（概率论与数理统计专业论文）跳扩散风险模型的最优投资和再保险策略.pdf

摘要 近年来，由于保险行业竞争激烈，保险公司一方面通过对公司盈 余进行投资，从投资中获得大量的收益来提高自己的偿付能力，同时 为了减少自身所面临的大赔付的风险，又必须对赔付进行再保险处 理。投资是有风险的，而且再保险也要分出一部分保费。因此，寻找 最优的投资和再保险策略，使得保险公司的破产概率最小或者获得的 期望财富效用最大已经成为每个保险公司都必须面对的问题，具有非 常重要的理论和现实意义。 本文在跳扩散风险模型中，将保险公司盈余投资于金融市场中 的无风险资产和不同模型的风险资产，且同时购买比例再保险的条件 下，利用随机控制理论中的动态规划方法得出在投资和比例再保险策 略下，最大期望效用值函数满足的h a m i l t o n j a c o b i b e l l m a n ( h j b ) 方 程，证明了h j b 方程解的存在性，得到在指数期望效用下的最优投 资和比例再保险策略，以及最大期望效用值函数的显示表达式。并通 过数值计算给出最优策略与一些参数之间的关系。 本文涉及到的风险资产的模型主要是以下几种：几何布朗运动的 风险资产；常弹性变差( c e v ) 模型；h e s t o n 随机方差模型。本文在第 二章以后针对不同的风险模型进行单独研究，得出相应的结论，并在 最后用数值分析和图形给出经济分析。 关键词跳扩散风险模型，比例再保险，指数效用函数，常弹性变差 ( c e v ) 模型，h e s t o n 随机方差模型，h a m l i t o n j a c o b i b e l l m a n 方程，检验定理 a bs t r a c t i nr e c e n ty e a r s ，d u et os e v e r ec o m p e t i t i o ni nt h ei n s u r a n c ei n d u s t r y , t h ei n s u r a n c ec o m p a n yg e tal o to fb e n e f i t st oi m p r o v et h e i rs o l v e n c y f r o mt h ei n v e s t m e n to ft h em o n e ya ti t sd i s p o s a l a tt h es a m et i m e ，i n o r d e rt or e d u c et h er i s ko fl a r g ec l a i m s ，t h ei n s u r a n c ec o m p a n yt a k e s r e i n s u r a n c ep o l i c yf o rc l a i m s a p p a r e n t l y , r i s k yi n v e s t m e n t c a nb e d a n g e r o u s ，a n dr e i n s u r a n c en e e d st og i v e np a r to ft h ep r e m i u mt ot h e r e i n s u m a n c e c o m p a n y t h e r e f o r e ，s u b j e c tt ot h ec o n t r o lo fb o t h i n v e s t m e n ta n dr e i n s u r a n c ep o l i c i e s ，m i n i m i z i n gt h ep r o b a b i l i t yo f r u i no r m a x i m i z i n gt h ee x p e c t e dw e a l t hu t i l i t yo ft h er e i n s u r a n c ec o m p a n yh a s b e c o m ei m p o r t a n tp r o b l e m sw h i c he a c hi n s u r a n c ec o m p a n yh a st of a c e ， a n di th a sav e r yi m p o r t a n tt h e o r e t i c a la n dp r a c t i c a ls i g n i f i c a n c e i nt h i sp a p e r ，t h es u r p l u sp r o c e s so ft h ei n s u r a n c ec o m p a n yi s a s s u m e dt of o l l o wt h et h ej u m p d i f f u s i o nr i s kp r o c e s s i na d d i t i o n ，t h e i n s u r a n c ec o m p a n yi sa l l w e dt oi n v e s ti nar i s k f r e ea s s e ta n dr i s k ya s s e t s a n dt op u r c h a s ep r o p o r t i o n a lr e i n s u r a n c e b yt h ed y n a m i cp r o g r a m m i n g m e t h o do ft h es t o c h a s t i co p t i m a lc o n t r o lt h e o r y , t h eh a m i l t o n 。