（光学专业论文）基于结构光投影的光学面形测量方法研究.pdf

四j i i 大学硕士学位论文 摘要 基于结构光投影的光学面形测量方法研究 光学专业 研究生刘元坤指导教师苏显渝 摘要 基于结构光照明的光学三维传感技术自8 0 年代提出以来，由于非接触、快 速、精度高等优点，已得到了广泛的应用，主要用于复杂漫反射表面的三维测 量。干涉测量技术作为高精度测量方法，广泛应用于光学面形检测，但通常干 涉系统都需要单色光源、并且设计精密、结构复杂，造价昂贵，因此影响了干 涉测量方法的迸一步推广应用。 本文深入探讨了一种简单的光学面形测量方法，即基于结构光投影的光学 面形测量方法。 这种方法的要点是：利用p c 机显卡的双屏功能，其中一个显示由计算机 产生的正弦灰度调制条纹图样，c c d 记录下标准条纹图样以及由待测光学表面 物体引起的变形条纹图样，由此计算出待测物体引起的变化相位，控制计算机 产生竖直和水平两个方向正弦条纹，分别测量到两个方向的变化相位；根据非 相干光成像原理推导出光学面形梯度与变化相位的对应关系，然后通过数值积 分重建所测面形，从而完成对光学面形的测量。由于条纹为计算机产生，因此 可以灵活方便地调节条纹的方向和周期，从而灵活地调节测量精度，并且可以 实现准确相移。 本文分别研究了两种光学面形，即透明相位物体波前测量以及反射面形测 量，解决了相位展开以及面形重建等关键技术问题。计算机模拟和实际测量验 证了该方法的可行性。 四川大学硕士学位论文摘要 与传统的干涉计量相比较，该方法具有结构简单、成本低、灵活性高等优 点，特别适用于非球面光学面形和波前变化范围较大的光学面形测量。并且可 以预计随着显示屏和探测器分辨率的提高，该方法的测量精度还可以进一步改 善，因此该方法拥有广阔的应用前景。 关键词：波前测量梯度面形测量相移技术非相干成像数值积分 本文的工作得到国家自然科学基金与中国工程物理研究院联合基金资助 四川大学硕士学位论文 摘要 m e a s u r e m e n to f3 d s h a p e f o r o p t i c a l s u r f a c eb a s e d o ns t r u c t u r e d l i g h tp r o j e c t i o n m a j o ro p t i c s g r a d u a t ey u a n k u nl i ua d v i s o r x i a n y us u a b s t r a c t n o n c o n t a c t ，h i g h - p r e c i s i o n ，h i g h - s p e e do p t i c a l3 ds e n s i n g ，w h i c hi sb a s e do n s t r u c t u r e dl i g h tp r o j e c t i o n ，h a sb e e nv a d e l yu s e ds i n c eb e i n gp r e s e n t e di n1 9 8 0 s i t i sm a i n l yu s e dt om e a s u r ec o m p l e x3 do b j e c tw i t hd i f f u s e r e f l e c t e ds u r f a c e o nt h e o t h e rh a n d ，t h ei n t e r f e r o m e t r ya sa h i 曲- p r e c i s i o nt e c h n i q u eh a sb e e nw i d e l yu s e d t o d e t e c to p t i c a is u r f a c e b u ta l m o s ta l li n t e r f e r o m e t e r sr e q u i r eac o h e r e n t i l l u m i n a t i o n ， a p r e c i s ea n dc o m p l e xm e c h a n i c a ls y s t e m ，a n da l m o s ta l lo r ee x p a n s i v e t h e r e f o r e ， t h ef u r t h e rw i d eu s eo f t h ei n t e r f e r o m e t r i e si sl i m i t e d a s i m p l ea n d n o v e lm e t h o df o ro p t i c a ls u r f a c em e a s u r e m e n ti sp r e s e n t e di nt h i s p a p e r ，w h i c h i sb a s e do n o p t i c a l3 ds e n s i n gb y s t r u c t u r e dl i g h tp r o j e c t i o n t h ；e b a s i co ft h i sm e t