（应用数学专业论文）新混沌系统的同步控制及不确定复杂网络同步.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 混沌系统的控制与同步是近年来非线性科学领域研究的热点。 本课题对一个新混沌系统的控制与同步作了深入研究，然后探讨了 一个不确定复杂网络的同步。主要研究工作包括： 1 对混沌理论的发展背景和意义进行了以及复杂网络进行了介 绍，并概述了混沌研究的现状，在此基础上给出了本文的研究内容。 2 针对新混沌系统，首先利用r o u t h h u 研洫准则对这个新混沌 系统的平衡点进行了稳定性分析，然后通过线性反馈精确化解耦控 制将这个新混沌系统的混沌状态控制到某个不稳定平衡点。利用坐 标变换，将原系统的不稳定的平衡点转换成变换后的系统的零平衡 点，然后在变换后的系统的第三项上加上控制器使之精确线性化， 应用矩阵形式给出了这个受控系统的精确线性化条件。再次通过坐 标变换得到反馈控制律的带有新输入的具体形式，应用线性系统中 的最优理论给出这个新输入的矩阵形式，再通过解m c c a t i 矩阵方程 的解，得到新输入的精确的数值解，从而解得此新混沌系统的反馈 控制率。最后数值仿真证明了此方法的有效性。 3 在前一章分析了新混沌系统的不稳定平衡点的基础上对它进 行了同步分析。首先根据线性系统的稳定性判定准则，对混沌系统 进行了适当的分离，构造了一种新的实现投影同步的方法，实现了 所给新混沌系统的同步，数值仿真验证了该方法的有效性。这种线 性分离的方法方法简单，不需设计l y a p u n o v 函数；能实现一类非线 江苏大学硕士学位论文 性系统的投影同步，同时还能实现全局同步和所有状态矢量同步。 然后基于线性可逆变换方法，构造了一种提高变量耦合控制混沌同 步的方案，通过将系统的部分变量在相应的子空间做线性可逆变换， 用单一变量信号实现了对整个混沌系统的同步控制。通过对这个新 混沌系统的仿真模拟表明了这种方案的有效性，且同步速度比较快， 控制代价比较小，简单易应用。 4 构造了一个不确定复杂网络新混沌动力系统，通过加入自适 应控制器，设计了自校正率，并利用l y a p u n o v 稳定性理论对它进行 了同步分析，实现了它的全局同步。 关键词：新混沌系统，混沌控制，混沌同步，l y 印u n o v 稳定性理论， 线性可逆变换，线性分离，投影同步，不确定复杂网络 江苏大学硕士学位论文 t h ec o n t r o la n ds y n c h r o n 娩a t i o no fc h a o t i cs y s t e m sh a v eb e e nt h e r e s e 卸c 1 1h o t s p o t so fn o n h n e a rs c i e n c ef o rr e c e n ty e a r s w es t u d yt h e c o n t r o la n ds y 幽1 1 i z a t i o no fan e wc h a o t i cs y s t e mt 1 1 0 r o u g t l l y ，t h e s y n d 帅i l i z a t i o no fa nu n c e r t a i l lc o m p l e xn e 栅o r ! k sa sw e u t h ew o r ko f t h i st h e s i si sp r e s e l l t e da sf o o w ： 1 w ei n t r o d u c 宅t h ed e v e l o p m e n ta n dr e s e 鲫c hh i s t o 巧o fc h a o t i c t h e o 巧a n dc o n l p l e xn e 细o f k st h o r o u 9 1 l l y 姐dg e n e r a l 娩et h em e t h o do f c h a o t i cc o n t l f o la n ds y n c h m n 娩a t i o nm e a n w l l i l e n e nw ep r e s e n tt h e r e s e a r c hc o n t e n to ft h i st h e s i s 2 u s i i l gr o u t l l 一h u 州i t z1 k o 吼w es n l d yt h es t a b i l i 哆o ft h i sn e w s y s t e m t 1 1 i ss y s t e mi ss u p p r e s s e dt oi t su n s t a b l ee q u i l i b r i u mp o 衄sb y t h es t a t ev 撕a b l ef