（计算数学专业论文）in上的两类子半群.pdf

摘要 设= l ，2 ，n ) ( 凡3 ) ，非空集合x 上的1 - 1 的部分映射全体之集记为 奴，且规定谚i x 在奴中定义运算”o q ，p i x ， 口：a _ b ，：c _ d 口0 卢= 口p ：( bnc ) a 一1 + ( bnc ) 卢，。q p = ( z 口) p ( 奴，o ) 称为x 上的对称逆半群记品，厶分别为上的置换群与对称逆半 群，令 p d 厶= a 厶& ：v z ，y d o r n o t 兮l z q y a i = i z 一秒i ) ( 佗之3 ) ， 那么p d 厶为厶的子半群，称为厶上的保距变换半群设e 为墨上的一个 等价关系，则令 如= q 厶：vz ，秒d o m a ，( z ，可) e = ( z q ，y a ) e ) 是厶的一个子半群，称为k 上保e 的部分双射半群令 p d i e = a 如：v x ，秒d o m a ，( z ，秒) e 号i z q y a i = l z 一f ) 则p d i e 是如的一个子半群，称为如上的局部保距变换半群 在这篇文章中，我们讨论了p d 厶和p d i e 2 的一些基本性质得出以下主 要结论： 定理2 2p d 厶为厶的逆子半群 定理2 3 设q ，p p d i ，则 ( 1 ) ( 口，卢) 工营i m a = i m p ； ( 2 ) ( a ，p ) r d d t n 口= d o m e ； ( 3 ) ( 乜，p ) d 兮q 卢 定理2 4 i p d i , , , i ：n e - 1 ，n - 1 2 ( n d ) 2 二 + 舻+ l ( 2 r n 一1 ) r = z z = r l 定理2 5r a n d ( p d i ) = n 在第三章，。设易为矗( n 5 ) 上的双等价关系，即 易= ( a a ) u ( b b ) u x 其中a ，b 是的不相交的真子集且 i a i 1 ，i b i 1 ，a x = ( z ，z ) ：z x ) 1 我们讨论p d i e 2 半群的g r e e n 关系 关键词：对称逆半群，子半群，g r e e n 关系，秩，极大逆子半群 2 0 0 0m r 主题分类号2 0 m 2 0 中图法分类号0 1 5 2 。7 2 a b s 1 r a c i l l e t 叉k = l ，2 ，礼 ( 扎23 ) 。t h es e ti xc o n s i s t i n go fa l l lb i j e c t i o n sb e t w e e ns u b s e t so f x ( t o g e t h e rw i t ha l le m p t ym a p p i n g ) i sas e m i g r o u p ，c a l l e dt h es y m m e t r i ci n v e r s es e m i g r o u p ， w i t ht h eo p e r a t i o nd e f i n e db y a ：a _ b ，：c d 哆：( b 0 0 ) & 一1 ，( 暑q g ) 多，茹e 够= ( 茹a ) 。 d e n o t es at h ep e r m u t a t i o ng r o u po nx h l e t p 三磊= 穗芒厶& ：v 聋，y d o m a = 争| 。q 一擎& | = l 茹一爹l ， 23 ) t h e np d i i sas u b s e m i g r o u po f 矗，c a l l e dd i s t a n c e - p r e s e r v i n gp a r t i a lb i j e c t i o n s e m i g r o u po nx 托。l e teb ea ne q u i v a l e n c eo nx 怯t h e nt h es e t s = - 【a 厶： vz ，y d o r n a ，( 髫，y ) e 垮( z q ，y a ) e ) i sas u b s e m i g r o u po f 磊侥勰p r e s e r v et h ee q u i v a l e n c ee ，a n dt h es e t p d 如= q 如：v z ，y d o m a ，( 搿，毫) e 啼l x o t 一夕a l i z 一分1 ) i sa l s oas u b s e m i g r o u po f s ，c a l l e dp a r t i a l - p r e s e r v i n gp a r t i a lb i j e c t i o ns e m i g r o u po n 五。 