（光学专业论文）非线性光纤展宽光谱研究.pdf

1 嚏 ： i n ， jl 、 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得北京工业大学或其它教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 躲左鉴婴嗍蝉 关于论文使用授权的说明 本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部 分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：左耀缇导师签名：盎筮帆也绌 摘要 摘要 拉锥光纤是一种结构特殊，有强非线性效应的光纤。当超短脉冲经过拉锥光 纤时，激光被局限于很小的区域而造成很大的光强，会导致一系列的非线性效应 产生，从而使激光的频谱展宽，获得超连续光谱。拉锥光纤结构简单，制备容易， 在基础研究及应用研究领域重要的研究意义。本论文即是对拉锥光纤及超连续光 谱产生的研究。 论文主要内容包括： ( 1 ) 简述了超连续谱的历史发展及研究现状，详细阐述了超短脉冲在非线 性光纤中产生超连续谱的基本理论。并采用数值方法求解非线性薛定谔方程，数 值模拟了一般情况下超连续谱产生的过程，分析了色散、自相位调制、受激拉曼 散射效应、自陡峭效应对超连续谱的影响； ( 2 ) 具体分析了拉锥光纤中的不同参数，如拉锥光纤的长度、芯茎和入射 功率等对光纤色散特性的影响。数值模拟了不同长度、不同芯径下拉锥光纤的有 效折射率及其色散特性，并在这些参数下模拟了各个非线性效应对超连续谱产生 的影响； ( 3 ) 实验上成功拉制出了不同参数的拉锥光纤，组建了飞秒激光与拉锥光 纤作用的耦合系统，并在拉锥光纤中实现了超连续谱产生。并研究了不同实验参 数对超连续谱特性。并将实验结果与理论计算相对比，更为深刻的阐述了超连续 谱的产生机制。 关键词：超连续光谱，拉锥光纤，超短脉冲，非线性薛定谔方程 北京工业大学硕r l 学位论文 i i a b s t r a c t t a p e r e df i b e r sa leh i g h l yn o n l i n e a rf i b e r sw i t hs p e c i a ls h a p e s u l t r a - s h o r tl a s e r p u l s e st r a v e l i n gi nt h et a p e r e df i b e r sw i l lb el i m i t e dt oav e r ys m a l lv o l u m e ，f o l l o w e d b yal a r g ei n t e n s i t y t h es t r o n gi n t e r a c t i o nb e t w e e nl a s e ra n df i b e rb r i n g sa b o u t c o m p l e x n o n l i n e a r e f f e c t s ，t h e n t h el a s e r s s p e c t r u m i s b r o a d e n e d ， a n d s u p e r c o n t i n u u m ( s c ) i so b t a i n e d a l t h o u g ht a p e r e df i b e r sa r ee a s yt of a b r i c a t ef o r t h e i rr e l a t i v e l ys i m p l es h a p e s ，t h e ya r em u c ho fs i g n i f i c a n c ei nf u n d a m e n t a la n d a p p l i e d r e s e a r c h t h i st h e s i si s m a i n l y f o c u s e do nt h e t a p e r e d f i b e r sa n d s u p e r c o n t i n u u mg e n e r a t i o n t h em a i nc o n t e n t so ft h i st h e s i sa r ea sf o l l o w s ： ( 1 )w eb r i e f l yr e v i e w e dt h ea d v a n c e si ns u p e r c o n t i n u u mg e n e r a t i o n t h e p r i n c i p l e so fs cg e n e r a t i o ni n s i d et h et a p e r e df i b e r sa r ei n t r