（凝聚态物理专业论文）两维光子晶体中负折射现象研究.pdf

摘要 本论文主要研究的是光子晶体中负折射现象。并且在这基础上从理论的角度 上提出了基于两维光子晶体结构的偏正分光器件。 内容具体安排如下： 第一章概述了光子晶体的基本概念，然后简单介绍了光子晶体的应用。最后 总结了当前研究光子晶体的理论方法。 第二章主要介绍负折射现象原理，然后简单介绍两维时域有限差分算法计算 方法。 第三章主要基于负折射现象的极化分波器件设计和模拟计算，以及对这种分 光器件的进一步讨论。 关键词：光子晶体，周期性结构，能带，负折射，平面波展开，时域有限差分 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s , t h en e g a t i v er e f r a c t i o np h e n o m e n ai nt w o - d i m e n s i o n a l ( 2 d ) p h o t o n i cc r y s t a l sa r es t u d i e d t h et h e s i si so r g a n i z e da sf o l l o w s ： ht h ef i r s tc h a p t e r , t h eb a s i cc o n c e p to fp h o t o n i cc r y s t a l si si n t r o d u c e dt o g e t h e r w i t hs o m ei m p o r t a n ta p p l i c a t i o n so fp h o t o n i cc r y s t a l s a tt h ee n do ft h i sc h a p t e rs o m e t h e o r e t i c a lc o m p u t i n gm e t h o d so f p h o t o n i cc r y s t a l sa r ed i s c u s s e d i nt h es e c o n dc h a p t e r , t h ep h e n o m e n o no fn e g a t i v er e f r a c t i o ni si n t r o d u c e d 2 d f d t dm e t h o du s e di sb r i e f l yd i s c u s s e d ht h el a s tc h a p t e r , w ep r o p o s eap o l a r i z a t i o nb e a ms p l i t t e ri n2 dp h o t o n i c c r y s t a l sb a s e do nn e g a t i v er e f r a c t i o n a n df u r t h e rd i s c u s s i o n so nt h i sk i n do fb e a m s p l i t t e ra r ef o l l o w e d k e yw o r d s ：p h o t o n i cc r y s t a l s ，p e r i o d i cs t r u c t u r e s ，b a n ds t r u c t u r e s ，n e g a t i v er e f r a c t i o n ， p l a n ew a v em e t h o d ，f d t d 第一章光子晶体基础 1 1光子晶体简介 光子晶体是1 9 8 7 年提出的新概念和新材料【1 ，2 】。这种材料有一个显著的特 点是它可以如人所愿地控制光子的运动【3 5 】。由于其独特的特性，光子晶体可 以制作全新原理或以前所不能制作的高性能光学器件，在光通讯上也有重要的用 途，如用光子晶体器件来替代传统的电子器件。 它是如何控制光子的流动的? 在固体物理里我们都知道电子在周期性晶格 中传播时，由于电子波受到原子的周期性势场的布拉格散射作用，会形成复杂的 能带结构。原来分立的能级过渡成能带，能量处在能带范围的电子波可以通过晶 体。而带与带之间可能存在带隙，如果电子波的能量落在带隙中，其传播是禁止 的。而这些以及随后的缺陷态概念，正是当今半导体器件工作的理论基础。其实， 不管任何波，只要受到周期牲调制，都有能带结构，也都有可能出现带隙。能量 落在带隙中的波是不能传播的。电磁波或者光波也不会例外。 1 9 8 7 年y a b n o l o v l t c h1 1 和j o h n 【2 】在讨论如何抑制原子的自发辐射和光子局 域问题时，分别把能带的概念拓展到光波中来，提出了光子晶体的概念。