（运筹学与控制论专业论文）插值法在ct图像重建中的应用.pdf

i ，； l 、j 、 l，。| i1，1l-ljl叠，曩1， at h e s i si no p e r a t i o n a lr e s e a r c ha n dc y b e r n e t i c s a p p l i c a t i o no fi n t e r p o l a t i o ni nc t t o m o g r a p h y r e c o n s t r u c t i o n b yy uo i n g k u n s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o ry a n gd o n g m e i n o r t h e a s t e r nu n i v e r s i t y j u l y2 0 0 8 一f卜o” ： 嘎 ( j ， 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的。论文中取得的 研究成果除加以标注和致谢的地方外，不包含其他人已经发表或撰写过的 研究成果，也不包括本人为获得其他学位而使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示诚挚 的谢意。 学位论文作者签名： 签字日期： 学位论文版权使用授权书 青磊吖 卅辛伺杉宣 本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学位论 文的规定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和 磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人同意东北大学可以将学位论文的全部 或部分内容编入有关数据库进行检索、交流。 作者和导师同意网上交流的时间为作者获得学位后： 半年口一年口一年半口两年口 物吁 鹈 一篇 如耐 名 耳 戳 姆 者 j 懈 日 文 z 触 字 位 基 削 签 东北大学硕士学位论文 摘要 插值法在c t 图像重建中的应用 摘要 c t ( c o m p u t e dt o m o g r a p h yx 射线计算机断层摄影术) 自问世以来得到了越来越广泛 的应用。c t 的广泛应用反过来又推动了对它的研究，使它得到进一步的发展。在过去3 0 年的发展过程中，它基本上经历了五次大的变革。c t 的这些发展变化主要体现在两个方 面，一是提高扫描速度，二是改善图像的质量。 r a d o n 于1 9 1 7 年提出了著名的r a d o n 变换，然而，直到计算机出现以后才实现了傅里 叶变换及卷积的快速计算，这一成果才引起人们足够的注意。r a d o n 变换理论现在已经 成为c t 重建技术的重要基础，这一技术不仅可以应用于医学成像，也同样适用于远程成 像等许多图象处理学科。迄今为止，人们已经开发出基于r a d o n 变换的多种比较成熟的 重建算法。 本文首先介绍了反傅里叶变换重建，然后研究了二维平行束滤波反投影和扇束滤波 反投影重建，最后介绍了局部凸组合插值重建方法。通过对c t 图像的投影进行傅里叶变 换，将变换所得到的数据在极坐标网格中按照角度排列在r a d o n 变换域中，进行反傅里 叶变换的时候，首先需要对极坐标下的r a d o n 变换域进行插值。由于经过傅里叶变换之 后的r a d o n 变换域中的采样是均匀的，在靠近中心的区域出现过采样，而在远离中心的 地方出现欠采样。因此本文提出了一种新的方法进行插值处理，即局部凸组合插值法， 并且采用了内插和外插相结合的方法进行插值。插值的权重是由一距离的倒数的函数决 定的。通过分别在投影空间和经过傅里叶变换的r a d o n 变换域中进行插值，然后比较插 值效果的方法。得出结论，在投影空间进行数据的内插和外插的效果要好于在傅里叶变 换之后的r a d o n 变换域中进行内插和外插，其原因主要是因为投影空间所得到的数据要 比傅里叶变换空间中所得到的数据更均匀连续，图像仿真的结果也证明了这一点。 最后，通过m a t l a b 程序验证了各种插值方法的可行性和正确性。 