（课程与教学论专业论文）关于初中“魔方与数学”选修课程的设置与实施研究.pdf

摘要 2 0 0 1 年7 月，国家教育部颁布了全日制义务教育数学课程标准( 实验稿) ，提出了 新的教育理念，拓展了对课程的认识，鼓励以地方和学校为基础，设置和开发适合初中学 生学习、形式活泼多样的选修课程对于数学这一传统学科，摆脱传统模式、进行新颖的 选修课程研发，具有一定的困难因此，在初中进行选修课程的设置、开发、实施、研究， 是数学教育研究和实践面临的一个新问题，也是数学教育研究者和数学教师需要面对问 题 魔方是一种有趣的益智玩具，其构造和操作过程中都蕴含着丰富的数学因素通常情 况下，“玩 都能调动起学生的积极性，选择魔方这一具有娱乐性同时具有很强数学因素 的对象作为选修课程，在当今新的数学教育改革强调调动学生学习积极性，强调学习方式 的变革，强调从学生学习兴趣出发，强调加强校本课程的背景下，作为数学这种传统的、 具有很强抽象性的学科的选修课程研发，是一种有益的尝试 文章分为三部分首先介绍本研究的基本概念、课程理念，并对研究的意义和文献作 了分析；之后对“魔方与数学选修课程的设置作了说明；最后对课程的实施进行了总结 和反思 关键词：魔方与数学初中数学选修课程设置与实施 a b s t r a c t a c c o r d i n gt ot h e i s s t l eo ft h em a t h e m a t i c a lc u r r i c u l u mo fc d m p “如d r y e d u c a t i o nb ye d u c a t i o nd e p a r t m e n to fc h i n ai nj u l y2 0 0 1 ，w eh a v eu p d a t e do u r k n o w l e d g e o ft h ec u r r i c u l u mw i t hn e wt e a c h i n gi d e a s w 色a r ee n c o u r a g e dt oi n v e n t v e r s a t i l es e l e c t i v ec o u r s e st h a ta r es u i t a b l ef o r t e e n a g e r s s t u d y i ti se s p e c i a l l y d i f f i c u l tf o rm a t h ，s u c hat r a d i t i o n a ls u b j e c tt og e tf r e ef r o mt h ec o n v e n t i o n a lf o r m a n dp i o n e e ran e ww a yo f s t u d y t h e r e f o r e ，t h ei n v e n t i o na n da r r a n g e m e n t so ft h e c o u r s eb e c o m ean e wp r o b l e mi nm a t hs t u d ya n dp r a c t i c e a n dw em a t ht e a c h e r s a n dr e s e a r c h e r sa r ef a c i n gt h i sp r o b l e mr i g h tn o w r u b i k sc u b ei sa ni n t e r e s t i n gt o yw h i c hi sg o o df o ri n t e l l i g e n c e t h e r ei sa l o to fm a t h e m a t i c si ni t ss t r u c t u r ea n ds o l v i n g p r o c e s s i ng e n e r a l ，s t u d e n