如果将 不同介电常数的介电材料排成周期结构，电磁波在其中传播时由于受到布拉格散 射作用，会被调制而形成能带结构，这种能带结构叫做光子能带( p h o t o n i cb a n d ) 。 光子能带之间可能出现带隙，即光子带隙( p h o t o n i cb a n dg a p ，简称p b q 。具有光 子带隙的周期陛介电结构就是光子晶体3 5 ( p h o t o n i cc r y s t a l s ) ，或叫做光子带隙 材料( p h o t o n i cb a n dg a pm a t e r i a l s ) 。如图所示图1 1 ( a ) 一维、二维和三维光子晶 体照片。( b ) 光子光子晶体能带结构和态密度。阴影部分代表光子带隙。 雕薰a 光子晶体的基本特征是具有光子带隙。在光子晶体中，由于介电常数在空间 的周期性变化，也存在类似的周期性势场。当介电常数的变化幅度较大且与光的 波长相比拟时，介质的布拉格散射也会产生带隙，即光予禁带，频率落在带隙中 的电磁波是禁止传播的，这将显著地改变光与物质相互作用的方式。因为带隙中 没有任何态存在。光子带隙的存在带来许多新物理和新应用【3 - 6 1 。 光子晶体的带隙( 即完全带隙或不完全带隙) 主要取决于其晶格类型、组成材 料的介电常数( 或折射率) 配比以及高介电常数( 或折射率) 材料的填充比等。 光子晶体的另一个重要特征是光子局域。如果引入缺陷或无序，对电子来说 将有电子局域态或安德森局域。如果在光子晶体中引入介电缺陷或介电无序，光 子也一样，也会出现局域现象【2 ，7 9 】。如果在光子晶体中引入某种缺陷，即原 有的周期性或对称性受到破坏，则在其光子带隙中就会出现频率极窄的缺陷态， 缺陷态频率符合的光子会被局域在出现缺陷态的位置，而一旦离开这个缺陷位 置，光就会迅速衰减。点缺陷就是光子被局域在一个空间。这样就相当于形成一 个微腔。线缺陷就是在光只能沿着线缺陷方向传播，这就相当于形成了一个光波 导。m i t 的j o h n d j o a n n o p o u l o s 1 0 1 3 在这方面做了很多非常好的工作。 光子晶体是一门正在蓬勃发展的、很有前途的新学科，它吸引了包括经典电 磁学、固体能带论、半导体器件物理、量子光学、纳米结构和材料科学等领域的 科学家，论文数目呈指数增长。如今，人们对波受到周期性调制的研究己超越光 子晶体，声波【1 4 - 1 7 】、等离子体波【1 8 2 0 】、磁子波【2 1 】水波【2 2 2 5 】，液体表 面波 2 6 2 8 结构色 2 9 3 4 等受到周期调制后出现带隙和新现象。其它的波，如极 化子、自旋波、水波等都值得研究，会出现新物理现象，有可能发现新的应用。 1 2 光子晶体的应用 由于光子晶体对光的传播有非常独特的控制能力，使得世界上许多国家的研 究人员去开发它的潜在的应用价值。 光子晶体波导 光子晶体波导，可以通过在光子晶体里引入一个线缺陷来实现 3 5 ，3 6 1 。传统的 介电波导可以支持直线传播的光，但在拐角处会损失能量。1 9 9 6 年m r r 的j d j o a m a o p o u l o s 【3 7 - 3 8 ，3 9 4 3 等人的理论计算表明，光子晶体波导可以有效阻止能 量漏出波导。这样我们可以实现光非常小的光学回路。1 9 9 8 年第一次实验上实 现这样光子晶体波导。后来m 1 t 的j o a n n o p o u l o s 又提出了光子晶体平板的概念， 这样使得更加具有应用价值。 光子晶体光纤 光子晶体光纤。英国b a t h 大学的研究人员用二维光子晶体成功制成新型光 纤4 4 4 8 ：由几百个传统的氧化硅棒和氧化硅毛细管依次绑在一起组成六角阵 列，然后在2 0 0 0 度下烧结而形成。直径约4 0 微米。蜂窝结构的亚微米空气孔就 形成了。为了导光，在光纤中人为引入额外空气孔，这种额外的空气孔就是导光 通道，在这里传播光是在空气孔中而非氧化硅中，可导波的范围很大。现在有三 种光子晶体光纤：第一种是用低有效折射率的光子晶体来约束光。第二种用光子 晶体的b r a g g 反射来实现。第三种是用同轴多层反射镜的b r a g g 反射来实现。 光子晶体激光器 从工作特点上看，光子晶体激光器可分为半导体光子晶体激光器、光子晶体 光纤激光器、光子晶体激光二极管、有机聚合物光子晶体激光器等几种类型。从 物理上讲实现光子晶体激光器有两种研究角度：利用缺陷能级来实现 4 9 5 4 1 和利 用群速度为零的带边频率来实现 5 0 5 2 1 。当把一个缺陷引入到光子晶体里的时候 就产生出一个缺陷能级，这样光就会被局域在缺陷能级上，第一次用这种方法实 现这种光子晶体激光器的是在1 9 9 9 年 5 5 1 光子晶体的光学集成回路 用光子晶体来实现光学回路的集成 5 6 5 8 1 ，是一个非常有前景的方向。