h o di st o d i s p l a yac o m p u t e r - g e n e r a t e ds i n u s o i dg r a y f r i n g ep a r e m o i 2a c o m p u t e rm o n i t o r , w h i c h l i n k sw i t ha d u a l i m a g e dp c c a r d a n d t h ep a r e mi si m a g e di nac c dc a m e r a ad i s t o r t e dp a t c e mw i l lb er e c o r d e d ，w h i l e t h et e s t e do b j e c ti s p l a c e di nt h er a yp a t h c o m p a r e dw i t ht h es t a n d a r dp a t t e r n r e c o r d e d ，t h ec h a n g e dp h a s ec o u l db ew o r k e do u t t h ev e r t i c a la n dh o r i z o n t a l c h a n g e dp h a s e s c o u l db ec a l c u l a t e d r e s p e c t i v e l y , w h e n t h ed i r e c t i o n so ft h e c o m p u t e r - g e n e r a t e d 衔n g ep a a e r na r ec o r r e s p o n d i n g l ya d j u s t e d t h em e a s u r e df a c e m i g h tb ec o n s t r u c t e db yn u m e r i c a li n t e g r a t i o n ，a f t e rt h eg r a d i e n t so ft h ef a c ea r e c a l c u l a t e da c c o r d i n gt ot h ee q u a t i o n sb e t w e e nt h eg r a d i e n t so f t h em e a s u r e df a c ea n d t h ec h a n g e d p h a s e ，w h i c h i se s t a b l i s h e db yt h ep r i n c i p l eo fi n c o h e r e n ti m a g i n g t h e c o m p u t e r - g e n e r a t e df r i n g ep a t t e r nl e a d st h ec a p a b i l i t yo fa d j u s t i n g t h ed k e c t i o n sa n d 3 四川大学硕士学位论文 摘要 p e r i o d so ft h ef r i n g ec o n v e n i e n t l y , a n da v o i d i n gt h ep r o b l e m si np h a s es h i f tb y m e c h a n i c a l p a r t s e x p e r i m e n t sa n dc o m p u t e rs i m u l a t i n go ft w ok i n d so fo p t i c a ls u r f a c e s ，w h i c h a r et h e s eo f t r a n s p a r e n to b j e c ta n dr e f l e c t o r , p r o v et h ef e a s i b i l i t yo ft h i sm e t h o di n t h i sp a p e r t h ec r i t i c a lp r o b l e m s ，i n c l u d i n gp h a s eu n w r a p p i n ga l g o r i t h ma n ds u r f a c e c o n s t r u c t i o na l g o r i t h m ，h a v ea l s ob e e nd i s c u s s e d c o m p a r e d w i t ht h o s e p r e s e n ti n t e r f e r o m e t d e s ，t h i ss e t u p i ss i m p l e r , c h e a p e ra n d m o r e v e r s a t i l e ，e s p e c i a l l yb e i n g u s e dt om e a s u r et h ea s