（课程与教学论专业论文）非傍轴光束表征参量的定义及其传输特性的研究.pdf

合肥工业大学 i l flll ll lll ll lll lrlli iy 18 8 6 6 8 8 本论文经答辩委员会全体委员审查，确认符合合肥工业大学 硕士学位论文质量要求。 答辩委员会签名：( 工作单位、职称) 主席： ) ， 砀慨 l 中科院安徽光学精密机械研究所研究员 觚一判皴卅 合肥工业大学副教授 合肥工业大学副教授 月旺业大帮l j 教授男彳 钏秕叩少玖 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。据我所知，除了文中特别加以标志和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写过的研究成果，也不包含为获得金旦曼王些盔堂或其他教育机构的学位 或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签字：牛l 虱鉴签字日期：啊c f 年髟月) 留同 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解盒胆王些太堂有关保留、使用学位论文的规定，有 权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅或借阅。 本人授权金月墨王些太堂可以将学位论文的全部或部分论文内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文者签名：神虱鉴 别嗽：1 小玖 签字日期：w t1 年呼月g 日 签字日期：幻c 年中月 莎日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 电话： 邮编： 非傍轴光束表征参量的定义及其传输特性的研究 摘要 在工程领域中，光场的标量衍射理论有着十分重要的作用。但是，光的运动规律 由m a x w e l l 方程组描述，其本质是矢量场。对于小尺度大角度光束，标量衍射理论已 不再有效，必须考虑光的矢量特性【1 7 1 。另一方面，光强的定义是多样的。对于傍轴标 量光束，光强被定义为光振动复振幅绝对值的平方i = i u ( 尹) l 。 s q o l ；对非傍轴标量光束， 则构造了守恒流7 ，用精确光强定义，描述光束的能量分布【8 l 卜”】。非傍轴矢量光束 的光强则被定义为单位时间单位面积内所流过的能量平均值 ，即能流密度矢 量( 雪) 在法线方向上的投影【s , 1 1 , 1 4 。另一方面，光束的束腰、远场发散角和光束质量因 子等是描述光束传播规律的重要表征参量。标量光束的传播特性可用二阶矩描述，但 在一般情形下，矢量光束的二阶矩是发散的，需要采用其他方法描述矢量光束的传播 问题。本文运用光束横截面上光强的三种定义j ，和( s ，) ，采用二阶矩和桶中功率 两种方法对光束的传播特性进行了详细的数值计算和比较研究，分析了光束传播特性 标量描述的有效性。 一 关键词：矢量衍射理论光强非傍轴标量光束非傍轴矢量光束二阶矩桶中功率 本课题得到国家自然科学基金项目( 5 0 7 7 6 0 8 4 ) 的资助。 s t u d yo fd e f i n i t i o n so fp a r a m e t e r sa n dp r o p a g a t i o nc h a r a c t e r i s t i c so f n o n p a r a x i a lb e a m s a b s t r a c t s c a l a rt h e o r yo fl i g h tf i e l d si sv e r yi m p o r t a n ti ne n g i n e e r i n gf i e l d s h o w e v e r , l i g h t w a v e sa r ee l e c t r o m a g n e t i cw a v e s w h o s em o t i o ni sd e s c r i b e db ym a x w e l le q u a t i o n s l i g h t f i e l di sv e c t o r i a lf i e l di nn a t u r e t h es c a l a rd i f f r a c t i o nt h e o r yi sn o tc o r r e c tf o rs m a l l s c a l e l i g h ts o u r c ew h o s ed i v e r g e n c ea n g l ei sl a r g ea n dv e c t o r i a lc h a r a c t e r sm u s tb ec o n s i d e r e d t h e r ea r em a n