（理论物理专业论文）单粒子共振态的研究.pdf

摘要 摘要 本文首先概述了相对论平均场理论，并且给出了一般的相对论平均场( r m f ) 的拉格朗日量，其中着重对球形核平均场理论进行了介绍。接下来又详细的介绍 耦合常数解析延拓方法( a c c c 方法) ，并且讨论了a c c c 方法的理论依据以及 实现a c c c 方法的数学工具p a d 6 逼近。 在这些工作的基础上，我们将a c c c 方法和r m f 理论相结合( r m f a c c c 方法) ，研究了原子核的单粒子共振态能量、宽度。考察了”o 的中子共振态能 级，并且详细研究了耦合常数右端点对应能量的变化和p a d 6 多项式的阶数对能 量和宽度的影响。结果表明：适当选取耦合常数取值区间可以得到既收敛又稳定 的结果。一般地，取四阶、五阶的p a d 6 多项式进行解析延拓为宜。 最后，我们用r m f - a c c c 方法对单粒子共振态中的赝自旋现象进行了研究。 考察了2 0 8 p b 中子的单粒子共振态，通过计算和比较中子共振态的能级和宽度， 我们发现无论束缚或共振态, 2 0 8 p b 能级中都存在较好的赝自旋对称性。 关键词： 单粒子共振态耦合常数解析延拓相对论平均场理论p a d 6 逼近 共 振态能量、宽度赝自旋 a b s t r a c t a b s t r a c t f i r s t l y , w es y s t e m i c a l l yi n t r o d u c et h er e l a t i v i s t i cm e a nf i e l dt h e o r y ( g m f ) ，e s p e - c i a l l yo ns p h e r i c a ln u c l e i t h e ni no r d e rt oe x p l o r i n gt h es i n g l e p a r t i c l er e s o n a n t s t a t e s ，w ed i s c u s st h ea n a l y t i cc o n t i n u a t i o ni nt h ec o u p l i n gc o n s t a n t ( a c c c ) m e t h o d ， t h es t a b i l i t ya n dc o n v e r g e n c eo fe n e r g i e sa n dw i d t hc a l c u l a t e db ya c c cm e t h o da r e s t u d i e d o nt h e s eb a s i c ，w ee x p l o r et h es i n g l e p a r t i c l er e s o n a n ts t a t e sb yt h ea n a l y t i c c o n t i n u a t i o ni nt h ec o u p l i n gc o n s t a n t ( a c c c ) m e t h o dw i t h i nt h ef r a m e w o r ko ft h e r e l a t i v i s t i cm e a nf i e l d ( 1 洲f ) t h e o r y u s i n ga n a l y t i cc o n t i n u a t i o ni nt h ec o u p l i n g c o n s t a n t ( a c c c ) m e t h o dw i t h i nt h ef r a m e w o r ko f t h es e l f - c o n s i s t e n tr e l a t i v i s t i cm e a n f i l e d ( r m f ) t h e o r y , w es t u d yt h ee n e r g i e sa n dt h ew i d t h so ft h er e s o n a n ts t a t e si n1 6 0 n u c l e i ，a n dt h ei n f l u e n c e so ft h ec o u p l i n gc o n s t a n ti n t e r v a la n dt h ep a d 6a p p r o x i m a n t o r d e ra r ea n a l y z e d a tl a s t ，t h e p s e u d o s p i ns y m m e t r y i nt h er e s o n a n ts t a t e si sr e s e a r c h e d s y s t e m i c a l l yb yt h ea c c c - r m ft h e o