o d u c e d t h en o n l i n e a r s c h r 6 d i n g e re q u a t i o n ( n l s e ) i sn u m e r i c a l l ys o l v e d t h ep r o c e s ss cg e n e r a t i o ni s s i m u l a t e d t h ee f f e c t so fd i s p e r s i o n ，s e l fp h a s em o d u l a t i o n ，s e l fs t e e p i n g , a n d s t i m u l a t e dr a m a ns c a t t e r i n go ns c g e n e r a t i o na r ed i s c u s s e d ( 2 ) t h ed i s p e r s i o n so ft h et a p e r e df i b e r sw i t hd i f f e r e n tf i b e rp a r a m e t e r sw e r e d i s c u s s e du s i n gn u m e r i c a ls i m u l a t i o n m e t h o d ，e s p e c i a l l yt h ee f f e c t so ft h ec o r e d i a m e t e r so ft h et a p e r e df i b e r s t h ee f f e c t i v er e f r a c t i v ei n d e xo ft h et a p e df i b e r sw i t h d i f f e r e n ts t r u c t u r e sa n dt h e i re f f e c t so nt h ed i s p e r s i o na r ec a l c u l a t e dn u m e r i c a l l y t h e i n f l u e n c e so fd i f f e r e n tn o n l i n e a re f f e c t so nt h es cg e n e r a t i o nw e r ea l s os i m u l a t e d ( 3 ) w ef a b r i c a t es e v e r a lt a p e r e df i b e r so fd i f f e r e n tp a r a m e t e r s ，a n ds e t u pt h e c o u p l i n gs y s t e mf o rl a s e ra n dt a p e r e df i b e r ，a n dg e n e r a t es cw i t ht h e ms u c c e s s f u l l y w eh a v ec h a r a c t e r i s t i co fs cu n d e rd i f f e r e n te x p e r i m e n t a lp a r a m e t e r sa r ea n a l y z e d t h ee x p e r i m e n t a lr e s u l ti sc o m p a r e dt ot h et h e o r e t i c a l ，a n dt h em e c h a n i c so ft h es c g e n e r a t i o ni si n t e r p r c t e dm o r ed e e p l y s u p e r c o n t i n u u m ，t a p e r e df i b e r , u l t r a s h o r tp u l s e ，n o n l i n e a rs c h r s d i n g e re q u a t i o n i i i 北京t 业大学硕士学位论文 i v 2 1 脉冲基本传输方程的推导6 2 1 1 麦克斯韦方程组6 2 1 2 非线性薛定谔方程7 2 2 非线性方程的数值解法9 2 3 各种非线性效应1 1 2 3 1g v d 和三阶色散1 1 2 3 2 自相位调制( s p m ) 效应1 4 2 3 3 自陡峭( s s ) 效应1 6 2 3 4 受激拉曼散射( s r s ) 效应1 7 2 4 超短脉冲在拉锥光纤中传输分析1 8 2 4 1 几种典型的脉冲形式1 8 2 4 2 归一化非线性薛定谔方程及相关参数1 9 第3 章超短脉冲在光纤中产生超连续谱的数值模拟2 2 3 1 拉锥光纤中的色散参数2 2 3 1 1 普通介质中的色散2 2 3 1 2 