- j a c o b i 。 b e l l m a n ( h j b ) e q u a t i o no ft h e m a x i m a le x p e c t e du t i l i t yf u n c t i o ni s o b t a n e d e x p l i c i t e de x p r e s s i o n sf o r t h em a x i m a le x p e c t e de x p o n e n t i a l u t i l i t ya n dt h ec o r r e s p o n d i n go p t i m a lp o l i c i e s a r eo b t a i n e d w ea l s o i n v e s t i g a t et h ee f f e c t so ft h ep a r a m e t e ro n t h eo p t i m a ls t r a t e g i e sb y n u m e r i c a lc a l c u l a t i o n t h er i s k ya s s e tm o d e l si n v o l v i n gi nt h i sp a p e ra r et h ef o l l o w i n g ： m u l t i p l er i s k a s s e t s s a t i s f y i n g t h eg e o m e t r i cb r o w n i a nm o t i o n ，t h e c o n s t a n te l a s t i c i t yo fv a r i a n c e ( c e v ) m o d e la n dt h e h e s t o nr a n d o m v a r i a n c em o d e l a f t e rt h es e c o n dc h a p t e rw es t u d yt h ed i f f e r e n tr i s k m o d e l ，a n do b t a i nt h ec o r r e s p o n d i n gc o n c l u s i o n s ，a n da l s og e tt h e n u m e r i c a lc a l c u l a t i o na n de c o n o m i ca n a l y s i s k e y w o r d s j u m p - d i f f u s i o nr i s km o d e l ，p r o p o r t i o n a lr e i n s u r a n c e ， e x p o n e n t i a lu t i l i t yf u n c t i o n ，c o n s t a n te l a s t i c i t yo fv a r i a n c e ( c e v ) m o d e l ， h e s t o nr a n d o mv a r i a n c em o d e l ，h a m l i t o n j a c o b i b e l l m a ne q u a t i o n ， v e r i f i c a t i o nt h e o r e m i i i 硕十学位论文第一章绪论 1 1 问题的提出背景 第一章绪论 金融数学是二十世纪8 0 年代末，9 0 年代初兴起的前沿学科，是金融学和数 学的交叉学科，是金融学，计量经济学的一个分支，也是应用数学的一个分支， 在国际上通称数理金融学( m a t h e m a t i c sf i n a n c e ) 。金融理论的核心问题，就是研 究在不确定的环境下，经济代理人在时间和空间上分配或配置金融资产的活动。 这种金融行为涉及到金融资产的时间因素，不确定因素- - t i p 金融资产的价值和 风险问题。由于时问因素、不确定因素及其交互作用的结果使得金融行为呈现出 极端的复杂性。处理这种复杂性往往要引入复杂的数学工具。 最近2 0 多年来，世界经济的发展经历了许多深刻的变化，其中最显著的一 点是：随着技术创新和金融创新活动的日趋活跃，新的产业和企业不断涌现，产 品的升级换代加速，人类生活面临的现实存在或潜在的各种风险同益扩大。