（计算数学专业论文）若干解非线性方程高价迭代法的研究.pdf

关键词：半局部收敛性；非线性方程；n e w t o n j a r r a t t 型迭代；优序y o ； 计算效率 t h ea n a l y s i so fs o m eh i g h - o r d e ri t e r a t i v e s f o rs o l v l n gn o n l i n e a re q u a i t i o n s a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w em a i n l ys t u d yt h eb a s i ca l g o r i t h mp r o b l e mo fs o l v i n gn o n l i n e a r o p e r a t o re q u a t i o n f ( x ) = 0 i ne u c l i d e a ns p a c e s s u c hp r o b l e mh a sb e e ns t u d i e db ym a n ym a t h e m a t i c i a n sa n d e n g i n e e r s o n eo f t h em o s ti m p o r t a n tm e t h o d st os o l v et h i sk i n do fe q u a t i o ni si t e r a t i v e m e t h o d s oi ti sv e r yi m p o r t a n ta n dm e a n i n g f u lt od ot h er e s e a r c ho fi t e r a t i v em e t h o d s h lt h ef i r s tc h a p t e r , b ya n a l y z i n ga n ds u m m a r i z i n gt h ea c h i e v e m e n t so fd o m e s t i c a n df o r e i g nr e s e a r c h e r si nt h i sd o m a i n ，t h ea r t i c l ee x p o u n d st h es i g n i f i c a n c ea n dp r a c t i - c a lb a c k g r o u n do fs o l v i n gn o n l i n e a re q u a t i o n sb yi t e r a t i v em e t h o d s a tt h es a m et i m e ， w eg i v es o m eb a s i cd e f i n i t i o n sa n dn o t a t i o n sw h i c hw i l lb eu s e dt h r o u g h o u tt h ew h o l e t h e s i s i nt h es e c o n dc h a p t e f w es t u d yt h ec o n v e r g e n c eo fn e w t o n - j a r r a t tm e t h o du n d e r t h ew e a kg a m m ac o n d i t i o n ，w h i c hi sf r o mt h ew e a ks m a l e p o i n te s t i m a t ec o n d i t i o n t h ep r o o f so ft t 坨e x i s t e n c ea n dc o n v e r g e n c et h e o r e m s 锄屯g i v e n i nt h et h i r dc h a p t e r , u n d e rt h er a d i u sl i p s c h i t zc o n d i t i o nw i t ht h el - a v e r a g e ，w e d i s c u s st h ec o n v e r g e n c ep r o p e r t yo fat h i r do r d e rm o d i f i e dc h e b y s h e vm e t h o d ，t h e a d v a n t a g eo ft h i sc o n d i t i o ni st h a ti tu n i f i e st h ew e a ks m a l e p o i n t e s t i m a t ec