yd e f i n i t i o n so f l i g h ti n t e n s i t y a c c o r d i n gt ot h et r a d i t i o n a ll i g h tt h e o r y , l i g h t i n t e n s i t yi sd e f i n e da st h es q u a r eo ft h ea b s o l u t ev a l u eo ft h ec o m p l e xv i b r a t i o na m p l i t u d e o fl i g h t , w h i c hi s = i u f f ) 卜b yc o n s t r u c t i n gc o n s e r v a t i v ec u r r e n tj ，l i g h ti n t e n s i t yo f s c a l a rn o n p a r a x i a lb e a m si sd e f i n e db ya c c u r a t el i g h ti n t e n s i t yj z i nv e c t o r i a lt h e o r y , l i g h t i n t e n s i t yi s d e f i n e da st h ea v e r a g ee n e r g yf l o w i n gt h r o u g hau n i ta r e aw i t h i nu n i tt i m e , w h i c hi st h ep r o j e c t i o no fe n e r g yf l u xd e n s i t y o nt h en o r m a ld i r e c t i o n ，w h i c h i s i np a r t i c u l a r , t h el i g h ti n t e n s i t yw h i c hi sp e r p e n d i c u l a rt ot h eo p t i c a la x i s ( z a x i s ) a tt h et r a l l s v c r s ep l a n ei se q u i v a l e n tt ot h ezc o m p o n e n to ft h et i m e a v e r a g e de n e r g yf l u x d e n s i t y f u r t h e r m o r e ，b e a mw a i s t ，f a r - f i e l dd i v e r g e n c ea n g l ea n db e a mq u a l i t yf a c t o r a r ei m p o r t a n tc h a r a c t e r i s t i c sw h i c hd e s c r i b et h el a wo fl i g h tp r o p a g a t i o n p r o p a g a t i o no f s c a l a rb e a m sc a nb ed e s c r i b e db ys e c o n d - o r d e rm o m e n t h o w e v e r , t h es e c o n d - o r d e r m o m e n to fv e c t o r i a lb e a m si sd i v e r g e n ti ng e n e r a lc a s e ss oo t h e rm e t h o ds h o u l db ea p p l i e d t od e s c r i b et h ep r o p a g a t i o no fv e c t o r i a lb e a m s i nt h i sr e s e a r c h ，u s i n gt h e ， 以a n d ( s ：) d e f i n i t i o n so fl i g h ti n t e n s i t ya tt h et r a n s v e l s ep l a n e ，d e t a i l e dc o m p u t a t i o n sa n d s t u d i e so fc h a r a c t e r i s t i c so fb e a m sw h i c hi sd e s c r i b e db ys e c o n d - o r d e rm o m e n ta n dp o w e r i n t h eb u c k e th a v eb e e np e r f o r m e d a n dt h ee f f e c t i v e