关键词：计算机断层成像( c t ) ；图像重建；采样；r a d o n 变换；傅里叶变换；滤波反投 影算法；局部凸组合插值 i i i l a p p l i c a t i o no fi n t e r p o l a t i o ni nc tt o m o g r a p h yr e c o n s t r u c t i o n a b s t r a c t s i n c et h eb i r t ho ft h ef i r s tc t ( c o m p u t e dt o m o g r a p h y ) s c a n n e ri n19 7 2 ，c th l sb e e n w i d e l yu s e di nt h ew o r l d t h ew i d eu s e so fc ta l s og e n e r a t eg r e a ti m p e t u sf o rc ti e s e a 】c h s e v e r a lb i gc h a n g e sh a v et a k e np l a c e dd u r i n gt h ep a s t3 0y e a r s t h ec h a n g e s m a i n l yi n v o l v e i nt w oa s p e c t s s p e e da n di m a g eq u a l i t y t h er a d o nt r a n s f o r mw a si n t r o d u c e db yj r a d o ni n1917 l i t t l ec o m p u t a t i o na t t e n t i o n w a sg i v e nt oi tu n t i lt h ea d v e n to f c o m p u t e r se n a b l e dt h ef a s te v a l u a t i o no ff o 耐e rt m s f o 衄 a n dt h e i rc o n v o l u t i o n s t h er a d o nt r a n s f o r mi sn o wa m a i n s t a yo fc o m p u t e r i z e dt o m o g r a p h y i nm e d i c a li m a g i n ga sw e l l 鹪m a n yo t h e rr e m o t e - i m a g i n gs c i e n c e s s o f a r , m a n yr e l i a b l e r e c o n s t r u c t i o nm e t h o d sb a s e do nr a d o nt r a n s f o r mh a v eb e e n d e v e l o p e d f i r s t l yw ei n t r o d u c et h er e v e r s e d i s c r e t ef o u r i e rt r a n s f o r mr e c o n s t r u c t i o n , a n dt h e n 、 r e s t u d yt h et w od i m e n s i o n sf i l t e r e db a c kp r o j e c t e d ，a tl a s tw ep r o p o s et h em e t h o do fl o c a l c o n v e xc o m b i n a t i o ni n t e r p o l a t i o n r a d o nd o m a i nc a nb ef i l l e db yt h ef o u r i e rt r a n s f o r m sf o r p r o j e c t i o ni m a g e si nap o l a rg r i d d i n gf o r m a t ( r a d i a ll i n e sf o rp a r a l l e lp r o j e c t i o n s ，r a d o na r c s f o rf a n - b e a mp r o j e c t i o n s ) t h er a d o n b a s e dt o m o g r a p h i cr e c o n s t r u c t i o n r e q u i r e sr e g r i d d i n ga p o l a rr a d o nd o m a i ni n t oar e c t i l i n e a rl a t t i c eb e f o r ei n v e r s ef o u r i e rt r a n s f o r m s i n c et h en l d o n d o m a i ni s i r r e g u l a r l ys a m p l e db yf o u r i e r - t r a n s f o r m e dp r o j e c t i o n s ，i e ，o v e r s a m p l e da r o u n d t h ec e n t r a l r e g i o n sa n du n d e r s a m p l e da tt h