o n d i t i o n a n dk a n t o r o v i c h t y p ec o n d i t i o n i nt h ef o u r t hc h a p t e r , w ep r e s e n tau n i t e ds t r u c t u r a la p p r o a c hf o ras p e c i a lt y p eo f i i f h i g h - o r d e ri t e r a t i v em e t h o d sw h i c hn o to n l yc a l la v o i dt h ec o m p u t a t i o no ft h es e c o n d f r & ：h e t - d e r i v a t i v eb u ta l s oh a st h ec o n v e r g e n c eo fc u b i co r d e r s e v e r a ln u m e r i c a le x - a m p l e sa l eg i v e nt oi l l u s t r a t et h ep e r f o r m a n c eo ft h ep r e s e n t e dm e t h o d sb yc o m p a r i n g w i t hs o m eo t h e rm e t h o d s k e y w o r d s ：s e m i l o c a lc o n v e r g e n c e ；n o n l i n e a re q u a t i o n ；n e w t o n - j a r r a t t m e t h o d ；m a j o r i z i n gs e q u e n c e ；c o m p u t a t i o n a le f f i c i e n c y i v 1 一 h j 一 目录 摘要 i a b s 。l r a ( ：l 。i 目录v i 1 绪论1 1 1 课题研乡芒的背景和意义 1 1 2 丰要概念5 2 n e w t o n - j a r r a t t 型迭代法存弱g a m m a 条件下的收敛性 7 2 1 弓l 言7 2 2n e w t o n j a r r a t t 型迭代浊的斗：局部行为8 3 弱条件f 变) 臣c h e b y s h e v 迭代方法的收敛性1 4 3 1 引言1 4 3 2 - 卡要结沦1 8 4 1 族具有ji 阶收敛的n e w t o n 型达代法2 2 4 1 引言2 2 4 2 主爨定理2 4 4 3 达代法的数f f i j 渺用2 7 参考文献3 1 在学期间的研究成果及发表的论文- 3 5 致谢3 6 浙江师范大学学位论文独创性声明3 7 学位论文使用授权声明3 7 v ，l乓 学位论文诚信承诺书3 8 v i 1 1 课题研究的背景和意义 1绪论 数值分析中一个经典的问题就是寻找非线性方程组的根值问题，即寻找 f ( z ) = 0( 1 1 ) 的零点，其中，f ：dcx y 为非线性算子，x 和y 同为实的或复的欧几里得 空间它在现代科学研究的众多领域及工程计算上有着广泛的应用例如非线性 有限元问题，非线性断裂问题，弹塑性问题及其他非线性力学问题，电路问题，电 力系统计算，经济与非线性规划问题等所以一直以来，许多工程技术人员及数学 家都从自己的需求或兴趣出发。对它做了不同角度的研究 在解法上，不同于线性方程组，除对极特殊的非线性方程组外，直接法是几乎 不能使用的因为理论上高于4 次的方程不存在由方程系数确定的根的解析表 示。所以为数值工作者致力于研究求解非线性方程的有效算法提供了充分的理 由而且，大多数与方程根有关的问题并不要求得到方程的真实解，而满足于方程 根的近似值当然，这个近似解与真实解之间的误差应当控制在具体问题所能容 忍的范围内 在求解非线性方程f 仕) = 0 的问题时，迭代法 + l = g ( z n ，p ) ，n = 0 ，1 ，2 ， 是非常晕要的算法几个世纪以来。