尽管 人们无法预测或完全防范风险的发生，但可以通过购买保险来转移和分散风险。 与此相对应的是，保险数学的发展在金融数学中占据着越来越重要的地位。 为了能够持续盈利，更为了永久生存，保险公司必须不断磨砺管理风险的技 能，以避免灾难性的损失；但同时还要承担更多的风险，拓展业务。因此在保险 学中一个最基本的问题是：保险公司应收取多少所谓公平的保费才能同时使得公 司所面临的风险最小和保持无债务负担? 最近，由于金融工具和保险产品的相互 作用的增加，一个更复杂的问题被提出：“什么是最优投资策略，以便为特定保 费率的保险公司可以在同一时问覆盖未来损失和保持无债务负担吗? 近年来，由于保险行业竞争激烈，保险公司通常采取对盈余进行投资，从投 资中获得大量的收益来提高自己的偿付能力，同时为了减少自身所面临的大赔付 的风险，又必须对赔付进行再保险安排。因此，怎样进行投资和再保险，使得自 身的破产概率最小或者期望财富效用最大已经成为每个保险公司都必须面对的 问题，也成为风险理论的一个新的研究热点。 硕十学位论文第一章绪论 保险公司的最优投资和再保险策略是当今金融数学研究的热点问题之一，它 的理论不仅丰富和发展了现代金融理论，而且也沟通了各个数学分支与金融学， 保险学之间的联系，对数学的发展起到了巨大的推动作用 1 2 研究现状 近年来，利用随机控制方法去解决保险问题受到越来越多的关注，这是由于 保险公司可以投资于股票市场，可以采取再保险，也可以在特定限制下支付红利 等手段，使特定目标函数最大或最小。 直到1 9 9 4 和1 9 9 5 年，利用随机控制研究保险问题的文章才开始出现，例如 m a r t i n l 雒i l l ，b r a c k e t t 和x i a l 2 1b r o 、n e 【卅。从那时起，这个领域迅速发展， a s m u s s e n ，t a k s a r ，h o e j a a r d ，s c h m i d l i 等人进行了系统研究。在这些研究中， 按保险公司盈余过程的不同可分为三类：第一类是经典c r a m e r - l u n d b e r g 模型， 第二类是扩散模型，第三类是跳一扩散模型；按最优化标准分也可分为两类：一 类是以保险公司的破产概率最小作为优化标准，另一类是在确定时刻预期累计收 益最大，如效用最大、红利支付最大等作为最优化标准。下面将按照模型的不同 介绍该领域内的主要结果。 1 9 0 3 年，l u n d b e r g 引入了一个基于齐次泊松理赔过程的累计风险过程，从 那时起，破产概率的估计一直是风险理论研究的中心问题。其中最著名的结论是 如果理赔量的指数矩存在，则破产概率与初始盈余呈指数递减关系( 见g e r b e r 【， a s m u s s e n 8 】) 。而当理赔是重尾分布时，也存在大量关于破产概率估计的文章( 见 e m b r e c h t s 和v e r a v e r b e k e l 9 】) 。近年来，很多人提出了更一般的问题：如果允许 保险公司投资于风险资产( 比如风险资产价格服从几何布朗运动或者其它的形 式) ，则他所能获得的最小破产概率是多少，他所能采取的最优策略是什么，这 样做是否比不进行投资所获得的破产概率小? 如果他采取再保险策略，他所能获 得的最小破产概率又是多少，对应的再保险策略是什么? 如果他同时采取投资和 再保险策略，他所能获得的最小破产概率又是多少? 同样的问题也存在于在确定 时刻预期累计收益最大的模型中。 对于最优投资问题，这个领域的早期研究可以追溯到m a r k o w i t z 旧】的均值方 2 硕士学位论文第一章绪论 差模型，后来s a m u e l s o n l l 】j 将m a r k o w i t z 叫的均值方差模型推广到一般的动态模 型，利用随机动态规划方法，他成功得到了最优消费投资模型中的最优决策；此 类文章还有c a m p b e l l 和v i c e i r a1 1 2 1 ) ，k o m 1 3 1 ，m e r t o n 1 4 l 等而在风险模型中， 当股票价格服从几何布朗运动时，b r o w n e 3 - 5 l 应用带漂移的布朗运动来描述保险 公司的盈余，找到了使得最终财富的指数期望效用最大的最优投资策略，同时也 给出了破产概率最小的最优投资策略。p a u l s e n 和g j e s s i n g l l 5 1 在所有盈余都投资 于风险资产的假设下，研究了破产概率的近似估计问题；k a l a s h n i k o 和n o r b e r l l 6 1 研究了同样的问题。f r o v o l a ，k a b a n o v 和p e r g a m e n s h c h i k o v 】研究的是投资常数 比例的财富于风险资产上。在上述情况中，当理赔量的指数矩存在时，破产概率 以初始盈余的负指数幂递减。h i p p 1 引，h i p p 和p l u m l l 9 , 2 0 】考虑了更一般的情况， 并分析了破产概率最小标准下的最优投资策略。