（应用数学专业论文）主理想整环上hermitian矩阵的加法保秩映射与矩阵几何.pdf

摘要 我们把刻画矩阵集合之间保持不变量的加法算子称为“加法保持问题”的研 究它是目前矩阵论研究的活跃方向，并且与矩阵几何，j o r d a n 环的同构这二个 研究方向有密切的联系本文主要刻画了关于有对合的交换主理想整环上 h e r m i t i a n 矩阵集合的双向保粘切的加法双射以及j o r d a n 同构，主要研究结果如 下： 设r 是一个有对合的交换主理想整环，且r 的特征不为2 ，h 。( r ) 表示r 上 疗伽2 ) 阶h e r m i t i a n 矩阵的集合本文首先利用极大集的方法，证明了h 。( r ) 的 双向保粘切加法双射妒为一个数乘变换、一个合同变换和一个由r 的自同构导出 的矩阵环的自同构这三个映射的合成作为这个结果的重要的应用，本文讨论了 厅。( r ) 的j o r d a n 同构，证明了：若妒为h 。( r ) 上的j o r d a n 自同构，则妒保算术距离， 从而刻画出了日。僻) 的j o r d a n 同构的形式由此可知，b a r ) 的每一个j o r d a n 自 同构可以扩充为一个r 上的玎阶全矩阵的环自同构，并且双射妒为r 上h e r m i t i a n 矩阵的j o r d a n 自同构当且仅当缈为尺上h e r m i t i a n 矩阵上的双向保粘切加法双射 且满足妒( 厶) = l 关键词：主理想整环；h e r m i t i a n 矩阵；秩1 极大集：保粘切；加法双射；j o r d a n 同构 a b s t r a c t c h a r a c t e r i n gt h ea d d i t i v eo p e r a t o rp r e s e r v i n gi n v a r i a n tb e t w e e nm a t r i xs e t si s c a l l e d a d d i t i v ep r e s e r v e rp r o b l e m s ”r e s e a r c h i ti sa na c t i v ed i r e c t i o no fm a t r i x t h e o r yr e s e a r c h ，a n dh a v eac l o s er e l a t i o nw i t ht h eg e o m e t r yo fm a t r i c e sa n dj o r d a n r i n g s i nt h i sp a p e r , w ed i s c u s st h ef o r m o fb i d i r e c t i o n a la d j a c e n c y - p r e s e r v i n g a d d i t i v e b i j e c i o n a n dt h ej o r d a n i s o m o r p h i s mo n h e r m i t i a nm a t r i c e so v e r a c o m m u t a t i v ep r i n c i p a ld o m a i nw i t ha ni n v o l u t i o n w eh a v et h em a i n l yc o n t e n tb e l o w ： l e trb eac o m m u t a t i v ep r i n c i p a ld o m a i nw i t ha ni n v o l u t i o nw h i c hi t s c h a r a c t e r i s t i ci sn o t2 d e n o t eb yh n ( 月) t h es e to fa l l 刀x 刀( 竹22 ) h e r m i t i a n m a t r i c e so v e rr i nt h i sp a p e li nt h ef i r s tp l a c e ，b yt h em e t h o do fm a x i m a ls e t sw e d i s c u s st h ef o r mo ft h eb i d i r e c t i o n a la d j a c e n c y p r e s e r v i n ga d d i t i v eb i j e c t i o n 妒o n h 月( r ) w h i c hi sc o m p o s e do fas c a l a rm u l t i p l i c a t i o nt r a n s f o r m a t i o n ，ac o g r e d i e n t t r a n s f o r m a t i o na n da n a u t o m o r p h i s mo fm a t r i c e sr i n g sw h i c hi s e d u c e db ya n a u t o m o r p h i s mo fr a sa ni m p o r t a n ta p p l i c a t i o no ft h i sr e s u l t ，w ed i s c u s st h ej o r d a n i s o m o r p h i s m s o nn n 。