它主 要是把一些光子晶体的功能模块在一块光予晶体中实现。这些基本的功能模块在 前面已经提到。这些功能模块是光集成的基本组件。现在国际上不仅从理论上探 讨了光子晶体的光集成的可能性，同时也在实验上做出了很好的尝试。 光子晶体还有其它许多应用背景，例如高性能反射镜、光子晶体微腔、光子 晶体光开关，光子晶体超棱镜等新型器件。同时对可调光子晶体的研究也是非 常热门的，人们期望能够很好的控制光的流动。尽管光子晶体当前发展还不是很 成熟，但是它潜在的技术革新价值，使得越来越多的科研人员从事这方面的研究 工作。随着对这些新现象了解的深入和光子晶体制作技术的改进，光子晶体应用 越来越成熟。 1 3光子晶体的理论方法简介 光在光子晶体中传播服从m a x w e l l 方程组，经过运算可以得到运动方程： v ( 击v 删心) 刖 这个方程类似电子的薛定谔方程，是线性本征值问题，其解完全由空间变化的介 电常数决定。目前计算光子能带的方法主要有： 1 平面波展开方法 平面波展开方法是光子晶体理论分析方法中应用最早和最广的一种方法。在 计算光子晶体能带结构中，平面波展开法直接应用了结构的周期性，将m a x w e l l 方程从实空间变换到离散f o u r i e r 空间，将能带计算简化成代数本征问题的求解。 目前，平面波展开法流行两种具体形式，一种称常规平面波展开法 5 9 6 1 ，另一 种是k m h o 等提出的方法 6 2 。平面波展开法的缺点是收敛速度慢。 2 有限时域差分法 有限时域差分法( f d t d ) 【6 3 1 撼本思想是：定义初始时间的一组场分布， 然后根据周期性边界条件，利用麦克光韦方程组可以求得场强随时间的变化，随 着时间的演化，最终解得光子晶体的能带结构。f d t d 方法不但能计算光子晶体 介质结构的能带关系，同时也能计算金属结构的光子晶体能带关系( 平面波方法 不能计算金属光子晶体能带) ，同时我们可以结合最佳匹配层( p e r f e c t l ym a t c h e d l a y e r ) 技术，利用f d t d 方法计算和处理出光子晶体a n d e r s o n 局域态、光予晶 体波导本征模的特陛、光子晶体表面模的特胜等一系列的问题。 3 传输矩阵方法 传输矩阵方法 6 4 - 6 5 同样把求解光子晶体带隙计算转化为本征值求解问题。 对m a x w e l l 方程组做离散化，相邻两层空间的场之间的关系可以用一个转移矩阵 来表示。利用转移矩阵，从一个层面上的场可以外推整个光子晶体空间的场分布。 这种方法对介电常数随频率变化的金属系统特别有效。由于转移矩阵只与层面上 的格点数的平方成正比，与平面波算法相比，这种方法的计算量大为降低。转移 矩阵方法还可以计算一个有限尺寸光子晶体的反射系数及透射系数。 以上是三种最为常用的光子晶体理论分析方法。除了这三种方法，人们也提 出了其他多种光子晶体理论计算方法，如多重散射法、格林函数求解法、平均场 分析法、有限差分法和紧束缚法等方法，这些方法各有其优缺点。在不同的情况 下选择不同的计算方法。 第二章两维光子晶体中的负折射现象 2 1 负折射理论 光的折射是光的一种基本现象【6 6 】。当一束光经过不同物质分界面的时候， 光的折射率越大，光的折射角度越大。 在材料的许多特性中，介电常数和磁导率决定材料的折射情况。而遵守的规 则是：s n e l l 定律。如图2 1 所示。在一般介质中，介电常数和磁导率都是正的。 一束平面电磁波的波矢k ，电场强度国和磁场强度日构成的矢量组就遵守右手 定则，而电磁波能量也沿s ( e x h ) 的方向传播，和量的方向是一致的，如图 所示，这样就会出现一个有趣的问题：是否存在这样一种介质，当平面电磁波在 其中传播的时候，只将e 和日这两个矢量中的任何一个量的方向转变，这样能 流密度s 也改变方向，使得三者构成的矢量组遵守左手定则。这时电磁波能量沿 与振动方向即相位传播的方向k 相反的方向传播。 入射光线 法线 反射光线 图2 1正常情况下的折射和反射波线。 但是在1 9 6 8 年前苏联物理学家v e s e l a g o 提出了负折射的概念【6 7 】，当n 0 时，根据s n e l l 法则折射光线将会在法线的同侧。这样就会出现奇怪的负折射现 象。但是当时一直没有人发现这种材料，最终这种设想没有实现。他的设想如图 2 2 所示。我们来分析一下如何来实现n 0 沣姥 死 肜i 图2 2 n o 负折射情况 由于忍一s p ，如果i ff 0 ， 0 ， 那么 ，l m1i j & 图2 8 在普通介质和一维光栅中，用等频图来分析光线的传播。 