（概率论与数理统计专业论文）fourier分析与小波分析的比较.pdf

a b s t r a c t i t is o n e o f t h e t a s k s o f s i g n a l p r o c e s s i n g t o u n d e r s t a n d t h e e s s e n t i a l c h a r a c t e r o f t h e s ig n a l s e x i s t i n g in t h e w o r l d a n d f in d o u t t h e p r in c ip le o f th e m . a n a l y z in g t h e s ig n a l s fr o m d i ff e re n t p o in t o f v ie w i s h e lp f u l t o k n o w t h e e s s e n t i a l c h a r a c t e r o f t h e s i g n a l s . s ig n a l s w e re e x p re s s e d b y t i m e o r ig in a l ly . b e s id e s t i m e , f r e q u e n c y i s a n o t h e r i m p o r ta n t w a y t o e x p re s s t h e s i g n a ls . t h e w a y o f fr e q u e n c y is b a s e d o n f o u r ie r a n a ly s i s . f o u r ie r a n a ly s i s is a g l o b a l t r a n s f o r m , s o it c a n n o t e x p r e s s t h e l o c a l t im e - f re q u e n c y c h a r a c t e r , w h i l e t h e lo c a l t im e - f r e q u e n c y c h a r a c t e r is j u s t t h e m o s t b a s i c a n d k e y c h a r a c t e r . wi n d o w f o u r ie r t r a n s f o r m is a w a y o f s i g n a l p r o c e s s in g w it h s i n g le re s o l u t i o n a n a l y s i s . t h e id e a i s t o c h o o s e a t i m e - fr e q u e n c y lo c a l iz e d w in d o w f u n c t io n , s u p p o s e t h a t t h e w i n d o w f u n c t i o n g ( t ) i s b a l a n c e d i n a s h o rt t i m e a n d m o v e t h e w i n d o w m a k i n g f ( t ) g ( t ) b a l a n c e d s i g n a l i n d e f e re n t s h o rt t i m e s , t h e n w o r k o u t t h e s p e c t r u m . wi n d o w f o u r i e r t r a n s f o r m c a n n o t m e e t t h e d e m a n d o f b o t h t i m e a n d f r e q u e n c y . t h e w i n d o w f u n c t io n o f w i n d o w f o u r ie r t r a n s f o r m i s re s t r ic t e d勿 h e i s e n b e r g u n c e r ta i n p r in c i p l e a n d th e a r e a o f t i m e - fr e q u e n c y w in d o w i s l e s s o r e q u a l t o 2 . t h e w a v e l e t t r a n s f o r m u s e s a w i n d o w f u n c t i o n , s o t h e a re a o f t i m e - f r e q u e n c y w i n d o w k e e p s u n c h a n g e d . b u t t h e s h a p e o f it c a