + c 4 ，2 + c t 4 = 3 4 证明：根据定义3 1 ，定义3 1 0 可以得到下列等式： ( c l ，l + c l ，2 + c l 。3 + c l - 4 ) + ( c 3 。l + c 3 2 + c 3 ，3 + c 3 4 ) = 3 4 + 3 4 = 6 8 ， ( c l ，l + c 2 。l + c 3 。1 + 瓯。1 ) + ( c 1 3 + c 2 ，3 + c 3 ，3 + e 4 , 3 ) = 3 4 + 3 4 = 6 8 ； 将上面两个等式变形可以得到： 第3 章四阶幻方的变换群 1 4 c l 。1 + c l t 3 + c 3 1 + c 3 1 326 8 一c l 。2 一c l 。4 一c 3 ，2 一c 3 , 4 ， c l 。1 + c l , 3 - i - c 3 1 + c 3 3 = 6 8 一c 2 。1 一c 4 。1 一饧3 一c ，3 2 ( c 1 1 + c 1 ，3 + c 3 1 + c 3 。3 ) = 6 8 2 - - c l 。2 - - c l ，| i c 3 。2 - c s 。4 一c 2 。1 一c t 。i c 2 3 一c 4 , 3 ， 而已知等式：c l ，2 + c 2 1 + c 4 - 3 + c 3 。4 = 3 4c l ，4 + c 2 3 - i c 3 , 2 + 龟，1 = 3 4 ； 即得：c 1 1 + c 1 3 + c 3 1 + c 3 ，3 = 3 4 ，还有三个等式同理可证 定义3 1 3 ：s 上的一个一一变换p ： p ( t ，歹) = ( ( 1 2 3 ) ( i ) ，( 1 2 3 ) ( j ) ) 引理3 1 4 ： p 是特殊四阶幻方的变换 证明：设c = ( 龟j ) 4 4 是一个特殊四阶幻方，c 经过p 变换后，则有： c 1 1c 1 2c l 。3 c l 。4 c 2 , 1 c 2 2 c 2 。3 c 2 4 c 3 ，1c 3 。2c 3 ，3c 3 ，4 c 4 。1 c 4 。2c ：哇。3c 4 。4 c 3 - 3c 3 。1c 3 。2c 3 ，4 c 1 3c l ，1c 1 ，2 c 1 4 c 2 - 3c 2 。1c 2 。2c 2 ，4 c 4 。3 c 4 。1c 4 2 c 4 ，4 所得到的四阶方阵肛( c ) 的每行每列仍然是c 的列和行，只是元素的顺序排 列不同，所以p ( c ) 的每行每列之和为3 4 现在来考虑两条主对角线的情况： c 3 。3 + 饧- 2 + c 1 1 + c t 4 = 3 4 ( 在c 中仍然是一条主对角线) c 3 4 + 饧，3 + c 1 ，2 + c t ，3 = 3 4 ( 利用c 所具有的特殊性质) 可见p ( c ) 是一个四阶幻方再来考虑p ( c ) 中的元素是否满足特殊条件： c l l 3 + c 3 1 + c 2 。+ c ；t 2 = 3 4 ( 利用c 所具有的特殊性质) c 1 4 + 饧，3 + c 3 。2 + c t 。l = 3 4 ( 在c 中仍然是一条主对角线) 综上所述，p ( c ) 是一个特殊四阶幻方，因此弘是特殊四阶幻方的交换 第3 章四阶幻方的交换群 1 5 通过计算机的搜索，由引理3 1 4 ，2 2 0 个不同类的四阶幻方分成两类：第一 类为1 0 8 个( 见附录a ) ，具有特殊的性质，经过p 变换后仍然保持特殊性质；第 二类为1 1 2 个( 见附录a ) ，不具有特殊的性质那么我们解决第一类具有特殊性质 的四阶幻方的变换群，并利用变换群对特殊四阶幻方继续分类 定理3 3 - 假设m 是由口，r ，妒争p 生成的群，那么有下面的关系： a r 2 = 7 - 4 = 护= 妒2 = e 伊r = 1 i l 矿，盯妒= 如，盯= 妒口， 丁= 似，哪= 伽，伽= r 2 伽。 - r 垆p 下母。下岬= o 恤。洚蛐译t 舻妒t 矿a t ，印= o l l 弘妒鲫妒 进一步有m 为1 9 2 阶群 证明：根据引理3 5 ，定理3 1 直接得到变换关系： 2 = , - 4 = 扩= 俨= e 矿r = 1 - 1 0 - ，矿妒= 咖叮，口咖= 妒仃， 1 爹= 妒，下妒= 妒7 i ，矽= t 2 矽，p = 仃p 对称群& 中的元素相互作用得到的轮换关系有：( 1 4 ) ( 2 3 ) ( 1 3 2 ) = ( 1 3 2 ) ( 1 3 ) ( 2 4 ) ， 0 3 ) ( 2 4 ) ( 1 2 3 ) = ( 1 2 3 ) 0 4 ) ( 2 3 ) ，( 1 4 ) ( 2 3 ) ( 1 2 3 ) = ( 1 2 3 ) ( 1 3 ) ( 2 4 ) ( 1 4 ) ( 2 3 ) 根据上面的轮换关系，可以得到变换：t l z = 矿r 矿c r t 。7 。