（运筹学与控制论专业论文）关于组型为35的3rgdd的完全分类.pdf

果。 学位论文独创性声明 本人郑重声明： 1 、坚持以“求实、创新”的科学精神从事研究工作。 矿6 4 2499 t 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的。 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构已 经发表或撰写过的研究成果。 5 、其他同志对本研究所做的贡献均己在论文中作了声明并表示了 谢意。 作者签名： i 监4 坠塞 日期： i 鲤叠虫 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校 有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版 和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进 入学校图书馆被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检 索；有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密 后适用本规定。 作者签名： 日 期： i 雌墓 摘要 一个组型为3 5 的可分组设计( 简记为型为3 5 的3 - g d d ) 是一个三元组( x ，口，8 ) ， 这里x 是一个由1 5 个点构成的集合，口是x 的一个期分( 称为组集) 且每个组的 大小为3 ，而b 是x 的三元子集( 又称区组) 簇，使得不同组的任意点对恰好在口 中出现一次，同一组中的点对在b 中不出现若它的全部区组8 能划分成若干个 平行类，则称这个可分组设计g d d 是可分解的，记做r g d d 在充分分析和运用组型为3 5 的3 一r g d d 与r s t s ( 1 5 ) 的特殊关系，并且结 合对区组簇具体分布的分析基础上，本文讨论了组型为3 5 的3 一r g d d 的完全分 类，共得到了7 个不同构的类 关键词。s t e i n e r 三元系i 可分解s t e i n e r 三元系；同构类；可分组设计；可分解可 分组设计 a b s t r a c t 2 a g r o u pd i v i s i b l ed e s i g n ( o rg d d ) i s at r i p l e ( x ，g ，8 ) ，w h e r ex i saf i n i t es e t ( o fp o i n t s ) ，gi sap a r t i t i o no fxi n t os u b s e t s ( c a l l e d g r o u p s ) a n dbi s as e to fs u b s e t so fx ( c a l l e db l o c k s ) s u c ht h a tn o b l o c kc o n t a i n st w od i s t i n c tp o i n t so f a n yg r o u p ，b u ta n yo t h e rp a i r s e t o fxo c c u r si ne x a c t l yo n eb l o c ko f 召h e r ei fx = z 1 5a n dt h eg r o u p s i z ea n dt h eb l o c ks i z ea r eb o t h3t h e nw ed e n o t ei ta s3 一g d do f t y p e3 5 i fb c a nb ep a r t i t i o n e di n t os e v e r a lp a r a l l e l s ，w ej u s tc a l li t 3 一r g d do ft y p e3 5 b y c a r e f u la n a l y s i sa n da p p l i c a t i o no ft h es p e c i a lr e l a t i o n s h i pb e - t w e e n3 一r g d do ft y p e3 5a n dr s t s ( 1 5 ) ，t o g e t h e rw i t ht h ec o n s i d e r a t i o no ft h eb l o c k s ，7n o n - i s o m o r p h i cc l a s s e so f3 一r g d do f t y p e3 5a r ef o u n d a n dl i s t e d k e y w o r d s ：s t s ，r s t s ，g d d ，r g d d ，i s o m o r p h i c c l a s s e s 前言 3 组合设计是离散数学的一个重要分支，是一门研究将事物按特定要求进行安排 