i nt h i sp a p e r w ed i s c u s ss o m eb a s i cp r o p e r t i e so ft h es e m i g r o u p sp d i na n dp d i f a t h e m a i nr e s u l t sa r eg i v e ni nt h ef o l l o w i n g t h e o r e m2 2p d i i sa ni n v e r s es u b s e m i g r o u po f 厶 t h e o r e m2 3l e tq ，p d 厶。t h e n ( 1 ) ( & ，癣五铮i m a i r n 零； ( 2 ) ( 口，卢) r 甘d o m o t = d o m e ； ( 3 ) ( 8 ，国gd a 秽。 i p d 矗i ：宅譬 一d i ) 2 锈- 2 1 + n 2 + 1 t h e o r e m 2 4 2 ( n 1 i p d 矗i = 一d r = 2d ；r - 1 t h e o r e m2 5r a n k ( p d i n ) = b e s i d e s ，w ed e s c r i b et h em i n i m a lg e n e r a t i n gs e ta n dm a x i m a li n v e r s es u b s e m i g r o u po f p d i n i nc h a p t e r3 , w ec o n s i d e rg r e e n sr e l a t i o n so fp d l 现，w h e r e i sab i - e q u i v a l e n c eo n ( n 芝5 ) ，n a m e l y , 蜀= ( a a ) t 9 ( b b ) u x ， 3 w h e r eaa n dba r ed i s j o i n ts u b s e t so f 弱w i t h | a | 1 ，l b 1 ，a n d x = 涵。) ：z 似u 廖) ) k e yw o r d s ：s y m m e t r i ci n v e r s es e m i g r o u p ，s u b s e m i g r o u p ，g r e e n sr e l a t i o n s ，r a n k ，m a x i m a l i n v e r s es u b s e m i g r o u p 2 0 0 0m rs u b j e c ec l a s s i f i c a t i o n 0 1 5 2 7 c h i n e s el i b r a r yc l a s s i f i c a t i o n 0 1 5 2 7 童 学位论文原创性声明和关于学位论文使用授权的声明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究 所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体 己经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究做出重要贡献的个人或集体，均已 在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：黼考 加劳妇知日 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解贵州师范大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留 或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。允许论文被查阅和借阅； 本人授权贵州师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文和汇编学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此本规定) 论文作者签名：龙4 衫驾 导师签名：慨乞 峭铽其加b 第一章 背景与基本知识 半群代数理论是二十世纪5 0 年代发展起来的一个新的代数分支，它的研究始于2 0 世纪中跨，半群在数学本身以及现代科学技术的很多领域都有广泛的应用。例如，在 自动机理论、符号动力系统、码论、计算机科学、组合数学、代数表示论、算子代数和 概率论等方面都有广泛的应用随着时代的发展，半群理论越来越呈现出强大的活力 和广泛的甭途，譬 起了越来越多的数学家和学者的重视 在半群研究的众多分支中，由于任何一个抽象半群都能嵌入到一个变换半群中， 所以交换半群总是一令充满活力的课题。