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文档简介

r u i np r o b a b i l i t i e so fad o u b l e 1 i n e i n s u r a n c er i s km o d e lw i t h上v l o q c o n s t a n ti n t e r e s tr a t e ad i s s e r t a t i o nsu b m i t t e df o rt h ed e g r e eo fm a s t e r c a n d i d a t e :m ar u i s u p e r v i s o r : a s s o p r o f l i ul i h u b e iu n i v e r s i t y w u h a n ,c h i n a 058 6删37iiiiy 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权 说明 原创性声明 本人郑重声明;所呈交的学位论文,是本人在导师的指导下,独立进行研 究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外,本论文不含任何其他个 人或集体已经发表或撰写过的作品或成果对本文的研究做出重要贡献的个 人和集体,均已在文中以明确方式标明本声明的法律后果由本人承担 论文作者签名t易却 、j 、j 签名日期:沙,口年月多日 学位论文使用授权说明 本人完全了解湖北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定,即:按照 学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本;学校有权保存学位论文的印刷 本和电子版,并提供目录检索与阅览服务;学校可以采用影印、缩印、数字化 或其它复制手段保存论文;在不以赢利为目的前提下,学校可以公布论文的部 分或全部内容( 保密论文在解密后遵守此规定) 论文作者签名乃膨 签名日期:弘。年z 月弓日 摘要 破产论作为风险论的核心内容,已逐渐成为当前精算界研究的热门话题, 也引起了数学工作者的广泛兴趣对破产论的研究既有实际的应用背景,又有 概率论上的意义在破产论中对破产概率的研究是一个重点内容本文旨在对 保险公司的破产概率作出某些探讨,以估计破产概率的上界为中心在应用概 率中,破产概率的上界以及其他性质被广泛的应用在风险理论中在经典的风 险模型中,往往假定保险公司中不同时期的保费收入和理赔额分别为两列独 立同分布的随机变量,而且是相互独立的但是由于保险业务的复杂性,在某 些情况下,这些假定并不一定是合适的所以研究者通常对经典的模型进行一 些改进或对模型的限定条件进行一些变化近年来,相关的风险模型越来越受 到重视 本文构造了一个常利率下双险种离散风险模型,使用线性的时间序列来 描述各种相关关系假设保费收入、理赔额分别是自相关的,或者他们之间存 在相关关系,在各种不同的相关关系下估计了保险公司的破产概率在研究过 程中主要采取了构造鞅的方法 第一部分绪论,简单介绍了破产理论的发展,以及本文中所需要用到的 一些基本知识、本文建立的模型和得到的基本结论 第二部分,用a r m a ( 1 ) 和a r ( 1 ) 模型,描述保险公司的保费收取序列、 理赔序列和盈余序列各自的相关关系,通过构造鞅的方法估计了破产概率的 上界 在最后一部分中,我们用二维自回归模型m a r ( p ) ,描述保险公司的保费 收取序列、索赔序列之间的相关关系,通过构造鞅和另一种方法估计了破产概 率的上界 关键词: 时间序列;鞅;破产概率;调节系数;指数上界 a b s t r a c t a st h ec e n t e rc o n t e n to fr i s kt h e o r y , r u i nt h e o r yh a sb e c o m eo n eo ft h eh o t s u b j e c t si nt h ef i e l d so fi n s u r a n c eg e n t l y ,a tt h es a i n et i m ei t h a sa b s o r b e de x t e n - s i o n i n t e r e s to fm a t h e m a t i c ss t u d e n t s s t u d y i n gr u i nt h e o r y , n o to n l yh a sp r a c t i c a l a p p l i c a t i o nb a c k g r o u n d ,b u ta l s