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摘要 乘积构形的良划分性 摘要 可约构形可以分解为若干个子构形，我们把对可约构形的研究归 结为对它的子构形的研究，这大大简化了对构形某些性质的研究。本 文主要讨论了乘积构形的良划分性问题。通过本文可以将对高维空间 的乘积构形的良划分性的研究转化为低维空间上的每个因子构形的良 划分性的研究。 因为中心构形类是一类特殊的超平面构形类，所以本文首先利用 内直积与外直积的关系证明了中心构形类下乘积构形的良划分性。具 体地，根据构形么= 饵。，h ：，h 。 可约，不妨令因子构形 = 巧，瓦) ， = 簖，瓦j ，如下构造4 1 ，a 2 ：q = 耳。圪，1 f s 朋，a 1 = q ，以) ； q + 。= ko 弓，1 j 七，a 2 = 。小，h 。 。由此我们可以通过构形4 1 ，a 2 将 构形a 与因子构形 ， 相联系，证明乘积构形是良划分构形的充要 条件是每个因子构形都是良划分构形。然后将此结论从中心构形推广 到仿射构形。 本文最后通过一个具体实例说明了乘积构形良划分性定理的几何 意义。 关键词：超平面构形，乘积构形，良划分，诱导划分 英文摘要 n i c ep a r t i t i o no fp r o d u c ta r r a n g e m e n t a b s t r a c t t h es t u d yo ft h er e d u c i b l ea r r a n g e m e n tc a l lb ea t t r i b u t e dt ot h es t u d y o ff a c t o ra r r a n g e m e n t sb e c a u s et h er e d u c i b l ea r r a n g e m e n t sc a nb e d e c o m p o s e di n t os e v e r a lf a c t o ra r r a n g e m e n t s ，w h i c hg r e a t l ys i m p l i f i e st h e s t u d yo fs o m ep r o p e r t i e so fa r r a n g e m e n t s i nt h i sa r t i c l ew ef i r s tp r o v et h en i c e p a r t i t i o no fp r o d u c ta r r a n g e m e n t s u n d e rt h ec e n t r a la r r a n g e m e n t su s i n gt h er e l a t i o n s h i po fd i r e c tp r o d u c ta n d o u t e rd i r e c tp r o d u c tb e c a u s et h ec e n t e ra r r a n g e m e n t sc l a s si sas p e c i a lc l a s s o f h y p e r p l a n ea r r a n g e m e n t s c o n c r e t e l y ，a c c o r d i n gt ot h er e d u c i b i l i t yo f 么= p l ，h 2 ，h 。) ，w em a y w i s ht om a k et h ef a c t o ra r r a n g e m e n t s = 瓦，瓦 ， = 茁，亏 ，a n dt h e nc o n s t r u c t , a i 么2 ： q = 虿ok ，l i m ，a 1 = q ，以 ；q + m = 巧。亏，l j k ，a 2 = 风小，峨 f r o mt h i sw ec a na s s o c i a t eaw i t h a 1 ，a 2u s i n g4 ，a 2 ，p r o v i n gt h a tt h e p r o d u c ta r r a n g e m e n ti san i c ep a r t i t i o na r r a n g e m e n ti fa n do n l yi fe a c h f a c t o ra r r a n g e m e n ti san i c ep a r t i t i o na r r a n g e m e n t t h e nw ep r o m o t et h i s c o n c l u s i o nf r o mt h ec e n t r a la r r a n g e m e n t st oa f f i n ea r r a n g e m e n t s f i n a l l yw