（原子与分子物理专业论文）泛函积分方法与黑洞背景下物质能量密度涨落的研究.pdf

摘要 泛函积分方法与黑洞背景下物质能量密度涨落研究 原子与分子物理专业 研究生：邹伯夏指导教师：颜骏 摘要：通常可采用两种方法研究一维非线性量子场论模型的统计物理性 质，即：b e t h ea n s a t z 方法或泛函积分方法。第一种方法可以给出精确解， 但是这种方法只能研究低维物理模型。泛函积分方法可以应用于任何非线性系 统，并根据微扰理论得到物理模型的近似解。 本文根据泛函积分方法研究了一维量子s i n e g o r d o n t h i r r i n g 模型的统计 物理性质。首先，使用微扰和变分泛函积分方法分析了模型的相结构和相的稳 定性质；其次研究了黑洞背景和非对易时空中费米物质的能量密度涨落，对非 对易时空中的费米物质能量密度涨落和黑洞内部引力场的扰动进行了分析。 然后，本文研究了标量场和玻色t h i r r i n g 模型的能量密度涨落，并在相同 黑洞背景下与费米场的能量密度涨落进行了比较。 最后，根据热核泛函积分方法，研究了黑洞背景中费米场和玻色场的能量 密度涨落，并与泛函积分方法得到的结果进行了比较。 本文的创新工作如下： 1 、利用泛函积分方法推导了一维s i n e g o r d o n t h i r r i n g 模型的等效势和自 由能，并在强、弱耦合情况下研究了模型的相结构和稳定性质。 2 、在黑洞背景下推导了s i n e g o r d o n t h i r r i n g 模型的自由能与等效势，计 算了弱耦合和强耦合情况下费米物质的能量密度，分析了引力场扰动对 费米物质能量密度涨落的影响。 3 、计算了标量场和玻色t h i r r i n g 模型的能量密度涨落，并与相同黑洞背 景下的费米场能量密度涨落进行了比较。 4 、根据热核泛函积分方法计算了黑洞背景下玻色场与费米场的能量密度 摘要 涨落，并与变分泛函积分方法得到的结果进行了对比。 关键词：s i n e - g o r d o n t h i r r i n g 模型泛函积分 能量密度涨落黑洞背景 f u n c t i o n a li n t e g r a l sm e t h o da n d e n e r g yd e n s i t y f l u c t u a t i o n so fm a t t e ro nb l a c kh o l eb a c k g r o u n d s p e c i a l t y ：a t o m i ca n dm o l e c u l a rp h y s i c s p o s t g r a d u a t e ：z o ub ox i as u p e r v i s o r ：y a nj u n a b s t r a c t ：g e n e r a l l y , t w om e t h o d sc a nb eu s e dt os t u d yt h es t a t i s t i c a lp h y s i c s p r o p e r t i e so fo n e d i m e n s i o n a ln o n l i n e a rq u a n t u mf i e l dm o d e l ，t h a ti sb e t h ea n s a t z o rf u n c t i o n a li n t e g r a l s ( f i ) m e t h o d s f i r s tm e t h o dc a l lg i v ee x a c ts o l u t i o n s ，b u tt h i s m e t h o dc a ns t u d yo n l yi nl o w d i m e n s i o n a lp h y s i c sm o d e l s f u n c t i o n a li n t e g r a l s m e t h o dc a na p p l i e dt oa n yn o n l i n e a rp h y s i c ss y s t e m ，t h ea p p r o x i m a t i o ns o l u t i o no f p h y s i c sm o d e la r eo b t a i n e da c c o r d i n gt op e r t u r b a t i o nt h e o r y t h es t a t i s t i c a lp h y s i c sp r o p e r t i e so f1 - dq u a n t u ms i n e - - g o r d o n - t h i r r i n gm o d