p h e f i co p t i c a ls u r f a c ea n dt h e w i d ec h a n g e ds u r f a c e m o r e o v e gt h ei m p r o v e m e n to ft h ep r e c i s i o no ft h i sm e t h o d c o u l db ee s t i m a t e d ，w h i l et h er e s o l u t i o no ft h em o n “o ri n c r e a s e s ，a n dt h ew i d eu s e c a na l s ob ee x p e c t e d k e y w o r d s ：, w a v e f r o n tm e a s u r e m e n t s h a p em e a s u r e m e n tg r a d i e n t n u m e r i c a li n t e g r a t i o ni n c o h e r e n ti m a g i n g p h a s e - s h i f t + t h i sp a p e ri s s u p p o r t e db yn a t i o n a ln a t u r a ls c i e n c ef u n d so fc h i n aa n d , c h i n aa c a d e m yo f e n g i n e e r i n g a n d p b y s i cu n i o n f u n d s 4 四川大学硕士学位论文 第一章绪论 第一章绪论 光学三维面形测量( 又称光学三维传感) 方法【1 3 】具有非接触、高精度、高 速度以及易于在计算机控制下实行自动化测量等特点，在机器视觉、自动检测、 产品质量控制、逆向工程、生物医学等领域都有着重要的意义和广阔的应用前 景，这种方法已经广泛用于复杂漫反射表面的三维测量。干涉测量技术作为高 精度测量方法，广泛应用于光学面形检测，但通常干涉系统都需要单色光源、 并且设计精密、结构复杂，造价昂贵，因此影响了干涉测量方法的应用。本文 探讨一种简单的，基于结构光照明，基于三维传感技术的光学面形测量方法， 该方法不同于复杂漫反射表面的光学三维测量方法，也不同于传统的用于光学 面形检测的干涉测量方法。 1 1 基于结构光照明的三维面形测量方法 光学三维传感就是利用光学的方法获取三维物体表面各点的空间坐标的 方法和技术。基于结构光照明的三维面形测量属于主动三维传感。主动三维传 感具有非接触、高测量精度、高度自动化等特点，因此大多数以三维面形测量 为目的的三维传感系统都采用主动三维传感方式。由于三维面形对结构光场进 行空间或时间调制，可以从携带有三维面形信息的观察光场中解调得到三维面 形数据。根据三维面形对结构照明光场调制方式的不同，可将主动三维传感分 为时间调制和空间调制两大类。一类方法称为飞行时间法口 ( t i m e o f - f l i g h t ，简称 t o f ) ，它是基于三维面形对结构光束产生的时间调制，直接测量激光或其它光 源脉冲的飞行时间来确定物体面形。另一类是采用空间调制的三角法，它以传 统的三角测量为基础，由于三维面形对结构照明光束的空间调制，改变了成像 光束的角度，即改变了成像光点在检测器阵列上的位置，通过对成像光点位置 的确定，结合系统光路的几何参数可计算出距离。在基于三角测量原理的方法 中，根据不同测量技术中从观察光场中提取三角计算所需几何参数的方式不 同，般又可分为两类：直接三角法和相位测量法。直接三角法包括：激光逐 点扫描法、光切法和二元编码投影法。相位测量法包括：莫尔轮廓术f 4 l ，傅里 四川大学硕士学位论文 第一章绪论 叶变换轮廓术f 5 - ”1 ( f t p ) ，相干雷达技术【”1 ，相位测量轮廓术( p m p ) 1 3 - 1 6 ，空间 相位检i , u ( s p d ) ”7 1 等。调制度测量轮廓术( m m p ) 1 8 , 1 9 1 是另一种采用空间调制的光 学三维传感方法，其主要特点是投影方向与观察方向相同，可避免阴影的影响， 实现垂直测量，也不用进行相位展开。该方法适用于测量高度有剧烈变化和空 间分布不连续以及有深孔的复杂三维物体表面面形。 p m p 和f t p 是两种重要的采用结构光照明、基于相位测量的光学三维面 形测量方法，这两种方法各有其优缺点及适用范围。其中，p m p 方法实现了点 对点求解初相位，避免了物体表面反射率不均匀引起的误差，其测量精度可高 达到几十分之一到百分之一个等效波长。本文选用测量精度高的结构光三维面 形测量方法相位测量轮廓术p m p ，进行透明物体波前测量以及反射镜面形 测量。因此首先介绍p m p 的基本原理。 1 2p m p 的基本原理 相位测量轮廓术( p h a s em e a s u r i n gp r o f i l o m e t r y ，简称p m p ) 是采用结构 光照明的一种非接触的三维面形测量方法。