（理论物理专业论文）两体连续变量纠缠态的纠缠熵计算.pdf

摘要 量子纠缠是一种复杂的纯量子现象，量子纠缠态作为一种新型的、与经典 信息论中的资源截然不同的物理资源，已经在量子计算和量子信息中得到了广泛 的应用。近年来，量子纠缠的研究得到了广泛的开展并成为当前量子理论和量子 信息论的研究热点。但是，一般的量子纠缠理论还没有完全建立，很多理论问题 还未解决。其中，如何定量的描述和计算纠缠态纠缠程度的大小是量子纠缠研究 中的一个重要的方向。 本文具体研究了f o c k 空间中两体连续变量纠缠纯态的纠缠熵的计算。第一 章介绍了量子纠缠和纠缠度的概念以及连续变量纠缠态的纠缠度计算的研究现 况。第二章，首先简单介绍了f o c k 空间中的线性量子变换理论( l q t t ) ，并利用 该理论证明了f o c k 空间中的任意两体高斯纠缠纯态都可以化成一个统一的一般 形式，然后得到了其纠缠熵的解析计算公式，并对公式进行了详细的分析和讨论。 在第三章，我们利用前述公式计算了几种常见的连续变量体系的纠缠熵。 本文的工作为具体计算两体高斯纠缠纯态的纠缠熵提供了一种简单可行的 方法，具有一定的实用价值。 关键词：量子纠缠，连续变量纠缠态，纠缠熵，线性量子变换理论( l q t t ) a b s t r a c t q u a n t u me n t a n g l e m e n tp l a y sak e yr o l ei nq u a n t u mm e c h a n i c sa sw e l l a sq u a n t u mi n f o r m a t i o nt h e o r y ，a n de n t a n g l e ds t a t e sa r eu s e f u lr e s o u r c e s f o rv a r i o u sk i n d so fq u a n t u mi n f o r m a t i o np r o c e s s i n g ， i n c l u d i n g t e l e p o r t a t i o n ，c r y p t o g r a p h i ck e yd i s t r i b u t i o n ，q u a n t u me r r o rc o r r e c t i o n a n dq l l a n t u mc o m p u t a t i o n t h u s ，i ti si n t e r e s t e dt om e a s u r et h e e n t a n g l e m e n t 、o ft h ee n t a n g l e ds t a t e s t h i sp a p e ri sc o n c e n t r a t e do nt h ec a l c u l a t i n gt h ee n t a n g l e m e n te n t r o p y o fb i p a r t i t ec o n t i n u o u s v a r i a b l ee n t a n g l e ds t a t e si nf o c ks p a c e b y v i r t u eo ft h el i n e a rq u a n t u mt r a n s f o r m a t i o nt h e o r y ( l q v r ) ，w eo b t a i na g e n e r a lf o r m o fa n yb i p a r t i t ep u r eg a u s s i a ns t a t ei nf o c ks p a c e t o c a l c u l a t et h ee n t a n g l e m e n te n t r o p yo ft h ee n t a n g l e ds t a t ew i t ht h eg e n e r a l f o r m , a ne x p l i c i tf o r m u l ai sd e r i v e da n da n a l y z e di nd e t a i l t h e s i m p l i c i t y a n d g e n e r a l i t y o ft h ef o r m u l aa r es h o w nb ys o m e c o n t i n u o u s v a r i a b l es y s t e m s o u rw o r k sa r eu s e f u li np r a c t i c ef o rp r o v i d i n gas i m p l em e t h o dt o c a l c u l a t i n gt h ee n t a n g l e m e n te n t r o p yo fa n yb