n e s so fc h a r a c t e r i s t i c sh a sb e e n a n a l y z e d k e y w o r d s ：v e c t o r i a ld i f f r a c t i o nt h e o r y , l i g h ti n t e n s i v e ，n o n - p a r a x i a ls c a l a rb e a m s ， n o n - p a r a x i a lv e c t o r i a lb e a m s ，s e c o n d - o r d e rm o m e n t , p o w e ri n t h eb u c k e t 2 1 2 非傍轴矢量光束光强的定义19 2 2 光束质量因子2 0 2 2 1 光束质量因子的一般定义。2 0 2 2 2 傍轴标量光束的质量因子2 1 2 2 3 非傍轴标量光束的质量因子。2 4 2 2 4 非傍轴矢量光束的质量因子2 7 第三章平面波经微小孔衍射的质量因子及传输特性3 0 3 1 平面波圆孔衍射的光强表示3 0 3 1 1 标量近似下的传统光强表示3 0 3 1 2 标量近似下的精确光强表示3 2 3 1 3 矢量描述下的光强表示3 3 3 2 平面波圆孔衍射光束的传输特性3 6 3 2 1 非傍轴标量光束的二阶矩3 6 3 2 2 非傍轴标量光束的桶中功率3 7 3 3 结果与讨论4 1 第四章高斯光束的质量因子及传输特性而4 3 4 1 高斯光束的光强表示4 3 4 1 1 非傍轴标量高斯光束的光强表示4 3 4 1 2 非傍轴矢量高斯光束的光强表示4 5 4 2 高斯光束的质量因子。4 8 4 2 1 非傍轴标量高斯光束的质量因子4 8 4 2 2 非傍轴矢量高斯光束的质量因子5 1 4 3 结果与讨论5 7 结束语。 参考文献。6 0 附录i 攻读硕士学位期间发表的论文 插图清单 图1 1 g r e e n 定理积分曲面示意图2 图1 2 点光源照明的平面屏幕衍射计算示意图3 图1 3 平面屏幕衍射的r a y l o i 皿l - s o m m c r f e l d 理论计算示意图5 图l - 4 平面波角谱衍射理论角谱传递示意图8 图2 1 光流体模型示意图1 9 图3 1 平面波衍射的远场发散角随衍射孔径胁的变化4 0 图3 2 平面波衍射的束腰随衍射孔径风的变化4 1 图3 - 3 平面波衍射的m 2 因子随衍射孔径风的变化4 2 图3 4 平面波衍射的束宽随传输距离的变化4 2 图4 1 高斯光束远场发散角随绋的变化5 5 图4 2 高斯光束束腰随高斯光束束宽参量缟的变化5 5 图4 3 高斯光束m 2 因子随姊的变化5 6 图4 4 高斯光束束宽随传输距离的变化5 6 前言 传统的标量衍射理论定义光强为光振动复振幅模的平方，这种定义只适用于傍轴 标量光束，有很大的局限性。光强的精确定义3 = r e u ( 尹) v u ( 尹) 腩】刚1 郴1 可以描 述非傍轴标量光束的能量分布，其中万为观察曲面上任意一点外法线方向的单位向量。 但这种定义仍忽视了光场的矢量特性。光的矢量理论定义光强为单位时间内光束通过 单位面积的能量均值，即 元，其中雪为波印廷矢量，元为曲面上任意一点外法线 方向的单位向量。 另一方面，光束的束腰、远场发散角和光束质量因子是描述光束传播规律的重要 表征参量。基于传统光强二阶矩定义的傍轴标量光束的质量因子( m 2 因子) 满足 m 2 1 t ”7 1 ，质量因子越小，代表光束的能量越集中，光束质量越好；基模高斯光束 的膨2 因子等于1 ，因此具有最好的光束质量。然而传统光强定义下的二阶矩理论仅 适用于傍轴标量光束，对于束腰为波长量级，发散角很大的非傍轴衍射光束，则存在 严重的积分发散问题，必须通过定义功率密度，或能流密度的z 分量 来描述非 傍轴光束在横截面上的光强分布以及其传输特性。另外，光束的能量集中度是研究光 束能量传输的一个重要方面，在实际工程技术中，经常用桶中功率来描述光束的能量 集中度这一特性【m 埘】。 本文详细地叙述了国内外在非傍轴衍射光束方面的研究进展，并就光束的远场发 散角、束腰和质量因子等光束传输问题进行了讨论。采用非傍轴标量光束光强的精确 定义 和非傍轴矢量光束光强的严格定义 ，对二阶矩和桶中功率两种方法描述 的非傍轴光束的远场发散角、束宽以及光束质量等参量的定义和表征进行了讨论并给 出了相应的数学表达式。以平面波经圆孔衍射和自由高斯光束的传播两种情形为例， 对其远场发散角、束宽以及光束质量等传输特性等进行了详细的数值计算和比较分 析。结果表明，在非傍轴情形下，标量理论不能有效地描述光束的传播特性，必须采 用光场的矢量理论。目前关于非傍轴光束传播特性的研究还不甚完善，本课题希望在 该领域作进一步的研究，对实际非傍轴光束的研究工作具有一定的参考价值。 第一章基础衍射理论 衍射现象是光波传播过程中一种基本现象。