配置并讨论其性质的学问组合设计理论是一个既有古老历史渊源而又相当年轻的 数学分支它的历史可以追溯很久远，4 0 0 0 年以前我国就有关于“河图洛书”的 美丽传说，其中“洛书”就是一个简单的组合设计一一3 阶幻方历史上许多著名 的有关组合设计的难题，如e u l e r 的3 6 军官问题和k i r k m a n 女生问题等，以其特 有的应用价值和趣味性吸引了大量的数学爱好者 其中k i r k m a n 女生问题一一k i r k n m n 三元系的存在性问题从提出到完全解决， 历时1 0 0 多年在1 8 5 0 年，德国一教师k i r k m a n 提出如下一个问题一位教师每 天带领他班上的1 5 名女学生出去散步，他把这些女生每三人一组分成五组，这样 每个女生就有两名同伴能否作出一个连续七天的计划，使得任意两名女生都正好 有一次被安排在同一组? 这个问题的解是由1 5 名女生组成的( 无序) 三人组中找 到3 5 组，使得每一对女生同在一个且仅在一个三人组中此外。我们可以把3 5 个 三人组分成7 批，每批有5 个三人组( 一批对应7 天中的一天) ，而且每名女生恰 好在每一批的一个三人组中我们知道k i r k m a n 女生问题存在解的前提是；1 5 名 女生构成的集合一定存在3 5 个三人组，使得每一对女生同在一个且仅在一个三人 组中 后人在研究k i r k m a n 女生问题的同时，逐步把它转化为数学问题，从而用数学 语言定义如下 定义l ；设v 是正整数，我们称( x ，8 ) 为s t e i n e r 三元系，记为s t s ( v ) ，其中x 是 ”个元素的集合，b 是x 的一个子集簇( 其中的成员b 称为区组) ，满足以下两 个条件t ( 1 ) 如果b 层，则j b i = 3 ( 2 ) x 中任意两个不同元素恰在目的一个区组中出现 我们记b = 旧，由定义显然有b = 业2 在k i r k m a n 问题中 = 1 5 ，b = 3 5 。 例1t 下面考虑口= 7 的s t e i n e r 三元系 不妨设x = 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ) ，有b = 7 ，则 召： ( 1 ，7 ，4 ) ，( 2 ，7 ，5 ) ，( 3 ，7 ，6 ) ( 1 ，2 ，3 ) ，( 3 ，4 ，5 ) ，( 1 ，6 ，5 ) ，( 2 ，4 ，6 ) 4 不难验证( x ，8 ) 为一个7 阶s t e i n e r 三元系 8 ： ( 2 ，3 ，5 ) ，( 4 ，5 ，7 ) ，( 1 ，5 ，6 ) ( 1 ，3 ，4 ) ，( 1 ，2 ，7 ) ，( 3 ，6 ，7 ) ，( 2 ，4 ，6 ) 不难验证( x ，8 ) 也为一个7 阶s t e i n e r 三元系 则可看出一个7 阶s t e i n e r 三元系不唯一，进而可得； 引理1 ；若( x ，8 ) 为一个n 阶s t e i n e r 三元系，则嚣可以有多值或只有唯一单值 定义2 ，设( x ，8 1 ) 和( x ，岛) 是两个1 5 阶的s t e i n e r 三元系若存在一个x 到x 的双射n 使得t 对于b l 中的任意区组日有a ( b ) 鲍，则称这两个s t e i n e r 三元系 同构 定理1 ；s t 3 ( 5 ) 共有8 0 个不同构的类( 见文【1 】) 定义3t 设”， 为正整数，k ，m 为一些正整数集合，我们称( x ，口，8 ) 为可分组设 计，记为g d ( k ，a ，m ；”) ，其中x 是”个点的集合，g 是x 的一个划分。即把x 划分成n 个不相交的子集g 。“= 1 ，2 ，n ) ( g 也称为组) ，8 是x 的一个子集 簇( 其成员b 称为区组) ，且满足下列5 个条件t ( 1 ) l x l = v ； ( 2 ) ( i a i ：g g ca 4 ； ( 3 ) 1 日l ：b 8 c ； ( 4 ) 对每个g g 和每个be b ，都有i g n b l l ； ( 5 ) 不同组中的任意两个元素恰在b 的 个区组中出现； 特别的，如果g 中出现大小为n l 的组有k 1 个，大小为n 2 的组有如个， 大小为n 。的组有k 。个，这时我们称组型为n l k ，n 2 b ，n 。女m 的g d d 如果 k = 埘， = 1 ，我们将g d ( k ， ，m ； ) 简记为k g d d 本文中主要讨论的就是岔包含5 个大小为3 的组 定义4 设x 是某个设计的点集，且是这个设计的区组簇，岛是8 中几个区组的 集合若x 中每一点在岛中恰好出现一次，则称岛为这个设计的一个平行类 若( x ，日) 是一个s t s ( 1 5 ) ，假如它的的3 5 个区组能划分成7 个平行类，则这个 ( x ，8 ) 是一个r 。