（凝聚态物理专业论文）无序d波超导体态密度的弱局域化修正.pdf

摘要 摘要 大量实验研究表明，氧化物高温超导体的超导序参量主要是d 波对称性因而许多 理论工作者对d 波超导体的性质进行了多年研究。杂质散射导致的无序效应对d 波超 导体的性质的影响也是其中一个高度关注的阔题许多数值和解析工作表明，弱局域化 效应对d 波超导体的准粒子态密度和输运性质有重要影响本人关注的问题是非磁性 杂质散射导致的弱局域化效应对d 波超导体态密度的修正虽然这一问题已有一些理 论工作发表，但相应的弱局域化理论还不完善，所得结果也未取得公认 我们采用二维正方晶格的紧束缚近似模型，研究超导序参量节点周围的低能准粒子 态密度利用f e y n m a n 图形方法和自洽丁矩阵近似( s c t m a ) ，求得无序d 波超导体的 格林函数然后，我们详细推导出4 种扩散模式的表达式并计算出这些扩散模式引起 的量子干涉效应对态密度的修正得到下面的结果： ( 1 ) 在正常费米面情况下，只有来源于0 模c o o p e r o n 的量子干涉效应对态密度的有 弱局域化修正，表现为对数型的抑制 ( 2 ) 在n e s t i n g 费米面和幺正极限下( u n 极限) ，含两个7 r 模d i f f u s o n 的自能图对态密 度也有额外贡献计入这些新的图形后，态密度有一个负的对数修正，这个结果在定性 上不同于以前的观点 本文的研究期望能对无序d 波超导体的态密度有一个全面的了解，我们的主要创新 之处在于：( 1 ) 提供了d 波超导体扩散模式的详细推导，这在现有的文献中未见报道；( 2 ) 发现了前人工作中遗漏的含两个7 r 模d i f f u s o n 的自能图形，这些新的自能图在u n 极限 下对态密度有重要的修正，定性地改变了前人的结论 关键词：d 波超导体，弱局域化，态密度，量子干涉效应 东南大学硕士论文 a b s t r a c t an u m b e ro fe x p e r i m e n t a ls t u d i e sr e v e a l e dt h a tt h eo r d e rp a r a m e t e ri nh i g h t cc u p r a t e s i so f d w a v es y m m e t r y , a n dt h u st h ep r o p e r t i e so f d w a v es u p e r c o n d u c t o r sh a v eb e e ni n v e s t i g a t e dt h e o r e t i c a l l yf o rm a n yy e a r s t h ei s s u et h a tt h ed i s o r d e re f f e c td u e t oi m p u r i t ys c a t t e r i n g o n f e a t u r e s o f d - w a v es u p e r c o n d u c t o r s h a s b e e n r e c e i v e d m u c h a t t e n t i o n m a n y n u m e r i c a l a n d a n a l y t i c a lw o r k ss u g g e s t e dt h a tt h ew e a k - l o c a l i z a t i o ne f f e c th a si m p o r t a n ti n f l u e n c eo nq u a s i p a r t i c l ed e n s i t yo f s t a t e sa n dt r a n s p o r tp r o p e r t i e si nd - w a v es u p e r c o n d u c t o r s i n t h i sp a p e r , w e s t u d yt h ew e a k l o c a l i z a t i o ne f f e c td u et on o n m a g n e t i ci m p u r i t ys c a t t e r i n go nt h ed e n s i t yo f s t a t e si nd - w a v es u p e r c o n d u c t o r s a l t h o u g ht h e r eh a v eb e e ne x i s t e ds o m et h e o r e t i c a lw o r k s o nt h i sp r o b l e m ，t h ew e a k l o c a l i z a t i o nt h e o r yi sn o tw e l le s t a b l i s h e d ，a n dt h er e s u l t sa r ei n d i s a g r e e m e n t t h et i g h t b i n d i n gm o d e lf o rt w o - d i m e n s i o n a ls q u a r el a t t i c ei su s e dt os t u d yt h el o w 。 