ep e r i p h e r a l r e g i o n s ，t h ep o l a r - t o c a r t e s i a n c o o r d i n a t eg r i dc o n v e r s i o ni n v o l v e sr e b i n n i n gf o ro v e r s a m p l e dc e n t r a lr e g i o n , i n t e r p o l a t i o n f o ru n d e r s a m p l e d p e r i p h e r a lr e g i o n , a n de x t r a p o l a t i o nf o re x t e n d i n gt h ep e r i p h e r a lb o u n d a r y i nt h i sp a p e r , w ep r o p o s ea g e n e r a ld a t ai n t e r p o l a t i o no re x t r a p o l a t i o ns c h e m et od e a lw i t ht l l e r a d o nd o m a i nr e g r i d d i n g ，w h i c hi sal o c a lc o n v e xc o m b i n a t i o nw i t hw e i g h t sd e t e r m i n e db y a f u n c t i o no fi n v e r s ed i s t a n c e s f o rf i l l i n gt h eu n a v a i l a b l ee n t r i e sa t p e r i p h e r a lr e g i o n s ，w e p r o p o s et oc a l c u l a t et h ec o r r e s p o n d i n ge n t r i e si nt h ep r o j e c t i o nd o m a i n , r a t h e rt h a ni nt h e r a d o nd o m a i n , b yi n t e r p o l a t i o n sa n de x t r a p o l a t i o n s t h ei n t e r p o l a t i o nf o rp e r i p h e r a lr e g i o n a l l o w s 吣i n v e s t i g a t et h ea n g u l a rs a m p l i n gf o rc o m p u t e d t o m o g r a p h ys c a n n i n g t h e e x t r a p o l a t i o nl e a d st os u p e r - r e s o l u t i o nt o m o g r a p h i cr e c o n s t r u c t i o n w e 丘n dt l l a td a 晚 v r 东北大学硕士学位论文a b s t r a c t i n t e r p o l a t i o ni np r o j e c t i o nd o m a i nm a yp r o d u c eb e t t e rr e s u l t st h a ni nr a d o nd o m a i n t h i s f i n d i n gm a yb ej u s t i f i e db yt h ef a c tt h a tt h ed a t ad i s t r i b u t i o ni sm o r ec o n t i n u o u si np r o j e c t i o n d o m a i nt h a ni nf o u r i e rd o m a i n f i n a l l yt h ef e a s i b i l i t ya n dc o l t e c t n e s so ft h ei n t e r p o l a t i o na l ev a l i d a t e db yu s i n gm a t l a b p r o g r a m s k e yw o r d s ：c o m p u t e r i z e dt o m o g r a p h y ；i m a g er e c o n s t r u c t i o n ；s a m p l i n g ；r a d o nt r a n s f o r m ； f o u r i e r t r a n s f o r m ；f i l t e r e db a c k p r o j e c t i o na l g o r i t h m ；l o c a lc o n v e xc o m b i n a t i o n v i ，1 _ 东北大学硕士学位论文 目录 目录 独创性声明i 摘要- i i i a b s t r a c t v 目录v i i 第l 章引言1 1 1c t 技术与图像重建1 1 1 1c t 技术的概述l 1 1 2 图像重建的几种方法3 1 2 本文主要工作及章节安排4 第2 章x 射线断层成像重建的基本原理。