拉锥光纤中色散的研究2 3 3 2 数值模拟结果及其分析2 9 3 2 1 参数选取2 9 3 2 2 色散、非线性效应对超连续谱的影响：3 0 3 3 本章小结3 5 第4 章拉锥光纤中产生超连续谱的实验研究3 6 4 1 拉锥光纤的制备3 6 4 1 1 普通单模双包层光纤的处理3 6 4 1 2 光纤拉锥机的参数设置3 6 4 1 3 制作拉锥光纤3 7 4 2 超连续谱实验系统的搭建3 9 4 3 拉锥光纤中的超连续谱实验4 2 4 3 1 脉冲功率对超连续谱的影响4 2 4 3 2 拉锥区域纤芯直径对超连续谱的影响4 3 i 北京工业大学项：仁学佗论文 4 3 3 拉锥长度对超连续谱的影响4 5 4 4 本章小结4 6 结论4 7 参考文献4 9 攻读硕士学位期间发表的学术论文5 3 致谢5 4 i v 1 1 课题研究背景 第1 章绪论 超连续谱( s u p e r c 6 n t i n u u m ，s c ) 的相关研究是近些年科研的一个热门方向， 超连续谱相对于激光、a s e 等光源具有很宽光谱，广泛应用于生物医学、光计量 学、光通信等诸多领域。 目前利用光纤及激光超短脉冲获得超连续谱的方法主要有两种，一种是将超 短脉冲输入到光子晶体光纤中，另一种方法是超短脉冲输入到拉锥光纤中获得。 第一种方法是通过改变光子晶体光纤的结构，即控制纤芯直径及空气孔的大小可 以控制光纤的色散及非线性特性，从而得到超连续。但光子晶体光纤的结构复杂， 实验中参数不容易控制，随机因素对实验的结果影响较大。第二种方法是利用拉 锥光纤获得超连续谱是一种较新的方法，由于光纤结构简单，参数较易控制，引 起了研究者的关注，本工作正是在这个基础上展开的。 1 1 1 超短脉冲激光技术 在超短脉冲激光领域，在可见光波段获得单光学周期脉冲是前沿研究的热 点。为实现这一目标，首先需要通过非线性获得足够的光谱展宽；然后对展宽的 光谱进行适当的色散补偿。综合这两点思想，可以利用非线性效应展宽脉冲的光 谱，输出超连续谱脉冲；然后再利用色散补偿技术( 如利用光栅、啁啾镜或者空 间光调制器等) 将其压缩至l o t s 以下，这是基于光纤中的展宽一压缩脉冲的基 本原理。北海道大学山下斡雄小组已经实验证明，通过充有惰性气体的中空光纤 展宽光谱后，使用s l m 相位补偿器补偿展宽光谱中所带的啁啾，能将输出脉冲 压缩到3 4 f s t l 。 拉锥光纤的出现使这个研究方向更加具有吸引力，利用拉锥光纤产生超连续 谱有以下几点优势：第一，与光子晶体光纤相比，拉锥光纤的特征参数( 拉锥区 域的纤芯直接和长度) 很容易由生产者控制，容易生产不同参数的拉锥光纤；第 二，由于这种光纤具有单一直径的柱状结构，因此理论模型简单，便于进行物理 分析；第三，拉锥光纤的效率比光子晶体光纤要高。 北京工业大学硕十学位论文 1 1 2 拉锥光纤的特点 ( 1 ) 结构特性 拉锥光纤( 其结构如图卜1 所示) 是指将用火焰加热后的光纤拉伸而得到的， 未拉伸前光纤的芯径约为5 1 0l - tm ，拉锥后光纤芯径减少到1 3 个微米( 如图 1 2 ) ，拉锥前光纤区域长度通常为1 2 个厘米，拉锥后拉锥区域的长度可达到 8 2 0 厘米，呈丝状，有纤维特点，有很好的柔韧性，但强度非常小，非常容易 拉断。 爹7t a p e r e d f v b e 旷“? t 图1 1 拉锥光纤的结构 f i g l 一1 t h et a p e r e df i b e r ss t r u c t u r e ( 2 ) 色散特性 零色散点是波导色散的一个重要参数【2 ，3 】，它对飞秒激光的诸多应用如孤子 传输、脉冲产生、超连续光谱产生和谐波产生等都起着重要的作用。普通石英光 纤的零群速度色散( g r o u pv e l o c i t yd i s p e r s i o n ，g v d ) 一般在1 2 7l x m 以上，当光 纤的芯径逐渐变小时( 例如直径3g m 以下) ，光纤中的色散参量d 随光纤直径 的增大而减小，例如当光纤的芯径为2l x m 时，零群速度色散点大约为o 8 岬。 拉锥光纤正是利用这一特点，将普通光纤拉锥成不同芯径的光纤，实现色散蓝移。 ( 3 ) 非线性特性 当具有毫焦、皮焦甚至纳焦量级的飞秒脉冲入射到直径只有1 3m 的拉锥 光纤中时，光纤内部的光功率密度很强，这将导致一系列非线性效应的产生，如 自相位调制( s p m ) 、自陡峭效应( s s ) 、受激拉曼散射效应( s r s ) 掣4 巧】。超 连续谱是由于各种不同的非线性效应以及色散效应共同作用的结果。 1 2 超连续谱的研究历史和进展 1 2 1 超连续谱的发展历史 超连续谱的形成是一个极其复杂的非线性光学过程，起初并没有完善的理论 解释，人们最初的研究主要集中在超连续谱形成的机制方面。a l f a n o 和p e n z k o f e r 等最先提出超连续谱的形成是一种四波混频过程【6 1 。