僻) ：妒p r e s e r v e sa r i t h m e t i cd i s t a n c ei f c p i saj o r d a n a u t o m o r p h i s mo nh 。僻) t h e r e b yw ec a nc h a r a c t e rt h ef o r mo f j o r d a ni s o m o r p h i s m s o n h n ( r ) i tf o l l o w st h a te v e r yj o r d a na u t o m o r p h i s mo nh 。( r ) c a nb ee x t e n d e dt o ar i n ga u t o m o r p h i s mo n ，l 疗m a t r i c e s ，a n dt h eb i j e c t i o n 妒i saj o r d a na u t o m o r p h i s mo nh e r m i t i a nm a t r i c e so v e rri fa n do n l yi f 矿i sab i d i r e c t i o n a la d j a c e n c y p r e s e r v i n g a d d i t i v e b i j e c t i o n o nh e r m i t i a nm a t r i c e so v e rrw h i c hs a t i s f i e s 烈l ) = l k e yw o r d s ：p r i n c i p a li d e a ld o m a i n ；h e r m i t i a nm a t r i x ；m a x i m a ls e to fr a n kl ； p r e s e r v i n ga d j a c e n c y ；a d d i t i v eb i j e c t i o n ；j o r d a ni s o m o r p h i s m 爿= ( ) a d j ( 4 ) r a n k 口) a i b a d ( a ，曰) d ( a ，b ) 爿一曰 a b d i a g ( y q ，a r ) 本文符号列表 交换主理想整环 对合 j r 的特征 尺上的所有m x 行阶矩阵的集合 只上的押阶可逆矩阵的集合 尺中可逆元素的集合 r 中非零元素的集合 r 上所有胛阶h e r m i t i a n 矩阵构成的空间( 集合) 矩阵日的行列式 ( f ，_ ，) 位置为l 而其它位置为零的矩阵 h 阶零矩阵 以阶单位矩阵 ( 4 口) ，任意矩阵4 曰 矩阵a 的转置，其中a = ( 口，) 矩阵a 的对合转置，其中a = ( 口) 矩阵a 的伴随矩阵 矩阵a 的秩 a 为b 的一个因子 矩阵爿与艿的算术距离 矩阵4 与b 的距离 矩阵4 与b 粘切 矩阵彳合同于b 对角线上是 ，乃的对角矩阵 f = a e r ：n = f f 带有对合。一”的环尺关于。一”的对称元集合 r d ，7 ， “ r 一 一 刚彤岬毛咿厶 k = 口r ：一a = 石 带有对合“一”的环r 关于“一”的斜对称元集合 = 1 ，胛 h n 口】= ：= 石尺 ，其中口= ，f r ，1 f r 门 l l s j ，s ，j m = 堰，：x e f l ，f = l ，l a 4 2 = x ( 巨l + e 2 + 易i + e 恐) ：x r q ( x ) = x _ 毛+ 茹l ，：x j r ，l i ，j n ，f _ ， 掣= 卜。嘻州t 。f ，t ，尺) ，= 2 ，疗 d f = b ( x ) ：x 尺 ，1 f ，j n ，i c j 2 长沙理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取 得的研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其 他个人或集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研究做出重要贡献的 个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律后 果由本人承担 作者签名巍瞻， 日期：渤5 年歹月2 