（应用数学专业论文）隐含波动率曲面的建立与应用研究.pdf

中文摘要 中文摘要 波动率是衡量某一时间内金融产品价格变动程度的数值。相对于期权来说， 隐含波动率就是隐含在期权市场价格中的波动率。不考虑美式期权提前执行最 优的话，每给定一个期权的市场价格，我们就可以相应计算出一个唯一的隐含 波动率。从某种程度上说，隐含波动率是市场价格的真实映射，是买卖双方博 弈后的结果。因此，隐含波动率充分反映了市场对标的产品波动率的看法。 本文是为了挖掘隐含波动率与期权市场价格一一对应的相互关系，通过建 立隐含波动率曲面模型来对隐含波动率进行更深层次的考察和分析，从而期望 在一定范围内搜寻价格被低估或高估的期权，并据此展开一系列相关的交易。 在具体建立模型的过程中，本文引入了期权的内在价值状态而不是执行价格 作为模型的一个重要因素，同时考虑到了时间，期权内在价值状态，以及时间 和期权内在价值状态的交叉项，从而希望能够更全面更合理地对隐含波动率进 行估测。 在实证中，所采集的数据主要来自于从2 0 0 5 年1 月起至2 0 0 6 年4 月止总共 1 6 个月的香港恒生指数期货期权的实际交易数据。实际的期权的交易总量接近 1 0 0 万。通过实证可以发现，时间因素和期权的内在价值状态在很大程度上解释 了隐含波动率的变化。特别是对于近月的看跌期权，其统计上的结果十分理想。 除此之外，结合波动率曲面模型所得到的成果，本文还引入了一些相关的具体 应用的交易策略，主要包括各种期权组合的交易，g a m m a 交易，以及和相关性有 关的离差交易。 关键词：隐含波动率期货期权内在价值状态波动率交易 a b s t r a c t a b s t r a c t v o l a t i l i t yi s t om e a s u et h ee ) 【t e n to fp r i c ec h a n g e si nf i n a n c i a lp r o d u c t a st o o p t i o n s i m p l i e dv o l a t i l i t yi sj u s tt h ev o l a t i l i t yi m p l i e di nt h em 狄e tp r i c eo fo p t i o n s i fn o tc o n s i d e r i n gc a s eo fa m e r i c a no p t i o n , g i v e nt h em a r k e tp d c eo fo p t i o n , y o u c a l l c a l c u l a t ea l le x c l u s i v ei m p l i e dv o l a t i l i t y t os o m ee x t e n t ，i m p l i e dv o l a t i l i t yi st h et r u e r e f l e c t i o no fm a r k e tp r i c e ，a n dw h i c hi st h er e s u l to fb i da n da s kc o m p r o m i s ei nt h e b a l a n c eo fs u p p l ya n dd e s i r e n e r e f o r e ，i ti sf u l l yr e f l e c t e dt h em a r k e to p t i o no nt h e v o l a t i l i t yo ft h eu n d e r l y i n g t h ep a p e ri s t ot a k ea d v a n t a g eo ft h er e l a t i o n s h i p b e t w e e ni m p l i e dv o l a t i l i t ya n dm a r k e tp r i c eo fo p t i o n b yc o n s t r u c t i n gi m p l i e d v o l a t i l i t ys u r f a c em o d e l ，w e c a l lf u r t h e ro b s e r v ea n da n a l y z ev o l 撕1 i 彤w bc a l ls e a r c h t h eo p t i o no v e r p r i c e do ru n d e r p r i c e di nas p e c i f i cr a n g e ，a n dt h e nw ec a ne x e c u t ea s e r i e so ft r a d i n gs t r a t e g y d u r i n gt h ec o u r s eo fc o n s t r u c t i n g m o d e l ， w eu s em o n e y n e s sr a t h e rt h a n e x e c u t i n gp