e l a r es t u d i e db yu s i n gf im e t h o d t h ep h a s es t r u c t u r ea n ds t a b i l i t ya le a n a l y z e db y u s i n gp e r t u r b a t i o na n dv a r i t a t i o nf u n c t i o n a li n t e g r a l sm e t h o d t h ee n e r g yd e n s i t y f l u c t u a t i o no ff e r m im a t t e ro nb l a c kh o l eb a c k g r o u n da n dn o n c o m m u t a t i v e s p a c e t i m ea r es t u d i e d ，t h ep a r t u r i t i o no fg r a v i t a t i o n a lf i e l di nb l a c kh o l ea r ea l s o a n a l y s e d t h ee n e r g yd e n s i t yf l u c t u a t i o no fs c a l a rf i e l da n db o s e t h i r r i n gm o d e la r e s t u d i e di nt h i st h e o r y t h e ya r ec o m p a r e dw i t hf e r m im a t t e ri ns a m eb l a c kh o l e b a c k g r o u n d t h e nt h ee n e r g y - d e n s i t yf l u c t u a t i o n so fs c a l a rf i e l d sa n db o s et h i r r i n gm o d e l a r eo b t a i n e di nt h i st h e s i s t h e ya r ec o m p a r e d 、以也f e r m im a t t e ri nt h es a m eb l a c k h o l eb a c k g r o u n d i nf i n a lp a r t ，t h ee n e r g yd e n s i t yf l u c t u a t i o n so fb o s ea n df e r m if i e l d so nb l a c k h o l eb a c k g r o u n da r es t u d i e db yu s i n gh e a t - k e r tf u n c t i o n a li n t e g r a l sm e t h o d ，l e y a r ec o m p a r e dw i t ht h er e s u l t so fv a r i a t i o nf u n c t i o n a li n t e g r a l t h en e ww o r k so ft 1 1 i st h e s i sa r ea sf o l l o w ： i i i a b s t r a c t e f f e c tp o t e n t i a la n df r e ee n e r g yo fs i n e - g o r d o n - - t h i r r i n gm o d e la r e d e r i v e db yf u n c a t i o a li n t e g r a l sm e t h o d ，t h ep h a s es t r u c t u r ea n dt h e s t a b i l i t ya r es t u d i e di nt h ew e a ka n ds t r o n gc o u p i n gc a s e s e f f e c tp o t e n t i a la n df le ee n e r g yo fs i n e - g o r d o n - t h i r r i n gm o d e la r e d e r i v e do nb l a c kh o l eb a c k g r o u n d ，e n e r g yd e n s i t yf l u c t u a t i o no f f e r m im a t t e ra ec a l c u l a t e di nw e a ka n ds t r o n gc o u