（计算数学专业论文）半线性伪双曲型积分微分方程的h1galerkin混合有限元方法.pdf

s u p e r v i s e db yp r o f e s s o rl ih o n g s c h 0 0 1o fm a t h e m a t i c a ls c i e n c e s ， i n n e rm o n g o l i au n i v e r s i t y ，h o h h o t ，010 0 21 m a y , 2 0 1 0 1 11 1 1 1 1 1i1 1 111 1 1 1 1 l 3 616 4 的研究 研究成 与我一 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：内蒙古大学有权 将学位论文的全部内容或部分保留并向国家有关机构、部门送交学位论文的复印件和磁 盘，允许编入有关数据库进行检索，也可以采用影印、缩印或其他复制手段保存、汇编学位 论文。为保护学院和导师的知识产权，作者在学期间取得的研究成果属于内蒙古大学作 者今后使用涉及在学期间主要研究内容或研究成果，须征得内蒙古大学就读期间导师的同 意；若用于发表论文，版权单位必须署名为内蒙古大学方可投稿或公开发表 学位论文作者签名：指导教师签名： 方 差 算 全 k e y w o r d s ：p s e u d o - h y p e r b o l i cp a r t i a li n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；s e m i l i n e a r ；h 1 一 g a l e r k i nm i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o d ；f u l l yd i s c e r es c h e m e ；e r r o re s t i m a t e s i i 3 3 4 6 1 0 第三章伪双曲型积分微分方程h 1 g a l e r k i n 混合元法数值模拟 1 5 3 1h 1 g a l e r k i n 全离散格式构造1 5 3 2 数值算例1 6 第四章结束语1 9 参考文献 2 0 致谢 2 2 i i i 内蒙古大学硕士学位论文 引言 偏微分方程在当今科学研究中广泛应用偏微分方程的定解问题虽然有多种解法， 但是我们知道由于某些原因有许多定解问题是不能严格解出的，只可以用近似方法求 出满足实际需要的近似解所以为了更好的数值模拟复杂的实际问题，人们找到很多数 值方法，并且各种数值方法具有不同的适应问题，针对不同的问题有着各自的优势如 有限差分方法，理论体系完善，可以处理大多数的问题；有限元方法( 如：混合有限元、 间断有限元、连续有限元、时空有限元) 能够适应复杂区域问题等常见的数值方法还有 有限体积法，以及各种方法的混合应用本文讨论的数值方法为h 1 g a l e r k i n 混合有限元方 法 混合有限元方法是一种基于限制或者约束条件的变分形式的有限元方法混合有限 元方法的优点是通过引入中间变量( 一般它们也具有实际的物理意义) ，可以将高阶微 分方程降阶，从而降低有限元空间的光滑性要求例如b u r g e r s ，k d v , r l w , k d v - b u r g e r s 方程 和双调和方程等，通过降阶使有限元插值空间简化，同时可以求到一些有意义的中间 变量，方法也因而方便且容易实现混合有限元法的一般理论是由b a b u s k a 和b r e z z i 于2 0 世 纪7 0 年代初创立的，其主要结果就是b b 条件随后很多计算数学工作者致力于混合有 限元方法方面的研究，混合有限元方法被广泛应用到( 如固体力学，流体力学) 很多领 域【l ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 78 1 随着混合有限元方法的研究和发展，出现了多种混合有限元格式传统混合元方法 的有限元空间必须满足l a d y z l l e n s k a y a 恍b a b u s k a 【l u 】一b r e z z i 1 i i ( l b b ) 相容性条件这就限制了 空间的选择p 锄i 【1 2 】于1 9 9 8 年提出了允许逼近有限元空间和具有不同的多项式次数 的日l g a l e r k i n 混合有限元方法而且月i - g a l e r k i n 混合有限元方法不需验证l b b 相容性条 件尽管对解的正则性要求高一些，但是对流量的驴一模估计可以得到较好的阶，而且对 “的l 2 和日1 模误差估计中对有限元网格上没有提出拟一致条件要求( p = o o 除外) 随着该 理论的完善与发展，p a n i 等人将此方法进一步推广到了抛物型积分微分方程 1 3 1 ，双曲型 方程1 1 4 】；郭玲等人将此方法应用至1 