r i c e a so n eo fi m p o r t a n tf a c t o mo fm o d e l m e a n w h i l e ，i no r d e rt oe s t i m a t e i m p l i e dv o l a t i l i t ye x t e n s i v e l ya n dc o m p r e h e n s i v e l y w ea l s oc o n s i d e rt h ea f f e c to f t i m ea n dt h ec o m b i n a t i o no ft i m ea n dm o n e y n e s s i nd e m o n s t r a t i o n ，t h ed a t ai sm a i n l ya r i s i n gf r o mt h et r a d i n gd a t ao fh o n gk o n g h e n g s e n gi n d e xf u t u r e so p t i o n s t h er e s u l ti fd e m o n s t r a t i o ni ss a t i s f y i n g m o r e o v e r , c o m b i n i n gt h er e s u l to fi m p l i e dv o l a t i l i t ys u r f a c em o d e l ，w ei n t r o d u c es o m et r a d i n g s t r a t e g i e s ，w h i c ha r es p e c i a l l ya p p l i e da c c o r d i n gt ot h er e s u l tw e h a v eg o tf r o mt h e m o d e l i tm a i n l yi n c l u d e st h et r a d eo fs o m ec o m b i n a t i o no fk i n d so fo p t i o n s ，g a m m a t r a d i n ga n dd i s p e r s i o nt r a d i n g k e yw o r d s ：i m p l i e dv o l a t i l i t y f u t u r e so p t i o n s m o n e y n e s sv o l a t i l i t yt r a d i n g 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：鹪 如9 扩年f 月) 7 日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 解密时间：年月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名：熟 b 占年1 y 0 月q 日 第一章引言 第一章引言 第一节问题的提出和研究背景 一个人可以通过他所观察到的历史数据来分析任何参数行为，例如，一个 价格图表可以说明在某段时间内价格是如何变化的。对这些价格值我们还可以 采用进一步的技术分析来对市场趋势做出判断，决定买卖的最好时机。然而， 这些分析并不适用于期权的价格。 如果想要估计期权当前的价格是否被高估或者低估，仅将期权当前的价格 与其过去的价格相比是没有任何意义的，因为期权的价格受到时间因素的显著 影响。期权价格依赖于许多因素，因此它并不能当作预测市场趋势的指标，但 是波动率可以。隐含波动率也就是隐含在期权市场价格中的波动率，它是从期 权价格中推出的，如果距行权日时间相同，我们就可以对隐含波动率进行比较。 隐含波动率实质上蕴含了市场投资者对未来时间内资产波动率的平均估 计，从某种意义上讲，期权市场的交易就是对期权的隐含波动率的交易。 由于隐含波动率是由期权市场价格决定的波动率，是市场价格的真实映射， 而有效市场价格是供求关系平衡下的产物，是买卖双方博弈后的结果，因此隐 含波动率反映的是市场对标的产品波动率的看法，从而在期权交易中有着极为 有益的应用。 简单地，未来波动率决定的是期权的真实价值，隐含波动率则取决于期权 的市场价格，将产品的真实价值与其价格作比较，也就是将所预测的期权未来 波动率与其隐含波动率进行比较。如果股票指数期货期权的隐含波动率相对于 预期的未来波动率较高，说明股票指数期货期权的市场价格高而其真实价值低， 期权应该被卖出；如果股票指数期货期权的隐含波动率相对于预期的未来波动 率较低，说明股票指数期货期权的市场价格低而其真实价值高，期权应该被买 进。 事实上，随着对波动率研究的逐步深入和相关波动率产品的开发，波动率 的相关交易策略研究是现在金融工程最为热门的方向，也是最前沿的研究方向， 代表着一种新的交易思路交易波动率，即对不确定性的交易。然而，这些 交易策略成功与否在很大程度上依赖着能否对于波动率有着准确的判断和评 估。