t sw i l lb e f i r e du pb yp l a y i n g t h e r e f o r eic h o o s et oo p e nas e l e c t i v ec o u r s eb a s e do no 【l b e w i t ht h e d e v e l o p m e n to fm a t h e m a t i c a le d u c a t i o n ，w ep a ym o r ea t t e n t i o nt o s t u d e n t s i n t e r e s t s ，m o t i v a t i o na n d l e a r n i n ga p p r o a c h t a k i n g t h i si n t o c o n s i d e r a t i o n ，it h i n ki tm i g h ta sw e l lb eab e n e f i c i a lc o u r s et ou n f o l dt ot h e s t u d e n t st h ea b s t r a c tt h e o r yo fm a t h t h et h e s i sc o n s i s t so ft h r e ep a r t s ：f i r s t l y , t h ei n t r o d u c t i o nt ot h er u b i k ，sa n d m a t hs t u d y t h ei d e aa n dp o i n to ft h ec o u r s ew i t ht h ea n a l y s i so ft h ed o c u m e n t ； s e c o n d l y , t h ea r r a n g e m e n t o ft h e c o u r s e ；t h i r d l y , t h es u m m a r ya b o u t t h e i m p l e m e n t k e yw o r d s ：r u b i k sc u b ea n dm a t hj u n i o rs e l e c t i v ec o u r s e a r r a n g e m e n t a n di m p l e m e n t 2 首都师范大学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取 得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰 写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：郑燕 彤燕， 1 日期：2 0 0 8 年4 月7 日 首都师范大学位论文授权使用声明 本人完全了解首都师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学位论文 并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版。有权将学位论文用于非赢利 目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有权将学位论文的内容编入有关数据 库进行检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规 定。 