i p a r t i t ep u r eg a u s s i a n s t a t e k e yw o r d s ：q u a n t u me n t a n g l e m e n t ，c o n t i n u o u s - v a r i a b l ee n t a n g l e ds t a t e ， e n t a n g l e m e n te n t r o p y ，l i n e a rq u a n t u mt r a n s f o r m a t i o nt h e o r y ( l q t t ) 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及 取得的研究成果据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文 不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果对本文的研究做出重 要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意 作者签名： 学位论文授权使用声明 本人完全了解华东师范大学有关保留，使用学位论文的规定，学 校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电 子版和纸质版有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论 文进入学校图书馆被查阅有权将学位论文的内容编入有关数据库进 行检索有权将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在 解密后适用本规定 。咖卿小于d 日期：二 ，。 引言 量子纠缠( q u 锄t 硼e n t a n g l e m e n t ) “1 是存在于多体量予系统中的一种特有 的、十分复杂的纯量子现象，s c h r s d i n g e r 称其为“量子力学的精髓”，它反映 了量子理论的本质相干性、或然性和空间非定域性，在经典系统里没有相应 的对应。自1 9 3 5 年a e i n s t e i n ，b ，p o d o l s k y 和n r o s e n 提出。e p r 佯缪” 时注意到了量子态的纠缠特性以来，量子纠缠理论就成为量子理论基本问题研究 的重要课题近年来，随着量子信息p 髓这一新兴学科的迅猛发展，量子纠缠成 为当前量子理论研究的一个前沿热点方向，量子纠缠态更是成为当代量子理论的 一个关键性概念，并被广泛应用于量子信息处理和量子通信”1 领域，如量子隐形 传态嘲、量子编码卿、量子密钥分配“町和量子计算“1 1 等。 量子纠缠态之所以成为研究的热点是因为：一，它在测量塌缩中表现出一 种非定域的、没有经典对应的、超空间的关联，这使得它在量子通讯和量子计算 中具有潜在的巨大技术价值；= ，它是量子信息衰退( 退相干) 的主要方式 量子系统总是与它身处其中的环境发生难以避免的纠缠，而这正是阻碍量子信息 和量子计算机发展的主要的障碍。 尽管量子纠缠如此重要，然而，人们对量子纠缠的研究和认识却仍处于初 步阶段。迄今为止，量子纠缠仍然还有很多理论问题没有解决，比如，量子纠缠 态的基本种类和分类、量子态的可分离判据、最大纠缠态的数学刻画、量子纠缠 程度的定量描述等等。 目前，对量子纠缠的研究，就两体纯态这一最简单的情况，问题基本已经 得到解决，对多体纯态( - - 体及以上) 也有了一些结果。但是量子混态的纠缠， 即使是两体混态的纠缠，情况却相当复杂，问题还远未解决。虽然难度很大，但 是对量子纠缠的研究，却仍然在不断的深入。在针对离散变量( 如自旋和极化) 、 有限维h i l b e r t 空间的量子纠缠的研究取得了一定的进展的基础上，最近，针对 连续变量( 如位置和动量) 、无限维h i l b e r t 空间的量子纠缠态，特别是高斯纠 缠态的研究也在逐渐地开展并取得了一定的成果“”。 定量地描述量子纠缠态的纠缠程度的大小是量子纠缠研究的一个非常重要 的方向。纠缠度的定义和计算是非常复杂的问题，目前相关的研究还只处于非常 初步的阶段。针对两体纠缠这一最简单的情形，纠缠度的研究已经取得了一定的 进展“”。对于两体纠缠纯态，已经证明，只存在一种基本的纠缠方式，即e p r 态， 所有其他的纠缠态都可以通过局部的量子操作和经典的信息传递( l o c c ) 与一定 数目的e p r 态在渐近意义下相互转化，从而这个相应的数日就是对两体纠缠纯态 的纠缠程度的一种度量，是唯一的。也就是说，两体纯态的纠缠程度可以用一个 标量来表示。对于两体混态。目前已有的几种纠缠度的定义是不等同的，而且这 几种纠缠度的定义在实际操作时都存在一定的困难，很难计算 本文研究两体连续变量纠缠纯态的纠缠度的计算。