ei l l u s t r a t et h eg e o m e t r i cs i g n i f i c a n c eo ft h et h e o r e mt h r o u g h ac o n c r e t ee x a m p l e k e yw o r d s ：h y p e r p l a n e a r r a n g e m e n t ；p r o d u c ta r r a n g e m e n t ；n i c e p a r t i t i o n 符号说明 符号说明 域 超平面构形 k 上的向量空间 向量空间的维数 4 中的超平面 构形a 中超平面的所有非空交的偏序集合 l ( a ) 中的元 构形a 的划分 构形一4 中所有包含x 的超平面构成的a 的子构形 构形如的划分 x 的秩( 余维数) 超平面构形么的中心 l 中所有包含x u r 的元的交 v l 、一、 、l，pl a n u 4 、 ，- 一 z r j，_一 ， 足 4 矿 ， 胃州x 万 州 北京化工大学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立 进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含 任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重 要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声 明的法律结果由本人承担。 作者签名：兰塑耋 日期： 函 b 茸s 鼠2 土l i l 关于论文使用授权的说明 学位论文作者完全了解北京化工大学有关保留和使用学位论文的 规定，即：研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属北京 化工大学。学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件 和磁盘，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全部 或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学 位论文。 保密论文注释：本学位论文属于保密范围，在上年解密后适用本授 权书。非保密论文注释：本学位论文不属于保密范围，适用本授权书。 作者签名：兰塑查 导师签名：刍置叁 日期：丝垒圭望兰盟 日 期：尘舀盘耻盟 i 第一章绪论 第一章绪论 1 1 超平面构形的研究历史【1 。屹l 超平面构形是近3 0 年来受到国际上广泛关注的研究领域，其结果在代数，拓 扑，分析( 超几何函数) ，物理( k z - 方程) 有广泛的应用。 自从j l w o o d b r i d g e l 9 4 3 年在美国数学月刊上提出的“证明切n 刀后的 奶酪最多有垒丛氅二型旦块 问题之后，超平面构形的研究得到了广泛的注意。 这是一个初等数学问题，可以用数学归纳法证明。一般地，刀个点可以将一条直线 分为刀+ l 部分，以条直线最多可以将一个平面分为1 + ，l + f ：l 部分，刀个平面最多 可以将一个空间分为t + 疗+ ( 兰) + ( ：) 部分，l s d n a n ；进一步得到了以个超子面分割 m 维奶酪所得最多块数的公式：，+ 靠+ ( 兰 + ( ；) + ( 三) 。为了使分得的块数最大， 问题中构形的平面必须在“一般位置 。所谓的“一般位置就是说，任何两个平 面相交于一条公共直线，并且这些直线是不同的；任何三个平面相交于一个公共 点，并且这些点也是不同的。如果不要求平面处于“一般位置 ，将使计数问题变 得复杂困难得多。 1 9 7 5 年，t z a s l a v s k y 在构形的研究中7 1 入了删除一限制法，得到了计数问题 的递归计算公式，并且在构形的元的非空交集三( 4 ) 上，用反包含定义了偏序关系， 用三( a ) 的莫比乌斯函数伍) 定义了它的特征多项式z 似，t ) 和庞加莱多项式 万似，t ) ，证明了构形的三元组的庞加莱多项式的关系：万( a ，t ) = 万f a ，t ) + 历f 4 。，t 1 ， 、，、， 得到构形余集块数的漂亮结果：余集块数等于庞加莱多项式在1 处的值。 此后，更多的工具被用于研究超平面构形。p o r l i k 和l s o l o m o n 用组合的方 法研究了复构形的余集。他们用b r i e s k o n 的结果计算任意复构形余集的庞加莱多 项式，发现了余集的庞加莱多项式等于构形的庞加莱多项式。因此余集的b e t t i 数仅依赖于超平面相交偏序集。p o r l i k 和l s o l o m o n 也定义了基于工( 4 ) 构造的 分次代数彳似) ，它是4 的外代数e ( a ) 与齐次理想，) 的商，他们用生成元的关 系给出了复构形余集的上同调环的一种表示，并考虑了复反射构形。 