这种方法采用正弦光栅投影和数字 相移技术，能以较低廉的光学、电子和数字硬件设备为基础，以较高的速度和 精度获取和处理大量的三维数据。 带相移器的光栅投影仪 图1 - 1p l v i p 测量系统示意图 p m p 测量系统的框图如图1 - 1 所示，系统由投影、成像、数据获取与处理 三大部分组成。当一个正弦光栅图形被投影到三维漫反射物体表面时，从成像系 四川犬学硕士学位论文第一章绪论 统获取的变形条纹像可表示为： i ( x ，y ) = a ( x ，y ) + e ( x ，y ) c o s d p ( x ，y ) 】 ( 1 1 ) 式中a ( x ，y ) 为背景光强，b ( x ，y ) 为受物体面形反射率影响的光场调制强 度，o ( x ，y ) 为调制光场的相位分布，它是待测物面z ( x ，y ) 高度值的函数。式( 1 1 ) 中有中( x ，y ) 、a ( x ，y ) 、b ( x ，y ) 三个未知量，需获取3 帧以上条纹图才能求解 e p ( x ，y ) 。在计算条纹初相位时一般都采用标准n 帧相移算法，即把投影的正 弦光栅在一个周期内均匀移动n ( n 3 ) 次，每次移动其周期的1 n ，变形条纹 图的相位每次也相应地被移动2n n ，由探测器c c d 采集得到的n 帧条纹像 可表示为： l ( x ，y ) = a ( x ，y ) + b ( x ，y ) c o s t i d ( x ，y ) + 2 n n n 】 n = l ，2 ，n ( 1 2 ) 利用这n 帧条纹图像，根据下式就可以计算出相位函数妒( x ，y ) ： i ( x ，y ) s i n ( 2 n n n ) 中( x ，y ) = 一a i c t g 专l 一 ( 1 3 ) l ( 墨y ) c o s ( 2 n n n ) 由( 1 3 ) 式计算出的相位分布被截断在反三角函数的主值范围内，因此是不 连续的，为了从相位函数计算出被测物体的高度分布，必须将由于反三角运算 引起的截断相位恢复成原有的连续相位分布，这一过程称为相位展开 ( p h a s e - u n w r a p ) 。我们将经过相位展开后得到的连续相位分布函数也记为 妒( x i y ) 。 p r o j e c t o f r o j e c t o r c c d 渤 。文?淑感 图1 - 2采用远心光路的p m p 原理光路围 四川大学硕士学位论文第一章绪论 从相位到高度的计算取决于光学系统的结构，光学系统的结构有多种形式， 这里仅考虑采用远心光路的p m p 系统，如图1 2 所示。在参考平面上投影的 正弦条纹是等周期分布的，其周期为p ，在参考平面上的相位分布中( x ，y ) 是 坐标x 的线性函数，记为： 妒( x ，y ) = 等x( 1 4 ) p 以参考平面上0 点为原点，c c d 成像面上d 。点为参考平面上c 点的像， 其相位为： ，= 2 z r o c p ( 1 ，5 ) 光场被物体面形调制后，d 。点为物面上d 点所成的像，其相位值等于参 考平面上a 点的相位，即： 中d = m h = 2 万o a p ( 1 6 ) 因此，由d 。点在光场被物体面形调制前后的相位差就可以获得物体表面d 点的高度值，因为 a c 2 c o - a 0 2 ( p 2 ) ( o c 一中d ) 2 ( p 2 “) 中c d ( 1 7 ) 则d 点相对于参考平面的高度值h 为： h ：生竺( 1 8 ) t g o + 喀0 式中0 和0 分别表示照明和观察方向，当观察方向垂直于参考平面时有 0 i - 0 ，则上式简化为： 厅= 筹= ( p t g o ) ( q j c o 2 7 r ) ( 1 9 ) 定义系统参数以，为等效波长，即： a 讲= p t g o ( 1 ，1 0 ) 一个等效波长正好等于引起2n 相位变化量的高度变化。等效波长是 p m p 方法中的一个重要参数，它由系统结构参数p7 和e 决定，代表了系统的 检测精度。结构照明型条纹图可以等效为物体面形作为物波波面，而照明方向 作为参考波面所产生的干涉条纹。 四川大学硕士学位论文第一章绪论 1 3 现代干涉检测技术简介 干涉计量法b , 2 0 是高精度检测的一种重要方法，能够提供精确的全视场表 面的轮廓测试结果，广泛地应用于光学元件质量检测。 随着激光器及电子计算机的出现，干涉计量技术也从早期的定性测量发展 到现在的数字波面测量，所谓数字波面测量就是要利用图像处理技术与计算机 技术相结合，从干涉仪得到的干涉条纹出发，根据在空间上呈正弦分布的光强 信息恢复出波面的相位信息。干涉仪得到的干涉条纹强度用公式表示为： l ( x ，y ) = a ( x ，y ) + b ( x ，y ) c o s ( x ，y )( 1 1 1 ) 式中i ( x ，y ) 是干涉条纹产生的呈正弦分布的光强，a ( x ，y ) 与b ( x ，y ) 分别表 示亮条纹与背景光的强度，a ( x ，y ) b ( x ，y ) 则是条纹对比度，( x ，y ) 通常表示 待测波面与标准波面( 或参考波面，通常为平面或球面) 之差，于是利用式( 1 ，1 1 ) 即可由干涉条纹的光强度分布反推计算波前的相位分布。 