p l i n gc a s e s i n f l u e n c eo fg r a v i t a t i o n a lf i e l dp e r t u r b a t i o nf o rf e r m im a t t e ri sa l s o a n a l y z e d t h ee n e r g y - d e n s i t yf l u c t u a t i o n so fs c a l a rf i e l da n db o s et h i r r i n g m o d e la r e c a l c u l a t e d ，t 1 1 e y a r e c o m p a r e d w i t h e n e r g y - d e n s i t y f l u c t u a t i o no ff e r r n if i e l di nt h es a m eb l a c kh o l eb a c k g r o u n d e n e r g yd e n s i t yf l u c t u a t i o no fb o s ea n df e r m if i e l d sa r ec a l c u l a t e db y m e a n so fh e a t k e r tf u n c t i o n a li n t e g r a l s ，t l l e ya r ec o m p a r e dw i t ht h e r e s u l t so fv a r i a t i o n a lf u n c t i o n a li n t e g r a l sm e t h o d k e yw o r d s ：s i n e - g o r d o n - - t h i r r i n gm o d e l e n e r g yd e n s i t n yf l u c t u a t i o n i v f u n c t i o n a li n t e g r a l s b l a c kh o l eb a c k g r o u n d s 四川师范大学学位论文独创性及 使用授权声明 本人声明：所呈交学位论文，是本人在导师痘丝憋指导下，独立进 行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其 他个人或集体己经发表或撰写过的作品或成果。对本文的研究做出重要贡献的 个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 本人承诺：已提交的学位论文电子版与论文纸本的内容一致。如因不符而 引起的学术声誉上的损失由本人自负。 本人同意所撰写学位论文的使用授权遵照学校的管理规定： 学校作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者须授权所在大学拥 有学位论文的部分使用权，即：1 ) 已获学位的研究生必须按学校规定提交印 刷版和电子版学位论文，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库供 检索；2 ) 为教学、科研和学术交流目的，学校可以将公开的学位论文或解密 后的学位论文作为资料在图书馆、资料室等场所或在有关网络上供阅读、浏览。 本人授权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文 全文数据库，并通过网络向社会公众提供信息服务。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 刍严彳自足 f 签字日期扔加年多月日 导师签名：暑灰故、 签字日期：z 咖年易月f 日 量子场论中的泛函积分方法 第一章量子场论中的泛函积分方法 1 1 引言 路径积分方法是由f e y n m a n 于2 0 世纪4 0 年代引入到理论物理中，这一 方法从拉格朗日作用量出发，利用最小作用原理，给出粒子轨道的几率振幅的 形式，成为了量子力学的第三种表述。 f e y r m a a n 在研究量子电动力学时发展了泛函积分方法，并且引入了泛函积 分中的图形技术和微扰理论 1 1 。2 0 世纪5 0 年代开始，泛函积分方法广泛应用 于量子场论与粒子物理中，如场论中泛函s c h w i n g e r 方程的求解，构造重整化 的场论模型等。2 0 世纪6 0 年代，泛函积分方开始用于规范场量子化这一重要 的物理问题之中，19 6 7 年，l d f a d d e e v 和v n p o p v 成功地解决了y a n g m i l l s 场的量子化问题【2 】，通过引入鬼场和g r a s s m a n n 代数，成功地解决了这一难题。 