e n e r g yd e n s i t yo fs t a t e sa r o u n dn o d a lp o i n t si nd - w a v es u p e r c o n d u c t o r s w i t ht h ed i a g r a m m a t i ct e c h n i q u e sa n ds e l f - c o n s i s t e n tt - m a t r i xa p p r o x i m a t i o n ，w eo b t a i nt h eo n e p a r t i c l e g r e e n sf u n c t i o n so fd - w a v es u p e r c o n d u c t o r s ，a n dd e r i v et h ee x p r e s s i o n so ft h ed i f f u s i v e m o d e s t h eq u a n t u mi n t e r f e r e n c ec o r r e c t i o nt ot h ed e n s i t yo fs t a t e sd u et ot h e s em o d e sa r c c a l c u l a t e d ，a n dt h em a i nr e s u l t sa r ea sf o l l o w s ( 1 ) f o rg e n e r i cf e r m is u r f a c e ，o n l yt h e0 - m o d ee o o p e r o nc o n t r i b u t e st ot h ew e a k - l o c a l i z a t i o nc o r r e c t i o nt od e n s i t yo fs t a t e s ，w h i c hi so fl o g a r i t h m i cs u p p r e s s i o n ( 2 ) i nt h ec a s eo fn e s t i n gf e r m is u r f a c ea n du n i t a r yl i m i t ( o nl i m i t ) ，t h o s es e l f - e n e r g y d i a g r a m sw i t ht w on m o d ed i f f u s o n sh a v ea d d i t i o n a lc o n t r i b u t i o n st ot h ed e n s i t yo f s t a t e s t h e r e f o r e ，t h ed e n s i t yo fs t a t e si ss u b j e c tt oan e g a t i v ec o r r e c t i o n t h i sr e s u l ti sq u a l i t a t i v e l y d i f f e r e n tf r o mp r e v i o u so n e t h ep r e s e n tw o r ki se x p e c t e dt ob eh e l p f u li nu n d e r s t a n d i n gt h ed e n s i t yo fs t a t e si nd i s o r - d e r e dd - w a v es u p e r c o n d u c t o r s o u rm a i nn e wr e s u l t sa r ea sf o l l o w s ：( 1 ) t h ed e t a i l e dd e r i v a t i o n so ft h ed i f f u s i v em o d e si nd - w a v es u p e r c o n d u c t o r sa r ep r e s e n t e d ，w h i c hw e r en o tp r o v i d e di nt h ep r e v i o u sw o r k s ；( 2 ) w ef i n ds o m en e w s e l f - e n e r g yd i a g r a m sw i t ht w o 一m o d e d i f f u s i o n s ，w h i c hw e r en e g l e c t e db yp r e v i o u sw o r k e r s