r y , 2 惦p bi sc h o s e na sa ne x a m p l e t h ec a l c u l a t e d e n e r g i e sa n dw i d t h so fs i n g l e - p a r t i c l er e s o n a n ts t a t e ss h o wag o o ds y m m e t r yf o r b o u n dp s e u d o s p i nd o u b l e t s ，a sw e l la su n b o u n dr e s o n a n ts t a t e si n2 0 8 p b k e y w o r d s ： s i n g l e p a r t i c l er e s o n a n ts t a t e a n a l y t i cc o n t i n u a t i o ni nt h ec o u p l i n gc o n s t a n t t h er e l a t i v i s t i cm e a nf i e l dt h e o r y p a d 6a p p r o x i m a n t e n e r g ya n dw i d t hf o ra r e s o n a n ts t a t e p s e u d o s p i n 第一章引言 第一章引言 1 1 单粒子共振态研究的意义 原子核是由几个、几十个甚至几百个核子组成的量子多系统。稳定原子核在 辽阔的原子核版图上只占有一条狭长地带。放射性核束物理的发展大大拓宽了可 研究的原子核范围，为探索原子核的各种性质提供了新的机遇。利用放射性核束 进行的研究内容主要包括远离口稳定线的原子核均方根半径、结合能、核密度分 布、单粒子能谱、同位数移动、磁矩、高( 低) 温、高( 低) 密核物质，以及奇异核 物质等方面。 近年来，大批远离口稳定线的新核素相继诞生，人们积极地探索具有极端中 子、质子数比的奇特核的各种性质，在这些具有极端中子、质子数比的原子核( 奇 特核) 中出现了许多奇特现象，远离口稳定线的奇特核通常是弱束缚的或非束缚 的，其中子( 或质子) 费米面接近或者嵌入连续谱，所以价核子很容易被散射到 连续谱中具有明显单粒子特性的共振态，从而引起一些奇特现象，比如“晕”现 象“。连续谱对理解晕现象至关重要”3 “，而连续谱中起主要作用的是那些阈 值附近的共振态“。对于奇特核中的非束缚过程，比如刚好大于粒子发射阈的 单粒子激发，阈值附近的共振态性质尤为重要“1 。另外，人们利用无规相位近似 研究巨共振现象时发现，连续谱对巨共振的贡献主要来自那些分立的连续谱，即 单粒子共振态或称g a m o w 态”“。所以，对于奇特核的共振态研究有助于我们理 解这些奇特核的基态和激发态的性质。 阈值附近能级的性质对于天体物理中低能散射截面的理论估计至关重要。由 于目前实验室还不能实现如此低能量下的散射截面的测量，所以散射截面的信息 要依靠已有的核结构性质外推得到。1 。我们可以由原子核的能级结构得到天体演 化过程中的元素丰度比，预测大质量星体演化形成中子星或黑洞的可能性“。对 原子核共振态的研究将有助于人们了解宇宙演化的规律。总之，原子核单粒子共 振态的研究无论是对核物理还是核天体物理都有非常重要的意义。 单粒子共振态的研究 1 2 单粒子共振态的研究方法 目前，研究连续谱中的共振态的理论方法主要有w i g n e r 的r 矩阵理论1 、 扩展的r 矩阵理论“”、k 矩阵理论“、s 矩阵( 或散射相移) 理论“”、连续谱理 论“1 等。r 矩阵理论通过拟合已有实验数据来确定共振参数( 能量和宽度) ，随后， 扩展的r 矩阵理论、k 矩阵理论相继发展起来。传统的散射理论通过研究散射相 位随着能量的变化来确定使相移突然增大的，且对应于s 矩阵极点的共振参数 “。连续谱理论是在坐标空间取足够大的盒子，将连续谱分立化，在通过 b o g o l i u b o v 变化考虑对关联，从而得到分立谱的能量。“1 。求解束缚态问题已经 有很多成熟的算法。因此，从计算的角度出发，人们总希望在处理共振态时仍然 可以使用这些求解束缚态的有效方法。于是，一些可以得到共振态的束缚态类型 的方法应运而生。主要有r e a ls t a b i l i z a t i o nm e t h o d “、复标度方法( c o m p l e x s c a l i n gm e t h o d c s m ) “1 8 1 ，耦合常数解析延拓( a n a l y t i cc o n t i n u a t i o ni n t h ec o u p l i n gc o n s t a n tm e t h o d a c c c ) 方法“。r e a ls t a b i li z a t i o nm e t h o d 通过变化基空间大小得到一系列能量本征值，那些随着基空间变化而能量基本不 变的态即为共振态。