超平面构形导致了各个方面的研究，很多学者从不同的角度对超平面的组合 北京化工大学硕士学位论文 问题进行了试探性研究，并取得了很大的进展，其理论成果广泛应用于各个领域。 1 2 课题来源 在，维向量空间中，称余维数为1 的仿射子空间为超平面。超平面是平面中的 直线，空间中的平面的推广，有限个超平面的集合称为超平面构形。这是较为简 单的代数曲面，具有很好的代数、几何和拓扑性质。 设构形a 是满足，( a ) = ，的超平面构形，我们记t = t ( a ) 。如果当对于所 有的z y ，都有zv ( x 聊= ( z v ay 成立，则称对( 置”l xl 是一个模对。 元素x l 称为模元当且仅当对v y l 都有( x ，】，) 是模对。当三似) 有一个模元极 大链y = x o x 。 五= t 时，称4 为超可解构形。设万= ( 万i ，万，) 为y 中构 形4 的一个划分，若( 1 ) 万是独立的；( 2 ) 对杆三 啊，万对彳的限制划分 万r = ( 4 rn 互，4 rn 互1 都包含一个单元块，则称万是构形a 的良划分。 超可解构形和良划分构形都是特殊的超平面构形类，每个超可解构形都是良 划分构形，但是并非每个良划分构形都是超可解构形，即超可解构形类是良划分构 形类的真子类。己知乘积构形为超可解构形的充要条件是每个因子构形都是超可 解构形，我们希望把上面的结论推广到良划分构形，对良划分构形证明相应的结 论：乘积构形为良划分构形的充要条件是每个因子构形都是良划分构形。乘积构 形4 = 日，h ，日。 是可约的，不妨记为a = a ，v = kok ，则有构形 = ( - a ，k ) = 耳，瓦) ， = ( 4 ，) = 簖，i ， 使得4 = = e e 7 2lq e 4 u ko i ) ，记 e = q o k ，l f 埘 ， a 1 = q ，巩) ；q + 。= ko 亏，1 j 后，4 2 = f 。+ 。，h 。 ，则a = 4 1u 4 2 。 在证明因子 ，a 为良划分构形时，分别将 的划分万。= ( 万：，刀：，万：) 和4 的 划分万。= ( 万? ，万：，万二) 对应于4 1 的划分万1 = 协：，万：1 ，万：) 和a 2 的划分 万2 = ( 万? ，刀：2 ，万：) ，即将 的划分万= ( 万：，乃：，万：) 和 的划分 万。= ( 万? ，万：，万二) 的独立性对应于4 1 的相应划分万1 = 协：，万：1 ，万：) 和4 2 的相 应划分石2 = ( 万? ，万：2 ，万：) 的独立性，将 上的诱导划分万二与a 上的诱导划分 万二依次对应于a 1 上的相应诱导划分刀二和a 上的相应诱导划分巧2 。 第一章绪论 本文第一章简单的介绍了课题研究历史，本课题的来源，前人研究成果以及 本文的主要结论，并且介绍了超平面构形的相关知识；第二章证明在中心构形类 下，乘积构形是良划分构形的充要条件是每个因子构形都是良划分构形；第三章 将第二章结论推广到仿射构形；第四章给出实例，说明了第二章定理的几何意义。 1 3 前人的研究成果 文献 1 只给出了乘积构形与良划分的定义，没有讨论乘积构形在什么情况下 是良划分构形的问题。 文献 1 3 证明了良划分构形的乘积仍为良划分构形。在只考虑中心构形的前 提下，对超平面的格给出如下运算性质： ( 1 ) 若4 ，b 是超平面中心构形，x o 】，l ( a 召) ，其中x 似) ；y l ( b ) ， 则有厂伍o 】，) = ，伍) + ，( y ) 。 ( 2 ) 设五ok l ( a b ) ，且置。匕l ( a b ) ，x ，五l ( a ) ，z ， 艺( 侈) ，则有( x 。o k ) v ( x 2o 匕) = ( x 。v 彳2 ) o ( _ v 匕) 。 通过运用以上的格的运算性质，结合超可解构形的模元极大链，作者证明了 乘积构形为超可解构形的充要条件是每个因子构形都是超可解构形。考虑到超可 解构形都是良划分构形，进一步对中心构形证明了乘积构形为良划分构形的充分 条件是每个因子构形都是良划分构形，但没有证明条件也是必要的。本文将对中 心构形证明条件也是必要的，即由乘积构形是良划分构形可推出每个因子构形都 是良划分构形。最后将乘积构形有良划分当且仅当每个因子构形有良划分的结论 从中心构形推广到仿射构形。 1 4 本文的主要结果 1 根据内直积与外直积的关系，构造与因子构形4 ，4 相对应的构形a 1 ，a 2 ， 通过a 1 ，a 2 将构形a 与因子构形4 ， 向联系，证明了中心构形类下：若构形4 可约，a = ，v = k o k ，贝, u n n ( a ，矿) 为良划分构形的充要条件是每个构形 ( ，k ) ，( ，) 均为良划分构形。 2 首先推导引理：若仿射构形么可约，4 = ，v = kok ，则可得对 x = x 。o x ：有如= ( ) 五( ) z ：感立。然后根据中心构形类下的已有结论，将 结论从中心构形类推广到仿射构形类。 