在普通介质平面中，等频图是两个圆，圆的大小由空气和介质的折射率关系 决定。这样根据能量守恒和在水平方向上动量守恒，这样就可以决定折射光线的 传播方向。 然后我们考虑在一维光栅中，光线的传播方向。同样我们也计算出一维光栅 的等频图。如图2 8 所示。这样同样根据能量守恒和水平方向上动量守恒，可以 分析出有两条光线符合要求。其中a 光线是一维光栅的零级衍射，b 光线是一 维光栅的一级衍射。这两条光线的传播符合光栅方程 m a d s i n ( 0 1 + 吼) ( 2 1 - 5 ) 其中，m 为整数，a 为波长，d 是光栅周期常数。 那么在光子晶体中也是同样道理，两维光子晶体可以看作两维光栅，同样可 以计算出等频图，也可以分析出光线的传播。 0 交群暑瓣暑 图2 9 两维光子晶体的等频图和光线传播折射图。 举例来说，如图2 9 所示，如果材料具有上面的类似的等频图，那么根据动 量守恒和能量守恒。它的光线传播应该是在法线同侧的方向出射。发生了负折射 方向。这在很多文献里都有具体的说明和例子。 那我们该如何来理解这种现象呢? 我们可以电子能带情况来理解，如图2 1 0 所示，我们把光子晶体能带和电子能带图综合起来比较。在电子能带图里，根据 固体物理知识，当电子处在能带底部时，电子的有效质量是正的，当电子处在能 带顶部时，电子的有效质量是负的。那我们也不难理解，在光予晶体能带里，如 果光频率在能带底部，材料的有效折射率为正，那么就出现常规折射。如果工作 频率在能带的顶部，这样材料的有效折射率为负，那么就很自然产生负折射现 象。这样的现象在以前是很难理解的，主要是因为现实自然中不存在天然折射率 为负的材料。 图2 1 0 光子晶体能带图和电子能带图 现在人们已经发现了负折射现象的存在，那就对它在应用上提出了很多设 想，其中比较热门的就是平板成像【7 5 7 6 】，和超棱镜现象。但是目前都是设想阶 段，也做出了一些实验证明，但是工业上的真正的应用还没有开展起来。 2 2 两维时域有限差分算法简介 下面简单介绍一下在研究光子晶体里，一种非常重要的计算方法：两维时域 有限差分计算方法。这是实时模拟场强分布的最有效的工作。对光子晶体的场强 传播的研究非常有效。 算法原理 电磁波的传播符合m a x w e l l 方程组 v x h 。o d + i ， o 。t 。 ( 2 2 1 ) v 胁一詈t 、 其中d = e e ，b n - i ，j = o f f ，j 。= 日 在直角坐标系中，可以写成如下形式 以及 o y z o h y a 、，a z o h xo h z a z缸 o h ya h l 觑a v a e l 甜 o e r m 8 e ： 以 o e 。 o e , o e x ( 2 2 - 2 ) ( 2 - 2 3 ) ( 2 2 4 ) 下面考虑f d t d 差分离散。令f ( x ，y ，z ，f ) 代表e 或者h 在直角坐标系中某一 分量，在时间和空间域中的离散取以下符号表示： ，0 ，y ，z ，f ) f ( i a x ，a y ，k a z ，n f ) 一f 4 ( f ，k )( 2 - 2 5 ) 以 q 也 一 一 一 堡以竖以堡甜 n “ “ 一 一 一 一 一 一 哆一瑟堡缸堡秒 堡妙堡以哆i 因此对于空间中某一点的介质描述有4 个参量s 、p 、o 、盯。当把微分形 式转换成差分形式时，只要差分的间隔足够的小，可以认为他们的结果大致相等， 即 笪垒! 型! j 。! ! ! ：垫竺：尘：羔竺 缸 j ，。m o 竺堡! 型! 坐! ：趋：坐! 二塑 砂 k 母 y ( 2 2 们 笪垒：型! l 。坐生芝：堂竺：芝 钯 i ，。h & 笪垒! 坚剑。! 盟墨2 = ! ：! 盟盟 o t i , - n m a t 这就是时域有限差分( f d t d ) 方法的基本思想。这样当把m a x w e l l 方程组中 的微分改为差分之后，电磁场可以方便的随时间一步一步的演化。其中离散的电 场和磁场的各空间排布是按l e e 元胞进行的。 对于两维问题，所有物理量均与z 坐标无关，即= o ，这样上面的两个 方程组可以简化为以下方程组 譬：。冬+ 噶 奇吣言+ 噶 一等- - - z ：。誓+ 鸣 一缸吣i + 础y 誓一等叫盟o t 一吒皿酞枷 51 鼍叫盟a t 呱h i 砂 44 鲁一p 堡8 t + q 缸 堡一堡。堡+ 仃e 一 缸a va f 分别对t e 和t m 波分别讨论。 t e 波 ( 2 2 1 ) t m 波 对t m 波，e ，= e ，= h ：= 0 。根据两维t m 波的l e e 元胞，如下图所示。 ( i ，j + ( i + l 2 , j ，n + 1 2 ) 图2 n 维t m 波做差分时一个格点原胞中电磁场的空间、时间步的取值 以图3 - 2 - i 作为基本格点原胞改写成差分形式后，经过计算可以得到电场与 磁场随时间的演化方式 日：“”( f ，j + 争= c e ( z ) ，日：。1 胆( f ，j + ，尹1 一c a ( m ) 兰兰1 生。! 产 1 曰；“他( f + i 1 ，) = c p ( m ) h ，n - 1 他( f + 寺，) + c q ( 肼) 点；+ 1 0 ，) ；c f 4 ( m ) e ：( 1 ，歹) + c 召( m ) 7 2 0 + i 1 ，d _ 掣7 2 ( f j 1 ，j ) 墨：垒兰! ! 二墨：垡，塑 盱”“j + j 1 ) 一盱”( 1 ，j 一：) a y ( 2 - 2 - 6 ) 其中( 2 - 2 7 ) 为空间各个格点的演化参数。 1 一c y ( m ) a t _ 垒l 翻”攫，”盘 2 e ( m ) 2 f ) ( 2 - 2 - 7 ) ，一生业j 生 c p ( m ) 。蠢墨，c q ( m ) - 老鼙 对t e 波，以- 以一巨t 0 ，其l e e 元胞可以表示为图2 - 1 2 图2 1 2 维t e 波做差分时一个格点原胞中电磁场的空间、时间步的取值 它的f d t d 形式可以表示为： 霹+-。+三，“，掣。+丢，。+c口，兰：!圭三蔓芸掣 髟+1(f，+争。“，髟g，+争一，竺：竺!圭三蔓芝掣 彤州2 ( f + j 1 ，+ 尹1a c p ( m ) ，彤埘g + j 1 ，+ 争 掣一掣 ( 2 - 2 - 8 ) 其中各系数表达式为与上面相同。 为了使 r e 波方程离散形式与t m 波有更相似的形式。将上式相应的标号平 移1 2 ，即( x ，y ) 坐标沿x 和y 方向分别移动半个网格，这样l e e 元胞表示为 ( t 】+ 图2 - 1 3 维t e 波做差分时一个格点原胞中电磁场的空间、时间步的取值 这样方程表达为 e ：“，2 ( f ，j + 尹1 - c a ( m ) e ：剖2 0 ，+ 乏1 ) + c b ( m ) ! ! ：堡二王产( 2 - 2 - 9 ) 其它场分量可作相同处理。 同时我们注意到t e 和t m 波之间的对称关系，即 4 弘o o o m 一，一盯 ( 2 - 2 1 0 ) e _ h h 一一e 这样可以编写统一的二维f d t d 计算程序。 从上面表达式可以看出，若当前格点( i ，j ) 的电场与磁场处于介质的交接面 处时，因为电场相邻于( 1 ，j ) ，( i _ 1 ，j ) ，( i ，j 1 ) ，( 1 1 ，j - 1 ) 四个格点，而 磁场h x 相邻于( i ，j ) ，( i 一1 ，j ) ，h y 相邻于( i ，j ) ，( i ，j - 1 ) ，因此这些位置的 介质参数取为这些相邻格点介质参数的平均值。 e ： 。；! 垡! 卫! 垒二主韭! 堡：! 二竺! 垡二生! = 型 4 盯。! 垡! 韭! 垡二生旦! g ! ! 二墅! 垡二! ! ! 二里 4 h ；： “等些垡! 1 2 壁垒二兰! 。；亟垒! 韭坠垒二主塑 一m h y ： “；壁垒! 韭壁垡! ! 二墅 2 ；盟学 ( 2 _ 2 _ 1 1 ) 为了保证计算的精确度，差分的间隔越小越好，但是过小的间隔会降低程序 的运行效率。一般来说要保证必要的精确度，差分的空间步长6 和时间步长t 必须满足以下的关系： 6 。三 8 血0 1 2 并且出苦去 ( 2 - 2 - 1 2 ) 我们想要模拟的是对象处于开放空间中产生的电磁场，但是程序计算必然限 制我们只能计算有限空间中的差分格点，因此在计算区域的边界上我们需要加入 吸收边界，使得散射到边界上的电磁波不会被反射回去。吸收边界有许多种类， 在这里主要是用了b e r e n g e r 完全匹配层吸收边界，通过在f d t d 区域截断边界出 设置一种特殊介质层，该介质层的波阻抗与相邻介质波阻抗完全匹配，因而入射 波将无反射地穿过分界面而进入p m l 层。并且，由于p m l 层为有耗介质，进入 p m l 层的透射波将迅速衰减。具体的推导过程这里就不赘述了，可以参考文献 6 3 ，这种吸收边界要求： 对于x = i 。边界，在边界上的满足 掣- e ：( i 枷) + 篡等陋坼u ) - e ：( i 朋 瓦c 2 p 司a t h ：刚2 ( f ，+ 尹1 一日，胆( f ，一争+ h ，胆( f + 1 ，+ 争( 2 2 一1 3 ) 一日：彻( f + 1 , 一i 1 ) 1 二j 在其它的边界x = i 。，y = j 。，y = j 。上也可通过类似的方法推得。 在( i 。，j o ) 角点上满足 e：“(f。，。)一e：o。+lj。