q t s ( 1 5 ) 其区组簇8 就可以作为前文中提到的k i r k m a n 女生问题 的一个解，所以其实k i r k m a n 女生问题在组合设计中就是一个可分解的s t e i n e r 三 元系，其中每天的散步计划就是一个平行类假如我们现在固定第一天的计划，制 定余下六天的计划，一共会有多少种本质上不同的情况呢? 这个问题转化成设计 5 语言就是选取x 的一个平行类口作为组。然后讨论在这个组下3 - r g d d 的种类 因为组型为3 5 的3 一r g d d 与r s t s ( 1 5 ) 有特殊关系，因此本文从r s t s ( i 5 ) 出 发来解决问题 第一章基本定义，引理 本章分两节引入本文所要求的一些基本定义，引理 1 1 基本定义 6 定义1 1 设x 是某个设计的点集，b 是这个设计的区组簇，岛是b 中几个区 组的集合若x 中每一点在岛中恰好出现一次，则称岛为这个设计的一个平行 类 定义1 2 一个阶为n 的s t e i n e r 三元系就是二元组( x ，且) ，记做s t s ( n ) ，其中x 是一 个n 元点集，而b 是x 的三元子集( 又称区组) 簇，并且满足x 的每一个不同点 对恰好出现在口的一个区组中 定义1 3 若( x ，8 ) 是n 阶的s t e i n e r 三元系若它的全部区组8 能划分成( n 一1 ) 2 个平行类，则称为可分解s t e i n e r 三元系，记做r s t s ( n ) 定义1 4 一个组型为3 5 可分组设计( 简记为型为3 5 的3 一g d d ) 是一个三元组 ( x ，g ，8 ) ，这里x 是一个由1 5 个点构成的集合，口是x 的一个划分( 称为组集) 且 每个组的大小为3 ，而b 是x 的三元子集( 又称区组) 簇，使得不同组的任意点对 恰好在8 中出现一次，同一组中的点对在1 3 不出现 定义1 5 设( x ，9 ，b ) 是一个3 5 的3 一g d d 若它的全部区组1 3 能划分成若干个平 行类，则称这个可分组设计g d d 是可分解的，记做r g d d 定义1 6 设( x ，8 1 ) 和( x ，岛) 是两个1 5 阶的s t e i n e r 三元系若存在一个x 到x 的双射a 使得；对于3 1 中的任意区组b 有a ( _ 日) 玩，则称这两个s t e i n e r 三元系 同构 定义1 7 设，9 1 ，8 1 ) 和( x ，舀2 ，岛) 是两个型为3 5 的3 一r g d d ，若存在一个x 到 x 的双射口使得t ( 1 ) 对于9 l 中的任意组g 有口( g ) 吼 ( 2 ) 对于b 1 的任意区组b 有a ( b ) b 2 ； 则称这两个r g d d 同构 1 2 基本引理 7 引理1 1 若( x ，岔，8 ) 是一个组型为3 5 的3 - r g d d ，那么( x ，g u b ) 是一个r s t s ( 1 5 ) 证明：由组型为3 5 的3 一r g d d 和r s t s ( 1 5 ) 的定义可直接得到 引理1 2 设( x ，8 ) 是个r s t s ( 1 5 ) ，若他是x 的平行类且b = u , l 17 1 , ( i = l ，2 。7 ) ； 那么( x ，? - ，b n i ) 是型为3 5 的3 一r g d d 证明：由平行类和组型为3 5 的3 一r g d d 的定义得到 引理1 3 设( x ，b 1 ) 和僻，8 2 ) 是两个r s t s ( 1 5 ) ，若是x 的平行类且8 1 = u l l w f ( = 1 ，2 7 ) ；畅是x 的平行类且b 2 = u ；：l 吻( j = 1 ，2 ，7 ) ；则( x ，8 1 ) 和 ( x ，魄) 同构当且仅当存在某对t 和j 使得( x ，8 1 ) 与( x ，砀，岛杨) 同构 证明：由引理1 2 ，僻，他，口1 他) 和( x ，杨，岛杨) 是两个组型为3 5 的3 一r g d d 必要性t 若( x ，b 1 ) 和( x ，鲍) 同构，由同构的定义可知t 存在x 到x 的双射n 使 得对于8 1 的任意区组b 有口( b ) 岛；故对于任意的t ( i 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ) 存在某 个j 有a c 毗) = b 并且对于8 l 他的任意区组日有a ( b ) 既砀；由r g d d 同 构的定义知( x ，他，8 1 ) 与( x ，b ，岛杨) 同构 充分性：若( x ，8 1 w 。) 与( x ，而，玩畅) 同构，则由引理1 1 ，r g d d 同构， r s t s 同构的定义可知( x ，日1 ) 和( x ，玩) 同构 引理1 4 假设( x ，9 1 ，8 1 ) 是一个组型3 5 的3 一g d d ，( x ，吼，b 2 ) 是一个3 5 的3 一 r g d d ，若( x ，蛋l ，8 1 ) 与( x ，吼，岛) 同构，则( x ，9 l ，口1 ) 也是3 一r g d d 。 证明。