oh a ss i g n i f i c a n c ei np r o b a b i l i t y i nc l a s s i c a lr u i n m o d e l ,t h ec l a s s i c a lm o d e l sa r eu s u a l l yb a s e do nt h ei n d e p e n d e n c ya s s u m p t m n ,t h a t i s ,t h ep r e m i u m sa n dc l a i m sa r ea s s u m e dt ob et w oi n d e p e n d e n ta n di d e n t i c a l l yd i s - t r i b u t e d ( i i d ) r a n d o nv a r i a b l e ss e r i e s ,a n dd i f f e r e n tt i m e so fp o l i c i e sa r ei n d e p e n d e n t o fe a c ho t h e r h o w e 、,e r ,t h e s ea s s u m p t i o n sm a yn o tb ej u s t i f i e di nm a n yr e a ls i t u - a t i o n s i nr e n c e n ty e a r s ,r i s km o d e l sw i t hd e p e n d e n c es t r u c t u c e sh a v eb e e ns t u d i e d b ym a n yr e s e a r c h e r s i n t h i sp a p e r ,w ea s s u m et h a tt h eg a i n ,t h ed i f f e r e n c eb et w e e np r e m i u m a n dc l a i m ,b e h a v ea c c o r d i n gt oat i m es e r i e sm o d e l t h r o u g ht h em a r t i n g a l et e c h - n i q u e ,w eg e ts o m er e s u l t sc o n c e r n i n gt h er u i np r o b a b i l i t i e s i nt h ep r o c e s so f r e s e a r c hm a i n l ya d o p t e dm a r t i n g a l em e t h o d i nt h ef i r s tp a r t ,t h eh i s t o r ya n dd e v e l o p i n gp r o c e s so fr i s kt h e o r ya r ed i s c u s s e d a n dw ei n t r o d u s tt h em o d e li nt h i sp a p e ra n ds o m eb a s i ck n o w l e d g ew h i c hi si nn e e d i nt h ed i s c u s s i o n s t h e nt h ec o n c l u s i o no ft h i sp a p e ri sg i v e n i nt h es e c o n dp a r t ,w eu s ea r m a ( 1 ) a n da r ( 1 ) m o d e l st od e s c r i b ep r e m i u m c h a r g e ds e q u e n c e ,c l a i m ss e q u e n c ea n dt h e i rs u r p l u ss e q u e n c eo ft h ei n s u r a n c ec o i n - p a n y , e s t i m a t e db yc o n s t r u c t i n gam a r t i n g a l et ot h ee x p o n e n t i a lu p p e rb o u n do f r u i np r o b a b i l i t y i nt h el a s tp a r t ,w eu s et w o - d i m e n s i o nr e g r e s s i o nm o d e lo fm a r ( p ) t od i s c u s s t h ep r e m i u m