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被 查阅和借阅本人授权长沙理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容 编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和 汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密团 ( 请在以上相应方框内打“4 ”) 作者签名：瓿琼日期：加6 年厂月，2 日 导师签名，孑仉辛 日期：h 厶年，月1 2 日 第一章前言 1 1 课题背景与发展概况 矩阵与加法算子保持问题是研究某种矩阵空间上保持某种性质不变的加法映 射，是当前国际上矩阵论研究中的活跃方向，下面对它作一个简介 设s 是一个矩阵集合，g l ，g 记为s 的子集，它们常被取作所有m n 矩阵的 集合，所有f 船对称矩阵的集合，所有珂，l h e r m i t i a n 矩阵的集合，所有，l 疗交 错矩阵的集合，所有t x n 上三角矩阵的集合等如果一个映射妒：g l - - 9 g 2 满足如 下条件的( 1 1 ) 和( 1 2 ) ，则称妒是从g l 到g 的一个线性映射或线性算子 妒( 彳+ b ) = 妒( 爿) + 烈b ) ，v a ，b g l ， ( 1 1 ) p ( 4 ) = j p ( 彳) ，v a g | ，s s ( 1 2 ) 特别地，当g l = g = g 时，我们也称妒是g 上的线性映射刻画从g 1 到g 的 保持某些映射，子集，函数，关系等不变量的线性映射的结构问题称为线性保持 问题简记为l p p ( l i n e a rp r e s e r v ep r o b l e m ) 对于线性保持问题的最早工作是 1 8 9 7 年f r o b e n i u s 的文献e l i 和k a n t o r d 文献 2 ，之后一些研究线性保持问题的文 章陆续出现，特别是近3 0 年来，线性保持问题得到了极大的发展 如果将l p p 中的条件( 1 2 ) 去掉，则称其为加法保持问题，简记为 a p p ( a d d i t i v ep r e s e r v ep r o b l e m ) 显然这类问题是l p p 的推广，但由于不能应用 线性空间的理论及系数交换的性质，使得这类问题的难度和技巧性大大增加可 见a p p 比l p p 研究的范围更广，研究的问题更抽象1 9 9 1 年，m o m l a d i e 和p 薹e m r l 在 3 中，用“加法算子”代替“线性算子”，开始了a p p 的研究他们于 1 9 9 3 在 4 一文中得到了复矩阵保秩1 的结果这之后曹重光和张显1 9 9 6 年在 l i n a l g a p p l 发表 5 将a p p 的研究引向更一般的矩阵张显在文献 6 中讨论 了域上对称矩阵空间上的加法秩保持问题；在文献 7 中讨论了域上2 阶对称矩阵 空间上的加法秩保持问题对于加法保持问题的研究还有很多新的成果 s - t f l 加 法保持问题在众多的领域中有很好的应用背景，它的成果在系统控制，数理统计， 微分方程等领域中有很好的应用 矩阵几何是数学大师华罗庚于上世纪4 0 年代由于研究多复变函数论的需要 所开创的一个数学研究领域为了解释矩阵几何，我们回忆f k l e i n 于1 8 2 7 年提 出的几何纲领：“一门几何就是一些图形在某个非奇异变换组成的群下的不变性 质的集合”这个纲领成为几何学研究的指导性纲领之一对于矩阵几何，空间 的点是某一类矩阵，还有一个变换群作用在这个空间上，矩阵几何的基本问题就 是用尽可能少的几何不变量来刻画这个矩阵空间的变换群，其答案通常称为这个 矩阵几何的基本定理 最初讨论的矩阵几何是复数域上的四类矩阵几何，即长方矩阵几何，对称阵 几何，交错阵几何和h e r m i t i a n 阵几何1 9 4 5 1 9 4 7 年间，华罗庚证明了这四类 矩阵几何的基本定理他用了刻画变换群中变换的不变量有算术距离，调和点集， 连续性等1 9 4 9 年他把对称几何的基本问题推广到特征不为2 的任意域上，而刻 画变换群的不变量减为粘切1 9 5 1 年，他又把长方阵几何的基本定理推广到元素 个数大于2 的任意除环d 上对d = f ，的情形，这个定理是万哲先和王仰贤在 1 9 6 2 年补证的 万哲先院士等国内一批学者继续了对矩阵几何的研究，得到了一些重要的结 果1 9 6 6 年刘木兰教授用极大集的方法证明了域上交错矩阵几何的基本定理和交 错阵射影几何的基本定理：华罗庚，万哲先解决了域上对称矩阵几何、 h e r m i t i a n 矩阵几何的基本定理n ”1 ：黄礼平教授与万哲先院士解决了满足一个 假设条件的带对合的除环上斜h e r m i t i a n 矩阵几何的基本定理n 6 1 ：黄礼平教授与 万哲先院士于2 0 0 0 年解决了满足一个假设条件的对合的除环上2 x 2 h e r m i t i a n 矩 阵几何的基本定理，同时指出满足假设的有对合的除环的代数结构“”最近， 黄礼平教授证明了3 阶以上的任意带对合的除环上h e r m i t i a n 矩阵几何基本定理 “”对于矩阵几何还有很多新的成果n “2 ” h u a n gwl ，r 。