s o b o l e v 方程 1 5 1 ，正则长波方程 1 6 1 ；王瑞文将此方法应 用到双曲型积分微分方程【1 7 】；刘洋等人将此方法应用至u s i n e g o r d o n 方程t 1 8 1 ，s c h r i s d i n g e r 方 程【1 9 ，2 0 1 ，伪双曲方程【2 l ，2 2 】，线性伪双曲积分微分方程【2 3 ，2 4 】，四阶强阻尼波动方程1 2 5 1 等 等本文将h l g a l e r k i n 混合有限元方法推广到如( 1 0 1 ) 所示的半线性伪双曲型积分微分方 程，得到一维情况下的函数和它的梯度的最优收敛阶误差估计并且给出了离散解的存 在唯一性 本文研究的伪双曲型积分微分方程1 2 3 ，2 6 1 是一类重要的积分微分方程，在粘弹性力 学、核反应动力学和生物力学等许多实际问题中有着广泛的应用方程的主要困难在于 引言 方程的项中，既含有比烈对f 的微分，又含有h 。本身以及对f 的积分早期对此类方程的 研究主要集中在传统的有限元法1 2 6 和差分方法文【2 6 】中作者给出了伪双曲型积分微分 方程的一个重要的s o b o l e v v o l t e r r a 投影，并给出了该投影的存在唯一性和相应的投影的最 佳日l ，r 收敛性结果文【2 3 】作者针对线性伪双曲型积分微分方程提出了两种h 1 g a l e r k i n 混 合有限元格式，并且给出了半离散最优阶误差估计在这里我们将用h l g a l e r k i n 混合有限 元方法来研究半线性伪双曲型积分微分方程，同时给出半离散和全离散格式最优收敛 阶误差估计，并通过数值算例验证所提出算法的可行性 本文的结构安排如下，第一章对于半线性伪双曲型积分微分方程给出了一维情况 下h - g a l e r k i n 混合有限元方法的弱形式和半离散格式，并且证明了其解的存在唯一性， 进一步对半离散格式进行了最优收敛阶误差估计第二章给出了一维情况下h 1 g a l e r k i n 混合有限元方法的全离散格式，证明了其解的存在唯一性，且对其进行了最优收敛阶误 差估计第三章我们通过一个简单的数值算例进行了数值模拟，所得到的数值结果与理 论分析是相吻合的，从而验证了我们所提出算法的可行性和有效性注意在本文中主要 应用了g r o n w a l l 弓i 理【7 】c a u c h y s c h w a r z 不等式，y o u n g 不等式，p o i n c a r 6 不等式并且作估计 时所有的c 都是与空间步长h 和时间步长f 无关的正常数 2 定义l 记l 2 ( q ) 为一维空间区域q = ( o ，1 ) 上的l 2 空间，其内积用( ，- ) 表示 程 ( 1 0 1 ) b l 具有连 间及重 定义2 记砩= i v 日1i ，( o ) = “1 ) = o j 定义3 记w m p ，1 p 为传统的s o b o l e v 空间，相应的范数为i i i i m ，p ，特别当p = 2 时， 把w 巩2 记作h m ，其范数简记为| 1 i i 肿 引理1 - 若啦, - t - o ，f 】，t 【o ，丁】定义的可积函数，则有如下积分不等式 f oy o , 眇( s ) 1 2 d s d r c j = f o o i 砂( j ) 1 2 办 ( 1 1 - 2 ) 证明：对石i 砂( s ) 1 2 d s 在【o ，丁】上积分，即 ii i 砂( s ) 1 2 d s d r 令以f ) = f i 砂( s ) 1 2 d s ，因枷- t - o ，f 1 ，f 【o ，丁】定义的可积函数，所以，( 订必连续，因此由积分 第一中值定理有 r 彻打训岫小1 2 d s t r o o l 删2 d s , ( o 0 为常数 并且有误差估计 叫”圳j + i 训拯鳓h 1 _ 血杰i = o 警i i ，+ t + r ( 蚍+ l d 吐 ( 1 1 7 ) 而且对于j = 0 ，1 和1 pso o ，有 i i 叩w 肋c h k + 1 - j l l u l l w , + l 炉( 1 1 8 ) 1 2 日1 g a l e r k i n 混合元弱形式 为了得到日1 - g a l e r k i n 混合元格式，令9 = a n 工，可以将方程( 1 0 1 ) 写成如下一阶系统 a u x2 妒， u t t - - o t x - - 慨似一r 慨比如= 八心力，力 其中角= ( 6 一a t ) a ，风= c ( x ，s ，t ) a 系统( 1 2 9 ) 一( 1 2 1 0 ) 的弱形式为：求妒l ：【o ，丁】卜砩x h l 使得： ( 1 2 9 ) ( 1 2 1 0 ) ( 口“j ，v x ) = ( 妒，v x ) ， vl ，- o ， ( 1 2 11 ) ( ( 。妒) ，忉+ ( 妒m 峨) + ( 够3 妒) x ，峨) + ( r ( 妒) 。