sc h a r g e ds e q u e n c e ,c l a i m ss e q u e n c eh a v ear e l a t i o n s h i po fs e r i a lc o t - r e l a t i o n ,b yc o n s t r u c t i n gam a r t i n g a l ea n da n o t h e rw a yw ee s t i m a t i o nt h eu p p e r b o u n do fp r o b a b i l i t y k e yw o r d s :at i m es e r i e sm o d e l ,m a r t i n g a l ea p p r o a c h ,r u i np r o b a b i l i t y , a d j u s t - m e n tc o e f f i c i e n t ,e x p o n e n t i a lu p p e rb o u n d s ; n 目录 一、绪论1 1 1 经典的风险模型1 1 2 基本知识3 1 3 本文主要内容4 二、常利率下双险种离散风险模型的破产概率8 2 1 模型的介绍8 2 2 保费和理赔满足一阶自回归模型时的破产概率9 2 3 盈余序列满足自回归序列时破产概率的指数形式1 4 三、保费和理赔相关时的破产概率1 9 3 1 模型的变化1 9 3 2 破产概率的指数界2 l 3 3 破产概率的一种指数型上界2 4 参考文献2 6 致谢2 9 一绪论 一绪论,口,u 风险理论是近代概率统计和应用数学的一个重要分支在保险数学,也 称为精算数学( a c t u a r i a lm a t h e m a t i c s ) 的范畴内,破产论( r u i nt h e o r y ) 是风险 理论( r i s kt h e o r y ) 的核心内容在保险公司的运营过程中,如果能够根据实际 情况建立合适的保险公司的风险模型,并逐步完善模型研究其破产概率等一 些问题,可以借以估计经营风险,控制风险并制定合理的保费和初始准备金 等,对经营风险和经营策略做出一定的指导因此破产论的研究既有其实际的 应用背景,也有其概率论理论研究上的兴趣 1 1 经典的风险模型 现已公认,破产论的研究溯源于瑞典精算师f i l i pl u n d b e r g 于1 9 0 3 年发 表的博士论文,迄今为止已有百余年的历史在l u n d b e r g 的这篇论文中,他 首次提出了一类重要的随机过程,即p o s s i o n 过程不过,l u n d b e r g 的工作不 符和现代数学的严格标准,它的严格化是以h a r a l dc r a m d r 为首的瑞典学派完 成的,是c r a m d r 将l u n d b e r g 的工作奠立在坚实的数学基础之上与此同时, c r a m d r 也发展了严格的随机过程理论l u n d b e r g 和c r a m d r 的工作被认为是 经典破产论的基本结论 l u n d b e r g - c r a m e r 经典的风险模型为: 型 u ( t ) = u + c t 一:尥, ( 1 1 ) k = l 其中u 是初始资本,c 是保险公司单位时间收取的保险费,x k ( k 1 ) 表示第 k 次索赔额,l v ( t ) 表示至时刻为止所发生的理赔次数, x l ,x 2 ,) 独立同 分布,且该随机变量与g ( t ) 独立其中盈余过程g = t g ( t ) ,t o 为 ( ) o ( t ) = d 一甄 k - - i 按照对保费收取方式的划分可以把风险模型划分为连续风险模型和离散 风险模型两种连续模型为连续收费原则,即以时间为连续变化的量连续地收 取保费离散模型采用离散收费原则,即以一定时间长度为收费的单位区间, 】 湖北大学硕士学位论文 在每一单位区间内只收取一次固定的保费 经典的离散时间风险模型可以如 下定义: = 一1 + 一k ,n 1 , ( 1 2 ) 或等价的, = “+ ( 五一k ) ,扎1 ( 1 3 ) t = l 其中 ,n 1 ) 和 k ,凡1 ) 分别为两列独立同分布的随机变量,五。和碥 分别表示保险公司在第n 个时期的保费和理赔其初始值u o = 让 0 为一正 常数表示保险公司的初始准备金即为公司的在第n 个时期末的总盈余 在对风险模型进行研究中,得出破产概率是我们比较感兴趣的一个方面 破产概率是衡量一个保险机构金融风险的极其重要的尺度,对此学者们作了 将近一百年的研究,得出了大量的结果定义破产概率, 妒( u ) = 尸( u ( m o ) ) , ( 1 4 ) 则妒( u ) 即为该保险公司在初始资本为“的情况下的破产概率令 t = i n f n , o ) ,( 1 5 ) 则t 为保险公司的破产时刻妒( u ) 还可表示为 妒( u ) = p ( t e y l ,平 均保费大于平均理赔若我们假定存在一个常数r 0 满足e e r ( x - 一y 1 ) = 1 , 那么有 。