因此，寻找到一种有效的评估隐含波动率的方法是能执行波动率交易的根 第一章引言 本和保证。 然而，利用不同的定价模型得到的隐含波动率有着很大的差异，同时隐含 波动率的确定是否准确，也取决于期权的市场价格是否明白无误、及时有效的 反映了真实的市场情况。因此，在对波动率的研究当中，一方面要分析抛除市 场的扰动，选择最能体现市场情况的数据来建立隐含波动率数据库；另一方面， 要选择建立一个合理的模型，最大程度上地解释隐含波动率的变化。只有把这 两方面的工作都做好，才有可能在研究中取得比较有意义的结果。 第二节文献综述 根据经典的b l a c k s c h o l e s 期权定价模型【l 】( 1 9 7 3 ) ，标的资产相同、到期日 相同，但是执行价格不同的所有期权应该具有相同的隐含波动率。因此，如果 画成一个曲面，该曲面应该是平坦的。然而，实际交易中我们所看到的期权价 格却并不是这样的，相对于执行价格和距到期日时间的期限结构，它展现出微 笑的形状( c o n ta n df o n t s e c a , d y n a m i c so fi m p l i e dv o l a t i l i t ys u r f a c e s2 0 01 ) 嵋j 。事实 上，早在1 9 9 5 年g r o s s ，l ，n w a l t n e r s 3 就发表了文章“s & p5 0 0o p t i o n s ：p u t v o l a t i l i t ys m i l ea n dr i s ka v e r s i o n ，利用s & p5 0 0 指数期权对波动率微笑的存在 进行了相关的实证。 b l a c k m s c h o l e s 模型关于波动率恒定的假设是存在缺陷的，不考虑这一点， 在实际中，一旦给定期权的市场价格，隐含波动率就可以通过b l a c k - - s c h o l e s 模 型的公式反推出来。正女1 r e b o n a t o ( 1 9 9 9 ) m 】说的，隐含波动率是错误的数字输入 错误的公式所得到的正确的“价格”。加上对波动率期限结构的研究逐步深入 ( z h uy 和a v e l l a n e d am “a ne - a r c hm o d e lf o rt h et e r ms t r u c t u r eo fi m p l i e d v o l a t i l i t yo f f xo p t i o n s ”【5 】) ，隐含波动率曲面的概念得以确立，相关研究也不 断展开。d e r m a n & k a n i1 6 】在1 9 9 4 年发表的文章“i m p li e dt r i n o m i a lt r e e so f t h ev o l a t i l i t ys m i l e ，以及d u p i r e ( 1 9 9 4 ) 【在1 9 9 4 年发表的文章“p r i c i n gw i t h as m i l e ，中都提出了一些模型，他们提出标的资产的波动率是资产价格和时间 的确定性函数，而且推出了一个波动率函数来拟和观察到的期权价格的横截 面。最近的研究多使用参数模型来拟和隐含波动率。n c u b e ( 1 9 9 6 ) 【8 j 使用最小 二乘法对f t s e1 0 0 的随时间变化波动率进行了回归估计，参数为到期时间和执 行价格。模型依赖于执行价格和到期时间的一阶和二阶形式。相似的，d u m a se t 2 第一章引言 a l ( 1 9 9 8 ) 【9 】也提出了一些关于s & p 5 0 0 期权的波动率函数，即波动率是执行价格和 到期时间的函数。在1 9 9 9 年，s c h o n b u c h e rpj 在其文章“am a r k e tm o d e lf o r s t o c h a s t i ci m p l i e dv o l a t i l i t y ”1 1 0 】中引入随机的理念来考察隐含波动率曲面。在 2 0 0 1 年，t o m p k i n sr 在其文章“s t o c ki n d e xf u t u r e sm a r k e t s ：s t o c h a s t i cv o l a t i l i t y m o d e l sa n ds m i l e s 1 1 1 中也用随机的观点对于股票指数期货市场中存在的波动率 微笑进行了相关的研究和实证。更近一点地，在2 0 0 3 年，c a s s e s e ，g 和g u i d o l i n , m 在他们的文章“m o d e l l i n gt h ei m p l i e dv o l a t l i t ys u r f a c e ：d o e sm a r k e te f ! f i c i e n c y m a t t e r ? 1 2 】中把隐含波动率曲面的建立与市场是否有效联系起来，展开了更深 入的讨论与研究。 第三节论文的结构安排与研究思路 本文的研究目的就是对隐含波动率进行建模，并做出相关实证。