n c h a n g e . w a v e le t f u n c t io n c a n a d a p t th e re s o l u t i o n o f t im e a n d f re q u e n c y a c c o r d in g t o n e e d , it a l s o h a s t h e c h a r a c t e r o f m u lt i re s o lu t i o n a n a l y s i s a n d c o n q u e r s th e d iff i c u lt y o f s in g l e re s o l u t i o n a n a l y s i s u s in g w i n d o w f o u r i e r t r a n s f o r m t o a n a l y z e t h e u n b a l a n c e d s i g n a l . w a v e l e t t r a n s f o r m h a s t h e a b i l it y t o e x p re s s t h e lo c a l c h a r a c t e r o f t h e s i g n a l in t im e a n d f re q u e n c y . a t l o w fr e q u e n c y p a r t w a v e le t t r a n s f o r m h a s h i g h e r f re q u e n c y re s o l u t i o n a n d lo w e r t im e re s o l u t i o n w h i l e a t h i g h e r f r e q u e n c y p a rt i t h a s h i g h e r t i m e re s o l u t i o n a n d l o w e r f r e q u e n c y re s o l u t i o n w h a t i s 爪t o d e t e c t t h e i n s t a n t a b n o r m a l p h e n o m e n a i n u s u a l s i g n a l a n d t o s h o w i t s c o m p o n e n t . w e c a l l w a v e le t tr a n s f o r m m i c r o s c o p e o f ab s t r a c t a n a ly z in g s i g n a l . t h e w a v e l e t t r a n s f o r m c a n n o t r e p l a c e f o u r i e r a n a ly s i s t h o r o u g h ly , w h i l e i t i s t h e d e v e l o p m e n t o f f o u r i e r a n a l y s i s . t h i s a rt ic le f i r s t ly a n a l y z e s a n d c o m p a re s t h e c l a s s i c a l f o u r i e r t r a n s f o r m , w i n d o w f o u r i e r t r a n s f o r m a n d w a v e l e t t r a n s f o r m i n t i m e - f r e q u e n c y a n a l y s i s , t h e n t a l k a b o u t t h e r a n g e o f t h e i r a p p l i c a t i o n s , a d v a n t a g e s a n d d i s a d v ant a g e re s p e c t i v e l y . t h r o u g h t h e ana l y z i n g and s u m m a r iz i n g t h e w a v e l e t t r a n s f o r m , u s i n g t h e l o c a l c h a r a c t e r o f w a v e l e t t r a n s f o r m i n t i m e and f re q u e n c y , w e t a l k a b o u t t h e s a m p l i n g and c o n s t r u c t i o n t h e o ry o f s i g n a l , f i n d o u t t h e l o c a l i z a t i