一直以来，由予有限变换半群优良的可计算 性和一系列的组合性质使其受到广大半群学者的青睐j a g r e e n 在1 9 5 1 年首次研究 了格林关系，格林关系在半群理论的发展中扮演着基础性作用的角色，特别是在有限 变换半群理论的发展中。许多的学者对全交换半群和它的一些子半群进行了深入的研 究例如，h o w i e ( 1 6 一【2 1 】) ，l i p s c o m b ( 2 3 ) ，裴惠生( 7 2 4 1 2 5 1 ) ，杨秀良( 【2 6 】一【3 3 】) ，游泰杰 ( 【3 4 】_ | 3 q ) 等等。 设x 是非空集合，从x 的子集到x 的子集的映射称为x 上的部分映射，x 上的1 1 的部分映射全体之集记为圾。设n i x 肆的定义域记为d o m 口，值域( 像集) 记为 傀a 。当如赋l = 谚或i m a 一黟时，称盘为”空射”，记为”矿，规定谚x 。在奴中定 义运算”o ”：口，p x ， 鑫d 观( 8o 圆= i m ( a ) q 幽掰国】霪一1 ，i m ( ao 苈= j i m ( o , ) r ld d m ( ) l 多， 茁( no p ) ( z a ) 卢，茹d d m ( 口o ) ， 其中a a 一1 = 妇x ：茹& 埘。显然，参。鑫= 穗o o = 芬( x ，o ) 是逆半群，称势x 土的 对称逆半群记= 【l ，2 ，佗】，厶为上的对称逆半群 近十几年来，厶以及x - - - 芋半群的研究成为半群代数理论探讨较多的课题之一有 大量的学者都对其做了深入广泛的研究l i p s c o m b 2 3 】在1 9 9 2 年，研究了对称逆半群 的中心化子的结构和阶设口厶，n 的中心化子c ( q ) 一 卢厶：叩= 加m l i p s e o m b 给出了厶孛 壬一嚣8 赞中心讫子g ( 搜) 的翁鳃算法2 0 0 8 年，黄维斌1 3 】研究了对称逆 半群的群元的中心化子，给出了口的中心化予c ( a ) 为逆半群的充要条件和为c l i f f o r d 半群的充要条件接着闼研究了对称逆半群的中心化予的圊构设a 和零为厶的嚣 元，黄维斌找到了盘和芦的中，l - 化予同构的充要条件。1 9 9 9 年扬秀良【2 6 】研究了有 5 限对称逆半群的极大逆子半群的分类，刻划出了矗和k ( n ，r ) ( 1sr 赡一1 ) 的极大逆 子半群2 0 0 2 年【l o 】，研究了有限对称逆半群的h - 断面设t 是半群s 的予半群， 称t 为s 的个猕断菌，如果t 与s 中的每一个揖类只相交于一元杨秀良得出 了，当扎4 时，是的每个h - 断甄同构于0 厶。2 0 0 5 年【2 7 】，研究了有限对称逆半群 的c l i f f o r d 子半群的扩张，描述出了厶上的极大理想扩张和任何一个c l i f f o r d 子半群 的零扩张。2 0 0 3 年，杨港渡 l l j 研究了有限对称遂半群的j 平凡子半群，褥出了对 任意的口矗，a f 属于某个量平凡子半群的充分必要条件2 0 0 5 年f 1 2 l ，研究了有限 对称逆半群k 断面，刻划出了，当扎3 时，厶中的b 断筒2 0 0 7 年，徐波【8 】研究 了关予有限保序部分一一变换半群的极大遂子半群，剡划密了d 豹极大a t - t - 半群 2 0 0 8 年，顾九华【1 】研究了有限对称逆半群类a 子半群证褥 厶= 口厶：v x ，y d o m a ，( z ，y ) 冷( 。口，掣q ) 口 u 毋) ( 仃一 ( 他，n - 1 ) ，( 3 ，2 ) ，( 2 ，1 ) ) ， 是厶的个类a 予半群可见对于k 以及其子半群的研究是半群代数理论由为活跃 的个课题。 设x 为一非空集合，b 为x 上的r ( 0 竖r 托) 等价关系，即 易= ( a 1 a 1 ) u ( a 2 a 2 ) u u ( 小a ) ua x 其中a 是x 的真子集且 i a l 1 0 = 1 ，2 ，r ) ，歹 1 ，2 ，r ，a ina j 一9 ，a x = ( z ，z ) ：z x ) t x 为x 上的全变换半群，令 t e a x ) = 口t x ：v 茹，y ) 霹= ( 茹& ，y a ) 耳 ， 则z b ) 构成骸豹子半群，称为x 上的保等价关系变换半群。 在文献【7 】中，裴惠生讨论了当x 为有限集合，r - - - - 1 时，殆。) 的g r e e n 关系 在文献【8 】中，裴惠生研究了”，您；僻) 的正赠髓，g r e e n 关系，以及当l x | 有限时， 强) 的一些其他性质。在文献【2 s l 中，龙伟锋把其推广裂部分变换半群段，令 。