（计算数学专业论文）非线性偏微分方程的legendre+tau方法及其多区域方法.pdf

原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的 工作除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不 包含其他人已发表或者撰写过的研究成果参与同一工作 的其他同志对于本研究所做的任何贡献均已在论文中作了 明确的说明并表示了谢意 签名：黼 日期：t o q 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规 定，即：学校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被 查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名潲导师徘且叼啉2 咽矗n 上海大学理学博士学位论文 非线性偏微分方程的 l e g e n d r et a u 方法及其多区域方法 作者：沈婷婷 导师：马和平教授 专业：计算数学 上海大学理学院 二零一零年四月 ad i s s e r t a t i o ns u b m i t t e dt os h a n g h a iu n i v e r s i t y f o rt h ed e g r e eo fd o c t o ri ns c i e n c e t h e l e g e n d r et a um e t h o df o r n o n l i n e a rp a r ti a ldi f f e r e n ti a le q u a ti o n s a n di t sd o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o d p h d c a n d i d a t e ：s h e nt i n g - t i n g s u p e r v i s o r ：p r o f m ah e - p i n g m a jo r ：c o m p u t a t i o n a lm a t h e m a t i c s c o l l e g eo fs c i e n c e s ，s h a n g h a iu n i v e r s i t y a p r i l ，2 0 1 0 摘要 本文主要讨论某些非线性偏微分方程的l e g e n d r et a u 方法及其多区域方 法 谱方法与广为应用的有限元方法和有限差分方法已经成为数值求解偏微 分方程的三大基本方法谱方法，以其具有高精度的优点，被越来越广泛地应用 于数值求解各种微分方程在谱方法中，试探函数可以取整体无穷可微的函数， 而根据检验函数的不同取法，谱方法可以分为g a l e r k i n 方法，t a u 方法和配置方 法 自1 9 3 8 年l a n c z o s 发展了谱t a u 方法至今，t a u 方法在微分方程的数值求 解上已经得到广泛的应用不仅如此，t a u 方法对于某些问题的理论分析也有比 较好的结果比如，t a u 方法，或者是更一般的p e t r o v - g a l e r k i n 方法对于求奇数 阶微分方程的l 2 误差分析可以得到比g a l e r k i n 方法或者配置方法更好的结果 然而，t a u 方法对于某些偶数阶微分方程的误差估计还是存在不理想的结果另 外，也有评论认为t a u 方法在精度上要比g a l e r k i n 方法和配置方法低因此，这 促使我们来进一步研究t a u 方法的一些收敛性质通过本文的一些研究可以看 到，t a u 方法或者p e t r o v - g a l e r k i n 方法对于某些问题具有与g a l e r k i n 方法相似 的收敛性质 本文的主要工作之一是证明了l e g e n d r et a u 方法对求解一般边界条件下 一维二阶线性稳态微分方程可以得到l 2 ，日1 和日2 范数意义下的最优误差估 计对于一维二阶发展方程也可以得到工2 范数下的最优误差估计，改进了此 类问题原有的理论分析结果对于非线性b u r g e r s 方程，本文提出了l e g e n d r e t a u - c h e b y s h e v 配置方法，即，总体上采用l e g e n d r et a u 方法，但对非线性项用 c h e b y s h e v 配置方法来逼近；在时间离散上，采用l e a p f r o g c r a n k - n i c o l s o n 格式， 得到了l 2 范数下的最优误差估计数值算例也符合了理论分析的结果 然后，本文研究了二维问题的l e g e n d r et a u 方法首先改进了p o i s s o n 方程 的l e g e n d r et a u 方法给出的日1 误差估计，证明了l e g e n d r et a u 方法可以得到 日1 范数意义下的最优估计然后通过对偶技巧，得到相应的己2 最优误差估计 接着，讨论了涡度方程的l e g e n d r et a u 方法，给出了半离散格式的稳定性和收敛 性分析 通过细致的分析和数值试验还可以看出，t a u 方法的收敛性态与解的奇性 有关当解在边界上有奇性时，所得到的结果还是不很理想 对于四阶微分方程，本文提出了l e g e n d r ep e t r o v - g a l e r k i n 方法，这种方法 在处理检验函数时采用了类似于t