现在广泛应用的是现代波面测量技术，而现代波面测量技术的特点是引入 了相位调制技术来辅助被测量信息的提取。这些相位调制技术包括频率调制技 术、离散相位调制技术及空间域相位调制技术。相位调制技术通过主动改变干 涉条纹的相位，将条纹的强度分布表示为： l ( x ，y ；t ) = a ( x ，y ) + b ( x ，y ) c o s a # ( x ，y ) + 2 z ( f o ；x + f o 。y ) + y o r + ( r ) ( 1 1 2 ) 式e pf o ；，f o ，分别是x 和y 方向上的空间频率，对应着空间域相位调制技 术。是时间频率，可以认为是频率调制技术或者是时间调制技术，口( f ) 是相 位的偏移量。通过改变相位函数则为求解波前相位分布提供了附加的条件。因 此可以提供更高的检测精度。 对于作为现代高精度面形检测的干涉测量技术，不论是用待测面形( 波前) 与标准波前进行干涉计量；还是剪切干涉，通常都需要单色光源和一套设计精 密的仪器 1 , 2 0 1 。而随着非球面镜的广泛应用，对非球面的检测手段 2 1 - 3 2 1 提出了 更多的要求，一种简单的测量方法将很有前景。 四川太学硕士学位论文第一章绪论 1 4 结构光三维面形测量技术的新应用 首先让我们来看看相位调制干涉测量同结构光三维测量之间的联系，如果 我们将( 1 1 2 ) 改写为： l ( x ，y ；f ) = a ( x ，y ) + b ( x ，y ) c o s # ( x ，y ) + a ( f ) ( 1 1 3 ) 并且令a ( t ) = 2 r m n ，n = 1 ，2 ，n ，( x ，y ) = a o ( x ，y ) + 2 丌( a ：x + a 。y ) + v o t ， 那么如果仅取幅干涉图就可以通过类似于f t p 测量轮廓术的方法得到 ( x ，y ) ：也可以通过相移技术可以得到0 ( x ，y ) 的分布，然后再减去载频信息 接可以得到待测波面与标准波面之差a o ( x ，y ) ，因此可以说相位调制干涉测量 同结构光投影三维测量有相似的测量原理，即都是产生一个调制信号将待测信 息加载到条纹中( 不同在于一个是非相干的，利用等效波长【2 j 进行测量，另一 个是相干的，利用激光波长进行测量) ，调制信号都是已知的，于是可以利用 多种技术得到待测信息。那么我们也可以将三维面形测量技术运用到光学面形 或类光学面形测量领域。 在1 9 9 9 年m a s s i g 3 3 】提出一种简单的技术，即将待测透明相位物体放置于 一印制好的朗奇光栅和c c d 相机之间，这样c c d 记录下的是由透明相位物体 引起的变形条纹图样，运用傅立叶轮廓术( f t p ) 测量光路中温度引起的折射 率变化。在2 0 0 0 年f e r r a r i 3 4 1 等在此基础上，用印制好的二维光栅来代替上述 方法中的一维光栅，并测量了气体泄漏。随后2 0 0 2 年c a n a b a l l 3 5 】等报道了用结 构光三维面形测量技术对一个渐变折射率的正透镜进行测量研究，采用计算机 显示器显示灰度调制光栅图样，以此替代印刷的光栅图，测量出由待测相位物 体引起的偏折角度，而波前斜率就与这一偏折角直接对应，因此根据波面重构 可以得到待测物体波面分布，这里c a n a b a l 等选择的是多重网格技术1 3 6 1 进行波 面重构。之后在2 0 0 3 年y y , h u n g 等报道了用结构光三维面形测量技术对类镜 面面形进行测量【3 7 ，并实际对同一金属面形进行前后两次测量( 类似于二次全 息) ，找到变化的相位，同时通过校准可以得到具体的变化量。 在这些研究中，或者使用一幅印刷好的条纹图，通过前后两次测量，然后 利用f t p 轮廓术得到相位变化：或是由计算机产生条纹并显示在显示器上，然 后用相移技术得到相位变化。其优点在于：不需要参考光学元件( 或光学补偿 元件) ，设计简单、成本低、有很高的灵活性。而且选用显示器屏幕作为条纹 四川大学硕士学位论文 第一章绪论 载体，在计算机的控制下可以方便地改变条纹的周期和方向，几乎无相移误差， 能够产生各种类型的条纹( 应对不同测量要求) ，而且理论上可以使用任意帧 相移测量技术( 消除探测器非线性影响以及其他相关系统误差) ，另外随着平 板显示器的应用，测量的精度还可以进步提高。由此我们建立了一套基于等 效波长的光学面形测量方法，并且可以根据不同的实际情况调整等效波长，从 而满足不同的测量要求。众所周知在相同的条件下，( p m p ) 相位测量轮廓术 拥有更高的测量精度。因此本文即对结构光三维面形测量技术，尤其是相位测 量轮廓术p m p 在光学面形( 或者类光学面形) 检测领域中的应用进行深入研 究。但是基于f t p 的测量方法同样可以应用到我们的研究领域，还可以采用单 幅条纹图像进行实际测量，在一定的测量精度内可以进一步简化测量系统，提 高测量灵活性。 1 5 本文主要研究内容 第一章介绍结构光三维面形测量技术，其中主要介绍测量精度高的相移测 量轮廓术( p m p ) ，介绍光学面形干涉检测方法，以及结构光三维面形测量技 术新的应用领域。 