这种方法一般只适用于研究窄的共振态。1 ，c s m 通过变换 r 斗r 矿将共振态波函数化成平方可积的，通过求解复本征值问题得到共振态能 量、宽度和波函数。不过，求解复本征值问题所遇到的困难是不可避免的。再有 就是a c c c 方法，最初由k u k u l i n 等人提出并用于处理少体系统中的共振态问题。 其基本思想是：通过增强体系的吸引势( 即增大耦合常数或势强度因子) ，使共 振态下降成为束缚态，从而得到共振态的能量、宽度和波函数。解析延拓所采用 的数学工具是第二类p a d 6 逼近。同其它的束缚态类型方法比较，a c c c 方法直观、 有效、可移植性好。在非相对论框架下，t a n a k a 等人将a c c c 方法同团簇模型结 合研究少体系统，给出了5 h e 、5 l i 、6 h e 、6 l i 的共振态能量和宽度“”。后来，a o y a m a 研究了8 h e + n + n 共振，预言了h e 的非束缚态信息。c a t t a p a n 等人通过求解 w o o d s - s a x o n 势场下的s c h r s d i n g e r 方程，用a c c c 方法研究了球形核“4 s m 和变 形核“1 e u 的共振态”。在相对论框架下，杨泗春等人将a c c c 方法与相对论平均 场理论结合起来，用于球形单粒子共振态的能量与宽度的研究，具体计算了”0 和“c a 的共振态能量和宽度。“。 第二章理论框架 第二章理论框架 2 1 相对论平均场理论 2 1 1 概述 相对论平均场( r m f ) 理论的建立，最早可以追溯到1 9 3 5 年提出的介予交 换假设：核予是通过交换带质量的玻色子( 称为介子) 而发生相互作用25 1 。1 0 年后，实验上发现了7 介子，证实了y u k a w a 的介子交换假设。此后基于介子交 换理论，人们在量子场论的框架下，更深入地研究核多体问题。 1 9 5 1 年，s c h i f f 提出了以重子和经典标量介子为基础地核多体系统地相对论 场论2 6 】：并提议核的饱和性可能会由标量场的很强的非线性自相互作用产生。 1 9 5 5 年，j o h n s o n 和t e l l e r 通过引入核予在标量场中相互作用对速度的强依赖性， 用线性理论( 而不是s c h i f f 非线性理论) 得到了核的饱和机制。并注意到盯标量 场的重要作用。一年后，d u e r r 指出通过标量场和矢量场可以得到有限核的许多 性质，自旋一轨道相互作用、核的饱和性等等。但d u e r r 对核结构的描述是通过 非相对论非线性的标量耦合进行的。1 9 6 1 年，r o z s n a y i 首次用相对论h a r t r e e 方 法对核结构进行了计算。当时，这些建立在相对论量子场论基础上的方法并未引 起人们太多的重视。 七十年代，w a l e c h a 等人为了解决高密物质问题，提出了包含盯介子和矢量 讲介子线性耦合的相对论协变的拉格朗日量密度用以描述核多体系统。并引入用 介子场的期望值代替介子场算符的平均场近似，从而创立了r m f 理论27 1 。平均 场近似在非相对论的核物理研究中也经常用到，然而相对论平均场理论以相对论 量子场论为基础，保留了一些与相对论有关的性质，比如可以自然地给出自旋轨 道耦合等。w a l e c h a 的r m f 理论大大简化了场论运算，对于处理实际原子核多 体问题有着重大意义。 为了更好地描述半无限大核物质的不可压缩性，b o g u t a 和b o d m e r 于1 9 7 7 年在拉格朗日量密度q 旧i n t 盯介子的非线性耦合项： u ( 盯) = 互1m ，2 仃2 + j 19 2 盯3 + i 1 g ，盯4 ( 2 1 ) 从而得到正确的核物质压缩系数和表面性质。随后，s e r o t 等引入了p 和刀介子 单粒子共振态的研究 场，并应用于有限核研究中【2 9 】。1 9 9 4 年，s u g a h a r a 和t o k i 为消除因盯的非线性 项在高密情况下导致的标量势的不稳定性，又引入了的非线性项【3 0 | 。至此，包 括盯、珊和p 介子与核子以及盯和c o 介子非线性自耦合作用的相对论平均场理论 基本上建立起来了。 