h o f e r 和万哲先院士简化了满足一个条件的h e r m i t i a n 矩阵 几何的基本定理中的条件“1 黄礼平教授简化了任意带对合的除环上h e r m i t i a n 矩阵几何的基本定理中的条件。“，去掉了“逆映射也保持粘切性”这个条件2 0 0 4 年，黄礼平教授在 2 2 中指出对合除环上h e r m i t i a n 矩阵空间上的秩l 保持的加 法满射也是保粘切的双射，从而对合除环上的秩1 保持的加法满射问题已经解决， 剩下的问题是研究对合环上的h e r m i t i a n 矩阵的保秩1 的加法满射 矩阵几何与加法算子保持问题研究的深入发展关系密切，矩阵几何是加法保 持问题的更深层次的研究，它在矩阵保持问题中有很好的应用，不但可以简化已 知结果的复杂证明，还可以得到很多新的成果加法保持问题可以看作矩阵几何 一的前期工作和必要工作，而且加法保持问题与矩阵几何在某些情况下是等价的，” 所以二者有融合统一的趋势目前加法保持问题的研究已经走向了一般的矩阵， 研究一些重要环上的矩阵几何也已经成为矩阵几何的一个新研究发展方向 设q 是一个环，为q 的加法子群，若任取口，b l 有口o b = a b + b a l 。则 称工为一个j o r d a n 环若妒为从到的加法映射( 加法双射) ，且p 满足 妒( 口2 ) = 【妒( 口) 】2 ，妒( 口6 口) = 9 ( 日) 烈扫) 妒( ，v a , b e l ，贝4 称妒为从至0 l 的j o r d a n 同 2 态( j o r d a n 同构) 从c 到自身的j o r d a n 同构也称为上的j o r d a n 自同构 j o r d a n 环的j o r d a n 同构的研究也是代数学中一个有意义的问题一般讲， j o r d a n 环既不是结合环也不是结合代数，因此它的研究是困难的目前对于 j o r d a n 同构的研究有了进一步的发展“”2 9 】而同时有对合的交换主理想整环上 h e r m i t i a n 矩阵集合是一个重要的j o r d a n 环，所以对于有对合的交换主理想整环 上h e r m i tj a n 矩阵集合的j o r d a n 自同构的研究是有必要且有意义的 目前，除环上h e r m i t i a n 矩阵几何基本定理的问题已经基本解决( 除特征为2 的情况和2 阶h e r m i t i a n 矩阵几何尚未完全解决) ，然而对于主理想整环上的 h e r m i t i a n 矩阵几何基本定理的研究却尚未开始，仍然是一项颓的工作，而主理想 整环上h e r m i t i a n 矩阵的加法秩1 保持问题可以作为主理想整环上的h e r m i t i a n 矩 阵几何的前期工作的探讨和研究对于保持问题而言，主理想整环上h e r m i t i a n 矩阵的加法保持问题也是一项新的工作同时除环上h e r m i t i a n 矩阵的j o r d a n 同 构问题也已经得到了解决“”，随之而来的就是主理想整环上h e r m i t i a n 矩阵的 j o r d a n 同构问题 1 2 本文主要内容 本论文主要做了以下工作： j 本文假设r 为有对合“一”的交换主理想整环，且c h a r ( r ) 2 ，h 。( r ) 表示rt - 所有甩( 刀2 ) 阶h e r m i t i a n 矩阵集合本文主要研究了h 。( r ) 的双向保粘切加法 双射的形式与以( 尺) 的j o r d a n 同构本文共分三章 第一章，介绍了本文的背景、研究动态及其发展趋势 第二章，证明了关于h 。( 尺) 的双向保粘切加法双射妒的形式为： 妒似) = d 暇4 丁，”h 。俾) ， 其中d r + ，t g k ( r ) ，盯是尺上与对合“一”可交换的自同构 第三章，详细讨论了日。( 尺) 上的j o r d a n 同构，得出如下结论：若妒为以职) 上的j o r d a n 自同构，则妒保算术距离，从而双射妒为以( j r ) 上的j o r d a n 自同构当且 仅当妒的形式为： 妒( r ) = d 承4 r ，v z h 。( r ) ， 其中d e r + ，t g l ( r ) 满足 f t = d - t i ，仃是尺上与“一”可交换的自同构并由 此可知h 。( r ) 上的每一个j o r d a n 自同构可以扩充为r ”上的一个环自同构并 且妒为日。