e e d b a c ke x a c tl i n e a r i z a t i o nm e t h o d w ec h a j l g e u n s t a b l ee q u i l i b r i 啪p o i n t st ot h ez e r oe q u i l i b r i u mp o 硫o fa i l o t h e r s y s t e mb yc o o r d i n a t i o nt r 翘s f o m a t i o n ，t h e nm a k et h es y s t e me x a c t l i n e a 血a t i o nb ya d d i n gac o n 旬旧l l e ri l lt h e 蛐df h n m i o no ft h es y s t e m 1 1 1 ee x a c tl i l l e a r 讫a t i o n q u a l i f i c a t i o n o ft h i sc o n 仃0 1 1 e d s y s t e m i s p r e s e m e di nt h em a t r 奴f o 肌t h e nw eg e tt h em a t e r i a lf o m o ff e e d b a 6 k l a ww i t han e w i 1 1 p u tt h r o u 曲m a t r 故t r a n s f o r m a t i o na n dg a i l lt h en e w i 印u tm a t r i 】【f o 衄u s i n go p t i m a lc o n t l o l t h e o 巧o fl i n e a rs y s t e m w r e o b t a i nt h ee x a c ts o l u t i o no fm en e wi i l p u tb ya n s w e i i n gt h em c c a t i e q u a t i o n n m n e r i c a ls i i i m l a t i o n ss h o wt h a tt h ei n e t h o di sv a l i d 3 b a s e do ns t l l d y i n gt h es t a b i 哆o fu n s t a b l ee q u i l i b r i u mp o i m si n t h el a s tc h a p t e r w r es 鼬d yi t ss y n c h r o n i z a t i o n w r ec o n 灿c tan e w p r o j e c ts y n c l l r o n 娩a t i o nm e t h o dt oa c h i e v et h es y n c h r o n i z a t i o no ft h i s 江苏大学硕士学位论文 s y s t e mb yi t ss 印a r a t i o na c c o r d i n g t ot h es t a b l et h e o 巧o fl i n e a rs y s t e m n 啪e r i c a ls i m u l a t i o 珊s h o wt h a tt h em e t h o di sv a l i d t l l i sm e t h o di s b r i e f ，锄dn e e d n td e s i 萨l y a p u n o ve q u a t i o n nc 孤a c h j e v et h ep r o j e c t s y n c h f o n 娩a t i o no fas 嘶e so fn o l l l m 暑a rs y s t e m s i ta l s oc 舳a c h i e v e 9 1 0 b a ls y n c h r o n 娩a t i o n b a s e do nl i i l e a ri n _ v e n i b l et r a n s f o 皿m e t h o d ， d e s i 印as c h e i n e w l l i c hc 柚i m p r o v ev 撕a b l ec o u p l e dc o n 仃o la n d s y n c h r o n 娩a t i o n w bo b t a i nt h es y n c h r o n 娩a t i o no ft h ew h o l 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es y n c h l o n i z a t i o n ，u n c e n a i nc o m p l e x n e t 、o r k s 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学位保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。 