7 2 1 成像原理7 2 2 采样定理和混叠。9 2 3 二维r a d o n 变换及其逆变换11 2 4 傅里叶变换与傅里叶中心切片定理1 4 + 2 4 1 二维傅里叶变换1 4 2 4 2 傅里叶中心切片定理。1 5 2 5 本章小结1 6 第3 章离散图像的傅里叶变换重建法1 7 第4 章二维滤波反投影重建算法2 l 4 1 平行束滤波反投影重建算法- 。21 4 2 扇束投影重建算法2 3 4 2 1 射线等角度扇束投影重建算法2 4 4 2 2 探测器等距离排列扇束投影重建算法2 7 4 3 本章小结2 9 第5 章局部凸组合插值图像重建算法3 1 5 1 扇束扫描的几何关系3 1 5 2 局部凸组合插值的基本概念和定理。3 4 5 2 1 紧支撑。3 4 v i i - p 一、h h l-一一 东北大学硕士学位论文目录 5 2 2 局部凸组合插值法3 5 5 3r a d o n 变换空间局部凸组合插值重建3 7 5 3 1 局部凸组合插值重建算法3 7 5 3 2 局部凸组合插值重建算法的计算机实现。3 8 5 4 傅里叶变换空间局部凸组合插值重建算法及其实现步骤3 8 5 5 本章小结3 9 第6 章图像仿真与重建结果4 1 第7 章总结与展望4 7 7 1 研究工作总结：4 7 7 2 后继工作展望4 7 参考文献4 9 致谢5 3 东北大学硕士学位论文第1 章引言 1 1 c t 技术与图像重建 第1 章引言 1 1 1c t 技术的概述 c t ( 计算机断层扫描) 理论起源于2 0 世纪初。1 9 1 7 年，奥地利数学家r a d o n 提 出了著名的r a d o n 变换。此后美国物理学家确立了当代投影图像精确重建的数学方法。 由物体的二维截面或断面向该平面内的各个方向作投影，可获得一系列一维投影函数。 由这些一维投影函数来重建该二维截面称为图像重建。该技术是随着计算机技术的进步 而发展起来并获得广泛应用的图像处理技术，其最典型的应用是医学上的计算机断层成 像术。它用于获取人体头颅、心肺i 腹部等内部器官的二维断层图像，故亦称断层摄影 技术，对于射线放射诊断学是一个重大突破，具有重要的实际意义，因而受到普遍的重 视。 自从1 8 9 5 年德国物理学家伦琴( r o e n t g e n ) 发现x 射线以来，其在医学影像领域的应用 取得了辉煌的成就。然而，由于当时的计算机技术水平的局限，真正的临床应用直到2 0 世纪后半期才凸现出来。2 0 世纪5 0 年代初期，美国神经外科医生o l d e n d o r f 为了克服普通 x 射线成像组织结构重叠伪影，发表了第一篇真正意义上的c t 论文，并称之为计算机断 层扫描技术( c o m p u t e rt o m o g r a p h y ) ；此后美国物理学家b r a e e w e l l 与c o r m a r k 分别于1 9 5 6 、 1 9 6 7 和1 9 6 3 年确立了当代投影图像精确重建的数学方法。1 9 6 3 年南非物理学家c o r m a c k 为了精确估计x 射线在组织间的衰减率，第一次把非迭代的级数理论引入到c t 重建算法 中；1 9 6 8 1 9 7 2 年，英国工程i ) f j h o u n s f i e l d 为了区别大脑的灰质和白质，在其老板的资助 下，制造了世界上第一台商用c t 机。自此，c t 技术在国际上得到了飞速发展，并被称为 七十年代国际四大科技成果之一。c o r m a c k 和h o u n s f i e l d 在1 9 7 9 年获得诺贝尔奖，在影像 学界，还设立了h o u n s f i e l d 奖。近2 0 多年以来，c t 的理论算法研究一直处在极为活跃的 地位，而且一些其它的成像方式，如p e t ( p o s i t r o ne m i s s i o nt o m o g r a p h y ) 等，在算法上 与c t 也很相似。第一台医用c t 于七十年代初由英国工程i ) 币h o u s e f i e l d 研制成功，并于 1 9 7 2 年首次应用于临床。美国于1 9 7 4 年制成第一台全身c t 。我国于1 9 8 3 年研制成第一台 颅脑c t ，并于1 9 8 5 和1 9 9 0 年分别研制出第二代和第三代全身c t 。