他们得到了相应问题的 h a m i l t o n j a c o b i b e l l m a n 方程，证明了解的存在性和检验定理，然后给出了指数 理赔分布和特殊参数值时的详细解，l i u 和y a n g 2 1 】考虑了同样模型的最优投资 问题，唯一不同的地方是风险资产的模型稍有差异。这些详细解表明在指数理赔 分布时，最小破产概率与初始盈余呈指数递减关系；g a i e r ，g r a n d i t s 和 s c h a c h e r m a y e r 2 2 】在同样的模型下利用鞅方法考虑了破产概率的近似估计问题， 并得到了在近似最小破产概率下的最优投资策略是常数，与初始盈余无关，这反 映了破产概率最小的投资策略是保险公司所采取的最保守的一种策略。另外 h i p p 和s c h m i d l i 2 3 】研究了在轻尾理赔分布时破产概率的估计问题，同样 s c h m i d l i 2 4 i 也考虑了这个问题，他研究了当理赔分布是次指数分稚时最优策略下 破产概率的近似问题，并得到了在此种情况下，当初始盈余趋向于无穷时，最优 策略也趋于无穷。 对于再保险问题，一般主要集中在比例再保险和超额损失再保险的研究上。 s c h i m i d l i 1 2 50 2 6 】研究了此模型下的最优比例再保险策略下的最小破产概率的 c r a m e r - l u n d b e r g 近似。y u gg r i g o r e v 和d i n hl es o n l 27 | ，h i p p 和v o g t 2 8 】研究 硕十学能论文第一章绪论 了最优超额损失再保险，且h i p p 和v o g t l 2 8 】证明了相应的h j b 方程存在光滑解， 并给出了h j b 方程的检验定理，最后对指数理赔分布、p a r e t o 分布给出了数值解。 为了减少风险，保险公司可以在采取投资策略的同时采取再保险策略。一直 以来，这方面的研究较少。s c h m i d l i1 2 9 删，p r o m i s l o w 和y o u n g 3 1 l 对这个问题做 了研究。s c h m i d l i l 2 9 , 3 0 l 对理赔分布在指数矩存在，不存在两种情况下分别得到了 破产概率的c l a m e r - l u n d b e r 近似，他在2 0 0 2 年利用鞅方法，进行测度变换，考 虑了当理赔分布的指数矩存在时的最优投资和比例再保险策略，但他并没有详细 地给出最优策略，却给出了此种情况f 的破产概率的c r a m e r - l u n d b e r g 近似。2 0 0 4 年，他又研究了在理赔的指数矩不存在的情况下同样的问题，此时为了保证 l u n d b e r g 指数的存在，得到的最优再保险策略是0 ，这样就将问题转化成了没有 再保险策略情况下保险公司的最优投资问题。最后他证明了比例再保险策略收敛 于0 ，最优投资策略收敛于一个常数，并给出了破产概率的c r a m e r - l u n d b e r 近似。 但是在这两篇文章中，s c h m i d l i 没有给出h j b 方程的检验定理，也没有说明解 的存在性。赵守娟【3 2 j 则在此风险模型中利用鞅方法( 见g e r b e r 3 3 】) 证明了h j b 方程和检验定理，并通过求解对应的h j b 方程给出使得破产概率最小的最优投 资和再保险策略。 在c r a m e r - l u n d b e r g 模型下，以破产时刻预期累计折现收益最大为目标函数 的文献有h i p p l l 8 】等，以红利支付为目标函数的文献有a z c u e 和m u l e r 3 引， a s m u s s e n 和t a k s a r 3 副，i q o j g a a r d 和t a k s a r 3 6 3 9 l ，p a u l s e l l 【4 0 l 等，其中a z c u e 和 m u l e r 3 4 】给出了最优比例再保险策略及红利支付的粘性解。 虽然经典c r a m e r - l u n d b e r g 模型近似于保险公司的现实状况，但在经典 c r a m e r - l u n d b e r g 模型中，很多问题无法得到确切的显式解，故近年来，很多文 献将其近似为扩散模型，且当保险公司盈余过程相对于单个理赔来说较大时，扩 散模型也确实能很好的模拟保险公司的动态盈余过程。b r o w n e l 3 】研究了扩散模型 的最优投资问题，他在股票价格服从几何布朗运动且与保险公司的扩散过程模型 。 中的布朗运动不独立时，得到了在破产概率最小限制下的最优投资策略足常数， 并利用光滑利i 贴条件详细计算了最小破产概率。s c h m i d l i i 如】研究了扩散模型巾的 硕士学位论文 第一章绪论 最优比例再保险策略，他得到了此时的最优策略是一个常数，并给出了此常数值 以及破产概率的具体形式。