近年来，在核物理研究中受到广泛关注的微观模型之一就是相对论平均场理 论，关于相对论平均场理论的综述性文章可以参见： l 、b d s e r o ta n dj d w a l e c k a ；a d v a n c ei nn u c l e a rp h y s i c sv 0 1 1 6 2 、e g r e i n h a r d ；r e p p r o g p h y s ，5 2 0 9 8 9 ) 4 3 9 ， 3 、e r i n g ；p r o g p a r t n u c l p h y s 3 7 ( 1 9 9 6 ) 1 9 3 近年来它的一些最新发展和应用可见： 一、 r m f 理论对转动核的研究： l 、w k 6 e p f a n de r i n g ；n u c l a 4 9 3 ( 1 9 8 9 ) 6 1 2 、k k a n e k o ，m n a k a n o ，a n dm m a t s u z a k i ；p h y s l e t t b 3 1 7 ( 1 9 9 3 ) 2 6 1 3 、h m a d o k o r o ，j m e n g ，m m a t s u z a k i ，a n ds y a m a j i ；p h y s r e v c 6 2 ( 2 0 0 0 ) r a p i d c o m m u n i c a t i o n0 6 1 3 0 1 二、 r m f 理论对滴线原子核的研究： l 、j m e n ga n de r i n g ；p h y s r e v l e t t v 0 1 7 7 ，n 0 1 9 ( 1 9 9 6 ) 3 9 6 3 2 、j m e n g ；n u c l p h y s a 6 3 5 ( 1 9 9 8 ) 3 三、 r m f 理论对集体激发态的研究： 1 、z y m a , n v g i a ia n dh t o k i ；p h y s r e v c 5 5 ( 1 9 9 7 ) 2 3 8 5 ( r p a ) 2 、d v r e t e n a r , g a l a l a z i s s i s ，e ta l ；n u c l p h y s a 6 2 1 ( 1 9 9 7 ) 8 5 3 ( t d a ) 3 、m v s t i t s o v , p r i n g ，m m s h a r m a ；p h y s r e v c 5 0 ( 1 9 9 4 ) 1 4 4 5 ( g c m ) 通常，人们以为核子动能为： e 瓦。：婴3 8 胁y ( 2 2 ) 远小于核子质量，因此相对论效应并不重要，但是由于下述几个原因，相对论平 均场理论在核结构研究中变得日益重要起来。 l 、r m f 理论对核结构的描述与s k y r m e f o r c eh a r t r e e f o r k 方法一样成功，对有 限核的基态性质，如：原子核的均方根半径、束缚能、核密度分布、单粒子能 第二章理论框架 谱、质量、同位素位移、磁距等等有好的描述，并且可以自然地给出自旋一轨 道力。 2 、r m f 理论对核物质地计算得出地c o e s t e rl i n e 比非相对论地结果好。 3 、由于其自然的自旋轨道作用，r m f 对远离稳定线的奇特核的壳效应有很好 的描述，可以给出晕、皮现象的解释。 4 、它通过介子场将核子的相互作用与更基本的理论层次相联系。 5 、对于高密的热核物质，相对论效应变得重要起来，r m f 可作外拓的基础。 6 、r m f 理论对中能核子散射，集体激发中的巨共振和超形变带也有好的描述。 7 、r m f 可以自然地给出了关于赝自旋对称的解释。 为了研究地方便，在这里我们给出一些将要在后面用到地粒子和常见粒子的 性质列表。表1 给出了常见重子列表；表2 给出了常见夸克和轻子列表；表3 给 出了常见介子列表。 表1常见重子性质列表。表中，代表自旋量子致和宇称；i 代表同位 旋 重子m ( m e v ) d ” 1b q s n9 3 9 ( t 2 ) + 1 2l 0 ，1 0 a 1 1 1 5f t 2 ) + 01 0i 1 1 9 0 ( 1 2 ) + 1i - 1 , 0 ，1 - i 一 旦 1 3 1 5 f i 2 ) + l 2l - 1 , 0 - 2 1 2 3 2 ( 3 2 ) + 3 2l i ，o ，1 ，2 0 q 1 6 7 3 f 3 2 ) + 0 l- i3 表2夸克、轻子表 一样。 夸克轻子 代别 昧 名称m ( m e v ) q 名称m ( m e v )q ilu- - 02 3 屹0 0 2d加1 3 e 05 1 l- l i i 3 c 1 5 0 0 2 3 oo 4s1 5 0- l ，31 0 61 i 5t1 0 s2 3 k - - o o 6b5 0 0 0- l 3 f 1 7 8 41 单粒子共振态的研究 表3常见介子性质表 介子 m ( m e v )j。