（运筹学与控制论专业论文）对pars框小波的某些研究.pdfVIP

摘要 h i l b e r t 空间的框理论在信号、图像处理及数据压缩、可靠的数据传输等方面有 着十分重要的作用p a r s e v a l 框理论足框理论中最需要发展和深入研究的广泛领域 之一本文主要讨论如下几个问题； 1 m r a 的且七e r ( 如) = o 但不是w j 框的p o r s e o f 框小波存在性 2 非m 冗a 的且七e r ( 元) = o 但不是w r 0 框的p n r s e 可a f 框小波存在性 3 非 ，m 的且七c r ( 儿) = o 且是名框的p 吖s e 伽f 框小波存在性 4 对任意n n ，存在一个非半正交的j p o r s e u o f 框小波，它的维数函数分别 在某个正测集取值0 ，1 ，2 n 5 对任意；( o ，1 ) ，存在一个p 凸r s e 钉口f 框小波，它的维数函数在某个正测 集取值； 关键词小波，多分辨率分析，框，维数函数 a b s t r a c t 1 1 1 et h e o r yo f 缸m e sf o rah i l b e r ts p a c ep l a y sa 觚d 锄e n t a lr o l ei i l s i g n a lp r 0 c e s s i i l g ，加1 a g ep r o c e s s i n & d a t ac o m p r e s s i o n ，r o b u s td a t a 虮m s m i s s i o na 1 1 dm o r e i nt h e t h e o 巧o ff h m e s ，p a r s e v a l 触m ew a v e i e t si so n eo f t l l ee x t e n s i v er e a l m sw h i c hn e e dm o s t t od e v e l o pw i t ht h o r o u 曲r e s e a r c h i n 廿1 i sp a p e r ，w ef o c u so n 廿l e s ep r o b l e m s ： 1 1 1 1 ee x i s t a n c eo fp 哪e 、，a lf 瑚n ew a v e l e t s ，w h j c hi sm r a ，n o n i 胁m e 柚d 七e 7 ( ) = o ) 2 t h ee x i s t a n c eo fp a r s e v a l 如啪ew a v e l e t s ，w h i c hi sn o tm r a ，n o n f h l l e 锄d 忌e r ( 如) = o 。 3 1 ke x i s t a n c eo fp a r s e v a l 以m ew a v e l e t s ，w h i c hi sn o tm r a ，i 晚妇n ea n d 七e r ( ) = o ) 4 f o ra n yg i v e nn n ，t h ee x i s t a n c eo fp a r s e v lf h m e 、张v e l e t s ，w h o s ed i m e n s i o n 内n c t i o nt a k e sv a u l e0 ，1 ，2 no ns o m ep o s i t i v em e a s u r a b i es e t s 5 f o ra n yg i v e n ；( o ，1 ) ，t h ee x i s t a n c eo fp a r s e v a l 劬m ew a v e l e t s ，w h o s ed i m e n s i o nm n c t i o nt a k e sv a u l e ；o ns o m ep o s i t i v em e a s u r a b l es e t s k e y w o r d sw a v e l e t s ，m r a ，p a r s e 、，a lf r a m ew a v e l e t s ，d i m e n s i o nm n c t i o n 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是在我导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成 果据我所知，除文中已经引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写 的研究成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在本文中作了明确的 说明并表示谢意 作者签名：丝兰坌日期： 学位论文使用授权声明 竺生三矽 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学 位论文并向国家主管部门或指定机构送交论文的电子版和纸质版有权将学位论文 用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅有权将学位论文的 内容编入有关数据库进行检索有权将学位论文的标题和摘要出版保密的学位论 文在解密后适用本规定 学位论文作者签名：上砬导师签名： 日期：塾苎：垒三左日 期 第一章引言 近一个世纪以来，f 0 u r i e r 变换已经成为分析学中的一个主要工具，但是在信号 分析中，由于f o 血e r 变换仅能反映信号的整体特性，无法表述信号的时频局部性质， 因此我们需要一种新的能够表达时频局部性质的分析手段 小波分析足傅立叶分析发展史上里程碑式的进展，近年来成为众多学科共同关 注的热点而小波分析是2 0 世纪8 0 年代后期形成的一个新兴的数学分支它的 发展历史最早可以追溯到2 0 世纪初1 9 1 0 年，h 姐r 构造了紧支撑的正交函数系一 h 舱r 函数系，后来这就被人们当作是规范正交小波基思想的起源人们真正研究 小波足在8 0 年代1 9 8 4 年，m o r l e t 和g r o s s m a n 首次提出了小波的概念，给出了 按一个确定函数妒的伸缩甲移系展开函数的新方法和进行信号表示的新思想随 后，m e y e r 构造出了具有一定衰减性质的光滑小波函数1 9 8 6 年， = r n f f c 【1 1 】提出 了多分辨率分析的理论框架，为小波基的构造提出了一般的途径多分辨率分析的 思想是小波的核心，它是理论与应用的结晶至此，小波分析才真正成为一门学科 之后，人们构造出了大量的小波其中比较引人注目的足d 让6 e c 跑s 【1 2 】在1 9 8 8 年 构造的类具有紧支撑的有限光滑正交小波函数，该小波得到了非常广泛的应用 小波分析优于傅立叶分析的地方是，它在时域和频域同时有良好的局部性质， 而且由于对图像信号的高频成分采用逐渐精细的时域或频域取步长，从而可以聚焦 到对象的任意细节小波分析的这一特点，使得它特别适合于对信号的奇异点的分 析，被誉为“数学显微镜”文献【3 1 足很好的小波入门读物 p r 5 e 抛f 框小波及其多分率分析理论的研究在近十年里也有了良好的进展，如 文献 1 】，【2 ， 1 0 】，( 9 】本文主要对p n 粥e u o f 框小波及其多分率分析一些探讨 华东师范大学硕士论文 对p 0 7 s e ( f 框小波的一些研究 1 1 已有的结果与本文的主要内容 本文的研究工作的主要出发点是航舰c ，却e e 9 f e 和彤e t s s 对户口7 s e 移口z 框小波 的结构所作的研究【1 】他们根据p n r s e 抛2 框小波妒是否是m r a 的， 砂( z f ) if z ) 是否是面葫再币i 1 河网的框，以及砂所诱导的映射毛是否是单射这三个 准则，对p 口7 s e u n f 框小波的整体作了分类，并且证明了在这个分类下绝大部分子 类是非空的在文献【1 】中，他们构造了一个尸n r s e u n f 框小波矽， 妒 一z ) if z ) 不是8 