o n o f c l a s s i c a l s h a n n o n s a m p l i n g t h e o ry and t h e a d v ant a g e s o f w a v e l e t s a m p l i n g . k e y wo r d s : f o u r ie r ana l y s i s w a v e l e t a n a l y s i s t im e - f re q u e n c y ana l y s i s s a m p l in g 山 e o ry 南开大学学位论文版权使用授权书 本 人完全了 解南开大学关于收集、保 存、使用学位论文的 规定， 同意如下各项内容:按照学校要求提交学位论文的印刷本和电 子版 本;学 校有 权保存学位论文的印 刷本和电 子版， 并采用影印、 缩印、 扫描、 数字化或其它手段保存论文; 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1 9 8 6 年著名数学家y . m e y e r 偶然构造出一个真正的小波基，并与s . m a l l a t 合作建立 了构造小波基的统一方法-多尺度分析之后，小波分析才开始蓬勃发展起来 与f o u r i e r 变换、 窗口f o u r i e r 变换( g a b o r 变换) 相比， 它是一个时间和频率 的局域变换，因而能有效的从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对 函 数 或 信号 进行多 尺 度细化分 析( l lu l t i s c a l e a n a l y s i s ) ， 解决了f o u r i e r变 换不能解决的 许多困难问 题，它是调和分析发展史上里程碑式的进展. 小波分析的应用是与小波分析的理论研究紧密地结合在一起的 现在，它己 经在图象和信号处理方面取得了令人瞩目的成就 信号处理的目的就是:准确的 分析、 诊断、编码压缩和量化、快速传递或存储、精确地重构 ( 或恢复) . 对于 其性质随时间是稳定不变的信号，处理的理想工具仍然是f o u r i e r 分析. 但是在 实际应用中的绝大多数信号是非稳定的，而特别适用于非稳定信号的工具就是 小波分析. 小波分析的应用领域十分广泛，它包括:数学领域的许多学科;信号分析、 图象处理;量子力学、理论物理;军事电 子对抗与武器的智能化:计算机分类 与识别;音乐与语言的人工合成;医学成像与诊断;地震勘探数据处理;大型 机械的故障诊断等方面. 第四节 本论文所作的主要工作 本文首先对经典的f o u r i e r 变换和窗口f o u r i e r 变换 ( g a b o r 变换) 与小波 变换在时频分析方法上进行分析、比较，讨论他们各自的应用范围及其优缺点. 通过对小波变换的特点进行总结、分析，并利用其时频两域都具有局部性的特 点，对信号的采样及重构理论进行研究，找出经典的 s h a n n o n采样定理的局限 性以 及小波采样的优点. 最后， 对小波具有的多分辨率的 特点及著名的m a l l a t 算法进行了研究. 第二章预备知识 第二章 预备知识 第一节 l e b e s g u e 积分简介 本文中所涉及函数都是定义在r中一个可测集上取复值的函数. 这样若 f ( x ) 是这样的 一个函 数， 则 f ( x ) = f a ( x ) + f , ( x ) ，( 2 . 1 ) 其中 f r ( x ) 是ax ) 的 实 部， f ( x ) 是f x ) 的 虚部 ， 他 们 都 是 取 实 值 的 函 数 . 定 义2 . 1 . 1定 义 在 可 测 集e c_ r 上 的 函 数f 称为 可 测的 ， 若尸( x ) 和f l ( x ) 都 可测. 定 理2 . 1 . 1设f 在e 上 可测 ， 则 对 任 何 复 数a 十 b i , x e e : f ( x ) = a + i b 是 可测集. 证 此由 f ( x ) = a + i b ) = ( f r = a ) n ( f , = b 得 . 定 理2 . 1 . 2 ( i ) 设f 和s 都 在e 上 可 测， 而且几 乎 处处 有限 ， 则犷，f 士 8 及 f 8 都 在e 上可测， 其中a 是复 数; ( i i ) 设人在e 上 可测而且几 乎 处处 有限，n = 1 ,2 , , , 人( x ) 一 - 0 f ( x ) , “ 于e ， 则f 在e 上可 测. 定 义2 . 1 . 2 设f 在e 上 可 测， 若f ( e ) 仅 有 有限 个 复 数 组 成 ， 则 称 为 一 个 简 单 函数. 定理 2 . 1 . 3 设f 在e 上可测， 则 有简单函数列f， 使mx ) =+ ax ) , d x e e . 特别当f 有界时， 上述收 敛在e 上是一致的 . 第二章预各知识 定理 2 . 1 . 