a u 方法的做法，即，其检验函数放弃了两个 边界条件，并且也得到了l 2 范数和日1 范数意义下的最优误差估计数值算例 也表明算法是有效的对于非线性四阶方程，如k u r a m o t o - - s i v a s h i n s k y 方程，本 文提出了l e g e n d r ep e t r o v - - g a l e r k i nc h e b y s h e v 配置方法，并且得到了l 2 范数意 义下的最优误差估计本文对k u r a m o t o - s i v a s h i n s k y 方程进行了计算，得到满意 的数值结果 本文还讨论了l e g e n d r et a u 多区域方法和一阶变系数方程的预处理l c g - e n d r et a u 方法，构建出算法格式，并且给出了误差估计 关键词偏微分方程；l e g e n d r et a u 方法；稳定性；最优误差估计 a b s tr a c t t h ea i mo ft h i sp a p e ri st os t u d yt h el e g c n d r et a um e t h o df o rn o n l i n e a rp a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h et a um e t h o di so n eo ft h eb a s i cf o r m so fs p e c t r a lm e t h o d sa n dh a sb e e n u s e di nm a n ya p p l i c a t i o n so fn u m e r i c a ls o l u t i o n so fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s f u r t h e r - m o r e ，i ts e e n l st h a tt a na n d ，m o r eg e n e r a l l y , p e t r o v - g a l c r k i nm e t h o d sa r em o r e s u i t a b l ef o ro d d - o r d e re q u a t i o n st h a ng a l e r k i nm e t h o d sa n dc o l l o c a t i o nm e t h o d s h o w e v e r ，e r r o re s t i m a t e so ft h e t a um e t h o df o re v e n - o r d e re q u a t i o n sa r es o m e t i m e s n o td e s i r a b l ea n dt h e r ea r es o m ec o m m e n t st h a tt h et a um e t h o di si n f e r i o rt ot h e g a l e r k i na n dc o l l o c a t i o nm e t h o d si na c c u r a c y t h e s em o t i v a t eo u ri n t e r e s ti nt h e n u m e r i c a la n a l y s i so ft h et a um e t h o d o n eo fw o r ki nt h i st h e s i si st h a tw ep r o v et h el e g e n d r et a nm e t h o dh a st h e o p t i m a lr a t eo fc o n v e r g e n c ei nl n o r m ，h l n o r ma n dh 2 - n o r m f o ro n e - d i m e n s i o n a l s e c o n d - o r d e rs t e a d yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t ht h r e ek i n d so fb o u n d a r yc o n d i t i o n s a n di nl 2 - n o r mf o rt h ec o r r e s p o n d i n ge v o l u t i o ne q u a t i o nw i t ht h ed i r i c h l e tb o u n d a r y c o n d i t i o n f o rt h eg e n e r a l i z e db u r g e r se q u a t i o n ，al e g e n d r et a u - c h e b y s h e v c o l l o c a - t i o nm e t h o di sd e v e l o p e d f o rs p a t i a ld i s c r e t i z a t i o n ，w ea d o p ts o - c a l l e dc h e b y s h e v - l e g e n d r em e t h o d f o rt e m p o r a ld i s c r e t i z a t i o n ，t h el e a p f r o g c r a n