当光在传播途径中遇到障碍物( 小孔 或细棒) 时，不再遵循直线传播规律，一部分光会“绕 过障碍物，射向阴影区域， 使得障碍物的投影边缘模糊。历史上，最早应用波动光学远离成功解释衍射现象的是 法国科学家f r e s n e l 。他把h u y g c n s 在1 7 世纪提出的h u y g c n s 原理用于解释衍射问题， 发展成h u y g e n s - - f r e s n e l 原理，从而较好的解释了衍射现象。在m a x w e l l 电磁理论出 现以后，人们认识到光波是一种电磁波，光的衍射可以作为电磁场的边界问题来严格 求解。但是光波的矢量解法相当复杂，很难得到解析结果。然而如果在光的传播与变 换过程中衍射平面不临近衍射场点，障碍物的尺寸远大于光波波长，并忽略m a x w e l l 方程中电磁矢量之间的耦合关系，并且把电矢量视为标量，则可以十分准确地通过标 量衍射理论描述光束传播的物理过程。标量衍射理论在实际工程实践中做出了巨大的 贡献。但随着近场光学的发展和小尺度大角度光源的广泛应用，标量衍射理论已经不 能满足实际需要，而且从本质上来讲光是电磁波，只有矢量描述方法才是准确的。因 此不论是在实际应用中还是在理论上，都有对光的矢量衍射理论做进二一步研究的必 要。本章主要介绍处理标量衍射问题的k i r c h h o 行衍射理论、r a y l e ig l l _ 一s o m m e r f e l d 衍射理论和平面波的角谱理论，以及矢量衍射理论的r a y l c i g h s o m m e r f e l d 衍射积分 表示和角谱表示。 1 1 传统标量衍射理论 1 1 1k i r c h h o f f 衍射理论 k i r c h h o f f 标量衍射理论通过g r e e n 定理和k i r c h h o f f 方程，对空间中任一点的光场 都通过包围该点的任意闭曲面上波动方程的解及其一阶导数表示；二是对衍射光场的 边晃条件做出两个基本假设瞄之3 1 。 设对于单色波，标量光场可以表示为 u ( x ，y ，z ，f ) = u ( x ，y ，z ) e x p ( 一i 2 n w t ) ( 1 1 1 ) y 是光波的频率，v ( x ，y ，z ) 为p ( x ，y ，z ) 处的复振幅。将( 1 ，1 ，1 ) 代入标量波动方程 v 2 u 吾等t = oc 。 可以得到不含时间因子的h e l m h o l t z 方程 ( v 2 + 七2 ) u ( z ，y ，z ) = 0 ( 1 1 2 ) ( 1 1 3 ) l 上式中k = 2 刀五，为光波的波矢量，旯为光波在真空中的波长。显然，在自由空 间中传播的单色光的复振幅均满足式( 1 1 3 ) 。 通过g r e e n 定理，k i r c h h o f f 从h e l m h o l t z 方程中解出u ( 石，y ，z ) 。通过g r e e n 定理 可以计算空间一点上的复扰动。g r e e n 定理可表述如下：令u ( x ，y ，z ) 和c ( x ，y ，z ) 为两 个任意的以位置为变量的复函数，并令s 为包围体积v 的封闭曲面。如果u 和g 以 及它们的一阶和二阶偏导数都在体积v 及闭曲面s 上单值、连续，则有 眇g v 2 u w 2 g = 氧g i o u u 署卜 m 句 式( 1 1 4 ) 的左边表示在积分区域为v 的体积分，右边是积分区域为s 的面积分， 彰锄为外法线方向的偏导数。 选取自由空间中的g - r e e n 函数为g 函数，即 g ：e x p ( i k r ) ， ( 1 1 5 ) 函数g 的物理意义为以考察点p 为中心单位复振幅向外发散的球面波，式中，为 考察点p 到空间中任意点之间的距离。由于函数g 在考察点尸点处不连续，所以必须 选取半径为占的微小球面墨包围尸点( 如图1 - l 所示) ，g 才可以满足连续性要求。 图1 - ig r e e n 定理积分曲面示意图 在体积v 内使用g r e e n 定理，有 l f f c 钾2 u u v 2 g 砂= 髫( g 署i 一u 鼍卜 ( 1 6 ) y s + s 。 “ ， 在上式中，等号左边是对s 与所围的体积积分，等号右边是对s 与足曲面的积 分，曲面正方向为外法线方向。由h e l m h o l t z 方程求出了观察点p 的光场复振幅 u ( x ，y ，z ) 为 2 酢c w 力= 去科等塑掣一曝 婴竽 卜 m 式( 1 1 7 ) 称为h e l m h o l t z - - k i r c h h o f f 积分定理。该式给出了空间任意一点场强的求 法。该式从理论上说是严格成立的，但由于边界条件的复杂性和不可知性，该式的应 用有很大的局限性。 设只处有一点光源，其发出光束是球面波，入射到无限大平面屏，屏后某一空间 观察点p 的场强可由k i r c h h o f f 积分定理求出( 如图1 2 所示) 。