妒n _ 【砂( z 一2 ) lc z 的框，且毛是单射但因为构造某些数集的存在性是 由抽象定理所保证的，因此无法判定所造的p n r s e 越框小波是否足m r a 的换 言之，该大类中是否存在m r a 的及非m r a 的p o r s e t j o z 框小波都是悬而未决 的问题此外，在文献【1 】中，p 口r s e o f 框小波的另一个子类一一妒是非m 兄a 的，_ 【砂( z z ) lf z 足面石孑双i = 珂丁i 可的框，且毛是单射一一是否非空也 是悬而未决的本文的第一部分用构造的方法解决了上述那些问题 后i c ，却f ) e p 和仇7 e i s s 并且对，r s p ，c ，n f 框小波所对应的维数函数进行了探 讨对于维数函数已经有了大量的研究，它起初被用于刻画m r a 的正交小波相 比于正交小波的维数函数，对于一般的p n r s e 掣o f 框小波的维数函数，至今知道的 很少，它和其他被广泛研究的p n r s e u n f 框小波的性质之间的联系也远不足清晰的 在文献【2 】中，p 口f u s 名可n s 七i ，s i 乜c ，w “s s 和x i 证明了半正交的尸口s e 口口f 框 小波的维数函数只取非零正整数，且证明了对于任意正整数，存在一个半正交 的尸o r 3 即n f 框小波，使得它的维数函数可以取值0 ，本文第三部分，我们进 一步举例说明了对于一般的j p q r se t i n f 框小波也有类似情形在文献 1 中，s p e e 9 f e 证明了存在一个尸口r s e n f 框小波，它的维数函数取值在 o ，1 】，但它不足m r 4 的 本文中，我们进一步举例证明了对：( o j1 ) ，p ，g n ，存在一p n r s e 口2 框小波， 及某个正测集f ，使矽的维数函数在f 取值! ，但它也不是m r a 的 在进入主题之前我们先来看看h i l b e r t 空间上一般的框的定义 定义1 1 1 设咒为日i f 6 e 7 空间，z 是可数集， ) zc “如果存在正常数a ，b ， 2 华东师范大学硕士论文 对p n r s e n ，框小波的一些研究 使得对v ，冗，都满足 删川2 s i 1 2 刚川2 ， ( 1 1 ) 七z 则称该序列 k 口是咒的一个框，b ，a 分别称为该框的上下框界如果a = 刀， 就称 ) 七z 为紧框；如果a = b = 1 ，则称( 七工为规范紧框，也称p o r s e ”刎 框 在上述定义中，如果a = b = 1 ，且对于七l ，七，z z 有 = 0 成立， 那么可以证明( 】七工是规范正交基由定义可知，规范正交基一定足p 8 r s e t ，口f 框， 但在很多情况下p n r s e u n f 框却不是正交基在介绍l 2 ( r ) 上的一种特殊的框之前， 我们先来介绍l 2 ( r ) 上的平移算子t 和放缩算子d t ：l 2 ( r ) l 2 ( r ) ，( 丁，) ( z ) = ，( z 1 ) ，v ，l 2 ( r ) ； d ：己2 ( r ) _ l 2 ( r ) ，( d ，) ( z ) = v 压，( 2 z ) ，v ，l 2 ( r ) 由定义可知算子t 和d 都足l 2 ( r ) 上的酉算子 定义1 1 2 设妒l 2 ( r ) ，如果序列( d n 丁砂hz z ) 是己2 ( r ) 上的j p n r s e u o f 框， 则称砂为p 0 7 s e u n f 框小波如果上述序列是l 2 ( 酞) 上的规范正交基，则称砂为正 交小波 易知，对任意n ，f z ，d n t 2 砂( z ) = 2 号妒( 2 n z f ) 我们常把2 号妒( 2 n z 一2 ) 记 为f 在文献 3 】中，h e r 忍彻d e z 和w e i s s 对尸口， s e 秒甜框小波有这样一个等价 刻画： 引理1 1 1 f 3 】设砂2 ( 豫) 矽是尸d ，- 5 e 秽口z 框小波当且仅当 i 函( 2 。