随后，s m i t h 等通过研究发 2 第1 覃绪论 现自相位调制、自聚焦效应是超连续谱形成的主要机制【7 】。在前人的基础上， m a m n a s s a h 通过大量的实验，发现超连续谱的结构、形状以及谱宽都显著的依赖 于介质非线性折射率系数、抽运脉冲形状、相位调制、功率密度、脉冲宽度、波 长和介质的长度【8 】。上世纪8 0 年代中期超低损耗单模光纤研发成功，使光纤中 的非线性效应越发显著。并且随着超快激光器技术的发展，产生了1 31 0 纳米和 1 5 5 0 纳米通信波长的皮秒脉冲，1 9 8 7 年在传统单模光纤中也发现了超连续谱产 生现象 9 1 。超连续谱研究的下一个阶段是利用拉锥光纤或光子晶体光纤等特殊光 纤产生超连续谱。锥形光纤中的石英和空气折射率差很大，当脉冲入射到光纤锥 时，会聚到一个很小的区域，使得该区域有很高的能量密度，非线性效应的作用 也随之增强。这些特制光纤的出现为超连续谱的产生和研究提供了非常有利的支 持。 1 2 2 超连续谱的研究进展 科研工作者对于用超短脉冲产生超连续谱的成果一直有所报道： 1 9 7 0 年a l f a n o 等人使用倍频锁模皮秒激光脉冲抽运b k 4 7 玻璃，首次获得 了4 0 0 一7 0 0n i n 的超连续谱。1 9 9 4 年m o r i o k a 等人【l o 】首次在光纤中获得了约2 0 0 n l t l 宽的s c ，由于光纤与其他介质相比具有作用长度易控制，产生s c 阈值功率 低等优点，引起了人们的广泛关注。与此同时，光纤技术也在迅速发展，1 9 9 6 年诞生了第一根光子晶体光纤( p h o t o n i cc r y s t a lf i b e r ，p c f ) t 1 1 】，它不仅可以支持全 波段的单模传输，而且可使零色散波长( z e r od i s p e r s i o nw a v e l e n g t h ，z d w l 向短波 方向移至5 0 卜7 0 0 舳处，同时还可以具有很高的非线性系数和双折射特性，这 些特性都有利于s c 的产生。2 0 0 0 年r a n k a 等人使用钛宝石激光器输出的超短 脉冲，输入到一段7 5t i n 长的p c f 中，首次观察到了4 0 0 - - - 1 6 0 0 n m 的s c ，其宽 度远远超过了以往所有光纤和其他介质，此后越来越多的报道显示p c f 在s c 产 生方面具有良好的研究前景。与此同时，由于拉锥光纤具有拉锥长度和纤芯直径 容易控制等特点，科研工作者们把目光投向了拉锥光纤，大家开始研究用拉锥光 纤( t a p e r e df i b e r 简称t f ) 与超短脉冲耦合输出超连续谱激光。1 9 8 3 年， s h a n k 利用毫焦量级的飞秒脉冲照射甘油，透射出的脉冲发生了频谱展宽，但需要飞秒 放大器才可以探测到2 。1 9 9 3 年，d u m a i s 第一次通过利用飞秒脉冲与拉锥光纤 耦合后输出了连续光谱【1 3 1 。2 0 0 0 年，b i r k s 所在的工作组利用掺钛蓝宝石激光器 输出的纳焦量级的飞秒脉冲与拉锥光纤耦合输出了超连续谱。2 0 0 1 年，a k i m o v 利用掺铬镁橄榄石飞秒脉冲激光器与拉锥光纤耦合输出了中心波长在1 2 5 i _ t m 的 超连续谱【1 4 1 。2 0 0 3 年，j t e i p e l ，k f r a n k e ，d t u r k e 和f w a d k e n 等人同样利用 掺钛蓝宝石输出的功率为5 0 0m w ，中心波长为8 0 0n n l ，脉宽为2 5 0f s 的超短脉 3 北京工业大学硕士学位论文 冲与拉锥直径为2 3 岬，拉锥长度为7 5c l t i 的光纤耦合，最终频谱从4 0 0n n l 一 直扩展到1 2 0 0n m 1 5 】。2 0 0 4 年，j 6 mt e i p e l ，d i a n at n r k e 和h a r a l dg i e s s e n 等人 利用掺钕矾酸镱晶体输出的功率为4 7w ，中心波长为1 0 6 4n m ，脉宽为9p s ， 重复频率为1 2 0m h z 的超短脉冲与拉锥直径为3 1 微米，拉锥长度为9c l t i 的光 纤耦合，最终频谱从1 0 0 0n l n 展宽到1 3 5 0n m 1 6 】，随后他们利用腔倒空技术和倍 频技术最终将频谱从3 7 0n l t l 展宽到7 5 0n m 1 7 - 2 1 。2 0 0 8 年s m h e n d r i c k s o n 等人 研究了拉锥光纤的直径和双光子吸收几率的关系，为光谱展宽提供了新的参考思 路。同年，s p i l l a n e 等人研究了在铷蒸汽环境下，拉锥光纤在低光强下的饱和吸 收特性，拓宽了拉锥光纤特性的研究范围。 