l b q s 盯一5 0 0o0 0o0 7 8 2l_0o o o ，7 5 4 9 0 一 oooo ，7 9 5 8 0 一 oo0 0 p7 7 0 l - 10 - i ，0 ，1 o 疗 1 3 9 0 一 10 i 0 ，1 o k + 4 9 4 0 一 i 20ii k o 4 9 4 0 一 i 200i f 4 9 4 0 1 2ooi 足一 4 9 4 0 一 i 20ii d 2 1 8 6 9 0 1 2o i i i d 0 万 1 9 6 5 0 一 i 20o1 f 2 1 9 7 1 0 1 2o1 i b 2 5 2 7 1 0 1 2o i ，i i 矿酽 5 2 7 4 0 一 i 2o o i k “k o 8 9 2 0 一 i 2o i , o i i k 一 8 9 2 1 一 i 2 0 o , - 1 - 1 2 1 2 相对论平均场的理论框架 相对论平均场理论可以唯象描述原子核这一量子多体系统。其出发点包括了 核子场、介子场和光子场及其相互作用的拉格朗日量密度。在这里。原子核的核 子被描述成在介子和光子组成的平均势场中运动的d i r a c 粒子，它们之间通过交 换介子和光子发生相互作用。需要考虑的介子包括同位旋标量一标量介子盯，同 位旋标量一矢量介子和同位旋矢量一矢量介子p 等。其中，盯和珊介子分别提供 长程吸引作用和短程排斥作用；p 介子则描述质子和中子的区别，提供必要的同 位旋依赖性；光子a 提供了原子核的电磁属性。 在实验上，最重要的介子是y - 介子，它是实验上最早发现的介子，也是最轻 的介子。但是在通常相对论平均场理论中，并不考虑万介子的贡献。这是因为在 r m f 近似下，介子场被处理为经典场，即只考虑核子自能的直接项( h a t r e e 部分) ， 忽略交换项( f o c k 部分) 。由于石介子的赝标量性质，携带着负宇称，在h a t r e e 第二章理论框架 层次上其对应的平均场将破坏宇称。而在实际原子核中宇称守恒却具有高度的准 确性。因此，在平均场近似下，单个万介子的贡献为零。然而，两个或偶数个石 介予将携带正宇称。当然构造介子对的平均场并不是没有可能，但会相当复杂。 因此通过引入唯象的盯介子，它可以理解为2 万共振在介子图像下的近似。盯介 子的质量、耦合强度等参数是r m f 模型中的自由可调参数，这在一个唯象理论中 是可行的、必要的，而且是有效的。 原则上，除了上面提到的盯，珊，p 等介子之外，有许多种介子在核子一核 子相互作用中扮演重要角色，比如艿介子可以使中子、质子的标量势有所不同。 但是为了简便，在唯象模型中最好采用尽量少的参数，而且这些介子对于原子核 基态性质的描述不很重要，它们的影响可以通过对其它介子参数的调节来弥补。 因此，在很多实用有效的r m f 模型框架中，仅考虑了如上几个最重要的介子场， 即仃，o j ，p 和a 。 考虑了以上几种介子场和光子场的相对论的拉格朗日量密度可以写成： l = ( 坷一 f ) + 主a c r c 3 ”盯一( ，( 盯) 一言q ，r q + j 1 2 扩一i 1r ，r ”+ i l 2 辟一言，f 9 ” ( 2 3 ) 一g ，妒o v g 。l ，巾v g p 妒p f v e v a 妒 矢量介子的场算符张量为： q ”= a ”彩7 一a 7 缈” r ”= a 一o r p ”一2 9 。p ”x p 7 ， ( 2 4 ) f ”= 矿a 7 一矿a ” 描述实际原子核性质时，采用非线形自恰耦合的标量介子势u ( c r ) ： u ( 盯) = 三以盯2 + 詈一+ 鲁矿 利用变分原理，可得到核子的运动方程，即d i r a c 方程 p p + y ( 7 ) + f l ( m + s ( 7 ) ) 哆2 这里，矿( ，) 、s ( ，) 分别是矢量势和标量势： ( 2 5 ) ( 2 6 ) 单粒子共振态的研究 盼：喝扣小， ( 一a g + u ( 盯) ) = g 。只， ( + 圮) o j 4 = g o j 4 ( ，) ， ( 一+ 肌；) p 4 = g ，j 4 ( ，) ， 一m 4 ( r ) = 彰( ，) 其中，标量密度和矢量流分别为 ( 2 7 ) ( 2 8 ) n = ”， ( ，) = 王”，”， ”1 (2a 9 ) 一 ， r ( ，) = 广f ， a 一1 7 片( ，) 2 舌广芋 这里求和符号表示仅对价核子求和。通常忽略来自负能态的贡献，也就是采 用无海近似，真空没有极化。耦合方程( 2 6 ) 和( 2 8 ) 均为非线形量子场方程， 它们的求解是十分复杂的。一般将介子场算符用它们的期望值来代替，即平均场 近似。这样，核子就在经典的介子场中独立运动。耦合方程可以通过迭代进行自 洽求解。 对于球形核，由于转动对称性，核子的势能和介子场的源项仅依赖于径向坐 标，问题的求解可以得到大大简化。表征d i r a c 旋量的量子数包括角动量量子 数，j ，朋，同位旋量子数，( 对于中子与质子，分别有，= 去) ，以及其它量 子数i 。d i r a c 旋量的形式为： 一吾 嚣裴矧聃， 汜 其中匕( 目，庐) 是球谐旋量，畔( r ) 和掣( ，) 分别是波函数径向部分的大分量和小分 量。归一化条件为： f 咖( 阿( r ) 卜2 愀r ) | 2 ) ：1 ( 2 1 1 ) 第二章理论框架 于是，从d i r a c 方程( 2 6 ) 可导出旋量的径向方程 这里，v p ( r ) = k ( ，) + k ( r ) ，v m ( r ) = k ( ，) 一k ( r ) ，r = ( 一1 ) j + t + j p ( y + 1 2 ) 。