钟= 1 眦f r ( 1 2 ) j z 且对于任意的奇数q 满足下面等式 b ( f ) ：= 西( 2 7 啪( 2 ，( + 2 q 7 r ) ) = o 舭f r ( 1 - 3 ) j 三0 如果砂还满足l | 砂1 1 2 = 1 ，则砂是正交小波 3 华东师范大学硕士论文对p o r s e t ，n f 框小波的一些研究 多分辨率分析( m r a ) 是构造小波的一种非常重要的方法，下面我们先来介绍 多分辨率分析的概念， 定义1 1 3 设 巧：歹z ) 为l 2 ( r ) 的一簇闭子空间如果满足。 ( z ) 对任意歹z ，有c 巧+ 1 ； ( i i ) 对任意j z ，扛) 巧当且仅当，( 2 ( z ) ) 巧+ 1 ； ( 矧n j zm = o ； ( i u ) u j z 巧= l 2 ( r ) ； ( t ，) 存在一函数妒，使得 妒( z 一七) ：七z 是的规范正交基， 则称 k ：歹z 为多分辨率分析，简记为m r a ，妒称为该m j r a 的尺度函数 在解释m 兄a 的正交小波之前，我们需要先来定义函数的傅立叶变换， 定义1 1 4 傅立叶变换厂是一个l 2 ( r ) _ l 2 ( r ) 的连续双射当1 ；f ，l 1 ( r ) n l 2 ( r ) 时，砂的f 础州e r 变换为 厂妒= 移代) = 矽( z ) e 一越互d z 设为在里的正交补空间，即= 01 如果找到1 ；f ，使 得 妒( z 一工) i 后z ) 是0 的规范正交基，那么妒是l 2 ( r ) 中正交小波由 ，月a 的定义可知， 妒( 量) u 1c ，再由 妒( z 一忌) ：七z ) 是的规范正交基可 知， 丢妒( 考) = 。t 妒( z + 七) ， 知z 其中a 七= 丘妒( 墨) 瓦丽此时我们同时对上式两端作傅立叶变换，可得 p ( 延) = 9 ( f ) 懈馘= 涨) 挑( f ) ， 其中m o ( ) = 女z 鲰e 派我们把m o 称为与尺度函数妒相关的低通滤波器可以 证明m o 满足 i m o ( f ) 1 2 + i m o ( f + 丌) 1 2 = 1 ，n e r 在文献 3 】中，e r n 舰r z e 。和w e 拈s 对与m r 1 k ij z ) 相关的正交小波砂有了 明确刻画 4 华东师范大学硕士论文 对尸n r s 已抛f 框小波的一些研究 引理1 1 2 设妒是m 尼f 4 k i 歹z ) 的尺度函数，m o 为其相应的低通滤波器，则1 ；f ， = e 是l 2 ( r ) 的正交小波当且仅当对某以2 丌为周期的函数，l ( ) l = 1o e r ，有 够( 2 ) = e p ( ) 而匹再两( ) ，d e r 我们将满足引理1 1 2 的正交小波称为m r a 的小波 至于该定义如何推广到m r 4 的p 口r s e d z 框小波的定义，在文献 2 】中，j p n z t s 2 秒n s 舰， 成七z c ，e z s s 和x i o o 列举了至少有三种不同的途径下面我们来介绍他们的对i ，r a 的p o r s e 抛f 框小波的定义，首先我们需要下面的定义 定义1 1 5 【7 设可测函数m ，m ：r _ c 如果m 是以2 7 r 为周期的周期函数，且 满足 i m ( ) 1 2 + i m 恁+ 7 r ) 1 2 = 1 ，n e f r ， 则称m 为广义滤波器 注意到广义滤波器并非一定是低通滤波器，而低通滤波器一定是广义滤波器 定义1 1 6 【7 】设妒l 2 ( r ) ，如果存在一个广义滤波器m ，使得l p 满足 ( 2 ) = 。