1 2 3 超连续谱的主要应用 由于超连续谱的频谱展宽一般在几百纳米以上，可在很宽的频谱范围内选出 所需波长的光脉冲，所以超连续光脉冲已相继应用于光纤群速度测量、全光采样、 全光转换、光波分复用( o w d m ) 和光时分复用( o t d m ) 等一系列实验，并取得了 重要的成果。如利用超连续谱光源并结合光波分复用( w d m ) 和光时分复用 ( o t d m ) 技术，日本n t t 早在在1 9 9 9 年成功地实现了3 t b i t s ( 1 6 0 g b i t s x l 9 c h ) 的w d m o t d m 传输实验 2 2 1 。 利用飞秒激光产生的超过一个倍频程的超连续谱，并通过自参考技术可以探 测飞秒激光的载波包络相移，采用锁相环电路可以进一步将飞秒激光的载波包络 相移锁定于已知的微波或无线电频率标准，从而制成精度极高的光学频率梳，实 现对光学频率的精密测量，从而为“光钟”的实现打下重要基础。这方面的研究 已成为光频标领域的研究热点。德国的t w h i i n s c h 及美国的j o h nl h a l l 因此 方面的研究获得2 0 0 5 年诺贝尔物理学奖。 超连续谱光源还在光谱检测、生物医学，高精密光学频率测量及光学采样以 及其他一些领域内发挥重要作用。 1 3 论文的主要研究内容 第一章，绪论。阐述了超连续谱广泛的研究历史，应用前景及拉锥光纤产生 超连续谱的方法；并分别介绍了拉锥光纤的特点以及利用拉锥光纤进行超连续谱 研究进展；最后介绍了超连续谱的主要应用领域； 第二章，基本理论部分。介绍了飞秒脉冲在光纤中传输的理论模型及非线性 薛定谔方程；介绍了进行数值模拟时所用到的分步傅立叶算法；讨论了各种非线 性效应，包括色散、自相位调制、自陡峭和受激拉曼散射效应的意义，并给出了 4 色散及非线性效应对超短脉冲在非线性光纤中产生超连续谱的机理及影响； 第三章，用基本理论分析光纤不同参数及不同实验条件下对超连续谱产生的 影响。分析了光纤的半径与色散特性之间的关系，并构建出理论模型；模拟了脉 冲在拉锥光纤中的传输过程；数值分析了超短脉冲导入拉锥光纤产生超连续谱的 主要机制；讨论了色散效应( g v d 、t o d ) 和非线性效应( s p m 、s s 、s r s ) 对 超连续谱产生的影响； 第四章，实验分析部分。介绍了拉锥光纤的制备和实验系统的各个组成部分， 包括光纤早期处理系统、光纤拉锥系统、超短脉冲振荡系统、法拉第隔离系统、 耦合系统、超连续谱探测系统；描述了相关子系统及实验仪器的原理、使用方法。 通过超连续谱的实验，研究了超连续谱的产生；讨论了脉冲功率、光纤芯径和光 纤长度等因素对超连续谱的影响；从理论和实验两个方面深入讨论了脉冲受激拉 曼散射效应对超连续谱产生的作用。将数值结果与实验结果进行了对比分析。 5 北京工业大学硕士学位论文 第2 章超短脉冲在光纤中产生超连续谱的基本理论 描述脉冲在光纤中传输的方程是非线性薛定谔方程( n l s e ) ，该方程在模拟 超短脉冲传输时很难求出解析解，阐明拉锥光纤中超短脉冲的传输过程，需要进 行数值处理。在求解脉冲在非线性、色散介质中传输时应用比较广泛的数值方法 是分步傅立叶方法，该方法采用了有限傅立叶变换( f f t ) 算法，因此相对于大 多数有限差分算法分布傅立叶算法有较快的响应速度。n i k o l o v 等人利用分步傅 立叶算法求解非线性薛定谔方程，利用简并四波混频解释超连续光谱的产生【2 3 】。 本章将详细论述非线性薛定谔方程、分步傅立叶算法、拉锥区域不同纤芯直径对 应的色散特性。 2 1 脉冲基本传输方程的推导 2 1 1 麦克斯韦方程组 光波是电磁波，因此光纤中光脉冲的传输服从麦克斯韦方程组： v e ：一望 拂 v 日：，+ 望 优 飞d = p f v b = 0 式中e 电场强度矢量； h 磁场强度适量； 卜电位移矢量； b 磁感应强度矢量 j 和p ，表示电磁场的源在光纤中值为0 。 e 、h 、d 、b 之间的关系如下式所表示 d = 6 0 e + p b = o h + m 式中真空中介电常数真空中的磁导率； 6 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 - 5 ) ( 2 1 6 ) 第2 苹脉冲馓光在光纤中产生超连续谱的基本理论 尸为感应电极化强度； m 磁极化强度。 对方程( 2 1 1 ) 两边取旋度，并利用式( 2 1 2 ) ( 2 1 5 ) 和( 2 1 6 ) ，用e 、 p 消去b 、d 可得到光纤中光波的波动方程 v 概e 一吉警确窘( 2 - 1 - 7 ， 式中心g 。= 1 c 2 ，c 为真空中光速。 对于波长范围在5 0 0 - 2 0 0 0n r n ，光纤的非线性效应只需考虑与z 3 有关的三阶 非线性效应，则感应电极化强度由两部分组成 p ( r ，f ) = 圪，f ) + ，t ) ( 2 1 8 ) 式中尼( r ，f ) 代表线性部分，f ) 代表非线性部分。