本人授权江苏大学可以将本学位论文的全部内容或部分内容编入有关数据库进行 检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用本授权书。 不保密a 。 学位论文作者签名：砌别 训年5 月f 日 指导教师躲菇膨 枷暑年，1 只 | 日 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已注明引用的内容以外， 本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式 标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：玩厥利 日期：加6 男年月日 江苏大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 本课题的研究背景 混沌是当今前沿的研究课题。所谓混沌是指在确定性系统中出现的一种貌似 无规则、类似随机的现象，是非线性动力学系统所特有的一种运动形式，它揭示 了自然界及人类社会中普遍存在的复杂性。混沌的研究涉及数学、力学、物理学 等自然科学与社会科学领域。一般而言，混沌现象隶属于确定性系统而难以预测， 隐含于复杂系统但又不可分解，以及呈现“混乱无序”却又颇有规则的图像。产 生混沌的机制往往是简单的非线性，是丝毫不带随机因素的固定规则。1 9 6 3 年 l 0 r e l ：l z 发表了著名论文确定性非周期流【1 1 ，以后又陆续发表了3 篇论文。他 提出了一系列混沌运动的基本特征，如确定性非周期性、对初值的敏感依赖性、 长期行为的不可预测性和第一个奇怪吸引子，即l 0 r e n z 吸引子。这也为耗散系统 中混沌研究开辟了道路。 1 9 9 0 年美国海军实验室的p e c 0 c 姗l l 【2 1 发现了电路中的混沌自同步现象 以后，国际上形成了混沌控制的研究热潮，特别是掀起了混沌在保密通信中的应 用研究热潮。混沌控制及混沌同步的突破性进展激发了理论与实验应用研究的蓬 勃发展，以至于各国的军事研究部门及大学机构均有学者竞相参与研究，许多新 的控制及同步方法和新的保密通信方案不断被提出。又由于混沌控制和同步在今 后高科技领域中的应用，国际上出现了激烈竞争的发展趋势。 与此同时，2 0 世纪9 0 年代以来，以h l t e m e t 为代表的信息技术的迅猛发展使 人类社会大步进入了网络时代。从h l t e m e t 到w w w ，从大型电力网络到全球交 通网络，从科研合作网络到各种经济、社会、政治网络等。可以说，人们已经生 活在一个充满着各种各样复杂网络的世界中。人类社会的网络化既给人们带来了 极大的便利，也给人类社会生活带来了一定的负面影响。因此，人类社会的日益 网络化需要人类对各种人工和自然的复杂网络的行为有更好的认识。 1 2 本课题的研究现状 经过近几十年的发展，混沌控制与同步及其应用研究己获得了重大的突破性 江苏大学硕士学位论文 的进展，目前国内外已经提出了许多不同的控制混沌的方法。混沌控制正在逐步 形成系统化的理论体系。迄今，控制混沌的目标总体上有四种类型 ( 1 ) 抑制混沌：通过控制策略获得所需的新的动力学行为，包括各种周期态、 非周期态。 ( 2 ) 镇定混沌：稳定某个不稳定平衡点、周期轨道，其特点是并不改变系统所 有的运动形态。 ( 3 ) 混沌同步：镇定所需的混沌态，实现两个或多个系统的混沌同步。 ( 4 ) 混沌反控制：强化混沌系统原有的混沌态后使非混沌系统产生需要的混沌 态。 针对不同的目标，必然采取不同的方法。总的来说，混沌控制可分为反馈控 制和非反馈控制。一般来讲，反馈控制多以原系统的固有态( 这些态在非控制系统 中是不稳定的) 为控制的目标态。所以，这种方法可以保留系统原有的动力学性质， 并且只需要较小的控制信号。反馈控制的核心问题是目标轨道的局域稳定性问题。 这样，目标轨道的局域稳定性就足以保证控制的成功。常用的反馈控制方法包括： 条件比例反馈法、时间延迟反馈法、连续变量反馈法、周期脉冲反馈法等等。从 系统内部条件的改变考虑，反馈控制可分为参数、变量和时空三个方面。非反馈 控制法的基本特点是其控制信号不受系统变量实际变化的影响，这就完全避免了 对系统变量数据的持续采样和响应。常用的非反馈控制方法包括：周期信号驱动 法、输运和迁移控制法、常数周期脉冲法等。 在自然界和实验室里存在着大量的同步现象。