( r ) 上的j o r d a n 自同构当且仅当妒为以( 尺) 上的双向保粘切加法双射且 满足p ( l ) = 厶 4 第二章交换主理想整环上h e r m i t i a n 矩阵秩1 2 1 引言 保持加法双射 定义2 1 1一个交换整环尺叫作一个交换主理想整环( 简记为p i d ) ，假如尺 的每一个理想都是主理想 定义2 1 2 一个无零因子环尺的非零元的相同的阶( 对加法来说) 叫做环的 特征记作c h a r ( ) 定义2 1 3 一个域豆叫作环尺的一个商域，假如豆包含r ，并且豆刚好是 由所有元素a b ，( 嘎6 r ，b 0 ) 所作成的 定义2 1 4 设尺是一个交换主理想整环，a = ( 口口) r “”，代数和 s g n ( a ) a u , o , a 2 叩) c , u t ， “& 称为a 的i 阶行列式，记作d e t ( a ) 对于交换主理想擎环r 上的n 阶矩阵a 而言，如果4 为可逆矩阵，则d e t ( a ) 为r 中的可逆元素如果矩阵么既不是o 又不是零因子，则称a 为非奇异的 设r 是一个环，若“一”是一个从r 到它自身的双射，并且满足：a + b = 万+ b ， 磊= 万，厅= 口，v a ，b r ，则称r 上带有对合“一”，对合“一”也称为r 的一个 对合自同构称集合f = 扣r ：口= 万) 为带有对合“一”的环r 关于“一”的对称 元集合，称集合k - - a e r ：一口= 万) 为带有对合“一”的环尺关于。一”的斜对称 元集合 例如：对复数域c 而言，把c 上任意元素记为a + b t ，其中a , b r ，在c 上定义 映射“一”为口+ b i = 口一b i ，即为复数的共扼复数，则映射“一”为复数域c 上的 对合再例如：域p 中所有j 的多项式形成的一元多项式环p x 】，我们把f i x 】上的 元素表示为：0 ) = q z = a o x o + g l l x + + a n x ”，尸由交换主理想整环 1 = 0 的定义可知p x 】是一个主理想整环设域尸有对合自同构“一”，在p x 1 上定义对 合“一”：7 两= 窆q 工f = 杰瓦z ，v f ( x ) 研茗】显然映射“一”满足关系 1 = 0j = o - 一一= = = = = = f ( x ) + g ( j ) = f ( x ) + g ( x ) ，f ( x ) g ( x ) = f ( x ) g ( x ) ，f ( x ) = f ( x ) ，v f ( x ) , g ( x ) 研z 】因此“一”是尸p 】的一个对合 本章下面假设r 是一个有对合“一”的交换主理想整环，用彤表示尺中非零 元素的集合，r 表示r 中可逆元素的集合用毛表示( ) 位置为1 而其它位置为 零的矩阵，其阶数看上下文可知0 “表示，l 阶零矩阵，l 表示丹阶单位矩阵任意矩 阵4 口，彳。b 表示( 4b 设肌，行为大于等于2 的整数，尺”“表示r 上的所有 m 力矩阵的集合瓯( r ) 表示r 上的栉阶可逆矩阵 设日e j r ”若嚼- - h ，则称h 为j r 上的h e r m i t i a n 矩阵若a = ( 口) r “， a = ( 口，) 表示a 的转置，互= ( 动如果o ：a l - - ) 仃( 口) 是r 到自身的映射，记 a 4 = ( 盯( ) ) 设4 ，b r ，如果存在p g l 。( 固使得a = p b p ，则称a 合同于b ， 记作a * b 用何。) 表示r 上所有刀阶h e r m i t i a n 矩阵构成的空间( 集合) ，它的元 素称为空间的点所有形如 x h p x p + 风，v x h 。( r ) ，其中p g l 。( r ) ，h o h 。( r ) ， 的变换形成一个变换群 设 = “，玎j ，任取口 ，其中d = “， ，l f ，刀，设 ：一，一”一r 。一11 一一一 日。【口】_ = i 苣r l b f 9j 显然有玩陋】sh 。( 尺) 任取q g l o ( r ) ，有 q ( h 。 a 1 ) q = q x q ：x e h 。【口】 6 令 则h f ) 】= m 设 m = x 邑：z f ) ，i = l ，n a 4 ：= x ( 巨。+ 巨：+ e 。+ 点之) ：工r j 岛( 工) = x 易+ 兑：x r ，1 i , j ，2 ，i ， 叠1 = _ 。e 。+ 乏：d l ，( _ ，) ：五。e f ，t e r ，i = 2 ，z j = 2 d = d 0 ( 工) ：工r ，l t , j ，l ，i ， 对于任意矩阵0 m r ”“，若存在尺上的可逆矩阵p ，q 使得 m = p d i a g ( e i ，砟，o ，o ) q ， 其中p ，0 ，i = l ，r ，且，唯一称，为矩阵m 的秩，记作r a n k ( m ) = ，定义零矩阵 的秩为0 显然，r a n k ( m ) 为m 的非零子式的最大阶数 2 2 交换主理想整环上的h e r m i t i a n 矩阵的一些性质 4 = q 。