f k x ) = 敬p x ：、2 ，y d d m 盘，o ，y ) 秘：亭( 嚣a ，y a ) 马， 龙伟锋讨论了当r = l 时，半群尸致的g r e e n 关系，以及正则性在文献【3 7 】中，本人 讨论了当r = 2 时，半群如( x ) 的g r e e n 关系 把其推广到厶巾，令如一 8 芒厶：v 霪洛d am ，彩岛垮善盘，y a 马 ，令 p d 互渤= 8 王渤：v x ，爹d o m a ，( 茹，彩) 恐毒l 茹a y a l = l 嚣一y l ( n 5 ) 。 在第三章中，我们讨论了p d z 如的g r e e n 关系 6 以下是一些基本知识：设s 是半群，a s ，b s ，记a b = 貔6 ：b b 下列五个 等价关系 l = ( o ，b ) ：n ，b 鼠s 1 a = s 1 6 ) ， r = ( 8 ，b ) ：拄，b s 落1 = b s l ， d = l or ，h ln r ， j 一 ( 8 ，b ) ：b s , s 1 心1 = s 1 b s l ， 统称为g r e e n 关系 设s 为个半群，建s 登a 一s 劂称焱为半群s 的生成集称 r a n k s = m i n ( i a i ：a 釜最( a ) 一s ) 为半群s 的秩，若陶是半群s 的秩，则称集合a 称为半群s 的最小生成集。 设s 为个半群，对a 毫s ，若有b s 使得a = a b a ，则称a 为正则元，著同时还有 b = b a b 成立，则称b 为a 的个逆无，如果半群s 的每个元都有唯一的逆蠢，鼷称s 为逆半群 下文中的常用符号： 鼻一 理p d i n ：l i m a l r ( 王r 住一1 ) ， k ( n ，r ) = 【a p d i n ：i i m a l ，) ( 1 r 他一1 ) ， 投一 l ，2 ，站 7 第二章 厶上的保距变换半群p d i 在这章中我们讨论了 p d 厶= 口厶蹋：1 妃，y d d m 口兮l x o t 一可口i l z 一耖1 ) ( 佗3 ) 的g r e e n 关系，基数，秩，最小生成集，极大逆予半群。 注：1 ，这章中的n 都大予等于3 2 v a p d i , , ，设 a=al a 2 a r ) ， 其中约定a l 砚 a n - 。 ，2 1p d i 的g r e e n 关系 定义2 1 设a 一 a l ，a 2 ，口r ) 溉，其中n l a 2 n r 记 【a l 一【啦一a l ，蝴一a 2 ，脚一a r l l ， 称为集合a 的顺型，记 足【a l = 【秭一岛一1 ，颤一1 一鳓一2 ，8 2 一口l l ， 称为集合a 的逆型 定义2 2 设a b 矗，如果l a 】= f b 】或m l r i b ，称a 与b 同型，记力a b 。 以下我们记汹一其中谯p d i ，a = 玉m & 。 定义2 3 设q ，p p d i n ，如果【a j 一阍或 口】一冗阍，称口与口同型，记为n p 定理2 1 设8 p d i n ， q = 对 则h b 证若扫l b 2 6 r ，l ( m 惫2 ) ，6 打l + 1 k 。因为8 p d 厶，记 | a ，牡+ l a m 一1 | = = | k + l k 一1 | = 矗； l 一a m 一1 i l k 一6 ，i 一1 i = d l ； 则有d d l + d 2 因为 一十l l = 1 6 m 一+ l l d 2 ， b m 一1 = b m 西，6 m 十l = b m 一如， 所以， i h 一1 6 m 十1 i = i ( 6 m d 1 ) 一( 6 m d 2 ) l i d l d 2 i 劳d ， 矛盾，进丽可褥玩 k 2 ) 时，寿 b x b 2 k 口 稚论2 1 l 役a 厶，劂a p d 纛当且仅当d o m o z i 溉8 即存在一组大予0 的数 a l ，啦，n r ，6 x ，使得 + 褒= a b la t + a 2 a l + a r ) 或氇= ( ：纵b - + a 8 2 2 n b l - + a 曲, 、) 。 证”兮”设貔p d 厶， a 2 ( 三主：) ，魂d 2 如 醵时，有舀蝴穗一i r a o r 且存在一组大予0 的数 口l ，a 2 ，口r ，b x ，使得 盘= ( ：o ：) 弋矗卜龟舂一8 r 夕 ”备”显然成立 口 根据推论2 1 。1 缀容易得下面这个推论。 推论2 1 2 设a p d 靠， 一a l o a a r ) 剡下列条彳串之一成立： ( 2 ) o 1 5 1 = 现一阮= = a r k 。 