t a k s a r 和m a r k u s s e n 叫假定公司过程为扩散过程，公 司盈余全部投资于股票市场( 股票价格服从几何布朗运动) ，在破产概率最小限 制下得出保险公司所采取的最优比例再保险策略。h o j g a a r d 和t a k s a r l 3 6 1 考虑了 扩散模型中，在预期折现收益最大限制下的最优比例再保险策略。对于红利支付 的文献可参见a s m u s s e n 和t a k s a r 35 ，h o j g a a r d 和t a k s a r 3 8 3 9 l 。 近几年这些问题在国内同样也引起了关注。张连增【4 2 l 研究了古典风险模型 中再保险对调整系数或破产概率的影响，说明了当初始准备金较大时，选择使调 整系数最大的自留水平近似等价于使破产概率最小的自留水平。何树红，夏梓祥 【4 3 】研究了时间盈余风险模型中再保险对调节系数或破产概率的影响，分别讨论 了理赔分布为均匀分布和指数分布时，调节系数或破产概率与自留水平的关系， 并得到了相应的表达式。刘家有，刘再明【4 4 】讨论了在固定利率下含投资因素、 红利分配因素的两种离散型破产模型，分别得出了相应模型下关于保险公司的破 产概率、期望寿命的结论，推广了没有考虑利率因素的离散型破产模型的有关结 论。张波，代金1 4 5 】研究了经济环境下引入投资的古典风险模型的破产概率，在 保险公司有风险投资的情况下，利用鞅方法得到了调节系数方程和破产概率的上 界。l u o ，t a k s a r 和t s o i 4 6 】讨论了扩散风险模型中对于大的投资组合的最优比例 再保险和投资策略，在对投资的四种不同类型下，利用求解随机控制理论中的 h j b 方程，给出破产概率、最优比例再保险和最优投资策略的显示解。b a i 和 g u o 4 7 】在同样的扩散风险模型中只考虑在不空头投资时的最优投资和再保险策 略，且在指数期望效用下求解对应的h j b 方程给出了最优策略和最大期望效用 值函数的确定形式。l i 和w u l 4 8 】研究了在指数效用下的随机利率和随机波动率的 最优投资问题。 通过实践证明，经典的风险模型和扩散模型都不能很完整的表示保险公司的 盈余过程，故为了模拟不确定性，g e r b e r 7 】在经典的风险模型中增加一个布朗运 动作为干扰项就形成了带扰动的经典的复合泊松风险模型或跳一扩敞风险模型。 5 硕十学位论文第一章绪论 这种模型的研究绝大多数都要用到随机控制理论。我国最先研究跳一扩散风险模 型的是y a n g ? 和z h a n g 4 9 1 ，他们假定保险公司的盈余过程是跳一扩散风险模型， 把盈余投资于金融市场的一个风险资产和一个无风险资产在指数效用函数下运 用随机控制理论给定对应的h j b 方程，给出检验定理，并最终得到最优投资策 略的显示解梁志彬1 5 0 j 是在同样的风险模型中考虑最优投资和再保险问题，但 是只投资于金融市场的一个风险资产，不考虑无风险资产，在指数效用下也得出 了最优比例再保险策略最优投资策略以及最优值函数的显示解。l i n 引j 研究了 同样模型的使破产概率最小的投资问题，但是他没有考虑再保险。q i a n 和l i n 5 2 l 则在此基础上进一步研究，把保险公司的盈余投资于金融市场的一个无风险资产 和刀个风险资产，用同样的方法求得使破产概率最小的最优比例再保险策略和最 优投资策略以及最小破产概率的显示解。同样模型的文章还有林祥和李艳方【5 3 j 。 对于跳一扩散风险模型，现在需要研究的问题还很多，不同的理赔分布会对 应不同的破产概率和不同的确定时刻的预期累计收益，故可从理赔分布方面来研 究；不同的效用函数会对应不同的确定时刻的预期累计收益，故也可从效用函数 方面来研究；还有不同的风险资产模型也会对破产概率和确定时刻的预期累计收 益产生影响，从而也形成了可研究的方向。在上述文献中，绝大多数文章对于投 资问题的假设都是股票价格服从几何布朗运动，而实际上，几何布朗运动不是刻 画股票价格的唯一模型，市场中常见的股票价格模型还有多维扩散模型，跳一扩 散模型，随机波动率模型等( 见g a o 5 引，李艳方和林祥【5 5 1 ) 。到目前为止，投资 再保险问题仍然是一个亟待解决的l 日j 题，而且由于再保险策略出现在随机跳中， 如何解出再保险策略以及它所对应的h j b 方程的光滑解仍是研究问题的关键， 如果不存在光滑解，能否确定其粘性解的问题也需要进一步的研究 1 3 论文结构 本文在将财富盈余投资于在金融市场中不同类型的风险资产时，针对保险公 司的最优再保险策略及投资策略的选择l u j 题进行研究，重点研究指数期望效用最 大的最优投资与比例再保险策略以及最优策略下的最大期望终值财富的显示解。 6 硕士学位论文 第一章绪论 基于如上背景和思考，本文针对投资于不同的风险资产情况时给出比例再保 险策略，投资策略和效用函数所满足的h j b 方程，利用随机控制理论，证明了解 的存在性及检验定理，导出了最优比例再保险策略、最优投资策略以及终值财富 的最大指数期望效用函数的明确表达式，并利用数值计算，分析了最优投资和最 优比例再保险策略与各参数之间的关系。 