反证法即得 引理1 5 假设僻，0 1 ，8 1 ) ，( x ，口2 ，b 2 ) ，博，岔3 ，魄) 均是组型为3 5 的3 一r g d d ，并且 ( x ，g l ，既) 与( x ，岔2 ，鲍) ，( x ，毋3 ，玩) 都同构，则( x ，吼，岛) 与( x ，吼，魄) 同构 证明t 因为( x ，吼，b 1 ) 与( x ，吼，b 2 ) ，( x ，吼，玩) 同构，所以我们可设双射0 2 是 ( x ，仍，岛) 到( x ，9 1 ，舀1 ) 的同构映射，双射e 1 3 是( x ，吼，岛) 到( x ，口l ，8 1 ) 的同构 映射，则双射a = n i l ( n 3 ) 是( x ，吼，瑰) 到( x ，吼，鲍) 的同构映射，故( x ，吼，岛) 与 ( x ，9 3 ，岛) 同构 根据引理1 3 ，我们要做组型为3 5 的3 一r g d d 的完全分类只蒋要对不同构的 r s t s ( t 5 ) 进行分析，由参考文章【11 我们知道共有8 0 个不同构的s t s ( 1 5 ) ，再根 据r s t s ( 1 5 ) 的定义。我们找到以下4 个不同构的r s t s ( 1 5 ) ：( x ，a ) ，i = 1 ，2 ，3 ，4 ( 分 别对应于附录中的第1 ，7 ，1 9 ，6 1 ) 4 1 = o ，1 ，2 ) “o ，3 ，4 ， o ，5 ，6 ) ， o ，7 ，8 ) ， o ，9 ，l o ， o ，1 1 ，1 2 ， o ，1 3 ，1 4 l ，3 ，5 ) ， 1 ，4 ，6 ， l ，7 ，9 ) ， 1 ，8 ，l o ，( 1 ，1 1 ，1 3 ， 1 ，1 2 ，1 4 ， 2 ，3 ，6 2 1 4 ，5 ) “2 ，7 ，l o ， 2 1 8 ，9 2 ，1 1 ，1 4 ) “2 ，1 2 ，1 3 ， 3 ，7 ，1 1 ) 3 ，8 ，1 2 ) 3 ，9 ，l a ， 3 ，1 0 ，1 4 ) ， 4 ，7 ，1 2 ) 4 ，8 ，1 1 ) ， 4 ，9 ，1 4 ，( 4 ，1 0 ，l a ， 5 ，7 ，1 3 ) 5 ，8 ，t 4 ， 5 ，9 ，i x ， 5 ，1 0 ，x 2 ， 6 ，7 ，1 4 ， 6 ，8 ，l a ， 6 ，9 ，t 2 ， 6 ，1 0 ，1 1 ) ) 2 = o ，1 ，2 o ，3 ，4 ) ， o ，5 ，6 ) o ，7 ，8 ， o ，9 ，l o ， o ，1 1 ，1 2 “o ，1 3 ，1 4 1 ，3 ，5 ) ， l ，4 ，6 ) ， 1 ，7 ，9 ) ， l ，8 ，l o ， 1 ，1 1 ，1 3 ， 1 ，1 2 ，1 4 ) ， 2 ，3 ，6 ) ( 2 ，4 ，5 ) ， 2 ，7 ，l o ， 2 ，8 ，9 ) ，( 2 ，1 1 ，1 4 ， 2 ，1 2 ，1 3 ， 3 ，7 ，x l ， 3 ，8 ，1 3 ) 3 ，9 ，1 4 ) ， 3 ，1 0 ，1 2 ， 4 ，7 ，1 4 ， 4 ，8 ，1 2 ， 4 ，9 ，1 1 ， 4 ，1 0 ，1 3 ， 5 ，7 ，1 2 5 ，8 ，1 4 ， 5 ，9 ，1 3 ， 5 ，1 0 ，1 1 ) 6 ，7 ，1 3 ， 6 ，8 ，a m ， 6 ，9 ，1 2 ， 6 ，1 0 ，1 4 ) 山= “0 ，l ，2 ， 0 ，3 ，4 ) ， o ，5 ，6 ) ， o ，7 ，8 ， o ，9 ，x o ， o ，1 1 ，1 2 ， o ，1 3 ，1 4 ) 1 ，3 ，5 ) ， l ，4 ，6 ) ， 1 ，7 ，9 ， l ，8 ，l o ， l ，1 1 ，1 3 ) ， l ，1 2 ，1 4 ， 2 ，3 ，6 ) 2 ，4 ，5 ) 1 2 ，7 ，1 1 ) 2 ，8 ，l a ， 2 ，9 ，1 2 ， 2 ，1 0 ，1 4 ) ， 3 ，7 ，1 4 ， 3 ，8 ，i t 3 ，9 ，1 3 ， 3 ，1 0 ，1 2 ， 4 ，7 ，1 2 ， 4 ，8 ，9 ) ， 4 ，1 0 ，1 3 ) ， 4 ，1 1 ，1 4 ， 5 ，7 ，l o 5 ，8 ，1 4 ， 5 ，9 ，1 1 ， 5 ，1 2 ，1 3 ) 6 ，7 ，1 3 ) ， 6 ，8 ，1 2 ， 6 ，9 ，1 4 ， 6 ，1 0 ，1 1 ) 4 4 = 0 ，1 ，2 ， 0 ，3 ，4 ) ， 0 ，5 ，6 ) ， 0 ，7 ，8 ， 0 ，9 ，l o ， 0 ，1 1 ，1 2 ) ， 0 ，1 3 ，1 4 ) l ，3 ，5 ) ， 1 4 ，6 ) ， l ，7 ，9 ) ， l ，8 ，am ， 1 ，1 0 ，1 3 ) ， 1 ，1 2 ，1 4 ) 1 2 ，3 ，6 ) 2 ，4 ，5 ) “2 ，7 ，l o ， 2 ，8 ，1 4 ) ， 2 ，1 1 ，1 3 ) ， 2 ，9 ，1 2 ) ， 3 ，7 ，1 1 ， 3 ，8 ，x o 3 ，9 ，1 4 ， 3 ，1 2 ，1 3 _ 4 ，7 ，1 4 ， 4 ，8 ，1 2 ， 4 ，9 ，x 3 ， 4 ，1 0 ，1 1 ， 5 ，7 ，1 3 5 ，8 ，9 ) 1 5 ，1 0 ，1 2 ， 5 ，1 1 ，1 4 “6 ，7 ，1 2 ， 6 ，8 ，1 3 ， 6 ，9 ，1 1 ， 6 ，1 0 ，1 4 ) 8 在本文中，我们总是设x = o ，1 ，2 1 4 ，且任一x 到x 的双射卢即置换，采 用循环积来表示。