1 ( 嘎磷尸，其中珥iz+p或。，=， 引理2 2 2设r 是一个有对合“一”的交换主理想整环，a h 。( r ) 且 r a n k ( a ) = ，则存在，鸭【j c ) 便得 f ( 九。 p 其中4 。h r ( r ) 非奇异 证明由引理2 2 1 可知，存在矩阵a ，p g l 。( r ) 使得 刎1 ( 4 。) p ， 其中4 = d i a g ( d , ，以) ，谚r 。，i = l ， 7 令 显然有 f - f q = ( 爰：乏 。其中曰。尺“， 4 ：t 芦嗲一t q t f 4 l ：伊降b l ：1 l & - j = f ( 嚣趵 又由a h 。( 尺) 知毋1 4 = 0 令且。4 = a t 。，此引理成立 定理2 2 3 设尺是一个有对合“一”的交换主理想整环对于任意矩阵 h h n ( r ) ，且m n k ( h 产，则存在0 瑾f 使得 r 码 i 口h ：r 户i l z 0 o p 。 其中p r “”非奇异，0 z f ，扛1 ，r 证明设夏为r 的商域，定义a b = 面一，显然豆上亦有对合“一”令 p = a e 豆：g i = 琊显然h 在豆上可以对角化，即存在矩阵只g l ( 豆) 使得 h = 曩 不妨假设 r p l 。对 p l 乜。蜡 1 一i l 科 o p 。畦p h 堪 如磋段。硅 只：碗p 。碌 8 只，彰户。，i = l ， ，p f r ，h , j r o ，f ，= l ，以 k 厂 p o ， o，似0 p 设的最小公倍数为h ，令p = 怛，于是尸r 且p 非奇异设 z = 哳1 ，f = l ，印f ，o 茧f 取孝为毒的最小公倍数，令孝形= z f ， k a = 砌f 则有 h = ( 砖矗) 。1 f = 瑾- 1 f 0 o o o 尸 p 定理成立 定理2 2 4 设r 是一个有对合“一”的交换主理想整环，4 。，b l ，岛h ，( 尺) ， 矩阵 ， 4 = ( 冬转，赫娜疗， 如脚耻础滢轳m 2 删有 彳= ( a 。 证明 若如0 ，则r a n k ( a 2 2 ) = 1 因此根据引理2 2 2 知，存在矩阵置 g o ，( 尺) ，使得 亏( a 扩i p , 舯o a e f 扯( e ) ，则 9 悖扣 莓 4 ，4 ( 五扩，) 户 f - l ，2 k0 ) ( 矧珊都有 础暖牡吼2 l 珥五j 7 a e t ( 叠： = 伽僻峥弘 显然此时珥吨这与最岛相矛盾，因此如一o 再由础 每之2 羽 知4 2 = 0 定理成立 定义2 3 1 设点a ，b 以( r ) ，定义a d ( a ，b ) = r a n k ( a b ) ，称a d ( a ，b ) 为a 与 b 的算术距离当a d ( a ，b ) = l 时，称4 与b 粘切，记作彳b 我们有a d ( a ，b ) = a d ( b ，爿) ；a d ( a ，b ) = 0 当且仅当a = b ；两点间的距离满足 a d ( a ，c ) a d ( 4 ，占) + a d ( b ，c ) ，v a ，b ，c h 。( 尺) 定义2 3 2 设两个不同的点a ，b h 。( r ) ，设，为满足下列性质的最小的 正整数：存在r + 1 个点日o ，h l ，一，h ，eh 。( r ) ，其中h o = a ，h ，= b ，使得 日，日m ，j = 0 ，l ，r - 1 定义，为a ，b 两点的距离，记作d ( a ，b ) = r 定义 d ( 4 ，4 ) = 0 显然我们有d ( 4 ，b ) = d ( b ，彳) ；d ( a ，b ) = 0 当且仅当a = b ；进一步两点间的 距离满足d ( a ，c ) d ( a ，b ) + d ( b ，c ) ，v a ，b ，c e h 。( 尺) 定义2 3 3 若映射妒：h 。( 尺) 专h 。( 尺) 满足对任意的ey eh 。( j r ) 有 妒( x + j 厂) = 妒( x ) + 烈】，) ，则称缈为以( r ) 上的加法映射。 一”“4 定义2 3 4 设伊为从日。( r ) 到它自身的映射如果对任意的x ，y 日。( 尺) 有r a n k ( o ( x ) - 以y ) ) = r a n k ( x - r ) ，则称矿为以( r ) 上的算术距离保持映射，或者 称妒保算术距离如果z 一】r 可推出妒( x ) 烈】，) ，则称t p 保粘切如果x 】，当 且仅当妒( x ) 妒( 】，) ，则称妒双向保粘切 1 0 引理2 3 5 设a ，b h n ( r ) ，则a d c a ，曰) d ( a ，口) 证明设d ( a ，b ) = r ，则存在f + 1 个点ho = a ，日i ，h ，= b 以( 尺) 使 r 得一只，= l ，则a - b = ( 日，- l 一日。) 