学位论文作者签名：郑燕 印点， 日期：2 0 0 8 年4 月7 日 关于初中“魔方与数学力选修课程的设置与实施研究 2 0 0 1 年7 月，国家教育部颁布了全日制义务教育数学课程标准( 实验稿) ，提出了 新的教育理念，拓展了对课程的认识，鼓励以地方和学校为基础，设置和开发适合初中学 生学习、形式活泼多样的选修课程对于数学这一传统学科，摆脱传统模式、进行新颖的 选修课程研发，具有一定的困难因此，在初中进行选修课程的设置、开发、实施、研究， 是数学教育研究和实践面临的一个新问题，也是数学教育研究者和数学教师需要面对问 题 魔方是一种益智玩具人们所熟知的魔方( r u b i k sc u b e ) 由匈牙利布达佩斯建筑 学院鲁比克( r u b i k ) 教授在1 9 7 4 年发明，是由3 x 3 3 个小方块组合在一起，各个方向能 转动的立方体一般地，“玩”魔方指转动魔方使其还原或者构造出各种图案每转动一 次就是对魔方的一个面( 有限个元素) 实施了一个数学上的变换因此从魔方的构造和玩 法上讲都与数学有着紧密联系至少它可以给一些数学概念( 例如变换、群、坐标、组合) 等提供直观理解因此，魔方的构造及操作过程中蕴含着丰富的数学思维因素，这一点也 是“玩魔方具有很丰富的层次感和技能技巧性的原因所在同时，“玩 是一种寻求娱 乐的活动，一般情况下，“玩 都能调动起学生的积极性，选择这种具有娱乐性同时具有 很强数学因素的对象作为选修课程，在当今新的数学教育改革强调调动学生学习积极性， 强调学习方式的变革，强调从学生学习兴趣出发，强调加强校本课程的背景下，作为数学 这种传统的、具有很强抽象性的学科的选修研发，无疑是一种十分有益的尝试 事实上，本研究中，关于初中“魔方与数学”选修课程的实施尝试在2 0 0 6 年9 月已 启动，至今已进行到开设修改一开设的第六次，本课程是在北京市第八十中学初中部首 开迄今为止，本选修课是北京市甚至全国范围内最早进行此类选修课设置与实施的尝试 本研究即关于初中“魔方与数学 选修课程的设置与实施研究，是本研究领域的最早 尝试 第一章问题的提出 介绍本研究的基本概念、课程理念，并对研究的意义和文献做分析 1 1 基本概念、课程理念 1 1 1 基本概念 ( 1 ) 魔方：人们所熟知的魔方( r u b i k sc u b e ) 由匈牙利布达佩斯建筑学院鲁比克 ( r u b i k ) 教授在1 9 7 4 年发明，是由3 x 3 x 3 个小方块组合在一起，各个方向能转动益智玩具 三十多年来，由传统的魔方衍生出的、各个方向能够转动的各种几何体玩具，种类繁多， 让人目不暇接、难以置信从外形上看，除了最常见的三阶立方体魔方，还有二阶、四阶、 五阶等各种立方体魔方，其它多面体魔方( 正四面体、正八面体、正十二面体、联体等) 和球体魔方，以及异型魔方、卡通魔方等等；为了使各种外形的几何体具备良好的旋转特 性，魔方的内部机械结构也是丰富多样、设计精巧 ( 2 ) “玩 魔方：魔方看似简单，但玩过的人都知道事实并非那么容易，需要掌握它 的规律大多数人对魔方的认识都是从三阶立方体魔方开始的，它有六个正方形的面，每 个面有九个小格子，一般地，“玩”魔方的目标是使每个面的格子的颜色都相同，即“还 原每个格子实际上是组成魔方的小块的一部分通过转动魔方，这些小块可以调换位 置或调整方向解决魔方问题困难之一就是当你想移动一个方块时，不得不移动其它方块 ( 中心的方块是不动的) 在求解的开始阶段这不是大问题，但是当大部分的方块都到达 正确位置时，新的旋转将会破坏已完成的部分，在数学上，这就是含有有限元的变换和还 原上次变换中一部分元素的逆变换问题玩魔方的人需要了解一些旋转方法，这些方法能 够只改变少数方块的位置或方向，而不影响其它的方块 ( 3 ) 魔方与数学：群论是能够全面揭示魔方还原问题的数学工具在魔方发明之初就 引起了很多数学家的高度兴趣，他们根据群论和线性代数等方面的数学理论和知识、借助 电子计算机，得到了各种各样的魔方还原方法 1 ( 4 ) 魔方作为一种数学游戏的特点：由于魔方与数学的密切关系，以及魔方游戏所具 有的娱乐性，可以说，魔方是一种数学游戏它与仅能依赖思维完成的数学游戏最大的不 同在于，游戏者可以借助双手的实际操作，去直观地感受和体验，在操作中寻找规律，用 操作来启发思维在这一点上，魔方与七巧板、九连环、华容道等益智玩具有着共同的特 