第一章，我们介绍了两 体量子纠缠理论和纠缠度的基本知识以及连续变量纠缠态的纠缠度计算的研究 现状”町；第二章，我们首先概述了f o c k 空间中的线性量子变换理论( l q t t ) “”， 然后利用该理论证明了在f o c k 空间中任意的两体高斯纠缠纯态都可以写成一个 统一的一般形式，最后我们推导出了这个一般形式的纠缠态的纠缠熵的显式解析 计算公式。并对这一公式进行了详细的分析和讨论；第三章我们利用得到的公式。 计算了几种常见的连续变量体系的纠缠度；最后分析了目前尚未解决的问题并作 了一定的展望。 第一章两体系统的量子纠缠和纠缠度 1 1两体系统的量子纠缠 量子纠缠只有对多俸( 多量子体系) 量子态才有意义，事实上绝大多数的 多体量子态都是纠缠态，而纠缠态中纠缠混态又占绝大多数。本节简要介绍两体 量子系统的量子纠缠，为叙述方便，记两个量子体系分别为a 和曰，每个量子体 系都可以包含一个或多个光予，电子等等。 1 两体纠缠纯态 两体纯态是两体系统a + b 态空间z 。o h b 中任一相：t ：霜q j n 态。简单说，是 能够用单一波函数描述的态。它们可以普遍表示为： i 矿) 。= c 榭l ) 。o i ) 。 ( l1 1 ) 这里， l ) 。固1 ) 。) 为正交归一基矢 两体纯态中，如果a 和召均处于确定的量子态，即可以表示为 i 矿) 。- - i p , 。固i ”。的那些纯态称之为可分离态( s e p a r a b l es t a t e s ) ：而那些 l 唬。不能表达成j 唬p i 缈) 。的两体纯态，则称之为不可分离态( u n s e p a r a b l e s t a t e s ) ，即纠缠态( e n t a n g l e ds t a t e s ) ，在纠缠态中彳和丑均不处于确定的量 子态。 例如，在自旋为1 2 的二粒子体系中，若二粒子体系 b 处于自旋单态 ( s = 0 ) ，两个粒子沿相反方向运动互相远离且彼此间已无相互作用，此时若要 测量粒子a 的自旋的z 分量，则可以把此二粒子体系记为； 忱2 击( m h b - i 1 z ) 。m ) ( 1 抛) 这里，l l f ，) 。就是一个两体纠缠纯态在这个态中，_ 和b 的自旋指向呈相反方 向关联，各自不处于确定的状态，它们的空间波包可以彼此相距遥远而完全不重 叠，但这时仍会产生关联的塌缩：当一系统因测量而发生塌缩时，口系统将发生 相关联的塌缩。也就是说，测量a 时，若a 的状态塌缩到i 山：) ，那么b 的状态 3 必为l t ，) 。，反之，若a 的状态塌缩到1 个，) 。，那么b 的状态必为i o ：) 。 应当指出，量子纠缠必定体现为粒子态之间的关联，但关联不等于纠缠。 例如，态1 个) 。1 个) 。，它表明在z 和口的自旋取向之间有关联，但未纠缠，4 和8 均处于自旋确定态。 2 两体纯态的s c h m i d t 分解聆妇 两体系统的任一纯态i ”。总可以表示成如下称为s c h m i d t 分解的形式： 厂、 i y ) 加= i ) i ) i = l l ( 1 1 3 ) n 这里， 1 ) j 和 1 ) 分别是哆和五中某两组特殊的( 与f 力棚有关) 正交基。 我们把i 力肚的s c h m i d t 分解式中的项数称为l y ) 的s c h m i d t 数( s c h m i d tr a n k ) ， 由此可以给出两体纠缠纯态的一般定义：对于两体纯态，当且仅当它的s c h m i d t 数大于1 时，它才是个纠缠态。 需要指出的是，s c h m i d t 分解只限于两体纯态系统，而a 和b 不必为双态系 统，也不要求a 和占的态空间维数相同。 3 b e l l 基与最大纠缠态 对于矾和月日都是两能级系统的情况，可以证明，如下四个纠缠态将组成 一个完备基： 、 m 。= 剥1 q 鼢 一圳名s ) 礼4 ) 其中研( f = l ，2 ，3 ) 为三个p a u l i 矩阵，= go 是z 阶单位矩阵。这四个态常 并称为b e l l 基。 矿) m 2 抄l f l k 1 1 ) 一o ) 。) ( 1 1 5 ) 矿) 船2 击( o ) 。眦1 1 ) 。) 4 由上面四个b e l l 基出发，对爿或口分别独立地施以任何幺正变换所得到的纠 缠态都称为最大纠缠态，即 l m a x e n t 酬肚= 【，。 u ，( i 缈) ，l 矿) ) ( 1 1 6 ) 4 两体纠缠混态 两体混态量子系统可以用密度矩阵描述为： p 。= 仇l 缈) 柚。l 其中， 以= l ，o p ts l 旷) 。= 心l ) 。固l 见) 。 密度矩阵可以写成 筋= 见o 露，展= l ( 1 1 7 ) ( 1 1 8 ) 形式的两体混态称为两体可分离混态，而不能写成( 1 1 8 ) 形式的那些不可分离 混态，就是两体纠缠混态。例如嘲： p 船= 口i 矿+ ) 肿柚( 矿+ i + ( 1 一口) i 矿) 。( 妒+ f ( 1 1 9 ) 0 - o 当且仅当p = 仃时取等号。