例如t 声= ( 71 1 ) ( 81 2 ) 0 23 4 ) 即表示 卢( 0 ) = 0 ，卢( 1 ) = 2 ，卢( 2 ) = 3 ，卢( 3 ) = 4 ，声( 4 ) = 1 ， 卢( 5 ) = 5 ，卢( 6 ) = 6 ，卢( 7 ) = 1 1 ，卢( 8 ) = 1 2 ，卢( 9 ) = 9 ， 卢( 1 0 ) = 1 0 ，卢( 1 1 ) = 7 ，p ( 1 2 ) = 8 ，卢( 1 3 ) = 1 3 ，卢( 1 4 ) = 1 4 在下面的讨论中，我们将分四章对前文中的4 个r s t s ( 1 5 ) 进行初步分析 第二章a l 产生的r g d d 设a l = b f ，1 i 3 5 ) ，这里z b 1 = ( o ，1 ，2 ) ，日2 = o ，3 ，4 ) ，b 3 = o ，5 ，6 ) ，b 4 = o ，7 ，8 ) ，b 5 = o ，9 ，l o ， b 6 = o ，1 1 ，1 2 ，研= o ，1 3 ，1 4 ，b 8 = 1 ，3 ，5 ，b 9 = l ，4 ，6 ，b l o = l ，7 ，9 ) ， b l x = 1 ，8 ，x o ，b 1 2 = 1 ，1 1 ，1 3 ，b 1 3 = 1 ，1 2 ，1 4 ，b 1 4 = 2 ，3 ，6 ，b x 5 = 2 ，4 ，5 ， b 1 6 = 2 ，7 ，l o ，b 1 7 = 2 ，8 ，9 ) ，b t 8 = 2 ，1 1 ，1 4 ) ，b 1 9 = 2 ，1 2 ，1 3 ，b 2 0 = 3 ，7 ，1 1 ， b 2 1 = 3 ，8 ，1 2 ，b 2 2 = 3 ，9 ，t 3 ，b 2 3 = 3 ，1 0 ，1 4 ，b 2 4 = 4 ，7 ，1 2 ，b 2 5 = 4 ，8 ，1 1 ， b 2 6 = 4 ，9 ，1 4 ) ，b 2 7 = ( 4 ，1 0 ，1 3 ) ，b 2 s = 5 ，7 ，1 3 ，b 2 9 = 5 ，8 ，1 4 ，玩o = 5 ，9 ，1 1 ) ， b 3 1 = 5 ，1 0 ，a 2 ，b 3 2 = 6 ，7 ，1 4 ) ，b 3 3 = 6 ，8 ，1 3 ) ，b 3 4 = 6 ，9 ，1 2 ，b 3 5 = 6 ，1 0 ，1 1 首先，找出一4 l 的所有平行类，我们一共找到5 6 个平行类p 1 i ，( i = l ，2 ，5 6 ) 如下； p 1 1 ：b x ，b 2 0 ，z k 6 ，b 3 1 ，z b 3 ，p 1 2 ：b x ，b 2 0 ，b 2 r ，b 2 9 ，日， p l ，3 ：b t ，b 2 t ，b 2 6 ，b 2 8 ，b 3 5 ，p 1 ，4 ：b t ，b 2 x ，b 2 r ，b 3 0 ，b 3 2 ， _ p 1 5 ：b 1 ，b 2 2 ，b 2 4 ，b 2 9 ，b 3 5 ，p 1 ，6 ：b 1 ，b 2 2 ，b 2 5 ，b 3 1 ，b 3 2 ， p l ，7 ：b 1 ，b 2 3 ，b 2 4 ，b 3 0 ，b 3 3 ，p 1 ，8 ：b 1 ，b 2 3 ，b 2 5 ，玩8 ，b 3 4 ， p 1 9 ：b 2 ，b t o tb t s ，b 3 1 ，玩3 ，p 1 1 0 ：b 2 ，b t o ，b 1 9 ，b 2 9 ，骨3 5 ， n 。1 1 ：岛，b l l ，b x 8 ，如，b 3 4 ，p 1 ，1 2 ：b 2 ，b x l ，b 1 9 ，b 3 0 ，b 3 2 ， a ，1 3 ：b 2 ，b a 2 1b 1 6 ，b 2 9 ，b 3 4 ，p 1 ，1 4 ：b 2 ，b 1 2 ，日1 7 ，b 3 1 ，b 3 2 ， r 。1 5 ：b 2 ，b 1 3 ，b 1 6 ，b z o ，b 3 3 ，p 1 ，1 6 ：b 2 ，b 1 3 ，b 1 7 ，b 2 s ，b a 5 ， r ，1 7 ：b z ，b t o ，b t s ，b 2 l ，b 2 r ，r ，1 8 ：b 3 ，b l o ，日1 0 ，b 2 3 ，b 2 s ， 乃1 9 ：b 3 ，b n ，b 1 8 ，日2 2 ，b 2 4 ，r 2 0 ：b 3 ，b l x ，b 1 9 ，b 2 0 ，口2 6 ， r ，2 1 ：b 3 ，b 1 2 ，b t 6 ，毋1 ，b 2 6 ，r ，2 2 ：b 3 ，b 1 2 ，口1 7 ，b 2 3 ，玩4 ， p l ，2 3 ：b 3 ，b 1 3 ，b 1 6 ，b 2 2 ，b 2 5 ，r 2 4 ：b 3 ，b t 3 ，b 1 7 ，b 2 0 ，b 2 7 ， r ，2 5 ：b 4 ，b 8 ，b 1 8 ，岛7 ，岛4 ，p 1 。