本文共分为六章，其内容如下： 第一章是背景介绍，主要简单介绍了金融数学的相关发展，保险业的研究近 况、研究方法和本文所做的工作。 第二章是基本概念和基本理论，主要简述跳一扩散过程，几种再保险方式， 金融市场，效用函数的类型和特点以及随机控制理论的相关知识。 第三章主要研究在指数期望效用下，把财富盈余投资于金融市场中的一个无 风险资产( 债券) 和刀个风险资产( 如股票) ，同时对赔付进行比例再保险，通 过求解对应的h j b 方程得到了最优投资和比例再保险策略，以及最大期望效用 值函数的显示解，并通过数值计算给出一些重要参数对最优策略和最优值函数的 影响。 第四章是在第三章模型的基础上进行改进，把财富盈余投资于金融市场中的 一个无风险资产( 如债券) 和一个满足c e v 模型的风险资产( 如股票) ，同样 利用求解对应的h j b 方程求得最优投资，比例再保险策略和最优值函数的明确 表达式，并利用相应的数值计算和图形去分析最优策略和各参数之间的关系。 第五章是在第三章模型的基础上再进行改进，把财富盈余投资于企融市场中 的一个无风险资产( 如债券) 和一个满足h e s t o n 随机方差模型的风险资产( 如 股票) ，再次利用求解相应的h j b 方程得出最优策略和最优值函数，并通过数 值计算和图表分析得出最优策略的影响因素。 第六章，总结与展望。总结本文主要工作，探求其不足之处以及进步待研 究的问题。 7 硕士学位论文第二章基本概念和基本理论 第二章基本概念和基本理论 在这一章里，主要介绍风险模型中的一些基本概念和本文所用到的基本理 论，如跳一扩散模型，再保险方式，金融市场，效用函数以及随机控制理论中的 h j b 方程和检验定理等。 2 1 基本概念 假设所有的过程和随机变量都定义在概率空恻( q ，f ，p ) 上，且在概率空间 ( q ，f ，尸) 上有一个满足通常条件的盯一代数f ，即f = e ，f 0 ) 是右连续的，且 坑包含所有的概率为0 的集合。 2 1 1 跳一扩散风险模型 考虑如下的带扰动的经典的复合泊松风险模型或跳一扩散风险模型 n ( t ) r ( t ) = u + c t - k + 彬= u + c t - s ( t ) + f l w t ， ( 2 - 1 ) k = l 其中列0 表示保险公司的初始盈余；c 0 是保险公司单位时问的保费收入； k ，k = l ，2 ，) 是- y u 独立同分布的( 严格) 证值随机变量，其共同分布为g ( x ) ， c ( o ) = 0 ，期望值为= e ( i ) ，k 表示第k 次赔付的大小； ( f ) ，f 0 是参数为 a 0 的泊松过程，表示到时刻，为止的总的索赔发生次数； 形，o 是标准的 布朗运动，0 是常数，表示扩散变差参数。此外，假设 圪，露= 1 ，2 ，) ， ( f ) ，f 0 ) 和 彬，t 0 ) 之间是相互独立的。尺( ，) 表示保险公司在时刻，的盈余过 程，由于未来时刻的盈余是未知的， 月( ，) ) 便是一个连续时间的随机过程。j 下如 d u f r e s n e 和g e r b e r l 5 6 】所指出的，带扰动的复合泊松风险模型对保费收入或者聚 合索赔增加了一个不确定性，更加符合实际。 假定c 础，其中表示个体索赔额的均值。这意味着每单位时间所收到的 8 硕士学位论塞一一一一一 篁三皇茎查堡垒塑薹奎堡垒 - ，- 。_ - _ _ _ - _ _ _ _ _ - _ _ - - _ _ - - _ - _ _ - _ _ - 。- _ 1 - - _ - 一一一 保费超过每单位时间所支付的索赔额的期望值。这样，相对安全负荷秒= 云一1 t 工i 便是正的 下面介绍常用于索赔的各种分布。 ( 1 ) 指数分布，保险中作为索赔的最基本的分布就是指数分布，分布密度 为 厂( x ) = p ， ( 2 _ 2 ) 其中参数既是数学期望又是方差，矩母函数为m ( f ) 驾乇o o ，口 o ，+ 头jp a r p 幻( 口，兄) 。帕累托分布的数学期望为e ( x ) = c t l - 1 ， ”1 磋撕巾) 2 斋一 2 。 ( 4 ) 伽马分布( g a m m a d i s t r i b u t i o n ) ，它也常用来分析风险的异质性。其分 布密度为 m ) = 雨i ? a x a - i p 础，x 。( 2 5 ) 其中参数口 o ，允 0 ，r ( 口) = f x , , - l e - x d x ，记为g 口所朋口( 口，五) 。伽l 马分布的数 学期望和方差为e ( ) ：三，砌，( x ) = 暑，矩母函数m ( ，) = ( 1 一丢) 。l 几 l 9 硕十学位论文第二章基本概念和基本理论 特别的，当口= l 时伽马分布就是以2 为参数的指数分布。 2 1 2 金融市场 金融数学中最重要最成功的模型就是b l a c k 一$ c h o l 髂模型。