迭代法的研究日益成为解决各种非线性问题 的核心迭代法优劣的选择直接影响到各种非线性问题的结果的好坏 对于迭代法的研究，主要从两个方而m 发：1 构造具有较高收敛阶，高计算效 率的迭代法；2 迭代法收敛性的研究迭代过程的收敛性定理通常有三种类型：i ) 1 1 绪论 局部的；i i ) 半局部的；i i i ) 全局的或整体的局部收敛定理表征了迭代过程在一个 解的邻域内的理论形态，但依赖于方程零点而有一定的局限性半局部和全局的 收敛性定理则不依赖于方程零点而有一定程度上的优异性 求解方程( 1 1 ) 的迭代法中最经典的莫过于n e w t o n 迭代法， + 1 = z 竹一f ( z n ) 一1 f ( x 。) ，n = 0 ，1 ，2 ， ( 1 2 ) 故在众多迭代法的收敛性研究中，又以对n e w t o n 法的研究占多数十九世纪 初，c a u c h y 就在实数空间冗中对牛顿迭代进行了初步的研究，但所给的条件涉 及求解一阶导数极小值之类的整体条件1 9 3 7 年，o s t r o s w s k i 在复数窄间c 中 对n e w t o n 方法的收敛性做了深刻的研究后来k a n t o r o v i c h 【1 】成功地给出了 b a n a c h 空间内n e w t o n 法的著名的收敛性结果后来他的结论被改进，总结出了 著名的k a n t o r o v i c h 条件： 1 ) f 是x 的一个非空凸集q 到同型y 的f r 邑c h e t 可微算子； 2 ) 存在点x o q ，使得p ( z o ) 1 存在，且l i f ( z o ) 。f ( x o ) l i q ； 3 ) i i f ( x o ) 一1 ( p ( z ) 一( ) ) 0 七0 z 一可0 ，z ，y q ； 4 ) a k ； 5 ) 矾；丽q ；其中t = b 叵k 巫 该定理为半局部定理，证明了以x 0 为初值得到的序列 z 。) 收敛于方程 f ( x ) = 0 的一个解，并得到解的存在性和唯一性以及误差估计此后，有大量的学 者对k a n t o r o v i c h 条件进行了修改【2 1 3 其中，主要是对判据3 ) 进行弱化，相应 的条件4 ) ，5 ) 也作改变相对于他们提出的条件，s m a l e 【1 4 1 6 】给出了点估计判据 下的n e w t o n 法的收敛性： 1 ) p ( z o ) _ 1 l ( vx ) ，f 在处解析，p = i lf ，( z o ) _ 1 f ( x o ) l l ； 2 ) ，y ( e 知) = s u p 幽i i ( 跏) 一1 乌掣。击； 3 ) q = p 7 ( 只z o ) ； 4 ) q = ( 2 0 2 - 旦, i o 一+ d 2 1 ， i 绪论 也就是说，在s m a l e 提出的理论条件下，我们从初值点本身的信息便能完全 刻画出n e w t o n 法的收敛性 最近，w a n gx i n g h u a 在文【8 】中提出了更一般的解的唯一性条件和n e w t o n 法的收敛条件，进一步减弱了k a n t o r o v i c h 条件，后来被称之为关于工平均的径向 l i p s c h f i z 条件 r p ( x ) i i f ( x ) _ 1 ( f ，( z ) 一f 7 ( z r ) ) 0 冬l ( u ) d u ，妇可( 矿，) ， ，- p ( o ) 其中l 为正的非减可积函数，p ( x ) = 忙一z 0 0 ，矿= 矿+ r 扛一矿) ，0 r 1 在 此条件下证明了：若r 满足 昙o rl ( 牡) ( r + u ) 砒1 则由n e w t o n 迭代( 1 2 ) 产生的迭代序列对任意初始值z o 可( 矿，f ) 都收敛并且 在文献【8 】引入关于l 平均的中心l i p s c h t i z 条件： i i f 7 ( z ) 一1 ( f ，( z ) 一，( z ) ) 0 l ( u ) d u ，比可( z ，) ， 得到更大的方程具惟一解的球其中l 为正值非减的可积函数在此条件下若r 满足 m 酬) d u 1 则方程( 1 1 ) 在i j f ，f ) 中有惟一解 由于n e w t o n 迭代法只具有二阶敛速，故人们致力于研究它的同时，也对具 有更高收敛速度的迭代法产生了浓厚的兴趣，可见【1 7 1 8 】它们大都是由n e w t o n 迭代法收敛条件来推广的其中最为著名的当为h a l l e y 发明的迭代法，它具有三 阶收敛速度其表达式为： x n + l - - = x n - - i - 互1 l ，】_ 1 f ，( z n ) 一1 f ( z n ) ，n = 0 1 1 2 ， 3 l 绪论 其中，l i = f 7 ( z n ) 一1 f ( z n ) j ( z 竹) 一1 f ( x n ) i k a r g y r o s 【1 9 ，d c h e n 【2 0 】以及j a e z q u e r r o 【21 】等人都对其收敛性有 过研究其中，王兴华和李冲在文献【2 2 】中给出了如下定理来归纳他们的结论 定理1 1 设f ：dcx _ y 在凸区域d ocd 内二阶可微，z o d o ，f ( z o ) 可逆如果存在正数p ，b ，t o 满足 1 ) i i f ( x o ) 