点而且，魔方游戏具有很强的层次性，虽然几岁的小孩子就能够学会将其还原，但即使 是数学系的高材生面对魔方依然可以提出有价值的研究问题 1 1 2 课程理念 始于2 0 世纪9 0 年代的中国数学新课程改革，带来了数学教育理念、学习方式、教学方 式方面的改变在当今课程改革尊重学校师生独特性和差异性的背景下，教师通过尝试校 本课程的开发、设置与实施，更广泛地参与课程决策，有助于突出学校的课程特色、教育 2 哲学观和办学宗旨 2 ，有助于教师的专业化和个性化成长，有助于对学生进行生动的素 质教育“魔方与数学 课程作为初中数学选修课是在新的课程理念之下，在课程模式、 学习模式、教学模式方面的新的尝试，它将在促进传统数学课程向现代模式改良方面起到 积极作用 1 2 理论与现实意义 1 2 1 现实意义 在游戏中学习数学来源于数学和教育两方面的现实背景：第一，数学正在走入人们的 生活，成为每个人应对现代生活、学习和工作的必备工具，然而数学长期以来一贯的冷峻 外表让她与大众格格不入，改变数学过度抽象的公众形象，让数学更贴近现实生活，是所 有数学教育工作者，必须面临的一个课题甚至一些数学家也很关注这个问题第二，我 国的教育改革正在不断深入，教育理念发生了深刻的变化，“人人都能获得必需的数学嬲不 同的人在数学上得到不同的发展”通过什么渠道、怎样把数学教给学生，仁者见仁智者 见智 游戏、玩具的处境与数学完全不同，受到大众特别是青少年的普遍青睐但在大众眼 中，数学与娱乐、游戏有相当的距离尽管从广义上讲，可以说数学也是一种游戏，从狭 义上说，数学中有大量赏心悦目的具有游戏性质的内容和问题 3 ；尽管标有“有趣的数 学、“好玩的数学、“数学趣题”、“数学游戏等等名称的数学科普读物不胜枚举；尽管 数学家、科普作家、数学教育工作者们为了改变数学在大众( 特别是青少年) 心中的严肃 形象做出了很大努力，但是能够把数学当游戏、在娱乐中学数学、玩数学、享受数学的学 生还是为数不多 ” 现代数学课程理念认为，数学课程涉及的领域应该是广泛的，要增强课程的选择性， 以适应学生的个性发展，并且为学校和教师留有选择的空间 4 “魔方与数学 选修课 程是依据我国义务教育阶段数学课程总目标、现代教育学心理学的基本理念、以及中学生 身心发展特点，基于当今数学教育、和所在学校的现状，为初中一、二年级学生开设的一 门数学课程的辅助课程、选修课程旨在用游戏的形式、借助魔方等引入入胜、易普及、 且富于数学原理的实物玩具，丰富学生的数学活动经验，提高学生学习数学的内因，在游 戏中体会数学知识、数学思想和数学方法，增进学生对数学的兴趣，从而促进学生的数学 学习，改善数学学习效果 基于以上原因，开设“魔方与数学课程作为现行数学教学的辅助和补充，并对教 学过程进行研究，对帮助学生认识数学、学习数学，增强学生学习数学的兴趣，对于数学 教育改革新理念的推广与实施，以及数学选修课程的研发，都具有一定的现实意义 1 2 2 理论意义 首先，尽管对魔方、对魔方与数学的研究水平正在不断的提高，研究成果也不断涌现， 也了解到有极少的数学教师正在从数学的角度教学生玩魔方，但尚未发现将“魔方与数学 作为一门辅助课程，开设到中学，为数学教学和学生学习数学服务的相关信息因此，本 题的研究将填补这一空白，为数学教育、数学课程与教学理论研究提供新的素材 其次，游戏对数学的发展和数学教育都起到极为重要的作用上海交通大学科学史系 博士生王幼军指出：在数学教育方面，游戏是数学内容获得的有效方法之一，游戏与数学 结构的相似性保证了游戏有利于数学思维的培养，从而使学生更深刻地理解数学的精神， 游戏可以培养正确的数学态度，和乐意吸取不同思路、勇于创造的研究态度如果在正规 严肃的教学方法之外多为学生提供机会参加一些游戏，或至少提供一本好的数学游戏选 集，即在教学中掺入游戏的精神，那么数学教育将会起到事半功倍的效果 5 本题的研 究，将在理论上丰富游戏( 特别是益智玩具) 对数学、数学教育、数学教学的作用，为进 一步的研究提供基础和素材 1 3 文献综述 