它们与场强的关系为： 最，f ) = 岛z 1 i j f 一矿) e p ，d r ( 2 - 1 9 ) 尸舰p ，t ) = e om z 。o t l ，t - t 2 ，f 一岛) ；e ，) e ，乞归( 厂，f 3 ) d t l d t 2 d t 3 ( 2 1 1 0 ) 这些关系式在电偶极子近似下是有效的，介质响应特性是局域性的。上面的公式 比较复杂，需要进行一些简化近似。最主要的简化是把非线性极化当作总感应极 化强度的微扰。 2 1 2 非线性薛定谔方程 由公式( 2 - 1 7 ) 和( 2 - 1 - 8 ) 司得到脉冲在光纤中的波动方程： v 2 e 毒窘确等地争 假设三阶极化具有如下形式： z o ) ( t 一 ，t t ：，t t 3 ) = z ( 3 j r o t 。) 万o t 2 ) 万o t 3 ) 式中r ( t ) 为非线性响应函数。 将( 2 1 1 2 ) 代入( 2 1 1 0 ) 可得到非线性极化强度： ，f ) = 6 0 z 3 e ( ，f ) f 。r 一f 。) | e ，f ) | 2d t 。 电场强度可写成： e p ，f ) = 丢安 f g ，y ) a ( z , t ) e x p i ( f l o z 一国。f ) 】+ c c 7 ( 2 1 1 1 ) ( 2 1 1 2 ) ( 2 1 1 3 ) ( 2 1 1 4 ) 定义慢变振幅为a ( z ，t ) 。 进一步推导可以得到描述光纤内脉冲演化的非线性方程2 4 】 鬈+ 掣小z 。丑i k + l 鲁等矾) ( t + 去珈眦础i a ( z , t - t 扩卅泣5 ， 这就是广义的非线性薛定谔方程( g n l s e ) 。 其中a ( z ，t ) 脉冲包络； r 传输距离； 角频率； 0 【油卜衰减系数； b k _ k 阶的色散系数，定义为： = 嘲。 ( 2 - l - 1 6 ) y ：_ n 2 c o o ( 2 1 1 7 ) 7 y = 一 【7 删 式中咖脉冲的中心角频率； n 2 非线性折射率； a 酊一光纤的有效纤芯面积，定义为： 锄= 错 泣8 ， 通常，估算它的值需要用到光纤基模的模分布函数f ( x ，y ) 。光纤的有效纤芯面积 依赖于光纤参数，如光纤半径，纤芯包层折射率差等。 方程( 2 - 1 1 5 ) 中响应函数r ( t ) 包括电学和振动的拉曼响应。近似电学的影 响是瞬时的，r ( t ) 的函数可写成【2 5 - 2 9 1 ： 月o ) = ( 1 一厶声o ) + f h r o ) ( 2 1 1 9 ) 式中，f r 表示延时拉曼响应对非线性极化p n l 的贡献，拉曼响应函数h r ( t ) 与测得 拉曼增益谱之间的关系为： g 月( 缈) = 詈厶z ( 3 ) i m h r ( b o a ) 】 ( 2 - 1 2 0 ) c 张n 。 h r ( t ) 拉曼响应函数近似为： k ( f ) = 粤e x p ( _ s i n f ，) ( 2 - 1 2 1 ) 参数t l ，也是两个可调节参数，适当地选取可以拟合实际的拉曼增益谱线；通常 使用的数值是t 1 = 1 2 2f s ，t 2 = 3 2f s 。 对于脉宽窄于5p s ，但又包含多个光学周期的脉冲( 脉宽大于1 0f s ) ，可以 利用t a i l o r 级数展开： i 彳g ，f f q 2 j 彳g ，f ) | 2 一，导j a ( z , t ) 1 2 ( 2 1 2 2 ) 方程( 2 1 1 5 ) 可以化简为： 老+ 掣么+ ( 薹尾i n - i o n 1 捌叫佯彳+ 去掣一磊彳筹l ( 2 - 仍， 其中，t = t b l z 是群速度移动参考系中的时间坐标，方程左边表示线性效应( 光 纤的损耗) 和色散效应，右边表示非线性效应包括有自相位调制、自陡峭和脉冲 受激拉曼散射效应，t r 是受激拉曼响应的时间参数( 或称为非线性响应函数的 一次矩) ，它的值与拉曼增益谱的斜率有关，在n l s e 方程中正比于t r 的项与延 迟拉曼响应有关，对应于脉冲受激拉曼散射诱发的自频移效应，如下式所示的关 系： 疋基t r ( t ) d t = f , o 净 ( 2 1 - 2 4 ) 一般t r 的取值在3 - 5f s 均为合理。 在实际中对于色散的讨论考虑到三阶色散，所以超短脉冲在光纤中传输的波 动方程为： 型o z + 型2 么+ 訾雾一鲁雾：z 刊w 彳+ 去掣一瓦彳筹i ( 2 - 心5 ， 在推导非线性薛定谔方程时，一个基本的近似是忽略了a ( z ，t ) 对传输距离z 的二阶导数，即慢变振幅近似( 在光束传输中是傍轴近似) 。另一个则是忽略了 所有的反向波传输。 2 2 非线性方程的数值解法 n l s e 方程( 2 1 2 5 ) 是非线性偏微分方程，在一般的情况下不适于解析求 解，除非是在能够使用逆散射方法的某些特殊情况下才有可能【3 们，因此需要做 数值处理。