从第二章 起，会逐步介绍一些波动率的一般理论。通过引入波动率的微笑以及波动率的 期限结构，逐步推导出隐含波动率曲面。期权的波动率曲面随时间变化呈现出 一种结构。在以往的研究中，看涨和看跌期权的隐含波动率更多地是被看作执 行价格和到期日的函数。而在本文的建模和实证中，不再简单地使用执行价格， 而是引入期权的内在价值状态这一因素，以期可以更好地描述和计算隐含波动 率。在国内，由于金融市场结构性的缺失，在一段时期内并不具有相关可研究 性很强的金融工具以及可以作为实证的交易数据。所以，在第三章的相关实证 中，我选择了相对比较成熟的香港证券市场，搜集整理了以香港恒生指数为标 的资产的期权的数据。所采集的数据主要来自从2 0 0 5 年1 月起至2 0 0 6 年4 月止总 共1 6 个月实际发生的交易中。 更进一步，在本文的第四章引入了一些与隐含波动率相关的交易策略，主 要包括各种期权组合的交易，g a m m a 交易，以及和相关性有关的离差交易。这些 交易策略成功与否在很大程度上依赖着能否对于波动率有着准确的判断和评 估。而通过建立隐含波动率模型及其相关的隐含波动率曲面，希望能够充分利 用隐含波动率与期权市场价格一一对应的相互关系，来对期权标价、定价，并 将所得到的结论融入到套利策略的构建中，从而真正实现把隐含波动率的理论 具体应用到交易中。 在本文的晟后一章中，一方面对于实证的结果进行了简单的小结，主要阐 3 第一章引言 述了关于模型建立，以及数据选择方面所得到的些初步结论。另一方面，从 更深层次上，论述了波动率交易策略研究和波动率交易产品开发的必要性和其 重大意义。除此之外，根据我国当前金融市场的实际情况，在本文的末尾也对 我国未来金融发展的前景做出了展望，提出了一些建议与意见。 4 第二章波动率的一般理论 第二章波动率的一般理论 第一节波动率的定义与分类 波动率是衡量某一时间段内金融产品价格变动程度的数值。比如股票指数 期货的波动率就是关于股票指数期货不确定收益的衡量值，实际中可定义为一 年中股票指数期货收益率( 以连续复合收益率来表示) 的标准方差，也可以用 期货价格变动值自然对数的标准方差来表示。 波动率是衡量市场变动速度的数值，因而股票指数期货波动率是决定股票 指数期货期权价值的重要因素。市场变动越快，其波动率也越高，表明以此股 票指数为标的资产的期权就越有可能因获利而执行，从而使该股票指数期货期 权价值也较高。当然从另一方面而言，波动率高的指数期货价格既有快速上升 的可能，亦有大幅下跌的可能。但与单纯买入股票指数期货不同的是，买进股 票指数期货期权的交易方的损失是有限的，当股票指数的价格朝着不利于他的 方向变动时，无论价格如何变动，他都可以选择放弃期权的执行，因而最大的 损失也只是买进期权时支付的权利金。 指数期货价格相对于其买入价位下跌了 是不一样的。 而对买入指数期货的交易者而言，股票 5 0 0 ，1 0 0 0 还是更多，他所遭受的损失 波动率是一个相对笼统的概念【1 3 1 ，还可细分为不同的种类，各自所代表的含 义也不尽相同，比如有未来波动率、历史波动率、隐含波动率和季节性波动率 等等。其中未来波动率描述了标的市场未来价格变动的情形，是每个参与期权 交易者最想知道，也是最为关心的数值。一旦交易者得知了未来波动率，就等 于掌握了正确的概率，将此概率输入到期权定价模型中，交易者就能得到较为 精确的期权理论价格，从而在长期的期权交易中获利。尽管对于未来的数值在 没有实现之前很难被精确地预测，但在运用理论模型给期权定价时，常常要对 未来的波动率进行估值，这时历史波动率就是优先考虑的参考值。如果在过去 的十年里，标的市场的波动率从未高于3 0 ，也从未低于1 0 ，则预测未来波动 率为5 或4 0 都是不明智的。 当然这并等于说出现这些极端值的概率为零，但是基于标的市场的历史表 现，以及并未有重大事件发生这样的事实，将未来波动率的估计值定于1 0 至 3 0 的区间内更为现实一些。此外，在大多数股票指数期货市场，历史波动率还 5 第二章波动率的一般理论 有一个均值回归的特性，也就是说，历史波动率总是围绕着一个平均值在上下 波动；当波动率越来越远离均值时，他就有回归均值的趋向，并且离开越远， 回归的速度就越快。这一点与股票指数期货价格截然不同，后者往往在某一时 间段内，总是单向地不断往上或往下走，创出“历史新高 或“历史新低 。 因此，参考历史波动率，给人们预测未来波动率提供了极大的帮助。例如，期 权的当前波动率与其历史波动率相比处于低位，就有理由预计随着时间的推移， 其波动率将呈向上的趋势；反之，期权的当前波动率与其历史波动率相比处于 高位，就有理由预计随着时间的推移，其波动率将呈向下的趋势。 历史波动率【1 4 】是基于过去的统计分析得出的，并假定过去是与未来相联系 的。常用的方法有两种：在一定时间内资产价格上的百分比变化方法和对数价 格变化法。它们的主要区别在于对所选用的数据采取不同的加工方式，以便于 下一步分析。 ( 1 ) 百分比价格法：x i = ( p i + l - p i ) p i ( 2 1 ) 其中x i 是资产百分比收益p i 是昨天资产的价格，p i + l 是今天资产的价格 ( 2 ) 对数价格变化法：x ，= l n ( p , 卅p , ) ( 2 2 ) 其中x i 是资产的对数化收益 在大部分情况下，对历史波动率的估计中使用的价格是每日市场的收盘价。 但这不是惟一能使用的价格，如外汇市场是没有收盘价的。我们可以利用交易 当日的最高价格最低价采用微分离散的估计技术【1 5 】 盯= ( o 3 6 1 n ) 木： 1 n ( h f ) 一l n ( l f ) 2 ( 2 3 ) 其中，仃是估计的波动率，n 是观察值，h i 是交易日的最高价格，l i 是交 易日的最低价格。 当然，简单地预测未来波动率位于1 0 到3 0 的区间内仍然是一个不太精确 的估值，但至少历史波动率为我们提供了一个范围，而缩小这个区间将需要更 多其他方面的信息，隐含波动率就是其中之一。 在运用期权定价模型对股票指数期货期权定价时，应用最广泛的是b s 模型。 近三十年来，b s 期权定价模型一直是金融业内人士广泛采用的模型，它的主要 优点是简单、实用而且易于执行。该模型需要将未来波动率的估计值输入到模 型中，从而得到基于股票指数期货的期权理论价格。在b s 期权定价模型中假设 波动率为常数，然而，在实际市场中，波动率是随时间而变化的，而且它不能 被直接观察到。将期权的理论价格与其市场价格作比较，常常发现两者有着显 6 第二章波动率的一般理论 著的差异。假设市场的每个参与者都使用b s 模型定价，由于模型所需的其他输 入值，例如执行价格、所剩期限等等都是相对固定的，所以造成这种差异的往 往是最为关键的输入值波动率。为了得知市场使用了什么波动率，只需解决下 列问题即可：在保持其他条件( 标的价格、执行价格、剩余期限、利率水平) 不变的前提下，将哪一个波动率值输入到定价模型中，可以使得到的期权理论 价格与其市场价格一致。 回顾b s 公式：c = s o e 一矿n ( d 1 ) 一k e n ( d 2 ) d 1 ：l n ( s o k ) + ( r t - q + o r ：2 ) t ；d 2 ：d l 一仃打 ( 2 4 ) c r x 1 其中s 。是标的资产( 在我的实证中标的资产是香港恒生指数期货) ，q 是在 期权有效期内的期望分红，x 是期权的执行价格，t 是距到期日时间，r 是无风险 利率，o 是波动率，而n ( d ) 是累积的单位正态密度函数，其上积分限为d 。由 于在b s 模型中唯一的未知参数就是标的资产的波动率，而由a b s c q c r 0 可知， 一个期权的市场价格或者说其理论值应该是关于波动率的单调增函数。更进一 步，如果不考虑美式期权提前执行最优的话，期权价格是波动率的严格单调增 函数。这意味着给定一个期权的市场价格，我们就可以相应地计算出一个唯一 的隐含波动率。这个隐含波动率被视为与期权价格成比例的一个量，可以用来 更简单更直观的比较不同执行价格和到期日的期权。 为了从看涨或者看跌期权的市场价格中求出隐含波动率o ，我们可以利用 n e w t o n r a p h s o n 运算法则。通过使用一个数值方法【l6 将b s 公式转化为0 关于一 个看涨期权( 或看跌期权) 市场价格的函数：f ( c r l b s ( a ) c = 0 ，关于这个法则 我们可以使用v i s u a lb a s i c 来执行。 第二节波动率微笑 2 2 1 波动率微笑定义 b s 模型的假设前提是，标的市场价格服从几何布朗运动且其波动率固定不 变。对于不同执行价格和到期日的期权，波动率是恒定的，而在实际中，这一 7 第二章波动率的一般理论 结论并不成立。不同到期日的期权价格变化剧烈，不同执行价格的期权，它们 的价格差异也很显著。当我们以隐含波动率和执行价格为轴画图时，得出的曲 线通常是向下倾斜的；或者是向下倾斜，但是在两端向上翘。前者常常出现在 股票市场中，我们常称之为波动率倾斜。相对来说，在股票市场中，与虚值看 涨期权相比，虚值看跌期权的波动率要更高一些。一般对这种现象有两种解释： 第一，在经历了1 9 8 7 年全世界范围内的股灾后，投资者对市场崩溃的理解产生 了很大的变化，他们更倾向于防范市场崩溃的发生。用数学的角度来看，他们 觉得市场崩盘的概率要比市场繁荣的概率更高一些。第二个解释是当某一个公 司股票价格下跌时，债务与所有者权益的杠杆比率会增加，因此投资于该公司 的风险显著增加。 而对于其它市场，特别是我们要研究的股票指数期货期权市场，通常曲线 会在两端上翘，呈现出微笑的形状，因此被称为波动率微笑【1 7 】。也就是说以同 一产品为标的、剩余期限固定的期权的隐含波动率随着其执行价格的不同而变 化，分别以执行价格和隐含波动率为坐标轴得到的曲线被称之为“波动率微笑 。 隐含波动率本质上是期权价格的另一种表达方法，“波动率微笑”表示b s 模型有低估深度实值和深度虚值期权的倾向。对b s 模型的考察发现，资产价格 过程特征和市场机制都会影响到期权定价的准确性。期权的市场价值取决于现 实市场中套期保值的成本。如果资产价格过程特征和市场机制对深实值和深 虚值期权的套期保值影响更大，使其构造成本高于b s 模型价格更多，深实值 和深虚值期权的隐含波动率就会更大。 