一1 f ( x o ) l i = p b = f 0 0p l ( p ) d p ； 2 ) 1 i f ( x o ) - 1 f ( x o ) l i = l ( o ) ； 3 ) 1 i f ( x o ) 一1 ( f ( z ) 一f ( z ) ) 0 三( p ( j i z ) ) 一l ( p ( x z ) ) ，z d o ，z u ( z ，7 一p ( z ) ) 其中，p ( z ) = 忙一= o l l ，p ( 勋7 ) = p ( z ) + 忙一i i ，口三( p ) d 肛= 1 ，l 为可导的 正非减可积函数则方程( 1 1 ) 有一解z ，且以z o 为初值得到的h a l l e y 迭代序列 z 。) 收敛至z 虽然h a l l e y 迭代法在收敛速度上达到了三阶，超过了n e w t o n 迭代法但是， 由于h a l l e y 迭代法要计算函数的二阶f r 6 c h e t 导数，这是一个相当繁重的任务，特 别当f ：舻一舻时，计算f ( x ) 的二阶f r 6 c h e t 导数将变得非常困难，故实际 在计算量上并没有明显好于n e w t o n 迭代法近些年来，数值工作者对高阶迭代 法作了更深刻的研究，构造出了三阶甚至更高阶敛速的迭代法f a p o t r a , 和v p t 被【2 3 】在1 9 8 4 年构造出了后来被人们称为二阶段法的具有三阶敛速的方法， 但它在计算景上又明显好于h a l l e y 迭代法 证明迭代法的收敛性的一个非常重要的技巧就是构造优函数。这是k a n t o m v i c h 为了证明b a n a c h 空间中n e w t o n 迭代法的收敛性而提出来的，随后它被 推广到证明其它迭代法的收敛性k a n t o r o v i c h 最初使用的优函数形式是二次多 项式 h ( t ) = 三g t 2 - 石1 + 罟 后来也有人用它证明三次收敛的迭代方法的收敛性，但是与三次多项式相比 就显得不足了在证明二阶和三阶收敛的迭代方法的收敛性时，三次多项式是比 4 l 一 一 l 绪论 较常用的优函数 2 , 2 4 1 川= 石1k t 3 + 矿i 2 一t + 卢 在证明h 6 1 d e r 条件下的迭代法的收敛性时，优函数变为实函数证明具有1 + p 阶收敛时，用的优函数的形式为【2 5 】 川= 币b t l + p t + ，7 证明具有2 + p 阶收敛时，优函数的形式为【2 6 】 坤) = 两而k t 2 + p + 罢nt 王兴华构造的有理多项式也是证明各种迭代法收敛性的一种比较好的优函 数，其具体形式为鲫 酢) = 卢一禹 王兴华又于1 9 9 9 年提出了一个应用更为广泛的优函数表达式【9 】 j l ( t ) = p t + il ( u ) ( t t i ) 如 除上面己提到的优函数技巧外，另一个具有代表性的技巧就是利用递推原 理关于这两种技巧的具体使用可参看文献【3 , 4 ，1 8 1 2 主要概念 在本节里，我们介绍本学位论文中要用到的主要概念及引理 局部收敛性 定义1 2 1 2 s l 假设方程f ( z ) = 0 有解z 。利用非线性算子f 的区域性质以及 f 在解z 处的信息来确定初始点z o ，以保证起始于z o 的由某一个迭代方法所 确定的迭代序列收敛于解z 。 5 i 绪论 半局部收敛性 定义1 3 2 8 利用非线性算子f 的区域性质以及f 在初始点z o 处的信息来 判定f ( x ) = 0 的解的存在性，并证明起始于z o 由某个迭代方法所确定的迭代序 列收敛于r ( x ) = 0 的解 f r 6 c h e t 导数 定义1 4 2 9 设x 和y 是同型的b a n a c h 空间，d 是x 的一个开子集，考虑映 射f ：d 冬x y 设p d ，如果存在a l ( x ，y ) ，使得 r ( h ) = f ( u + h ) 一r ( u ) 一a ( h ) = o ( 1 l h l l ) ， 则称f 在点p 是f 一微分的，并称a 为f 在点p 处的f 一可微，其中l ( x ，y ) 为所有线性连续映射f ：x _ y 组成的集合 b a n a c h 引理 引理1 5 3 0 设a l ( x ) ，i i a i i 1 ，则( ，一a ) 一1 l ( x ) ，并且 ( i - 妒1 吖他) = 等 叩- 2 3 一 ( i i i ) 若qs3 2 以，则 p 夕( 1 + 砺1 ) p ( 1 一砺1 弓1 夕。