( s ) 如，m ) = ( 毗( “) 妒，w ) ，v w 日1 ( 1 2 1 2 ) 其中a = l a ，卢l = b a ，应= c ( x t ) a ，对于( 1 2 1 2 ) 式是通过分部积分( 一叭“) ，w x ) = 吼( “) 戤，w ) 一 u ( “) ，w ) 1 6 = ( a f u ( u h o ，w ) ) 一( 厂( “) ，w ) 咕并注意d i r i c h l e t 边界条件比“( o ，f ) = “盯( 1 ，f ) = o 而得 4 内蒙古大学硕士学位论文 定理1 连续问题r j 2 1 1 ) r j 2 1 2 ) 的解是存在唯一的 证明显然，( “，d = ( “，a u ，) 是问题( 1 2 1 1 ) 一( 1 2 1 2 ) 的解因此我们只须证明问题( 1 2 1 1 ) - ( 1 2 1 2 ) 的解的唯一性 设( 矿，矿) 是问题( 1 2 1 1 ) 一( 1 2 1 2 ) 的另一个解由问题( 1 2 1 1 ) 。( 1 2 1 2 ) 可得 ( a ( u x 一“：) ，h ) = ( 妒一妒，h ) ， vl ，- o ， ( 1 2 1 3 ) ( ( 口( 妒一妒) ) f f ，叻+ ( 妒肛一妒矗，w x ) + ( q s 3 ( 妒一妒) ) ，w x ) + ( ，_ 1 4 ( 妒一妒) ) 工( s ) d j ，帆) ：( 。兀( “) 妒，w ) 一( 口五( “) 妒，w ) ， v w e h l ( 1 2 1 4 ) o 在( 1 2 1 3 ) 中取，= h 一矿，我们得到 h 一l l c i l i a 一妒 在( 1 2 1 4 ) 中取w = ( 口一妒+ ) ，若记矿皇妒一妒 ( ( a 一玎，毋) = ( o t u c r , 毋) + 2 ( a t t r t ，o - t ) + ( o f o u ，o t ) ( 3 3 0 x ，) = 三丢慨叽，叽) 一三慨叽，吒) ( 口毋，) = 三丢( 口听，毋) 一三( 嘶听，乃) ( o t t t o , l o t ) = 芝l 历d ( 嘶正矿) 一乏1 ( 口盯，叽矿) ( 1 2 1 5 ) 利用c a u c h y s c h w a r z 及y o u n g 不等式，可得 三爰( a 盯以力+ 三丢( 口毋，叽) + 互l 磊d ( 岛叽，吼) + i i o , 盯1 1 z = 一( p 3 x l t , o x t ) 一r 慨叽+ 风o , o x t ) d s + 三( o l t t t 0 , l y ) 一三( 嘶乃，毋) + ( 毗( 咖，( 办) 一( 毗( “。胪毋) 5 i + 2 + + r + 一，l l c r 。t ( 2 d s + o x t l l c ( 1 l o - i i i i o - i i i i o ( s ) l l z ld s ) 1 i l c r 。t ( s ) l ld s0 1 0 2 5 i + 2 + + f + 。 2 一 并且注意 ( 1 2 1 6 ) i ( 口五( “) 妒，( 妒一矿) ，) 一( a f ( u ) 妒+ ，( 妒一妒+ ) f ) i = i ( a 五( “) 9 ，( 妒一妒+ ) f ) 一( 口兀( “) 妒，( 妒一妒+ ) f ) + ( 口丘( “) 妒，( 妒一妒) 1 ) 一( a l ( u ) 妒+ ，( 妒一妒+ ) f ) i i ( a 五( “) ( 妒一妒+ ) ，( 妒一妒。) r ) + ( ( 口五( “) 一a a ( u ) 妇+ ，( 妒一妒。) f ) l si ( 吼( “) | f f 妒一妒+ i i l l ( 妒一妒) ，+ i a 妒i i i 五( “) 一五( “) ) i i i i ( 驴一妒) ，) c ( 1 l 妒一妒 + i i 驴，一妒；1 1 2 )( 1 2 1 7 ) 5 弱形式和半离散格式的误差估计 司得 一妒i i ；+ 慨一衍1 1 2scf ( 1 1 o 一9 略+ 慨一妒川2 ) d s ( 1 2 1 8 ) 使用g r o n w a l l 引理并注意( 1 2 1 7 ) 汞1 ( 1 2 1 8 ) ，即得一州1 2 = 0 和l l u ，一u ： 1 2 = 0 ，从而有妒： 矿，= u x 注意“= u ( o ，f ) + f d x ，旷= 矿( o ，f ) + f “：出和“( o ，f ) = “+ ( o ，f ) 即得“= 矿 1 3h l - g a l e r k i n 半离散格式解的存在性及最优阶误差估计 考虑问题( 1 2 1 1 ) 一( 1 2 1 2 ) 的半离散化形式：相对于弱形式( 1 2 1 1 ) - ( 1 2 1 2 ) 的半离散h 1 g