这个不等式的证明可以参见文献 5 ( 3 ) v o nn e u m m m 熵的基本性质 v o nn e u m a n n 熵有许多有趣和有用的性质，下面列出一些经常使用的基本性 质，要了解更多的内容的话，可以参考文献 5 。 非负性：y o nn e u m a n n 熵是非负的，当且仅当状态为纯态时，熵为零。即 s ( p ) 2 0 y o nn e u m a n n 熵在幺正变换下不变，即 s ( u p v 一) = s ( p ) 这是因为，如) 只依赖于尸的本征值，而幺正变换不改变p 的本征值。 直积态的两体系统的总熵等于两个单体分别熵之和，即 s ( 以固岛) = s ( p 。) + s ( 岛) i o 若两体量子系统仰处于纯态，则s 。) = s 饥) ； 在孑维h i l b e r t 空间中v o n n e u m a n n 熵的最多为l o g d ，当且仅当系统处于 完全混态l i d 时，其y o nn e u m a n n 熵等于l o g d ，即 s ( p ) s l o g d 等号是当p 的所有非零本征值均相等时成立 3 两体纯态的纠缠度的定义 文献 2 7 证明了对两体纯态，纠缠度只有一种，是唯一的。两体纠缠纯态 l 妒) 仰的纠缠度通常用纠缠熵( e n t r o p yo fe n t a n g l e m e n t ) 来定义； 乓( 1 妒k ) - - s ( p , ) ( 1 2 5 ) 这里s ( 以) 是y o nn e u m a n n 熵： s ( p ) = 一l r ( 。( p 。l o g ：p _ ) ( 1 2 6 ) 其中, o a 为纯态i y ) 。的子系统4 的约化密度矩阵 p a = 护5 p 。- - - t r 砷( 1 力。( 矿1 ) ( 1 2 7 ) 因为4 ，b 总体系处于纯态，有s ( 以) = s ( 岛) ，所以纠缠度可定义为任何一个子 系统的y o nn e u m a n n 熵。v o nn e u m a n n 熵对于两体纯态而言时一个好的纠缠度量。 因为它满足了上面提出的纠缠度量的几个基本准则，通常它又被称为部分熵纠缠 度嘲( t h ep a r t i a le n t r o p yo fe n t a n g l e m e n t ) 。 例如： ( 1 ) 对有最大纠缠度的b e l l 基，比如i 妒+ ) 。t 由于其p 2 p 。2 ；j ， o = l 0 9 2 2 = i ( 2 ) 对双模压缩真空态陪) = 篇薹m c o n s h h ，r 。i 玎。) h 。) t 如= 蚓水萎丽t a n h 再2 n r 删h 。) ( 甩帆 以= ( ) = 薹警州一im u m j ， 冒= _ t r ( - o ( 几l 0 9 2 咖薹一鲁b g ：景 = c o s h 2 r l o g ：( c o s h 2r ) - s i r l h 2 r l o g ：( s i n l l 2 r ) 4 两体混态的纠缠度的定义 两体混态纠缠度的定义有好几种，下面将逐一介绍。在这里首先要说明的 是；在不同的纠缠度的定义下，对于两个混态a ，见，它们的纠缠的大小顺序是 不一样的，在一种定义色下，吃( n ) 易( p 2 ) 同时，对于两体混态纠缠度的定义还有一个基本要 求：所有的两体纠缠度定义，当回至4 纯态时，应绘出相同的纠缠度。 ( 1 ) 形成纠缠度( e o f = e n t a n g l e m e n to ff o r m a t i o n ) 咧 对两体量子态p 。，形成纠缠度b 。) 的定义为： 廓( p n ) = 协r a 帆i n ) ；易b ( | ) 。) ( 1 2 8 ) 其中 p ，i ) 。j 是几的任一分解，l l p p a s = p ，j 妒，) 。( l ，而e ，) 柚) 为 i ) 柚的部分熵纠缠度注意，这里p 。分解不一定是相互正交的，只要求l ) 村 是此两体的归一化纯态。按上式定义，两体系统p 么的形成纠缠度是其所有可能 分解的部分熵权重和的极小值 很显然，有如下性质： 当且仅当为可分离态时，有屏( “) ；0 对于两体纯态，形成纠缠度与部分熵纠缠度相等。 ( 2 ) 可提纯纠缠度( e n t a n g l e m e n to fd i s t i l l a t i o n ) n 份两体量子态p 为a l i c e 和b o b 所共享，a l i c e 和b o b 通过l o c c 能得到 e p r 对的个数最多为j j ( ) ，可提纯纠缠度d p 柚) 定义为嘲： 。( 加) = 溉警 ( 1 2 9 ) 这b ! l o c c 中的经典信息传递包含a l i c e 向b o b 传递经典信息，也包含b o b 向a l i c e 传递经典信息，即经典信息传递时双向的。