所谓同步，通俗地说就是指两 个或多个混沌系统( 等价或非等价) 在耦合作用或外力作用下调整某个动态性质以 达到一个共同行为的过程。 混沌同步方法主要有：第一、驱动一响应同步( 简称p c 同步) 嘲。这种方法要 求系统可以分解为一个子系统，然后复制混沌子系统，称为响应系统。在进行系 统分解时，应先判别同步能否实现，以条件l y a p 咖v 指数的正负为标准。如果响 应系统的条件l y a p 蚰0 v 指数为负，则它可与原系统达到混沌同步。第二、主动一 被动关系同步方法。k o c a 溅，和p 砒沱提出了改进方法，即主动一被动分解法【4 1 。 其思想是通过把耦合变量或驱动变量引入复制系统，导出系统变量的微分方程， 2 江苏大学硕士学位论文 得到总体系统的误差动力学，再利用线性化稳定性分析方法或l y a p l l l l o v 函数方法 证明复制混沌系统与原系统达到稳定同步。第三、互耦合混沌同步法。在互耦合 的情形下，总体系统不区分驱动和响应关系，所以这种同步方法适用于研究无法 实现子系统分解的实际系统。第四、基于控制理论的混沌同步方法。控制理论也 被广泛地应用到混沌同步中，这是由于混沌同步可看成一种特殊的控制形式，即 控制的跟踪信号是混沌同步系统中驱动系统的状态。如利用自适应控制实现混沌 同步就是借用自适应控制混沌的思想，要求目标系统具有可控参数，参数的控制 量是两个系统变量之差或它们的函数，其控制形式决定了同步的效果。第五、其 他方法。除了以上混沌同步方法外，关于混沌同步的方法还有很多种。如脉冲控 制同步法，基于遗传算法同步法等。而且随着同步研究的不断深入，更多的方法 不断涌现。 充分利用和发展非线性系统理论中的控制方法并将其应用到控制混沌已取 得了很好的效果。目前研究和应用的控制方案，包括输送控制的新发展参数开闭 环控制或是镇定控制的一般形式，控制机制都比较简单，充分利用非线性系统理 论( 包括随机自适应控制盒人工神经网络) 并综合利用混沌的特点尚有待深入研 究。而研究和探讨各种新的混沌控制和同步方法对促进混沌理论的发展也有着十 分重要的意义。 同时，关于复杂网络各种同步现象已经引起了广泛关注，w 抽g 和c h e n 【5 h 8 】 给出了一个一般的复杂动力网络模型，并研究了具有小世界和无尺度特性的网络 模型的同步与控制问题。i j 和c h e n 将一个时变动力网络模型扩展到一个具有耦 合时滞的模型。另外，文献【8 】、【9 】研究了小世界网络模型上带时滞的振子和耦合 映象格子的同步问题。迄今为止，对动力网络控制同步的研究主要是基于线性反 馈控制技术。在文献【1 0 】、【1 1 】中，作者将自适应控制方法运用到不确定的复杂动 态网络中并研究了它的同步问题。自适应控制方法在不确定复杂动态网络上的应 用有待更进一步的研究。 1 3 本文的研究内容 本文对几个新混沌系统的控制与同步进行了讨论，主要分三个部分： 在第三章先利用r o u t l l h u r w i t z 准则对这个新混沌系统的平衡点进行了稳定 3 江苏大学硕士学位论文 性分析，得到了这个新混沌系统的不稳定的平衡点。然后利用精确线性化解耦控 制将其控制到不稳定的平衡点。 第四章研究了这个新混沌系统的同步问题。首先根据线性系统的稳定性判定 准则，通过对混沌系统进行了适当的分离，构造了一种实现投影同步的方法，实 现了所给新混沌系统的同步，数值仿真验证了该方法的有效性。然后基于线性可 逆变换方法，构造了一种提高变量耦合控制混沌同步的方案，通过将系统的部分 变量在相应的子空间做线性可逆变换，用单一变量信号实现了对整个混沌系统的 同步控制。仿真模拟表明了这种方案的有效性，且同步速度比较快，控制代价比 较小，简单易应用。 第五章构造了一个不确定复杂网络新混沌动态系统，通过结合应用具有线性 反馈的自适应控制技术和动力系统理论中著名的i s a l e 不变原理及l y a p 仰o v 稳 定性理论，实现了它的全局同步。 最后，给出了本文的工作总结和有待更进一步展开的研究。 4 江苏大学硕士学位论文 第二章基本概念与基本理论 本章归纳混沌的定义及以后各章用到的各种概念和基本理论。 2 1 混沌的定义 i jy o r k e 的混沌定义是比较公认的、影响较大的数学定义。它是从区间映射 出发进行定义的。设，为实轴上的一个闭区间，考虑其上定义的连续映射厂：，- 只 针对一维离散迭代映射系统 ，：j 专，c 尺，黾+ l = 厂( )( 2 1 ) 定义2 1 ：闭区间，上的连续自映射，( 力，如果满足下列条件： ( 1 ) ，的周期点的周期无上界：厂具有任意正整数周期的周期点，即对任意自 然数胛，有xc ，使厂”( 砷= x ( 非不动点的，z 周期点) ( 2 ) 闭区间，上存在不可数子集s ，满足 ( i ) 对比，) ，s ，当x y 时有 l i m s u p i 厂”( x ) 一厂”( y ) l o n ( 琊对比，) ，s 有 l i m i l l f l 厂”( 曲一厂”( 少) i = o 打 ( i i i ) 对坛s 和厂的任一周期点少，有 l i m s u p f ”( x ) 一”( y ) i o n + 则称厂为混沌的。 