第二章详细阐述用相移测量方法测量透明相位物体波前，推导出对应的计 算公式，由此建立相位物体波前测量系统。计算机模拟和实验测量验证这一理 论的可行性。 第三章讨论反射镜面形测量问题，推导出非相干成像反射镜面形测量公 式，通过数值积分得到反射镜面形，由此建立一个实际的反射镜面形测量系统。 计算机模拟和实际测量验证了这- - n 量方法的可行性。 第四章本文的总结 四川i 大学硕士学位论文 第二章运用p m p 测量透明相位物体 第二章运用p m p 测量透明相位物体 本章详细讨论运用结构光光学三维传感技术相位测量技术测量透明 相位物体的方法，并且用计算机模拟和对透镜的实际测量验证了该方法的可行 性。主要的内容有：测量原理及系统，相位展开的实际问题，波前重建算法， 计算机模拟，测量实验以及讨论。 2 1 测量系统 测量装置如图2 - 1 所示。显示屏上显示的是一维光栅( 在计算机控制下， 可以根据实际测量灵活、方便地调节光栅的方向和周期) ，待测相位物体放置 于显示器与c c d 相机之间。首先用c c d 记录下没有放置待测相位物体时的条 纹图，利用相移技术计算出相位分布，设定其为参考相位；然后放置待测相位 物体得到相应的变形条纹图，同样利用相移计算出新相位分布，除去参考相位 后即可得到仅含待测相位物体信息的波前分布。 显示器 待测透镜 成像透镜 c c d 相机 圈2 - 1 实验装最示意图 甲_ 一 一 0 二一 一 咂| | 军 崔 四川大学硕士学位论文 第二章运用p m p 测量透明相位物体 2 2 测量原理 2 2 1 获取待测相位物体的波前函数的斜率 由于光栅的方向可以方便的调整，因此选择竖直方向具有普遍性。屏幕上 产生的光栅图样传递到c c d 的接收平面，我们选择4 帧满周期相移测量方法， 则原始的光栅强度函数可表示为： ，嘶( 芹，y ) = 口+ b e o s ( 2 a x p + 丸( 石，_ y ) + n z r 2 )( 2 1 ) 这里的a 和b 分别为正常数，通常令盯= b ，p 为光栅周期，戎( x ，y ) 是系 统像差引入的附加相位调制，n = 0 ，1 ，2 ，3 表示相移次数。 经过待测相位物体后变形的光栅强度函数相应变为： l ( x ，j ，) = 口+ b c o s ( 2 n x p + ( x ，y ) + ( 万，力+ n e r 2 )( 2 2 ) 式中，( x ，y ) 是由相位物体引入的相位调制。根据公式( 2 1 ) ，( 2 2 ) 和( 1 3 ) 即可计算出被测物体引入的相位调制。 由于相位物体的存在，成像光线将发生偏折。设在相位物体面上的偏折角 为e ( x ，) 和e ( z ，y ) ，在旁轴近似条件下，并且待测相位物体与显示屏的距离 远小于待测相位物体到c c d 相机的距离，这时垂直条纹在水平方向上的相位 变化由下式决定【3 5 】 庐，( x ，y ) “2 t r df , ( x ，_ y )( 2 3 ) p 同理，水平条纹在垂直方向上的相位变化为 妒。( x ，_ y ) m 丝e ( 曩_ y ) p 而e ( x ，y ) ，e ( z ，y ) 与待测相位物体波前函数w ( x ，_ y ) 的偏导数有关，对 应波前函数的斜率【3 5 】： e ( 工，y ) ：o w _ ：( x , y ) ，( x ，y ) ：o w _ ( _ x , y ) ( 2 4 ) “ o y 由公式2 3 可知测量灵敏度正比于d p 。改变d 和p 的取值可以调整系统 的灵敏度。因此可以根据不同的需要选择条纹周期，只要能够达到使得一个周 期内有两个抽样点即可，同时增大距离d 还可以提高测量灵敏度，但是需要满 足距离d 远小于待测透镜到c c d 相机的距离。 四川大学硕士学位论文 第二章运用p m p 测量透明相位物体 2 2 ，2 波前重建算法以及波前拟合 2 2 2 1 波前重建算法 由公式2 4 可知：一旦得到波前的斜率分布就可以通过积分的方法解出待 测相位物体波前分布w ( x ，y ) ，这个过程在也叫做波前重构口8 1 。通常只能测得离 散的波前斜率和离焦面上的光强分布，这就需要从获取的离散数据中恢复出连 续的波前形状，另外所获取的波前数据中，通常还包含有测量误差，也需要利 用波前上的全部数据来平滑个别测量点的误差。最普遍利用波前斜率的重构方 法是区域法和模式法p 8 1 。在抽样点足够密集的情况下，差分就可以当作是微分， 相应的计算过程称为数值积分 3 9 】，而当抽样点不足时则必须通过相应的波前重 构方法进行波前重建3 8 】。c a n a b a l 等采用多重网格技术得到最终的波前分布， 本文通过将所有数据进行数值积分的结果同部分数据进行波前重构( 选用 s o u r t h w e l l 模型) 的结果进行比较，以及比较所有数据数值积分结果和 s o u r t h w e l l 波前重构的结果，结果证明本文选用的数值积分方法是可行的。实 际计算中我们选用梯形积分 3 9 1 作为数值积分方法。具体过程如下： 波前函数可以表示为全微分形式： d w ( w ) ：掣出+ 半掣砂 ( 2 5 ) 这样进行积分，表示为： ，s d w ( x , y ) ：p 掣出+ 华警方 o o x 。 