医此，d ( ) 也常记为d 2 ( 户k ) 如果我们限制信息传递的方向，则情况和定义会有所不同。比如我们限制经 典信息时单向传递的，经典信息只能有a ( b ) 向b ( a ) 传递，则可得到单向可 提纯纠缠度 ， d l ( 加) = 溉学( i 2 1 0 ) 其中墨( ) 为通过局部量子操作和经典信息的单向传递- 可以从n 份p 知提纯出 e p r 对的数目。同理，可以定义无经典信息传递的可提纯纠缠度： d o ( 肋) = 舰警( 1 2 1 1 ) 其中，氏( ) 为紧紧通过局部量子操作可从n 份儿提纯出的e p r 对的数目现 在已知的结论有： 对于纯态，有d ( i ) ) = q ( 1 y ) ) d o ( ) d l ( 办。) s d ( 成。) s 屏( i y ) ) 对纯态有d i ( i 妒) ) = d ( 1 矿) ) 注意，有的多粒子纠缠可作提纯，有的则不可以。 ( 3 ) 相对爝纠缠度( t h er e l a t i v ee n t r o p yo fe n t a n g l e m e n t ) 对两体量子态办。，相对熵纠缠度e b 。) 定义为：态尸。对予全体可分 离态的相对熵的最小值： e ( 户”) 2 r a i d i ns ( 几一0 一) ( 1 2 1 2 ) 其中s 佃p 。) 为相对熵 s ( ，钆。0 盯。i ) = f r p 柚( 1 0 9 p 。一l o g c r 。) j ( 1 2 1 3 ) 1 3 d 为全部两体可分离态的集合。相对熵纠缠度计算的关键是，对于给定态户柚， 寻找出能使相对熵达极小值的可分离态。由相对熵纠缠度的定义也可以看 出，它常常难于计算。 下面介绍一下相对熵纠缠度的一些性质： s ( d p ) 2 0 ，当且仅当p = c r 时等号成立。所以有e ( p ) o ，当且仅当p 是可分离态时等号成立。 对于纯态几= l y ) 缈 = 瓜l 噍) ( 屯l ，l 杰) 和l 虬) 分别为体系 ，唯 a 和曰的正交归一基矢，相对熵纠缠度等于部分熵纠缠度，即 耳( 如) = 巳( | y ) ) = - p 1 0 9 ：以 如果p 是与最“接近”的可分离态( 即p 是使e 取最小值时的可分离 态) ，则p 也是与态岛= ( 1 一工) p 知+ 印( o o ，那 1 9 么其形成纠缠度可由下式直接计算得出： 其中 砟= ( q 。+ 三) h ( q 。+ 圭 一( q 删一三 h ( q 。一i 1 ( i 3 2 3 ， 咯i 1 + 警= 丢( 籍 池s z 4 ， 第二章f o c k 空间中两体高斯纠缠纯态的纠缠熵计算 本章首先简要介绍f o c k 空间中多模玻色体系的线性量子变换理论，并利用 该理论证明两体高斯纠缠纯态可以表示成一个统一的一般形式，然后推导出其纠 缠熵的解析计算公式，最后对公式进行详细地分析和讨论。 2 1多模玻色体系线性量子变换理论概要 多模f o c k 空间广义线性量子变换理论( l q t t ) 是中国科学技术大学张永德 教授为首的科研小组自1 9 9 3 年以来创建的，是一个保持f o c k 空间中产生算子和 湮灭算子对易规则不变( 或换算到位形空间中等价表达) 为唯一前提的量子变换 理论统一了以往众多互不相干的变换，将它们作为自己的特例。例如 b o g o l i u b o v - v a l a t i n 变换、空间转动变换、分离对称变换、定域规范变换及超 对称交换等等。量子变换理论是个完全解析的理论，其中未曾作过任何近似假设 可以说，它是一个严格的关于多个算子运算的数学工具。 啪理论在对f o c k 空间，位型空间及场论中诸多物理量的计算中已得到了 广泛的应用，如配分函数1 ，指数二次型矩阵元，能级与波函数1 的计算已经 量子场论中的分立变换研究啪1 等。最近l q t t 理论又应用于量予信息论这新兴 学科中，如对密度矩阵进行超算子变换“”，对连续变量量子态作部分求迹计算和 纠缠度计算“，利用超算子变换方法对混态主方程进行解析求解限埘，对连续 变量量子态作保真度计算一等等。 1 基本变换式 记一个n 模玻色子f o c k 空间的产生和湮灭算子为 口t = ( 司，磁，z ) ， 口= 它们遵从如下玻色子对易规则： q ，矿 t q 巧一矿q = 岛 q ，唧 = 彳，司 = o 记a = ( 口t ，二) ，则对易规则可以写成： 2 1 q 口2 ： 吒 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 冠a ，； ，a ， = ( ：) ，i ，j = l ，2 ，2 n ( 2 1 3 ) 靴。亏( 三o j , z ；1 = 旺甜 a ! ( a ；, d ) - - - u a u 一1 = a m + l ( 2 1 4 ) 这里肘= g 罢 为2 力2 疗复矩阵c 爪及g 。分别为四个珂一复矩阵， = ( 矿，7 ) 为2 疗维复行矢量上式称为疗模玻色子量子变换的变换式。