- r u 妒( t ) = e e - 二r t i t 定义1 2 一列实值随机变量 ,n 1 】称为歹一适应的,如果对每个 他,是矗可测的 定义1 3 一个厂一适应的随机序列 ,佗1 ) 称为芦一上鞅( 鞅) ,如果 对每个n n ,x n 是可积的,且 e x n + l1 t n 】( = ) 口s 定义1 4 一个取非负整数值的随机变量t 称为停时( 或乒停时) ,如果对 一切孔0 ,事件 t = n 】关于磊可测 定义1 5 若t 是关于随机过程 五,t o ) 的随机时间,则对任意固定的 时刻t , tat = r a i n t , 母 3 湖北大学硕士学位论文 是关于随机过程的有界停时 定义1 6 ( 调节系数) 设x 为仅取正整数值的随机变量,关于r 的方程 e e x p ( - r x 、= 1 存在非负解,则记其中最小的正根为r ,即为调节系数 定理1 1 ( d o o b 停时定理) 设 ,n o ) 是一个上鞅( 鞅) ,t 是一个停 时,则对任意的整数k 0 ,有 e x t k 】( = ) e 【】 定理1 2 设 托,t o ) 使一非负鞅,则存在几乎处处收敛的有限极限, 即 l i r ax t2x o o 口s g - - - * o o 定理1 3 ( j e s s e n 不等式) 如果是一个随机变量,t 的函数f ( t ) 是凸函 数,则f ( t ) 的期望满足下列关系 1 若,( t ) 0 ,那么e f ( t ) ,旧( 砒 2 若,( ) ”= 0 ,那么e f ( t ) = ,陋( ) 】; 3 若,( t ) 0 ,那么e f ( t ) f i e ( t ) 定理1 4 ( 破产概率的l u n d b e r g 型指数上界) 设在一个复合泊松风险过程 中初始资本金为u ,单位时间内的保费为c ,则有如下关于破产概率的不等式。 妒( u ) e - 舰 1 3 本文主要内容 风险模型按照收取保费的方式可以划分为离散性和连续性两种这里我 们研究了离散风险模型,即以一定时问长度为收取保费的单位区间,在每一单 位区间收取固定的保费,学者们将经典风险模型推广,建立了一系列保险公司 经营的随机风险模型,以便更符合保险公司的实际经营模式其中比较常见的 有四种推广形式t 一是考虑实际经营中的利率,通货膨胀率等经济因素的影 响;二是将单一险种推广到多个险种或将单一索赔推广到多个索赔形式;三是 考虑随机因素的影响,即在模型中引入随机干扰项;四是用更一般的点过程描 述理赔过程,如非齐次泊松过程,条件泊松过程等 通常在保险公司的经营中会有很多业务的存在,险种也有很多个例如, 可同时有人寿险和财产险等所有最符合保险公司实际运营情况的模型应包 4 一绪论 含所有的险种,构造多险种风险模型然后可以根据以往数据分析每个险种满 足的分布,并结合各个险种的相关性进行分析本文中我们考虑模型为常利率 下的双险种的离散风险模型,今后我们可以推广为多险种风险模型现在在研 究过程中经常把p o s s i o n 过程马氏过程鞅和更新过程等理论广泛的应用到这一 系列模型的理论研究中去f e l l 的更新理论和g e r b e r 鞅方法是现代研究破产 论的两种主要途径文章中我们经常应用到了鞅方法本文以时间序列和鞅等 方法为工具研究离散风险模型现实经济条件下,未来利率的随机性往往决定 着保险公司的赔偿能力估计和准备金计划,从而影响到公司的经营状况在某 些条件下,利率产生的风险比赔偿产生的风险更大,因此采用无利率或者固定 利率对破产的估计会带来比较大的误差,为了减少不确定性,这里我们假定利 率为一个常数 本文在所建立的常利率下的双险种的离散风险模型下,主要考虑了终极 破产概率和破产概率的上界时间序列对描述相关性有一定的优势本文考虑 用时间序列描述保费收入序列,保费收取序列等的相关关系假设保费收取和 理赔分别满足时间序列模型的情况下研究了包含两个险种的离散风险模型 具体来说,本文结构如下t 第二章介绍了所讨论的模型及其假设设固定利率为r ,则在时刻几,保险 公司的累积盈余为 = ( 一1 + x 1 n + x 2 n ) ( 1 + r ) 一h n 一场n ,孔1 ( 1 8 ) 或等价地写成 竹 ( t ) = t ( 1 + r ) ”+ ( x l i + 恐 ) ( 1 + r ) n 一件1 i = 1 n 一:( y u + y 2 d ( 1 + r ) 俨4 ,7 7 , 1 ( 1 9 ) i = 1 其中:x l i ,恐i 是保险公司两种险种在时间一一1 ,i ) 内的保费收取序列,比,玩 是相应的两险种的理赔序列噩i ,i ,m i ,圪是独立同分布的非负随机序列 令t = i n f n : o ) ,即t 为破产时刻,破产概率可以定义为 妒( t ,x 1 0 ,y l o ,x 2 0 ,y 2 0 ) = p ( t :阢n ,n 0 ( 2 1 ) _ _ 一 i = i 特别的,记v o = u = p 诗1 让i 本文我们考虑l = 2 的情形以后我们可以做广 泛推广设固定利率为r ,则在时刻几,保险公司的累积盈余为 = ( 一1 + x l ,l + x 2 。) ( 1 + r ) 一m 。一y 2 n ,n 1 ( 2 2 ) 或等价地写成 几 “( t ) = u ( 1 + r ) n + ( x l i + x 2 i ) ( 1 + r ) 州+ 1 i = 1 n 一( m i + y 2 i ) ( 1 + r ) 州,n 1 ( 2 3 ) i = l 其中x l i ,x 2 i 是保险公司两种险种在时间瞳一l ,i ) 内的保费收取序列,玩,坛 是相应的两险种的理赔序列x l i ,恐,y 1 i ,魄是独立同分布的非负随机序列 令t = i n f n : o ) ,即t 为破产时刻,破产概率可以定义为 1 | f ,( t ,z l o ,y l o ,x 2 0 ,y 2 0 ) 8 二常利率下双险种离散风险模型的破产概率 = p ( t e i y 2 i j 首先我们假设保费支付序列和理赔序列分别都满足一阶自回归时间序列 i 噩t = 肌i + a l x li - - l ,i = 1 ,2 , i 恐i5 i + a 2 x 2i - 1 , i托xl。o;-xzlo 9 湖北大学硕士学位论文 肌l ,肌2 ,) 是一个连续的独立同分布序列,具有分布函数g i ( w ) l ,2 ,) 也是一个连续的独立同分布序列,具有分布函数a 2 ( w ) 且e w 也是一个连续的独立同分布序列,具有分布函数f 2 ( w ) 且e z o o 其中q 1 ,a 2 ,b l ,b 2 【0 ,1 ) ,可看做上年的结余x l t , ,m i ,玩分别为a r ( 1 ) 模型的预报定义模型的破产概率为 妒( u ,z 。,z 2 。,1 。,y 2 0 ) = p 口 n ) p ( t n ) e ( e x p ( 一r v r o t ) i t n ) p ( t n ) 令n _ + ,得 e ( e x p ( - r f i ) ) e ( e x p ( 一r v t 西) i t + o o ) p ( t + o o ) = e ( e x p ( 一r v t 西) i t + ) 妒( t ,x 1 0 ,x 2 0 ,y l o ,! ,2 0 ) 所以 妒( u , x l o , x 2 0 , y l o , 蚴) 瓦面j e ( e 驴x p ( 西- r 石f i ) ) 石丽 证明完毕 当不考虑利率,即r = 0 时,模型( 2 3 ) 变为 = ( 一1 + x 1 n + x 2 n ) 一m n y 2 n ,n 1 ( 2 9 ) 或等价地写成 = t + ( x l i + 局 ) 一( 玩+ 玩) ,n 1 定理2 2 对于模型( 2 1 0 ) 当存在调节系数r 满足 叫( 唧( 一r ( 啬+ 急一而g i n 一急) ) = 1 时可以得到破产概率 妒( u ,砌,妯,蚴) = 环丽e 丽 e x p 两( - r 丽f i ) 1 2 ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) 二 常利率下双险种离散风险模型的破产概率 证明令螈( z ) = e x p ( 一r 晚) ,为由 w l t , ,z x i ,玩) 生成的盯域 元= 盯 m ,i ,玩,玩,i n ) e 【( z ) i 矗一1 1 = e e x p ( 一r u n ) 1 只一1 】 = e h r ( 一击* 惫蝌啬 + 尚托。) ) 胁 = e 麟p ( 一r ( 一1 + 墨仃+ 恐n y 1 n y 2 n 一。1b 兰b x y l n 一点聃尚+ 盏拖n ) ) h = e 唧( 一r ( 一1 一而1m n 一而1 砼n + 而1 + 击屁。) l 厶一 = e 唧( 一只( 一1b i b l - mn - 1 - - 而g i n 一高轧t 一惫 + 而a l x 1n - 1 - - 高+ 尚拖n - 1 + 邕) h =e e x p ( 叫一禹一急+ 啬+ 兰) ) = 卅昧- ) e ( 唧( r ( 高+ 急一禹- l :b 2 、川 所以我们可以得出 e 【 死( z ) i ,:k l 】= e x p ( 一r d k 一1 ) 即e x p ( 一r 巩) 关于凡是一个鞅假定t 是破产时间,n 为正整数tan 是 右界f 倬时体胃d o o b 右界停时定理 即 e m o ( z ) 】= e m t 。