p = 弘举一， 一矿= 矿妒p 咖= 痧矽矿，妒= 2 ，妒p 2 = p 2 咖2 我们可以分情况讨论遍历的变换： ( 1 ) 将p ，矿，邵，分别历遍，得到的四个陪集p ，矿n ，r p n ，叩2 n ， 并且p n 矿n 邵n 叩2 n = a ( 力由上面的关系式可以得到产p p ，一p r p n ，妒p p ；又因为 p 妒= 鲫矿，通过变换得缸= 矿似，即缸矿；再连续变换有鲫舻矿摊7 2 ， 即伽p 矿：故而户p ，r 3 p ，妒芦，舢，御肛均不能作用于 第3 章四阶幻方的变换群1 6 ( 3 ) 同理产p 2 = p 2 妒，户弘2 = 丁弘2 妒，妒矿= p 2 n ，舡2 = p 如打2 ，妒矿= 弘，故而r 2 p 2 ，一矿，妒矿，仰矿均不能作用于 嗡电子f 协= p t p a r l 旷p = t p 们司知町恤f pn ；p t p f t ； 故而朋，矿矿不能作用于而变换a r j 2 ，叫r p 2 ，加矿，咖妒，鲫在 集合 弘 弘2 印邵2 中皆有相应的元素与之一一对应，那么只有弘华2 继 续可以作用于通过以上的讨论，只有五个陪集代表元可以遍历因此的 左陪集分别是：n ，弘，a 2 n ，r # n ，似2 n ，# r # 2 n 且两两不相交 最后将p ，( 弘2 ) ，) ，( 邵2 ) ，w ) - 1 右作用于得到了五个右 陪集，根据拉格朗日定理有： m = u 弘u 矿u r p u u 弘r 矿： m = u 批u 批2 u 批2 r 3 u n r 3 u 批r 3 p 2 这就是说，m = n u p u 矿n u r # n u r 卫2 n u u r u 2 n 为1 9 2 阶群 定理3 4 ：在变换群m 的作用下，第一类特殊四阶幻方可以分成1 8 个不同 形式的类( 见附录b ) 我们结合定义3 1 0 ，推论3 。1 1 ，推论3 1 2 可以得到新的变换： 定义3 1 5 s 上的一个一一变换： ( 1 ，1 ) _ ( 1 ，1 ) ，( 1 ，2 ) _ ( 1 ，2 ) ，( 1 ，3 ) _ ( 2 ，1 ) ，( 1 ，4 ) 一( 2 ，2 ) ( 2 ，1 ) _ ( 1 ，3 ) ，( 2 ，2 ) 一( 1 ，4 ) ，( 2 ，3 ) 叶( 2 ，3 ) ，( 2 ，4 ) _ ( 2 ，4 ) ( 3 ，1 ) 一( 3 ，1 ) ，( 3 ，2 ) _ ( 3 ，2 ) ，( 3 ，3 ) _ ( 4 ，1 ) ，( 3 ，4 ) _ ( 4 ，2 ) ( 4 ，1 ) _ ( 3 ，3 ) - ( 4 ，2 ) _ ( 3 ，4 ) ，( 4 ，3 ) 叶( 4 ，3 ) ，( 4 ，4 ) 一( 4 ，4 ) 引理3 1 &f 是特殊四阶幻方的变换 证明：设良( c ；j ) 4 x 4 是一个特殊四阶幻方，c 经过专变换后，则有： 第3 章四阶幻方的变换群 1 7 c l 。1 c 1 2c 1 3 c 1 。4 c 2 。1c 2 。2 c 2 3 c 2 ，4 c 3 。1c 3 。2 c 3 3c 3 ，4 c t 1c 4 。2c 4 - 3 c 4 ，4 c l ，lc i , 2 0 2 ：1 c 2 2 c 1 3c 1 4c 2 ，3c 2 。4 c 3 。1c 3 。2 c 4 ，1 c t 。2 c 3 3 c 3 , 4 c 4 。3c 4 。4 所得到的四阶方阵专( q 的四行，根据推论3 1 1 ，可以得知每行之和为3 4 ： 四阶方阵车( g ) 的四列根据推论3 1 2 ，每列之和为3 4 现在来考虑两条对角线的情 况： c 1 1 + c 1 一+ q l + c t 一；3 4 ( 根据引理3 3 可得到) c 2 2 + c 2 。3 + c 3 2 + c 3 3 = 3 4 ( 根据引理3 3 可得到) 可见( g ) 是一个四阶幻方再来考虑f ( c ) 中的元素是否满足特殊条件： c l , 2 + c l , 3 - i - c 2 - i - q ，3 = 3 4 ( 根据引理3 3 可以得到) c 2 1 + c 2 , 4 + c 3 1 + c 3 4 3 4 ( 根据引理3 3 可以得到) 综上所述，( d ) 是一个特殊四阶幻方，因此f 是特殊四阶幻方的变换 有： 推论3 1 7 ：假设m 中任意一个一一变换妒，那么必= f 妒 证明：设o - - - - ( c i , j ) 4 x - 是一个特殊四阶幻方，c 分别进行伏和专妒变换，则 c 1 ，1 c l 。2c 1 3c l ，4 c 2 。lc 2 2e 2 3c 2 4 c | 3 。1 c 3 ，2 c ；3 3c ；3 。4 c 4 1 c 4 。2c 4 3c 4 , 4 一1 ( 1 1 ) 一1 【l 。2 )勺一1 ( 2 1 )( 一1 ( 2 2 ) 邻一1 ( 1 3 )邻一1 ( 1 。)勺一1 ( 2 。3 ) c 一1 ( 2 ) 邻一1 ( 3 。1 )勺一1 ( 3 ，2 )勺一1 “。1 )一1 ( i 2 ) 勺一1 ( 3 3 )勺一1 ( 3 )勺一1 “。3 )。1 ( | ) 第3 章四阶幻方的变换群 1 8 c 1 。1c i ，2c i ，3 c 1 4 c 2 ，1c 1 2 。2c 2 。3c 2 。4 c 3 ic a 2c 3 。3c 3 。4 c 4 i c 4 。2c 4 。