北京化工大学硕士学位论文 3 通过具体实例说明了定理的几何意义。 1 5 选题的意义 随着空间维数的增加和超平面个数的增多，超平面的结构会变的非常复杂， 同时使得研究复杂超平面的某些性质时也产生了困难。超可解性和良划分性是超 平面构形的两个很好的性质，由于对复杂的可约构形的超可解性的研究可以转化 为对其因子构形的超可解性的研究，并且超可解构形类是良划分构形类的真子类， 本文主要讨论构形的良划分性，将复杂构形的良划分性判定转化为简单的因子构 形的良划分性判定。 1 6 预备知识 设y 是域k 上的，维向量空间，y 中余维数为l 的仿射子空间称为y 中的超 平面，y 中有限个超平面的集合a = 日l ，一，h 。) 称为y 中的超平面构形，简称为 构形，记为4 = ( 4 ，矿) 。若构形a 中所有超平面的交t = n h 非空，则称4 是中 1 t 心构形，且称t = n h 为a 的中心；否则，称a 为非中心构形。记构形4 的空间 五矗 y 的维数为d i m ( aj ，且记4 中超平面的法向量张成的子空间的维数为r a n k ( a ) ， 如果r a n k ( a ，= d i m ( a ，则称4 是本质的，否则称a 是非本质构形。非中心构形 与中心构形具有密切的联系。通过锥化过程与解锥过程可以将两者相联系【1 4 】。 设4 = 日h 。) 是矿中的构形，= 三( 4 ) 为a 中元素所有非空交的集合， 即似) = h f in 日。：n n h h n nq ，1 f ， 如 厅) ，这里约 定矿l ( a ) 为后= 0 个超平面的交。设x ，y l ，x 人j ，表示所有包含x uy 的交， 称为x ，】，的遇( m e e t ) ，x vy 表示所有包含x n y 的交，称为x ，】，的联( j o i n t ) 。 对xy l ( a ) ，规定x y 铮xdy ，贝ul ( a ) 在偏序下构成几何格m 1 。对 x l ( a ) ，称x 的余维数，即，- d i m ( x ) 为x 的秩，记为r ( x ) 。约定对x ( 么) ， 4 x = 日4 i zsh ) 。设4 。= ( ，巧) ，a ：= ( ，) 是超平面构形，称矿= r i mok 中 的超平面构形 h 。o 吒le l ) u ko4 i4 ) 为4 。，a ：的乘积，记为 4 第一章绪论 。容易看出，l ( a 。a ：) 兰l ( a 。) l ( a ：) ，五sy , 五o e 当且仅当 五五，墨k 。 对超平面构形4 = 似，矿) ，若存在构形( ，k ) ，( ，匕) 满足杉l ，i = 1 , 2 ， 使得y = ko 且a = a x a ：，则称4 可约，否则称a 不可约。 设似，矿) 是超平面构形，称( x ，y ) l ( a ) x l ( a ) 是一个模对，若对v z l ( a ) 且z y ，有z v ( x 聊= ( z vx ) a y 。若x l ( a ) ，v y l ( a ) ，( x ，y ) 都是模 对，则称x 是模元。x l ( a ) 是模元当且仅当v y l ( a ) ，有 ，( + ，( 】r ) = r ( x 人】，) + r ( xvy ) 。 设万= ( 万l ，一，乃) 是超平面构形4 的划分，若对呱乃，1 f t ，都有 ，( h iv vh ，) = f 成立，则称划分万是独立的。设万= ( 万l 一，7 ，) 为y 中构形a 的 一个划分，若( 1 ) 万是独立的；( 2 ) 对vx 三 v ) ，万对x 的限制划分 = ( 以n 乃， n 乃) 都包含一个单元块，则称万是构形一4 的良划分。 5 第二章中心构形的良划分性判定 第二章中心构形的良划分性判定 2 1 中心构形下的符号说明 由于中心构形是一类特殊的超平面构形类，它具有良好的几何性质，本章主 要对于中心乘积构形良划分性进行判定，即本章出现的构形，在未经说明的情况 下都是中心构形。 设a = q ，以) 是y 中可约构形n 5 1 ，则存在构形 = ( ，k ) = q ，以 ， 气a ，吒) = 瓦，厶j ，使得a = 4 = 皿okl 玛 ) u 巧o i 与 ) ，矿= r lok 。根据内直积与外直积的关系，我们可以记 耳= 可o ，耳4 ，l i m ，a 1 = 骂，- i ；q + ，= 巧。亏，亏 ，l j k ，a 2 = t 小，日。 ，则显然有a 叫1 ua2 = h i ，致) 且4 1n a 2 = g ， m + 七= 刀。 设万= ( 万l ，一，万，) 是a 的划分，则巧n a l ，乃n 4 1 ，覆n a l 中的非空集构成4 1 的一个划分万1 = 协：，万：i ，万：) 。按照日，= h to ，1 i 朋给出了a 1 与 的一一 对应，与a 1 = e ，以 的划分万= ( 刀：，万：，万：) 对应的 = i - , ，哎，以) 的 划分= ( 万：，万：，万：) ，称为万在 上的诱导划分。