而介子 场方程简化为径向l a p l a c e 方程的形式： ( 薯一吾昙+ 啊肛啪) ， (213)-v1 3 ) ( 矿一7 石+ 何) 矿2 _ ( 7 ) ( 2 其中，是介子妒= 盯，m ，p 和光子的质量( = o ) 。源项分别为： 这里 屯( r ) = 一；岛一g w 2 ( r ) 一9 3 0 3 ( ，) ， 乳凤 ( 2 1 4 ) g , p 3 ( r ) ， p n ( r ) 4 z r 2 p ，( r ) = 【jg f ( r ) h e ( ，) 1 2 】， 4 乃r 2 p ，( ，) = 芝帕( ，) h 鼻( ，) | 2 】， 4 万，2 岛( r ) = 窆【i g ，( ，) 1 2 + l ( r ) | 2 】一窆【| g ( ，) 1 2 + i e ( ，) | 2 】， 4 z r 2 p 。( ，) = 丑i q ( ，) h ( r ) n 原则上，l a p l a c e 方程可以用g r e e n 函数方法来求解 对用质量的介子场 对于库仑场 庐( r ) = r r , 2 d r q ( ，r 7 ) ( ，) ， ( 2 1 6 ) ，) 2 2 1 l 玎( e l , l - d _ e - m , k + r 1 ) ( 2 1 7 ) 啪，= 黔：= ： 9 ( 2 1 8 ) 刁q 州 咋 m + 一 掣 钟 马，马， o一打。一西 卜 卜 = = 唧 印 t 单粒子共振态的研究 在通常的相对论平均场近似下，方程( 2 1 2 ) 和( 2 1 3 ) 可以自洽迭代求解。 最后得到自洽的矢量势( ，) 和标量势砍( r ) ，以及核子的波函数和本征能量。利 用这些物理量进一步研究原子核的性质。以上就是我们对球形核相对论平均的简 单介绍，除此之外，关于形变核的相对论平均场理论可以参见文献 3 u 。而当进 一步考虑到原子核中对关联效应的时候，可以用b c s 理论或b o g o l i u b o v 准粒子 变换等方法来解决，其具体内容亦可以参见文献 3 l 】。 2 2 耦合常数解析延拓方法 由于共振发生在非物理的能量支上，而常用的理论工具一般是在物理支上发 展起来的，人们想到从物理支解析延拓到达非物理支，从而在非物理支上定义共 振参数。在很多情况下为了方便起见，用相互作用耦合常数的解析延拓代替能量 或动量的解析延拓。 2 2 1 基本思想 a c c c 方法最初由k u k u l i n 等人提出，并用于处理少体系统中的共振态问题。 它源于简单的想法：通过增强体系的吸引势( 即增大耦合常数或势强度因子) ，使 共振态下降成为束缚态，再利用能量( 或动量) 与耦合常数的解析关系，把共振态 作为束缚态的解析延拓来处理。即在非物理支上，对应共振态的s 矩阵极点可定 义为物理支上对应束缚态的s 矩阵极点的解析延拓( 是对哈密顿量中吸引势耦合 常数的解析延拓) 。从而，得到共振态的能量、宽度和波函数。于是，诸如共振 能量、宽度、波函数、以及含共振过程的反应截面都可通过束缚态的计算间接得 到。 实现解析延拓有两个条件： 1 被延拓的物理量( 耦合常数或能量的函数) 具有一定的解析性，比如：函数 t ( 五) 在闽值( 动量k = 0 ) 对应的耦合常数凡附近的动量函数女( 五) 的解析性。 2 需要寻找有效数学工具实现解析延拓。 2 2 2 理论依据 第二章理论框架 首先，在非相对论框架下讨论动量函数k ( a ) 在支点九( 满足( 凡) = o ) 附近的 数关系。然后，将耦合的d i r a c 方程化成等效的s c h r s d i n g e r 方程，通过非相对 论框架下定义j o s t 函数的解析性来考察相对论的动量和耦合常数关系。 2 2 2 1 非相对论框架下动量和波函数在支点矗附近的解析性 这节，先介绍s 矩阵和j o s t 函数，从而得到s 矩阵的极点就是j o s t 函数 f ( t ) 的零点的结论。于是，可以通过研究j o s t 函数e ( 女) 的性质得到s 矩阵的 解析性质。然后，通过j o s t 函数零点在阈值附近的行为得到在闽值( t ( 凡) = 0 ) 对应的凡附近函数女( a ) 的行为。 1 s 矩阵和j o s t 函数 对于定态的径向s c h r s d i n g e r 方程： 竽一t - k t - u ( r ) 卜驴。 弦 这里，u ( r ) = 2 m v ( r ) ，假设y ( r ) 满足 fo ( r 3 ) 当r 寸， v ( r ) = o ( r 。3 ”1 ) 当，一0 ， ( 2 2 0 ) i 连续当o 0 的零点为二阶的。 