在规范场量子化过程中所使用的泛函积分方法被公认为处理各种量子体系的 有力工具。1 9 7 3 年，f a d d e e v 与p o p o v 又提出了一种解决引力场量子化的泛函 积分方法方法。随后，p o p o v 利用泛函积分方法研究了量子场论中g r e e n 函数 的红外发散的困难，研究了相对论涡线激发以及高能粒子碰撞等物理问题，泛 函积分方法已经成为量子场论中必不可少的重要工具。 泛函积分方法还被应用到物理学中另一个重要领域，即凝聚态物理之中。 2 0 世纪7 0 年代，p o p o v 通过快慢场积分的修正方法成功地解决了多粒子体系 中g r e e n 函数红外发散的困难，得到了玻色系统中关联函数的临界指数，并推 导出超流费米气体中各相的集体激发谱。泛函积分方法还可以用于计算超流、 超导、玻色气体、i s i n g 模型中的各种物理问题【3 5 】。 泛函积分方法在超导理论中有着重要的应用，利用这一方法可以解释超导 体中m e i s s n e r 效应，证明c o o p e r 对之间吸引力的存在，得到b c s 理论中的临 界温度和集体激发谱并推导出g i n z b u r g l a n d a u 方程。 p o p o v 将泛函积分方法成功地应用于统计物理与凝聚态物理之中，提出了 重原子、金属氢、玻色系统和超流费米模型的各种计算方法，并且得到了这些 模型的相对配分函数和集体激发谱。近几年泛函积分方法还应用到金融物理学 之中，成为这一边缘学科中一种有力的分析工到6 1 。 泛函积分方法还可用于求解各种非线性物理模型，b e t h ea n s a t z 方法可以 量子场论中的泛函积分方法 得到物理模型的精确解【7 1 3 1 ，但是只适用于低维物理模型。而泛函积分方法适 用于各种弱耦合模型，并且得到精度较高的近似解，这一方法在研究物理模型 的近似解方面具有优于其它方法的特点。 在研究强耦合物理模型时，通常的泛函积分方法不再适用。近年来，颜骏 老师将泛函积分方法与格点规范理论中的变分累积方法相结合，提出了一种处 理强耦合物理模型的非微扰变分泛函积分方法【1 4 - 1 6 】，并研究了平直和弯曲时空 下的一维模型统计物理性质。 2 0 世纪7 0 年代，h a w k i n g 与b e k e n s t e i n 等人指出了黑洞可能具有热辐射 效应，之后研究黑洞的熵成为了黑洞热力学的重要问题之一【l 卜博】，1 9 8 5 年， t h o o f t 根据黑洞视界表面附近的标量物质提出了砖墙模型，在s c h w a r z s c h i l d 黑洞模型下成功地计算了黑洞的统计熵，得到了黑洞熵与其表面积成正比的结 论【1 9 】。近年来，赵峥等人将砖墙模型改进为薄膜模型【2 0 啦】，这一模型认为黑 洞熵来自于黑洞视界附近薄层中量子场的作用，因此薄膜模型也可以处理非热 平衡状态下的黑洞。本文根据变分泛函积分方法研究了黑洞背景下费米物质与 玻色物质的能量密度涨落。 1 2 泛函积分方法在本文中的应用 本文首先应用变分泛函积分方法分析了平直时空下的一维 s i n e g o r d o n - t h i r r i n g 模型的热力学性质，研究了弱耦合与强耦合情况下模型的 相结构和稳定性。其次，在黑洞背景下推导出s i n e g o r d o n t h i r r i n g 模型的自 由能与等效势，计算了在黑洞背景下费米物质的能量密度涨落，分析了引力场 扰动对费米物质涨落的影响；另外，在相同黑洞背景下计算了标量场和玻色 t h i r r i n g 模型的能量密度涨落。然后，根据热核泛函积分方法计算了点物质黑 洞背景下费米场玻色场的能量密度涨落。 本文所研究方法与对象和前面的工作有所不同，砖墙模型是通过分布于黑 洞表面附近的标量与费米物质来研究黑洞的统计熵，不涉及物质场的相互作 用。本文所采用的变分泛函积分方法可研究黑洞视界外较远处物质场的能量密 度涨落，而这些物质场和背景粒子之间通常具有比较复杂的相互作用，所以本 文的研究方法更具有普遍性。 2 平直时空下t h i r r i n g 费米模型的相结构 第二章平直时空下s in e - g o r d o n - t hirrin g 费米模型的相结构 2 1 微扰泛函积分与弱耦合情况下的相结构 量子场论中发展起来的泛函积分方法己广泛应用于统计物理和凝聚态物 理的研究之中，采用泛函积分方法研究了d i c k e 模型，玻色费米子模型，三 带h u b b a n d 模型，以及s i n e g o r d o n t h i r r i n g 模型的各种激发性质，发现这种 方法非常适用于计算弱相互作用模型的激发谱【2 3 之6 】。泛函积分方法建立在微扰 理论之上，在研究弱耦合系统时是非常成功的，对强耦合系统中这一方法就不 适用了。