+1)+!c垒a生t坐+庙flf4“(io+1，。+1)-e：qcat 。，。) 】 ( 2 - 2 - 1 4 ) 在其它的角点( 1 0 ，j 。) ( i 。，j o ) ( i 。j j 也可通过类似方法推得。 同样的，我们需要考察电磁场稳定后的情况，但是对于时间的模拟也无 法打到无穷远，因此为了使电磁场尽快达到接近稳定的状态，我们在场源的强迫 振动中加入了开关函数g 。0 ) 6 3 使得源的函数变为 ，( t ) - 1 s 。i n ( m r ) ) 当0 ， 工：一夕 飞 图3 - 1 ：计算出的两维光子晶体的能带结构。实线是 r b l 模式，虚线是 r e 模式。r ， x ，m ，代表第一布里渊区的中间，边角和角。频率的单位是c a ，c 是光在真空中的光速。 首先我们用平面波展开的方法分别计算了t e 和t m 的能带结构，如图3 - 1 一曼hutuj_vp卤 所示。t e 模式是电场垂直于介质柱，t m 模式是电场平行于介质柱。在两维的 光予晶体里，对这两种模式没有完全的带隙。我们关注两种模式的第一个能带。 当频率处在t m 模式的一个能带的上边沿处，这时t m 模式有很强的色散， 在这个频段附近会出现非常有趣的现象，例如自准直，和负折射。而这时t i e 模 式有很弱的色散。 田垤瓢 xx ：麴 m 图3 2 ：上面两图是在两维光子晶体和空气中的等频图。频率在0 2 1c a 。细线代表波 矢，粗线代表群速度矢量。下面两图是折射光线的示意图。介质柱用灰色点表示。两维光 子晶体的入射面垂直于rm 方向( 虚线) 箭头线代表入射光和折射光的群速度方向 为了确定折射光线的方向，我们将利用等频图来分析。两维光子晶体的等频 图也可以用平面波展开的方法得到。如图3 2 上面部分所示。在光子晶体里，群 速度由一v 。出国) 决定。耳是b l o c h 波矢。从这个定义来确定，群速度波矢是垂 直等频图的的方向，并且指向c o ( q ) 增大的方向。 能量速度波矢等于群速度波矢。这样折射波的传播方向就是群速度的方向。 在各向同性的介质中，等频图是随着频率增加而半径增加的同心圆。在两维光子 晶体中，等频图是完全不同于各向同性的介质。在当频率为0 2 1 c a ，对t m 波 模式，等频图是以m 点为中心的正方形。同时群速度是指向内的。但是对于t e 模式，两维光子晶体的等频图在r 点几乎是一个圆的。并且群速度是指向外的。 1 9 这些在图中都指出来了。 我们现在考虑从空气入射到光子晶体和空气的表面时的折射情况。两维光子 晶体表面时垂直于f m 方向的。折射波必须满足频率守恒和波矢的平行表面的分 量守恒。根据这些规则，我们可以决定折射波的方向。如图3 - 2 所示。对t m 模 式的入射光，光子晶体的等频图在角上是圆弧形的。沿r x 方向的入射光，根据 波矢的表面平行分量的守恒，它的折射光指向等频图的角上。这样就产生了负折 射。对于其它入射方向，如果偏离r m 方向，那就产生了自准直现象。 面对于t e 模式，由于等频图都是圆形的，所以发生了正常折射。 为了说明对t e 和t m 模式的在光子晶体和空气表面发生的不同的折射现象， 我们采用了f d t d 的方法模拟了场强分布，这样可以很清晰的看出能量的方向。 我们的计算方法就是前面一节提到的方法，边界条件用的是完全匹配层的方法 图3 - 3 t e 和t i m 两种模式的电磁场分布图。 如图3 3 所示，光子晶体的表面是垂直于r m 方向的。在模拟中，我们用了 高斯波束作为t e 和t 1 m 的光源入射到空气和光子晶体的表面。同时入射角都是 4 5 度。高斯波束的宽度是l o a 。很明显的从图中可以看出t m 偏振光发生了负折 射，而t e 偏振的光是正常折射。从f d t d 图上可以看出，对t e 偏振光折射角 是3 2 度，对t m 偏振光折射角时1 8 度。而根据等频图计算出两种偏振光的折射 角分别为3 2 6 度和1 6 5 度。理论分析和模拟计算的结果能够很好的吻合。这样 两种偏振光的折射光分开角度为5 0 度。 3 2 分波器件的进一步讨论 关于t m 模式的耦合效率问题讨论 在f d t d 计算时，我们发现光子晶体的表面调制对t e 和t m 耦合进光子晶 体有不同的影响。如果光子晶体的表面不切割，那么t m 很难耦合进光子晶体， 而对t e 模式，表面是否调制没有多少影响。对t e 模式，耦合效率是非常高的， 超过了9 0 。为了得到比较大的耦合效率，光子晶体的表面要进行调制切割。我 们的计算结果显示，如果光子晶体的表层柱子被切去一半的时候，t m 模式的耦 合效率超过了7 0 。如果对表面再进行优化，可以得到更高的耦合效率。这主要 是表面模式决定的。如果表面被切割了，就存在表面模式，如果没有切割就没有 表面模式。