2 6 ：b 4 ，b 8 ，b 1 9 ，b 2 6 ，曰3 5 ， p 1 2 7 ：b 4 ，b 9 ，b x 8 ，日2 2 ，玩l ，r ，2 8 ：b 4 ，b 9 ，b 1 9 ，岛3 ，b 3 0 ， p 1 2 9 ：b 4 ，b 1 2 ，b 1 4 ，b 2 6 ，口3 1 ，r ，3 0 ：b 4 ，口1 2 ，b 1 5 ，b 2 a ，b 3 4 ， p 1 3 1 ：b 4 ，口1 3 ，b x 4 ，玩7 ，b 3 0 ，p 1 3 2 ：b 4 ，b x a ，b 1 5 ，b 2 2 ，b 3 5 ， p 1 ，3 3 ：口5 ，b 8 ，b 1 8 ，b 2 4 ，b 3 3 ，p 1 ，3 4 ：b 5 ，b 8 ，b x 9 ，b 2 5 ，b 3 2 ， p 1 3 5 ：b 5 ，b 9 ，b t 8 ，玩1 ，b 2 s ，p 1 ，3 6 ：b s ，b 9 ，b 1 0 ，b 2 0 ，岛9 ， p l ，3 7 ：b 5 ，b 1 2 ，b 1 4 ，b 2 4 ，玩9 ，r 3 8 ：风，b 1 2 ，b 1 5 ，b 2 1 ，b 3 2 ， p 1 3 9 p 1 4 1 r 。4 , 3 r 4 5 r 4 7 p 1 4 9 p 1 5 1 p 1 5 3 r 5 5 b 5 ，b x 3 ，b 1 4 ，b 2 5 ，b 2 s ， 1 3 6 ，日8 ，b 1 6 ，b 2 6 ，凰3 ， b 6 ，f 9 ，b 1 6 ，日2 2 ，f 2 9 ， b 6 ，b l o ，b x 4 ，b 2 7 ，岛9 ， 风，b n ，b 1 4 ，b 2 6 ，f k ， b 7 ，b 8 ，b 1 6 ，b 2 5 ，b 3 4 ， b r ，f b ，b 1 6 ，b 2 1 ，z b o ， b r ，b l o ，b t 4 ，b 2 5 ，b 3 1 ， b 7 ，b l l ，b 1 4 ，b 2 4 ，b 3 0 ， p 1 ，4 0 ：口5 ，b 1 3 ，b 1 5 ，b 2 0 ，b 3 3 p 1 4 2 ：b 6 ，风，b 1 7 ，b 2 7 ，岛2 ， p x 4 4 ：口6 ，b 9 ，b 1 7 ，b 2 3 ，b 2 s ， n 4 6 ：风，b l o ，b x s ，b 2 3 ，b 3 3 a 4 8 ：且6 ，b 1 1 ，b 1 b ，b 2 2 ，b 3 2 p 1 5 0 ：b 7 ，b 8 ，b t 7 ，b 2 4 ，3 3 5 ， p 1 5 2 ：口7 ，b 9 ，b t 7 ，3 2 0 ，玩l ， p 1 5 4 ：b 7 ，b l o ，b x 5 ，b 2 1 ，b 3 5 p 1 5 6 ：口7 ，b l l ，b x 5 ，_ b 2 0 ，b a 4 经检验，每个4 l r j 都可以划分成6 个平行类，因此由4 l 可产生5 6 个组型 为3 5 的3 一r g d d ：( x ，p i ，4 l 7 1 ，1 ) ( i = 1 ，2 5 6 ) 最后，我们可以找到从( x ，r j ， l p 1 ，) 到( x ，p 1 ，l ，4 l 研1 ) ( 记为g ) 的双射 屁1 ( i = 2 = ( 7 = ( 7 = f 7 = f 7 = ( 7 = f 7 = ( 7 = ( 1 = ( 1 = ( 1 = ( 1 = ( 1 = ( 1 = f 1 = f l = f l = ( 1 = f l 3 5 6 ) ，可以证明 1 1 ) ( 8 1 2 ) ( 9a 3 ) ( 1 2 ) ( 8 1 1 ) ( 91 4 ) ( 8 ) ( 91 0 ) ( 1 11 2 ) ( 9 ) ( 81 0 ) ( 1 x1 3 ) ( 1 3 ) ( 8 x 4 ) ( 91 1 ) ( 1 4 ) ( 8 1 3 ) ( 91 2 ) ( 1 0 ) ( 8 9 ) ( 1 11 4 ) ( 3 ) ( 24 ) ( 9n ) ( 1 0 3 ) ( 24 ) ( 7 1 11 3 ) ( 24 ) ( 7 1 21 3 ) ( 24 ) ( 78 ) ( 9 3 ) ( 24 ) ( 7 91 3 3 ) ( 24 ) ( 71 3 ) ( 8 3 ) ( 24 ) ( 71 4 ) ( 8 3 ) ( 24 ) ( 7 1 01 3 5 ) ( 2 4 6 ) ( 7 3 5 ) ( 2 4 6 ) ( 9 3 5 ) ( 2 4 6 ) ( 7 这5 6 个r g d d 是同构的 1 0 1 4 ) ； l o 1 3 ) ； 1 3 1 4 ) ； 1 2 1 4 ) ； 1 0 1 2 ) ； 1 0 1 1 ) ； 1 2 1 3 ) ； 1 2 ) ； 3 9 ) ( 