4 设f 和人，n - 1 ，都是e 上几乎处处有限的可测函数. 若 m ( e ) 0 ，有e的闭子 集f ， 使m ( e 一 f ) 0 ， 有 沿e 连 续的函 数厂使m ( f * 厂) 0 , 忽m ( l 人 一 f 0 s ) = 0 ， 则 称 f 在 e 上 测 度 收 敛 于 f ， 记 为 f . =* f - 定 理 2 . 1 . 6为 使 f - f ， 充 要 条 件 是 f r = :, f r 且 a l = o f . 证若 f -f ，则 从 f r ( x ) - f ( x ) i 5 i f ( x ) - f ( x ) 及 f ( x ) 一 f ( x ) ! f (x ) - f (x ) 知刀= f r , 刀= f / ; 反 之若刀= : - f r ,刀二f ， 则 对 任 何s 0 ， 由 于 f 一 f 1 : ; 二 f 8 一 f r ! : 粤 u f ! 一 f l ! 、 冬 vlv乙 从而易 知儿= f . 定理2 . 1 . 7 设f 和人，n _ 1 ， 都是 可 侧集e 上几 乎处处 有限 的 可 测函 数， ( i ) 若f -f ， 则 f . ( x ) 中 有子列 几 乎处 处收敛 于f ( x ) ; ( i i ) 若m ( e ) 0 ， 当m , n - - ) 0 0 时m ( l 几一 天译 毋- 0 ， 则必有 几乎 处处 有限 的 可测函 数f, 使人= f . 第二章预各知识 定 义2 . 1 . 4 设a x ) 二 f r ( x ) + f l ( x ) 在 可 侧 集e 上 可 测， 若f r 和f 都 在e 上l 可 积 ， 则 称 f 在 e 上 可 积 ， 并 称 工 f ( x )d x 二 工 八抽十 工 厂 (x )d x 为 f 在 上 的 乙 积分 . 若f 在e 可 积， 记为f e l ( e ) . 定 理 2 . 9 为 使 f “ l (e ) ， 充 要 条 件 是 川 。 l ( e ) . 此 外 工 f i 工 i f i- 定 理2 . 1 . 1 0设f , g e l ( e ) ， 则 ( i ) .tf 十 ，s l (e ) 并 且 工 af + eg = z 工 f + 心g ， 其 中 ， p 为 复 常 数 : ( ” ) 若 a 柳是 的 两 个 不 相 交 的 可 测 子 集 ， 则 玩 介工 f + 工 f - 定理2 . 1 . 1 1 ( 控制收 敛定 理)设人， n 2 1 ， 都 在e 上 可 测， 人( x ) 目 j之 斗 ax ) ， “ 于e ， 此外 有f e l ( e ) ， 使i f( x ) i f ( x ) ， n 2 1 ， a .e . 于e ， 则f e l ( e ) 而 且 浊工 f = 夕( 2 . 2 ) 定 理2 . 1 . 1 2 ( 积 分的 可 数 可 加 性 ) 设f e l ( e ) . ( e . ) 是e 中 两 两不 相 交 的 可 测 集列，则 艺 j . f ( 2 . 3 ) 定理2 . 1 . 1 3 ( 积 分的 绝 对连续 性) 设了 。 l ( e ) ， 则 对任何e 0 ， 有s 0 ， 对e 中 任何可测子集e ， 只要有m ( e ) s ， 就有 i pk c . ( 2 . 4 ) 定 理2 . 1 . 1 4 ( f u b i n i )设 n = p + q ,其 中 p 和 q为 正 整 数 ， f ( x , y ) e l ( r ) 二 l ( r 0 x r 0 ) ， 其中x e r 0 ，y e r 9 . 则 第二章预备知识 l d x l f (x ,y )d v = l f (x ,v )d x d y = 二 d y l f (x ,y )d x . ( 2 . 5 ) 定 义2 . 1 . 5设f ( x ) 在x 0 。 r 的 一 个邻 域中 有定义. 若 lim f ( x ) 一 f ( x o ) = f( x o ) ( 2 . 6 ) x-x o 存 在 有限 ， 则 称f 在x o 可 导 ， 并 把 上 述f ( x o ) 称为f 在x o 的 导 数 定 理2 . 1 . 1 5为 使f ( x ) = f ( x ) 十 少( x ) 在x o s r 可导， 充 要 条 件 是f 和厂都 在 x o 可 导 ， 而 且f ( x o ) = wa x . ) + i( f ) ( x o ) 定 义2 . 1 . 6设( a , b ) 是 一 个开区间 ， - o o 5 a b s + o o , fx ) 定义 在( a , b ) 上. 今若 x= 扛 ， 是( a , b ) 中 的 一 个网 ， 即 a x o x , x z - 二 x 0 ， 使对 ( a , b ) 中 任何 有 限 个 两 两 不 相 交 的 开 区 间 ( a a , b k ) ) :。 ， ， 只 要 艺( b , 一 a t ) o ， 使 对 任 何x e x， 肛 - 任 何复 数a ; , a 2 s u d it u 洋 为t的范数. 特别若上述y 就是复数域c，则t称为x上的有界线性泛函. 定义2 . 2 . 4单射，满射，双射. 设t e l ( x , y ) . 若对任何x x 2 e x, x 1 * x 2 ， 有t x , * t x 2 ， 则t 称为满 射; 若对任何y rz y ， 有x e x使t x = y ， 则t 称为 满射; 若t既是单射，又是满射，则t称为双射. 定义2 . 2 . 5算子的图 像， 若t e l ( x , y ) ， 则 价 = 厦 ( x , t x ) : x e x ) ( 2 . 1 1 ) 第二章 预备知识 称为t的图像，它是乘积空间xx y的一个子集. 定义 2 . 2 . 6连续算子. 设t 是从 b a n a c h空间x到y的映射 若对任何x e x及 划c x , 只 要 卜 ， 一 浦 、。 ， 就 有 卜。 一 川一0 , 则 称 t 为 连 续 算 子 定理2 . 2 . 1设t 是 从b a n a c h 空间x到y 的 线性算子， 则为使t e l ( x , y ) ， 充要 条件是t 是连续的. 定理2 . 2 . 2 l ( x , y ) 按算子范数是b a n a c h 空间 . 定理2 . 2 . 3 ( b a i r e 纲定理)b a n a c h空间x中任何可数个稠开子集的交在x中 是稠的 定理 2 . 2 . 4( 一致有界性原理) 设 几) , , c l ( x , y ) ，若对任何x e x, su p iitx cn小00 , 则 su p iit a 。 使 t ( u ) 。b v ( = 6 y : y e v 1 ) . ( 2 . 1 3 ) 定理2 . 2 . 6 若t l ( x , y ) 是双 射， 则 有5 0 使 卜卜司 动 ， b x e x . ( 2 . 1 4 ) 定 义 2 . 2 . 7逆算子 . 若t e l ( x , y ) 是 双 射， 则 对每一y e y ， 有唯 一的x e x是 t x = y定 义t - 场= x ，t - ， 称为t 的 逆 算 子. 定理2 . 2 . 7 若t e l ( x , y ) 是双射， 则t : y - + x是双 射并 且t - r : ( y , x ) . 推论 设t e l ( x , y ) ， 则为 使t 是 双 射， 充要条 件是 有a , b 0 使 川 日 网 纲 ， v x c- x . ( 2 . 1 5 ) 定义 2 . 2 . 8 h i l b e r t空间 . 设h是一个线性空间 . 对任何x , y e h， 有一个复数 第二章预备知识 与之 对应， 满足 如 下条 件: ( i ) = : ( i i ) - 0 ，并且为使 = 0 ，当且仅当x = 0 ; ( i i i ) = a ; ( i v ) = + ; ( v ) 令 iw i= z ， 则 h 按 照 ih 成 为 b a n a c h 空 间 此时称h按内积 成为一个h i l b e r t 空间. 当 = 0 时， 也称x 与y 正交， 记为x 上 y - 定 理 2 . 2 . 8 (s c h w a r z 不 等 式 )i x , y 率冈 卜 i . 定 理 2 . 2 . 9 ( 三 角 不 等 式 )卜 + y g _ 冈 + 日. 定 理 “ “ ” iix ii= 器 i x ,y 平 微 i . ( 2 . 2 0 ) 定 理2 . 2 . 1 3 ( 共扼算子 ) 设拭和从是两 个h i l b e r t 空间， t e l ( h 凡)， 则 有 第二章预备知识 t e l ( h z , 拭) 使 对 任 何x e 拭及y e 从有 - . ( 2 . 2 1 ) 上 述 : 称 为 : 的 共 扼 算 子 ， 并 且 有 iit ll 二 v il. 定理2 . 2 . 1 4设t e l ( h h z ) ，s e l ( h 2 , h i ) . 则s t e l ( h h , ) 并且 ( s t ) . 二 t s . ( 2 . 2 2 ) 定 理2 . 2 . 1 5设t e l ( h h 2 ) 是 双 射， 则t l ( h 2 , h , ) 也 是 双 射， 并 且 ( t ) 一 ， = ( t - y . ( 2 . 2 3 ) 第三节 基底、框架 信号的分解与重构是信号分析中的基本问题. 所谓分解，是指将一个信号 f ( x ) e l 2 ( r ) 与 一 系 列 函 数i e ( x ) 做内 积 运算 所 得 到 的 值 c . x f , e . n e z ( 2 . 2 4 ) 称之为 分 解系数: 它 是f ( x ) 在 基函 数 上的 投 影， 因 而 能 给出f ( x ) 中 含有的 与 e ( x ) 相关 联的 信 息 . 