( 圳 e e x p c - r f i ) 】 = e e w ( 一r 以 t ) 】 = e e x p ( 一r 西) l t n l p ( t n ) 1 3 湖北大学硕士学位论文 令仃一+ ,得 + e e x p ( - r u n ) i t n p ( t n ) = e e x p ( - r u t ) i t n i p ( t n ) e e x p ( - r f i ) 】 = e e x p ( - r u t ) i t + o o l p ( t + o o ) = e e x p ( 一r 6 t ) i t + o o 】矽( t ,z l o ,z 2 0 ,y l o , u 2 0 ) 所以 砂( u , , :1 7 1 0 , x 2 0 , y l o , 蛐) = 瓦丽e 丽 e x p 两( - r 而f i ) 证明完毕 2 3 盈余序列满足自回归序列时破产概率的指数形式 考虑保费收取和理赔时间相同时,即模型( 2 6 ) 若g 觚满足一阶自回归模型, 令 一 n n d + 1 筇 g + h g 竹斟 + 广 r + ,工u = 二常利率下双险种离散风险模型的破产概率 成立,那么破产概率满足不等式 证明令 b ( t t , x 1 0 , x 2 0 , y 1 0 , y 2 0 ) 环面j e e 驴x p ( 酝- r 石矗) i 两 ,为 鼠) 生成的盯域 元= 盯 缸i ,k = 1 ,2 ,i n ) e e x p ( - r v n ) l 厶一1 】 ( 2 1 2 ) = 叫e x p ( 一r 矿( + # g n + 尚g 2 n ) ) l 厶一 = 叫e x p ( 一r 扩( “1 + r ) + g - 。+ g 。n + 芒 + 尚q n ) ) 卜 = e e x p ( 一r u n - - 1 ( 一t + r 蒜g t 。+ r g 2 n ) ) i 元一 = e e x p ( 一r v n - - 1 ( 一,+ 昔( 口,g n 一- + ) + 高( 口。耵已n ) ) ) 卜, = e 唧( 一r u n - - i ( + 尚g - n “尚g 2 州 + 赤+ 南锄) ) 卜- = e e x p ( 一冗v n - 1 ( + 赤+ 志n ) ) 卜】 e x p ( 一r v n 一1 现一1 1 即e x p ( 一r v n ) 为一个上鞅根据与定理2 1 相同的方法,运用j e s s e n 不等式和 d o o b 停时定理得 e x p ( - r f i ) e e x p ( 一r v ( n 瓯 t ) 】 = e e x p ( 一r v t ) i t n l p ( t n ) + e e x p ( - r v n ) i t n p ( t n ) e e x p ( 一r v t 西) i t n p ( t n ) 湖北大学硕士学位论文 令n _ + 。我们得到 e x p ( - r f i ) e e x p ( 一r v t 西) i t o o p ( t ) = e e x p ( 一r v t 西) i t o o l 妒( u ,2 ;1 0 ,x 2 0 ,1 0 ,y 2 0 ) 上式整理后可得( 2 1 2 ) 式定理证毕 定理2 4 对于( 2 6 ) 式所建立的模型当不考虑利率时,即r = 0 若存在调 节系数r ,满足 叫唧( 一r ( 击a n + 击锄) ) 乩 我们可以得到 妒( u ,砌,蚴,蛐,蜘) = 瓦面e j x p ( 西- r 丽f i ) ( 2 1 2 ) 证明 瓯l 满足一阶自回归模型, ig 航= a k g k i 一1 + 兢,七= l ,2 i = 1 ,2 , ig 。:g l 。+ g 2 0 ;z l 。一可1 。+ z 2 0 一蛐 令 令 以= 巩+ 击g n + 盏g 2 n , 砬 :牡+ 丁兰l g l o + 丁旦l g 2 0 , u2 牡+ 五1 0 + 五2 0 , t = i n f n ,o ) , u = ( 1 + r ) - 。 矗为 如 生成的仃域 m n ( x ) = e x p ( 一r ) , y - = 口 靠i ,k = 1 ,2 ,i n ) e e x p ( 一r e ) i y - 一1 】 = e 【e x p ( 一r ( + r a i lg n + 盏岛n ) ) i 磊一- 1 6 三萱型垩! 