同理可以给出万在 上的诱 导划分万”= ( 万? ，万：，万：) 。 由于乘积构形为良划分构形的充分条件是每个因子构形都是良划分构形的结 论已经被证明，所以为证明乘积构形( a ，y ) 为良划分构形的充要条件是构形 ( ，k ) ，( a ，k ) 都是良划分构形，我们只需要证明其必要性。以下依次证明：划 分的独立性，即乘积构形( 4 ，矿) 的划分万独立的必要条件是万在 上的诱导划分与 石在a 上的诱导划分都独立；诱导划分的单元块性，即乘积构形的划分刀对每个 交的限制有单元块的必要条件是万在 上的诱导划分与7 在 上的诱导划分都有 类似的性质。 7 北京化工大学硕士学位论文 2 2 划分的独立性 设万= ( 万l 一，万，) 是超平面构形a 的划分，由于 与 地位的对称性，所有 在因子构形 上成立的结论在因子构形a 上也成立。则我们如下只讨论划分万在 因子构形 上的诱导划分的独立性。由于4 = 41 ua2 = q ，见) 且 4 1n 4 2 = a ，即a 1ga ，所以我们司以通过乘积构形a 的划分万为独立划分推导 出4 1 的划分万1 为独立划分。又一4 1 中的超平面q 与 中的超平面日，之间满足 只= 耳o ，则再由a 1 的划分万1 为独立划分推导出 的划分万为独立划分。由 于 与4 地位的对称性，所有在因子构形 上成立的结论在构形 上也成立。 首先我们通过乘积构形4 的划分万为独立划分推导出4 1 的划分万1 为独立划 分。 引理2 1 若4 的划分万为独立划分，则4 1 的划分万1 = ( 万：，万：i ，万1 1 ) 为独立 划分。 证明由4 的划分万= ( 万i 一，万，) 独立，且一4 1 a ，则乃n a l ，乃n a 。， 乃a a l 中的非空集组成的a 1 的划分万1 = 仞：，万：，万：) ，我们将证明a 1 的划分 y 1 = 协：，万2 1 ，万，1 1 ) 为独立划分，即对犯f 万；，i = 1 , 2 ，吒，r ( h iv vh ，1 ) = 。 由于不同的q 属于不同的石? ，而不同的y t ；必然属于不同的乃，由于a 的划分 t = ( 万i ，一，万，) 独立可得，( 日lv v 日1 ) = ，所以4 的划分万1 = ( 石：，石2 1 ，万，1 1 ) 为 独立划分。 其次根据格的运算性质邮1 我们由a 1 的划分万1 为独立划分推导出 的划分y 为独立划分。 引理2 2 若4 1 的划分万1 = 何：，万：，万：) 为独立划分，则可得 的划分万= ( 7 r ：，7 r ：，万：1 ) 为独立划分。 证明对于v z 刀，都有日，= h ，o 卅，l f 。根据性质( 1 ) ( 2 ) 可得 厂( f f 一, v v 瓦) = ，阮v v 瓦) 。k 】= ，( ，v v 日。) = ，所以4 的划分 r 第二章中心构形的良划分性判定 万= ( 万：，万：，万：) 为独立划分。 根据引理2 1 ，引理2 2 可得划分独立性定理： 定理1 l4 的划分万为独立划分的必要条件是万在 上的诱导划分 万= ( 万：，万：，刀：) 与万在 上的诱导划分万。= ( 研，万：，瓦) 都是独立划分。 证明必要性。由于a 的划分万为独立划分，所以根据引理2 1 可得4 1 的划分 万1 = 仞：，石：，万：) 为独立划分。再由引理2 2 可得 的划分万= ( 万：，万：，万：) 为 独立划分。由于 与 地位的对称性，即有万在 上的诱导划分 万= ( 7 r ：，万：，万：) 和万在a 上的诱导划分万。= ( 万：，万；，万：) 是独立划分。 2 3 诱导划分的单元块存在性 前面证明了a 的划分万为独立划分的必要条件是万在 上的诱导划分与万在 上的诱导划分都是独立划分。现在要证明其诱导划分的单兀块存在性，i 司样的 由于 与a 地位的对称性，对于因子构形，我们只考虑划分万在因子构形 的上 诱导划分万= ( 万：，万：，瓦) 的诱导划分的单元块性。文献 1 3 充分性已经证明， 我们同样只需证明必要性，即对拟= 五。置三 n ，死= ( an # i ，an 互) 有一个单元块的必要条件是对厶 k ) ，呱 三： ) ，划分万二。与万二：都至少包含一个单元块。我们通过的单元块性来推导 n 耐，an 7 1 中有单元块，然后说明a zn 万；与a in 刀；之间的等价性，最后 通过万二的单元块性来证明万二。的单元块性。 首先我们通过= ( n 7 1 ，an 乃) 的单元块性来推导出是否划分块 n 耐， n 以中有单元块。 引理2 3 若对呱厶 k ) ，x = x io 圪三 y ) ，鲰= ( n 互，an 乃) 有一个单元块，则划分块an 耐， n 以中有一个单元块。 0 北京化工大学硕士学位论文 证明由= ( an 巧，儿n 巧) 有一个单元块，不妨设4 zn 乃为一个单元 块。