对表面优化提高耦合效率的办法有以下几种办法： 1 不切割型 ： ： ： ： 图3 - 4 ：a 图为结构最外层柱子错开半个周期；b 图为结构最外层周期变为原来周期的2 倍； c 图为结构外面两层柱子同时改变位置和周期性。 如上图3 - 4 所示，对于不切割表面柱子情况，我们举例出了三种情况，a 图和b 图只是对表面结构进行改变，e 图改变光输入面的多层柱子，从而可 能达到最佳耦合效率。 2 。切割塑 l - - - i - l - - - i - i - i l 图3 5 ：正方柱子体系。a 图为表层柱子被切去o 7 5 d ；b 图为表层柱子被切去0 s d ；c 图表层柱子被切去0 2 5 d 。其中d 为柱子半径 对于要切割表面结构的情况，可以按切割的多少来进行调制，例如图3 - 5 所 示，分别切割掉0 7 5 d ，0 5 d 和0 2 5 d 。从而达到最佳优化。选择哪种切割程度 才能达到最佳耦合效率是和选择的材料和结构参数有关。 3 改变最外层的柱子直径 图3 - 6 ：正方格子柱子体系，周期为a ，入射面最外层柱子直径为d ，其余柱子直径为 d 2 2 通过改变了光输入面的最外层柱子的半径，从而改变光与光子晶体结构的 耦合效率。 如图3 - 6 所示，由于最外层圆柱半径减小，能够使得光更加容易耦合进光子 晶体结构，但是并不是半径越小越好，这个变化并不是一个线性的关系。必须要 经过严格的模拟计算来确定最佳参数。 4 混合型 当以上某一种变化不能达到最大最优耦合效率的时候，我们可以采取上面的 一种或者几种变化来达到最大耦合效率。我们甚至要改变最外的介电常数来实 现。这些都需要进行大量的模拟计算来确定。 关于光入射角度对出射光分开角度大小的讨论 同时我们也研究了入射角度的影响。对入射角度在3 0 度到4 5 度之间时，对 t e 和t m 模式的折射角随着入射角的减小而减小。导致一个比较小的分开角 度。对于入射角度小于3 0 度时，对于t m 模式，由于等频图是比较平的，这样 就产生了自准直现象，折射光线的方向是沿着r m 方向。而对于t e 模式仍然是 一个正常的折射。所以在这个入射角度区域，仍然可以分开t e 和t m 模式，但 是分裂角比较小。 对出射面结构的改变对分光角度的影响 同样我们可以通过控制出射表面的结构来控制出射光的分开角度。 i 爿 r e l i g h t 一 、 声 t m u g h t i t ea n dt m i 曲坤 图3 - 7 ；_ 示意图的光子晶体结构的出射面是完整无缺陷表面， b 示意图的出射表面已经被加工切割过，形状如图中所示 2 3 如图3 7 所示，示意图3 7 a 的光子晶体结构的出射面是与出射面平行，两种偏 正的光出射面是同一个平面。那么两种极化偏正光出射时为两束平行光束。如果 出射面与入射面不平行的时候，两种偏正的出射光光束将不再平行，如图3 7 b 所示，这样更加容易形成大角度的分裂。而且两种偏正光的分裂角度可以人为的 自由的控制。包括控制两种偏正光的出射方向。 对两束光在出射面出射的时候错开的位置的讨论 一 、 t ea n dt m l1 l 口h t t e 龃dt m l - 曲扭 图3 - 8 ：a 图的光子晶体宽度为，n ，b 图光子晶体结构宽度为，吒 从图3 8 所示，我们可以看出，在光子晶体体结构的宽度改变的时候，两种 偏正光在出射面出射的时候，两种偏正光错开了不同的宽度，有利于对出射光的 在出射以后的引导传播。但是并不是比较宽的结构就比较好，如果光子晶体比较 宽的时候，可能耦合效率受影响，光的传播损耗也将很大。 两种偏正的光从光子晶体结构出射以后，可以通过光纤或者光子晶体波导来 引导传播光。这样的结构非常适合在光集成中使用。 这种分光器件的优势 以前分开t e 和t m 光主要是在同一频率下，让一种偏振光通过，而另一种 偏振光完全被反射，这样就实现了两种偏振的光的分开。和以前的两维光子晶体 的分光原理比较，这个模型有如下几点优点： 1 我们的模型不依赖光子晶体的带隙，可以让两种偏振光都通过，这样在 基于光子晶体的集成光学线路中，可以做一个非常好的功能模块。两种偏振都用 了。 2 从前面的分析，两种偏振光折射后出射时分开的距离由公式 d ( t 姐i i + t a l l ) 决定。其中d 是两维光子晶体的厚度。和是两种偏振 光的折射角。这样对于4 5 度的入射角时，如果d 为5 0 u r n ，那么当光从另一侧出 射时分开的空间距离是4 8 u r n 。同时如果两个表面平行，两种偏振的出射光平行。 为了得到不同的传播方向，可以改变出射表面的斜率。 结语 到目前为止，国际上关于光子晶体的理论已经做得比较多，但是其器件的应 用研究还处于起步阶段，许多工作正在开展。