于是 i = 1 ， a d ( a ，b ) = r a n k ( a 一占) r a n k ( h “一日，) = ，= d ( a ，b ) 证毕 i = l 定义2 3 6设缈为从日。( 尺) 到自身的双射若对于任意的口r ， a h 。( r ) 都有妒( 口4 ) = 口4 妒( 彳) ，其中o - 是尺到自身的双射，则称妒保半数量乘 法 定理2 8 7设妒为从日。( r ) 到以( r ) 的算术距离保持双射，则妒。1 也是 。似) 到自身的算术距离保持双射 证明任取墨，五日。( r ) h r a n k ( x , 一k ) = ，由妒为算术距离保持双射可知 m k 瞒一五) = 例止( 妒( 妒- 1 ( 五一五) ) = r a n k ( 妒- 1 ( 五一五) ) = ， 所以r a i l k 代一置) = r a i l k ( 妒。1 ( 墨一五) ) = r 定理证毕 定理2 3 8 设r 是一个有对合“一”的交换主理想整环，妒为从日。( r ) 到自 身的保半数量乘法的双射，则妒与妒一1 保粘切当且仅当妒与妒。1 保算术距离 证明充分性显然下证必要性 任意a ，b h 。( 尺) ，设a d “，b ) = r a n k 口一b ) = ，根据引理2 2 3 知，存 在0 口f ，和非奇异矩阵p e 峨( 尺) 使得 令 r 4 l - ， a ( 彳一b ) = i磷o i 。 1 o z = p 0 o 尸，0 4 f ，i = l ， p ，f = l ， 取h o = a a ，只= u a - t , ，扛l ，则有彤= a b 并且可得e - l h ，i = l ， 由妒保枯切可得妒( 以。) 妒( 只) ，i = l ，于是有 d ( 伊( 口4 ) ，矿( 口b ) ) r = a d ( a ，b ) 由引理2 3 5 可知a d ( 妒 爿) ，以口占) ) d ( 妒( 口4 ) ，烈口曰) ) ，且有a d 口，b ) d ( a a ，a b ) 而a d “，口) = a d ( a a ，口b ) ，故有 a d ( 妒( 口彳) ，妒( d b ) ) d ( 妒( 瑾彳) ，妒( a 曰) ) a d ( a a ，a b ) d ( a a ，口b ) ( 2 1 ) 同理可得 a d ( q ，- 1 ( 岱a ) ，妒- 1 ( 盯b ) ) d ( 妒- 1 ( 口爿) ，妒_ 1 ( 口b ) ) a d ( a a ，a b ) d ( a a ，a b ) 因此有 a d o p - 1 ( 妒( 口彳) ) ，伊- 1 ( 妒( 盯曰) ) ) d ( 妒- 1 ( 妒( 口彳) ) ，妒- 1 ( 妒( d b ) ) a d ( 伊( 口爿) ，妒( 口口) ) d ( 妒( 口彳) ，妒( 口b ) ) 即有 a d ( a a ，a b ) d ( a a ，a b ) a d ( 妒( d 彳) ，妒( 口占) ) d ( 妒( 盯爿) ，r p ( a b ) ) ( 2 2 ) 由( 2 1 ) ，( 2 2 ) 式可得 a d ( o r a ，盯b ) = d ( a a ，a b ) 2 a d ( 妒( 口爿) ，妒( 口占) ) = d ( 妒( 瑾4 ) ，妒( 口曰) ) 因为妒是保半数量乘法，所以有 妒( 盯爿) = a 4 烈4 ) ，r p ( a b ) = 口4 烈口) ，其中盯是r 上的双射 故有 a d ( r p ( a a ) ，妒( 口b ) ) = a d ( a 4 c o ( a ) ，瑾4 妒( b ) ) = a d ( 矿似) ，妒( b ) ) 因此 a d ( 彳，b ) = a d ( a a ，a b ) = a d ( 妒似) ，妒( b ) ) = d ( 妒( 盯爿) ，妒( 口占) ) 即有 a d 0 ，b ) = a d ( 妒口) ，妒( 占) ) 同理可得a d 口，b ) = a d ( r p _ 1 以) ，r , o _ 1 ( 口) ) 定理证毕 2 4 秩1 极大集 定义2 4 1 设m 为以( r ) 中的一个非空子集，如果朋中任意两点粘切， 并且与m 中所有点粘切的点必在m 中，则称m 是一个秩1 极大集 一一“一引理2 4 2 所有m ，f = l ，l 与m 2 都是秩l 极大集，而且任一个秩l 极 大集可经形如x 一以p + 日的变换变为m ，其中x h 。( 尺) ，p g l ( r ) ， h 以( 尺) 证明由引理2 2 2 易证 推论2 4 3 任一个秩l 极大集可以写成以下形式： 州= p x p + h o ：x m ：= 矾p + h o ， 其中p g l ( r ) ，风也( r ) 推论2 4 4 两个不同的秩1 极大集，若它们的交集非空，则它们的交集只包 含一个点 推论2 4 5 设风，h 2 是h 。( r ) 中两个粘切的点，则存在惟一的秩l 极大集包 含h 帮h ， 证明设m 为日。