与本研究有关的研究文献可以分为三类一、魔方的发明与发展；二、游戏与数学； 三、益智玩具与数学 1 3 1 魔方的发明与发展 魔方( r u b i k sc u b e ) ，又叫魔术方块，由匈牙利布达佩斯建筑学院鲁比克( r u b i k ) 教授在1 9 7 4 年发明为了帮助学生增强空间思维能力，鲁比克教授设计制作了一个由3 x3 x3 个小方块组合在一起，但各个方向能转动的教学工具魔方，当他将魔方随意转 了几下后，才发现把混乱的颜色方块复原竟是个有趣而且困难的问题，从而他决定把魔方 作为玩具大量生产魔方发明后不久风靡世界，被誉为“最有教育意义的玩具 、“智 力游戏界的三大不可思议之一”( 还有“华容道”、“独立钻石 ) ，还获得“1 9 8 0 年 最佳游戏发明奖 、以及“2 0 世纪最有影响的1 0 0 项发明之一刀 6 魔方于上世纪7 0 年代末传入中国大陆，8 0 年代初已成为全国最普及、最受欢迎的玩 具之一很多孩子都拥有过一个魔方，仅在8 2 、8 3 两年全国出版的关于魔方玩法的著作 ( 包括译著) 就有7 本之多 如今，玩魔方作为一种象征智慧和时尚的休闲活动，已经不仅仅是益智游戏，更成为 一种运动魔方玩法由简单的复原，向复合型手、眼、脑协调运用等多样化竞技运动发展： 快速还原、单手还原、闭目还原( 盲拧) 、最少步还原等等在各国魔方协会( 中国大陆 目前还没有) 的努力下，世界范围的魔方公开赛事每年有十项之余，关于魔方的竞技规则 日臻完善、世界纪录越发令人不可思议 7 魔方种类的发展也令人目不暇接，除了最常 见的三阶立方体魔方，还有二阶、四阶、五阶等各种立方体魔方，其它多面体魔方( 正四 面体、正八面体、正十二面体、联体等) 和球体魔方，以及异型魔方等等，魔方玩家们从 轴向、阶数、形状等各个方面，不断地进行着科学性和创新性的探索随着计算机和网络 的发展，世界各地的魔方网站起到了普及和传播魔方的重要作用，其效果是传统媒体( 电 视、书本等) 无法比拟的网络上的魔方教程有各种形式：图文、j a v a 三维动画、视频等， 4 帮助学习者更好的理解；最新型魔方的图片、最热点的魔方疑难问题、最前沿的魔方理论 成果，都第一时间被上传和下载 对魔方的理论研究已经采用高等数学作为工具，比如：网友庄周蝴蝶在集合论的基础 上建立了魔方公式系统；网友r o n g d u o 从对称性的角度审视魔方，用群论研究魔方的对称 性，邱志红也在网络上发表了魔方色相定理的证明：魔方的一个层在一转过程中，位置相 互轮换的色向块保持其扭转总数不变 8 李世春教授出版的专著魔方及其应用、魔 方的科学和计算机表现是当代中国魔方理论的代表著作之一 9 1 3 2 游戏与数学 游戏与数学作为两项人类活动具有许多共同特点，数学的发展与游戏始终是不可分 割，游戏精神一直伴随着和影响数学的成长和发展，是数学发展的动力之一，在数学教育 中，游戏起着非常重要的作用 1 0 2 0 0 2 年8 月在北京举行国际数学家大会( i c m 2 0 0 2 ) 期间，9 l 岁高龄的数学大师陈省身先生为少年儿童题词“数学好玩一 1 1 ，在国内掀起了 一阵“娱乐数学的热潮娱乐是人类最强烈的动力之一欧阳绛于2 0 0 4 年出版的数 学游戏中指出：操作和创造数学游戏是一种很好的思维训练，它能是你养成思维的习惯， 提高思维的技巧，勤于思维、善于思维，发挥大脑的潜力乃是所有成功者的真正秘诀 1 2 关于数学游戏的著作，比如美国人山姆1 9 8 2 年出版的数学智力游戏、加拿大韩特尔1 9 8 9 年出版的数学智力游戏、倪进、朱明书1 9 9 6 年出版的智力游戏中的数学方法等等 1 3 3 益智玩具与数学 益智玩具是可以用手操作的游戏，很多益智玩具都包含着数学的因素俞崇恩、张卫 在他们1 9 9 9 年出版的千变万化的九连环中指出：巧环含有很深的数学道理，有助于 培养提高您的空间关系、逻辑思维和数学分析能力，学习和自己动手制作巧环无疑是一种 很有意义的益智活动 1 3 书中介绍了巧环的悠久历史与基本结构类型，提供了3 