即使资产价格过程特征和市场机制因素对期权价值的影响相同，因b s 模型 中的期权价格是资产波动率的单调递增函数，可得隐含波动率对看涨期权价格 的导数为 c = s o e n ( d 1 ) - k e n ( d 2 ) ， 嘉= ( 争娟e - q ( r - t ) t 厅 g - t n ( d i ) - 1 ( 2 5 ) ( 2 6 ) 其中s 。是标定资产的当前价格，t - t 是期权距到期日的时间，n ( ) 是标 准正态分布的密度函数，q 是红利率。上式表示期权价格发生微小变动，隐含波 8 第二章波动率的一般理论 动率都会出现较大变化。而且，期权越处于深度实值或深度虚值状态， d 绝对值越大，n ( d 。) 越接近于0 ，a 仃o c 越大，相同的期权价格上的变动 所造成的隐含波动率的变动越大。 标的资产存在交易成本时，连续套期保值的总成本在理论上趋于无穷 大，现实中的期权空方必须实行离散的调整策略，在此过程中将引发额外的风 险和保值成本。 2 2 2 波动率微笑的成因 1 8 】 ( 一) 投机价值 期权价格只是一部分由以期权定价方法为基础的理论假定确定，我们还必须 考虑到另一个因素，即提供给投机者的虚值期权的投机因素。市场上交易最活 跃的往往是处于平值状态附近的期权，其交易量占到了整个期权交易量的很大 比重。在一定时间段内，如果没有特殊事件的发生，整个市场抑或是单个个股 发生剧烈变动的概率是很小的。因此，与那些买卖平值一定范围内的期权的交 易者相比，购买深度实值或者是深度虚值期权的交易者，通常是寄期望于市场 由于某些不可预知的原因而发生剧烈波动，而这种波动的幅度足以使手中期权 的价值状态发生根本性的转变，从中获利。从某种意义上来说，这更像一种投 机活动。处于深度虚值的期权存在通胀的隐含波动率。虚值期权存在不成比例 的高开价和价差。因此与它的公允价格相比，以高价格计价的期权的隐含波动 率偏高。这种投机价值的存在使得隐含波动率曲线在两端上翘，呈现出微笑的 形状。 ( 二) 期权的市场溢价 从市场上看，平价期权以实值状态结束和以虚值状态结束的概率基本相同， 其时间价值最大，供给和需求基本平衡。深实值期权的接近于1 ，在投资中 的杠杆作用最大，需求量很大。但是除非投资者预期标定资产的价格会有一个 根本性的变动，一般不会出售深度实值期权，供给量较小。因此深度实值期权 的溢价较高，其隐含波动率也较高。对相同执行价格的看涨期权和看跌期权， 当一个处于深度实值状态时，另一个必然处于深度虚值状态。根据看涨看跌平 价关系，这两个期权的波动率应当大致相同，可见实值看涨( 看跌) 期权的溢价 也会造成虚值看跌( 看涨) 期权的溢价，造成隐含波动率“微笑”。当由于市场 其他原因造成看涨看跌平价的偏离时，隐含波动率相应出现“假笑 ( s m i r k ) 【1 9 】。 9 第二章波动率的般理论 ( 三) 正态分布假设的不合理性 标准的b s 模型中假定标的资产的价格是服从对数正态分布的，而收益率则 服从正态分布。但是实际中我们可以看到，与正态分布相比，市场期望存在一 个偏态分布，而且超出两个标准差的市场概率更高，即在实际的收益率分布中， 出现极端值的概率会更大一些。我们常常称这种现象为所谓的“尖峰肥尾”。可 以从下面的公式中直观地看到这一点： c ( k , t - t ) = e 删e p ( k ，t - t ) f ( s ) d s ( 2 7 ) 其中k 是执行价格，t t 是距离到期日的时间，p ( k ，t - t ) 代表了期权的支付函数， 对于看涨期权其具体表达式为p ( k ，t - t ) = m a x ( s - k ，0 ) ；而对于看跌期权来 说，p ( k ，t - t ) = m a x ( k s ，0 ) 。f ( s ) 是风险中性密度函数。因此采用正态分 布假设的话，会低估了期权支付函数出现较大值的概率，从而低估了深度实值 和深度虚值的期权的价格，造成了波动率微笑的。 ( 四) 做市商机制下的买卖价差不对称性 做市商机制下有可能出现买卖价差的不对称性。当市场上买方力量较强时， 造市商在卖出上收取较多佣金，在买入时收取较少佣金，真实的资产价格将更 接近买入价而非买人卖出的中间价。卖方力量较强时正好相反。个股交易量下 降时，其用买卖价差表示的交易成本上升，“波动率微笑 的曲率相应上升。 在没有市场冲击时，证券市场的交易量通常最小，买人卖出差价较大，“波动 率微笑”效应通常比一周中其他交易日更明显。 作为一种保值工具，期权的市场需求通常大于市场供给，在做市商的作用 下，更易出现买卖价差的不对称，且期权的真实价格更接近买入价。 交易中我们看到的，以及实证研究中我们多采用中间价来计算隐含波动率， 这种不对称性在一定程度上高估了期权价格，也高估了隐含波动率。对深实值 和深虚值期权，因其买卖差价更大，中间价对实际价格的高估更多。对指数期 权和个股期权隐含波动率“微笑 的研究证实了这一点。s & p 5 0 0 指数的流动性 大于个股，但由于大量机构投资者用s & p 5 0 0 指数期权作为保值工具，其净买入 压力远大于个股期权，“波动率微笑”的曲率相应高于个股。 