处理方法大致分为两类：( 1 ) 有限差分法；( 2 ) 伪频谱法。本文用分 步傅立叶算法来求解n l s e 方程【3 1 , 3 2 】，研究超短脉冲在拉锥光纤中的传输过程。 分步傅立叶方法己广泛应用于各种光学问题，包括：大气中的光传输 3 3 , 3 4 ， 折射率梯度光纤【3 5 ，3 6 1 ，半导体激光器 3 7 - 3 8 1 ，非稳腔【3 9 , 4 0 以及波导耦合器 4 1 - 4 3 1 等。 9 早在1 9 7 3 年分步傅立叶方法就开始用于解决脉冲在光纤中的传输问题【4 4 1 。这种 方法相对于大多数有限差分法有较快的运算速度，所以很快就得到广泛应用。 为理解分步傅立叶方法的基本原理，将方程( 2 1 2 5 ) 改写成如下形式： 丝：+ h ( 2 2 1 ) 式中，d 是差分算符，它表示线性介质的色散和吸收效应；n 是非线性算符，它 决定了脉冲传输过程中光纤的非线性效应。在方程( 2 1 2 5 ) 中这些算符的具体 形式为： d 一互i 展矛8 2 + 否1 色导一詈( 2 - 2 - 2 ) 刊h 2 + 三c o o 三a 珈么) 一筹i 协2 剐 一般来说，沿光纤的长度方向，色散效应和非线性效应是同时作用的。分步 傅立叶方法通过假设传输过程中，光场每通过- d , 段距离h ，色散和非线性效应 可以分别作用，得到近似结果。更加直观的说，把脉冲通过光纤从z 到z + h 的 传输过程分为两步进行。第一步，仅有非线性效应作用，方程( 2 2 1 ) 中的色 散算符d ：0 ：第二步，仅有色散作用，方程中的非线性算符对= 0 。其数学表 达式为： a ( z + h ，r ) e x p ( h ) ) e x p 乒( z ，丁) ( 2 2 4 ) 指数操作e x p ( 栖) 部分在傅立叶域内进行： e x p ( h ) ) b ( z ，丁) = f t le x p h 己) ( f 国) j 弓b ( z ，丁) ( 2 2 5 ) 式中，f t 表示傅立叶运算，6 ( f ) 从方程( 2 2 - 2 ) 通过f 缈替换微分算符a 0 t 得到， 缈为傅立叶域中的频率。因为d ( f 缈) 恰好是傅立叶空间中的一个数值，可以直接 计算方程( 2 2 5 ) 的值。用快速傅里叶变换方法( f f t ) 使得方程( 2 2 5 ) 数值 算法相对较快。分步傅立叶算法较一般的有限差分算法要快一两个数量级。 一般分步傅立叶方法能够精确到分步步长h 的二阶项。采用一个不同的步骤 使光脉冲从z 到z + h 一段距离内传输，可改善分步傅立叶方法的精度，由下式 代替方程( 2 2 4 ) ： 舡妒) 一( 尝d ) e x p p m h 纠心丁) ( 2 - 2 - 6 ) 1 0 。1 。_ _ _ i 此过程最大特点是非线性效应包含在小区间的中间而不是边界。由于方程 ( 2 2 6 ) 中指数算符是对称形式，该方法称为对称分步傅立叶算法。这种算法 主要误差项来自方程中的双对易因子，该因子是步长h 的三阶项，这样可以提高 计算精度。 直观上解释分布傅立叶方法，即如下图2 1 所示 父考虑色散 必考虑l ：线性 图2 - 1 对称分布傅立叶方法示意图 f i 9 2 - 1 f o u r i e rs p l i t s t e ps c h e m e 如图2 1 所示，光纤长度被分为众多小区间，这些小区间并不需要等距。假 设非线性效应只集中在每个区间的中间处( 图中的虚线处) 。光脉冲按方程 ( 2 2 6 ) 从一个区间传输到另一个区间。光场在最初过程中( 前h 2 ) 只与色散 有关，只用到f f t 算法和方程( 2 2 5 ) ；当光场传输到z + h 2 处，光场应该加入 代表整个区间h 内非线性效应总和的非线性项；光场在剩下h 2 的区间内( 后h 2 ) 传输，只与色散有关，最后得到a ( z + h ，t ) 。 2 3 各种非线性效应 2 3 1g v d 和三阶色散 以向劢脉开为例，考愿具有卜还人射光场的商斯脉冲的情彤 u ( 叫= e x p ( 一面t 2 ) ( 2 - 3 - 1 ) 式中，乃是脉冲半宽度( 在光强峰值的 e 处) ，而实际上常用半极大全宽度 ( f w h m ) 来代替r o 。对高斯脉冲，他们之间的关系为 删：2 ( i n 2 ) y 2 t o 1 6 6 5 t o ( 2 3 2 ) 北尿上业人掌坝上学位论文 利用下列方程 u ( z ，丁) = 互l ，i m b ( 。，缈) e x p l 2 p z c o z z - i c o t ) d 彩 ( 2 3 - 3 ) u o ( o ，缈) = fv ( o ，丁) e x p ( i m t ) d t ( 2 3 4 ) 进行积分，可得到光纤方向任一点z 处的振幅 肛南唧( - 而t o 卸 这样，高斯脉冲在传输过程中保持形状不变，但其宽度互随z 增加，变为 驰m 1 + ( 兀) 2 弘3 回 式中，色散长度岛2 高方程( 2 - 3 - 6 ) 表明，g v d 展宽了脉冲，其展宽程度 取决于色散长度易。