k - n i c o l s o ns c h e m e i su s e d ，w h i c ht r e a t st h el i n e a rt e r m si m p l i c i t l ya n dt h en o n l i n e a rt e r m se x p l i c - i t l y o p t i m a lc o n v e r g e n ti nl 2 - n o r mc a na l s ob eo b t a i n e d f i n a l l y , s o m en u m e r i c a l e x a m p l e sa r eg i v e n n e x t ，t h el e g e n d r et a nm e t h o di sc o n s i d e r e dt ot h et w o - d i m e n s i o n a lc a s e t h eo p t i m a lc o n v e r g e n c er a t ei nh i - n o r mf o rt w o - - d i m e n s i o n a lp o i s s o ne q u a t i o ni s g o t t e n t h r o u g ht h ed u a l i t ym e t h o d ，t h eo p t i m a lc o n v e r g e n c er a t ei nl 2 - n o r mi s a l s oo b t a i n e d t h e n ，t h el e g e n d r et a um e t h o df o rt h ev o r t i c i t ye q u a t i o ni sd i s c u s s e d t h es t a b i l i t ya n dc o n v e r g e n c eo ft h es e m i d i s c r e t es c h e m ea r eg i v e n t h r o u g hc a r e f u la n a l y s i sa n dn u m e r i c a le x p e r i m e n t s ，i ti sn o t e dt h a tt h ec o n - v e r g e n c eo ft h et a um e t h o dd e p e n d so nt h es i n g u l a r i t yo fs o l u t i o n s i j j al e g e n d r ep e t r o v - - g a l e k i nm e t h o df o rf o u r t h - o r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n si s d e v e l o p e d t h ew a y t ot r e a tt e s tf u n c t i o n so ft h el e g e n d r ep e t r o v - g a l e k i nm e t h o d i ss i m i l a rt ot h a to ft h et a um e t h o d ，n a m e l y , t h a tt h et e s tf u n c t i o n so ft h el e g - e n d r ep e t r o v - g a l e k i nm e t h o dr e m o v et w ob o u n d a r yc o n d i t i o n s t h eo p t i m a lr a t e o fc o n v e r g e n c ei nl 2 - n o r mi sg o t t e n al e g e n d r ep e t r o v - g a l e r k i na n dc h e b y s h e v c o l l o c a t i o nm e t h o di sd e v e l o p e df o rt h en o n l i n e a rk u r a m o t o - s i v a s h i n s k ye q u a t i o n t h ew o r kg i v e st h eo p t i m a lr a t eo fc o n v e r g e n c ei nl 2 - n o r m t h en u m e r i c a le x p e r i - m e n t sa r eg i v e nw h i c hd e m o n s t r a t et h ee f f i c i e n to fp r o p o s e ds c h e m e s f i n a l l y , t h el e g e n d r et a um e t h o d st om u l t i d o m a i na n df i r s t - o r d e re v o l u t i o n e q u a t i o nw i t hv a r i a b l ec o e f f i c i e n t sa r ed i s c u s s e d t h ea p p r o p r i a t es c h e m e sa r ep r e - s e n t e d ，a n