s 刍 下面我们考虑优序列8 n ) ， t n m o ) ，t o = 0 ， is n = t n 一厂( z n ) - 1 ，( z n ) ， k = ，( z n ) 一1 i f ( z n + ；( 一z n ) ) 一，( z n ) l ， ( 2 3 ) 【t n + l = s n i i l n 【l 一九n 】( s n t n ) ，n = 0 ，1 ， 引理2 i p 4 l 若q 3 2 以，则优序列 s n ) ， z n ( 仃0 ) 由初始点t o 出发单 调收敛于f ( t ) 的较小正根t ，并且对任意的n 0 ，都有 0 t n s n t n + l 矿 引理2 2 假设f 满足弱，y 一条件，且f 7 ( 跏) _ 1 存在贝 l i e ( 。1 耿知) 1 1 - 一7 南 9 2 n e w t o n j a r r a t t 型迭代法存弱g a m m a 条件f 的收敛性 证明：凶为 f ，( 训。1 【f ，( 训一f ，( 训忪矿碉研一1 丽1 1 0 ，0 t 7 1 ， ( 托) ( t ) 0 ，i = 2 ，3 ，0 t r 1 引理3 3 设f 满足条件( 3 4 ) ，则有 ( t ) z n u ( x o ，r 1 ) ， 1 5 3 弱条件下变形c h e b y s h e v 迭代方法的收敛性 ( 说) ij f ( x o ) 一1 p ( z ) 0 ( 1 l x x o l l ) ， ( i i i ) f 7 0 ) - 1 存在，且有0 p ( z ) - 1 f ( x o ) l l 一研面1 ；而 证明由归纳假设，有 冈此z n 可( z o ，r 1 ) ( i ) 式成立 考虑到 l i t t 一如一o = t n r l , + l ，7 ( z o ) 一1 f ( z n ) 0 i i f 7 ( z o ) 一1 ( ，( z n ) 一，( z o ) ) 0 + i l ，7 ( z o ) 一1 ，( z o ) f l l x 一知0 l ( u ) d u + 7 ，0 ( 1 l x n x o l l ) 则证明( i i ) 是正确的 注意到 ，7 ( z o ) 一1 ，( z n ) 一i i i = i i f ( z o ) 一1 f t t ( x o + s ( x n x o | i ) ) ( z n x o ) d s i i i i f 7 ( z o ) 一1i f ( x o + s ( x n x o ) ) 一f t t ( x o ) l ll l z n x o l i d s + i i ( z o ) - 1 ，( z o ) i x n x o l i o1 o a l l z - - z o l l 三( u ) d u l l x n - - x 0 l i d s + 7 0 x n - - x 0 0 = lh 1 ( s l l x n x o l l ) l l x n x o l l d s = i 1 7 ( 1 | z n z 0 0 ) + 1 1 ， 根据b a n a c h 引理，有f ( z ) - 1 存在，且满足 l i e ( 矿1f ，( z 。) 1 1 - - - 一去， 凶此( 洌) 也成立 1 6 一 z z 。m 0 ，即v ( t ) 在【0 ，r l 】上单调递增又因为v ( r 1 ) = r l ，t z ( t n ) = s n ，v ( t 。) = t n + 1 ，则用数学归纳法可证明t n 单调递增趋于r l ，且对所有的n 0 ，有 则引理证毕 3 2 主要结论 0 t n 8 住t n + l r 1 定理3 6 设f ，( z o ) 一1 存在，f 可( 跏，r 1 ) 并满足条件( 3 5 ) 如果卢j 1f o r 1 + l ( 让) ( r u ) u d u ，那么由变形c h e b y s h e v 迭代即( 3 2 ) 式产生的序列z 。都有意义 并且收敛于映射f 在可( z o ，r 1 ) 的唯一零点矿，进一步，有不等式 z n 4 - 1 一z n 0 t n + 1 一t n ，n = 0 ，1 ， 其中，t n 是由( 3 6 ) 式定义的迭代序列，r l 是h 的最小正根 证明：我们将用归纳法依次证明下面关系式 ( nx k 可( 跏，t 知) ， ( i i ) i l y k x k l i 8 k 一“， ( i i i ) h f ( x k ) 风( 如) ， ( i v ) 弧可( 黝，t k ) ， ( y ) 1 i z 七+ l y k l i t k + 1 一s 七 当k = 0 时，即在初始条件时，易知关系式( ，) 一( y ) 成立假设k = 0 ，1 ，佗 1 8 时成立，则 x k + 1 一x o l i i i x k + l 一玑0 + i i 玑一x k l i + i i z 七一x o ( t 七+ 1 一s 七) + ( s 知一“) + ( “一t o ) = t 七+ 1 故( j ) 成立由t a y l o r 展开式，可知 f ( z 七+ 1 ) = f ( y k ) + f ( 讥) ( z 知+ l 一讥) + p ( 弧+ 知+ 1 一纨) ) ( 1 一t ) d t ( x s , + 1 一讥) 2 d 0 ，1 = f ( y k ) + f ( x k ) ( x k + l 一讥) + f ( 弧+ t ( z 七+ l 一弧) ) ( 1 一) 出( z 七+ l 一纨) 2 ，( z 知+ t ( 弧一$ 知) ) t 出( 弧一z 知) ( z 知+ 1 一玑) f ，( 半+ 扣卅p ( 半) ”) 出( 竿) 2 。r f , , ，、x k + 2y k ) 一f ，( 时主( 冁嘞) ) m 罕) 2 p ( 蜘+ t ( x k + 1 一玑) ) ( 1 一t ) d t ( x 七+ l 一弧) 2 + z 1 p ( z 知+ t ( 弧一z 知) ) 出( 弧一z 七) ( z 知+ - 一玑) 由；j l 理3 3 及条件( 3 5 ) 可知 ，j i p ( z o ) 一1 【f ( z n + t ( 弧一x i , ) ) t d t ( y k z 七) ( z 七+ l 一班) 】 ，0 h ( 1 l x 七一z o + t ( 执一z 七) 1 1 ) t d t 0 讥一= k l l l l = k + l 一纨0 0 七一t o + t ( s 七一t d ) t d t ( s 七一t d ( t k + 1 3 知) ， 同理。可以推得 ，j i i f 7 ( 。o ) 一1 ff ( y k + ( z 七+ l 一弧) ) ( 1 一t ) d t ( x k + l 一玑) 2 】j i ，o f o ，| ( j j 玑- x o + t ( 弧一z 七) l i ) ( 1 一) d i i = k + l - y k l l 2 1 9 l l 1 1 1 z z z z + = + + z z 3 弱条件下变形c h e b y s h e v 迭代方法的收敛性 及 sz 1h i i ( s t , - t o + t 溆吨) ) ( 1 叫疵( t k + l - - s k ) 2 ， l i e ，( z 。) 一 i p ( 苎学) 一( z 。+ 吾( 鲰一孤) ) 卜d r ( j 0 二 o l o 销帆咄”脚批崆竽 小( 孚怏咄i i ) 刊亡砒学 z 1 ( 孚( s k - t k ) ) 刊纰掣 l i e ( 瑚一1 z 1 职半+ 三( 鲰一) ) _ f ，( x k + 么y k o i 0 5 i l u h - - x k i i 酬1 叫妣坠产 z 1 ( ( 三i i 鲰一z 奄i i ) 一，y ) ( 1 一t ) 剞y k z 七0 2 2 小( t ( s 七- t k ) ) _ 7 ) ( 1 邶掣 所以，我们可得到 z 七- y k ) 2 i i z j ) ( 1 一恻竽) 2 】 g 睡+ 1 一z 知+ l0 l l 一，( z 七) 一1 ( z o ) l ll l f ( x o ) 一1 f ( x 七+ 1 ) i 同理，可以证得 一竺县：s州一沁1h(t 一 k + 1 ) 。十1。十1 。 弧+ l x o i 0 弧+ l z 蠹+ l04 - ix k + l 一班0 + i l 讥一0 + 0 z 七一跏 ( 8 k + l t 七+ 1 ) + ( t k + l s 七) + ( s 七一扎) + ( t 七一t o ) 28 k + 1 3 弱条件下变, 彤c h e b y s h e v 迭代方法的收敛性 + 1 ) l l l i e ( z 矗1 ) f ， ) l l 1 l i e h f ( x k ( x o ) l i f ，( z 。) 一l f ，( z 七+ l + - 石t ( y k + 1 一z 七+ 1 ) ) o 出i i 丝学 + l z 矗1 ) f ( z o ) _ 1 f ( z 七+ l + “ + 1 一z 七+ 1 ) ) 0 出i i 丝l 石兰生丛 - ，0 一 一 7 ( t 知- + 1 。) z 1 ( t 知+ t + 丢( s 七+ 一t 七+ - ) ) o d t o 学i i = 一玩( t 知+ 1 ) 则我们可以得到 x k + l 一k 0 = i i 一日_ ( z 七+ 1 ) ( k z 七) 0 风( t 七+ 1 ) ( s 知一“) = t 知+ 1 一s 七 所以，对任意k 0 ，我们有 i x k + l z 知0 t k + 1 