( j r ) 的秩1 极大集，由推论2 4 4 ，若存在x h 。( r ) 与m 中的两个不同的点粘切，则x m 故推论成立 定理2 4 6 设朋是一个秩1 极大集，m m l ，且m i nm = 0 ) ，则 m = 。( q p ) m ：q p ， = ( 1b 卜g k 舭加= ( q lk ) q l = 睦绔唧地北 证明设任意。日= ( 玺乏 m ，其中日笠以固n 为0 e m ，且 日o ，于是r a n k ( g ) = 1 但h 譬m ，于是有h 篮0 ，则r a n k ( 挖) = 1 由引理2 2 2 知存在矩阵异g l 一。( 尺) 使得h 。= 丘石墨。只，其中螽o 令 户= ( 1 只 即， 使得 令 f 即驴埘 p 又由引理2 2 2 知存在 9 = ( 耄q g z g l ：c r ，其中q 。， 磊( 。口) q l = ( 等酚肌 q = ( 蜴。： 哪) ， 则日= q - f i d i a g ( q 乞，o ，o ) q p 由推论2 4 5 得到m = 冠巧m ：q p 证毕 2 5 交换主理想整环上h e r m i t i a n 矩阵的秩1 保持加法双射 引理2 5 1设r 是一个有对合“一”的交换主理想整环，c h a r ( r ) 2 ，9 为 h 。上的双向保粘切的加法双射则存在矩阵q g 。( r ) 使得 j ，妒( m ) = 耍m q ，i - h 地 【以d g ) = f q d f q ，l j ，绣 ( i ) 显然，p 将秩1 极大集变为秩1 极大集，由推论2 4 3 与妒( o ) = 0 可知，存在矩阵 9 g 乙似) 使得妒( m ) = 磊m q l 经过变换妒( x ) 一磊6 x ) q ；1 ，我们可假设 妒( m ) = m ( 2 3 ) 则由弓l 理2 4 6 可假设妒( m ) = 瓦m q 2 p ，其中p = l 1 pl ，日。g k 。似) t q = ( 如如 ，如= 睦挣吗c 耽删 经过形为妒( x ) 一p 1 妒( x 妒。1 的变换，矿双向保持枯切- u ( 2 3 ) 式不变，且有 一孵别驴埘卜 池t ， 因为d 1 2 0 ) 一量i 脚2 2 ，垤r ，有妒( d ，： ) ) 妒( e 1 1 ) 矿( 颤露2 2 ) 由定 理2 2 4 与( 2 3 ) ，( 2 4 ) 式可以得到妒( d 1 2 ( z ”日。【 】，由妒的加法性可知 妒( 日。【 】) 日。【 1 。考虑妒一，类似可i i e 妒。( 以【 1 ) g h 。【 】，即 一 。日。【 】妒( 以【 】) ，显然易知 妒( 日。【 】) = 巩【 】 ( 2 5 ) 此时我们不妨假设 烈蜗1 ) = q ) 臣l ， ( 2 6 ) 1 4 妒喝m 鬣茏p 塌， ( 2 ，) 删咖。驴_ 2 ) ， s ， 其中0 1 ，c r 2 是，上的加法双射，q ，乃是r 到f 的加法双射，而乇是r 上的加法双 射 因为r a n k ( + e 1 l + d 1 2 0 ) 蛾) = i ，v x r 于是 i a n k ( 妒( 巨1 ) + 烈d 1 2 ( x ) ) 妒( j 日e ) ) = 1 ，v x r 即有 d e t f q ( 1 ) + l ( x ) 巳竺塑磊f ：( x ) 吒( 厩) 玩9 1 ：0 一 ( 2 9 一) i1 2 z ) lc r 2 ( y 2 ) q 4 q 3 + t a x )f 3 0 ) 吒( 厩) 玩吼j 令f ( x ) = r 3 0 ) 9 3 玩+ 1 0 ) 吼玩- r a x ) q 3 g f 2 乜玩，v x r 则( 2 9 ) 式表明 r , ( x ) r d x ) + o - a x i ) o - , 0 ) q d , 一t a x ) t a x ) = 0 v x r , r , o ) r a x ) + , r a x x - ) f ( x ) = o ，v x r 因为r a 】【l k ( 蝎i + d r 2 ( x ) ) = 1 , v x r ，所以 r a n k ( + 烈蕊墨1 ) + 烈d 1 2 ) ) 妒( 占之) ) = 1 , v x r 于是有 d e t f q ( 瓜) + l ( j ) ：尘竺9 3 玩 o ) - - c r 2 ( 1 ) g q , ：o (+ t r 2 ( 1 ) q 3 虿4 + t a x )r 3 ( x ) + t r 2 ( 1 ) q 4 虿4 ) 这表明 q o ) q o ) + q ( 厩) d j ( 1 ) 9 4 玩一r a x ) r 2 ( x ) = o ，v x r , r , ( x d r d x ) + c r 2 ( 1 ) 厂( x ) = 0 ，v x r 由( 2 1 0 ) 与( 2 1 2 ) 式可得 t r t ( 1 ) t r 2 ( x ) y )