定理2 2p d 厶为厶的逆予半群 证设v a p d i n ，a 一1 为貔的逆元v x ，掣d o m c e ，有 | ：c o l 一1 一y a 一1 | = | ( 善貔一1 ) a 一( 掣搜一1 ) 盘| = p 一分| ， 则有q 一1 毫p d i n ，故p d i n 为k 的逆子半群 融 善| 理2 1 如果v 是半群s 的一歪则子半群，则 咒= r sn ( u 矿) ，l c ，= 三sn ( u 矿) ，日，= h sn ( u v ) ( x s l p 5 0 ) 定理2 3 设8 ，尹d 磊，刚 ( 1 ) ( d ，p ) l 车 i m a = m p ； ( 2 ) 陋，固r 铮d o t n o f = d a m f ，； ( 3 ) ( 盘，矽) d 静貔声。 证由引理2 1 ，显然有 ( a ，圆五营糯8 = i m 黟，( 叛国毯蠢营d o m o e 7 - - 刎 成立下证( 口，p ) d q p ”= 争”设渔，夕) d ，赠存在r p d i n ，使褥a l r r f l ，可得 摄据推论2 1 1 ，有 【d o m r 一 i m d 或f d o m r 】= r “m 川， 进两有a 磐。 ”设口= ( ：) ，卢= ( 三三：) ， 情形一，若q 筑满足f - = 溷，设 t 2 ( c 1c 2 ) ， 易验证，t p d i n ，a l r r 声 情形二，若a 反满足一r 嘲，设 r = 峨寸 易验证，r p 。d 厶，a l r r p 从而( o q p ) l 口 2 2 尸d 厶的基数 在2 2 节中记s ( r ，d ) = i q p d 厶：d o ? n o t = a l ，a 2 ，口r ) ， a l ，a 2 ，o n - ) ，m a z ( d o m a ) 一 m i n ( d o m a ) = d ) l ，其中2 r n l ，r 一1 d n 一1 弓i 理2 2 s ( 2 ，d ) = 2 ( n 一回 证设o t & p d 厶：i d o ? n o t i = 2 ，m a x ( d o m a ) 一m i n ( d o m a ) = d ) ， i m a = z ，可) k ， 因为d o ? 7 2 0 e i m a ，即i 茁一y l = d ，那么对于x 有以下三种情况t ( 1 ) 当zsd 且z + d 佗或z + d n 且。一d 1 时 若x 取定，则y 只有一种取法 ( 2 ) 当z d 1 且z + d 礼时 若x 取定，则y 只有两种取法 ( 3 ) 当z d 几时 若x 取定，则没有相应的y 与之对应 当礼= 2 k 时，对d 分以下三种情形进行讨论： 1 d n 且z d l 的x 有： 1 ，2 ，d ，n ，n 一1 ，n + l d ， 共有2 d 个，满足条件 z d 扎 的x 是不存在的，则满足条件 z d 1 且z + d n 的x 有n - 2 d 卜根据以上所总结的x 的三种情况，可得d 1 0 , 且z d 1 】1 的x 显然有n 个，根据以上所总结的x 的三种情况，则当矗= 奄时，最z ，谚= 霸= 2 札一2 k = 2 一七) 一2 ( n d ) 3 蠢 凳 满足条件 嚣一d 芝1且z 十d 的x 不存在，满足条件 零一d 椎 的x 有 。 他二- d + i ，n d + 2 ，d ， 共有2 d - n 个，则满足条件 。d 且茹十d 冬托或z + 矗 他且茹一d 1 的x 有珏一( 2 d 一嚣) = 2 ( n 一妨根据以上所总结的x 的三种情况，有当d 惫时， 颤2 ，舔= 2 一雌 综上所述可得n = 2 k 时，有s ( 2 ，d ) = 2 ( n - d ) 同理可证，当n = 2 k + l 时，也有& 2 ，d ) 一 2 ( 珏一国。 舀 引理2 3 最r ，谚= 2 ( 摊一母。 证设o c a p d k ：d o m a = n l ，勉，脚 ， a l ，a 2 ，口r ) g ，m a z ( d o m a ) 一 m i n ( a o m a ) 一鸯( a l a 2 脚) 因为i m a d o m o z ，如果我们先确定8 l 扶，岛由定理2 1 靼推论2 1 1 ，知盘就唯一 确定了从而我们求s ( r ，d ) ，只需求集合s ( 2 ，d ) ，根据引理2 1 ，得& r = 2 ( n - d ) 结论得 蒌 稳 引理2 4 l a ，l 一。莹2 ( 他一妨2 够：；( 2 曼rs 豫一1 ) 证设口p d 厶，q a 记 如m o = a l ，a 2 ，a r ) ，啦芒溉； i = 1 ，2 ，r ；a l 铆 脚；秭一a l ；d ( r 一1 墨d n 一1 ) ) 我钌先讨论如吼a 酶选取在集合x 中距离为d 的两个数一共有n - d 对( 因为a i + d 礼， 所以a i 只能取n d ，珏一d 一1 ，1 共n - d 个。) ，敖趣，a r 有髂一d 种取法。