t h e s en e wd i a g r a m sa r es h o w nt o h a v ei m p o r t a n ti n f l u e n c eo nt h ed e n s i t yo fs t a t e si nt h eu nl i m i t ，a n dt h u sl e a d st oar e s u l t q u a l i t a t i v e l yd i f f e r e n tf r o mt h ep r e v i o u so n e k e yw o r d s ：d - w a v es u p e r c o n d u c t o r , w e a k l o c a l i z a t i o n ，d e n s i t yo fs t a t e s ，q u a n t u mi n t e r - f e r e n c e i i 东南大学硕士论文 s c t m a m f a q i r a r r a a u n 极限 d o s 主要符号对照表 自洽7 1 矩阵近似( s e l f - c o n s i s t e n tt - m a t r i xa p p r o x i m a t i o n ) 平均场近似( m e a nf i e l da p p r o x i m a t i o n ) 量子干涉( q u a n t u mi n t e r f e r e n c e ) 推迟一超前( r e t a r d e d a d v a n c e d ) 推迟推迟( r e t a r d e d - r e t a r d e d ) 超前一超前( a d v a n c e d - a d v a n c e d ) n e s t i n g 费米面和幺正( u n i t a 叻极限 态密度( d e n s i t yo f s t a t e s ) 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文足我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而 使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示了谢意 研究生签名：在宝日期：勘：3 ：叠 - j 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家罔书馆有权保留本人所送交学位论文 的复印件和电子文档，可以采用影印、缩e 或其他复制手段保存论文。本人电予文档 的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查l 刈和借 阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权东 南大学研究生院办理。 研究生签名：堇叠：导师签名：，堕叠岔日期：2 旦坚：i ，i !研究生签名：里聋：导师签名：型尘邑日期：2 旦坚：i ，i ! 第一章引言 第一章引言 1 9 1 1 年，h - 卡默林昂内斯( h e i k e k a m e r l i n g h o n n e s ) 发现在4 2 k 附近h g 的电阻 趋于零，揭开了超导研究的历史i t 超导现象的出现引起人们的极大兴趣，许多物理学 家开始从理论和实验两方面研究超导电性虽然在超导实验中，人们注意到许多不平常 的现象，比如长程序，电子能谱中的能隙和同位素效应等等，可是一直都没有完善的微 观理论能解释这些现象直到1 9 5 7 年，j b a r d e e n ，l ，n c o o p e r 和j r s c h r i e f f e r 三人在 库柏对( c o o p e rp a i r ) 模型基础上提出一套微观理论( b c s 理论) 吲，较好的解释了超导 微观机制，这是超导理论研究的一个里程碑1 9 8 6 年，氧化物高温超导体的发现 3 1 对 传统的b c s 理论提出了新的挑战许多新的实验结果不能用传统的b c s 理论解释，高 温超导体的机制问题成为目前凝聚态物理的热点和难点问题 本章首先简单介绍传统的b c s 理论框架和基本概念，然后介绍超导序的d 波对称 性接下来概述无序d 波超导体的理论研究现状，最后指出本文要研究的问题 1 1 传统b c s 理论 首先介绍一下b c s 理论的基本框架起初，人们从实验中发现超导转变温度正与 晶格离子的质量有关系( 同位素效应) 这说明超导与电子一声子互作用有关从电声子 互作用哈密顿量出发，通过正则变换，在二级近似下，可以得到电子间有效互作用”1 片。h = i 1 。= i d q i2 瓦 其中，d 。为电子一声子耦合参量，u 。