对一给定长度的光纤，由于脉冲有较短的色散长度易，因 而其展宽程度较大。萨厶处，高斯脉冲的脉宽展宽芝倍。图2 - 2 表明，对高斯 脉冲，由色散引起的脉冲展宽程度可以通过画z = o ，2 岛，4 厶处的i u ( z ，丁) 1 2 曲 线桌表示。 图2 2 光纤内由色散所导致高斯脉冲的展宽 f i g 2 2s p e c t r u mb r o a d e n i n gi nt h ef i b e rb e c a u s eo ft h ed i s p e r s i o n 1 2 与时间有关的相位痧( z ，t ) 隐含了中心频率为c o o 的脉冲从中心到两侧有不同的瞬 时频率，频率差面恰好是时间的导数一翌8 t 。 劫( 丁) = 一要= s 萨( 屐) ( 厄) 丁： 1 + ( 兀) 2 ( 2 3 9 ) 方程( 2 3 9 ) 表明，横过脉冲的频率变化时线性的，这称为线性频率啁啾。啁 啾砌的符号依赖于局的符号，脉冲前沿( t o ) 的砌为负，向后沿砌线性增 大；而在反常色散区( 房) ，则正好相反。 由于g v d 效应，脉冲的不同频率分量在光纤内以略微不同的速度传输，因 而色散所致脉冲展宽就可以解释了。更准确的说，在正常色散区红光分量较蓝光 分量传输的快，而反常色散区则正好相反。仅当所有的频谱分量同时到达时，脉 冲宽度才能保持不变。不同频谱分量在传输过程中的任何延迟都将导致脉冲展 宽。 下面考虑三阶色散的影响。 在c o o 处把( 国) 展成泰勒级数 ( 彩) = 成+ 细一) 届+ 互1 ( 缈一) 2 厦+ i 1 ( 缈一c o o ) 3 屈+ ( 2 - 3 1 0 ) 尽管在大多数情况下尾的影响是主要的，但有时也要考虑屈的高阶项。对脉宽 r o lp s 的超短脉冲，由于展开参量丝不够小，不能展开式中二阶色散以后的 项舍去来简化；即当二阶色散不为零时，也要考虑三阶色散项。 北京工业大学硕十学位论文 现在考虑包括二阶色散和三阶色散两项的g v d 效应，同时仍然忽略非线性 效应。忽略非线性效应的振幅的方程，利用 躲，= 厄e 坤 一书即，( 2 - 3 - 1 1 ) 由于振幅v 不随光纤长度l 变化，直接对相位方程进行积分，可以得到通解为 u ( 三，丁) = u ( o ，t ) e x p i # 舰( 三，r ) 】 ( 2 3 一l8 ) 式中，u ( 0 ，乃是z = 0 处的振幅，且 妣( 三，r ) = i u ( o ，r ) j 2 笋 僦 式中，有限长度 k = 1 - e _ x p ( - o l ) ( 2 3 2 0 ) 方程( 2 3 1 8 ) 表明，s p m 产生随光强变化的相位，但脉冲形状保持不变。非线性 相移由方程( 2 3 1 9 ) 给定，它随光纤长度l 的增大而增大。参量为有效 长度，由于光纤的损耗，它比实际距离l 要小。当光纤无损耗时，即口= 0 ，即 k = l 。最大相移出现在脉冲的中心，即t = o 处，因为u 是归一化的，则 l u ( o ，o ) l = i ，因而 = 每= 咒 非线性长度的物理意义可从方程( 2 - 3 2 1 ) 看出，它是当# m a x = 1 时的有效传 输距离。若取1 5 5 微米波长区非线性参量的典型值y = 2 w 。1 k m ，当e o = 1 0m w 时，k = 5 0k r n ，进一步增大昂，k 反而下降。 s p m 导致频谱展宽是但，砷与时间有关而引起的，他可以这样来理解， 瞬时变化的相位说明光脉冲的中心频率与两侧有不同的光频率，其差值为 泖) - _ 鲁一刍l u ( o , r ) 1 2 勋的时间依赖关系可被看做频率啁啾，这种啁啾是由s p m 引起的，它随传输距 离的增大而增大，换句话说，当脉冲沿光纤传输时，新的频率分量在不断产生。 这些由s p m 产生的频率分量展宽了频谱，使之超过了z = 0 处的初始宽度。 1 5 北京工业大学硕士学位论文 | r 一i 2 3 3 自陡峭( s s ) 效应 光脉冲的自陡峭是群速度对光强的依赖关系造成的，它对s p m 的影响最先是 在液态非线性介质中讨论的，后来才扩展到脉冲在光纤中传输的情形。自陡峭导 致了超短脉冲s p m 展宽频谱的不对称性。 在考虑高阶非线性效应时，常用到下面的方程 罢+ 百s g n ( p z ) 万：v = 等雾f i e k - _ l 。( 胁u 括华刈警) 瑟 2 三。 衍26 e衍3 厶。、。衍 “ 衍7 ( 2 - 3 2 2 ) 方程右边第二项决定了自陡峭效应。先考虑当厦= 压= 0 时的情况，在这种特殊 的情况下，如果置f 。= 0 ，方程( 2 - 3 - 2 2