目前，x c t 已发展至 第五代，它作为一种高性能的无创诊断技术已经在医学成像领域确立了不可动摇的地 1 东北大学硕士学位论文第1 章引言 位。c t 从理论上讲是一个从投影重建图像的反问题，有其普适性，在数学界已经引起广 泛的重视。作为一种技术，c t 既有坚实的数学理论为依托，又有现代微电子与计算技术 相支持，必然在各个领域得到广泛的应用。事实上，c t 在工业无损检测、农林业及环境 保护、地球资源勘探、地震预测预报、地质构造的确定等诸多方面都有着重要的应用价 值。在各种图像重建算法中，计算机断层成像术技术占有重要的地位。c t 技术的功能是 将人体中某一薄层中的组织分布情况，通过射线对该薄层的扫描，检测器对透射信息的 采集、计算机对数据的处理，并利用可视化技术将成像在显示器或其他介质上显示出来。 c t 机按扫描方式的不同，形成了所谓的“五代 。对于每一代的扫描示意图，限于 篇幅，在此就不给出具体内容了，见参考文献 1 ，2 1 。 第一代c t ：第一代x c t 有一个x 射线源、一个探测器同步作平移和旋转运动获取投 影数据。这是一种简单的采集数据的方法。第一代x c t 扫描仪就是根据这一原理设计 的。第一代x c t 存在的基本问题是投影数据的采集时间比较长，大概在几分钟的数量 级上。 第二代c t ：与第一代x c t 类似，第二代x c t 也采用平移和旋转运动获取投影数 据，不同的是使用一个小角度的扇形射线束和多个探测器来代替原来单一检测器。由于 使用了多个检测器系统，使得在每一个发射位置上可以同时检测到多个投影数据，旋转 时可以转过一个较大的角度，从而缩短了数据采集时间，一般数据采集时间约为几分之 一分钟。第一、二代x - c t 扫描仪的一个重要特征是具有自校功能。 第三代c t ：第三代x c t 扫描仪与第一、二代不同，它仅包含扇形束的旋转而不包 括x 射线源与检测器的平移运动。它的检测器阵列通常由几百个检测器单元一次排列而 成，x 射线源与检测器围绕着一个公共轴心旋转。这代扫描仪的优点是机械结构大大简 化了，从而使扫描速度有了明显提高( 通常为几秒钟) 。它的缺点是无法在扫描中进行 自校。如果有一个检测器出了故障或校准不正确，图像上就会出现与旋转轴同心的环形 伪像。 第四代c t ：第四代x c t 扫描仪采用在3 6 0 度圆周上固定安装好的检测器。数据的采 集只是旋转x 射线源，整个检测器阵列是不动的。最初，第四代x c t 是为了解决第三代 扫描仪中的环形伪像而设计的。它除了可以快速扫描外还可以进行自校，因为每一个检 测器单元都有可能在某一扫描位置上被直射。而且，从几何结构上分析，此系统本身决 定了检测器的误差将分布在整个图像上，从而避免了环形伪像的产生。第四代扫描仪存 在的一个基本问题是：对某一特定的检测器单元，在不同的扫描位置上，x 射线以不同 2 上- 东北大学硕士学位论文第1 章引言 的角度投射到检测器上，对重建图像的质量将产生影响。 h ，； +。 - - 。 第五代c t ：第五代x c t 扫描仪采用一排x 射线光源排列成一个半圆，它们可以按电 子仪器的方式进行开或关。它可以使很大一部分被测物体能同时成像，而且可以提供某 个光源发出的一个锥型射线束的投影数据。数据采集时间大大缩短了( 约1 1 0 0 秒) 。与前 四代扫描仪不同，第五代x c t 扫描仪采集的是一个三维物体的一系n - 维投影，而不 是采集一个二维物体的一系列一维投影。但它也存在着一定的问题，投影数目严重地受 n x 射线管成本和大小的限制，与前几种扫描方式相比，由散射引入的误差对系统的影响 更加突出了。 1 1 2 图像重建的几种方法 图像重建是图像处理中一个重要的研究分支，是指根据对物体的探测获取的数据来 重新建立图像，其重要意义在于获取被检测物体内部结构的图像而不对物体造成任何物 理上的损伤。由于具备无损检测技术的显著优点，它在各个不同的应用领域中都显示出 独特的重要性。例如在医疗放射学、核医学、电子显微、无线电雷达天文学、光显微和 全息成像学及理论视觉等领域都多有应用。 ， 在上述提到的众多领域中，图像重建在医学方面的应用最为显著。它大大丰富了对 于人体内部器官进行无损检测的方法和手段，为疾病的早期正确诊断提供了科学、准确 的依据。图像重建是c t 技术中的一个关键问题。它的实质是按照采集后的数据，求解图 孑 像矩阵中象素，然后重新构造图像的过程：而图像矩阵的求解需由计算机完成。图像重 建问题的求解方法根据其特点可分为两大类。第一类是变换重建方法，也叫解析法，其 特点是先在连续域进行解析处理，最后离散化再利用计算机计算。其中又可分成傅里叶 反变换重建法和滤波( 或卷积) 反投影重建法。第二类是级数展开重建法，也叫代数重 建法、迭代算法、优化技术等，其特点是从开始就进行离散化分析，直接得到数值解。 另外还有将变换法和级数展开法相结合的综合方法，如迭代变换法、迭代重建重投影、 角谐函数重建法和正交多项式展开重建法。