2 种不 同巧环的制作图样和解法，除此之外，数学的分析了巧环解脱步数计算方法和计算公式 1 8 1 3 年出版的 一百厂 用魔方的语言来说明，第n 个几何体中两个面涂色的小正方体包括两类：一类是不与 地面接触的棱块，有8 ( n 1 ) 个；另一类是与地面接触的脚块，有4 个总数为8 n 一4 个 3 4 2 魔方游戏的层次性 魔方不仅仅是一种益智的、广受欢迎的、并且富于挑战的玩具，而且可以作为学生 学习数学知识、体验数学方法、重新认识数学的一种学具，是数学与学生之间的一座魅力 四射的桥梁这很大程度来源于魔方游戏与数学的一个相似之处，即层次性 数学追求理论的完备性和一般性，比如数学家为了封闭开方运算发明了虚数魔方在 从最初的三阶立方体，在阶数上拓展为二阶、四阶、五阶、混合( 比如四阶三阶心) 等， 在形状上拓展为正四面体、正八面体、正十二面体，球体等；在内部结构上从三轴、到四 轴、轨道等等，都是渴望魔方更为一般化，而对n 阶魔方通用复原法的探讨，更是对魔方 理论完备性的摸索 在探讨数学问题时，问题的可解性、解法的多样性、和最简方法问题，一直都是大众 眼中数学最迷人的方面之一一个飞过棱( 俗称拆散了) 的魔方经过任意的拼装还能还原 六面吗? 还原魔方难道只有唯一的方法? 按打乱的逆过程还原岂不是很简单? 魔方的可 解性、解法的多样性、和最少步数还原问题，也同样引人入胜 数学由于其秩序、和谐、对称、整齐、结构、简洁、奇异，给人以美的感受和力量 4 魔方图案基本分为有六面对称图案、四二对称图案、二二二对称图案、整体图案几大类， 变幻多端，却不失秩序、对称魔方公式内部、公式之间关系密切、环环相扣，镜像公式、 反向公式、旋转公式、组合公式等等，公式体系，美不胜收 3 4 3 对非智力因素的教育价值 首先，成功还原魔方会给学生带来强烈的成就感，有利于树立数学学习的信心尽管 在学习了规律后，还原魔方并不困难，但能够还原魔方的人依然总是会吸引周围羡慕的眼 神，还原魔方被作为高智商的一种象征因此，玩魔方可以有效地帮助学生相信自己 很聪明 其次，魔方可以成为学生社会交往的媒介和桥梁对青少年学生来说，受到同伴的认 可和青睐是十分重要的，往往会“玩”的学生比只会“学的学生更受欢迎魔方是一种 轻便、有趣的玩具，交流对魔方技能的提升又十分重要，魔方如同篮球、象棋一项，促进 了学生间的相互交流 另外，魔方有利于引导学生从事有益、健康的娱乐、休闲活动“玩，要有玩的心 境、有技术、有水平，玩是一种境界假如教育如玩一般，教师和学生都将获得真正的解 放 4 0 3 5 存在的问题和发展方向 尽管本课程是对传统的数学学科提供新鲜的选修课素材的有益尝试，已经积累了不少 的实践经验，受到了学生的热烈欢迎和学校、家长充分认可，但作为一门由中学教师开发、 设置并实施的校本课程，目前，本课程的水平还是十分有限的，有很多不成熟、不规范的 地方，需要继续改进在数学方面、课程方面、教学方面、魔方方面，都需要继续挖掘， 不断完善另外，由于魔方游戏的层次性和学生目前数学学习的阶段性，如何更好地、自 然地、充分地，向学生揭示魔方与数学的关系，是一个值得继续思考、实践、改进的问题 对于本课程的继续发展，至少有三个方面可以尝试： 第一，应该尝试与高中数学选修系列3 4 中的“对称与群”、“矩阵与变换”之间建立 更直接的联系，让魔方的数学本质凸现出来，为抽象的数学概念提供有效、有趣的直观模 型； 第二，可以尝试开发魔方与计算机编程之间关系的选修课程，一方面促进学生对算法 和计算机编程的学习，另一方面为学有余力、兴趣浓厚的学生提供进一步的探索提供空间； 第三，可以尝试将其它有利于学生学习数学的益智玩具引入课堂，让学生更充分地享 受动手操作数学的乐趣，进一步提高数学学习的兴趣，拓展数学教学资源 另外，通过“魔方与数学 选修课程的设置、实施、研究，可以看出，在数学选修课 程研发方面和数学选修课程的理论研究方面，本课题还具有一定的研究空间，是值得进一 步实践并从理论上深入研究的 3 0 参考文献： 1 