另一方面， 我们还希望能利用经某种处理之后的分解系数数据重构近似信号 入 x ) . 即 在 不 对 分 解 系 数 c 做 任 何 加 工 的 条 件 下 ， f ( x ) 可 以 通 过 完 全 重 构 ， 即表达式 f ( x ) 二 艺 c , e , ( x ) 二 艺 . ( x ) ( 2 . 2 5 ) 成 立 . 式 中 e ( x ) 称 为 ( e , ( x ) 的 对 偶 . 如 v式 中 e ( x ) = e , ( x ) ， 则 重 构 公 式 成 为 f ( x ) = 艺c e ( x ) = 艺 e ( x ) . ( 2 . 2 6 ) 显然，当 “ ，了二 si/ = il j =1 , i *j v i , j ez ( 2 . 2 7 ) 则( 2 . 2 6 ) 式成立 ( 2 . 2 7 ) 式称为正交归一化条件， 并有如下定义: 定义2 . 3 . 1 满足正 交归 一 化条 件的函 数序列 e . ( x ” 称为正 交归 一化函数系 . 个完备的正交归一化函数系称为正交归一化基. 第二章 预各知识 此时相应的p a r s e v a l 等式为 if iiz = 艺 i 1z .(2 . 2 8 ) 定 义2 . 3 . 2 设 h 为 一h i l b e r t 空 间 ， f 97 . 为 h 中 的 一 个 函 数 序 列 ， 若 对 于 任 何 f ( x ) e e ( r ) 能 使 下 式 a jf jj2 :s e i j :5 b iia ( 2 . 成立， 式中a . b 为 满 足0 a b 二 的 常 数， 则 称 97 . 为一 个框架 . a , 别称为框架的下界和上界. 当a=b时，称此框架为紧框架. 对于h中 的 函 数ax ) ， 用一个 框 架 所能 刻画的 信息 量虽然不能 像 用一个 标 准 正 交 基 所 刻 画 的 那 样 ， 正 好 等 于 川 ， ， 但 是 ， 当 a = b 且 接 近1 时 ， 它 们 是 近 似相等的. 所以， 此时， 框架可提供对h的另一种表达方式. 事实上， 当a = b时， 即在紧框架下， 对于 任何了 h， 有 ( 2 . 3 0 ) 且由此可推出 艺 i f ,m . 扩 二 川 囚 ， ， f ( x ) 二 a - i 艺 w - ( 2 . 3 1 ) 一般而言， 紧 框架也 不是 标准正 交 基， 旭是它 可以 提供函 数的 一个冗余表 示. 也 可以 看 作由 f o p . 重 构f 的 一 个 方 法 . 若 91 . 是h的 一 个紧框架， 且a = 1 ， 则 qi . 就 构成h的 正交系， 再若 ih . 卜1 ， 则 op . ) 就 构 成 h 的 一 个 标 准 正 交 基 事 实 上 ， 任 取 01 , 。 ip . ) , 有 119 ,12 = e t , ( 2 . 3 2 ) 由此得到 二 11 , i， + y- 1 i e 林 矶 ， 汽扩 = 0，( 2 . 3 3 ) 所以 妈， q, . r - 0 , j * n . ( 2 . 3 4 ) 对于任何f ( x ) e h， 若设 f ( x ) , op , x 0 对 所有的n 成 立， 可得f ( x ) = 0 . 这 说明 表示ax ) 的 系 数是 惟一的，因 此， 框架 i n 是h的 一 个标准正交基. 这说明 框 架概念其实是基的更一般的形式. 第三章 f o w i e r 分析简介 第三章 f o u r i e r 分析简介 第一节 l ( r ) 中的f o u r i o r 变换 若f e l ( r ) ，则 f ( m )二 二 f ( x )e - zm s. d x ( 3 . 1 ) 称为f 的f o u r i e r 变换. 定 理3 . 1 . 1 设1 5 p 0 0 ， f e y( r ) ， 并 对 每 一y e r 令 f y ( x ) 二 ax 一 y ) ( 3 . 2 ) 则y -+九是r 到l 0 ( r ) 的 一 致 连 续 映 射 定理3 . 1 . 2若f l ( r ) ，则 少 e c a ( 即 少 连 续 且1 mf ( w )一 ” ， ， 此 外 例 . 川 : ， 证n ilm 5 h : 是 显 然 的 其 次 若 、 ” “ ， 则 从 ! f ( w r ) 一 f ( w ) ! 二 i f (x ) ii e -z“- e -2a . jd x 及控制收敛定理知f ( w . ) 斗入 m ) . 故 f 连 续最 后 由 于 f (. ) = i f (x )e -z- m.d r = 一 f (x )e i x . (=*z cd r = 一 r f (二 一 1 -20 - d , 一一一乙山 因此 ，2 f (w ) iz l l f (x ) 一 f (x 一 i n e -4- ., d x i 0 ， 贝 第三章 f o o r i e r 分析简介 之尸 . h z ( x ) 不 ) , l h x ( x ) d x = ( 3 . 