假设金融市场 只有两种资产可供交易，无风险资产( 债券或银行帐户) 和风险资产( 股票或 基金) 。无风险资产( 债券) 在，时刻的价格b ( f ) 满足以下常微分方程 r i b ( t ) = r b ( t ) d t ，( 2 一句 其中， 0 是无风险利率。 风险资产( 股票) 在，时刻的价格为s ( t ) ，有各种随机模型可以用来描述s ( t ) 。 我们给出一般形式的微分方程 d s ( t ) = s o ) 【掰o ，s ( t ) ) d t + n ( t ，s ( ，) ) d ( ，) 】，( 2 7 ) m ( t ，s ( ，) ) 表示风险资产的预期收益率，不失一般性m ( t ，s ( ，) ) ，n ( t ，s p ) ) 表示 风险资产的波动率。 矿( f ) ，0 ) 是标准布朗运动。 在本文中，我们对连续时间的金融市场模型作标准性假设，即允许连续交易、 在交易中不包含交易费用和税收、所有资产都是无穷可分的。 2 1 3 再保险方式 保险公司为了降低自身所遭遇到的可能危及公司地位的损失的概率时，通常 会选择再保险的方式来提高自己的竞争力( 见v o g t 5 7 j ) 。首先介绍一下常用的三 种再保险方式的模型，j ，表示原保险公司应给投保人的一次赔款的金额，x 表示 原保险公司实际赔款的金额，z 表示再保险公司一次赔款的金额。记累积理赔 n ( t 1 s ( ，) = z ，原保险公司支付部分一般称为自留额。 i = l 我们常用的再保险方式有如下三种： ( 1 ) 比例再保险( p r o p o r t i o n a lr e i n s u r a n c e ) ：原保险公司与再保险公司在合 同中约定保险会额的分割比，将每一危险单位的保险金额，按照约定的比率在原 保险公司与再保险公司之间进行分割的再保险方式。 l o 硕士学位论文第二章基本概念和基本理论 原保险公司的模型表示为：x = p y ，其中p ( o p 1 ) 为约定保险金额的分 割比例，再保险公司的模型表示为：z = ( i p ) r 。 ( 2 ) 超额损失再保险( e x c e s s - l o s sr e i n s u r a n c e h 每次赔付，原保险公司在 没有超过再保险合同中约定的自负额b 时全部赔偿，在超过再保险合同中约定的 自负额b 时，再保险人就超过部分负责赔偿。超额损失再保险的保费不是按照比 例定的，而是按照一定的原则来拟定的。 原保险公司的赔付模型表示为：x = ；量耋，再保险公司的赔付模型表 示为：z = ；，- 6 ，；量：。 ( 3 ) 停止损失再保险( s t o p - l o s sr e i n s u r a n c e ) ：与超额损失再保险不同的是， 停止损失再保险对应的是累积理赔。原保险公司在累积理赔没有超过再保险合同 中约定的自负额b 时全部赔偿，在超过再保险合同中约定的自负额b 时，再保险 人就超过部分负责赔偿。 原保险公司的焙付模型表示为：x = 付模型表示为：z = n ( t ) 0 ，yrsb 7一 ，= i n ( ，)n ( t ) z - b ，p 6 = li - 1 ( f )( ，) r ，v 6 4 1 置，再保险公司的赔 ( ，) 。 b ， p 6 = l 停止损失再保险的保费的拟定和超额损失再保险类似，不是按照自留额与分 出额的比率定的，而是以另一种规则来确定的。 此外，其它的再保险方式还有，一段确定时间内k 个最大理赔的再保险，盈 余再保险和联合再保险合约等。 硕士学位论文第二章基本概念和基本理论 2 2 基本理论 2 2 1 效用理论 每个投资者在进行投资过程中，都有自己对收益与风险的偏好程度，即投资 活动要遵循的一个关于收益与风险的效用函数。效用函数是表示投资者对获得投 资收益的满足程度的函数，每个投资者都有自己的效用函数，并利用期望效用最 大化原则选择最优组合。 本文限制投资者为严格的风险厌恶者，即投资者的效用函数是连续的、严格 单调递增( u 0 ) 并且为严格凹的( u 。 0 ，厌恶风险；7 ) 。是常数。则该效用函数的风险厌恶系数y ( x ) = 毛笔挚= 是常数，又 因为指数效用函数是在零效用原理下，唯一一个得出独立于保险公司盈余水平的 公平保费的函数，所以它在保险数学和精算应用中有着重要地位。 ( 2 ) 二次效用函数： u ( x ) = x 一触2 ，x 0 ：( 2 l o ) 其中胗。是常数该效用函数的风险厌恶系数姒咖帮= ；i 。 ( 4 ) 幂效用函数： u ( x ) = ，x 0( 2 1 1 ) 其中。 心是常数。该效用函数的风险厌恶系数m 加帮= 半。 在实际情况中，我们有时候是根据人的喜好程度来确定偏好关系的，这就要 求给出不同于以上几种的效用函数。 2 2 2 随机控制理论 随机最优控制已广泛用于管理，金融等领域，其主要依托b e l l m a n 动态规划 理( t h et h e o r yo fd y n a m i cp r o g r a m m i n g ) 。