墨堕翌堕墼垦堕茎型堕鍪主塑至 = e e x p ( 一r ( 一t ( 1 + r ) + g n + g 。n + 丁兰去g t n + 尚岛n ) ) 卜 = e 唧( 一月( + ll - 去lg 1 n + 击) ) m = e e x p ( 一r ( 一+ 击( a l g l n - i + ) + 五1 ( 口。g 2 n - 1 - i - 锄) ) ) l 磊一 = e 唧( 一r ( + 击g l n - 1 l - 盏g 2 n - 1 l - 而1 “ + 五1 n ) ) 卜 = e e x p ( 一r ( + 击+ 击巳n ) ) 卜 = e x p ( 一r 瓯一1 ) 所以我们可以得出 e 【 ( 。) i ;l 一1 】= e x p ( 一r 巩1 ) 即e x p ( 一r 以) 关于凡是一个鞅假定t 是破产时间,n 为正整数tan 是有界,停时,使用d o o b 有界停时定理 e ( l 而 ) ) = e ( 坼 n 0 ) ) 即 e e x p ( - r f i ) 1 = e e x p ( 一r 瓯 t ) 】 = e i e x p ( 一r g r t ) t n p ( t 扎) + e e x p ( 一r 瓯) i t n l p ( t n ) = e e x p ( 一r u t ) t n i p ( t 几) 令n _ + o o ,得 e e x p ( 一r a ) 】 =e e x p ( 一r 西) i t + 。o 】p ( t 0 ,n 1 ( 3 8 ) 由( 3 2 ) 式知( 3 4 ) 式等价于 删磊) = b ,并e ( w 1 ) + e a n z o 0 ,n 扎 ( 3 9 ) 如果模型( 3 1 ) 是平稳的,由以上等式可推出下式成立 e ( b z ) = b ,( 厶一a ) 一1 e ( w 1 ) 0 净保费条件( 3 8 ) 为破产概率小于1 的充分条件,那么 e ( v b t a ( 1 4 一v a ) 一1 + 6 ,) w 么】 0 ,n 1 ( 3 1 0 ) 也为模型( 3 7 ) 破产概率小于1 的充分条件其中u 是贴现因子本章中我们 假定( 3 1 0 ) 式成立 定义 【v b t a ( 1 4 一v a ) 一1 + b w n ( a 7 + 6 ,) 2 1 湖北大学硕士学位论文 其中q = v b a ( 1 4 一v a ) 一1 = ( q 1 ,q 2 ,o r 3 ,帆) 7 则 n ,n l 】为独立同分布的非 负随机变量序列,且e ( n ) 0 ,n 1 假定调节系数n ( n 0 ) 存在,使得 我们对总资产做如下变换 e e x p c - m n ) 1 = 1 以= + q 7 磊 特别的砬= t + 磊,而= ( x l o ,y 1 0 ,x 2 0 ,y 2 0 ) 对于模型( 3 7 ) 我们可以得到 定理3 1 若调节系数r 存在,则 妒( u , 2 :1 0 , y l o , x 2 0 , y 2 0 ) 雨再e 面x p ( - 丽r f i 旷) 面 ( 3 1 1 ) 证明由 吮= + q 磊 = , v - 1 一1 + ( q + b ) z n 有 u n 玩= d n - i 一1 + u n ( 口t + 6 ,) 磊 = 矿一1 一1 + a 7 磊一1 】+ , u n - 1 p ( q 7 + 6 ,) a o z 】z n l + u n ( q + 6 ,) 由q 的定义我们可知t m v a ) = v g a q 7 = u ( 0 ,+ 6 ,) a 则有。 矿晚= 矿- 1 瓯一l + v n 6 n 其中矿矿与u n 一1 以一l 相互独立 令矗= 盯t ,k n ,即磊是由 吼,k n ) 所生成的盯域流则有 e e x p ( 一r 矿晚i 磊一l 】- e x p ( 一r v n - 1 巩一1 ) e e x p ( 一r v n 扩) 】 2 2 三保费和理赔相关时的破产概率 由于u = ( 1 + r ) 一1 1 , g ( x 、= 一z ”“ 为关于z 的凸函数由j e s s e n 不等式有 e e x p ( 一r t 严晚i y 一l 】e x p ( 一r u n - 1 吼一1 ) e 【e x p ( 一r e “) 】俨 = e ) 【p ( 一r v n 一1 瓯一1 ) ,n 1 因此 e x p ( 一r v ”吮) ,n 1 是关于【只) 的上鞅 对任意的非负整数佗,定义t a n 是芦的一个有界停时根据d o o b 停时

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