( ) p ( f ) ，n e r ， 则称妒为与m 相关的伪尺度函数 注意伪尺度函数并非一定是尺度函数 定义1 1 7 7 设妒是p n r s e t ，n f 框小波，如果存在广义滤波器m 及与其相关的伪尺 度函数妒，满足 西( 2 ) = e 而石可9 ( ) ，黜r ， 则称砂是a j f r a 的p 凹s e u f 框小波 对于p n r s e u n f 框小波是否足m r 月的，文献【2 有着一个刻画，在叙述这个刻 画之前，我们先来介绍与此紧密相关的f 2 ( z ) 中的一些子空问对于固定的r 及每个自然数j ，定义 皿j ( f ) ：= f 妒( 2 7 ( + 2 后7 r ) ) ：南z 】- s 华东师范大学硕士论文对p o r s e 抛f 框小波的一些研究 对于每个固定的j n ，因为 z 孙驴咏恻斤妒刍胁炉武= 新| 2 o ) ，砂是框当 且仅当存在0 c 1 ，使得舶c x 几乎处处成立 下面我们来看看第三个依据设，足尸口r s e u 0 2 框小波，令， = 酞( 2 7 r z ) ，定义 l 2 ( t ，脚) ：= 9l ，1 9 1 2 m 必 。) ，t 华东师范大学硕士论文 对p n r s e n f 框小波的一些研究 可以证明，对每个p 0 7 s e u 口f 框小波矽及每个9 l 2 ( t ，如) ，都有9 l ( - ，珊) 于 是，可以定义 毛：l 2 ( ，如) 一l 2 ( ，珊) ，磊，( 9 ) = g ；的己2 ( t ，如) 在文献 1 】中，成七i c ，却e e 9 f e 和w 反s s 依据妒是否是m r a 的，是否是w j 框和算 子乞是否是单射对p 口r s e u 口f 框小波进行分类，并证明了其中的大部分子类是非空 的本文将论述余下的三子类非空我们把结论罗列如下 定理1 1 1 存在一个p n r s e 抛f 框小波矽，妒是m r a 的，七e r ( 如) 是单射，妒不是 框 定理1 1 2 存在一个p n r s e u o f 框小波咖，妒不是m r a 的，七e r ( 如) 是单射，妒不 是框 定理1 1 3 存在一个p 口r s e 0 2 框小波砂，矽不是m 尺a 的。托7 ( ) 是单射，砂是w j 框 在上述定理的证明中，我们将依赖于下列刻画 引理1 1 5 【1 】设妒是j p 口7 s e t ，n f 框小溉则矽不是n 厂0 框且托r ( ，) = o 当且仅当下 面两条件成立 i u 0 i = o ； 一矽l ：o o 成立 引理1 1 6 1 】设妒是p n 7 s p t f n f 框小波，则衫，是w 名框且詹p r ( ，) = o 当且仅当下面 两个条件成立 何j 0 o 下面我们来介绍第二部分的工作，首先介绍半正交p n r s 删n f 框小波 定义1 1 9 设砂是p o r s e 秽n f 框小波，如果对于任意歹l j 2 ，j 1 ，如z ，任 意七1 ，七2 z ，有 = 0 ，则称砂为半正交的p u 粥e t f 框小波 7 华东师范大学硕士论文对p a r s e t j n f 框小波的一些研究 依据七i c ，却e e 9 f e 和e i s s 的划分，尸口f u 5 z ! n s 统，威七i c ，反s s 和x i n o 证明 了半正交的j p 口7 s e u o f 框小波妒都是厂0 框，且此时 ，七i 七z ) 是w j 的p 0 7 s e 可口z 框 定义1 1 1 0 设妒l 2 ( r ) ，定义 d 咖( ) ：= l 移( 2 ( f + 2 后7 r ) ) 1 2 ，f r 我们称现为妒的维数函数 因为 一序水) = z 斯篆2 诹恻) 1 2 薹刍胁) f 2 = 似) 1 2 蚓1 2 o ，如果e ，那么不等式脚( f ) e 有非空解集当且仅当f 月2 即( m 锄( 悖一2 7 r i ，；) ) 2 e ，得其解集为( 2 丌，2 7 r + ) 当e 之 时，若f 仍，劭( f ) = ( m 伽( 阵一2 7 r l ，、 ) ) 2 e 所以靴( ) 的解集非空且具有正值测度因此引理1 1 5 的条件( i i ) 满足所以妒不是框 且七e r ( l ) = o 的 口 到此我们已经说明了妒是非框且后e 7 ( 厶) = o 的p r 8 e u o f 框小波，下面我 们要说明妒是m r a 的 定理2 2 1 设咖如引理2 1 8 所述，则妒是删的 证明我们只需通过引理1 