为声子频率，r - k 为电子能谱除上述有效互作用外， 电子间还存在直接的库伦互作用，其傅立叶变换为”( q ) = 孑罕如果k t , q + 7 1 ( q ) o ) ，并假设两个动量和自旋相反的 电子之间体现为吸引互作用体系的哈密顿量可以约化为 h=fir e | n 矗( 晓t 文f 十伊t l o 叫) 一v o ：，i q n e 州文1 ( i 1 ) k 南 其中缸= 风e , r 式( 1 - 1 ) 的约化哈密顿量形式上仍涉及到四算符项，很难直接从中 嚷口q口 叶戗 f 怕戗 辫 东南大学硕士论文 获得基态信息c o o p e r 设想出一个状态：在被填满的基态费米面上方附近放入两个动量 和自旋相反的电子他研究了这两个电子间的互作用，结论是：由于有效吸引作用，这 两个电子会形成束缚电子对( j 车柏踯，其能量低于费米面上的一对自由电子，从而导致 费米面改组b a r d e e n 和s c h r i e f f e r 采纳了库柏对模型，并猜测基态是库柏对的凝聚状态 ( b c s 基态) 据此，他们用变分法计算了b c s 基态函数 0 ) = ( “k + t 萨k i ) 1 v a c ) e 其中i v a e ) 代表真空态，并计算出b c s 基态能最( o ) = 2 e 缸疃一2 e 腿+ 令也 r 可以对基态哈密顿量作平均场近似( m f a ) ，转变为二次型，再用博戈留波夫方法得到对 角化的b c s 约化哈密顿量，这个方法与b c s 变分法实质上是相同的结果如下 其中 疗= e s ( o ) + e k ( a ：k + a ! k d k ) k 乱= “瓯t 一吮伊k l ：e ( c 一h 文t ) ，a + = ( 戗f e ! 。1 ) kk & = 颤再再 从准粒子算符瓯看出，传统b c s 理论描述的是一个粒子数不守恒的系统 回顾整个理论，库柏对模型占有重要地位库柏对的提出，恰当反映出超导基态中 电子对的相干凝聚特性，说明超导现象是复杂的多体问题物理学家们用b c s 理论成功 解释了超导实验中的某些问题比如，理论中估算的库柏对尺度( 相干长度) 一1 0 8 m ， 揭示出实验测量出的电子运动长程序其次，表达式中的序参量，解释了实验中发 现的准粒子能谱的能隙，故序参量也被称为能隙从而看出传统b c s 理论与实验吻 合很好，是一个成功的超导微观理论 不过，传统b c s 理论仍存在不完善的地方在对哈密顿量作简化时，b c s 理论认为 互作用系数v 与南无关，从而使序参量为常数而在很多超导体中，v 和序参量 都与惫有关，所以传统b c s 理论不能完全适用于序参量形式复杂的超导体，比如后来 发现的各向异性氧化物高温超导体 1 2d 波超导体简介 b c s 理论提出后的若干年，超导转变温度疋一直在3 0 k 以下直到1 9 8 6 年，伯诺 兹和穆勒发表论文1 3 1 ，公布l a b a c u o 化合物的超导转变温度耳= 3 5 k 。一年后，朱 一2 符量量算参能子序子 粒 粒 准 准 ，_l_-i，、lllt 第一章引言 经武和赵忠贤先后独自地在y b a z c u 3 0 7 ，化合物中发现瓦9 0 k 的氧化物超导体例 人们把研究目标转向具有高瓦的铜氧化物超导体实验中发现，铜氧化物高温超导体 与传统的b c s 超导体相比，呈现不同的低温特性，其配对的主要互作用不再来源于交 换虚声子物理学家们通常按照超导序参量的对称性对这些不同的超导体进行分类 由于电子为费米子，l 讲，d j = 0 ，即e ：岛= 一d 讲，所以库柏对波函数m 妒( r 】盯1 ；r 2 ( 7 2 ) = 妒( r 1 一r 2 ) x ( 盯l ，0 2 ) 满足费米子反对称性( 奇宇称) 超导序参量除了代表能隙外，在物理上也代表传递 超电流的库柏对波函数的轨道部分i p ( n 一1 2 ) 当x ( 一l ，盯。) 处于自旋单态，为满足波 函数的奇宇称条件，妒( ，一r 2 ) 必须是偶函数在这种条件下，妒( 缸) = 咖( ) m 。( 乩，机) 应取f = 0 ，2 ，4 ，序参量k 因此也是波矢知的偶函数当f = 0 时，妒( 南) 是不随方 位如，钆变化的各向同性函数，这样的库柏对状态被称为各向同性s 波配对当f = 2 时，库柏对轨道波函数妒( 庇) 髓k 方向变化，是各向异性函数，这时的库柏对状态被称 为d 波配对( 见下表) 自旋单重态自旋三重态 自旋波函数x ( 仃1 ，0 2 )t ) 以 ，( ，i 十t ) 、2 轨道波函数m 。( 巩，饥)z = 偶数( 0 ，2 4 ，) f = 奇数( 1 ，3 ，5 ：) s 波( f = o ) ，d 波( 1 = 2 )p 波( 1 = 1 ) 轨道宇称偶奇 厂、 。 佃公 l 、jl n 门函。 ( a ) 各向同性s 波 ( b ) d ，2 _ y 2 波( c ) 各向异性s 波 图1 】超导序参量在实空间的示意图 传统b c s 理论中，互作用系数v ( k ，k ) 取作常数，且能隙函数也为常数很显 然，其库柏对轨道波函数是各向同性的所以b c s 超导体也称为各向同性s 波配对超 导体 一3 一 东南大学硕士论文 实验证明，各向异性的铜氧化物高温超导体中，库柏对状态有各向同性s 波，各向 异性s 波和d 波三种配对方式( 如图1 1 所示) 由于d 波配对占其中的主导地位，且能 隙具有南：一瑶的对称性，故各向异性的铜氧化物高温超导体被认为是以：矿波配 对超导体，简称d 渡超导体 从圈11 ( 6 ) 容易看出，d 波超导体的特点是有四个序参量为0 的节点，且节点边缘 存在d i r a c 型低能准粒子激发由于d 波超导体材料普遍具有c u o 的层状结构，所以 我们通常采用二维平面的模型研究它 1 3 无序d 波超导体研究进展 实验| 中发现，d 波超导体中掺入随机分布的低浓度杂质，会导致无序效应这一奇 特的现象，引起理论学家的关注为了揭示随机分布杂质引起的无序效应，并进一步了 解无序d 波超导体的热力学和输运性质，他们开始深入研究无序d 波超导体中的低能 准粒子行为 人们首先用不同方法计算了无序下的低能准粒子态密度，比如：r al e e 等人采用 自洽t 矩阵近似方法 i ，w aa t k i n s o n 等人则采用数值计算方法【1 “”l ，除此之外还有 非微扰方法 1 8 - 2 2 不过，他们的结果互相矛盾，某些方法得到的低能准粒子态密度是有 限值，有的则趋于0 ，有的甚至发散a t k i n s o n 等人对二元合金模型和随机位能模型 作了计算，发现二者的彳氐能准粒子态密度有很大差别以上矛盾和差别说明，无序d 波 超导体的性质不但受正常态哈密顿量对称性的影响，还容易受杂质无序状态的影响 电子系统的弱局域化研究表明，对态密度有修正的量子干涉效应是由扩散模式 ( c o o p e r o n 和d i f f u s o n ) l n 导致的a l l l a n d 和z i m b a u ”1 2 , 1 1 指出，超导态的粒子一空穴 对称性 25 2 6 会影响杂质散射和安德烈耶夫( a n d r e e v ) 散射行为，使得无序超导态扩散模 式中的c o o p e r o n 和d i f f u s o n 不仅存在于r a 通道，也存在于r r 和a a 的通道这些模 式对准粒子态密度有局域化的修正 为解释准粒子态密度的矛盾结果，y a s h e n k i n 等人”5 分析了无序d 波超导体二元合 金模型的扩散模式，用f e y n m a n 图形方法计算出扩散模式对准粒子态密度的影响结 果是，0 模c o o p e r o n 对准粒子态密度有对数形式的弱局域化修正，”模d i f f u s o n 在u n 极限下对准粒子态密度有正的对数修正y a s h e n k i n 等人所作的弱局域化计算，有助于 我们从物理根源上理解杂质无序对d 波超导体准粒子态密度的弱局域化影响准粒子 的弱局域化除对态密度有修正外，对d 波超导体的电子电导率【6 1 ，自旋电导率m 】，热导 率【2 7 1 等输运性质都也有重要影响 1 4 本文研究的问题 本文中，我们以低浓度非磁性掺杂的d 波超导体为对象，在二维正方晶格的紧束 4 第一章引言 缚模型下，研究其态密度的弱局域化修正首先，在第二章采用自洽丁矩阵近似的方 法，计算出杂质d 波超导体的单粒子格林函数，并得到其低能态密度的表达式结果表 明，态密度随能量的减少而趋于零然后，利用已求得的格林函数和f e y n m a n 图形方 法，在第三章中严格推导4 种扩散模式的表达式由于扩散模式对态密度有弱局域化的 影响，所以我们在第四章中计算了这4 种扩散模式对态密度的修正计算结果表明，0 模c o o p e r o n 对态密度有对数型的抑制，而0 模d i f f u s o n 对态密度没有影响除此之外， 在u n 极限下，7 r 模c o o p e r o n 对态密度也有对数型的提高，而7 r 模d i f f u s o n 对态密度的 修正较复杂总结起来，对于通常费米面，在b o m 或幺正极限下，我们计算出q 1 效应 对态密度有对数修正而对于严格u n 极限下，q i 效应对态密度有负的对数修正 东南大学硕士论文 第二章无序d 波超导体的自洽t 矩阵近似 本章从无杂质d 波超导体的单粒子格林函数出发，把低浓度的非磁性杂质势作为微 扰，采用自治丁矩阵近似的方法，解出杂质无序的单粒子格林函数最后利用无序单粒 子格林函数推出低能准粒子态密度推导中，我们采用紧束缚近似模型，d 波超导体具 有二维正方晶格的正常态色散关系： k = 一t c o s ( k 。o ) + e o s ( k 口) 】一肛 其中n 为晶格常数，代表最近邻跳跃能，p 为化学势当费米面处于半满，也就是 n e s t i n g 费米面状态，化学势弘为零d 波超导体序参量为： k = a o c o s ( k 。n ) 一e o s ( k a ) 含有满足k = k 。= o 条件的四个节点k 。= ( 土，土) ，其中k 。