a l e r k i n 混合有限元格式为：求i 蝴，蛳 ：【o ，丁】h w s 使得： 其中( o ) ，( o ) ) 给定 ( 口，) = ( 似，) ， vv h v h ， r 1 3 1 9 ) ( ( o o h ) t t ，w h ) + ( ，) + ( 慨似k ，) + ( f 慨如) 幽) ：( 蛳( ) ) ，vw w h ( 1 3 2 0 ) o 定理2 问题r j 3 1 9 ) r j 3 2 0 ) 的混合有限元解是存在唯一的 证明存在性：设1 驴i 7 _ - 1ic 和 晰 2 lcw s 是两组基，并满足 记 代人( 1 3 1 9 ) 一( 1 3 2 0 ) ( 咖，咖) = 6 i j ，f ，j = 1 ，2 ，r l ，( d r l i ，咖) = 5 0 ，f ，j = 1 ，2 ，1 2( 1 3 2 1 ) ：r 2 石( f ) 咖( 曲；蜘：r l 戤( t ) q b f ( 曲 扛l扛l 。r 2 船) 州力m 一( 艺删纵n h ) ：o f = 1f = 1 ( 1 3 2 2 ) ( 1 3 2 3 ) 位g ? ( 懒( n w ) + ( 莉州n w x ) + 艺删纵d ，峨) + 慨善- tg ：，( f ) 似曲，帆) + ( j ：风( 善t l g f ( 咖删足恢) + c j 角c 善以。妣c 力胁，m ，= c 虮c 荟r 2 五c 。州曲，c 善舒c 眺c 砒叻 n 3 2 却 y i ( o ) = a i ，i = 1 ，2 g j = b j ，j = 1 r l 6 有限元解的唯一性证明与定理l 解唯一性证明类似，故定理得证 为了得到误差估计，令 h u h2h 一锄+ 豇 一u h2 刁+ f 妒一咖= 妒一饥+ 锄一协= p + f 由( 1 2 11 ) ，( 1 2 t 2 ) ，( 1 3 1 9 ) 和( 1 3 2 0 ) 可以得到误差方程为： ( 口q ，) = p ，) + 售，) ， vv h v h ，( 1 3 2 8 ) ( ( 嗍mw ) + ( 知，) + 慨& + 励怎慨) + r 慨矗+ 风怎w 彬s = 一( ( ( r p ) f f ，w h ) + a ( j d f ，w h ) + ( ( 吮( 蹦) 妒，w h ) 一( c 吼( “ ) 妒 ，w h ) ， vw h w h ( 1 3 2 9 ) 定理3 若妒o = 口，慨( 0 ) = 口“l 工取似( 0 ) = 钆( o ) ，蛳= p h 妒t ( o ) ，r 这里的尸 是通过( w p h w ，w h ) = 0 ，w h w h 定义的l 2 投影j 则： l l “一“ l i + h l l u u h l l l c h “i n ( + 1 ，7 + n ( i l l , i l l 。+ i l u l l l 2 ( 胪+ 1 ) ) 妒一咖+ h l k o 一妒h l l l c h 7 + 1 川妒i 。 i l u u h l l c h m 抽似1 ，+ 1 ( l p ( 舭+ i ，p ) + i l u l i l 2 ( 小+ 1 ) + 1 | i 删l 。) 0 妒一似i l 胪c h 7 + 1 ( 1 l q o l l l o o ( w , + 1 p ) + i i m i i 。) d f1 1 1 妒1 1 1 圭1 1 妒, ( 0 ) 1 1 ，+ l + l l 训l i ( h r + i ) + 妻( | | 等( 胪) 十i i 等o l 2 ( h r + 1 ) ) 7 弱形式和半离散格式的误差估计 证明：因为p 和刁给定，所以只需估计f 和9 在( 1 3 2 8 ) 式中取v h = f ，则由c a u c h y s c h w a r z 不等式及y o u n g 不等式易得 i i q x l ls ，u i j d + i i f l l ) 在( 1 3 2 9 ) 式中取w h = 矗，并注意 ( ( c 嘻) ，靠) = ( a 盯f ，刍) + 2 ( a 1 6 ，矗) + ( o 白，靠) 够3 & ，如) = 芝l 鬲d ( 仍& ，& ) 一三够3 噍厶) ( 出知，翕) = 乏l 历d ( 鸥，6 ) 一互i ( 口，矗，矗) ( f ，靠) = 芝l 历d ( 口”f ，9 一三( 口埘f ，移 并注意类似于( 1 2 1 7 ) 的推导可得 l ( a 五( d 妒，靠) 一( 口五( “ ) ，6 ) 1sc ( 1 l f l l j + l i 刍| 1 2 ) 利用c a u c h y s c h w a r z 及y o u n g 不等式，并注意系数范围可得： 三丢( a 盯f ，d + d ( a 6 ，舂) + 乏i 鬲d 3 & ，) + l l 钿1 1 2 = 一慨知) 一f 帆& + f 1 4 菇，( x