1 3 来证对固定的r ，我们观察下述z 2 ( z ) 的子空 i p 口n 虬( ) ：j 之1 ) ， 其中 皿j ( ) ：= t f ，( 2 j ( + 2 知7 r ) ) ：七z ) 由引理2 1 3 可知 日1 ，风，g 平移铺平r t 于是若咖( ) o 则砂 + 2 尼7 r ) = o 对于每一个o 七z 因此每一个向量吼 ) 至多有一个非零分量假定存在1 i o 当e 蠢时，舭( ) e 有非空解集当且仅当荨吼即f 一普1 2 e 得其解集( 訾一诉，訾+ 伺 当e 备时，若巩，则m ( ) = ( m 饥( 悖一訾i ，、；) ) 2s e 所 以黝( f ) o 定理2 4 1 设砂如引理2 2 1 所述则妒不是m 尺a 的 2 0 ( 2 6 ) 口 华东师范大学硕士论文 对p n 7 s e 可n f 框小波的一些研究 证明注意到【丌，警) c 瓯，当f ；【丌 等) 时，则2 成且2 2 ( + 2 7 r ) 觑 如，k ) 罄，在向量皿- ( ) 的分量中，除移- ，o = 1 外，其余均为o 在向量z ( ) 的分量中，除如，l = 狐外，其余均为o 所以出m 妒( ) 2 ，由引理1 1 3 可知讪 不足m 兄a 的 口 2 l 第三章尸0 7 s e 秒o z 框小波的维数函数的一些研究 本章共两个小节第一节主要论述了对任意n n ，都存在非半正交的p o r s e ”n f 框小波，使得它的维数函数在某些正测集上可取到o ，1 ，2 n 第二节对任意； ( o ，1 ) jg c d 0 ，口) = 1 ，p ，口n ，存在p o r s e o z 框小波，使它的维数函数在某正测集上 可取值； 3 1 非半正交p o r s e u 口z 框小波的维数函数的取值 在文献【5 】中，r d n 和s e n 证明了在正交小波的情形下，n n ，存在小波， 使其维数函数取值o ，1 ，2 n 在文献【4 】中，b d 叫倒c ，r z e s z d 讥z 七和却e e 9 z e 证 明了在半正交框小波的情形下也有类似现象本文将在这一小节里证明非半正交 的p o r s e u o f 框小波也有类似情形 定义3 1 1 设e ，f 为r 中的可测子集，如果e ，f 满足 ( ue + 2 七丌) n ( uf + 2 七丌) = 仍， k z知z 则称e ，f 是平移不交的 从甲移不交的定义上看，我们发现要证明两可测集是甲移不交的足比较费力的， 但下面的引理是可以让我们的论述方便得多 引理3 1 1 设e ，f 为r 中的可测子集，如果j 七1 ，如满足( e + 2 7 r ) u ( f 十2 也7 r ) 【一7 r ，7 r ) ，且( e + 2 后1 7 r ) n ( 尸+ 2 后2 7 r ) = o ，则e ，f 是平移不交的 定义3 1 2 设e ，f 为r 中的可测子集，如果e ，f 满足 ( u2 七e ) n ( u2 f ) = o ， 七z七z 则称e ，f 是放缩不交的 从定义上看，放缩不交与平移不交一样，用定义说明足比较麻烦的，因此在论 述中，我们通常使用下述引理 2 2 引理3 1 2 设e ，f 为r 中的可测子集，如果j 七l ，后2 满足2 - e u 2 乜f 【一2 丌，一7 r ) u 丌，2 丌) ，且2 七- e n 2 b 尸= d ，则e ，f 是放缩不交的 从引理3 1 3 到本节结束，我们都是固定佗n 来说明的 引理3 1 3 令 9 7 r z27 r + 丽丽，可27 r + 而丽 且f = 陋，y ) ，集合f2 只，2 肛1 f 是两两平移不交的 证明取i 1 ，2 ，n 一1 ， z f 一2 。