3 ) 此外当f e l ( r ) 时， ( f h a x x ) 一 皿 h ( n )f (t)e d t . ( 3 . 4 ) 定理3 . 1 . 3若g e l 0 ( r ) , x 是g 的 连 续点 ， 则 您( g h a ) ( x ) = g ( x ) ( 3 . 5 ) 定理3 . 1 . 4若1 5 p o o , f e l p ( r ) ， 则 lim if * h xa-,o一 f ， = 0 . ( 3 . 6 ) 定 理 3 . 1 . 5 ( 反 演 定 理 ) 若 f , 少 。 l ( r ) 并 且 : ( x ) 二 二 f (t )e - d t ， 则 : e c o 并 且 f ( x ) = g ( x ) , “ . 定理3 . 1 . 6 ( i ) 若f e l ( r ) , x f ( x ) e l ( r )。 二d 、 则- jt 口) 口 d ( i i ) 若f l ( r ) , f 连续 可微且f e l ( r ) 一1., 2 yf (x ) 一击 : 皿 f .(x )e - 2 d x . 而 且 ， 则2 ) d 可( w ) = f ( w ) = 0 ( i w 1) ( c o i- - ) - c o ) . ( 3 . 7 ) 推论:( i ) 若x k f ( x ) l ( r ) , k = 0 ,1 , . . . n ， 则 d 、 _ -jt 口) = ad ) 皿 ( 2 ,d x ) . f ( x )e - d x : ( 3 . 8 ) ( i i ) 若fn 次 连续可 微而 且f t e l ( r ) , k 二 q ,1 , , n ， 则 (f ) (m ) = (2 n im ) (w ) , 2 . i i f (. ) i 、 皿 i p , (x ) i ( 3 . 9 ) 粗 略 地 说 ， 当 i x 1- h . 时f ( x ) 递 减 越 快 ， f ( . ) 越 光 滑( 即 有 更 多 次 导 数 ) ; 另 一 方 面f ( x ) 越 光 滑 ， 入 m ) 递 减 将 越 快! 第三章f o u r ie r 分析简介 第二节 l 2 ( r ) 中的f o u r ! o r 变换 定 理3 . 2 . 1 ( p l a n c h v e l ) 对 每 一 f e l 2 ( r ) ， 有 一 个 少 。 l 2 ( r ) 与 之 对 应 ， 使 得 下 述性质成立: ( i ) 若 f 。 l ( r ) n l 2 ( r ) ， 则 少 就 是 l ( r ) 中 f 的 f o u r i e r 变 换 ; ( ii ， 对 每 一 ， e l 2 ( r ) , v l - w ( 3 . 1 0 ) ( i ii ) 映 射 f - )- 少 是 l 2 ( r ) 到 其自 身 上 的 一 个h i l b e r t 空 间 同 构 . ( iv ) 若 令 ， i (t) 二 二 f (x )e - 2s dx , w , (x ) 二 亡 f (t ). - dt ， 则 当 。 二 时 ， ih a2 -+ 0 1 11 - j % -+ 0 . ( 3 . 1 1 ) 推 论 若 f e l 2 ( r ) , 少 。 l ( r ) ， 贝 i1 f (x ) = 皿 f (t)e 2- d t , ( 3 . 1 2 ) 推 论 2 若 ， ， g e l 2 (r ) ， 则 皿 f (x )s (x )dx = 皿 入 x )g (x )d x . ( 3 . 1 3 ) 注1 等 式( 3 . 1 3 ) 及 - 通 称 为p a r s e v a l 等 式 . 注 2 若 f e l (r ) ， 则 对 每 一 ， 。 ， ， a t) 一 皿 f (x )e -“是 完 全 确 定 的 例 1对每一整数” 令 人( x ) ，0， |陌j.|l 一一 则人。 l ( r ) (1 l 2 ( r ) ， .f (t) = j e 2 o e - 2 d xi二 s i n x ( t 一 n ) u ( t 一 n ) 由 于 几 是 l 2 ( r ) 中 的 标 准 正 交 组 ， 从 而 由 p l a n c h e v e l 定 理 ， 大 ( t ) 也 是 标 准 正交组，从而 厂 sin 黔m ) 一 nu一用少 s in ;r (上且d t a r ( t 一n )一 、 ， = 位 功 = n , 邢 裤 几 第三章 f o u i e r 分析简介 此 外 对 任 何 复 数 列 c e l 2 ， 级 数 y - c . s in x ( t - n ) 在 l z ( r ) 中 收 敛 . 万i t 一n j 例2 现设f e l 2 ( r ) ，. f 有 紧 支 集 一 告 ，合 ， 于 是 a x ) = 且