第三节波动率的期限结构 与波动率微笑紧密相关的一个概念是波动率的期限结构【2 们，它主要描述期 1 0 第二章波动率的一般理论 权的隐含波动率如何因剩余时间的变化而变化。对于剩余时间不同的期权来说， 我们也可以看到隐含波动率的一些特征性的不同。然而，在这种情况下，市场 上将要发生的事件所带来的效应是起主导作用的。例如，在实际中我们可以观 察到在公司通报公司收入报表的那天，股票价格的真实波动率显著上升。而相 对地，在收入报表通报之前的一段时间，期权的隐含波动率将会上升，而当股 票价格充分反映了这一信息之后，隐含波动率又会下降。与距到期日比较长的 期权相比，距到期日比较早的期权的隐含波动率变化更大一些【2 1 】。又例如，商 品期货的期权在宣布产量预测前一般波动率会上升。在美联储召开会议之前( 当 宣布短期利率变化之前) ，美国国债期货期权的隐含波动率一般会上升。在波动 率期限结构中，市场囊括了许多其他类型的事件。例如，即将公布的药物试验 结果所带来的影响，将使制药公司的隐含波动率上升。 第四节隐含波动率曲面 在实际中看涨和看跌期权的隐含波动率更多是被看作执行价格和到期日的 函数。用不同的定价模型得到的隐含波动率有着很大的差异，同时隐含波动率 的确定是否准确，也取决于期权的市场价格是否明白无误、及时有效的反映了 真实的市场情况。 因此，对于执行价格和到期日不同的期权，为了能标出不同期权的价格， 市场参与者大多使用依赖于执行价格和到期日的波动率。因此，如果我们使用 唯一的波动率来定价一组到期日和执行价格不同的期权的话，肯定会出现严重 的定价错误。金融工程研究者试图把这种现象的影响考虑到模型之中，并对模 型做出相应修正。许多研究和替代的模型都试图克服b s 模型的缺陷，正确描述 标的资产的走势，使之与隐含波动率曲面相匹配。然而，由于在实际中这些模 型往往对交易存在这样那样的限制，包括大运算量的负担，模型过于复杂，缺 少市场数据来验证模型等等，所以在实际中大多都不再被使用了。 虽然标准的b s 模型存在许多缺陷，然而由于它简单、实用而且易于执行， 因此在证券市场上，市场参与者大多根据实际的市场价格或者隐含波动率来标 出期权的价格。交易者们完全知道b s 模型的缺陷，但是他们并没有放弃对b s 模 型的使用，而是相对这些缺陷和不准确的地方，特别是在波动率模型上，相应 地做出一些调整，使用波动率曲面来对执行价格和到期日处在一定范围内的欧 第二章波动率的一般理论 式看涨和看跌期权进行定价。 如果我们把各个到期日的波动率微笑曲线整合起来，就可以得到一个代表 了不同执行价格和到期日的隐含波动率曲面的三维图像，而这称之为隐含波动 率曲面。其中z 轴代表了当前市场同一标的资产的所有期权的隐含波动率，而x 、 y 轴分别代表了执行价格和到期时间。波动率曲面并不是平坦的。一个波动率曲 面只是代表了在某一时间点，不同执行价格和到期日的期权的报价的映射。随 着市场的变化，波动率曲面的形状也会因为期权价格的变化而变化。 隐含波动率曲面同时展现了波动率微笑和波动率期限结构。期权交易者可 以使用隐含波动率绘图来很快决定隐含波动率曲面的形状，然后找出那些不一 致的区域。 期权与其它商品不同，历史价格本身并不能作为评价一个期权当前价格是 贵了还是低了的评判标准。通过建立波动率曲面，我们可以做到这一点。波动 率曲面可以用来对隐含波动率进行历史分析。可以用来比较具有相同剩余时间 和期权内在价值的当前期权的价格和之前市场上观察到的期权价格。然后，我 们可以在历史数据库中建立一个虚拟的期权，使得这个期权与当前我们要评估 的期权有相同的时间期限和期权的内在价值参数。 到目前为止，我们一直假设波动率曲面可以从期权的报价中观测到。然而， 在许多期权市场对于许多虚值期权没有流动报价。实际中，在市场中唯一可以 观测到的波动率都来自于交易商所报出的期权价格，而这些期权往往被限制于 一定的执行价格和到期日范围之内。对于到期日比较长和极度虚值的期权来说， 可以得到的数据很少而且可靠性很低，需要经常更新，看看当前是否在市场中 还可以以这样的价格进行交易。 深度实值期权和深度虚值期权的价格相对其波动率敏感性程度较低，这两 者的价格并不随着波动率的变化而相应大幅变动，因此从这些价格得出的隐含 波动率可靠程度较低，在期权交易策略中并不能得到有效的应用。另外，深度 实值期权的交易量不大，其价格往往并不能反映真实的市场情况，进而降低了 从这一价格推导出的隐含波动率的实用意义。 许多在期权市场运作的企业都使用当日收盘的价格来建立波动率曲面，来 表现盯市计算。当前的一个平值期权在未来很可能变成一个虚值或者实值期权。 随着期货价格的不断变化，许多风险管理部门得到那些深度虚值和实值的期权 的隐含波动率来对冲开放的头寸。同样地，期权做市商和交易者也面临一个相 1 2 第二章波动率的一般理论 似的问题。一个期权做市商需要提供一个期权的买价和卖价。在任意时刻，他 需要一个更新的隐含波动率曲面来对不同到期日和执行价格的期权进行定价。 为了能够在交易环境中使用这一曲面，这个曲面需要随着市场期货价格的变化 不断做出调整。 