t ) d s + 吾( 嘣，9 一主( a 矗靠) = 一慨，手，知) 一f ( 风& ， 毒( 口盯苦，9 一号 ，矗，靠) j 0 二二 一( ( o t p ) t t ，翕) - i - a ( j d l ，蠡) + ( o 佤( “) 妒，矗) 一( 口五( “ ) 蛳，靠) c ( if 1 1 + 1 1 6 1 1 2 + i i p l l 2 + l i p f i l 2 + l i p , ，1 1 2 + fi i ( ( s ) l l ；d s ) ，吁 j 0 + 而1r i 翰( 酬1 2 d s + 丢1 1 2 上式两端关于时间从0 到t 积分，并注意到q h ( o ) = q h ( o ) 及积分不等式( 1 i 2 ) 可得 狮酬2 寺+ 狮i 册吾小洲阳s c 【1 1 6 ( o ) 1 1 2 + 鲥+ 删2 + w + 删2 + i t o ”1 1 2 ) d s + j = f r 娜细打，+ 刍r r c 邢d j 打 c 【1 1 6 ( o ) 1 1 2 + 栅+ 蚓2 + 椰+ i l p d l 2 + i t o , ，1 1 2 ) d s 】 + ；1 小洲阳s 再由g r o n w a l l 弓i 理及积分不等式( 1 i 2 ) 即得： i l 纠1 2 + i l f ；+ 1 1 6 1 1 2 c 【1 1 6 ( o ) 1 1 2 + f ( i l o ( s ) 1 1 2 + i t o f ( s ) 1 1 2 + i i p ( s ) 1 1 2 ) d s 】， ( 1 3 3 0 ) ( 1 3 3 1 ) ( 1 3 3 2 ) ( 1 3 3 3 ) f 1 3 3 4 ) 内蒙古大学硕士学位论文 由p o i n c a r 6 不等式1 1 筝1 1 c l l s - i i l c l l q l l ，及( 1 3 3 0 ) 式可得 引i c ( 1 l p l i + 1 1 纠1 ) ，i g l h c ( 1 l p l i + l i # 1 1 )( 1 3 3 5 ) 再者，f h q ，( o ) 的l 2 投影可得临( 0 ) l i c h 川i i q ，( 0 ) 1 1r + l ，( 参见文献【1 4 】) ，由式( 1 3 3 0 ) ，( 1 3 3 4 ) 一 ( 1 3 3 5 ) 和( 1 1 4 ) 一( 1 1 7 ) ，以及三角不等式，可得定理中的驴模及日1 模 当1 p ，由s o b o l e v 空间的嵌入定理，可得 l i f | i 驴c l k l h , f 月2 ，斟i p c l l ：l h , f h 1 由三角不等式，式( 1 1 5 ) 一( 1 1 8 ) 和( 1 3 3 4 ) 、( 1 3 3 5 ) ，以及s o b o l e v 空问的嵌入定理，即得定 理中的胪模的误差估计 注从定理的前两个结论可以看到，当k = ，时，有 i 似一u h l i v * ( l 2 ) + 妒一妒 p ( 驴) = o ( h 7 + 1 ) 并且取k + 1 = r 时，我们有 一u h l l v * ( h t ) = o ( h k ) ， 而 i i 妒一蛳l i p ( h 1 ) = o ( h r ) 以上容易看出所得到的收敛阶与有限元空间中的多项式次数相吻合，并且该方法直接 得到了通量的日1 模误差估计这一点是标准的混合有限元方法所不能及的，而且此时两 个有限元空间不需要满足l b b 相容性条件 9 hj - g a l e r k i n 全离散格式解的存在性及最优阶误差估计 第二章h 1 g a l e r k i n 全离散格式解的存在性及最优阶误差估计 我们米用相应的爱分格式对时l 刚焚量进行呙敢首先引入f 歹u 符号令0 = t o t l t m = 丁为时间区间【o ，丁】的剖分，a t = t m , m 为正整数对于【o ，丁】的光滑函数，定义： 九= 烈岛) ，b n + l 2 = 三( 九+ 九+ 1 ) ， a 矿+ 1 2 _ 一堕学却n = c g t ：+ i 2 + 广o t ：一- i 2 = 訾， 砰矿= 鲨竽= 堑等地， 矽n ：l 4 = 互1d l n + i 2 + n - l 2 ) = 三( 如+ l + 2 如+ 九一1 ) 为了近似积分，我们用复化梯形公式： “= 筹驴n - i 啪+ 1 ) ) = , j 队u 州j- f = o 且求积误差满足： 峙r 似洲5 箬恶笺i ( 2 o 1 ) 定义： 啪，2 - 昙( a n + a n + 1 ) ，l ：l 4 ：委( a n + l 2 + a n - l 2 ) 相应的，令u ”和z ，l 为“和妒在t = 岛时的近似解，由以下隐式格式定义我们定义i u ，z n ( a u 0 ，v h ) = ( “o ，v h ) ，( z o ，w h ) = ( 妒( 0 ) ，w h ) ，v ( 矿，w h v h w h ( 口m 丢a z l ，2 ，) + ( 缸；7 2 a ，z l 2 ，) + ( 口；f ，2 叫7 1 1 2 ，) + ( 4 乏胆，) + r ，n j l j 2 2 1 2 ，w h x ) + 瞄胆叫7 1 2 ，w h x ) + ( i ，2 慨z k ，w h x ) = ( 毗( u l 2 ) z l 2 ，) + ( 口l 2 丢慨( o ) ，m ) ，v 矿 ( a n + 1 1 2 啦+ 1 2 , j ) = ( 刀+ 1 2 , ) ，v 扩v h ( 2 0 2 ) ( 2 0 3 ) ( 2 0 4 ) ( a ；刀，w h ) + ( 2 0 ? a r 刀，) + ( f f ：t z n ；1 4 , w h ) + ( o t z ，) + 蝶。；1 4 , ) + 峭露；1 一，) + ( z x ，l ；1 4 ( 慨z ) ，) = ( 矿五( 4 矽h 4 , w h ) ，v w h w h ( 2 0 5 ) 其中妒( o ) = u o ，和慨( o ) = u l ， 定理4 在以上定理的条件下，全离散问题r 2 d 2 j f 2 n 刃的解是存在唯一的 1 0 内蒙古大学硕士学位论文 证明设 嵋= 五( f ，1 ) 咖( 力；协= g f ( f ，1 ) 咖( 曲， ( 2 o 6 ) f = lf = l 其中惭 2 lc 和 州2 lc 是两组标准正交基，则问题( 2 0 2 ) 一( 2 0 5 ) n - a f 写为： 求f = ，五，f r l ) r , g = ( g l ，9 2 ，g r 2 ) 7 满足： ( 三蒯= 旧 ( 2 0 7 ) 其中a = ( ( 办，办) ) ，l ，。和d = ( ( 儿奶) ) ，2 圪对比问题( 2 0 2 ) ( 2 0 5 ) n - q 矢nb ，c , f , g ，e g 的具体含义 不难证明( 2 0 7 ) 的系数矩阵为可逆的，故问题( 2 0 2 ) 一( 2 0 5 ) 存在唯一的解哪，簖) v hxw h 为了得到误差估计，令 “( k ) 一u “= h ( “) 一u h ( t n ) + 锄( “) 一u n = 矿+ ， 妒( 岛) 一z 竹= 妒( k ) 一乖o h ( t n ) + 驴| | l ( 岛) 一z n = p n + 尹 由( 1 2 1 1 ) 一( 1 2 1 2 ) 和( 2 0 2 ) ( 2 0 5 ) 得到： ( a n + 1 2 重x + 1 2 , y h ) = c o n + 1 1 2 ) + ( ，+ 1 2 ) ，v v h v h ，n 0( 2 0 8 ) ( a “2 砉鲋u 2 ，w h ) + ( 础2 f 1 2 , w h ) + 畦胆胆，) + ( 仇胆，) = 一 ( f i l l 2 云却1 2 + 2 0 , 1 2 t 0 + 孙；2 c 3 t p i 2 + 2 c r f l 2 喵qe l 2 + 2 q 2 ( 妒；2 _ o q t o ! 2 ) + u “1 2 p 1 2 ) ，w h + a ( o p l ，2 ，w h ) 一畦1 2 , ) 一( l ，2 慨轨，) ， 一( f慨) j d s a 1 1 2 ( p 4 q o h ) ，) + ( 口1 2 a ( u 1 ，2 ) 妒1 ，2 ，w h ) 一( 口1 ，2 l ( u 1 2 ) z 1 ，2 ，w h ) j u ( 2 0 9 ) 其中 ( 考，w h ) + ( 口矽：1 ，4 ，) + ( 雕美h 4 ，w h j ) + ( a f 冀，w h ) = - 【( a 知“+ 2 a , n r n + 2 凹o , p “+ 2 研a f ，+ 2 卵( 钟一o t t o n ) + 础t t p n ；l 4 ) ，w h + a ( o p ，w h ) 一蛾，；1 7 4 ，) 一( n ；1 4 ( f 1 4 手) j ，w h ) 一( f ( 良驴 ) j d s a n ；l ，4 ( 风妒 ) ，w _ i l z ) + ( f f n f u ( u n ) 5 0 n , w h ) 一( ( ，五( u “；1 4 ) z ”；1 4 , w ) ( 2 0 1 0 ) t o = 妒y 2 2 一( 妒f ( o ) 一o t q 0 1 2 ) h = 妒：1 7 4 一砰妒( 岛) ) r 如冲= 三c r 如灿+ 厂如 r “h 胁= 圭( r “胆灿+ r 1 尼如胁) ( 2 0 1 1 ) 日l g a l e r k i n 全离散格式解的存在性及最优阶误差估计 定理5 假设z o = 西( o ) 且蜘= u x 0 ，存在与j i l 和f 无关的正常数c 使得对j = 0 ，肘 i l u ，+ 1 2 一u j + 1 2 i i + i k 0 7 + 1 2 一z j + 1 2 i i + h l l u ，+ 1 1 2 一u ，+ 1 2 i i l + l i + 1 2 一z ，+ 1 2 i i l c ( 矿州，+ 1 斛n ( 1 l u l l c * * ( 小+ 1 ) + i l u f i i 俨( 讲+ 1 ) + p ( 肿+ 1 ) + 妒j i z p ( 日“1 ) + i # , i i l 2 f h ，+ 1 ) + i r o t t i i l 2 ( h , + b ) + ( f ) 2 ( 0 3 0 i 、。