、 定义中的( 1 ) 是s 训v s 虹i 定理的特例，存在所有正整数周期，就足以说明系 统是相当复杂的。满足( 2 ) 的不可数集j ，称为混沌集，其中的条件( i ) 、( i i ) 是本质 的，反映了轨道结构的复杂特征：不可数多的点，在同步迭代下，若即若离，飘 忽不定，时而聚拢，时而分开。在直观上，只要有这种情况出现，就足可说明系 统的轨道结构非常复杂，其中一部分是周期运动，而更多的是杂乱无章的运动， 出现了类似于随机的状态。( i i i ) 说明了s 中无渐进周期点，但这个结论不是独立的， s 江苏大学硕士学位论文 而是蕴涵在( i ) 、( 哟中。 2 2 李雅普诺夫指数 李雅普诺夫( l y a p l 删) 指数是定量地描述相空间中相邻轨道随着时间变化按 指数规律吸引或分离程度的物理量【1 2 1 3 1 。若李雅普诺夫指数小于零，表示相体积 收缩，运动稳定，且对初值不敏感；若李雅普诺夫指数等于零，则对应临界状态， 即稳定的边界；若李雅普诺夫指数大于零，则表示相邻轨道分散，其长时间行为 对初值非常敏感，运动呈现混沌状态。通过求取李雅普诺夫指数可以判断该系统 是否为混沌的【1 3 。1 4 1 。 下面给出n 维系统的李雅普诺夫指数的具体定义： 定义2 2 【1 3 】_ 1 5 1 设自治系统 x = 厂( 力( 2 2 ) 其中，z 科构成一个n 维相空间，厂：尺”专尺”式( 2 2 ) 的解从初始值z ( 0 ) 出发 在相空间形成一个轨道x ) ，若z ( o ) 有偏差岬) ，则由x ( 0 ) + 呷) 出发形成另一 轨道x o ) + h t ) 。 设啡) = 嵋 ，f _ 1 ，2 ，万) ，将 w ( d ，f _ 1 ，2 ，以) 所构成的空间称为切空间。 只要 嵋( t ) ，f = 1 ，2 ，厅) 足够小，且系统( 2 - 2 ) 是耗散系统，则心) 应满足下列线性 微分方程： w = 灿 ( 2 3 ) 其中，是系统( 2 2 ) 的j a c 0 b i 矩阵。 在切空间上，若初始时刻啡) 的长度为0 w o ) 8 ，i 时刻以后的长度为0 以o ) l l ， 由于对初始条件的敏感性，使j a c 0 b i 矩阵的特征值给出了某确定时刻其长度在该 特征方向上的指数变化率，因此设 愀，) 0 = p 腑i | w ( o ) 0( 2 4 ) 则n 维系统的李雅普诺夫指数为 6 江苏大学硕士学位论文 皿= 觋 h 皿= l i l n 二l n 峭 f _ 。fl l w ( u 川 ( 2 5 ) 在n 维切空间中，呻) 在每个基底上有分量。由于李雅普诺夫指数是针对系 统的运动轨道而言的，所以切空间的每一个分量都有一个李雅普诺夫指数。按式 ( 2 5 ) 求出的n 个李雅普诺夫指数，并将它们按大小顺序排列起来，即 崛崛孤地( 2 6 ) 称由这些数组成的集合为李雅普诺夫指数，其中，蛆称为最大李雅普诺夫指数。 2 3 李雅普诺夫函数 两个非线性系统的混沌同步问题，通常用的方法之一是将其转化为两个系统 的误差系统的零点的稳定性问题来考虑，也即考虑微分方程组零解的稳定性问题。 可以借助构造一个特殊的函数y 似y ) ，并利用y 似y ) 及其通过方程组的全导数 堕半便确定了方程组零解的稳定性，这就是李雅普诺夫第二方法的思想。 考虑非线性微分方程组 警叫力 其中 m z = l ：i l 毛j l “，毛) l f ( 力= i l ，假设f ( 0 ) = o ，且f ( 功在区域 【 “，) j g = ( 西，) ：口) 内有连续的偏导数。 定义2 3 假设y ( 力为区域口内定义的一个实连续函数，y ( 0 ) = o 如果在此域 内恒有y ( 功0 ，则称函数y ( 矽为常正的。如果对一切x 0 都有y ( 功 0 且 y ( 0 ) = o ，则称y ( 力为定正的。如果函数y ( 砷是定正( 常正) 的，则称y ( 力为 定负( 常负) 的。 进一步假设函数y ( 功关于所有变元的偏导数存在且连续，以方程( 2 7 ) 的解代 入，然后对t 求导 7 江苏大学硕士学位论文 警i = 喜詈鲁= 喜拳c ”， 这样求得的导数警l ( ：m ) 称为y ( 力关于方程( 2 - 7 ) 的全导数。 定理2 1 对于方程( 2 7 ) ，如果存在一个定正的函数y ( 力，其关于方程的全导数 华为常负函数或恒等于零，则方程( 2 7 ) 的零解为稳定。 口f 定理2 2 对于方程( 2 7 ) ，如果存在一个定正的函数y ( 砷，其关于方程的全导数 华为定负的，则方程( 2 7 ) 的零解为渐近稳定。 