一“， 0 弧+ l 一弧0 8 k + l 一8 七 由以上证明我们可知 z n ， 均为b a n a c h 空间x 中的c a u c h y 列且收敛 于同一极限矿由迭代可知f ( z ) = 0 ，且 0 z 一z n l i t 一t n 证毕 注：通过在( 3 4 ) 中选择l ( ) = 禹，可以得到著名的优函数 m ) = p t + 禹 2 1 4 1 引言 4一族具有三阶收敛的n e w t o n 型迭代法 本章将在一维的欧几里得空间中，讨论一族全新的三阶迭代法由前文我们 知道，在研究非线性方程f ( x ) = 0 的根的问题时，最有效的方法之一就是迭代法 其中，应用最广泛的就是n e w t o n 迭代法，也叫n e w t o n r a p h s o n 迭代法，它的表达 式如下 z n + - = z n 一7 f 丽( x n ) ( 4 1 ) 它具有二阶收敛速度近年来，人们致力于研究它的同时，也对具有更高收敛速度 的迭代法产生了浓厚的兴趣其中最为著名的当为h a l l e y 发明的迭代法，它具有 三阶收敛速度，其表达式为 x n + l = x n - - 1 - 互1 l ， _ 1 ，( z n ) 一1 m n ) ， 其中，l i = ，( z n ) - 1 ，( z n ) ，( z n ) - 1 ，( z n ) 在文献【2 3 】中，p o t r aa n dp h i l ( 给出了一 种三阶迭代法，后来被称之为两阶段法，它的表达式为 x n + l 一一些牲 ( 4 2 ) 一n 一顶习一 ( 4 2 ) 此迭代法仅需要求算子的一阶导数，而且在计算量上也明显好于h a l l e y 迭代法 w e e r a k o o n 和f e m a n d o 【3 8 】用求积逼近n e w t o n l e i b n i z 公式 ，z ，( z ) = ，( z n ) + f 7 ( t ) d t ， ，z r a 他们得到一个修正的三阶n e w t o n 型迭代法 严一而 ( 4 3 ) 而l u 和x u1 3 9 通过把n e w t o n 迭代法和f ( x ) 的l a g r a n g e 插值多项式结合起来， 2 2 户 4 一族具有一阶收敛的n e w t o n 型迭代法 利用到下而的插值 ，( z ) ，( 戤) ) ， 其中，x i = z 竹一屈螽碧，屈是任意参数，如( z ) 是基函数的集合，他们获得了一个新 的三阶迭代法 x n + l 一一型掣 ( 4 - 4 )= z n 一7 万7 = 二= 二- 【4 4 j 在本章中，我们将给出一族全新的三阶n e w t o n 型迭代法，此迭代族将包含上文提 到的数值工作者构造的迭代法 定义4 1 4 a 假设序列 z n ) 收敛于矿，若存在一个常数c 0 ，及整数 n o 0 和p 0 ，对所有的n n o 有 z n 4 - 1 一z i c i z n z + i p 那么，称z n 至少p 阶收敛于矿如果p = 2 或3 ，则我们称它是二阶收敛或三阶 收敛 我们设e n = 一矿为第n 次迭代的误差估计，则下面的关系式 e n + 1 = c 皖+ d ( e 1 ) 称之为误差方程，其中p 值就是该方法的收敛阶 下面我们给出本章所讨论的一族新的三阶n e w t o n 型迭代法，它的形式为 x n + l 一一蓑一 他5 ， 剐n 一面瓦鬲丽确 ( 4 与) 其中，q ，展为参数 如果我们取q 1 = o t 2 ，8 1 = 伤= 0 ，则新的三阶n e w t o n 型迭代法就转化为著 名的n e w t o n 迭代法 4 一族具有三阶收敛的n e w t o n 型迭代法 4 2 主要定理 定理4 2设矿r 是具有三阶可导函数f ：dcr _ 尉拘单根若初始 点黝充分接近零点矿，那么迭代族( 4 5 ) 具有三阶收敛速度当且仅当任意参数 q t ，履满足下列关系式 且误差方程 o ：2 = q 1 + 防 所= 1 + q 1 + 角+ 2 # 2 a 2 一1 。- ( 熹+ 1 ) 竹( 鬻一3 k 3 1 ) a + 0 ( e 4 ) ，e 州2 ( 最+ 1 ) 脚一( 等等一3 】e n + d ( e ：) ， ( 4 6 ) ( 4 7 ) 其中e n = x n - x * , a k = 船， 2 3 。 证明：由f 具有三阶导数，我们可使f ( x 。) 和，( z 。) 在矿处t a y l o r 展开，得 到 ，( z n ) = ，( e n + z + ) = ，( z ) e n + a 2 e ：+ a 3 e ：+ d ( e ：) 】，( 4 8 ) 和 ，7 ( z n ) = ，( e n +