2 川+ 雾j i l l ( l 2 ) + | 训l 2 ( l 2 ) - i - 删l 2 ( 删) ) 证明在( 2 0 8 ) 中令v h = ，+ 1 2 使用c a u c h y s c h w a r z ，p o i n c a r 6 不等式及y o u n g 不等式得到 ( 2 0 1 2 ) i ，+ 1 1 2 1 1 2 c l i + 1 2 1 1 2 c ( 1 l p ”+ 1 2 2 + i 扣一+ 1 2 1 1 2 )( 2 0 1 3 ) 在( 2 0 1 0 ) 令w h = a r 得到 ( 考，仇，) + ( 簖，；1 4 , b ，) + ( 雕鼻；1 ，4 ，研露) + ( 巩彀，a , o = 【( a 劲”+ 2 z ：r + 2 群a - 矿+ 2 钟a f ，+ 2 衅( 卯一研妒一) + 簖矿h 4 ) ，研，】+ 7 ( ( 0 1 9 n ，研，) 一蝶；1 ，4 ，巩算) 一( ；, 4 ( f 1 4 h ，a g d 一( f 。慨) j d s a n ；l 4 ( f 1 4 o h ) ，a ) + ( 扩五( 矿) 矿，研，) 一( 矿五( u ”：1 4 ) 秒：1 1 4 ，b ，) 注意到： 令 ( 砰矿，研，) = 击( 1 i a ，“2 1 1 2 一a ，- 1 ，2 1 1 2 ) ( ，；1 ，4 ，夙尹) = 击( ，“，2 1 1 2 一i i 扩- 1 2 1 1 2 ) ( 篡；i ，4 ，a 彀) = 1 ( 1 1 最+ l 2 1 1 2 一嚣一l ，2 1 1 2 ) i # l l l = i i o f p + 17 2 1 1 2 + i i r + 17 2 1 1 2 + ，+ 1 ，2 i i 将( 2 0 1 5 ) 代人( 2 0 1 4 ) 且两端乘以2 a t 得到 ( 2 0 1 4 ) ( 2 0 1 5 ) ( 2 0 1 6 ) 慨1 ，2 1 1 2 + 1 1 f n + 1 2 1 1 2 + 咿+ 1 2 暗+ i l a , 最1 1 2 【o a ，- 1 2 1 1 2 + i i ，_ 1 2 2 + i i ，- 1 2 | 1 2 + 2 a t ( - ( a ”喀2 矿+ 2 c r n r n + 2 a ? a t p ”+ 2 a ：i to f ，+ 2 钟( 钟一a 矿) + o f f t t p n ；i 4 ) ，a ，】+ a ( a p ，易尹) 一( 绣。尹；1 胆，0 ，彀) 一( 。；l 4 慨手) 。，b 器) 一n ；i 4 一( f 慨) ，d s a n ；w 4 ( 6 4 妒h ) ，巩) + ( 口“五( 矿) 矿，a ，) 一( n 一五( u 麒1 4 ) 2 ，：1 ，4 ，0 f ) ) 】 o ( 2 0 1 7 ) 1 2 内蒙古大学硕士学位论文 对最后两项处理 a ，+ 1 2 1 1 2 + ，+ 1 ，2 1 1 2 + l i ，+ 1 2 1 1 ；+ i 协彀1 1 2 舱，一1 2 1 1 2 + i i g 一1 2 1 1 2 + t i c 。1 7 2 i i ； + 2 a t ( 一【( 砰矿+ 2 0 ? r + 2 1 ：o , p + 2 簖a r ，+ 2 衅( 钟一a f 矿) + 簖矿；1 4 ) ，a f ，】+ ，：i ( 矽，西，) 一孵，p ；1 4 ，b 嚣) 一( 。：1 4 ( f 1 4 f ) j ，皑) 一( r “p ( 3 4 似) ，8 - - a n ；l 4 ( f 1 4 d s a nl 4 ( f 1 4 9 h ) ，巩等) + ( 矿五( 矿) 矿，谚p ) 一( 矿丘( 【，硝4 ) 矿，巩，) 一( i 似) ，巩等) + ( 矿五( 矿) 矿，谚p ) 一( 矿丘( 【，联u 4 ) 矿，巩，) 0 + ( 五( ，”；1 ，4 ) 矿，b ，) 一( 矿五( 扩；1 一) 矽h 1 4 ，研，) ) 】( 2 0 1 8 ) 对( 2 0 1 8 ) 从l 到，l 求和，使用c a u c h y s c h w a r z 不等式及y o u n g 不等式得到。 