= l a r c c o s ( 一簧) 低能准粒子区位于节点周围 2 1 无杂质d 波超导体的单粒子格林函数 利用对角亿的哈密顿量，可以铁运动方程求出无杂质d 波超导体的单粒子格林函 数我们分两步进行，第一步，将d 波超导体哈密顿量对角化，第二步建立运动方程并 求出单粒子格林函数无杂质d 波超导体的哈密顿量可表示为 疗0 = 氛( 诺t 文t + 伊h 口。1 ) 七 a k , c j 嚷，t 袋“文f ( 2 1 ) 岛知 把该哈密顿量与( 1 1 ) 中的b c s 超导哈密顿量做对比，可以看出，d 波超导体的互作用 系数a ，与k ，k 有关，而不是( 1 1 ) 中的常数因此超导序参量表达为： k = 一a “( c k t c “i ) 这里需要引入p a u l i 矩阵： 丁o ；( ：) ，n = ( ；：) ，n = ( ：) ，丁。= ( ：! ，) 定义矩阵形式的n a m b u 算符：血：= ( 诺f ，e 一。1 ) ，每。 6 ( 爱。) 则每。满足费米子对 易关系 ( 21 ) 式化为： 【亩i ，圣x ， + = d t ，。丁b 岛：亩l & 每。+ ( 瓯( 醴* - 瓯t ) + 氨) ( 2 2 ) 七 k 其中，& ：。丁1 十靠q ，壤；e 2 。t 。, ，“= 、蠹干砭在d 波超导体中，能隙可取为实 数 n a m b u 算符和哈密顿量的对易关系为 陬，岛 一= & 电* ， 由对易关系看出，n 涮她算符面k 对应于b c s 理论中的准粒子算符乱，相应的虚时单 粒子格林函数可写为： 州：一( 丁m m ) 1 ) ( 2 3 ) g 2 ( r ) = 一( 丁i 皿k 盯) 霍k ( o ) 1 ) 卜j 其中 函。f 丁) = e f i - o ，亩知已一凰，量：( 力= 。岛r 每：e 一岛r 函詹( 丁) = 7 皿知已一h o t ，皿：( 丁) = e “驴尘七e “u 。 这里啦( r ) 不是血k ( r ) 的厄密算符一写出格林函数运动力槎： 一羔嚷( r ) ：导p 卜。( r ) 每t ( o ) 】) = 导( e ( r ) 正小) 亩：( 。) 一8 ( 1 面：。皿k 7 ) ：( 掣删掣一掣叫刊掣) ：，) ，蜘) + 口( f ) b 嘶) 一啪) 一p ( 一r ) 啪) 阻晰) j 一) ：( 一( ，) m r ) ，啪) + ) + ( 丁p 阻吣e 墙7 每圳) ：d c ，) ( f 每。( o ) ，亩( 0 ) + ) 一( 丁【每- ( r ) 每：( o ) 】) 26 ( 丁r ) + t g ! ( t ) 24 对( 2 4 、两边作f o u r i e r 变换，得： 嘛戗( ) = & 嚷( ) + t o 通过上式，我们推出无杂质d 波超导体的单粒子格林函数 。) ：( h n - 盯1 = 器 ：；( 芸辈十车g 。n 警) 亿5 ， 2 z e n 一知 十e 知 东南大学硕士论文 将( 2 5 ) 式做解析延拓，得到推迟( 超前) 单粒子格林函数 g 。o r ( a ) c = ；( 篙等+ 篙器) 根据量子统计理论，准粒子态密度与单粒子格林函数关系为1 2 8 1 ： 荆= 一；1i m e t r g 嚣( e ) ( 2 6 ) 其中的g 8 代表推迟格林函数因而，无杂质d 波超导体的低能准粒子态密度为： 风l ( e )( 2 7 ) 在节点k 附近的准粒子低能区，对= a o c o s ( k 。a ) 一c o s ( k 。o ) 1 和靠= - t c o s ( k 。a ) + 岛 岁罾 i 霸k 、一 k 自g 衣j 、 图2 1 费米速度”，和能隙速度9 ，的方向矢量 c o s ( k 。酬一弘作泰勒展开，把准粒子能量e 线性化为 其中 一丽z 瓜忑面百百 霉1 1 兰? 黧v g g 二盘篇焉，圹叫愉，警b 。=。= 以d n 以二碉i g 。1 叫v 9 吖叫“叫9 嚏 一 昧 。 = 掣 n 。 m l 一丌 l | = 叶 ，、l 蔓三重垂壅! 逵塑显签笪自监! 堑陉重型 这里的凫= k 一南，代表从费米面算起的动量 和g n 分别为费米速度”，和能隙速度 v 9 的方向矢量，如图2 l 所示 将线性化的“代回( 2 7 ) ，得到无杂质d 波超导体的低能准粒子态密度： 戊i ( e ) = 6 ( e k e k ) ：上l( 2 - 8 )e k j = ( 2 s ) 7 r v y v 9 ( 2 8 ) 式表明低能准粒子态密度具有线性行为，f = 0 处的态密度趋于零 2 _ 2 无序d 波超导体的自洽t 矩阵近似 上一节求出了无杂质d 波超导体的单粒子格林函数，本节主要讨论杂质情况下的单 粒子格林函数往d 波超导体中掺入1 个非磁性杂质后，该无序系统具有自旋旋转和 时间反演对称性，属于参考文献【2 4 描述的c i 对称类杂质在超导体中随机分布，具 有低浓度m = 加和点状势y 杂质电子互作用哈密顿量可写为： 疗t 。，= 。兰。矿( n n j ) 其中，r i 代表电子位置，r 代表杂质位置 假设v ( r 一蜀) 的f o u r i e r 系数v ( q ) 为常数y ，把上面的哈密顿量表示为二次量子 化形式，得到： 儿 鱼。