将格点规范理论中的变分累积展开方法与泛函积分方法相结合，可建 立一种新的非微扰方法，这一方法能有效地研究强耦合时模型各种物理性质。 本章将采用非微扰和微扰泛函方法研究s i n e g o r d o n t h i r r i n g 模型的相结 构，结果表明，当费米子耦合常数g 0 时，杂质密度和费米凝聚密度不能稳 定共存，而耦合常数g 0 ，a 0 ，0 “o 一g t 4 m 2 ，这时彳 0 ，有效势为极大值，费 米子为排斥作用杂质和费米子间存在排斥作用，化学势为负，此时共存相处 5 平直时空下t h i r r i n g 费米模型的相结构 于不稳定状态。当g o ， 0 ，0 0 ，有效 势为极小值，费米子为吸引作用，杂质和费米子间也存在排斥作用，化学势为 负，此时共存相可以达到稳定状态。类似的判定方法己应用于研究场论中夸克 凝聚相的稳定性2 9 】。 2 2 非微扰泛函积分与强耦合情况下的相结构 对于强耦合情况，由于泛函行列式方法不能得到微扰展开结果，所以不能 直接应用泛函积分推导系统的等效势。本节采用了新的非微扰方法来研究这一 问题，这方法的要点是将格点规范理论中的变分累积展开和泛函积分方法进 行结合，通过自由能导出变分参量，进一步推导出系统的等效势，在配分函数 中引入试探作用量，这时配分函数可表示为 7j 兀d a ；【( k ) d a ，( k ) e x p s 。+ s 0 】 了j = 老音一， ( 2 2 0 ) z o j 兀d a t ( k ) d a 肚) e x p s 。】 p 。 式中& 是自由作用量，s 是耦合作用量。为了计算强耦合下的等效势，引入 以为变量的试探作用量岛，可以将配分函数表示为 7j 兀d a ：l ( k ) d a , ( k ) e x p s , + s 。+ 马一马 去2 型可雨面磊忑x p s 矿一， ( 2 2 1 ) z o j 兀如船) 妃( 七) e 。】 卜一u 变换积分测度后有 zl 见e x p s x + s o + 巧一 一= = 。- - _ _ ! - _ _ - _ _ - _ _ _ _ _ - - - z 0i 见e x p s o l d 。毋q je s s jl d p n 娟| 5 彳矿蕾万 = i n o _ ，+ i n d e t ( i + 毋s 1 ) ，( 2 2 2 ) 其中i n o j 可以通过变分累积法进行计算，得到 l n 。萎去 c ， ( 2 2 3 ) 代入( 2 2 2 ) 式后有 6 平直时空下t h i r r i n g 费米模型的相结构 罢= 薹去 + i n d e t 蜊) ， 将 。n ! - 与i n 项分别展开后，可以得到 脚薹去 ( 墨刮、= 半础墨刮( 氐例- i “， ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) 从( 2 2 3 ) 、( 2 2 4 ) 式可以得到等效势 = i n ( z ) = 州( s - s ：) ( s o + 马) 1 “- i n d e t ( ，+ s ：s 0 1 ) ， ( 2 2 6 ) 根据s i n e g o r d o n t h i r r i n g 模型的作用量( 2 7 ) 、( 2 8 ) 式，令s ：，= 撬，可得长波近 似后的变分参量，= v o m l ，以及强耦合情况下的有限温度等效势 妨= 一半一( ，+ 争+ 2 善昔 1 、2 n - 1 等学p ，( 2 2 7 ) 收敛条件为( 2 2 7 ) q h 求和项( + u o a + 9 4 2 ) ( 耽+ v o c r ) 1 。 和弱耦合情况类似，为了研究系统中两相共存的条件，先计算等效势在两 个变量下的极值。对于只有一种杂质v 0 时的情况，_ 且v o p m 时，分别对等效 势( 2 2 7 ) d ? 仃和矽进行变分得如下方程 垒；2 9 f l q k 2 坐! 墨掣2 ：o ，( 2 2 8 ) a 吼( v 0 吼) 2 7 、 鱼：鲜+ 2 ：o ，( 2 2 9 ) o o g i0 2 式中高阶无穷小项i f , 略去。不失一般性，令方程组( 2 2 8 ) 、( 2 2 9 ) 解的形式为 堕：( c ：+ 旦) ；，( 2 3 0 ) 呸吼 这里c 为常数，当万= 0 时，方程组的解无法判定系统的稳定性，因此万可能对 应强耦合系统中的量子涨落效应。将解( 2 3 0 ) 代入到( 2 2 8 ) 、( 2 2 9 ) q b 得到 吒=一嘉，=一29(41v；4矿d-c292d)-g ，( 2 3 1 ) 吒一万一1 瓦r 【拟) 其中d = ( 一c 2 9 筇+ c 2 以) 以，以= 2 + g 膨，占 0 ，丸 9 2 c 2 以时，么 o ，k 0 ，等效势为极小值，可 形成稳定共存相；当4 谅 0 时，凝聚密度和杂质密度不能形成稳定共存相。