在r 远大于波长的情 况下，考虑到s o m m e r f e l d 辐射条件9 2 3 1 及k i r c h h o f f 的边界条件假设瞄- 2 3 ，即： ( 1 ) 孔内各点，玑及其偏导数不变。 ( 2 ) 孔外的点，砜和其偏导数( 法线方向) 都为零。( 1 1 7 ) 式可化简为 啪删= 去9 ( g i a u o u 。a 锄g e s ( 1 1 8 ) 图l o 点光源照明的平面屏幕衍射计算示意图 置处光场为= e x p ( i k r o ) 几，将g r e e n 函数g = e x p ( i k r ) r 和入射光的表达式 代入式( 1 1 8 ) ，有 坼( 工，y ，z ) ：去f ( p 。) e x p i k ( r + r o ) 竺堑翌三掣栅 ( 1 1 9 ) z 以?隈 z 这个结果称为f r e s n e l k i r c h h o f f 衍射积分公式，该式只限于单个点光源情形。 由于沿z 轴平行入射的平面波可以视为点光源在z 轴负向无限远处的球面波，此 时c o s ( 元，昂) = - 1 ，于是( 1 1 9 ) 式可进一步简化为 3 i碍 咖力= 击黟c a ，掣 2 ( 1 1 1 0 ) 虽然在一般情况下( 指傍轴且观察距离远大于波长的情况) ，k i r e h h o f f 衍射公式 可以给出符合实验结果的结论，但从理论上来说，k i r c h h o f f 理论本身存在严重的不自 洽性，这种不自洽性主要源于k i r c h h o f f 边界条件假设。其一，经典电动力学中的唯 一性定理与k i r c h h o f f 边界条件不相容。k i r c h h o f f 边界条件假设屏的不透明部分的光 场的复振幅及其法向一阶导数均为零；但根据电动力学，若波动方程的一个解在任意 非无限小面元上的光场及其一阶导数都为零，则该解就是平凡解陋1 ；显然这个结论 与k i r c h h o f f 边界条件相矛盾。其二，k i r c h h o f f 的边界条件没有考虑到光场与物质边 界的相互作用，还有一点就是，当z 川时，衍射公式不能回复到k i r c h h o f f 边界条件， 这在数学上也是不自洽的。 1 1 2 平面屏的r a y l e ：i g h _ s o m m e r f e l d 衍射理论 通过改变g r e e n 函数的表达式，可以使衍射屏处入射光场的复振幅和一阶法向偏 导数不必同时为零，从而解决了k i r c h h o f f 衍射理论数学上的不自洽性。 r a y l e i g h 和s o m m e f f e l d 选择了两种新的g r e e n 函数，即 g - ：e x p q k r ) 一e x p ( i k r 一 ) ， q ：e x p ( i k r ) + e x p q - k r 一 ) ， ( 1 1 1 2 ) 以上两式中等号右边第一项e x p ( i k r ) r 表示中心在观察点p 处的发散球面波；第 二项e x p ( i k r ) r 表示中心在尸点的发散球面波；p 是尸点关于衍射屏的镜像点：芦 与芦分别是p 与p 到衍射孔内一点毋的矢径，各个物理量的意义如下图l - 3 所示。 4 条件，对u 应用 c o s ( 元，尹) 钌 ( 1 1 1 3 ) 上式被称为第一类r a y l e i g h s o m m e r f e l d 衍射公式。 同理，若选定g 为g r e e n 函数，积分只需对复振幅的一阶导数o u o n 施加边界 条件，于是对o u o n 应用k i r c h h o f f 边界条件，得到第二类r a y l e i 皿r s o m m e r f e l d 边 界条件： ( 2 ) 在孔外的点，其光场的一阶偏导数o u a n 等于零。 ( 1 ) 在孔内，光场o u o n 的分布与没有衍射屏时完全相同。 在， 允情况下，k 1 r ，有 = 芴1g 掣鲁嬲( 1 1 1 4 ) 上式被称为第二类r a y l e i 曲一s o m m e r f e l d 衍射公式。 从理论上来说r a y l e i g h _ s o m m e r f e l d 衍射理论应该是优于k i r c h h o f f 衍射理论的， 因为r a y l e i 邮o m m e r f e l d 衍射公式克服了k i r c h h o f f 衍射理论边界条件与唯一性定理 的矛盾。但对一般情况( 指远场、近轴的衍射情况) 来说，k i r c h h o f f 理论已经是比较 精确的理论了。从另一个方面讲，r a y l e i 曲一s o m m e r f e l d 衍射理论也没有考虑到衍射 屏与光场的相互作用。而且就光场与衍射孔边缘物质的作用结果而言，其作用只在几 个波长范围内有效，超出此范围其影响就十分的微弱了。