变换u 称 口7 斗虿= 叫u q i ，) _ i ，) = u l ，) ( 厂i _ ( 厂i ： l o ) ：u l o ) ( o i - ( 2 2 1 ) 其中u 是双模玻色子指数二次型算符，记： 州蒜：q ，- 2 ) 亿啪， 矿= ( 心，西) ，二= ( q ， 一 。 西和q ( f = l ，2 ) 是双模玻色产生和湮灭算符，不失一般性，u 的一般形式可以写 成 u = 唧g 僦。天) 亿z 这里e c “，8 = oo10 o0o1 一l00 o o一1oo ，满足甭瓦= 腮。 记膨= = ( 妥暑 ，4 e c 。是四个2 2 复矩阵，根据量子线性变换理论可知， 矩阵m 就是算符u 的l q t t 变换矩阵，它们满足下面的关系： u a u 一= a 膨 ( 2 2 4 ) 尬8 m = 。 ( 2 2 5 ) 由( 2 2 5 ) 式，可得 竺一鲥= 0 ( 2 2 6 ) 4 c b d = l 如果c 有逆，则； 彳= c “+ b d c - i ( 2 2 7 ) 由( 2 2 7 ) 式和( 2 1 1 3 ) 式容易验证，矩阵m 写成下面的形式： m 一_ - e n 墨c 捌r 0 1 粕_ ? ) 协2 l o，八c 八b c ， 。 因此，根据l f f r t 的乘法性质( 2 1 7 ) ，( ，等于三个l q t 算符的乘积，即 u = u 砜以( 2 2 9 ) u ，乩和玑满足： u 咧= 似= a ( ，c 珂 删= 蝴= 人e 势 u - a u 2 1 = 撇= a o 由唧可得 + 札虬= ( ：c 饥乩= 阿_ 。n _ = l n 丝= ( b 詈，趵 u = e x p i 三a n + 。天) - 唧( _ _ 口1t c 一瞬 ， 砜= e x p ( 兰川o 。天 - 丽1 ：o x p 口t ( c 一，) 口 ：， 以= 唧睦眦z 斗= 唧( 圭耐1 口) 显然，u ，a n d 以分别只含有彳巧，西乃和q q 项( i , j = l ，2 ) 。 注意到 町i o ) = o ( n 0 ) e x p ( o ；) l 。) = 薹翱o ) = j o ) e x p ( 筇乃) | o o ) = c x p ( 略巳) i o o ) = i o o ) 于是f o c k 空间中任意的两佑高斯纠缠纬杰f 221 、可叫量虎下而的形者 ( 2 2 1 0 ) ( 2 2 1 1 ) ( 2 2 1 2 ) ( 2 2 1 3 ) ：) = 了蔷1c u + j 。) = 了熹岙e x p ( 口西2 + 蹦2 + 肼口! ) l 。o ) ( 2 2 1 4 ) 其中，系数口，厉，由矩阵c 。五确定。若c = ( ：芝) ，。= ( 2 髦) ，经过 计算可以得到： 口：鱼2 空! ；二垒盘 2 d e t c ：型鹭粤堕 ( 2 2 1 5 ) 2 d 或c 。 y ：鱼型丝垒l 生l ! 二鱼l 生；2 = 红生；2 最后小结一下本节的证明：在f o c k 空间中，对于任意的两体高斯纠缠纯态 u i 。o ) ，如果u 紫哪变换矩阵为肘= 耋暑 且c 有逆，那么u i 。o ) 一定可以 写成j 杀岙e x p ( 口a t 2 + 户口：2 + ，前a ；) i 。o ) 的形式，其中的系数口，卢，y 由( 2 2 1 5 ) 式确定。 2 3纠缠熵的显示计算公式 容易看出，当y = o 时，( 2 2 1 4 ) 式可以写成 卜幸叫耐2 州2 ) l ( 2 3 1 ) 5 志唧( 叫2 ) i o ) l 固c x p ( 耐2 ) l o ) z = 去e x p ( 耐2 + z 2 + 硝面) l 。o ) ( o o l e x p ( 口喁2 + a 2 2 + y * a t a 2 ) q 矗2 胪由唧糍辩。叫口茄) ( 劲眨，+ 2 ( “) ：，j i 珊 m = ( 竺： ，鸩= ( 竺茄 ，m ：= 墨； c 2 as ， 膨= 矿一陋l 2 并广卜p - ，4 一a l p l 2 i p i ：+ 4 1 p l 卜国叭2 ( 口+ 一缸+办吃) l 一2 j ” 占5i2；：雩!一+：，og：l工一21c23， 一 ft o s ：掣等慨半矧：卜2 1 1 工川请( ( m 阍2 ) 一寿( 缈“) ( 2 s 8 ) ( 2 3 7 ) 式中的对数函数是定义在复数域上的，式中l + 4 ：l 2 一- 4 和 生二型! 兰二兰在l 取不同的数值时，可以是正数、负数或者是复数，所以式中的对 ( 1 ) 当工s - 2 时， 式( 2 3 7 ) 可以化简为： 拈翕l o g ：( 乒一10 9 2 ( 2 删一，矗像s 9 ) 由( 2 3 9 ) 式容易看出，此时按公式计算出的e 为复数，但是从纠缠熵的物理意 义上来看，任何两体体量子态的的纠缠熵都应大于或等于0 ，这就说明。