当g 0 时，费米子之间 受到吸引势的作用，在一定条件下可以形成费米予的密度凝聚，此时，凝聚密 度和杂质密度的共存相可以达到稳定状态。在强耦合系统中，由于量子涨落效 应的存在，存在着一种新的相结构，g 0 时也可能产生不稳定的共存相，这 是强耦合系统的一种新的特点。系统中共存相稳定性不仅与费米场作用场系数 g 有关，还和杂质费米场的耦合系数，化学势，以及涨落万有密切的关 系。目前已有文献根据微扰证和高斯波方法研究了s i n e g o r d o n 模型的谱和相 图【3 0 。3 1 】，另外，变分累积展开方法还可研究h e i s e n b e r g 薄膜的临界性质【3 2 。3 】 和各种图形理论【弹”】本文所用方法，可应用于更一般的强耦合系统，同样适用 于用于计算s i n e g o r d o n t h i r r i n g 模型的各种激发谱。 引力场扰动h = c 时费米物质的能量密度涨落 第三章引力场扰动h = c 时费米物质的能量密度涨落 3 1 二维黑洞背景下的耦合非微扰泛函积分 含含有背景粒子作用的t h i r r i n g 模型的总哈密顿量为 日0 ) = 日r ( f ) + 日i n o d ( f ) + 日茹( f ) + 碟( f ) + ( f ) = 一互x c l + x c ”胁一万删塑掣一孤f ) 生掣舯( 1 ) ) 一广l + t + 厂一一一 + y 2 ( x ，f ) y l ( z ，f ) ) + j t + ： 一g 出 ( y i ( x ，f ) y 1 ( x ，f ) + y 2 ( 工，丁) y 2 ( 工，f ) 蝴( ：_ ：初拟x 一) ( - ，( v ) 沙如f ) + 歹：( v ) i c ，h f ) ) 慨“f l + + x 。c 坩痢万( x 一而) ( - 。( v ) y h f ) + 万：( v ) y 如f ) ) + 2 c o j ：一g 西【( y l ( x ，f ) y 2 ( x ，f ) y 2 ( 工，f ) ( 工，r ) ) ， ( 3 1 ) 式中g = d e t g u ，g 。，是时空的度规，y 。( 工，f ) ，少：o ，f ) 为费米场，t 为 黑洞的视界，占为黑洞视界外物质距离，t + 占 + t + 占，为化学势， u o 和v o 为两个背景粒子的耦合系数，c o 为费米场耦合系数。费米场变换到动 量空间有 ( 工，r ) = ( 肚) 一j p 怕删口如) ， ( 3 2 a ) 歹，( 工，f ) = ( f l z o - j p - i ( k x + q r ) 口沁) ， ( 3 2 b ) 式中i = l ，2 ，k 为波矢，q = ( 2 n + 1 ) n t 为费米频率，p = ( 屯q ) ，= 1 t 是 绝对温度，l 为一维空间上物质的分布长度，哈密顿量( 3 1 ) 式对应的泛函作 用量为 s=rdr(：厨i歹，(五r)a，y，(五f)一rdf(：”日p(33)=1 引入辅助玻色场, 2 ) a x 谚( 工，r ) = 歹，( z ，f ) ( 工，f ) i = 1 ，2 ， ( 3 4 ) 这里谚( 工，f ) 表示每种费米粒子的概率密度，在动量空间上可展开为 g ( x ，f ) = ( 肚) 1 陀包( 七) e 淑， ( 3 5 ) 通过辅助玻色场可将费米场作用项展开，我们考虑谚( 工，f ) = 为常数的情况， 9 引力场扰动h = c 时费米物质的能量密度涨落 动量空间上6 ( 0 ) = ( i l l ) 2 妒，这里痧表示凝聚密度当温度丁 1 时，通过傅里 叶变换( 3 2 a ) 、( 3 2 b ) 和( 3 5 ) 式可将泛函作用量s 表示为 s = s o + 墨，( 3 6 ) 式中自由作用量s o 为 氐= 一a + ( k ) 0 0 1 ( 露，g ) 彳( 七) ， ( 3 7 ) 其中传播子为c o ( k ，g ) = g o ( g ) g o ( k ) ，簖1 ( g ) = f 三二”厨l 是传播子的引 力修正项，g o ( j j ) = - 1 ( 七吒+ m q ) 是平直时空下自由传播子，费米场作用项为 焉= 一彳( k ) g 0 1 ( g ) a ( k ) - v o a + ( 七) ( g ，x o ) a , a ( k ) 一么+ ( 七) 厂( g ，x o ) a ( k ) 一譬么( k ) 6 0 1 ( g ) 彳( 七) - o , f l l 2 簖1 ( g ) ，( 3 8 ) 式中f ( x o ，g ) = ( ：w = i - f ( h 。