由于万= ( 万l ，一，万，) 是a 的一个划分，则有42 乃且a = a 1u 4 2 ，则可得 乃= 乃n t = ( 乃n 4 1 ) u ( 乃n 4 2 ) 以及( 乃n 4 1 ) n ( 乃n 4 2 ) = f 2 j ，分情况讨论如下： ( 1 ) 若乃n4 2 = g ，则乃= 乃a a l g ，否则乃= 乃n4 = ( 乃n 4 1 ) u 阮na 2 ) = f 2 j 。由于乃n a l ，万2n a l ，乃n a l 中的非空集组成4 1 = q ，矾) 的 划分万1 = 仿，万：1 ，1 ) ，巧= 乃n 4 1 彩必为万1 中的一块，所以划分块 n 巧i ，an 以中有一个单元块。 ( 2 ) 若n a 2 o ，则万fn 4 2 对应于万2 的一个划分块万p 2 。此时必有 4 jn 万；= f 2 j 。否则弭。4 工且日。万；量a 2 ，即x q 4 2 。 于是 x = x o 互h 。= ko 日。，得k 日。，由于为匕空间的超平面，则产生矛 盾。由4 xn 乃为单元块，乃= ( 万，n 4 1 ) u ( 乃n a 2 ) ，由于万fn 4 2 对应于万2 的一 个划分 块 万； ，且 4 xn 刀；= 囝 ，则有 4 jn 乃= 以xn ( 乃n a l ) ) u 似工n ( 刀，n a 2 ) ) = 似zn ( 乃n a l ) ) u xn 万；) = 4 xn ( 乃n a l ) ，由4 xn 乃为单元块可得4 jn ( 乃a a l ) 为单元块，所以划分块 an 耐， n 1 中也有一个单元块。 上述定理通过= ( an 乃， n 乃) 的单元块性来推导出划分块 an 科，儿n 磋中有单元块。我们不妨假设中的4 xn 刃为一个单元块，我 们可以推导出4 ln 一与4 石n 万；的等价性，即 引理2 4 对v x , 厶 k ) ，x = 五。匕 矿) ，a xn 万? = 4 ln 万；， 1 f ，i 。 证明”2 ”，v 只4 二n 刀| ，必有日；万；且日f 4 i 4 j ，则有日， 4 jn 万； 1 0 第二章中心构形的良划分性判定 ”c ”，v h i a jn 耐，必有e 万；且q a z ，由于万1 = 协：，万：，万n 1 ) 为 a 1 的划分，则必有珥4 1 ，皿彳，即h i 4 ，又q 耐，贝, t jh ，a ! rn 刃 综上所诉，即有4 工n 刃= 4 n 万? 于是，划分块an 耐， n 程中有单元块的充要条件是 砖= ( 4 n 万：，4 l n 以) 有单元块。 以上将= ( 如n 乃，an 巧) 的单元快性与砖= ( 4 ln 卅，4 上n 万：) 的单元块性相联系。如下通过格同构的性质m 1 证明1 = ( 4 羔n 硝，4 kn 万：) 与 五。= ( ( 4 。) 局n 卅，( a 。) 而n 以) 的单元块的等价性。 引理2 5 设x = x i o 砭，则i = ( 4 ln 叫，a 二n 石：) 中有单元块的必要 条件是划分砖。= ( ( 4 。) 而n 曩，( 4 。) 而n 以) 有单元块。 证明构造双射f ： h 4 1 ， 虿hq = 瓦。匕，1 i m ， 则映射f 诱导格同构l ( a 。) 专( a 1 ) ，所以万j i = ( 4 n 万：，a ln 万：) 有单 元块当且仅当万二。= ( ( 4 。) 置n 刀，( 4 。) 而n 瓦) 有单元块。 综上所述，由引理2 3 ，引理2 4 ，引理2 5 可得 定理2 对”= 墨0 五三 乃，= ( n 乃，以n 万f ) 有一个单元块的 必要条件是对螂。l 。 k ) ，v x ：l 2 砭) ，划分万二。与万二：都至少包含一个单元 块。 证明必要性。对于锻l 矿) ，若= ( an 乃， n 万f ) 有一个单元块， 则由引理2 3 ，划分块an 才， n 磋中有一个单元块，再由引理2 4 可得 i = ( 4 ：rn 硝，4 ln 万：) 中有单元块，最后通过引理2 5 可得划分乃二。至少包含 一个单元块。由于因子构形 与4 地位的对称性，所有我们同理可得划分万二，也 至少包含一个单元块。 综上所述，对v x = 墨。鼍 n ，= ( an 一，an - ) 有一个单元 北京化工大学硕士学位论文 块的必要条件是对拟。三， k ) ，呱厶 ) ，划分万二。与万二：都至少包含一个 单元块。 则由定理i 与定理2 以及乘积构形是良划分构形的充分条件是每个因子构形 都是良划分构形的结论可得 定理3 若构形a 可约，a = ，y = k o k ，则构形( 4 ，y ) 为良划分构形 的充要条件是构形( ，巧) ，( ，砭) 均为良划分构形。 推论( a x a 。，ko o ) 为良划分构形的充要条件是因子构形 ( 4 ，k ) ，i f 后均是良划分构形。 1 2 第三章仿射构形的良划分性判定 第三章仿射构形的良划分性判定 第二章证明了在一类特殊的超平面构形类一中心构形类下，乘积构形是良划 分构形的充要条件是每个因子构形都是良划分构形。相对于中心构形类，仿射构 形类是一类更具有普遍性的构形类，在这一章，我们将此结论从中心构形类推广 到仿射构形类。 