光子晶体已经吸引了包括经典电磁 学、固体能带论、半导体器件物理、量子光学、纳米结构和材料科学等领域的科 学家。我们有理由相信光子晶体的会对当前的科技发展有非常大的促进。 光子晶体的概念和方法，不仅为许多传统的研究领域注入了新的活力，利用 光子晶体的特殊胜质还可以设计出许多功能独特，性能优异的器件，可以使用于 光通讯领域中。可以预见在未来的全光网，甚至光子计算机中，光子晶体将占有 及其重要的地位。最典型的就是已经实现了用光子晶体制作的上传下载滤波器。 调整光子晶体的结构，将其对应的电磁波频率降低到微波波段，还可以适用于目 前的微波通讯中。 受到光子晶体理论的启发，人们把对波受到周期性调制的研究扩展到水波、 声波、等离子体波等受到周期调制后出现带隙和新现象。这对其它学科也产生了 深远的影响，丰富了那些学科的研究领域。例如在量子计算和量子信息方面，国 际上的一些研究组尝试用光子晶体来实现光的量子计算和量子信息，这给实现光 的量子计算和量子信息提供了一种新的实现方法和研究思路。 参考文献 【1 1 e y a b l o n o v i t c h , p h y s r e v l e f t 5 8 ，2 0 5 9 ( 1 9 8 7 ) 【2 1 s j o h n ，p h y s r e vl e t t 5 8 ，2 4 8 6 ( 1 9 8 7 ) 【3 1 j d j o a n n o p o u l o s ，r d m e a d e ，a n dj n w m n ，p h o t o n i cc r y s t a l s ：m o l d i n g 舭f l o wo f 【4 】 【5 】 【6 】 【刀 【8 】 l t g h t ( p r i n c e t o nu m v p r e s s ，n j ，1 9 9 5 ) c m s o u k o l i l l s ，j 确。砌1 w b a n d g a p m a t e r i a l s ，n a t o ，a s l ，( k l u w e f ，d o r d r e c h t , 1 9 9 6 ) c m s o u k o u h s ，p h o t o m cb a n dg a p sa n dl o c a h z a t i o n ，n a t oa r w , f f l e n u m ，n e wy o r k , 1 9 9 3 ) e m p u r c e l l , p h y s r e v 6 9 ，6 8 1 ( 1 9 6 4 ) s j o h n ，p h y s i c st o d a y3 2 , 3 3 ( 1 9 9 1 ) s c a t t e r i n ga n dl o c a l i z a t i o no fc l a s s i c a lw a v e si nr a n d o mm e d i a , e & t e db yes h e n ( w r o l d s c i e n t i f i c ，s i n g a p o r e ，1 9 9 0 ) 【9 】j m d r a k ea n d a 乙g e n a c k , p h y s r e v l e t t 6 3 ，2 5 9 ( 1 9 8 9 ) 【1 0 1 a m e l d s ，j c c h e n ，i k u r l a n d ，s f a n ，p r v d l e n e u v e ，a n dj d j o a n n o p o u l o s ，p h y s r e v l e t t 7 7 ，p p 3 7 8 7 ( 1 9 9 6 ) 【1 1 s t e v e ngj o h n s o n ，c h r i s t i n am a n o l a t o u ，s h a n h u if a n , p i e r r er v f l l e n e u v e , a n dj d j o a n n o p o u l o s ，a n dh ah a u s ，o p t t c sl e t t e r s2 3 ，t a p 1 8 5 5 1 8 5 7 ( d e c e m b e r1 9 9 8 ) 1 2 1 j s f o r e s i ，er v t u e n e u v e ，j f e r r a r a , er t h o r n ，gs t e m m e y e r , s f a n ，j d j o a n n o p o u l o s ，lc k i m e r l i n g ，h ls w a t h ，a n de p i p p e