= y 珏岛， j=1口 m = v 诺，文一。e t 忙吐，) 凡 j = l 知0 0 其中，矿代表自旋利用n a m b u 算符亩：= ( o l ，0 t i ) ，上面的哈密顿量可表达为 h i m p ( 29 ) 下面用f e y n m a n 图形方法求单粒子格林函数由于杂质是无规分布的，需要对杂质 位置作平均，具体方法见参考文献【2 9 】当杂质浓度n 。很小时，可对格林函数作微扰展 开，如图2 2 m ) 9 畸 耙 一 k e k t v b f k 母 “ m 芦 矿 壅童盔堂亟丝塞 kkk ；k k k ( a ) 卜= = 一 + 峰一+ l - - + 脊 ) ：x杀 r ； ； _， 、j r ； j i ， c n ， ! ： + + 量茧+( b ) ： + 上$ + 鲣+ 并 ，i 、 ，i ，i 、 ，t j 、 ， i 、 0 ：g ：j _ ( c ) l = 一，k + ：，! 图2 2( a ) 自洽t 矩阵近似下，单粒子格林函数g k 的微扰图形系列 t 矩阵方程的图形表示 ( c ) d y s o n 方程图形表示 因此，无序d 波超导体单粒子格林函数g k 可表示为 g k ( i e 。) g 2 ( i e 。) + m g 2 ( t e 。) v r 3 g k ( i e 。) + 啦g 2 ( 。e 。) v 码【_ g 知，( i e 。) y q g 凫( i ) + 嚷o e 。) 矿乃 g ( 拓。) v 【g ( i e 。) v y 3 g k ( i ) + t - ( 2 1 0 ) 知知7 为简化方程，我们定义如图2 2 ( 6 ) t 矩阵- t ( i ( 。) = 型? 盟l i ，可写成如下表达 7 1 ( j c 。) = v r 3 + v r 3 9 ( i f 。) y 码+ v r 3 9 ( i c ) v r 3 9 ( i e 。) y 乃+ - = v 功+ v r 3 9 ( i e 。) 了1 ( i e 。)( 2 1i ) 其中，9 ( i c 。) = g k ( i ( 。) 图22 ( c ) 所示方程表示为： k g k ( i e 。) = g 2 ( t t 。) + 嚷( 硅。) e ( i c 。) g k ( i e 。) 将其简化为 g k ( i e 。) = g ：( 。) 一一( i c 。) = c g ( i 。) 一m r ( )( 2 1 2 然后把方程( 2 儿) 和( 2 】2 ) 联立成方程组 裂，一美擀v v 3 。g ( 飞i , j t ( i t ( i e 。； 【瓯( ) 。1 = g 2 ( ) 。1 啦。) + 一l o 箜三童垂壁! 鳇担曼签塑自监! 堑睦运型 任何一个2 x 2 矩阵都可以用p a u l i 矩阵展开，故9 ( z e 。) 可以表示成g o t o + 9 1 t l + 出丁2 十 9 3 丁3 由于d 波超导体的能隙为实数，所以我们推测系数9 2 = 0 ，则有口( 虬。) = f r o t o + 9 1 t 1 + 9 3 - 3 类似地，我们有自能= o + e l t l + e 3 乃和? 矩阵t = t o + 正r l + t 3 码 于是( 2 1 3 ) 可化为： 菇一9 一( g a v 一1 ) 2 g k ( e 。) = i e n r o a 七n 一“( t ) 叫 ( 2 1 4 ) = 篙警篙安等訾等 亿 a e 。一o ) 2 一( 盘+ e 1 ) 2 一( k + e 3 ) 2 、。7 这样我们就得到用丁矩阵近似表达的无序d 波超导体单粒子格林函数g k ( 托) 由于 9 ( 赴) 中的系数9 0 ，9 l ，乳没有详细给出，所以单粒子格林函数还不确定下一节我们考 虑低能情况，用自洽方法近似地确定9 0 ，9 1 ，9 3 ，并计算无序d 波超导体的低能准粒子态 密度 2 3 无序d 波超导体的低能准粒子态密度 仿照文献【2 5 】的自洽丁矩阵方法，低能下杂质平均的准粒子自能可表示为： r ( 圳( c ) = ，。，丁r ( a 1 ( c ) = ( kq - i v ) o + ，h 丁3 ，( i ( 1 7 )( 2 1 6 ) a 代表重整化因子，7 是杂质导致的驰豫率，印是无量纲参量。雄7 代表杂质散射引起的 化学势变化将上面的自能代入格林函数d y s o n 方程 g i l ( c ) = g ：( c ) 一( ( ) 我们得到杂质平均的单粒子格林函数： 一丁2 g ：凡( 一e ) 见 坠等要磐箅掣垫 (217)i 【( 1 一a ) e 干7 2 一2 这里的化学势肛已经计入杂质散射导致的变化，一r f 7 ) 一p 将( 2 】7 ) 代回( 2 6 ) ，可求出能量为零时，无序d 波超导体的准粒子态密度 ；莩焘 亿旧 h 旷一 一 一 m + | 三n叼m咖帅 一 o r k 哪 一 。 