使三s - 2 的肛，所确定的态1 ：) 2 志e x p ( 口西2 + 蹦2 + 耐面) i o o ) 在物理上是不可 能出现的。 ( 2 ) 当- - 2 2 时 公式( 2 3 7 ) n - - j 以化简为下面的形式： e = 犯屠姐s - e 生譬卜舡叫 亿s 埘 肌函撕e ( 学卜毕溯 在( 一万，r 】区间。 围1 ；纠缠熵e 随三变化的曲线( 2 l 2 ) 图1 给出了当- 2 三 2 时，纠缠熵e 随工变化的曲线，从图中可以看出， 在此区间，纠缠熵e 随三递增且有一零点。在一2 l 厶区间，e 0 ，在 k l 2 区间，e o 。同上，使得- 2 2 时，纠缠熵e 随变化的曲线，从图中可以看出，在此 区间，纠缠熵e 随工递减，当趋向正无穷大时，e 趋于0 圈2 纠缠熵e 随三变化的曲线( l 2 ) ( 4 ) l = 2 时 由式( 2 3 1 0 ) ，显然有： 占l r 寸o o ( 2 3 1 4 ) 由式( 2 3 1 2 ) 容易验证： 所以可以知道 百i _ r _ ( 2 3 1 5 ) e l “2 ( 2 3 1 6 ) 式( 2 3 1 6 ) 告诉我们当工= 2 时。纠缠态( 2 2 1 4 ) 的纠缠熵达到最大，此时纠 缠态( 2 2 1 4 ) 是最大纠缠态。 不防看一个特例：若口= = 0 ，7 = 1 ，则( 2 2 1 4 ) 式变为： = 去e x p ( 剃) i 唧 ( 2 3 1 7 ) 此时由( 2 3 8 ) 式很容易验证有l = 2 ，那么态( 2 3 1 7 ) 在物理上是否就是最大纠 缠态昵? 注意到 e x p ( 叫t a j ) l 。) 2 辨铘o )( 2 3 m ) i 埘) 。i 1 t ”西“i o o ) 所以( 2 3 1 7 ) 式可以写成 咐= 志薹l 朋) 虻 。o ) 朋i ) + 1 2 2 ) 螂i ) + ( 2 3 1 9 ) 显然( 2 3 1 9 ) 式正是原始归一化的l 捌飧) 态。同样的道理，在球= 卢= o ，= 一1 时，亦有= 2 ，此时( 2 2 1 4 ) 式也是原始归一化的l 尉碾) 态： 奶：) = 。志唧( 耐口j ) l o o ) = 击茎( 一1 ) ”l 朋) ( 2 3 2 0 ) o c o o - h ) + 1 2 2 ) - 1 3 3 ) + 综上所述，l l o 时，纠缠熵e 随工变化的曲线如图3 所示。图4 绘制的是 纠缠熵e 随口、，变换的曲面图( 固定为0 2 5 ) l i i 圉3 纠缠熵点随三变化的曲线( l 厶，工- - h 2 时，e o o ) 0 0 圈4 纠缠熵随口、，变化的曲面图( = 0 2 5 ) o - 4 筋 侣 5 o ， 第三章纠缠熵显式计算公式的应用 3 1双模压缩态的纠缠熵 压缩态纠缠在量子信息和量子通讯中有重要的应用，连续变量量子隐形传 态，连续变量纠缠交换都是以压缩纠缠态做为基本的物理资源，定量的描述压缩 纠缠态的纠缠度具有非常重要的意义。 1 双模压缩真空态纠缠熵的计算 考虑双模压缩真空态： 盼= 一吨刊面l o o ) ( 3 1 1 ) 其中，e # m 一蹦霹是双模压缩算符，孝= ，( ， o ) 是压缩参数。容易验证，双模 压缩算符在l q t t 中的交换矩阵为。 r 彳d 、 肌5 否j = 由( 3 1 2 ) ，显然看出： c = ( 抖。= ( 矿二，学7 d e t c = c o s h 2 7 将( 3 1 3 ) 代入( 2 2 1 5 ) ，计算可得： 口= o ，= 0 ，= 叫”t a n h ， 所以由( 2 2 1 4 ) 式，双模压缩真空态在f o c k 空阃中也可以表示为： i 善) = 耐t ( ，) c x p ( 一面e ”t a n h r ) l o o ) 将( 3 1 4 ) 式代入( 2 3 8 ) 式，计算可得 l = t a n h 2 ，+ c o t h 2r 2 进一步可以计算得到： ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) = 耋。咖 矿 a 。=。糍。一： 三= 鼬2 r + 砒2 ，= 面丽1 + 2 爱= 、1 + 4 s i n h 2 r c o s h 2 r 一：m 历：4 ( l + 2 ) ( l - 2 ) ：属藩：丽c o s h 2 r + s i n h 2 r 3 学= j 1 b 杀m c 。o s h 2 r + s i n h 2 r = 丽c o s h 2 r 把( 3 1 5 ) 式带入( 2 3 1 2 ) 式，可以得到双模压缩真空态的纠缠熵： e = 扣矾2 慨c o s hr 、i ：( 志) = 缸( c o 出2 r + 8 ；曲2 r + 1 ) l o g ：( c o 出2 ，) 一( c o s h 2 r + s t 血2r - 1 ) l o s ：( s t 曲：，) = c o s h 2 ，1 。