口f 定理2 3 对于方程( 2 7 ) ，如果存在一个定正的函数y ( 力，其关于方程的全导数 可以表示为 警= + 且当非负常数0 时，形为常正函数或恒等于零，= 0 时，矿为定正函数，又 在x = o 的任意小领域内都存在某个；，使得y ( 为 o ，那么方程( 2 7 ) 的零解为不 稳定的。 定理2 4 如果存在一个定正的函数y ( 砂，其关于方程( 2 7 ) 的全导数警为定负 的，但使孕：o 的点x 的集合中，除零解x ：o 外，并不包含方程( 2 7 ) 的其它解， 口f 则方程( 2 7 ) 的零解为渐近稳定的。 2 4i 沁u t h h u r w i t z 准则 r o u n l h u r l j l ，i 亿准则是判定含多个状态变量非线性自治方程定点稳定性的一 种方法。该准则提供了一个不用求解高次代数方程，而直接利用特征方程系数所 构成行列式的某些性质就可以判断特征值实部是否为负的判据。 假设系统的动力学方棵为 x = 厂( 矽，x 彤 ( 2 8 ) 系统( 2 8 ) 在定态薯。( f = ，1 ，2 ，刀) 的线性化方程为 y = a ( y ) ，y 尺” 8 ( 2 9 ) 江苏大学硕士学位论文 式中y 是刀列( 1 帕矢量，系数矩阵a 取下面的形式 a = q l口1 2 口2 l口2 2 口n l口n 2 q 。 口2 n ： 口m ( 2 1 0 ) 其呐= ，由此得到系数矩阵a 的特征方程为关于五的玎次代数方程 口。允”+ 口l 一1 + + 口。_ 1 a + = o( 2 1 1 ) 设口。 0 ( 若口o o ，跏p o 对系统( 3 1 ) 进行如下的坐标变换： 恐= y 一，1 2 ，则系统( 3 1 ) 变为 l 为2z 一 【而2z 一鸭 l 五= 口k 一五+ 心+ ) 心+ 鸭) 】 般：蒜嚣： ( 3 2 ) 江苏大学硕士学位论文 这样原系统( 3 1 ) 的平衡点就变成系统( 3 2 ) 的零平衡点( 0 ，0 ，0 ) ，如取 = 瓦，鸭= 撕油，= a ，系统( 3 - 2 ) 的零平衡点即为原系统的平衡点墨本节采 取的方法是在式( 3 2 ) 的第三项上加上反馈控制“使系统( 3 2 ) 精确线性化。将受控 主= ，( 矽+ g ( 矽h ( 3 3 ) 胁鼢 c 黧兰辫，卜圈 ，= i 厶( 力i = i “+ ，1 1 ) ( c 一恐一鸭) + 似+ ) i ，g 2i o i 【- 厶( 力jl ( 五+ m ) 化+ ) 一6 似+ 鸭) j l 1 j 咖= h 蟛g = 裂叫 当为一，l l 时，m 础【g ，口d ，g ( 力，口d ；g 】= 3 = 厅，又由于 【g ，耐捌：掣g 一粤以舻【o ，o ，o 】r d。 积c 可得向量场d = 印n ，l 【g ( 功，以，g ( 力】是对合的。根据上面定理，新混沌系统在点 石三= “，而，为) r 3 ，五嘲 处通过状态反馈实现控制系统精确线性化。为求坐 掣咖矽，g 】o ( 3 4 ) 故五( 砷= 五“) ，可取力( 功= 而，其余解可通过加常数项得到，定义坐标变换 z l = 从功= 而 鬟蒹三鬈焉一附批一咿。恐 ( 3 5 ) 乞= 口名( 功= 工厂仁，名( 呦= 口【“+ ) ( c 一恐一鸭) + 亿+ 他) 、。 _ ( 而一而) 一亿+ ) ( 而+ ，坞) 通过计算，三g 五( 力= 三 兄( 力= o ，t 衅五( 砌= 吲“+ 他) ，即系统相对阶为3 ， 江苏大学硕士学位论文 一恻归蔫+ 南 = 堑幽堕型迎岽高等塑型塑业( 3 6 ) 口i 石+ ，l il 其中，d 为新的输入。在坐标变换( 3 5 ) 和式( 3 6 ) 的作用下，系统( 3 2 ) 变为如下线 性系统 z = 量妻三 z + 三 u ( 3 7 ) 其中z = k ，乞，乞r ，系统( 3 7 ) 为线性系统。利用线性最优控制理论，取最优控 d = 一忽 ( 3 8 ) 式中，置= r 一曰孕+ ，r = r ，这里取r = ，( 单位矩阵) ，p 为下面r i c c a t i 方程的解 a r p + 烈一删一1 曰r p + q = 0 ( 3 9 ) p = 1 + 压1 + 压 l 1 + 压2 + 2 压1 + 压 l1 + 括l + 括 结合( 3 8 ) 式求得新输入为 d = 一k 一毛一( 1 + 历) z ：一( “压) 乃 3 2 3 数值仿真 利用m a a b 软件，采用四阶龙格库塔算法进行数值仿真。为控制系统到平 衡点岛，取确= 瓦，= 撕渤，鸭= a 。仿真结果如图3 1 所示。t = 2 s 时开始加入 控制器。从控制结果可以看出，加入控制器后，系统很快的被控制到期望的平衡 点。+ 1 4 江苏大学硕士学位论文 图3 1 施加控制后系统( 3 1 ) 的h f ) ，y o ) ，z o ) 时域波形图( t = 2 s 时加入控制) 3 3 本章小结 本章研究了一个新混沌系统的混沌控制问题。