因为 n 2 ，口3 ，a r 1 只能在1 1 1 ，砷之间的数选取，所以有q - ；种取法，进而可得，如m q 有 1 2 一d ) q 二；种选取法接下来我们讨论l m q 的选取根据引理2 , 3 ，知i m a 有2 ( n d ) 种选取法综上所述可得 n 一1 i a ，i = 2 ( 礼一d ) 2 够二；( 2sr n - - 1 ) 口 d = r - l 定理2 4 i p d i n l ：薹宅2 ( n d ) 2 v d _ - ；- 卜n 2 + 1 ( 2 r 他一1 ) 2 3p d i n 的秩，最小生成集，极大逆子半群 弓i 理2 5a r a ，+ i a ，+ 1 ( 1 r 扎一2 ) 证设乜p d 厶且口4 ( r n 一1 ) ， q=al a 2 a r ) 记 【0 4 = 【a 2 一 2 1 ，a 3 一o , 2 ，n r a r 一1 】= 【d l ，d 2 ，d r 一1 】 下面对【q 】分情况讨论 情形一：若d 1 ，d 2 ，d r 中至少有两个数大于1 设大于1 的两个数为也，4 ( 1 t ，js 一1 ，i j ) ，因为啦+ 1 一毗= 也2 ，所以可取 k 1 ，使其满足啦 k 1 吼+ 1 ，又因为ib i + 1 一b ii - 盔2 ，根据定理2 1 和推论2 1 2 ，可知 h i + 1 , b i 之间存在k l ，使得 p = ( ：+ ：乏芝：) p 。厶， 显然p a r + 1 因为i + 1 一bl = 吗2 ，所以在b + 1 ，b 之间存在数乜令 6 = ( ：b 2 b i b i + l b lk 2 b i + l b r ) 显然j p d i n ，6 4 - + 1 易验证口= 触 情形二：若d x = 如= = d r = 1 1 若口1 = b l = 1 ，那么 q 七口 1 3 因为r 嚣一2 ，郎r 2 嚣。粼有 p = l l 2 r r + 1 ) ，6 = ( ：) 奎+ t ， 使得口= 触 2 。a l l ，豫；b l 王，豇；a r 1 ，熊；醵1 ，线。 若b 1 6 r ，则有 矽= a l - 1 a la 2 ) ，6 = b r - 1 b ，- b 2b 1 ) 1 b l b 2b r 1 b 2b 山+ t ， 使褥a = 蕊 3 a 1 1 ；b l 1 ，n ；a r 1 ，n ；6 r 1 ，扎那么 q ：f 峨、。+ 玩b 2 酢7 若b l k 譬如 阮 l h ，f 以 l | 若 p 覆 、lill， l l + 一 r 蠢r &2 阮 l+ 奎 、lll， 住 n 2 2 十 + r r 一 一 体 行 ，-，上 + + r r 一 一 绍 n，王l 工 一 一 r r 一 住 拜 ，lll|l = f o 窈l 。l ；b l l ，n ；a r l ，嚣；k = 弦。设 q 一( 嚣一二+ ，n 一2 r + 2 ：二) 因为r n 一2 ，所以2 + ( r 一1 ) n 一1 且有 多= ( 12 1 ：2 + 。：一l ，) ，5 一 咒一i + 1n 三：2 ：2 + _ = 一l ) ，咒一r +n r 十馆， 使得a = 占而p ，艿是上面所讨论的情况之一，所以q 仍可由a + 1 生成 丽理可证或= d 2 一= d r i 1 时的其谴博况戮及杰，如，毒申只有一个大予l 其它都等予l 的情况 口 在下文串记 r = 也毫。p d 厶：d o r n c t = 1 ，2 ，n t ) ) ， l i = 盛p d 是：i m a = l ，2 ，撵 蛰 ， 一皿nl j ( i ，j i = 1 ，2 ，n ) 善l 瑾2 6 若鳓努敬j 毫溉) 当且仅些i = 歹或l 多一羁+ 1 h i j 簪时，最多只 有两个元 证由引理2 3 ，知在每一个如( 1 ，j f 一王，2 ，扎) 中最多只有两个元 ”兮”设a 嘞 情形一，2 i ”一1 从而， 因为d o r r $ 貔一溉，所以 故 咖穗= 1 ，2 ，i l ，i + 1 ，他) ， i m a 一 l ，2 ，j l ，j + 1 ，n 1 如m a 】_ 鬯k ：弘2 ! ：! o ：! j ， i - 2n - - i - 1 i m 穗l2 延：! ：缈，! ：! ：0 ：吵 、_ _ o o o o 一、_ _ _ o 、，1 _ i j - 2n - j - 1 【d d m a 4 一瞄m a 4 或陋d 叫= 冗瞄m a 4 ， i 一2 一j 一2 或i 一2 * 竹一歹一1 ， 即i = j 或i + j n + 1 当i = j 时， 当i + j n + l 时， 12 貔= l i 扎佗一 情形二：i = l 或n 。 