8 1 2 3 1 0 ) ( 8 1 1 1 2 ) ( a 01 1 ) ( t x 1 ) ( 8 1 0 1 4 ) ； 1 3 ) ( 9t o ) ( 1 3 1 2 ) ( 8 9 1 1 9 ) ( 8 1 2 1 1 1 3 ) ( 1 0 8 ) ( 9 1 01 1 0 ) ； 1 4 ) ； 4 ) 0 21 3 ) )、， m 9 4 h l 咄埘 3 m _ ) 嘲uh 他 j j j j j j j j 吼 置 文 屯 缸 氐 l 黾 玑 阮凤成风风所风风成胁风风成胁风风凤夙 5 ) ( 2 4 6 ) ( 7 1 2981 l 1 0 ) ( 1 3 5 ) ( 2 4 6 ) ( 7 9 1 3 ) ( 8 1 0 1 4 ) ； 5 ) ( 2 4 6 ) ( 7 1 3 1 1 ) ( 8 1 4 1 2 ) ； 5 ) ( 2 4 6 ) ( 7 1 41 181 3 1 2 ) ( 9 5 ) ( 2 4 6 ) ( 7 1 01 389 1 4 ) ； 1 11 496 8 ) ( 2 41 21 31 05 1 11 39 5 7 ) ( 2 41 21 4 1 06 1 21 31 06 7 ) ( 2 41 11 495 1 21 41 05 8 ) ( 2 41 11 396 951 31 1 7 ) ( 2 41 061 41 2 1 051 41 2 8 ) ( 2 4 961 31 1 961 41 1 8 ) ( 2 41 051 31 2 1 061 31 2 7 ) ( 2 4951 41 1 1 1 9 ) ( 2 41 2 1 0 ) ( 57 ) ( 68 ) ； 1 1 a o ) ( 2 41 2 9 ) ( 5 76 8 ) ( 1 3 1 2 1 0 ) ( 2 4l l 9 ) ( 5 8 ) ( 67 ) ； 1 2 9 ) ( 2 41 1 1 0 ) ( 5 86 7 ) ( 1 3 9 ) ( 2 4 1 0 ) ( 5 1 3 7 ) ( 6 1 4 8 ) ； 1 0 ) ( 2 4 9 ) ( 5 1 4 8 ) ( 6 1 3 7 ) ； 924 1 0 ) ( 5 1 3 8 ) ( 6 1 4 7 ) ； 1 02 4 9 ) ( 5 1 4 7 ) ( 6 1 3 8 ) ； 1 124 1 2 ) ( 5 7 a 4 ) ( 6 8 1 3 ) ； t 1 ) ( 2 4 1 2 ) ( 5 7 1 3 ) ( 6 8 1 4 ) ； 1 224 1 1 ) ( 5 8 1 3 ) ( 6 7 1 4 ) ； 1 2 ) ( 2 4 1 1 ) ( 5 8 1 4 ) ( 6 7 1 3 ) ； 9 1 1 ) ( 2 4l o 1 2 ) ( 51 3 ) ( 61 4 ) ； 1 0 1 2 ) ( 2 49 1 a ) ( 51 4 ) ( 61 3 ) ； 9 1 2 ) ( 24 加1 1 ) ( 5 1 36 1 4 ) ( 7 1 0 1 1 ) ( 2 4 9 1 2 ) ( 5 1 46 x s ) ( 7 1 15 79 x 3 ) ( 2 41 26 81 0 1 1689 t 4 ) ( 2 41 2571 0 1 2581 0 1 4 ) ( 2 41 1679 1 4 1 1 0 1 1 4 1 】4 ) 1 l 砷砷研砷砷砷砷 砷砷m n 墙 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 n n n q 0 n 0 0 n n q q n q q q n 0 0 0 0 0 0 0 0 n 0 0 0 n q q = = | | l | = = = = = | | = = = = = = l i = = = = = l i = = = = = = 1 | = | | 黼翰黼黼黼黼黼胁蛳觚黼脚航蛳蛳脚蛳脚蛳胁鲰 31 2671 0 3971 l5 31 081 25 3 981 l6 31 071 26 1 3 ) ( 2 4 3 ) ( 2 4 1 4 ) ( 2 4 4 ) ( 2 4 1 3 ) ( 2 4 5 89 81 26 7l l6 71 25 81 15 1 2 m h 协”m ，加9 m 9 硒陆触风胁 第三章凡产生的r g d d 设4 2 = 且，1 i 3 5 ，这里： b 1 = o ，l ，2 ，b 2 = o ，3 ，4 ，b 3 = o ，5 ，6 ，b 4 = o ，7 ，8 ，b 5 = o ，9 ，l o ， 风= o ，1 1 ，1 2 ，日7 = o ，1 3 ，1 4 ) ，b s = 1 ，3 ，5 ) ，b 9 = 1 ，4 ，6 ，b l o = 1 ，7 ，9 ) b l l = 1 ，8 ，l o ，b 1 2 = 1 ，1 1 ，1 3 ) ，b 1 3 = ( 1 ，1 2 ，1 4 ) ，b t 4 = 2 ，3 ，6 ，b 1 5 = 2 ，4 ，5 ) b 1 6 = 2 ，7 ，l