e ( t ) 在复动量上半平面 i m 女 0 ) 的零点对应束缚态，t 糊 i m k 0 ) 的 零点对应共振态，这表明在束缚态和共振态之间有某种联系，引入耦合常数丑， 散射体系的哈密顿为h = h o + 2 v 。此时，j o s t 函数为e ( 五，) 。可以证明，对 于所有的五和除了在下半平面 i i i l t 、“ 处可以找到只( 五，女) 的零点。 当吸引势五y ( r ) 比凡处的势作用凡y ( ，) 强时，在复动量平面的正虚轴上存 在零点，对应束缚态；减弱吸引势使得五趋于凡，则该零点向下移动直到a = 矗 时，零点到达原点( ，0 的情形) 。继续减弱吸9 1 势，零点离开原点移动向复平面 的下半平面。当五移动到1 = 五 矗时，该零点对应共振态。 4 波函数仍( ，) 在支点磊附近的解析性 为了得到s c h r s d i n g e r 方程共振态的解，需要解析延拓波函数仍( ，) 到 s 矩阵的极点k 。于是，可以得到 仍( 吒，r ) ：面。( r ) ：二氅型( 一，r ) ( 2 2 9 ) 面，。( r ) 正比于g r e e n 函数残数定义的g a m o w 函数： m ，一( ，) 。，一( r 7 ) _ l i m 一( e e n ) g f + ( ，t ) ( 2 3 0 ) 而且，g r e e n 函数可以用s c h r s d i n g e r 方程的解仍和石+ 来表示： 吼v ，女) = 一丽2 m 触洲+ ( ，) ( 2 3 1 ) 将( 1 3 0 ) 式和( 1 2 8 ) 式代入( 1 2 9 ) 式中，可以得到 觊( e 吲眦，r = 7 等昔似坍十) ( ( 2 3 2 ) 从而得到g a m o w 函数中h ( r ) 和j o s t 解z + ( k ，) 的关系： 单粒子共振态的研究 o h ( r ) = ( 2 3 3 ) 利用阈值附近j o s t 函数f ( t ) 的行为( 2 2 7 ) 式，可以得到 州书。卜黔l = 0 亿s a ， 其中，o o 。和m h 是对应于k 的s c h r s d i n g e r 方程( 2 2 0 ) 式的规则解。所以， 在 j o s t 函数解析区域，( r ) 是屯的解析函数。 2 2 2 - 2 利对论框架f 动量和坡豳效在叉点厶附近的解析住 下面，我们将核子的径向d i r a c 方程化成等效的s c h r s d i n g e r 方程。然后， 利用上一节s c h r s d i n g e r 方程中关于动量和波函数在支点凡附近的解析性的结 论，得到d i r a c 方程中动量和波函数在支点凡附近的解析性。 首先，核子的径向d i r a c 方程( 1 11 ) 式简写成： d f j 厂( r ) 一手，( r ) + p m k ( ，) 一杉( ，) 】g ( ，) = o ， ( 2 3 5 a ) _ d g ( r ) + - - r g ( ，) 一 s + m + 珞( ，) 一( r ) 】f ( r ) ：o (235b)ari - 。 由上式可得到 g ( ，) = i 硒- 1 一嘶) l r d f 毋( r ) 一手附) ，( 2 3 6 a ) 附) = 瓦丽1 ( r ) 一) l i d g 西( r ) + 詈g ， ( 2 3 6 b ) 了df(r)=丽1一)rd2g：(r)+7tcdg(r)var)v一事g ( r ) i v ( r d r d r 毋s + m + 一 ) l 2 r ，2 、j d 8 + m 逝+ v 业斋i 型+ 如| ( 2 。o c ) s ( r ) - v v ( r ) n d r r “j 。 、。 将小分量f f r l 及其一阶导数的表达式( 2 3 6 b ) 和( 2 3 6 c ) 代入( 23 6 a ) 中。昭坪可 1 4 第二章理论框架 学一竽g 掣+ 触 + 【s + m + k ( r ) 一v v ( r ) 6 - m - v s ( r ) - v v ( r ) g ( r ) = o ( 2 3 7 ) 令月( r ) = 6 + m + f s ( r ) 一( ，) ，n ( ，) = 嵋( ，) 一形( ，) ，疗。( r ) = p 文，) 一彬( ，) ，则上 式可写成： 学r ( r ，：+ 0 俐愕n ( r ) f d g ( r ) + 如 + ”( ，) 【s m v s ( r ) - v v ( r ) g ( r ) = 0 ( 2 3 8 ) 再令g ( r ) = u ( r ) 石两，则大分量g ( ，) 的一阶导数和二阶导数分别为： 了d g ( r ) = 舞帅而了d u ( r ) ，( 2 3 9 a ) 了d 2 g ( r ) = 舞w _ 1 而n 2 ( r ) ) + 厮学+ 鬻掣 亿。 将表达式( 1 3 8 a ) $ f l ( 1 3 8 b ) 代入( 1 3 7 ) 式中，并除以丽，可以得到 了d 2 u ( r ) + p 圳卜竽一) 卜， ( 2 4 。) 