僦 = i f ( x ，y ) d x 十i f a x ，y ) d y ( 2 6 ) = 辔( 协( x , y ) d x + 协( x ，y ) d y ) 因此我们对上式的两部分分别进行积分就可以得到波前函数w ( x ，”。根据 以上的分析，在离散数据情况下，对两部分分别进行数值积分就可以重构出波 前函数，这一过程也称之为一阶偏微分方程数值求解【3 9 1 。我们仅需要讨论x 方 向积分情况，同样道理可计算y 方向积分，则对x 方向进行梯形数值积分求解， 分析如下： 四川大学硕士学位论文第二章运用p m p 测量透明相位物体 首先令岷( x ，_ y ) = j f a x , y ) d x ，则 睨( h 。_ y ) = w a x , y ) + “只( x ，y ) d x = 畋( z 。，y ) +墨啦! ! 煦墨虹幽 2 ( 2 7 ) 这里，表示积分步长，由此我们得到w ( x ，y ) ，这里数值积分的关键是准确 确定积分的起点，类似于相位展开问题【2 】。由于存在截断线和极点，因此通常 情况下相位展开与路径有关，因此这里我们选择待测区域的中心作为积分中 心，从而简化数值计算过程。 另外在公式( 2 6 ) 中面形测量精度与p d 相关，由此我们可以认为其类似 于等效波长1 2 1 ，选择不同的p d ，就是用不同的等效波长来度量待测波前。 2 2 2 2 波前拟合 在得到波前分布之后，对于我们所测量的透明物体( 透镜) ，在旁轴近似 下的展开可以这样理解，如图2 2 所示， o 图2 - 2 波前拟合示意图 已知波前为一球面，若以w o 为基准，首先球面分布函数可以描述为： r v ( w ) ：a ：再= 扛瓦葡丽 ( 2 8 ) 四川大学硕士学位论文 第二章运用p m p 测量透明相位物体 然后把上式进行泰勒展开，得到： c x ，y ，= r t 一量三二2 鱼2 掣+ 兰二二! 生掣一- ) c z ， 通常在旁轴近似的条件下，可以简化为： g ( x , y 一生业掣 ( 2 t o ) 因此我们可以通过对重构出来的波前进行拟合，而得到的各项系数就与波 前函数对应，而且可以计算出波前的曲率、实际波前与理想波前的误差等等。 而且在拟合之后可以进一步消除由于待测透镜倾斜引起的误差 3 8 , 5 0 1 ，因为在波 前函数中倾斜对应的是一次项，那么如上所述进行拟合后就可以得到一次项的 系统，而这样就可以找到透镜的倾斜情况，同时两个方向的倾斜都可以单独反 应出来。在本文中我们选择n d - - 乘法【3 9 1 进行波前拟合，具体方法如下： 首先令拟合后的波前函数为w ；，并且： 阿0 = o o + 日l x + b l y + 口2 ( x 2 + y 2 ) + 口3 ( 茁2 + y 2 ) 2 + ( 2 1 1 ) a o ，a i b l ，a 2 ，a 3 分别对应各项系数。其中如果仅考虑前四项即对应二次拟合， 五项则对应四次拟合，拟合的依据为：拟合后的波前函数w 。与实际的测量结 果的标准差最小，公式表示为： ( 暇一) 2 = m i n ( 2 1 2 ) 如果进行二次拟合，则上式可表示为： k + a l x + b 1 y + 1 2 2 ( x 2 + y 2 ) 一j 2 = r a i n ( 2 1 3 ) 要上式成立，就要求上式对各系数求偏导，相应的公式为： ! 虹型业坐：兰：! 二堕：o 亿1 钔 加 、 其中a 对应相应的a 0 ，a l ，b l ，a 2 ，a 3 ，于是具体各系数的具体的求解方程为： 四川大学硕士学位论文 第二章运用p m p 测量透明相位物体 z y x y y 2 ( z 2 + y 2 ) y ( x 2 + y 2 ) l 0 2 + y 2 ) z l ( x 2 + y 2 ) y l ( x 2 + y 2 ) 2j 口o d l b i 口2 ( 2 1 5 ) n ；和n ，分别表示两个方向的离散点数。同理可以计算出四次拟合的各项 系数，然后由二次拟合以及四次拟合得到的二次项系数( 也就是a 2 ) ，可以计算 出该透镜的曲率半径。实验结果与平行光管的测量结果相吻合。 2 2 3 相位展开方法 由公式2 1 和2 2 用相移方法可以得到矿( x ，y ) ，但是这里得到的是截断相 位，其相位值介于( 一3 1 ：，n ) ，因此必须进行相位展开，有许多相位展开方 法。一般情况下相位展开的方法是：在展开方向上比较相邻两个点的相位值， 如果差值小于一，则后一点的相位值加上2n ；如果差值大于n ，则后一点 的相位值应该减去2n 。这里我们已经假定相邻抽样点之间的非截断相位变化 小于n ，也就是说必须满足抽样定理的要求，每个条纹至少有两个抽样点，即 抽样频率大于最高空间频率的二倍。已经有很多文章探讨相位展开问题【4 0 - 4 9 l 。 尽管本文所研究内容不涉及到复杂的相位展开问题，但是在实际的实验测 量中，要确定相位物体引入的相位调制，必须比较放置相位物体前后的条纹相 位分布，而且必须选择相同的相位展开的基准点。