j 彬胪+ 2 a t i l a 发1 1 2 n = l c 1 l a d l 2 h 2 + 1 1 # 1 2 1 1 2 + 1 1 ：2 1 1 2 】 + 2 a t ( 秽1 1 2 + i i r 1 1 2 + 懈一a 卅+ l i p n ；1 7 4 i i + i l a , p 1 1 2 n = l + l l a , # 1 1 2 + 7 4 | | 2 + 秽7 4 | 1 2 + 暖1 1 2 ，+ l “ + i i f ( h ) x d s a n ；l 4 ( 事o h ) 工2 + i i l l l - ( 1 l r f 2 + i 矿；4 | 1 2 ) 】 ( 2 0 1 9 ) , d o 由离散形式的g r o n w a l l 弓i 理得 - ， i l l , j i l l 2 c i l i a f 一7 2 h 2 + i i # i 2 2 + 2 旧+ a t , ( 1 l a , p 1 1 2 + i l o ；1 4 1 1 2 ，h + i 4 + l l r 1 1 2 + i i 簖一岛妒4 1 1 2 + f( 仍) j d s a n ；l 4 ( 驴h ) j 2 + 矿：1 ，4 2 ) 】 ( 2 0 2 0 ) 从而得到 j i | i f ，i i i c 1 l o d i 2 + i i f l 7 2 + l 巨1 7 2 i h + a t 歹 ( 1 l a , p l l + l i p n ；l 4 i i ，+ l 4 + l l r n l l + i i 硝一西妒”+ 0f( 9 i l k d s 一：l 4 ( ( p h ) 工+ 矿：1 4 i i ) 】( 2 0 2 1 ) 为了估计上式的右端前三项在( 2 0 9 ) 中，令w h = 研f 1 2 “2 云研f 1 2 ，a f l 2 ) + ( 口，f i 2 # 1 2 , o q t s f l 2 ) + ( f l 1 2 亡一1 2 , a r 曼，2 ) + ( 巩奠1 2 , 研奠2 ) = 一 ( f i l l 2 云却i 2 + 2 0 , 1 2 t 0 + 2 q 1 2 v “1 2 + 2 嘶i 2 喵胄c 1 1 2 + 2 c r 胆( 妒；胆一o t 妒! 2 ) 。1 2 p 1 2 ) ，毋f 1 2 】+ a ( 印1 1 2 , 0 , 孝4 2 ) 一( 碟? f 1 胆，研最7 2 ) 一( z h 2 够4 0 j ，0 f 奠7 2 ) 一( 厂1 尼够4 妒 ) j d s - a l 2 ( f 1 4 t p h ) ，a t 手1 2 ) + ( e l l 2 f u ( u l 2 ) 妒1 ，2 ，o t f l 2 ) 一( q , i 2 ( u 1 1 2 ) z 1 2 a , f i 2 ) 0 f 2 0 2 2 ) 1 3 h 1 g a l e r k i n 全离散格式解的存在性及最优阶误差估计 使用c a u c h y s c h w a r z 不等式及y o u n g 不等式得到 从而得到 a f 手1 2 2 + i i f l ，2 1 1 2 + i l 手17 2 i i ； c 1 l o t p i 2 1 1 2 + ( ，) 2 ( 1 1 f o i l 2 + 1 l o r e l ，2 1 1 2 + i i a l 2 ( f x ) 1 1 2 + i ii ( 蛳) s 一l 2 ( 蜘) j 2 j , f 1 1 2110 + l k b l l l a o ( 1 l r 1 2 1 1 2 + 咿2 1 1 2 ) + i t 0 1 2 1 1 2 + 耐胆一却1 2 1 1 2 ) 】 1 1 0 f f l 2 1 1 2 + i g ：1 2 1 1 2 + ( 1 一c ( a t ) 2 ) i i f l 7 2 i i ； _ c 1 l o t p l ，2 1 1 2 + ( 炉( 1 1 劲1 1 2 + i l o , p l ，2 1 1 2 + i ir 胆( 吼) j d $ - - a ! 2 ( 蛳k i l 2 o + 删p ( 吲2 1 1 2 + i l 0 1 2 1 1 2 ) + l i p l 2 1 1 2 + 懈胆一却1 2 1 1 2 ) 】 在( 2 0 2 0 ) 中估计右端项，注意到 去r ”娜) i | 艇f i | 删) 使用泰勒展开，可得到 出薹“矽酽去砉c f ”c 叫怵酬协+ c j 一怵酬娜， ，“+ i c h 川f i k o 盯i i r + l d s j o 观察到当n 1 ，t n 可以写作 所以 ( 2 0 2 3 ) ( 2 0 2 4 ) ( 2 0 2 5 ) f 2 0 2 6 ) h = 丧c m m 掷