变换法的突出优点是实现简单，速度快，对 足够精确的投影数据能获得很好的重建质量。因此，目前在实际系统中，尤其是在医用 系统中广泛采用变换法，特别是用滤波反投影类型的算法来进行图像重建。变换法在技 术上有两个主要的限制：( 1 ) 声特性不好。因为变换法是基于解析求反公式的闭合形式， 要求投影数据是精确的。对于数据中的噪声，可以通过滤波步骤来适当解决。如果我们 能在投影数据输入交换法之前，将影响投影数据精确性的诸多物理因素进行足够的校 3 - 东北大学硕士学位论文第1 章引言 正，则可认为投影数据是相当准确的，从而得到满意的重建。( 2 ) 由于变换法是基于解析 求反公式的闭合形式，所以变换法的简单与复杂性强烈地依赖于数据采集扫描方式。如 果投影数据不是沿直线的简单线积分，就可能得不到解析求反公式的闭合形式。在这种 情况下，变换法就变得无效。级数展开法能和特定的成像设备及数据采集的物理过程的 特性相结合，并能利用某些先验信息。这类方法尤其适用于数据采集过程具有高度统计 特性及某些不能获得完整数据集的场合。并且，级数展开法不像变换法那样强烈依赖于 投影数据的采集方式，适合于投影数据不是目标函数沿直线而是沿曲线的积分甚至沿带 状区域的积分。级数展开法最大缺点是实现起来复杂，速度慢，并且所需的存储空间大。 因此，目前在实用c t 系统中多不采用。本文所有的重建算法是在m a t l a b t 3 l a 实现的。 1 2 本文主要工作及章节安排 本文的主要工作有： 1 对图像重建技术的研究和发展情况进行了总结和评述，阐明了进行图像重建的 目的和意义。 z 综述了c t 图像重建中的基本定理和主要变换方法，并对其中主要的定理做出 了简要的证明。 3 对图像的反投影重建算法进行了详细的研究，集中讨论了滤波反投影重建算法 计算机实现的具体步骤。 4 建立了一种新的插值重建方法一局部凸组合插值重建法，并且对在不同的变 换域中的结果进行了插值比较。 5 对不同的重建方法进行了计算机仿真实现。 论文的章节安排如下： 第一章简要介绍了图像重建的概念、应用、分类以及c t 技术的发展历史和研究 现状，阐述了本论文的研究目的与意义。 第二章介绍了c t 成像的基本原理，并对其中的基本定理和方法进行了详细的论 述和证明，奠定了本文研究的基础。 第三章介绍了基本的傅里叶变换重建方法离散图像的傅里叶变换重建方法。 第四章介绍了反投影重建算法的基本思想和理论，并对其中的滤波反投影重建方 法进行了详细的论述。 第五章建立了一种新的c t 图像插值重建方法一局部凸组合插值重建法，并在 4 东 不 研 - 5 - 东北大学硕士学位论文第2 章x 射线计算机断层成像重建的基本原理 第2 章x 射线断层成像重建的基本原理 本章将对c t 成像的原理给出物理和数学上的描述。首先说明x 射线的物理性质，并 对成像中涉及的重要物理参量x 射线衰减系数进行定义。介绍了r a d o n 变换，并从数学 上对c t 成像过程中x 射线投影的概念进行了定义。接着引入傅里叶中心切片定理，该定 理表明了图像投影的一维傅里叶变换和图像的二维傅里叶变换之间的联系。 2 1 成像原理 图像是用来描述一个物体或物理系统的某些特性分布的。最常见的图像是那些由可 见光被反射或透射经光学仪器直接形成的。然而在许多需要图像的应用中，我们只能采 用不可见的辐射探测物体做间接测量，x 射线便是这方面的一个典型例子。众所周知x 射线是一种不可见的高能电磁波，其波长范围为0 0 0 0 6 - - 一5 0 n m 。它对各种物质都具有不 同程度的穿透能力。当一束x 射线通过人体时会由于吸收与散射而衰减，射线被吸收的 总数取决于它穿过的物质的密度、原子组成及x 射线的光能频谱。由于存在这种差别， 当x 射线透过人体各种不同组织结构时，它被吸收的程度不同，所以从不同角度不同方 位到达x 射线探测器上的x 射线量有差异。所以，对x 射线的吸收或散射越多，则图像越 浅。在普通x 射线照片上，往往可以从中看到骨质部分；就是因为骨头部分的物质密度 大，其对射线的吸收量大( 衰减大) ，在照片上感光弱而呈现浅的影像。利用投影数据和 断层衰减图像的数学关系，c t 系统能够重构出待探测截面的断层图像。最后的c t 图像 是以不同的灰度来反映器官和组织对x 射线的吸收程度，黑影表示低吸收区，如肺部：白 影表示高吸收区，如骨骼。这样就能把不同的组织器官区分开来。x 射线成像的物理基 础，一方面是x 射线的特性，即其穿透性、荧光效应和摄影效应；另一方面是人体组织 有密度和厚度的差别。但是相等强度的x 射线束，如果一束通过一个具有均匀密度的物 质，另一束通过一个非均匀密度的物质，检测器记录的两个总衰减值可能相等，在这种 情况下检测器不能决定两束射线之间的差别，因为这两束射线的衰减总值相等。所以传 统的x 射线装置对于组织的分辨力较低，只能区分密度差别大的脏器。要想得到一幅清 晰的图像，最好的办法就是能找到一种物理参量，而且对于不同的组织这个参量的值不 同，这样就能把不同的组织区分开来。