dt h ec o n v e r g e n tr e s u l t sa r ea l s og i v e n p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；l e g e n d r et a um e t h o d ；s t a b i l i t y ； o p t i m a lc o n v e r g e n c er a t e 1 v 摘要 a b s t r a c t 目录 第一章引言 1 1 背景 1 2 本文的主要工作 第二章预备知识 2 1 主要记号及常用不等式 2 2l e g e n d r e 多项式的一些性质 2 3 投影算子及其性质 2 3 1 一维问题中的逼近结果 2 3 2 二维问题中的逼近结果 第三章一维二阶微分方程的l e g e n d r et a u 方法 3 1 引言 3 2 线性方程 3 2 1d i r i c h l e t 边界条件 3 2 2r o b i n 边界条件 3 3 非线性方程 3 3 1l e g e n d r et a u - c h e b y r s h e v 配置格式 3 3 2 半离散格式的稳定性和收敛性分析 3 3 3 全离散格式的稳定性和收敛性分析 3 4 数值算例 第四章二维p o i s s o n 方程的l e g e n d r et a u 方法 4 1 引言 4 2l e g e n d r et a u 格式 ； m 1 1 5 7 7 9 加加 坞 埔m 坞船船 丝 凹 缸 2 穹 勰勰 4 3 收敛性分析3 9 4 4 数值算例4 1 第五章涡度方程的l e g e n d r et a u 方法 5 1 引言 5 2l e g e n d r et a u 格式 5 3 引理 5 4 半离散格式稳定性和收敛性分析 第六章一维二阶微分方程的l e g e n d r et a u 多区域方法 6 1 引言 6 2 格式和算法描述 6 3 收敛性分析 6 4 数值算例 第七章一维四阶微分方程的l e g e n d r ep e t r o v - g a l e r k i n 方法 7 1 引言 7 2 线性方程 7 2 1 第一类边界条件 7 2 2 第二类边界条件。 7 3 非线性方程 7 3 1l e g e n d r ep e t r o v - g a l e r k i n - c h e b y s h e v 配置格式 7 3 2 半离散格式的稳定性和收敛性分析 7 3 3 全离散格式的稳定性和收敛性分析 7 4 数值算例 第八章一阶变系数双曲方程的预处理l e g e n d r et a u 方法 8 1 引言 8 2 预处理l e g e n d r et a u 格式 8 3 全离散格式及其收敛性分析 8 4 数值算例 诣 蛎 钙 蚯 盯 砼 s ； 娩 弱 耵 的 的 的 的 舵 够 甜 斛 盯 孢 玎 丌 丌 鸺 舳 第九章结论与展望 8 2 9 1 结论8 2 9 2 展望8 3 参考文献 8 4 作者在攻读博士期间公开发表的文章 8 9 致谢 9 0 第一章引言 1 1 背景 谱方法与广为应用的有限元方法和有限差分方法已经成为数值求解偏微 分方程的三大基本方法谱方法，以其具有高精度的优点，被越来越广泛地应 用于数值求解各种微分方程，例如，分子动力学模拟，复杂流体计算，量子计算， 电磁场计算和数值天气预报等领域随着实际应用的推广，谱方法的数值分析 理论也越来越成熟谱方法早期的著作主要是“n u m e r i c a la n a l y s i so fs p e c t r a l m e t h o d s ：t h e o r ya n da p p l i c a t i o n s 【1 】，其作者g o t t l i e b 和o r s z a g 对谱方法作了 详细的介绍，建立了线性问题数值分析的一些基本理论，对谱方法在偏微分方 程数值计算中的应用也作了概括；c a n u t o 等在【2 】和【3 】这两本书中详细介绍了 谱方法在计算流体力学中的应用，并给出了理论分析方面的一些重要结论此 外，g u o 4 】和b o y d ( 5 j 也对谱方法的理论分析和数值分析分别作了介绍文献 【6 】中也详细介绍了谱方法的基本原理 在谱方法中，试探函数可以取整体无穷可微的函数，而根据检验函数的不 同取法，谱方法可以分为g a l e r k i n 方法，t a u 方法和配置方法下面，简单介绍一 下这三种方法考虑如下的线性问题： ll u = 在q 内， 1b u = 0 ，在a q 上， 其中，l ，b 是线性算子设h 和w 分别是试探函数空间和检验函数空间通 常，对任意的u ，b y = 0 n 是h 的维数 g a l e r k i n 方法：求u h ，使得 ( l u c y 一，口) = 0 ，v 口w n = h 配置法：求u n ，使得 l u n ( 吻) = f ( x j ) ，v1 j n ， 其中， q ) i 搀- 是区域q 上的配置点 1 2 0 1 0 上海大学博士学位论文 2 t a u 方法：求u n = 锄咖h ，使得 1 = 1 ( l t | 一，锄) = 0 ，1 z n p ， 其中，( 咖 是完全正交系，p 是边界条件的个数我们也可以把t a u 方法看作是 一种特殊的p e t r o v - g a l e r k i n 方法，即：求7 2 n ，使得 ( l u l v f ，口) = 0 ，v ， 其中，w n = s p a n j ：1 