而在此范围内，标量近似本 身就已经不适用了，必须采用更加精确的矢量衍射理论。因此，k i r c h h o f f 边界条件在 标量近似的前提下是精确的【巧】。 另外，从公式表述上来看，第一类r a y l c i g h - s o m m e r f e l d 衍射积分公式与k i r c h h o f f 衍射积分公式的区别在其倾斜因子k ( o ) 不同， f 七( p ) = c o s ( 元，尹)( 第一类r a y l e i g h 一勋聊聊咖肘衍射积分公式) j 七( 曰) ：竺掣( 鼢砌 够衍射积分公式) 因此这两种衍射理论可以写为统一的形式 u c p ) ：三f 陬里盟k ( o ) d s ( 1 1 1 5 ) t a , 訾， 上式与波动光学中的h u y g e n s - - - f r e s n e l 原理相一致，即波前方一点p 的光场是由 各子波源对该点光场的贡献之和决定的，并给出了倾斜因子k ( o ) 的数学表达式。由此 可见，这两种理论都深刻的揭示了衍射现象的物理本质，都能近似真实地描写衍射现 象。 1 1 3 平面波的角谱理论 k i r e h h o f f 衍射理论和r a y l e i 曲一s o m m e r f e l d 衍射理论都是在空域中对衍射问题进 行讨论，在频域中也可以对衍射问题进行讨论，在频域中讨论衍射问题的理论就是角 谱理论。众所周知，对一列信号做f o u r i e r 变换，可以得到其f o u r i e r 频谱分布。同样， 若对任平面上光场分布做f o u r i e r 分析，则各个空间f o u r i e r 分量可以看成是沿不同方 向传播离开这个平面的平面波，可以通过对f o u r i e r 分量的积分( 即求和) 求出空间 任一点的光场，当然，每一个f o u r i e r 分量都要乘上一个指数项，表示该f o u r i e r 分量 在传播过程中产生的相移。 设单色波沿着z 轴正向投影到x o y 平面上，z = o 处光场的表达式为u ( x ，y ，0 ) ，则 入射函数u ( x ，y ，0 ) 在x o y 平面上的频谱函数4 ( 正，六) 可表示成 4 ( 正，) = ，u ( 工，y ，o ) e x p 卜i 2 x ( x f , , + y f y ) d x d y ( 1 1 1 6 ) 6 其f o u r i e r 逆变换为 u ( x ，y ，o ) = ，4 ( 六，f y ) e x p i 2 z r ( x f x + y f y ) d f 。d f y ( 1 1 1 7 ) 从f o u r i e r 变换的角度讲，( 1 1 1 7 ) 式表示空间域函数u ( x ，y ，0 ) 是频率域函数 a o ( l ，) 的f o u r i e r 逆变换，而从频谱分解的角度可理解为空间域函数( 厂( 石，y ，o ) 可以 展开成以空间频率为变量的一系列基元函数唧【f 2 万( 矾+ 螈) 】的和。频谱函数 4 ( 正，) = ，f v ( x ，y ，o ) e x p - i 2 z r ( x f ，+ y f y ) d x d y 称为入射光场v ( x ，y ，o ) 的角谱。 如图1 - 4 所示，设z - - o 和z 处的角谱和光场分布为4 ( 六，乃) 、彳：( 六，乃) 及 u ( x ，y ，o ) 、u ( x ，y ，z ) ，u ( x ，y ，z ) 和4 ( 正，) 也满足f o 嘶e r 变换和f o u r i 盱逆变换关 系 4 ( z ，) = ，j v ( x ，y ，z ) e x p 一i 2 f f ( x f ，+ y f y ) d x d y ( 1 1 1 s ) u ( z ，y ，z ) = f ，4 ( z ，) e x p f 2 刀( 矾+ 所) 】织彬 ( 1 1 1 9 ) 从上式可以看出，如果已知z 处角谱函数彳：( ，) ，就可以确定衍射屏后任意一 点的光场，下面来讨论函数么。( 正，) 和函数彳：( 六，乃) 的关系。 将式( 1 1 1 6 ) 带入h e l m h o l t z 方程2 + k 2 渺( 工，y ，z ) = 0 ，可以得到 地删叫“，。) e x p z 降) 瓜丽 m 地。， 上式称为角谱传递关系式。将式( 1 1 1 7 ) 进行f o u r i e r 逆变换，得到 u ( 五弘z ) = 也4 ( 正， 0 ) 唧( z 等 ) x l - ( i f , 2 - a f y 2 e x p i z 2 万( 矾+ 所) 识彬 ( 1 1 2 1 ) 7 u ( x ，y ，0 )u ( x ，y ，z ) 。l l ，f a 舶，l v ， 二 、 z = 0 z=g z 图l - 4 平面波角谱衍射理论角谱传递示意图 从( 1 i 2 0 ) 式可以看出，在砰+ = 1 牙情况下，即矾= 扣= 五万f 丽= o ， 或表示为正= 0 。