3 1 仿射构形的良划分性 令万= ( 万i ，一，乃) 是仿射构形a 的一个划分，若满足( 1 ) 对于v i i i 乃， l f t ，超平面的交日，f i b ：n n 日，不为空。( 2 ) 对栅趴缈 ，诱导划分万x 都是良划分。则划分万= ( 万l ，一，以) 是仿射构形a 的一个良划分。 根据仿射构形良划分的定义，为证明仿射构形( 4 ，y ) 为良划分构形的充要条件 是其因子构形( ，k ) ，( 4 ，匕) 都是良划分构形。以下依次证明：超平面交的非空 性，即乘积构形4 的划分万= ( 万l ，一，乃) 中每个划分块万，1 i t 中超平面的交非 空当且仅当因子构形 ，a 具有类似的性质；诱导划分的良划分性，即乘积构形 4 的诱导划分万是良划分的充要条件是构形 的诱导划分以。和构形4 的诱导 划分万二：都是良划分，其中x = x 。ox ：。 3 2 超平面交的非空性 根据可约构形定义a = = eokq a u ko ti ) 可得属 于仿射构形a 的划分万= 仞，万，) 中的划分块万，的超平蕊h ，满足要么 h ，= 瓦。吒，耳 ，要么日；= kz j ，亏 ，由此考虑隶属于每个划分块的 超平面交的非空性可得到如下结论： 引理3 1 若仿射构形么可约，a = ，v = ko ，则属于构形( a ：矿) 的 1 3 北京化工大学硕士学位论文 划分万= 仞刀。) 中每个乃的超平面的交满足非空性的充要条件是构形( ，k ) ， ( 4 ，k ) 均满足此性质。 证明必要性。若属于构形( a ，y ) 的划分万= 白，万，) 中每个乃的超平面的交 满足非空性，即对于阳，7 ；，1 i - f ，超平面的交日。n 日2n f l h ，不为空， 则对于构形4 的划分万= ( 万：，t ，以) 必有对v q 彬，1 f ，超平面的交 日。n 日：n n 日 不为空，否则若超平面的交h 。n 日：n n 日1 为空，则 ，h lvh ：v vh n ) = ，瓶v h 2v v 瓦) 。圪j - ，簖v 瓦v v 瓦) ：0 ，即有 超平面的交h 。f l h ：n n 日。为空，则必有日。n 日：n n 皿为空，这与超平面的 交凰f l h ：n n 置不为空相矛盾。则可得构形 的超平面的交非空，再由构形 与a 得对称性可得必要性成立。 充分性。若对 的划分万= 协：，石：，万：) 有v q 刀，i i 吒，超平面的交 h 。n 日：n n 日n 不为空，且对于a 的划分万。= ( 万- 万：，万：) 有v l i 万一 i i 吃，超平面的交三ln 三：n nt 不为空。则对于构形似，矿) 的划分 万= 仞乃) ，v h , 乃，1 f t ，。v 凰v v 只) = ，( ( h iv v 巧) 。) v 佤v vi ) 。k ) 】= r 簖v v 瓦) + 厂( - v vi ) o ，即 可得超平面的交h 。n 凰n n 只不为空 综上所述可得隶属于每个划分块的超平面交的非空性得证。 3 3 诱导划分的良划分性 上述证明了超平面交的非空性，为了证明仿射构形的良划分性，我们需要证 明诱导划分的良划分性。即构形a 的诱导划分刀j 是良划分的充要条件是万二。和 万二：都是良划分构形，为了证明此结论，我们先考虑如下引理： 引理3 2 若仿射构形么可约，4 = ，v = ko 圪，则可得对”= z 。o 五 1 4 第三章仿射构形的良划分性判定 有 = ( ) 置( ) 局成立。 证明“2 ”对于v 日；( ) 置( ) 如，通过乘积构形的定义可得 ( ) 一( ) 疋= 瓦。圪f 瓦( ) u k 。i 医( ) 如 ，可得必有q 瓦。ki 瓦( ) _ 或e k 。i 医( ) 也 若日， 瓦。kl 瓦( ) 丑) ，不妨令珥= 虿。圪，虿( ) 置，则可得 虿( ) 五j 虿五，虿 ，则虿。圪五x 2 = x 且耳。4 1c _ a ，即 h i = h iok h i k 。i 医( ) 局 ，不妨令q = k 。i ，i ( ) j r 2 ，则可得 云( ) 也j i 置，i ，则有巧( d l i - x 。o 置= x 且巧o i a 2s 4 ，即 为q = koi a 。 综上所述则可得对于蛔z ( ) j r i ( ) z ：，都有 ，即( ) _ ( ) 如a “”阳以有日x = 五ox 2 且h a ，则由构形a 可约可得 a = 4 2 2 q o kl q ) u 巧。心l 吼4 可得要么h = 日，o ，q 或者日= koh ：，皿 。 若日= 日io 圪，q ，由日x + x lox 2 可得日= h iok x = 五。 彳z ，即h 。x ，则日= 日。o 圪，q ( 4 ) 而 若日= k ( bh 2 ，以，由日x + 墨ox 2 可得日= ko 日2 x = x lo x 2 ，即日：x ：，则h = ko 日：，h 2 ( ) x ， 即明a ，都有日( ) 置( ) ：，即以- - - ( a ) 五( ) 也 综上所述，对x = x 。