有f 毓翻= f 1 ，1 ，l b 故 i m a l f l ，1 ，l b 进两褥， j = 1 或即t l 或i + j = 1 + n 因为 所以此时，磊0 率有两个元 ”筝”显然成立。 口 f d o r t t t 】_ i r a q i = r 鞲m 盘j ， 定理2 5r a n k ( p d i n ) = n 证当n 为奇数时，根据弓| 瑾2 6 帮萁证疆过程，可得a 竹一1 的蛋盒图有如下性质： ( 1 ) 在每一个( 江n - - 1 ，旦老苎，警，2 ) 中只有个元且为幂等元为； ( 2 ) 点k 中只有两个元分别为； ( 12 - n - i ) ，( 辩二王霭一22 ：n ：1 ) ( 3 ) h n 中只有两个元分别为； ( 4 ) 趣n 中哭有蓠个元分别为； ( ：兰：n 二1 ) ，( 他一2 。n 一32 ：) 、ll，7 他 n 1 l + + 。 1 l 一 一 暑 暑 2 2 1 l | | 口 、i， 珏 1 1 1 + 一 毫 nt 霉 l 一 ，卜祀 佗l 、li 话 他 l l + + o - t ，工 一 一 ，t # 2 2 l 1 _ t 、ill7 ” 2 l 3 一亿 2 n 、lll7 件 件 3 3 2 2 ， ( 5 ) 王k 1 中只有两个元分别为： ( 2 3 2 oo n ：1 ) ，( 三礼一2 。：n 一21 ) ( 6 ) 风( n + 1 一 ) 0 = 2 ，孚，n + 2 a ，n 一1 ) 中只有一个元为： ( 三n 一2 ，：n + i - 2 i 一；二二：) ( 7 ) 日字半中只有两个元为： ( 三竹一2 ：三茎三茎：礼) ， n - - 1 i ：) 1 112 ， 仃竹学孚 ( 8 ) 除了以上的h 类外其他的都为空 因为( 口，p ) d 营q p ，所以， 风ur i + l - i ( i ：1 ，半) 构成个d 类厶一1 中包含有旦笋个d 类，这些d 类可分为三种情形 情形一t 冠u 心+ 1 一i 0 = 2 ，孚，华，n 一1 ) 根据以上的讨论，知这样的d 类只有四个元，分别在 皿( t l + l 一 ) ，凰i ，甄n + l t ) ( n + 卜 ) ，甄n + 卜 h 中为2 i 2 1 ：n + i - 2 1 一；2 ：) ，( ：兰：二：) ，1 ：n + 2 一；2 ：) ，( ：兰：二：) ， ( ：二：三二：) ，( 三n 一2l ：? 二：佗+ ；一2l - ：) 四个元中两个元为幂等元，由c l i f f o r d 定理可知幂等元可由其他两个元生成 情形二：冠u r + l t a = 学) 此时，日曼丝亚# 为个d 类如( 7 ) 所描述，只有两个元其中个为幂等元，可 由覃个寻出融 、l n l 越：以r孚一卜学学 2 一竹 1 亿 7 1 、l n n 3 - j 一 半孚孚学 2 2 或 情形三：凰1 ，日1 n ，风。，凰l 构成个d 类 在研l ，巩。，中各有一个幂等元根据c l i f f o r d 定理可得， ；：n 二，) ，( 三n 一2 ，：n 一21 ) ， z2 刀一j ) i ， 23 佗j |( 礼 2 3 一疗j l ， 一1n 一2 1 ) 可生成d 类的其它元设口，p 属于不同的d 类，因为 i m a d o m z ，i m z d o m a ， 所以， q p ，触) 不属于a n 一1 综上所述和引理2 5 ，易得p d 厶的一个最小生成集： s = ( 三佗三i ：n 二二二；三：) ：i = c 2 n 一，) u ( ：n ：1 ) ，( n 一2 。礼一32 ：) 同理可证当n 为偶数也可得到相同的生成集s 从而r a n k ( p d i n ) = n 根据定理2 7 的证明过程我们易得p d i n 的最小生成集s 下形式之一； ：i = ( 2 ：i = ( 2 推论2 5 2p d 厶的极大逆子半群k 有如下形式。 k = k ( n ，n 一2 ) u a n l n ，口一1 ) ，q 皿( n + l o ( i = 2 ，3 ，n 1 ) ， 口 ，fi，ii，l 、lt，ij、l、，lj 、l，、l， 1 l 一 一 n n 、l、 有 n 1 n 1 n 懒_汁_讣 集“叫 肌j “ 卜2 麒：三一 一一 ：三州 一1 生 叫 3 一 叫 卜 忙- 卜 。 扩 1 卜 ；o 麓肿2一：、=p“，v_ 巴： 纰j弋mj弋m 押s，s( i，j k = ( n ，佗一2 ) l ja n l ( ( ( 王k 。uh 1 1 ) e ( h n 。l jh 1 1 ) ) l j q ，口一1 ) ) ，q h i 。 