m 1 一丌 一 _ | p 东南大学硕士论文 把附录公式a 1 代入方程( 2 1 8 ) ，得到 舶2 赢 口1 9 ) 4 h 这里平均自由程f = l n ( v 7 ) r 一丐丐n 对比( 2 8 ) 和( 2 1 9 ) ，我们看到，在能量为 零时，杂质无序使得准粒子态密度不是零，而是有限值 虽然参考文献 2 5 】给出了杂质平均的自能，但是这些系数仍是互相纠缠的下面， 我们在低能条件下( - y ) ，用自洽方法确定系数之间的关系已知单粒子格林函数 g ：4 ( e ) 的表达式( 2 1 7 ) ，所以 口( e ) 跗1 = g ( e ) k 将附录公式a 1 和a 3 代入上式，得： 9 “) ( e ) 2 万z r p o f ( a 1 ) ( 1 这里，u 代表杂质有效势：u _ 1 = y _ 1 + 莩矿挈百将( 21 6 ) 和( 2 2 0 ) 代入公式( 2 1 1 ) 我们得到 b o r n 极限下( 1 q 2 l 2 0 ，自能的贡献主要来源于同一杂质上一次和二次的散射行 为，( 22 1 ) 中的系数简化为： 掣2 亿z z ， 幺正极限下( 叩一0 ) ，( 22 1 ) 中的系数简化为： k 瓢2 1 1 i 亿z ， 下面的章节中，我们主要考虑b o r n 和幺正两种极限这是因为d 波超导体中铜氧 面上的缺陷可以用幺正极限处理，铜氧面外的缺陷可以用b o r n 极限处理 觜 。 一 唧 a 赫 。 第二章无序d 波超导体的自治t 矩阵近似 ( 2 1 9 ) 式中的准粒子态密度是自洽丁矩阵近似的结果，也是本章的主要内容实际 上，无序导致的量子相干效应对态密度有进一步的修正而量子相干效应与扩散模式有 关，下面我们先推导无序d 波超导体的扩散模式 查亘盔堂亟堡塞 第三章无序d 波超导体的扩散模式 下面主要推导无序d 波超导体中与q i 效应有关的扩散模式。本章将利用上一章得 到的无序d 波超导体单粒子格林函数，推导c o o p e r o n 和d i f f u s o n 的表达式c o o p e r o n 代 表的是粒子一粒子传播子，d i f f u s o n 代表的是粒子一空穴传播子需要指出的是，式 ( 21 7 ) 表明粒子一空穴对有如下对称性： g ：脚( ( ) = 砘用( 一e ) 亿 所以本章考虑r r ，r a 通道的c o o p c r o n 和d i f f u s o n 且延用上一章的低能条件 3 1 0 模c o o p e r o n 和d i f f u s o n ( a ) e e ( b ) + q - t 羹 ，一 p 。 羹 ，r 口 q - k q - k - q - 叫而一百万习产 淋+球永 + 一尘i 寸业产! tk乩k 卜竹_ - _ _ 一 f _ 淋 + i i i i 一 p - - 1 _ 一“弘，7 一： 羹 p + i i 淋 i i i i i i ”l 一9 1 f 图3 】0 模c o o p e r o n 费曼图形 双虚线代表t 矩阵，阴影部分代表0 模 c o o p c r o n 按照f c y n m a n 图形方法，0 模c o o p e r o n 表示为图31 ( o ) 中的阶梯图经过重整 化，c o o p e p o n 满足下面方程，郎图3 1 ( 6 ) ： g ( q ：f ，e ) ，“，= 彤( ( ，e 7 ) m 一一+ w ( e ，( 7 ) m m 。h ( q ；f ，f ) p 。2 心e ( q ；f c ) p 2 一。， 其中 0 ar r 一“0 r 丁 m 计 一 一 刖v 尉r f( q，i 整三童玉庄! 塑跫曼签笪筻墼夔蒌 h ( q 禹e ) 并黝：。= g 畔r ( 。篚( c 仇，。 k 公式中w 代表图3 1 中双粒子线间的不可约部分( = 冷) ，h 代表r r 或r a 型的积分 核 上面的公式用4 4 矩阵表示为： c ( q ；e ，f ) = w ( e ，e7 ) + m 7 ( ，f7 ) 爿( 口；f ，f ) c ( q ，e ，f ) 1 ( 口；e ，e ) r r ( ) =n i t 凡( c ) o t 。r ( ( ( ) “( 口；州) 瑚棚= g ( e ) g 掣( e ) 七 ( 3 1 ) ( 3 2 ) ( 3 3 ) 设爿= c ，w ，咒，爿可作如下分解z = 置j 丁toq ，也可近一步写为：x 。v = 0 x “h ) 。( 勺) 将( 2 1 6 ) 代入( 32 ) ，我们得到w 的各分量： 玎 w ( c ) e 馏 1 = 千击p o t + 1 ) ”。；( m ) w ( e ，e i ，。r 。r ( a ) = = i 热( - + i ；e ) w ( 曙m = 而而2 7 7 t 2 可 w ( e ，e i ，r r = 千i 鼎( ，士i ；e ) b o r n 极限下( 1 ) 幺正极限