j n p ) t a u 方法作为谱方法的基本形式之一，在计算上具有方便之处我们知道， 谱方法是取整体无限光滑的函数作为基函数，但是要构造满足一般边界条件 的基函数是非常困难的这时就可以采用t a u 方法来解决这样的问题，即，不要 求检验函数满足边界条件这种方法在实际计算中经常被使用t a u 方法通常 可以用于具有复杂边界条件的问题( 如非线性边界条件) ，而t a u 方法的检验函 数比g a l e r k i n 方法更容易处理边界条件自1 9 3 8 年l a n c z o s 发展了谱t a u 方 法至今，t a u 方法在微分方程的数值求解上已经得到广泛的应用，如：s t o k e s 问 题 7 ，8 】，积微分方程【9 ，1 0 ，自由边界问题【1 1 】以及时空谱方法问题【1 2 】还有 一些作者对t a u 方法的其他方面进行了研充比如误差估计，特征值问题等等 【1 3 ，1 4 ，1 5 ，1 6 】 虽然，t a u 方法在计算上具有广泛的应用，但是，t a u 方法对某些微分方 程的误差估计有时却不令人满意，并且关于t a u 方法还有一些负面的评论 如：b e r n a r d i 和m a d a y 1 7 指出在相同自由度的情况下，t a u 方法与另两种方法 ( g a l e r k i n 方法和配置法) 相比，精度要低；在【3 】中，作者通过解一个一维二阶线 性微分方程的算例后指出，g a l e r k i n 方法的精度要比t a u 方法高出一个数量阶 同时，作者用l e g e n d r et a u 方法求解一维热传导方程的d i r i c h l e t 问题，并给出以 下结果：对任意的t 0 ，2 ，成立 i i u ( t ) 一p 剁( t ) l l l 。+ ff o ( 以一缸霉) ( s ) 嵫d s ) l 2 、，o 7 冬c - 一， 厂( i 仉( s ) i 备，一。+ i u ( s ) i 备，；n ) d s 1 2 ， 其中，p m 一2 ：l 2 ( - 1 ，1 ) _ p 一2 是正交投影算子，( p 一2 是次数小于等于一2 的多项式全体) ，且川聃：(壹i i a ! 耋牡i i 至。) 1 2 它在l 2 ( o ，t ；- ( 川范数 k = m i n ( r , n + 1 ) 2 0 1 0 上海大学博士学位论文 3 意义下是最优的然而，由于其中包含算子p 一2 ，所以很难直接得到理想的厶2 误差估计相似的观点在文献【1 8 ，19 】中也有提及 在二维的情况下，t a u 方法得到的误差估计也是不理想的在【2 0 】中，作者 用l e g e n d r et a u 方法求解二维p o i s s o n 方程的d i r i c h l e t 问题，得到估计为 i i v u f i 村1 ( n ) c i 一7 i l u l l r ( n ) ， 其中解属于日7 空间，r g 对于二维s t o k e s 问题，t a u 方法也仅仅有次优的误 差估计【7 ，8 】 尽管t a u 方法对解偶数阶方程的误差估计有时是不令人满意的，但是t a u 方 法，或者更一般的p e t r o v - g a l e r k i n 方法，对求解奇数阶微分方程是十分有效m a 和s u n 在【2 1 ，2 2 】中分别给出了l e g e n d r ep e t r o v - g a l e r k i n 方法求解线性三阶方 程和k d v 方程的误差估计，得到l 2 范数下的误差阶为o ( n 吖) 然而，g a l e r k i n 方法对求解此类问题得到的l 2 估计为o ( n 1 - ) ；配置方法得到的l 2 估计也仅 仅是o ( n 2 叶) t a n g 和m a 在【1 2 】中以线性抛物型微分方程为模型，对周期边 界条件的情形建立了时间上l e g e n d r et a u 方法和空间上f o u r i e r 方法相结合的 格式，并得到l 2 范数下的最优误差估计他们得到的数值实验结果比z h a n g 2 3 】 在时间上用拟谱方法得到的结果在精度上有很大改进( 表1 1 1 ) 此外，s h e n 2 4 】 表1 1 1 时间上采用谱方法的最大模误差 n p s e u d o s p e c t r a lm e t h o d 2 3 】 t a um e t h o d 【1 2 】 99 1 5 争0 8 1 0 7 e - 1 2 1 84 7 1 争0 91 0 9 争1 5 对三阶微分方程及更高奇数阶方程提出对偶p e t r o v - g a l e r k i n 方法，得到了很好 的理论和数值结果s h e n ，w a n g 2 5 】和y u a n 等 2 6 】分别对双曲型方程和五阶微 分方程提出了对偶p e t r o v - g a l e r k i n 方法，也给出了理想的理论和数值结果 综上所述，t a u 方法，或者是更一般的p e t r o v - g a l e r k i n 方法对于奇数阶微分 方程可以得到很好的结果然而，t a u 方法对于某些偶数阶微分方程的误差估 计还是存在不理想的结果，并且对此还有一些负面的评论因此，这促使我们来 进一步研究t a u 方法的一些收敛性质 2 0 1 0 上海大学博士学位论文 4 为了更好地研究t a u 方法的收敛性质，首先考虑如下的数值算例在【3 】 中，作者分别用g a l e r k i n 方法和t a u 方法求解以下的一维二阶线性微分方程 d i r