人体组织对x 射线的衰减系数就恰好是这样的一个 物理量，所以需要对x 射线衰减系数进行定义。人体内不同组织对射线的吸收率是不同 7 东北大学硕士学位论文 第2 章x 射线计算机断层成像重建的基本原理 的，这就是c t 技术的基本原理。如下图所示： 爹 ： r a y s u mo fx - r a ya t t e n u a t i o n - ：彰三。l 、? 薹卜l ”毛 m m d = 痧叙肚眦e g 阳。 荨砖= r t , 等i 照= n 盟n o 图2 1图2 2 图( 2 1 ) 左侧代表一未知灰度的区域，每小块灰度值相同，分别以u 标记，如图所示做两 次投影( 同一直线上的两个值相加，很明显，这种投影是完全具有线性可加性的) ，得 到四个方程，便可以求解u 值。实际中，投影值( 上述方程右侧的值) 是可实际测量的， 所以，如果把u 值看作是人体内相应组织对x 射线的吸收系数，那么不同组织结构形状 就可以求解出来。以上仅是一个示意图，实际的被成像组织要复杂得多，所以要尽量细 分块，这样，仅在纵横两个方向的投影还是不够的，需要选择多个角度。斜穿过的小格 可以按其穿过的长短进行适当的加权再求和，这一点参考文献 4 】中有较为详尽的叙述。 当分块足够小时，可以近似看成积分，如图( 2 2 ) 所示。0 表示入射射线能量，f 表示 经过组织吸收后的出射射线能量，物理学表明，射线衰减与吸收成负指数关系。o 及m 都是前后可以测出的物理量。因此问题就是要求解图( 2 2 ) 中的积分式中的( 功，这也就 是所谓的投影变换( 与数学上讲的r a d o n 变换仅仅在形式上稍有不同) 。其一般形式表 达如下： r p ( p ，否) = p 2 ，占( 尹o - p ) ( ，) = e 蛳( p 万+ z 瓦) ( 2 1 ) 8 7 3 6 4 = = = = 怂从触段 + + + + 匆厶如 工 工 东北大学声堕主学隹论文 。、。 第2 章x 射线计算机断层成像重建的基本原理 r 曩a a 瑟a lv e 嘶 拶 乱苎 p 移；f 懈奠 k s i n 分， 簇荔 毽 图2 3 图2 4 简记为p ( p ，0 ) = r g ( p ，0 ) 。其中r 表示投影运算，称为投影算子，每一个秒表示一 个角度的投影，然后旋转护重复投影方式即可。当然投影越多( 包括投影角度( v i e w a n g l e ) 和每个角度所取投影个数( b i n ) ) ，重建的精度也就越高( 这一点，以后将会有实例说明) 。 ； 通常的重建算法可以粗糙地分为解析方式( 上述即为这种方法的基础) 和代数重建算法。 后一种常用在s p e c t ( s i i 培l ep h o t o ne m i s s i o nc o m p u t e dt o m o 伊a p h y ) 影像中，这种方式可 麓 以简单说明如下。 可以对图像选取一种表达基 6 ，) ( 例如，可以按每个像素所在位置组成一组基，此 时，每个基元中一个像素为l ，其余为o ) ，则任何图像都可用基来表示，即厂= 艺x j b ， j = l 其中t 为对应系数。两边同时用投影算子r 作用( f 表示某一个角度的投影) ，由于线 j 性可加性，也即是对每个基作用，即r 厂= _ r ，屯，把墨屯简记为以，则可表示为， 兰l g f = a x ，其中彳为相应的矩阵形式。矽和a 已知，于是问题转化为求解x 。更详细的 论述在参考文献【5 ，6 】中可以找到，这是早期非常经典的c t 参考资料，对代数重建及下面 要提到的滤波反投影算法从原理上都有非常细致的讲解。 2 2 采样定理和混叠 采样定理7 1 描述在一定条件下，用固定间隔的采样样本可以精确地恢复原来信号的 9 东北大学硕士学位论文 第2 章x 射线计算机断层成像重建的基本原理 所有值，换言之，这个样本集合完全等价于所有的函数值。这个条件指的是函数必须“带 限”，即函数的傅里叶变换在一个有限的范围内是非零的，而在其它区域为零。可以对 样本集合进行数字信号处理，同时方便地使用连续变量函数的理论来推导数字图像处理 的本质。 显然，采样的间隔对定理的应用至关重要。如果间隔不得不取得太短，那么就不会 得到太多好处。为了说明采样间隔的精细度，我们取一个简单的带限信号s i n c x ，它的 1 频谱在h i 1 时是平坦的，其它地方是零。此时采样间隔为1 。 z 对任意给定的波形，总有一个频率，使得对某些目的来说超过这个值的频率分量可 以被忽略，这个频率叫做截止频率( 记为无) 。然而在另一方面，变换可能没有被完全 截止。因此，采样定理在实际应用时一定要估计对于给定的波形因带限而引起的误差。 带限函数具有特殊的性质，它们可以被间隔不大于截止频率倒数的一半的等间隔采 样值完全描述。也就是采样频率( 记为无) 至少要大于两倍的截止频率才可能将原信号 完全恢复，否则就会发生混叠。 