万( x x o ) d x l 为弯曲时空下的背景粒子 函数，a ( 七) = ( 口：( 七) ，口：( 七) ) ，a ( k ) 为复共轭矩阵，q 和吧为泡利矩阵在一 般耦合情况下泛函行列式无法进行微扰展开，所以不能直接应用泛函积分方法 推导模型的有效势，这时需要将泛函积分和变分累积展开两种方法相结合，通 过自由能导出变分参量，并进一步推导出模型的有效势在配分函数中引入 试探作用量墨，这时配分函数可表示为 蛾寺2 善去 ( s 刮。c + i n d e t ( i + s ) ，( 3 1 9 ) 式中& 是自由作用量，墨是耦合作用量 。，=：三蔓jf至与兰i；兰!丢圭号三兰；舌享!掣，e3，。， 这里善是一般参量，由( 3 9 ) 、( 3 1 0 ) 式可以得到有效势 = l n ( 争= z r r t ( 墨一s d ( s o + s d 一】“+ m d c t ( 1 + s ：s i l ) 】， ( 3 i i ) 根据t h f f r i n g 模型的作用量( 3 7 ) ，( 3 8 ) 式，并且令s ，= j s o ，在长波近似 七= k = 0 下可得变分参量，v o f ( x o ，g ) g o ( g ) m ，于是耦合情况下的有限温度 有效势为 1 0 引力场扰动h = c 时费米物质的能量密度涨落 s 。j o e - - m w 吲( g ) + 2 1 n ( 1 + 鬻) 铊善百( _ _ 1 ) 2 n - ir 罢嵩辔p 有效势保持收敛的条件为 丝g ! ! 墨! 丝! 量：叠! ! 竺生! 型笪：! 星! 0 时，( 4 1 0 ) 式的解为 a = 2 m x c ， ( 4 1 1 ) 其中c 为积分常数，将( 4 1 1 ) 式代回( 4 9 ) 式后各系数项为口i _ 2 m ， a a = m ( 2 m x - c ) ，( 口) 2 ( 口) 2 = ( 2 m ) 2 ( 2 m x c ) 2 ，a a = 0 ，因此( 4 9 ) 式变为 磐一l o h + 兰厅：0 ，( 4 1 2 ) 舐22 m x co x ( 2 m x c 1 2 、 将( 4 1 2 ) 式中的解设为h ( x ) = 口4 ( 工) 并代入( 4 1 2 ) 式后得到a = 1 和a = 1 2 ，因此 扰动解的形式可写为 ( x ) = 2 尬一，( 4 1 3 ) 如( 功= ( 2 m x - 0 对( 4 1 3 ) 式中的解进行线性组合后得到 j l l ( x ) = q 4 2 m x c + c 2 ( 2 m x - c ) ， ( 4 1 4 ) 一 ! ! 垄堑垫垫! 三! ! 型堕望鲞塑壁竺堡量查堡鲨整一 一 i l _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ - _ _ _ _ _ _ - - - - _ _ - - _ 一一一 。 这里c l ，c 2 为积分常数，解( 4 1 4 ) 式对应于宇宙常数八= 0 时黑洞引力场扰动方 程的解。 4 3 点物质黑洞背景下的能量密度涨落 将扰动解( 4 1 4 ) 代入度规( 4 1 ) 式后有 g ：d e t = - 1 + 鲁= - 1 + c 】( 2 尬- c ) + c 2 ， ( 4 1 5 ) 其中h 口表示一种微扰，所以h a 1 。将度规因子口= 2 尬一c 代入( 4 1 ) 式中， 得到二维扰动度规 g 矿( 。2 尬苫“。( 2 0 矿。) ， 弘v2 i n r ，) 打一， 、一l i r j w 其中引入矗( x ) 表示时空度规上一个微小扰动。 通过度规对( 4 1 6 ) 式的分析可知，在t = c 2 m o 处，二维时空曲率不发 散，度规的奇异性可以通过坐标变换加以消除，而z = 0 处是时空奇点，这一 奇异性是黑洞的内禀属性。 由于h 为微小扰动，通过( 4 1 4 ) 式可得到 吼g ) _ 圭鬈”( 卜去a ) d x 1 _ 。丁l c + 等( 厕啊一瓜) 】圭， ( 4 1 7 ) 这时杂质函数厂( g ，x o ) 可展开为 f o ( x o ，g ) = 了1 f l + ； 丽( x x o ) d x = 圭( 1 一- ) 1 ，；而 = 扣- ) 1 ，砘 = z 1 一瓦c ：上2 l ( 2 慨一c ) 1 ， ( 4 1 8 ) = 一一i z f 坦 一o j 一l - r u ， l2 、。 在( 4 1 8 ) 式中，取占= 1 1 0 0 ，l = 5 0 ，u 0 = 2 ，v o = 3 ，缈= 2 ，m = 1 0 ， ：1 3 ，：2 ，c = 1 ，而= c ( 2 m ) + 占+ 1 5 0 ，c i - - c 2 = 1 1 0 0 1 对，黑洞质量 范围为m ： 1 0 0 ，2 0 0 1 时，这时费米物质的能量密度涨落印p 如图4 1 所示。 