基于matlab的线性规划论文

1绪 论 随着经济全球化的不断发展，企业面临更加激烈的市场竞争。企业必须不断 提高盈利水平，增强其获利能力，在生产、销售、新产品研发等一系列过程中只 有自己的优势，提高企业效率，降低成本，形成企业的核心竞争力，才能在激烈 的竞争中立于不败之地。过去很多企业在生产、运输、市场营销等方面没有利用 线性规划进行合理的配置，从而增加了企业的生产，使企业的利润不能达到最大 化。在竞争日益激烈的今天，如果还按照过去的方式，是难以生存的，所以就有 必要利用线性规划的知识对战略计划、生产、销售各个环节进行优化从而降低生 产成本，提高企业的效率。 在各类经济活动中，经常遇到这样的问题：在生产条件不变的情况下，如何 通过统筹安排， 改进生产组织或计划， 合理安排人力、 物力资源， 组织生产过程， 使总的经济效益最好。 这样的问题常常可以化成或近似地化成所谓的“线性规划” （Linear Programming，简记为 LP）问题。线性规划是应用分析、量化的方法， 对经济管理系统中的人、财、物等有限资源进行统筹安排，为决策者提供有依据 的最优方案，以实现有效管理。利用线性规划我们可以解决很多问题。如：在不 违反一定资源限制下，组织安排生产，获得最好的经济效益（产量最多、利润最 大、效用最高）。也可以在满足一定需求条件下，进行合理配置，使成本最小。 同时还可以在任务或目标确定后， 统筹兼顾， 合理安排， 用最少的资源 （如资金、 设备、原材料、人工、时间等）去完成任务。 2线性规划模型的建立与求解 2.1 线性规划模型线性规划模型 线性规划的目标函数可以是求最大值，也可以是求最小值，约束条件可以是 不等式也可以是等式，变量可以有非负要求也可以没有非负要求（称这样的变量 为自由变量）。为了避免这种由于形式多样性而带来的不便，规定线性规划的标 准形式为 1 122 11 112211 21 122222 1 122, min. . ., , 0(1,2, ). nn nn nn mmmnnm i zf xf xf x sta xa xa xb a xa xa xb a xaxaxb xin 极小值模型 1 122 11 112211 21 122222 1 122 max. . ., , , 0(1,2, ). nn nn nn mmmnnm i zf xf xf x sta xa xa xb a xa xa xb a xaxaxb xin 极大值模型 利用矩阵与向量记为 min . . 0 T zC x stAxb x 其中 C 和 x 为 n 维列向量，b 为 m 维列向量，b0，A 为 mn 矩阵,mn 且 rank(A)=m。 如果根据实际问题建立起来的线性规划问题并非标准形式， 可以将它如下化为标 准形式：（1）若目标函数为max T zC x，可将它化为min T zC x (2）若第 i 个约束为 1 1iinni a xa xb，可增加一个松驰变量 i y，将不等式化为 1 1iinnii a xa xyb，且 i y0。 若第 i 个约束为 ai1x1+ainxnbi，可引入剩余量 i y，将不等式化为 ai1x1+ainxn yi = bi，且 yi0。 （3）若 xi 为自变量，则可令 iii xxx ,其中 i x 、 i x 0 2.2 应用实例应用实例 2.2.1 某牧场饲养一批动物，平均每头动物至少需要 700g 蛋白质，30g 矿物质和 100g 维生素。现有 A,B,C,D,E 五种饲料可供选用，每千克饲料的营养成分（单 位：g）与价格（单位：元/kg）如下表所示： 蛋白质矿物质维生素价格 A31.00.50.4 B20.51.01.4 C10.21.20.8 D62.02.01.6 E120.50.81.6 试求能满足动物生长营养需求又最经济的选用饲料方案。 设配合饲料中，用 A 种饲料 1 x单位，用 B 种饲料 2 x单位，用 C 种饲料 3 x单 位，用 D 种饲料 4 x单位，用 E 种饲料 5 x单位，则配合饲料的原料成本函数，即 决策的目标函数为 Z。