李世春，魔方的科学和计算机表现，北京：石油大学出版社，2 0 0 3 年：1 6 2 吕达，2 l 世纪中国课程研究与改革，北京：人民教育出版社，2 0 0 1 年：2 8 4 3 王幼军，数学中的游戏因素及其对数学的影响 4 吕学江、孙洋，初中数学选修课导引，济南，山东教育出版社，2 0 0 2 年：3 5 5 王幼军，数学中的游戏因素及其对数学的影响 6 h t t p ：w w w m f 8 c o m c n a r t i c l e s h o w a r t i c l e a s p ? a r t i c l e i d = 2 5 7 h t t p ：m f 8 t o m c n 8 h t t p ：b b s m f 8 c o m c n f o r u m d is p l a y p h p ? f i d = 1 5 9 李世春，魔方的科学和计算机表现，北京：石油大学出版社，2 0 0 3 年：2 2 7 2 3 9 1 0 王幼军，数学中的游戏因素及其对数学的影响 1 1 吴鹤龄，七巧板、九连环和华容道中国古典智利游戏三绝，北京，科学出版社， 2 0 0 4 ：1 1 2 2 欧阳绛，数学游戏，北京，中央编译出版社，2 0 0 4 年：7 5 1 1 3 俞崇恩，张卫，千变万化的九连环，中国少年儿童出版社，1 9 9 9 年：3 4 1 4 徐庄，傅起风，七巧世界，北京，大众文艺出版社，2 0 0 2 年：3 - 1 7 1 5 徐庄，傅起凤，快乐益智七巧板，北京，农村读物出版社，2 0 0 1 年：2 - 6 1 6 郭凯声，数学游戏，科学技术文献出版社，1 9 9 9 年：8 9 1 7 英 劳斯鲍尔， 加 考克斯特，数学游戏与欣赏，上海，上海教育出版社，2 0 0 1 年：3 2 1 8 吴鹤龄，七巧板、九连环和华容道中国古典智利游戏三绝，北京，科学出版社， 2 0 0 4 年：2 7 - 7 8 1 9 陈树杰，综合实践活动四年级( 上) ，北京，首都师范大学出版社，2 0 0 5 年：2 5 - 2 8 2 0 陈树杰，综合实践活动五年级( 下) ，北京，首都师范大学出版社，2 0 0 5 年：2 9 3 2 2 1 吴鹤龄，七巧板、九连环和华容道中国古典智利游戏三绝，北京，科学出版社， 2 0 0 4 年：2 2 2 张卫，探索智力游戏中的数学，1 9 9 6 ：5 2 3 吴鹤龄，七巧板、九连环和华容道中国古典智利游戏三绝，北京，科学出版社， 2 0 0 4 年：1 5 1 - 1 6 1 2 4 吴鹤龄，七巧板、九连环和华容道中国古典智利游戏三绝，北京，科学出版社， 2 0 0 4 年：6 8 2 5 杨迅文，魔方探胜，福州：福建人民出版社，1 9 8 2 ：4 - 5 2 6 邓治民，邓小云，怎样玩魔方，广州：广东科技出版社，1 9 8 2 ：4 1 - 4 3 2 7 米尚志，王焕英编译，怎样解魔方，浙江：浙江科学技术出版社，1 9 8 2 ：8 6 8 8 2 8 李世春，魔方的科学和计算机表现，北京：石油大学出版社，2 0 0 3 年：1 2 1 5 2 9 ( 美) 詹诺尔斯，晓瓦，吴永强译，魔方解法，北京：世界知识出版社，1 9 8 2 ：6 - 7 3 l 3 0 李世春，魔方的科学和计算机表现，北京：石油大学出版社，2 0 0 3 年：4 4 3 1 李世春，魔方的科学和计算机表现，北京：石油大学出版社，2 0 0 3 年：1 3 1 1 9 3 3 2 任长松，新课程学习方式的变革，北京：人民教育出版社，2 0 0 3 年：2 3 3 ( 美) 詹诺尔斯，晓瓦，吴永强译，魔方解法，北京：世界知识出版社，1 9 8 2 ： 4 7 4 8 3 4 杨迅文，魔方探胜，福州：福建人民出版社，1 9 8 2 ：1 - 2 3 5 李世春。