i c h l e t 问题 一磋f l + 入t | = ，( z ) ，z ( - 1 ，1 ) 其中，取精确解u ( x ) = s i n ( 4 r x ) ，并分别取a = 0 和入= 1 0 5 他们分别用l e g e n d r e t a u ( l t ) 方法和l e g e n d r eg a l e r k i n ( l g ) 方法计算其最大模误差，如图1 1 1 所 示所得到的结论是：g a l e r k i n 方法比t a u 方法在精度上高出一数量阶( 图1 1 1 是在l e g e n d r e - g a u s s - l o b a t t o ( l g l ) 点上的最大模误差) 本文现在也用l t 方 鼍! l ： 萝 k l 1 0 i 图i i 1a = o ( 左) 和a = 1 0 5 ( 右) 在l g l 点上的最大模误差 图i i 2a = o ( 左) 和a = i 0 5 ( 右) 在均匀点上的最大模误差 法和l g 方法计算这个数值算例，并考虑其在均匀点上的最大模误差，结果如 2 0 1 0 上海大学博士学位论文 5 图1 1 2 所示 从图中可以看出，尽管在l g l 点上l g 方法要比l t 方法更精确( 这符合 【3 】中所叙述的) ，但在均匀点上这两者的精度几乎是相同的这应该可以说t a u 方法对于某些问题具有与g a l e r k i n 方法相似的收敛性质 本文的主要目的是更深入地研究t a u 方法的收敛性质在收敛性的证明中， 参考【2 1 ，2 2 】中的方法，并将其思想运用到偶数阶微分方程，期望得到较理想 的理论和数值结果证明的关键是对于一维情况，我们提出了一个( 1 一z 2 ) 的 因子，用强于标准的铲范数来作估计同样对二维情况，也是通过提出了一个 ( 1 一i ) ( 1 一z ；) 的因子来处理 1 2 本文的主要工作 t a u 方法在微分方程的数值求解上已经得到广泛的应用而且，t a u 方法 对于某些问题的理论分析也有比较好的结果比如，t a u 方法，或者更一般的 p e t r o v - g a l e r k i n 方法，对求解奇数阶微分方程是十分有效，并且得到了比较好 的结果 2 1 ，2 2 ，2 4 ，2 5 】然而，t a u 方法对于某些偶数阶微分方程的误差估计还 是存在不理想的结果另外，对此问题也有一些负面的评论【1 7 ，3 1 因此，这促 使我们来进一步研究t a u 方法的一些收敛性质通过本文的一些研究可以得出， t a u 方法或者p e t r o v - g a l e r k i n 方法对于某些问题具有与g a l e r k i n 方法相似的收 敛性质 本文的主要工作之一是证明了l e g e n d r et a u 方法对求解一般边界条件下 一维二阶线性稳态微分方程可以得到l 2 ，日1 和h 2 范数意义下的最优误差估 计对于一维二阶发展方程也可以得到驴范数下的最优误差估计，改进了此 类问题原有的理论分析结果对于非线性b u r g e r s 方程，我们提出了l e g e n d r e t a u - c h e b y s h e v 配置方法，即，总体上采用l e g e n d r et a u 方法，但对非线性项用 c h e b y s h e v 配置方法来逼近；在时间离散上，采用l e a p f r o g c r a n k - n i c o l s o n 格式， 即，对线性项用隐式处理，而对非线性项用显式处理，这样能使计算更方便我 们得到了铲范数下的最优误差估计，数值算例也符合理论分析的结果 然后，研究二维问题的l e g e n d r et a u 方法首先改进了p o i s s o n 方程l e g e n d r e t a u 方法的日1 误差估计，证明了l e g e n d r et a u 方法可以得到日1 范数意义下的 2 0 1 0 上海大学博士学位论文 6 最优误差估计然后通过对偶技巧，得到l 2 范数下的最优误差估计接着，讨论 了涡度方程的l e g e n d r et a u 方法，给出了半离散格式的稳定性和收敛性分析 通过理论分析和数值试验可以看出，t a u 方法的收敛性态与解的奇性有关 当解在边界上有奇性时，所得到的结果还是不很理想 本文还讨论了一维二阶线性微分方程的l e g e n d r et a u 多区域方法，给出了 并行计算格式，并且得到了日1 误差估计 对于四阶微分方程，本文提出了l e g e n d r ep e t r o v - g a l e r k i n 方法，这种方法 在处理检验函数时采用了类似于t a u 方法的做法，即，检验函数放弃了两个边 界条件，并且也得到了l 2 范数和h 1 范数意义下的最优误差估计，数值例子也 表明算法是有效的对于非线性四阶方程，如k u r a m o t o - s i v a s h i n s k y 方程，本文 提出了l e g e n d r ep e t r o v - g a l e r k i nc h e b y s h e v 配置方法，其中，对非线性项的处理 方法类似于l e g e n d r et a u c h e b y s h e v 配置方法，同样得到了l 2 范数意义下的最 优误差估计本文计算了k u r a m o t o - s i v a s h i n s k y 方程，得到满意的数值结果 最后，本文讨论了一阶变系数方程的预处理l e g e n d r et a u 方法，构建出算法 格式，对变系