7 r = 【2 t 丌+ 2 i 石罢乏；i ，2 丌+ i 万兰乏不了) 一2 i 丌 ) c ( 0 ，7 r ) f 一2 丌= k 一2 7 r ，秒一2 7 r ) c ( 一7 r ，一考) ，于是，f 与2 f ，2 n _ 1 f 中的任意个集 合都是甲移不交的对任意i 歹，i ，j 1 ，2 ，礼一1 】- ， ( 2 f 一2 丌) n ( 2 f 一2 j 丌) = 【 9 丌 9 7 r 1 6 2 ，i l 一 1 0 2 n 一1 一i) n 志，志 ) = d ， 所以2 只，2 ”1 f 也是两两甲移不交的因此，由引理3 1 1 可知，集合f 2 e ，2 沪1 f 是两两甲移不交的 口 引理3 1 4 设f 如引理3 1 3 所述，证明ef + 4 7 r ，f + 4 ( n 一1 ) 丌是两两放缩 不交的 证明 o ，1 ，2 ，n 一1 ) ，取如：= 【l 0 9 2 句】， 1 0 9 24 歹】表示小于l 0 9 24 j 的最大整 数， 2 一白( f + 句丌) = 2 一幻 ( 1 + 句) 丌+ t 百斋，( 1 + 4 j ) 丌+ i 万罢乏i 了) c 丌，2 丌) 2 一白( f + 句丌) = 2 一幻 ( 1 + 句) 丌+ 焘，( 1 + 句) 丌+ 南) c h2 7 r ) 考虑到0 z 歹n 一1 ， ，j n ，若能证明2 一h ( f + 4 i 7 r ) n2 一b ( f + 4 j 丌) = o ， 由引理3 1 2 ，则ff + 4 丌，f + 4 ( n 一1 ) 7 r 是两两放缩不交的 2 3 以下我们来证明对o i 学时， 2 一b ( ( 1 + 4 歹) 丌+ i 百兰乏而) 一2 一( ( 1 + 4 i ) 丌+ i 万娄乏i 了) = 2 一b 丌( ( 1 + 句) 一2 b 一( 1 + 4 i ) ) 一2 一k ，( 2 b h t 万要乏不了一i 可兰乏不了) 2 一b 丌一2 一b 丌( 2 b 一南一t 可五 因为2 b h = 2 【1 0 9 2 句卜【1 0 9 2 4 司= 2 【1 0 9 2j 卜【1 0 9 2 日2 【f 凹j l j i n 一1 2 n 一1 ， 所以2 b “i 赤一南 q 定义妒l 2 ( r ) ， 砂( ) ： 则砂是p n r s e n z 框小波 ； 1 o eue + 7 r ， f 2 e ， 2 e + 2 丌， f 4 eu8 e + 8 7 r ，( 3 2 ) f 8 j e 7 u4 e + 4 7 r 。 f f ， 其他 证明我们只要证明( 1 2 ) 及( 1 3 ) 成立即可由引理3 2 1 ，( f e ，e + 7 r 放缩铺 平r ( o ，因此只要在在证明( 1 ，2 ) 在e e ，e + 7 r 成立即可当e 时，在 2 “i 七 z ) 中，则，2 ，2 2 ，2 3 s ? l 卯( 参) ， 驴2 | 2 = l 厚1 2 + i 僵ni 瓶2 + i 盼乩 当f e + 丌时，同理可证 当f 时，在 2 f i 七z ) 中，贝0 s t t 即( 西) ，zi 西( ) 1 2 = i 谚( ) 2 i = l 于是( 1 2 ) 满足 我们观察( 1 3 ) 式，若要t 。非零，1 7 为奇数至少要求 对于r ，存柏n u o ) 使得2 f s t 仰( 乒) 且2 ( 荨+ 2 q 7 r ) s 让即( 移) 由s t t 即( 西) 自身结构的特征，我们奇数口只有取土1 时才会有上述情况发生又因 为s u 即( 砂) 卜丌，9 丌) ，这样的歹，口的选择无非是以下三种情况s ( i ) 2 e j 歹= 0 ，q = 1 ，( i i ) f 2 e ，歹= 1 ，q = l ，( i i i ) f 2 e ，j = 2 ，口= 1 吣泸屈c 一僭协芸锯弓谚= 。 所以妒是p n 7 s e 抛f 框小波口 瘅塘吨 引理3 2 3 设砂如引理3 3 7 所述，则矽是框且是非脱剃的 证明计算 加( ) ：= ( eue + 7 r ) + 2 后丌，七z ( 2 eu2 e + 2 7 r ) + 2 南7 r ，七z f ( 4 eu4 e + 4 丌) + 2 七7 r ，七z ( 3 3 ) 8 eu ( 8 e + 8 7 r ) + 2 南7 r ，七z f + 2 膏7 r ，南z 其他 由引理1 1 4 和跏的取值可知砂是框因此当2 e ，考虑向量簇_ 【皿j ( ) ： 歹1 ) ，在皿1 ( ) 的分量中，除了妒- ，o ( ) 在皿z ( 荨) 的分量中，除了如，。