舯哪) _ _ 鬻鬻+ 等手瑚r ) + 咖) 十2 蚓r ) + 2 慨 若令2 = s 2 一m 2 ，再利用r ( r + 1 ) = f ( f + 1 ) ，则d i r a c 方程( 2 1 2 ) 式化成只 含大分量的等效s c h r s d i n g e r 方程形式( 可参考文献 3 1 ，3 2 ) ： 了d z u ( r ) + 卜半吲巾，) _ 。 ( 2 4 1 ) 得到径向波函数的大分量之后，代入d i r a c 方程( 2 1 2 ) 式。即可得小分量。 这样，上一节阐述的在s c h r s d i n g e r 方程形式下关于动量和波函数在支点疋附 单粒子共振态的研究 近的解析性的结论，可以套用到d i r a c 方程中。所以，d i r a c 方程中动量和波函 数在支点厶附近应该具有一定的解析性。 2 2 3p a d 6 逼近 p a d 6 逼近是实现延拓的有力数学工具。同时，它在自洽确定根支点凡的 过程中起主要作用。下面，介绍p a d 6 逼近定义、性质及其优点。 2 2 3 1p a d 6 逼近概述 1 p a d 6 逼近的定义 考虑在z = 0 的邻阈内解析的函数f ( z 1 ，其t a y l o r 展开式为 f ( o = a o + 口l z + a 2 2 2 + = t l n z ” ( 2 4 2 ) n = o 级数在h n + m + 1 ) 个点 刁 ( f - l ，2 ，足) 的误 差幢 ( i = l 2 k ) 给出的函数值厂( ) 来确定，则称( 1 4 2 ) 式中的p a 为第三类 p a d 6 逼近( 简称p a i i i ) 。 2 p a d 6 逼近的性质 ( a ) 唯一性： ( b ) 对函数f ( z ) 作有理分式的变换，p a 形式不变( 仍然是n 阶) ； ( c ) 对函数f ( z ) 作保角变换，p a 形式不变； ( d ) 幺正性。由s 矩阵的幺正性s ( z ) g ( z ) = 1 可知： 厂( z ) = 厂川( z ) ( 2 4 4 ) 3 p a 拍多项式的收敛性。 如果有 f ( z ) = l i m ，n m i ( z ) ，z d ， ( 2 4 5 ) 则称在z d c c 区域内，p a d 6 铡f i ”1 收敛于，( z ) 。 4 结论： ( a ) 有理分式逼近比多项式逼近的函数类型更一般。 因为有理函数有极点，所以可以用来逼近有一阶极点的函数f ( z ) 。实 际上，如果厂( z ) 在处有一个m 阶极点，那么在该点邻阈内的洛仑兹级数展 开式为： f ( z ) 2 善南+ 薹啦吲” ( 2 4 6 ) 截断级数到珂= k 项，可得到 单粒子共振态的研究 厂( z ) 4 i ；! ：厂+ ( ：一o - m + ) l 。一- + + 日0 + 这正是( 2 4 3 ) 式的有理分式的表达式。 + q ( z - - z 0 灶锗( 2 4 7 ) ( b ) p a 可以平缓地外插函数f ( z ) ，并再现f ( z ) 的极点。 2 2 3 2 用第二类p a d 6 逼近p a 实现解析延拓 在初步了解p a d 6 逼近的基础上，这一节，我们将详细描述如何用第二类p a d o 逼近( p a i i ) 实现解析延拓。 如果给定一组离散数对 z ，弓 ( f - l 2 ，m + + 1 ) ，即离散函数f ( z ) = z ， 我们要构造用于外推的p a d d 逼近函数： m m 川2 器，肌+ l - p 像4 8 ) 关键是求出构成有理多项式( 3 3 0 ) 的分子、分母多项式的系数。下面，给出两 种求多项式系数的方法。【方法一】在文献“”中提到过，这里将其具体化。我们 直接用待定系数法求解线形方程组的过程详见【方法二】。 【方法一】 待构造的p a d 6 多项式( 2 4 8 ) 可写成如下形式： ! 易( z ) ( z ) 一( z ) = d ( z ”+ ”“) ( 2 4 9 ) 其均方偏差为 ，= 吉喜i 锄( 缸) 厂( ) 一( 4 ) 1 2 ， p = + m + 1 ( 2 5 。) 其中， n m p a z ) = 叫，q , a z ) = l + y b ，z ( 2 5 1 ) f ，0 j = o 下面，分别对变量h ) 和 魂) 最小化均方偏差i ，即 薏- o ，肛”，埘 ( 2 5 2 ) 第二章理论框架 由( 2 3 4 ) 式可得到 整理可得 若令 则有 当：o ，f = 呱， ( 2 5 3 ) 舭驯z 一2 和卜 眨s t ， i l l j - l f ；i 兰q f 圭彳m 五1 一兰q f 圭一疗1 ：圭彳疗 ( 2 5 5 ) i - o i - lj - i女= li - l ：圭带，正 由( 2 5 3 ) 式可得到