正为z 方向光波的空间频率，这说明z 轴与该平面波的传播方向是 垂直的，在z 方向的净能流为零。而当+ 1 刀时， 、i = 瓦否f 刁万为虚数，( 1 1 2 0 ) 式变为 抛而加似而。) e x p 一等z 肛丽 ( 1 1 2 2 ) 上式表明对于满足1 一( 矾) 2 一( 矾) 2 l l ，- j 唧1 2 万( 矾+ 历) 织彬 ( 1 1 2 4 ) ( 1 1 2 5 ) 为倏逝波，即在空间中迅速衰减的波。将( 1 1 2 3 ) 式代入傍轴标量光束的光强表 达式，即，= l u ( 尹) 1 2 ，可将光强展开为 l ( x ，y ，z ) = l u f x ，y ，z ) 1 2 = 厶( x ，y ，z ) + j ，( x ，y ，z ) + 厶；( x ，y ，z ) ( 1 1 2 6 ) 第一项为传播波的强度，第二项为倏逝波的强度，第二项则为干涉项， l ( x ，y ，z ) = l v , c x ，y ，z ) 1 2 厶( x ，y ，z ) = l v , c x ，y ，z ) 1 2 厶( x ，y ，z ) = 乙，：( 工，y ，z ) q ( 工，y ，z ) + l _ ( x ，y ，z ) ( x ，y ，z ) ( 1 1 2 7 a ) ( 1 1 2 t o ) ( 1 1 2 7 c ) 9 即光强由传播波、倏逝波以及它们之间的干涉项的和来决定。可由 ( 1 1 2 7 ) 式证明在观测面上光场的总能流可表示为 1 2 矢量衍射理论 ( z ) = 俨( 石，y ，z ) d x d y = 如( z ) + 跣，( z ) ( 1 1 2 8 a ) 唆( z ) = f j l u “x , y ，z ) 1 2 d x d y ( 1 1 2 8 b ) ( z ) = f f l u , ( x , y ，z ) 1 2 d x d y ( 1 1 2 8 c ) 电磁场的普遍运动规律是由m a x w e l l 方程组描述的，该方程是矢量形式的，因此 电磁场的解也应该是矢量形式的。同时在工程领域中也出现了大量需要矢量衍射理论 才能够解决的问题。因此无论是在理论上还是实践中，对矢量衍射理论的研究都是必 要的。矢量衍射理论有多种，本节主要研究矢量r a y l c i 曲一s o m m e r f e l d 衍射积分公式 法和角谱分析法。 1 2 1 矢量衍射理论的r a y l e i g h s o m m e r f e l d 衍射积分表示 1 2 1 1 r a y l e i g h s o m m e r f e l d 衍射积分的精确形式 设入射光在衍射屏处的光场为雷( 而，y o ，o ) = e a x o ，y o ，o ) - i + e , ( x o ，y o ，o ) 歹，通过 r a y l c i g h _ s o m m e r f e l d 衍射积分可以求出屏后z 0 区域的光场分布，其形式可以表述 如下： 一e x p ( i k r ) 吾唧附半) m 2 巨( w ，z ) ：气i z e x p ( - i k r ) f j e ( x o , y o , o ) 唧r _ 腩监盟、1 氓毗 ( 1 2 1 b ) 村r 。二 r ) e - ( x , y , z ，= 去心c x o , y o , 0 ) 掣氐妣吲x o , y o , o ) o c 缈( r r 。) j 出o d y o ( 1 2 1 c ) 1 0 焉： + 歹；尹：工 + y j + 磊； g ( ) ：里磐； r = i 尹一焉i = 抓i 五了石= 丽是观察点到光源之间的距离。 1 2 1 2 r a y l e i 曲一s o m m e r f e l d 衍射积分的近似形式 精确形式的r a y l e i g h s o m m e r f e l d 衍射积分由于在数值计算上的困难，在实际 中极为不便，需要寻找有效的近似公式。在不同的情形下，r a y l e i g b _ s o m m e r f e l d 衍 射积分有不同的近似形式。 有 1 ) r a y l e i 岬o m m e r f e l d 衍射积分的矢量非傍轴近似 在非傍轴近似下【2 7 也引，有 尺= i 尹一焉i = 石i ：五f ：i 歹二j 丽，+ 兰羔2 孟挚 一r 弓唧+ 纽哮逝) m 2 固 在r 远大于波长的情况下，光场的非傍轴近似为2 7 】 巨( 毛y z ) = 一告孚，! e ( x o , y o , o ) e x p ( 访立坐e 垒2 r 虻熟 氐妣 rr 。