( ) = i 店，西。， 2 因此，不是m r a 的 为求d 妒( ) ，考虑函数 = 锯，谚，- ( ) = 其余均为o ； ( ) = 锯其余均为o ；所以出m 妒( ) 口 o o & ：= i 乒( 峨) 1 2 ， j = 1 因为 e ，e + 7 r 。f ) 放缩铺甲r o ，所以只要在u j 2 32 一( eu ( e + 7 r ) uf ) 上计 算 & ( ) ：= 1 u j 12 一( eu ( e + 7 r ) uf ) ， eue + 7 r ， 2 eu ( 2 e + 2 7 r ) ， f 4 e ， ( 4 e + 4 7 r ) ， 其他 2 9 ( 3 4 ) 2 匕p翌和丑印亟印 o 里p丑即丑脚口1脚 d 华东师范大学硕士论文 对j p n r s e 口n f 框小波的一些研究 因为d 砂是& 函数值所有2 丌周期和，所以在计算出& 的基础上，我们求得 d 谚( ) ：= l u j 12 一。( eu ( e + 7 r ) uf ) ； eue + 7 r 墨 2 e ( 3 5 ) 器 f 4 e 0 其他 3 0 参考文献 【1 】 h s i b c ，d s p e e g i ea n dg w b i s s ，s 打t 正面u r e d ，l e s e d ，d y o 出c p f p 矿7 s ，c o n t e i n o m d r m a 凼e m a t i c s ( 2 0 0 7 【2 】m p a l u s z y i 塔b ，h s i l 【i c ，g 、牝i s s ，卸ds x i a o ，丁匆艇，7 o m e 啪t ，e z e t s ，矗e 打出m e n s i o 扎 ，t l 礼甜t d n s ，朋r a 匆m ，r 口m e 叫口 e z e s 口n dc d 凡n e d l u t 冶p r o 妒d r 统e s ，a d v c o m p u t m a m 18 ( 2 0 0 3 ) ，2 4 ，2 9 7 - 3 2 7 【3 】 e h e m a n d e za n dg w e i s s ，a ，i r s tc 础r 8 ed n 伽n t ，e k t s ，w i t l laf o r e w o r db yy v e s m e y e t s t u d i e si na d v 柚c 酣m a t h i m a t i c 8 c r cp r 髓s ，b 0 c ar a t o n ，f l ，l9 9 6 【4 】m b o w l i k ，z r z c s z o t i l i k 如dd s p e e 百e ，a 如n r o 西e r 切武i d nd 厂以m e n s i 饥，“n 以i d n sd ， 加口t ，e f e ”s ，a p p i c o m p u t h 甜m a 豫1 1 0 ( 2 0 0 1 ) ，n o 1 ，7 l 一9 2 5 】 a r o na n dz s h e n ，丁危e 叫口秒e z e t 出m e 佗5 z 饥，t 正n 矗t d n 8 h e 打n c e ，仳n 吐 o nd ，口s 危t ，t 一 伽 n r n 礼s 耖豇e m ，p r o c a 屺r m a 也s o c 1 3 1 ( 2 0 0 3 ) ，n o 5 ，1 3 8 5 - 1 3 9 8 【6 】 c d eb 0 0 r r d e v b r c ，a n da r o 玛t h es 打u 以t 正? ed ，i n t t e f y9 e ，l e r c t e ds h t ，t i n u n 7 t 几亡s 工m c e s 蕾扎l 2 ( 毫d ) j f u n c t a