魔方的科学和计算机表现，北京：石油大学出版社，2 0 0 3 年：4 5 5 5 3 6 j a m e s a a n d e r s o n ，d i s c r e t e m a t h e m a t i c sw i t h c o m b i n a t o r i c s s c e o n d e d i t i o n ，p r e n t i c eh a l l ，2 0 0 5 ：3 2 0 3 7 冯克勤，李尚志，近时代数引论，合肥，中国科学技术大学出版社，2 0 0 2 ：2 2 4 2 3 8 全日制义务教育数学课程标准( 实验稿) ，北京：北京师范大学，2 0 0 1 年：1 l 3 9 郑杰，给教师的一百条新建议，上海：华东师范大学出版社，2 0 0 4 年：5 l 致谢 在即将毕业之际，我首先要对首都师范大学研究生部和数学科学学院的老师们表示感 谢! 感谢你们在我就读期间为我提供的一切帮助，是你们帮我打开了一扇窗，引导我进入 数学教育研究的广阔天地。 同时，我要深深地感谢我的导师姚芳老师! 姚老师鼓励我将自己朦胧的问题提升为研 究的课题，指导我将杂乱的思绪梳理成清晰的结构。在我遇到重重困难的时候，姚老师更 是以严谨、求实的治学态度，和蔼、无私的师长风范，鼓舞和帮助我不断向前。 此外，我还要感谢首饰大数学科学学院的研究生胡迪迪! 与一起她讨论，总让我获益 匪浅。 最后，感谢始终默默支持我、鼓励我的朋友和家人! 附录i 三阶立方体魔方基本玩法 第一层 第一步： 1 目标：第一层的四个棱方块对位且对色( 如图) 2 方法：推荐方法：观察 公式方法：先将四个目标棱块都转上去架起“十 字，再来调节它们的相对位 置，这时要用到两个公式中的一个： i 、相对棱对调冈 r lu 2rl l = = l ! l = = 2 、相邻棱对调照 r u r ur i ：l 鲴小 第二步： 1 目标：第一层的四个角块对位且对色( 如图) 2 方法：推荐方法：观察 公式方法：先将己对好的“十”字倒过来成为底面，通过调整会 遇到3 种情况： 1 、将底面颜色在右 膨 rur 侧的角方块归位 2 、将底面颜色在左 颀 l u l 侧的角方块归位 3 、将底面颜色在上 ( ru r u ) 3 侧的角方块归位 第二层 i 目标：第二层四个棱方块对位且对色 2 方法：将已完成的第一层倒过来成为底面，使“t ”颠倒成“上”。按图中的两种情况分 类，拼出第二层 l u f uf ur u r 2 硬 uf u f u l ul 第三层 第一步： l 、目的：第三层的四个棱块对色 2 、方法：只需反复使用一个公式，就会出现以下各图的轮换 r u f ufr 口田口田 一一t 一 第二步： l 、目的：第三层的四个角方块对位 2 、方法： 若有且只有一个角方块已达对位，分以下两种情况： 1予弋lr u rul u r ur 工、 2 7寻r lul u rulu l 山 3 遇到的各种可能及应对方法 若有两个角方块已经“对位，分两种可能： 1 ) 相邻的两个角方块已“对位 ，比如图中的a 、b 已对位，则转动上层，即 可转化为有且只有一角已对位，再判断选择公式1 或公式2 ，完成四角对位； 2 ) 对角线的两个角方块已“对位”，摆放至a 、c “对位，使用公式l 一次， 再转动上层，即可转化为有且只有一角已对位，再判断选择公式l 或公式2 ， 完成四角对位 3 5 口 第三步： 1 目的：第三层的四个角块对色 2 方法： 若有其只有一个角方块已达对色，分以下两种情况： 1 瞳一ir u ru r u 2r i 恻4 2瞳j 幢i ru r uru 2r 厘鳖ii 3 遇到的各种可能及应对方法 若有两个角方块已经对色，有三种可能，如图摆放，使用公式 i ，可出现有且只有一角对色，再选择公式l 或2 完成四角对色； 若无一角方块对色，有两种可能，如图摆放，使用公式1 ，可 出现有且只有一角对色，再选择公式l 或2 完成四角对色： 第四步： 1 目的：第三层的四个棱块对位，完成魔方的六面还原 2 方法： 若顶层有且只有一个棱方块处于正确位置，有以下两种情况： i，弋l 1o斗 ( r u r u r u 2 r