二j ( 1 2 3 a ) 驰拂加一：i zc x p ( i k r ) j ! e y ( x o , y o , 0 ) e x p ( 跃纽警卜妣 ( 1 2 3 b ) 球幽垆上a r 型r 舡( x o , y o , o 训吲砌，0 ) 沪删 卿卜盘警卜妣 ( 1 2 3 e ) 1 1 则 在远场条件下r 可以进一步写成【2 9 】 r ，一x x o + y y o ， 一e x p ( i k r ) l o x p i 谤( ，一半) m 2 句 e ( 五y 力= 一砉掣鹱e ( x o , y o , o ) e x p l 一诸堕孚丛 氐砒 ( 地5 a ) 弓( 而y 力= 一杀孚也b ( x o , y o , o ) e x p i 一访堕芋丛) 奴砒 ( 1 2 5 b ) 驰删= 去竿j 陬批 o ) ( h ) + e y ( x o , y o , o 渺训】 唧( 一腩半) 氐砒 上式为非傍轴远场近似下光场的r a y l c i 曲一s o m m e r f e l d 衍射积分公式。 2 ) r a y l c i g h _ s o m m e r f e l d 衍射积分的傍轴标量近似 在傍轴标量情况下，将( 1 2 2 ) 7 f f l ( 1 2 4 ) 式中的，用z 代替【2 9 】，可以得到 ( 1 2 5 c ) 一e x p ( i 嫒) 纠诸( z + 捌警立) m 2 固 一e x p ( i k r ) l o p 腩( z 一半) 2 刀 于是( 1 2 3 a ) 式和( 1 2 5 a ) 式可以写成 e a x , y , z ，= 一砉掣! 色( ：c o , y o , o ) e x p ( 髓豆生垂挚 氐砒c 他8 曲 1 2 晟( x ，y ，z ) ：一了i e x p ( i k z ) f 了乓( 而，o ) e x p ( 一访型逝1 氓毗 ( 1 2 8 b ) 以z 。二 z 式( 1 2 8 a ) 即傍轴标量近似，式( 1 2 8 b ) 为远场傍轴标量近似，即f r e s n e l 近似和 f a u n h o f e 近似。 1 2 2 矢量衍射理论的频域表示方法 1 2 2 1 精确角谱表示的矢量衍射理论 ， 在自由空间中，单色波的传播由波动方程及各电场分量的耦合关系共同决定，即 黑曹 其中j | = 等为波矢量，雷为电场强度。在z o 空间中， 上式的解为【4 】 ( 1 2 9 ) e a x , y ，z ) = ，4 ，( p ，q ) e x p i k ( p x + q y + m z ) d p d q ( 1 2 1 0 a ) 髟( x ，y ，z ) = ，似y ( p ，q ) e x p i k ( p x + q y + m z ) d p d q ( 1 2 1 0 b ) t c 五夕力= 一j ! 鲁a o x ( p , q ) + q a o yc p 砌 e 冲陋c 刀+ 秽+ 彪，勿由c 他舯。 ( p , q ，m ) 为波矢量云的方向余弦，p = 允兵，q = 2 f y ，六和乃为坐标轴x ，y 方向 的空间频率， p 2 2 + q 2 2 1 当p 2 + 9 2 1 时，式( 1 2 1 0 a ) 、( 1 2 1 0 b ) 、( 1 2 1 0 e ) 表示传播波，当p 2 + 9 2 1 时， 上面三式则对应于随传输距离z 的增加而迅速衰减的倏逝波。一般传播距离超过几个 波长时，倏逝波就可以忽略。角谱4 ，( p ，g ) 4 ，( p ，g ) 可由z = 0 处电场的边界条件 1 3 扩妒九岬”舻 ，l 舻 豆( z ，y ，o ) = e y ，o ) + 髟( x ，y ，o ) 歹来确定，即 4 ，c p ，g ，= ( 去) 2 鹱e c 工，y ，。，唧卜访c 彤+ 秽，螂 c - 2 - 2 曲 a o , ( p , q ，= ( 去) 2 o o 弘删唧c + q y ) d r , d y m 2 胁， 对于矢量衍射场，另一种常见的角谱表示形式为【5 1 舐舻，= 黼眵酬一 学”2 埘l l 一： jj 卢= 厩+ 哆，= 吒瓦+ 砖弓，k x = 0 f 再，豆( ) 为衍射孔内光场横向 分量豆似y ，o ) 的频率函数 豆( 艺) = 西矛1 i 呻( 一驴) 巨( x ，y ，。) d 2 声 ( 1 2 1 4 ) 1 2 2 2 级数表示的矢量衍射理论 对于矢量衍射理论计算一般都很困难，因此一般采用级数解来近似精确的积分结 果。在忽略倏逝、波【1 2 1 5 1 的条件下，可将指数项c x p ( 也z ) 展开，有 e x p ( i k ：z ) = e x p ( 崩z - 一三( 誓) 2 一丢( 等) 4 + c 2 5 ， 啪力扩舾一铆唧降z 卜，二2 m 2 舶， 将式( 1 2 1 5 ) 保留至第三项，代入式( 1 2 1 3 ) ，衍射场的横向分量可近似表示为 通过指数近似 唧( - f 参z ，一z 参z 可求得衍射场横向分量的二级近似级数解 1 4 e x t 2