考虑三种营养含量限制条件后，得这一问题的线性规划模 型如下 目标函数： Min Z=0.4 x+1.4 x2+0.8 x3 +1.6 x4+1.6 x5 约束条件为： 12345 12345 12345 32612700 . . 1.00.50.22.00.530 0.51.01.22.00.8100 xxxxx stxxxxx xxxxx 编写 M 文件如下： c = 0.4;1.4;0.8;1.6;1.6; A=-3,-2,-1,-6,-12;-1.0,-0.5,-0.2,-2.0,-0.5;-0.5,-1.0,-1.2,-2.0,-0.8; b=-700;-30;-100; Aeq=; beq=; vlb = zeros(5,1); x,fval,eval = linprog(c,A,b,Aeq,beq，vlb)%调用 linprog 函数 可得到如下结果： Optimization terminated. x = 224.7115 0.0000 0.0000 0.0000 2.1555 fval = 93.3333 从以上结果可以看出，买 224.7115 千克的 A 饲料，2.1555 千克的 E 饲料， 能满足动物生能满足动物生长营养需求又最经济，所用价钱为 93.3333 元。 2.2.2 果然果然 某厂每日 8 小时的产量不低于 1800 件。为了进行质量控制，计划聘请两种 不同水平的检验员。一级检验员的标准为：速度 25 件/小时，正确率 98%，计时 工资 4 元/小时；二级检验员的标准为：速度 15 小时/件，正确率 95%，计时工 资 3 元/小时。检验员每错检一次，工厂要损失 2 元。为使总检验费用最省，该 工厂应聘一级、二级检验员各几名？ 设需要一级和二级检验员的人数分别为 1 x、 2 x人,则应付检验员的工资为： 2121 24323848xxxx 因检验员错检而造成的损失为： 2121 1282)%5158%2258(xxxx 故目标函数为： 21 3640minxxz 约束条件为： 0, 0 15 9 4535 . . 21 2 1 21 xx x x xx ts 编写 M 文件如下： c = 40;36; A=-5 -3; b=-45; Aeq=; beq=; vlb = zeros(2,1); vub=9;15; x,fval = linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub) x = 9.0000 0.0000 fval =360 即只需聘用 9 个一级检验员。 2.3 线性规划的求解线性规划的求解图解法图解法 若一个线性规划问题有最优解，则最优解一定可以在可行域的某个极点上找 到一个最优解。同时仍有可能有其他最优解存在，但它们也只可能存在于可行域 的其他极点或是边界上。如果我们的目的是找出一个最优解而不是全部最优解， 这一定理实际上是把寻找的范围，从可行域中的无穷多个可行点，缩小到可行域 的有限几个极点上。 例例 某农户有耕地 20 公顷，可采用甲乙两种种植方式。甲种植方式每公顷需投 资 280 元，每公顷投工 6 个，可获收入 1000 元，乙方式每公顷需投资 150 元， 劳动 15 个工日，可获收入 1200 元，该户共有可用资金 4200 元、240 个劳动工 日。问如何安排甲乙两种方式的生产，可使总收入最大? 解：设甲方式种 1 x公顷，乙方式种 2 x公顷，总收入为 Z，则有： 12 12 12 12 12 max10001200 2801504200 615240 20 0,0 zxx xx xx xx xx 所以， 如图所示， 在 B 点时，甲级两种方式的总收入最大，即甲方式种 6.7 公顷， 乙方式种 13.3 公顷。 3结论 把线性规划的知识运用到企业中去， 可以使企业适应市场激烈的竞争， 及时、 准确、科学的制定生产计划、投资计划、对资源进行合理配置。过去企业在制定 计划，调整分配方面很困难，既要考虑生产成本，又要考虑获利水平，人工测算 需要很长时间，不易做到机动灵活，运用线性规划并配合计算机进行测算非常简 便易行，几分钟就可以拿出最优方案，提高了企业决策的科学性和可靠性。其决 策理论是建立在严格