针对这个新混沌系统，通过分 析可知这个新混沌系统的平衡点均为不稳定的。由此，首先对其进行了坐标变换， 将原系统的5 个不稳定的平衡点转移至变换后的系统的零平衡点，然后在变换后 的系统的第三项上加上控制器使之精确线性化，应用矩阵形式给出了这个受控系 统的精确线性化条件。再次通过坐标变换得到反馈控制律的带有新输入的具体形 式，应用线性系统中的最优理论给出这个新输入的矩阵形式，再通过解慰c c a t i 矩阵方程的解，得到新输入的精确的数值解，从而解得此新混沌系统的反馈控制 率。由于线性化后的系统各状态没有耦合，所以易于使用线性系统中的控制方法 控制。虽然精确线性化只是局部线性问题，但也适用与整个变换区域。所以这种 方法在混沌控制中有很大的实用性。数值仿真证明了此方法的有效性。 江苏大学硕士学位论文 第四章新混沌系统的混沌同步 目前，在投影同步的研究中，要求混沌系统是部分线性的。这样的要求限制 了大多数的混沌系统。由于部分线性系统投影同步中的比例因子依靠与混沌的演 变和初始条件，所以投影同步的最终状态是不可预测的。因此，一些基于l y a p 吼0 v 函数的控制方法被用来控制这种同步行为。然而对于l y a p 蚰0 v 函数的设计还没有 非常有效的普适办法，这已成为设计控制方法的难点。同时，变量耦合同步方法 以其原理简单、应用方便成为混沌同步控制的常用方法之一。但对于一些非线性 混沌系统，采用单一变量信号的线性耦合往往不能实现全部变量的完全同步。这 种情况下，通常采用提取混沌系统中的全部变量信号进行线性耦合，但对实际的 系统，并非所有的信号都容易提取，且由于需要提取混沌系统中的全部变量信号 而提高了同步控制代价。本章针对上面两个同步控制中的难点，分别设计了两个 同步控制器实现了一个新混沌系统的同步。 4 1 基于线性分离的投影同步 此处基于线性系统的稳定判定准则，通过对混沌系统进行适当的分离。构造 了一种投影同步方法来实现一个新混沌系统的同步。 自治系统可以描述为 砸) = 厂( z o ) ，f )( 4 1 ) 这里砸) 尺”是系统的n 维状态矢量，：r ”寸彤定义了一个n 维矢量空间的矢量 域。把函数，( x ( f ) ，f ) 分解为 厂( j i 心) ，f ) = g ( x ( f ) ) + 矗 o ) ，力( 4 2 ) 其中 g ( x p ”= 血 ( 4 3 ) 是， o ) ，f ) 的线性部分，a 是常满秩矩阵，并且它的所有特征值实部都为负。所 以j l o ) ，f ) = 厂( 瓤哆，f ) 一g ( 缸f ”是，似f ) ，f ) 的非线性部分。这样系统( 4 3 ) 可以写成 雄) = g 似嘞+ ( 砸) ，f ) 1 6 ( 4 4 ) 江苏大学硕士学位论文 此处，投影同步指的是两个相关系统的状态矢量按照指定的比例达到i 司步。对于 系统( 4 4 ) ，构造一个新的系统为 如：g ( y ( f ) ) + 垒盟垒坐( 4 5 ) “ 这里，y ( f ) 掣是系统( 4 5 ) 的n 维状态矢量，口是指定的比例因子。系统( 4 1 ) 与( 4 5 ) 的误差为e ( f ) = 工( f ) 一口y ( d ，且有： e ( d = 瓤f ) 一口y o ) = g ( x ( f ) ) 一口g ( y ( f ) ) 一血( f ) 一口缈( f ) - a e ( f ) ( 4 6 ) 由式( 4 6 ) 可知“f ) 的零点就是e o ) 的零点。因为矩阵a 的所有特征值实部都为负， 根据线性系统的稳定判定准则知，同步误差系统( 4 6 ) 在零点是渐进稳定的，并且 有烛印) = o ，即系统( 4 1 ) 和系统( 4 5 ) 的状态矢量) ，o ) 达到同步。 下面用此方法来实现下面的新混沌系统的同步。 我们考虑文献【1 8 】中提到的新混沌系统： 五= 口( 艺一墨+ 恐恐) 恐一q 一玉为+ 屯 ( 4 7 ) 勋一墨恐一咄 当口= 3 5 ，6 = 0 9 ，c = 2 5 时，系统是混沌的。利用g ( x o ”和五( x ( f ) ) 将此系统分解为 g c 五，恐，玛，2 ( i 寻三 兰 一a ( 兰 | ( 4 印 彬，。( o a 具有特征根( 一口，一1 叫。构造新系统为 1 7 江苏大学硕士学位论文 五：一明+ 煎幽 建：一儿+ 2 l 1 笪垃( 4 1 0 ) 多。= 一坎+ 丝 由于a 的特征值为负实数，根据线性系统的稳定判定准则知误差 燃e o ) 一；姆【z o ) 一口y o ) 】一o ，即系统( 4 7 ) 与( 4 1 0 ) 实现了同步。 通过下面的数值仿真实例来验证上述方法的有效性。选取时间步长为 f = 0 0 0 b ，采用四阶龙格一库塔算法求解自治方程组的解。