g ：( c o s h 2r ) 一8 i n h 2 ，l o g ：( s m h 2r ) 这个结果与文献 1 5 ，1 6 ，3 9 ，4 3 等采用其他方法得出的结果完全相同。由上 式可以看出，双模压缩真空态的纠缠熵仅仅取决于压缩参数，而与压缩方向疗无 关。 图5 ( a ) 绘制了双模压缩真空态的纠缠熵e 随压缩参数，变化的曲线图， 从图中可以看出，纠缠熵e 与压缩参数r 近似为简单的线性关系。 圈5 ( a ) 双模压缩真空态的纠缠熵e 随压缩参 数r 变化的曲线 图5 ( b ) 双模单边压缩真空态的纠缠熵e 随压 缩参数兄变化的曲线 2 双模单边压缩真空态的纠缠熵的计算 文献 4 0 构造了双模单边压缩算符 s ；p * 吩f 甜删 ( 3 1 6 ) 文献 4 0 同时给出了双模单边压缩算符s 的正规乘积形式： s ：s e c h ；知j ；钳+ 畦r a + a ；h + 唧) k z e 半一+ m r 所以很容易可以得到双模单边压缩算符的真空态 i s ) = s l o o ) = s e c h ；五e x p - 半( 耐+ z ) 2 i o o ) = s i 五e x p | - 半+ z ) 2 i 这里口= = 一t a n h 名，所以有： ，：4 e o t h 2j 一2 ，2 代入( 2 3 1 2 ) 式。锝到： 占= c o s h 五l 0 9 2 ( 1 + c o s h l , ) 一( c o s h x - i ) l 0 9 2 ( s i n h 旯) - l 0 9 2 ( 2 c o s h , z ) 图5 ( b ) 绘制了双模单边压缩真空态的纠缠熵e 随单边压缩参数名变换的曲线， 纠缠熵e 与单边压缩参数旯也近似是一种线性关系。与图5 ( a ) 比较，容易看 出，在两个压缩参数名和，相等时，双模单边压缩真空态的纠缠熵大约只有正常 的双模压缩真空态的纠缠熵的一半。 3 2光分束器输出态的纠缠熵 光分束器是一种简单而重要的无源光学器件，在量子光学实验中有广泛的应 用，甚至可以起到纠缠两束入射光的效果“”。当分束器的两个输入都是单模压缩 光场时，分束器的输出态为： l p ，。) 。：= b ( 一，妒) s ( 石) 足( 乞) i o o ) ( 3 2 1 ) 这里，即卅= 岛曙( 西口2 一q 口：f 毕) 卜分束器算符一c o s 罢产咖兰是反 射和透射系数，是反射和透射光场间的相位差。墨( 白) = e x p ( 圭舅砰一j 1b ，坼t 2 ) 是单模压缩算符，缶= 巧是压缩参数。 记a = ( 西，面，q ，a z ) ，容易验证： 分柬器算符占( 只) 对a 的线性量子交换矩阵为： m b = 口 c o s 一 2 彳妒s i n 旦 2 o o s i i i 旦 2 曰 c 0 8 2 o o 0 o 口 c 0 8 i 叫坩s i i l 旦 2 单模压缩算符墨心) 对a 的线性量子变换矩阵为； 坻； c o s h r l o e - 蚂s i n h v l 0 o o ，_ s i n 旦 2 口 c o s 一 2 0 e 珥s i n h v l 0 loo 0 c o s h r l 0 ool 单模压缩算符最( 乞) 对a 的线性量子变换矩阵为； 蚝= 1o 0 e o s h r 2 0o 0 e 一吗s i n h r z 3 7 oo 0 铲s i n h r 2 lo 0 c o s h 一 ( 3 2 2 ) ( 3 2 3 ) ( 3 2 4 ) 根据多模玻色予f o c k 空闯线性量子变换的乘法性质，可以求出算符 b ( e ，) s ) 岛( 白) 的线性量子变换矩阵为： r 彳d 、 膨2 【否否j 2 坞蚝蚝 ecoshcos c o s l t 艿 2 一矿s i n 导c o s h q e - _ tc o s ；s ；曲，i 卅s i n 旦s i l l l l 2 1 由( 3 2 5 ) 可知。 s i n _ a c o s h 占s h c o s 主c o s h 眨 眨 矿s m 呈s 讪吩 e 一避c o s 旦s i i l l l c = d = c o s 呈s i i l l l ，； 叫s i l l 罢s i i i l l ，i c o s - o c o s h 0 0 s 2 - - e 妒s i n ；c o s h q c o s - - 0 zc o s h r j s i i l 罢鼬 e - 妒s i n e c o s h 吃 毋c o s 罢s 础 叫s 硒罢s i n h ，i 毋州豳罢s i n h 吒 毋c o s 罢s 劬哇 矿p s i n ；c o s h r 2 c o s e c o s h 吃2 c o s 吃 c o s j o c o s h 眨j c 0 8 i c o s h 眨j 沙州s i i l 兰s 毗 毋c o s 兰s 址吃 (