因此，为了建立波动率曲面并对其更新，需要采取一些具有创造性的方法， 使用市场上所有可以得到的信息( 有报价的期权价格和期货价格) ，来确定一 个合理的模型中应该包含哪些因素来描述隐含波动率是如何随着市场期货价格 的变化而变化的。 波动率曲面是一个由隐含波动率、期权内在价值、到期日以及时间组成的 四维曲面。每一天，可以综合当前最新的数据和存在数据库中的根据期权内在 价值和到期时间线形插值得到的数据，来画出一个三维的曲面。 实际中，交易者常常利用从交易活跃且非深度实值和非深度虚值期权价格 得出的隐含波动率来计算交易量较小的期权的隐含波动率和期权的价格。为了 在那些有报价的期权的基础上建立一个可以在连续范围内对期权进行定价的波 动率曲面，我们需要在不同的执行价格之间插入一些值，外推出那些超过可得 到的最大执行价格值和低于可得到的最低执行价格值的期权的隐含波动率曲 面。 例如，我们可以将日常的数据分成9 6 个点，其中期权的内在价值由1 2 个 点组成，表示成百分比的形式；而到期时间包括八个点( 3 0 ，6 0 ，9 0 ，1 2 0 ，1 5 0 ， 1 8 0 ，3 6 0 ，7 2 0 ) 。加起来总共9 6 个点，然后分别计算出波动率在每个点的值。 通过波动率曲面，我们可以得到许多不同的截面，用来估计波动率的微笑 和波动率的期限结构。从而对一个期权波动率的动态变化，可以进行各种不同 的分析。 理论上，根据看涨看跌期权平价公式，看涨看跌期权应该产生相同的隐含 波动率。对于欧式期权来说，而且，因为平价公式只是基于一些简单的套利关 系，它并不依赖于未来标的资产价格的概率分布，所以这一结论通常是正确的。 对于美式期权来说，结论基本上也成立。然而有些人认为因为看跌期权是一个 自然对冲工具，投资者可能愿意支付多一些的价格来得到看跌期权。因此，看 跌期权的隐含波动率会比看涨期权高一些。我会在实证中具体考察看涨看跌期 权在隐含波动率上的差别。 1 3 第三章香港市场隐含波动率的实证分析 第三章香港市场隐含波动率的实证分析 第一节香港市场衍生产品介绍 3 1 1 交易概况 根据来自香港联交所的数据统计1 ，我们可以发现香港的衍生产品市场主要 具有以下几个特点： ( 一) 交易品种齐全，规模不断扩大。 香港各类基础金融市场工具的多样性使其衍生品市场亦呈现出多种势态。 伴随着品种的多样化趋势，市场交易规模也不断扩大。无论是期货市场还是期 权市场，交易的合约数量都急剧增加。1 9 9 1 年期货总交易量为3 0 7 5 张，2 0 0 1 年达到9 5 2 6 2 张，1 0 年间增长近3 0 倍。近几年，恒生指数期货的日平均成交量 由2 0 0 2 年的1 9 6 0 2 手增加至2 0 0 6 年的5 1 4 9 1 手，小型恒生指数则由4 5 5 2 手增 加至8 6 6 5 手，h 股指数期货从3 1 9 6 手增加到1 9 7 5 9 手，恒指期权从4 3 6 9 手增 加到1 6 5 8 2 手。 但香港多种金融衍生工具发展并不均衡。香港金融衍生品产品主要以恒指 期货及其期权、h 股指数期货及期权、小型恒指期货及期权为主。就期货市场看， 2 0 0 1 年恒生指数期货及小型恒生指数期货在8 个期货交易品种总交易量中占 8 8 7 4 ，2 0 0 2 年所占比重达到9 5 。2 0 0 6 年恒指期货市场占有量进一步增大， 如图1 。就成交量而言，恒生指数期货为各类衍生产品中成交量最高的品种。恒 指期货的成功主要得益于其以恒生指数为标的。恒生指数是反映香港蓝筹股价 变化的指标，也是亚洲区广受欢迎的指数。同时，它也广泛被用来作为衡量基 金表现的标准。 ( 二) 市场参与者多样化，并且各有侧重 2 0 0 6 年香港交易所本身的成交量占总合约成交量的4 7 ，本地投资者的交 易占合约成交量的2 9 ，而外地投资者( 主要以外地机构投资者为主) 的交易占 2 3 。在近三年的统计数据中，2 0 0 6 年度交易所本身的交易量最大，而本地投资 者呈逐年递减的趋势，外地投资者成交量回落于2 0 0 4 年的水平。 1 以下资料摘自香港联交所网站：h t t p ：w w w h k e x c o m h k 1 4 第三章香港市场隐含波动率的实证分析 表3l 香港衍生品市场成交量按投资者类别分布 2 0 0 3 0 42 0 0 4 0 52 0 0 5 m 6 交易所参与者车身的交易 3 8 3 5 4 7 本地投资者的交易 3 9 3 6 2 9 个人 2 9 2 6 2 1 机构 1 0 1 0 8 外地投资者的交易 2 3 2 9 2 3 个人 2 3 2 机构 2 1 2 6 2 1 合计 1 0 0 1 0 0 l o o ( 三) 投机交易所占市场比重较大，套保、套利市场份额次之 投机交易仍然是市场交易的主体，继2 0 0 4 2 0 0 5 年度占市场总成交量的5 0 后，2 0 0 5 2 0 0 6 年继续维持在4 9 的水平上。套保的成交比重由2 0 0 4 2 0 0 5 年的 3 6 f 降为3 2 ，套利为1 9 较上一年度有所增长。从各衍生产品来看，小型恒 指期货的投机市场份额较其他产品大，套保