2 4 引力场扰动h = h ( x ) 时费米物质的能量密度涨落 图4 1 点物质黑洞外弱耦合费米物质的能量密度涨落 从图形中发现能量密度涨落变为$ p 1 0 。5 数量级，随着黑洞质量的增 大，费米物质的能量密度涨落减小，当黑洞质量趋近于无穷大时，相对密度涨 落趋近于一个定值，通过计算可以得到这个定值约为9 8 7 x l o 。与第三章的 结果相比较可以看出，对于非常数扰动，点物质黑洞外费米物质产生的能量密 度涨落与常数扰动时的数量级相同，但是数值略大于常数扰动的结果；在黑洞 密度参量m 0 0 时，常数扰动的费米物质能量密度涨落趋于o ，而非常数扰 动时，费米物质的密度涨落趋于一个定值。 现在考虑费米物质为强耦合时的情况，取占= 1 1 0 0 ，l = 1 ，= 2 ，v 0 = 3 ， 0 9 = 2 ，m = 1 ，= 1 3 ，= 2 ，c = 1 ，矗= 0 5 ，g = c = 1 1 0 0 时，黑洞质 量范围为m = 【1 0 0 ，2 0 0 】时，这时费米物质的能量密度涨落印p 如图4 2 所示。 引力场扰动h = h ( x ) 时费米物质的能量密度涨落 m 图4 2 点物质黑洞外强耦合费米物质的能量密度涨落 从图形中发现能量密度涨落变为印p 1 0 _ 4 数量级，随着黑洞质量的增 、大，费米物质的能量密度涨落减小，当黑洞质量趋近于无穷大时，相对密度涨 落趋近于一个定值，通过计算可以得到这个定值约为2 3 1 x l o 。4 。与第三章的 结果相比较可以看出，对于非常数扰动，点物质黑洞外费米物质产生的能量密 度涨落与常数扰动时的数量级相同，但是数值略小于常数扰动的结果；在黑洞 密度参量m 0 0 时，常数扰动的费米物质能量密度涨落趋于0 ，而非常数扰 动时，费米物质的密度涨落趋于一个定值。 4 。4 能量密度涨落的理论分析 4 3 节中对费米物质的能量密度涨落进行了数值计算，本节将对这些涨落 效应进行比较详细的理论分析。根据( 3 1 7 ) 和( 3 1 8 ) 式可以写出费米物质在扰动 前后的能量密度 4 ( + u _ _ o o ) 2 p ( ，o ) = ，_ 一， ( 4 1 9 ) 0 9 + 4 f l l ( m + v - - - o r ) 2 】2 引力场扰动h = h ( x ) 时费米物质的能量密度涨落 p ( p ，办) = 4 c o 啄 ( g ) ( 1 2 g 1 ( g ) + f ( g ，) ) 2 a , a 0 1 ( g ) + 4 3 l ( m g 0 1 丽i 蕊丽 ( 4 2 0 ) 式中簖1 ( g ) 为修正传播子，其展开式为( 4 1 7 ) 式，由于h 2 口为微扰项， 可将( 4 1 7 ) 式重新表示为 啄1 ( g ) 1 + q ，( 4 2 1 ) 式中 占。：一睾一亟( 扭彳两一m 4 - m - t ) m ， (422)2ml 占，= 一一一i 、朋l l + 占l 一 ，f 42 2 1 1 2 、7 、。7 同样背景粒子函数f ( g ，x o ) 的微扰展开式为 f o ( x o ，g ) + 岛， ( 4 2 3 ) 式中 乞= 一瓦c 2 一旦( 2 m x 0 2 m x n c 2 l ) 弓，( 4 2 4 ) 岛= 一一_ l (一) 。，f 4 2 4 l 2 、 7、。7 将背景杂质粒子的位置坐标j c o = c ( 2 m ) + e + l a 代入( 4 2 4 ) 式后有 c 乞一盖 c 1 ( 4 2 5 ) 这里0 厶 三，将( 4 2 1 ) 和( 4 2 3 ) 式代a ( 4 2 1 ) 式后，- j - 以得到扰动后的能量密 度 4 c o ( 1 + e 1 ) ( ( 1 + q ) + ( + 乞) ) 2 p ( f l ，五) ，_ 一， ( 4 2 6 ) ( 1 + q ) + 4 三( m ( 1 + q ) + ( + 乞) ) 2 2 l 、 在弱耦合情况下，对( 4 2 6 ) 式的分子进行化简有 4 簖1 ( g ) ( u g 0 1 ( g ) + u o f ( g ，) ) 2 = 4 ( 1 + q ) ( ( i + q ) + u o e + 岛) ) 2 = 4 c o ( 1 + q ) ( ( + 争) + ( q + u o e o ) 2 4 0 9 ( 1 + 啾( + 警) 2 + 2 ( + 警) ( 腭+ u o e z ) ) 4 m ( , u + 警) 2 + 8 c o ( p + 警) ( q + u o 乞) + 4 c o ( 。u + 警) 2 q 2 7 引力场扰动h = h ( x ) 时费米物质的能量密度涨落 4 ( + 争) 2 + 8 缈( + 争+ 4 m ( t + 争) 2 】