混叠( a l i a s i n g ) 是当信号的取样频率低于奈奎斯特( n y q u i s t ) 频率时所出现的一种信 号失真现象，在影像上可称作叠影【羽。下面我们以一维信号为例说明混叠的产生。 值得注意的是对有限带宽信号的假设。根据数学上的分析，一个信号不可能是真正 有限带宽的。傅里叶告诉我们，如果一个信号在时域是有限的，则它的频谱就会扩展到 无穷大。很显然，我们找不到一个具有无穷大周期的时域信号，所以也不可能有真正的 有限带宽，不过绝大部分实际信号的频谱能量都集中在有限带宽中，所以我们上面的假 设是成立的。 当z 2 工，我们可以还原信号，当z z 蝴 蜮潺 y 。蕊淞 鲎i j y 铽嚼 【神 w 7 图4 2 等角度分布的扇形束 f i g 4 2t h eg r a p ho fe q u a la n g l ef a nb e a m 本节我们将先介绍等角度扇形束，然后再介绍等距离扇形束的直接图像重建算法。 从总体上说，与平行束投影重建图像的方法相比。扇形束投影重建图像的方法简化了数 据采集的过程，但在图像重建的计算复杂性方面也付出了一定的代价 2 6 - 2 钔。 4 2 1 射线等角度扇束投影重建算法 如图( 4 3 ) 所示，设如 ) 为扇束投影，是射线源点和参考坐标系之间的夹角，口 表示射线在扇束中的位置。选择扇束中的一条射线跗，如果是平行光投影，剐的投影 数据是g ( s ，0 ) 中的一点，其中： s = d s i n 7( 4 8 ) 0 = 口+ ( 4 9 ) 上式中的d 为射线源点到中心点的距离。利用前面的推导结论，可以用平行投影g ( s ，0 ) 来重建图像，重建的公式为： 厂( w ) = re g ( s ，秒) 万( x c o s 0 + y s i n o j ) d s d o ( 4 1 0 ) 2 4 东北大学硕士学位论文 笫4 章二维滤波反投影重建算法 j， 枣t + “。j 寸0 。 一 了 一。 图4 3 等角射线扇形参数关系 f i g 4 3t h er e l a t i o no ft h ep a r a m e t e r si nt h ee q u a la n g l ef a nb e a mg e o m e t r y 公式( 4 1 0 ) 是采用时域卷积的方法来进行滤波，根据傅里叶理论可知它和频域的乘 积再反傅立叶变换是等价的。式中的s 。是投影数据的有效范围，当s 大于j 。时，投影 值g ( s ，0 ) 为0 。上式只要求投影数据的采集范围是1 8 0 度，如果要利用3 6 0 度的数据来 重建图像，公式( 4 1 0 ) 可以改写为： m ，y ) = 扩e 如期砸c 。s 秒峭i n 矽一j ) d s d e ( 4 1 1 ) 为了把平行束投影重建算法转化为扇束投影算法，先把直角参考坐标系改为极坐 标。如图( 4 4 ) ，直角坐标系中的点( x ，y ) ，可以表示为( ，缈) ，它们之间的关系为： x = r c o s 妒，y = r s i n 伊( 4 1 2 ) 这样( 4 11 ) 式就可以改写为： 竹，力= 昏b 筇( 懈( 秒刊一s ) d s d e ( 4 1 3 ) 此时可以利用( 4 1 1 ) 式的关系进行积分变换，可以得n d s d e = d c o s a d a d f l ，这样就可以 把( 4 1 3 ) 式改写为： o ，缈) = 三f 茚c 科d s i i l 口，( 口+ ) 】万( ，c 。s ( + 口一力一d s i n 口) d c 。s a d a d p ( 4 1 4 ) 2 5 - 利用 2 瓮萎善f 嚣嚣水+ 篡煅l 姒扣御c o s 积蒯 根据二二的蠢我们知道有下式成立： 8 ( t ) - e i o , i p j 2 7 如。 ( 4 2 2 ) f ( r , c p ) = 互1r 。i 1 工f h 1 2g 【ds i n 口，( 口+ 脒s m 口- f f 口- ) 2 万( 口) d c 。s 砒邶 ( 4 2 3 ) 射线繁： 心一例 其中j 的定义参看图( 4 6 ) 。 虽然扇束投影是在直线d 。d 2 上取得的，但为了理论分析的方便，把它映射到科磋 上来讨论，这是一条通过原点并与d l d 2 平行的直线。于是扇束投影上妨的射线积分就 映射在科d ；上的a 点，此时s 值就映射成侧的长度。 - 2 7 - 东北大学硕士学位论文第4 章二维滤波反投影重建算法 影s ) v s ) 图4 6 等距离扇束投影的几何关系 f i g4 6t h er e l a t i o no ft b ep a r a m e t e r si nt h ee q u a ls p a c ef a nb e a mg e o m e t r y 倘若把彳点的投影值考虑成是由平行射线积分取得的话，那么此值是平行投影 i o ( t ) 在图( 4 7 ) 所标