证属于不同的d 类的a ，p ：根据定理2 5 的证明过程，知 a z ，p q ，不属于a n 一1 当 k = g ( n ，扎一2 ) ua n 一1 q ，q 一1 ，q h i ( 。+ 1 一曲( t = ( 2 ，3 ，n 1 ) ， 时显然为p d i n 的极大逆子半群当 k = k ( 佗，n 一2 ) t ja n 一1 ( 风nun n l ) ， 设b 为p d i e 的逆子半群且kcb 不妨设 叫 那么必有它的逆元也属于b ，即 ( 2 3 2o o n ：1 ) b ，( 佗二，n 一22 ：佗：1 ) k b ， ( 佗一1 ，他一22 二n ：1 ) ( ：；二n ：1 ) = 1 。住一2 ，：佗：1 ) b ， 根据定理2 7 的证明过程，可知 。 ( n 一2 。n 一32 ：) 也可以b 中的元素生成进而b = p d i e ，即k 为极大逆子半群r g 理可证其它两 1 9 第三章 瑰上局部像距变换半群p d 啦的g r e e n 关系 设e 必弱上的个等价关系对称逆半群岛中保等价关系嚣的部分双射之集 如= = 8 厶：vz ，y d d m 拉，( z ，掣) e = 呤( 茁位，掣q ) e 】 是k 的个子半群，称为碥上保凹的部分双射半群令 p d i e = q 强：v 髫，y 毫如m a ，( z ，秽) e 净f z 8 一暑，a f f o 一材i ， 粼尹d 强是溉保等价关系e ，又在譬类主绦距盼帮分双射半群。 特别地，设岛为磊 5 ) 上的双等价关系，即娩= ( axa ) u bxb ) u x 其 中a ，b 是的不相交的真子集且l a l 1 ，i b pl ，x = ( 嚣，) ：茹) 在这一章 孛，我 弦 论p 蚤掘；戆g r e e n 关系。 ， 设a f 如，记露谯= ( b n d a m e ) e ，b a 一1 。( b q i m a ) a - i , 扭l = ( d o m a ( a o 磐) ) 谯。记 谯 = 执i a n 出惴为a 限制在an 西d m 上的映射r 关系和五关系不加特别说明时，袭 溪是p d i s 2 中翡嚣关系帮关系。 定义3 1 设a ：，p d i f 毪，若( i m 戏u 梳理) n ( i 邢u 如彬) = ，则称馥与夕不交。 不交的“与的并积u 芦定义为 x 螭a , 茗z 6 融d o r n a 謦 定义3 2 设a ，b 为非单点饬类，稚氇p d i e 2 为正规的，如果 an m 貔l 墨1 照 b n i m o s1 否羹拜称o t 为非正规的 墨l 瑾3 1 设b 曩一类，且b nd o , t , n o t 龚彝z & ，露掰菇包含在菜个琶类之 中，因此，每个e 2 类的穰的原像或为毋或为若平易类子集的并。 定瑗3 1 设a ，b 为罪单点扬类，q ，p 静缓，弱，国l 的充分必要条件是 l 燃鑫= l 溉8 且酃一1 琶一类，暑矿1 主岛一类， 证净( a ，所l ，则存在，y ，6 p d i f a ，使得q = 1 芦，p 一她，于是 i m a 式i m 反m p 螫i m 口， 故m 残。l 竹谬 设警= ? l 踟勉，仍有氆一嘏荸p d i e 2 。嚣为 d o r a 8 d o m o e ，m i m a 2 0 又q ，尻p 均为一一映射，从而i m o = 如仇卢记 设 d o m a n a = a l ，o , 2 ，嘶) ( 口1 0 2 o r ) ， q l = ( ：a + a 劬2 一口。：口+ 情形一；卢l = ( 三x + a 2 - - a 1 a + a t - - a l | 口i 以= ( ：z + o 口a 2 一q 。：z + 因为p 尸d 也，所以， 记 锄 、 a r a i 岛 ) i o n 一t t i z ，z + a 2 一0 1 ，口+ a n 一0 1 ) f - , 2 一类， 卧= 8 1 一眈- 怕a r 一) 因为口p d 也，所以， z ，z + 口2 一t z l ，口- 4 - a n 一a 1 ) e 2 一类， 即a 卢一1 f , 2 一类同理可证o ti a 的值域为降序排列时 同理可证，b 矿1 冬易一类 ”每”设o t a ，以，8 4 如情形一或情形二，有o t a = o a 纵同理可证，存在眙，使得 q b = 风因为= ，所以， q i d a m o ( a u b ) l 。n 卢ld c 肌p ( u b ) ， 从而存在r l 厶，使得 口l d o m n ( a u b ) = 町厣i d 口r n 卢( u b ) ， 令= 0 4l j t j 叩有f p d ；e ：，q = 印同理可证有( ，使得p = ( p 口 2 1 以 吼 钟 一 一 以 m 甜 + + 甜 一 一 6 i 十 + 类 r 一一一 卧 已u l 二 q 形 矿 彬 筇 情 即