ox ：有a = ( ) 而( a ) z ：成立。 因为构形以是以x 为中心的中心构形，且由引理3 2 有 = ( ) 而( ) 如， 所以由定理3 可得 引理3 3 若仿射构形4 可约，4 = ，矿= kok ，则可得对x = x 。x 2 ， 北京化工大学硕士学位论文 构形4 的诱导划分刀j 是良划分的充要条件是构形 的诱导划分万二和构形4 的 诱导划分万二，都是良划分。 证明由于仿射构形4 可约，4 = ，y = ko ，则由引理2 可得对于 v x = 五。置，有 = ( ) 五( ) 如成立。由于a 的诱导划分万z 是a 的一个 划分，又考虑到构形 为中心构形且如= ( ) 以( ) 也，则由定理3 可得，构形 为良划分构形的充要条件是因子构形( ) 而与( ) 工：都为良划分构形，即构形 a 的诱导划分是良划分的充要条件是构形 的诱导划分以。和构形 的诱导 划分万二，都是良划分。 通过引理3 1 的超平面交的非空性与引理3 3 的诱导划分的良划分性易得如下 定理 定理4 若仿射构形4 可约，a = ，矿= ko ，则构形似，y ) 为良划分 构形的充要条件是构形( ，k ) ，( ，) 均为良划分构形。 推论：仿射构形( 4 x a 。，ko o 圪) 为良划分构形的充要条件是每个因子 构形( 4 ，k ) ，1 f 后均是良划分构形。 1 6 第四章乘积构形良划分性的应用 第四章乘积构形良划分性的应用 第二章第三章分别证明了在中心构形类和非中心构形类下乘积构形是良划分 构形的充要条件是每个因子构形都是良划分构形，下面我们将给出具体的实例， 通过实例对乘积构形的良划分性定理进行验证。 中心构形a = q ，：，日3 ，日。，风，日。，日，日8 ，凰，日。，h ，日1 2 ，。，日。 ，它对应的 系数矩阵为 么= 在下面的定理验证过程中，我们首先验证构形4 的可约性n 8 】，即证明存在因 子构形 ， 使得a = ，其次由于乘积构形是超可解构形的充要条件是每 个因子构形都是超可解构形，为了使得此例子适用于本文，我们要证明构形a 是 良划分构形但不是超可解构形，最后证明因子构形 ， 均为良划分构形。 4 1 构形4 的可约性【2 2 】 通过构形的可约性有关定理8 1 可得若a 可约，则可通过换基，使得4 在新基 7 7 l ，7 7 2 ，聊) 下的矩阵彳= ( 三罢) ，且概，仍，仇) 可划分为两个部分组分别 1 7 o 1 。2 o o 乞o o。o。o。 l l o 2 2 0 o 0 1 o ，o o l 1 2 o o 1 3 l 3 l o o 1 1 o o 2 l 1 4 2 2 o l o ，0 2 o 1 。3。5 3 o o o。o。o 2 5 2 o 6 8 2 4 l 2 o l 2 2 北京化工大学硕士学位论文 张成巧，k ，使得矿= ko k 且4 - - , 4 4 ：。而基变换的过程就是对矩阵做列变换的 过程瞄o - 2 1 1 ，即若构形a 的矩阵彳经过有限次列变换可以化为( 三詈) ，则构形4 为 可约构形，由此我们对矩阵彳进行列变换【盯1 可得： 1 8 o 。2 o o 乞o o。o，o。 l l o 2 2 o o 0 1 0 o o 1 l 2 o o 1 3 1 3 1 o 0 1 l 0 0 2 o 0 2 2 2 2 l o o 1 l o 0 。3，5 3 o o o。o。o 2 5 2 1 6 8 2 4 l 2 0 l 1 2 2 o 。1 2 o o 乞o o，o。o。 1 1 o 2 2 o 0 o l 0 o o 1 l 2 o o l 3 l 3 l o o 1 1 o o 2 l 1 4 2 2 o l 0 l o 2 1 1 ，3 1 5 3 o o o 。1 o 。o 2 5 2 o 6 8 2 4 l 2 0 l l 2 2 o 。，2 o o 乞o o，o。o。 l l 0 2 2 0 o 0 l 0 0 0 l l 2 0 o l 3 1 3 l o 0 l 1 o o o 0 l 1 0 1 o 0 o o o 0 0 0 o 2 。3 ，o o o o，o。o。 5 2 o 6 8 2 4 1 2 0 1 2 2 o ，。2 o o 乞o o。o。o。 1 1 0 2 2 o o o l 0 0 0 1 1 2 o o l 3 1 3 1 o o 1 o o o ooo o o o o o o o ，3 。5 3 o 0 o，o。o 2 5 2 o 6 8 2 4 l 2 0 1 l 2 2 第四章乘积构形良划分性的应用 1 9 o 。2 o o 乞o o。o。o。 1 1 0 2 2 o 0 o 1 o 0 0 l 1 2 o o 1 3 1 3 l o o l 1 o o o ooo o o o o o o o o。o，o o o o o o o o o 3，厶hv u 、 5 l l d z 口飞飞j 2 2 o 。，2 o o 屯o