系统( 4 7 ) 和( 4 1 0 ) 的初 始点分别选取为五( 0 ) 一1 0 ，屯( 0 ) 一1 0 ，而( 0 ) 6 和咒( 0 ) - 6 ，儿( 0 ) 一2 ，弘( 0 ) 一_ 4 比例 因子口分别取为一1 和0 5 当口= 一1 时，误差初值为q ( 0 ) = 4 ，乞( 0 ) 一8 乞( 0 ) - 1 0 由误差效果图4 1 ( a ) 可知，当，分别接近0 4 ( s ) ，o 4 ( s ) ，0 6 ( s ) 时，系统( 4 7 ) 和( 4 1 0 ) 达到了同步。图4 1 ( b ) 为当口= 0 5 时，误差初值为q ( 一1 3 ，乞( 0 ) - 1 1 ，吃( o ) 一4 由 误差效果图4 1 可知，当f 分别接近0 3 ( s ) ，0 3 ( s ) ，0 5 ( s ) 时，系统( 4 7 ) 和( 4 1 0 ) 达 到了同步。 ： p 。 ( a )( b ) 图4 1 系统件7 ) 和( 4 - 1 0 ) 的同步误差乞o ) o 一1 2 ，3 ) 曲线 ( a ) 口= 一10 ) 口= 0 5 4 2 基于线性可逆性变换的混沌同步 此处基于线性可逆性变换方法，构造了一种提高变量耦合控制混沌同步有效 1 8 江苏大学硕士学位论文 性的方案实现了此新混沌系统的同步。通过将系统的部分状态变量在相应的子空 间做线性可逆性变换，增强系统状态变量之间的关联，从而用中单一变量信号实 现了对整个混沌系统的同步控制。仿真模拟了这种方案的有效性。 考虑两个混沌系统分别作为目标系统和响应系统 茗= 厂( 4 1 1 ) y = ，( y )( 4 1 2 ) 其中x = “，而，毛) r 、) ，= ( ) ，。，) ，2 ，) ，。) r 分别为目标系统和响应系统的状态变 量，t 表示矩阵的转置。单变量耦合法通常是对其响应系统施加变量耦合项，耦 合后响应系统( 4 1 2 ) 变为 ) ，= 厂( y ) 一朋( ) ，一功( 4 1 3 ) 这里k 是耦合强度系数，c 是一个矩阵，它是确定两个系统状态变量差的线性组 合。定义耦合系统的误差为p = y x ，当fj0 时，若有p 专o 则系统达到混沌同 步。 对系统( 4 1 1 ) 中任意的k 个状态向量如毛到毛舡。进行可逆线性变换，变换后 的新变量用t ，u = o ，1 2 ，七一1 ) 表示，则变换前后状态变量的关系为 x = a - 1 x ，f = ( 而，恐，z ，t ，毛) r( 4 1 4 ) x=a 1 x ，x = ( 而，恐，而，而+ 七- l ，毛) 1( 4 1 4 ) 在这样的变换下，原混沌系统变为 x = a 。1 石= a 。1 厂( 力= g ( z ) ( 4 1 5 ) 对系统( 4 1 2 ) 的线性可逆变换处理方法与系统( 4 1 1 ) 相同。 对经过线性可逆变换后的系统实施变量耦合同步控制，设目标系统发送的混 沌信号为 蝴= ( c r 弓) z( 4 1 6 ) q 为z 的单位矢量，则响应系统可写为 y = g ( y ；) 一k ：一“( 4 1 7 ) 其中响应系统的信号为： 1 9 江苏大学硕士学位论文 “2 = ( c r 岛) 订 ( 4 1 8 ) 而c = ( o ，q ，o ，y ，k = ( 0 ，k ，0 ) r 为常矩阵，耦合强度系数k 是其中的分 量。容易求得响应系统的扰动线性化方程为 缈y + = 【i 厂( g ( y ) ) ，。一k c r 】缈 ( 4 1 9 ) ，( g ( ) ，) ) 为系统的雅可比矩阵。由此计算响应系统的最大李亚普诺夫指数允 名= 憋引寡l ( 4 2 0 ) 当z 为负值时，系统达到同步。 下面用上述方法来实现一个新混沌系统的同步。 这个新混沌系统方程为 z = 口( y 一工+ 弦) y = 四一肠+ 夕( 4 2 1 ) z = 矽一舷 仁爱枷 矽 y z 。 z艟刨叫嚣乙， ， = ioc o s 秒一s i i l 臼i l 口( y z + 弘)i ( 4 2 3 ) 【- o s i i l 目 c 0 s 秒j 【- 叫一k k ( z 一乙) j 其中变量间关系为 2 0 江苏大学硕士学位论文 f = ，c o s 巩一r s i n 眈 z = r s i n 如+ r c 0 s 晚 x = r c o s 觎+ r s i i l 晚 z = _ 厂s i n 如+ 厂c 6 s 如 由式( 4 2 3 ) 和式( 4 2 4 ) 得到 y x 。 z = 医 0 c o s p s i n 秒 对转换后的系统变量z 进行变量耦合，系统表达式为： ( 4 2 4 ) x + = 口c o s 战夕一( ，c o s 觎一，s i n 如) ) + y + c o s 烈一，s i i l 觎+ ，c o s 出。) 一( ，c o s