o ，b 1 7 = 2 ，8 ，9 ) ，b 1 8 = 2 ，1 1 ，1 4 ，b x 9 = 2 ，1 2 ，1 3 ，b 2 0 = 3 ，7 ，1 1 b 2 1 = 3 ，8 ，x 3 ，b 2 2 = 3 ，9 ，t 4 ，四船= 3 ，1 0 ，x 2 ，b 2 4 = 4 ，7 ，1 4 ，b 2 5 = 4 ，8 ，1 2 b 2 6 = 4 ，9 ，1 1 ，b 2 7 = 4 ，1 0 ，1 3 ) ，b 2 s = 5 ，7 ，1 2 ，b 2 9 = 5 ，8 ，1 4 ，b s o = 5 ，9 ，1 3 b s l = 5 ，1 0 ，a l ，b 3 2 = 6 ，7 ，x 3 ，b 船= 6 ，8 ，1 1 ) ，b 3 4 = 6 ，9 ，1 2 ，b 3 5 = 6 ，1 0 ，1 4 对于4 2 进行类似的分析。首先得到全部的平行类死南( i = 1 ，2 ，3 2 ) ： 伤，1 ：b 1 ，b 2 0 ，b 2 s ，b s o ，b 3 5 ，危2 ：b 1 ，b 2 0 ，b 2 7 ，岛9 ，b s 4 ， 伤3 ：b 1 ，b 2 a ，b 2 4 ，b 3 h b s 4 ，p 2 4 ：b 1 ，b 2 1 ，b 2 6 ，b 2 8 ，岛5 ， 伤，5 ：b 1 ，岛2 ，b 2 5 ，玩1 ，b 3 2 ，p 2 6 ：b t ，b 2 2 ，马7 ，b 2 8 ，风3 ， 吃。7 ：b 1 ，b 2 3 ，b 2 4 ，b s o ，b 3 3 ，p 2 8 ：b 1 ，b 2 3 ，岛6 ，b m 2 9 ，b 3 2 ， ，9 ：b 2 ，b x 2 ，b 1 6 ，b 2 9 ，b 3 4 ，p 2 1 0 ：b 2 ，b 1 2 ，b x 7 ，b 2 b ，b 3 5 ， 死，1 1 ：b 2 ，b a a ，b 1 6 ，b ，b 3 3 ，p 2 ，1 2 ：b 2 ，b l a ，b 1 7 ，b 3 1 ，b s 2 ， p 2 。1 3 ：b s ，b x 2 ，b 1 6 ，b 2 2 ，b 2 5 ，p 2 1 4 ：岛，日1 2 ，b 1 7 ，岛3 ，b 2 4 ， 仍，1 5 ：b s ，口1 3 ，b x 6 ，b 2 1 ，日郎，见1 6 ：b 3 ，b 1 3 ，b 1 7 ，b 2 0 ，玩7 ， p 2 ，1 7 ：b 4 ，b 8 ，b 1 8 ，b 2 7 ，风4 ，功，1 8 ：b 4 ，b 8 ，日1 9 ，b 2 6 ，玩5 ， 伤，1 9 ：b 4 ，b 9 ，b 1 8 ，b 2 3 ，b 3 0 ，砘：风，b 9 ，b 1 9 ，b 2 2 ，玩1 ， 吃2 1 ：b 5 ，风，b l s ，b 2 5 ，b 3 2 ，危2 2 ：风，风，b 1 9 ，曰2 4 ，b s s ， 2 3 ：b 5 ，b 9 ，b 1 8 ，b 2 1 ，b 2 8 ，危2 4 ：b 5 ，b 9 ，b 1 9 ，曰2 0 ，b 2 9 ， 危2 5 ：b 6 ，b l o ，b 1 4 ，历7 ，玩9 ，仍。2 6 ：b 6 ，b l o ，曰1 5 ，昆l ，b s 5 ， 危2 7 ：b 6 ，b n ，b 1 4 ，b 2 4 ，b s o ， 死, 2 8 ：b 6 ，b n ，b t 5 ，b 2 2 ，b 3 2 ， 危四：b r ，b l o ，b 1 4 ，b 2 5 ，b s l ，伤3 0 ：b r ，b l o ，b x 5 ，b 2 3 tb s s ， 伤。3 1 ：b 7 ，b i i ，b 1 4 ，b 2 6 ，b 2 8 ，砘3 2 ：b 7 ，b x t ，b 1 5 ，b 2 0 ，b 3 4 ， 经检验凡p 2 ，1 ，4 2 砘，3 ，凡死t 6 i 4 2 p 2 。8 不能划分成6 个平行类，其余2 8 个均 可以因此由4 2 可产生成2 8 个如下的组型为3 5 的3 一r g d d ：( x ，p 2 ，i ，如p 2 。 ) ( = 1 ，2 3 2 ，i 1 ，3 ，6 ，8 ) 1 4 最后我们可以找到从( x ，死，4 ，如他，4 ) ，( x ，乃，5 ，4 2 岛，5 ) ，( x ，仍7 ，4 2 仍，7 ) 到 ( x ，岛2 ，a 2 危2 ) 的双射卢4 2 ，风。2 ，岛，2 ，说明这4 个3 一r c , d d 是同构的 8 ) ( 9 9 ) ( 8 l o ) ( 8 并且还找到从( x ，玛， ，4 2 伤，i ) 到( x ，弼，1 ( i ，山而1 0 ) ( i = 9 ，1 1 ，1 2 3 2 ) ，说明这 2 4 个3 一r g d d 是同构的 风1 0 ：( 7 卢1 1 1 0 ：( 7 卢1 2 1 0 ：( 7 卢1 3 ，1 0 ：( 3 风4 ，1 0 ：( 3 卢15 1 0 ：( 3 卢1 6 ，1 0 ：( 3 卢1 7 ，1 0 ：( 3 p 1 8 ，1 0 ：( 3 卢1 9 1 0 ：( 3 肠1 0 ：( 3 岛