本文提出在计算机产生的图 像中预设标记，在获取的图像中检测标记的位置，以此作为相位展开的基准， 而该标记点的准确位置可以通过计算条纹图的调制度得到。另一种相位展开的 方法是时间相位展开【4 ，这里由于是计算机产生光栅图样，并且直接输出到显 示器，因此可以根据不同的需要调节光栅的周期，可以先用较大周期的光栅图 得到粗轮廓，然后在设计小周期进行细化，沿时间轴进行相位展开。 扮 + 2 x ，圳 y + u 。y m ) x y 扛力力力力 q o 形缈形 f f 四川大学硕士学位论文 第二章运用p m p 测量透明相位物体 2 3 计算机模拟结果 为了检验我们的理论分析，首先用计算机模拟了相位物体的测量。选用一 个球冠作为待测的透镜，那么在近轴条件下，相应的光线偏折为： t ( x ，y ) = ，e ( z ，y ) = 寺( 2 1 6 ) jj 光栅周期设置为每周期1 6 个象素点，每个象素点间距为0 4 m m ，模拟的 透镜口径为7 5 m m ，焦距为3 0 0 r a m ，距投影光栅的距离为4 5 r a m ，图2 3 为水 平以及垂直方向的变形条纹，图2 - 4 为水平以及垂直方向的相位变化，图2 5 为根据公式( 2 6 ) 进行数值积分恢复的波前分布。 ( a ) 图2 - 3 水平和垂直方向的变形条纹 图2 - 4水平和垂直方向的相位变化梯度 ( ” 四1 1 大学硕士学位论文 第二章运用p m p 测量透明相位物体 ( a ) 图2 - 5 模拟相位物体的波前分布和轮廓 在模拟中我们还对由相位展开及数值积分得到的波前分布用最小二乘法 进行拟合，得到最为接近的近似波前，并与原始波前以及恢复波前进行比较， 结果表明用最小二乘法可以很好的拟合出原始波前，证明了波前测量的可行 性，并且在模拟中我们还注意到，这时的误差主要来源于条纹的强度量化。图 2 - 6 为比较结果。 图2 - 6 波前误差 舢原始波面与测量结果的误差，b ) 测量结果与拟合结果的误差 四川大学硕士学位论文 第二章运用p m p 测量透明相位物体 2 4 实验及数据处理 实验中，用一个提供双屏输出的显示卡同时连接两个显示器，如图2 1 所 示。在一个显示器上显示具有2 5 6 灰阶的光栅图样，由另一个显示器监测c c d 相机记录的图样。采用1 4 英寸c r t 显示器( 其物理点距为o 2 6 r a m ) 上输出 正弦光栅，将显示器的分辨率设置为6 4 0 4 8 0 ，使得实际点距约为o 4 m m ， 待测透镜距c c d 相机大约为1 0 0 0 m m ，透镜距屏幕4 5 m m ，待测透镜的口径为 7 5 m m 。 实验中由于作为光源的c r t 显示器存在一个刷新频率，而c c d 相机同样 有个刷新频率( 5 0 h z ) ，两个刷新频率不匹配就会产生不同步。而且在c c d 的 记录周期内，c r t 显示器的亮度会由于电子束的来回扫描而不断变化，不可能 做到将c c d 的起始记录时刻和c r t 显示器电子束扫描时刻完全同步起来，我 们通过将显示器的刷新频率设置为c c d 的刷新频率的两倍，可以解决两个频 率的不同步，同时也可以部分解决两个时刻不匹配的问题。最后我们采用多幅 平均来进一步减少由于显示器的强度变化产生的误差( 称其为随机噪声) 。 图2 7 为实际得到的变形条纹图( 光栅为1 6 象素每周期) 。相位展开后的 结果如图2 8 显示，图2 - 9 为数值积分的结果即待测透镜的波前分布。图2 1 0 为用最d - - 乘法拟合波前与测量波前的偏差。根据拟合波前计算的透镜焦距为 2 9 0 1 m m ，与用平行光管法测出的焦距基本吻合，误差为4 3 5 。 图2 7 正透镜引起的两个方向的变形条纹( a ) 垂直条纹( b ) 水平条纹 四川大学硕士学位论文第二章运用p m p 测量透明相位物体 ( a ) ( b ) 图2 8 正透镜引起的相位变化梯度( a ) 垂直方i h ( b ) 水平方向 ( a ) ( a ) 图2 - 9 正透镜的等效波前分布和等高线 图2 1 0 测量结果与二次拟合的偏差 - 1 7 四川大学硕士学位论文 第二章运用p m p 测量透明相位物体 2 5 讨论 实际测量中引起偏差的原因大致有：首先我们是对待测物体进行了近似， 即将球面近似为二次面形，所以从结果可以看出物体的边缘其差异更大；其次 如前面的公式2 3 中提到的，条纹的偏移量由d 和p 来进行缩放，这里我们也 假设了对应整个待测区域d 和p 为常数，而实际上由于作为显示原始光栅的显 示器不是一个平板显示器，因此d 是有一定变化的，同时c r t 显示器电子束 的来回扫描，对于所显示的光栅的周期也有影响；另外，数据采集过程引起的 误差如前所述，数据采集的精度直接影响最终结果的精度。在数据处理中，在 相位展开中以及后期的数值积分和波前拟合中都会不同程度地引入误差。其 中，d 和p 引起的误差可以通过采用液晶平面显示器来进一步减小，其它的系 统误差可以通过对标准件相位物体的测量来校准。 2 6 本章小结 将相移技术应用于透明相位物体波前测量，采用双屏显卡，建立一套透镜 波前测量系统，在计算机控制下可以方便地完成光栅的周期调节、方