r e b e l l m a n l 5 8 1 在他的著作里把动态 规划原理表述如下：一个最优策略具有这样的性质，不管初始状念如何，相对于 初始策略产生的状态来说，其后的策略必须构成最优策略。也就是，每个最优策 略只能有最优子策略组成，由此我们经常得到b e l l m a n 动态规划方程，而这个方 程在很多情况下比较难解。 下面我们给出关于h a m i l t o n j a c o b i b e l l m a n ( h j b ) 方程的主要定理。 我们考虑最优问题： f f ( x ( f ) ，甜( f ) ，f ) d f + g ( x ( 7 1 ) ) 专最大值，( 2 1 2 ) , t o 满足条件 戈( f ) = ( x ( f ) ，甜( 彳) ，f ) ，x ( t o ) = x o ( 2 1 3 ) 其中状态x ( f ) 属于只”的一个开子集x ，控制函数甜( ，) 是取值于r 肘的一个闭子集 u 上的一个可测有界函数。f ：x x u xr 专r ”，g ：x r 和l ：x xuxq r 是 对应于状态变量的连续函数。 为了解决上面的最优控制问题，我们先考虑集族f ( x ，) ，x x ，t 1 0t 】的 控制i u 题： 硕七学位论文第二章基本概念和基本理论 ，( r ，x ，”) = f 三( x ( r ) ，z ，( f ) ，f ) 办+ g ( x ( 丁) ) 一最大值 ( 2 - 1 4 ) 满足条件 颤f ) 鬻( x ( r x ( f ) ，矿) ，x ( ，) 蕾x( 2 1 5 ) 一个轨迹控制点( x ( o ，砧( ，) ) ( ，sf 0 ， p 歹：玉二三。 q 一印 ( 3 - 3 ) ( 3 - 4 ) 硕+ 学位论文 第三章含多个风险资产的最优投资和再保险策略 假设投资的金融市场中有一个无风险资产( 债券) 和多个风险资产( 股票) 。 无风险资产( 债券) 在，时刻的价格g ( t ) 满足以下常微分方程 d b ( t ) 薯r o b ( t ) d t ，( 3 5 ) 其中 o 是无风险利率。假设，个风险资产( 股票) 在，时刻的价格为剐，) ， i = l ，2 ，力，s ( ，) 满足下面的随机微分方程 驾( ，) 盎鼍( ，) ( i 出+ o - ，a w , 。) i = l ，珂 ( 3 - 6 ) 其中常数i o ， o 为第f 个风险资产的期望收益率和波动率，i = 1 ，2 ，刀； 肜( f ) = ( 彬n ，彬”) 7 是一个以维的标准布朗运动，r 表示转置。 我们假设 匕，k = l ，2 ，) ， ( f ) ，0 ) 和 ( ，) ，0 ) 是相互独立的，两个布朗 运动的相关系数是乃，即研彬彬。】= 乃f ，j = l ，刀。我们还假设盯= ( ) 是一个 非奇异矩阵，记= 丁，p = ( 局，岛) r ，风险的市场价格记为y = 盯一1 d ，其中 d = ( 吒- r o9o ，名- t o ) 7 。 我们用o ( t ) = ( 岛( r ) ，酿( f ) ) 7 表示，时刻保险公司投资于r 1 个风险资产的盈 余数量，剩下的投资于无风险资产。在时刻，0 ，p = p ( ，) 和9 = 秒( ，) 由保险公 司确定。记万( ) = ( p ( ) ，秒( ) ) 。当保险公司选择投资和再保险策略万( ) 时，保险公 司的财富过程可表示为 即 删纠2 扣) 篱郴化矿桫) 】鬻毗力 ( 3 7 ) a r ( t ，万) = 他一( 1 一p ( 呦q + r o r ( t ，万) + 仍- r o ) o , ( t ) d t + f l d w , r ( 0 1 = 1 1 0 。 n ( ，)” 一p ( ，) d k + z z o , ( t ) c r , , d w , ，) ， ( 3 - 8 ) ( 3 - 9 ) 硕士学位论文第三章含多个风险资产的最优投资和再保险策略 一个策略万( ) 称为是可行的，如果p ( ) 和口( ) 是关于f 可料的，并且p ( ) 和 伙) 满足下面的条件： ( 1 ) 0 p ( ，) l ， - 。 ( 2 ) 尸 【) 1z o ( t ) a t o 满足当，个名，有m ( ，) 个( 允许乞= ) 。由m ( ，) 的定义易 知肘( 0 ) = l ，且肘在 0 ，k ) 上是连续递增的凸函数( 参见g r a n d e l l l 5 9 】) 。 3 2 主要结果 假设保险公司希望最大化财富终值，即丁时刻财富值的期望效用最大。假设 效用函数为u ( x ) ，且“ o ，u 。 = “( x )( 3 - 15 ) 采用f l e m i n g 和s o n e r m 中的标准方法，可得到下面的检验定理。 定理3 2 如果w ( t ，x ) c i , 2 ( 【o ，刀皿) 是满足h j b 方程( 3 1 4 ) 和边界条件 ( 3 1 5 ) 的一个增凹函数，则( 3 1 2 ) 式定义的值函数v ( t ，x ) 与w (