（概率论与数理统计专业论文）markov过程若干问题研究.pdf

摘要 本文研究m a r k o v 过程中的若干问题，主要工作分为三部分。 第一部分，从条件数学期望二个最基本的平滑公式出发，讨论了这二个公式的各种 推广与应用，运用测度论中的基本方法给出了二个新的计算公式的证明，并对这些新的 公式与经典公式的关系和迸一步的拓展进行了一些讨论。 第二部分，依据单指标随机过程m a r k o v 性的基本含义，给出了两指标随机过程一 类宽m a r k o v 性的定义，证明了二指标随机过程具有宽m a r k o v 性的一个判定定理，该 定理是单指标情形下相应定理的推广。作为该判定定理的应用，在v o l t e r r a 积分核满足 可分离变量和独立增量性条件下，我们证明了如下v o l t e r r a 型二指标随机积分方程的解 是一个宽m a r k o v 过程。 t = i 。岛( z ，u ) f ( u ，也) 如+ i 。j j 2 ( z ，u ) g ( u ，咒) d 呒z k，m 其中 彬，z r e 是二指标标准b r o w n 运动。 第三部分，研究了由如下系统所刻划的强m a r k o v 过程平稳分布的存在性与唯一 性。 a s ( t ) = 6 ( x ( ) ，r l ( t ) ) a t + c r ( x ( t ) ，r l ( t ) ) d w ( t ) ，t 【o ，t 】 其中w ( t ) 是以维标准b r o w n 运动，7 ( f ) 是一个有限m a r k o v 链，利用耦合方法，遍历性 理论证明了解过程平稳分布的存在唯一性定理。该定理的条件是用耦合算子刻划的，不 需要构造l y a p u n o c 函数，只需计算一些常用耦合，因此具有较强的可操作性，同时我 们给出了一些应用实例。 关键词：m a r k o v 性；条件数学期望：二指标m a r k o v 过程；平稳分布：随机微分方程； 耦合；概率距离。 a b s t r a c t t h i st h e s i si sd e v o t e dt oas t u d yo fm a r k o vp r o c e s s e s t h r e ea s p e c t so fw o r ka r e c o n s i d e r e d ： t h ef i r s ta s p e c t ：w ec o n s i d e r e dt h ec o n d i t i o n a le x p e c t a t i o nb e c a u s eo fi t si m p o r t a n c ei n t h es t u d yo fm a r k o vp r o c e s s e s w eb e g i nf r o mt h et w om o s te l e m e n t a r y s m o o t h i n gf o r m u l a s d i s c u s s e dt h ev a r i o u se x t e n s i o n sa n da p p l i c a t i o n s b yt h eb a s i cm a n n e r si nm e a s u r et h e o r y , w es h o wt w oc o m p u t i n gf o r m u l a s a n ds o m ed i s c u s s i n ga b o u tt h ef o r m u l a sa r eg i v e n t h es e c o n da s p e c t ：an e wd e f i n i t i o no ft h ee x t e n d e dm a r k o vp r o p e r t yo ft w o - p a r a m e t e r s t o c h a s t i cp r o c e s s e si si n t r o d u c e da c c o r d i n gt ot h eb a s i ci d e ao fs i n g l e - p a r a m e t e rs t o c h a s t i c p r o c e s s e s a n dac r i t e r i o nt h e o r e mi sg i v e n ，i ti sa ne x t e n s i o no ft h ec o r r e s p o n d i n gt h e o r e m u n d e rt h es t a t i o no fs i n g l e - p a r a m e t e r a sa n a p p l i c a t i o nw ec o n s i d e r e dv o l t e r r at y p e t w o p a r a m e t e rs t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o na sf o l l o w i n g ： 五= k 墨( z ，“) 厂( “，x u ) d ”+ l 包( z ，“) g ( “，五) d 呒 z 碍 w h e r e 形，z r j b eat w o - p a r a m e t e rs t a n d a r db r o w nm o t i o n s u p p o s e t h a ti t sv o l t e r r ai n t e g r a t i o nk e r n e lu sb ea i n d e p e n d e n ti n c r e m e n tp r o c e s s e sa n d s e p a r a b l ev a r i a b l e sw ep r o v et h a tt h es o l u t i o np r o c e s s e si sae x t e n d e dm a r k o vp r o c e s s e s t h et h i r d a s p e c t ：w ei n v e s t i g a t et h e e x i s t e n c ea n d u n i q u e n e s so ft h es t a t i o n a r y d i s t r i b u t i o no ft h ef o l l o w i n gs t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a l e q u a t i o nb yc o u p l i n gm e t h o d sa n d e r g o d i c i t yt h e o r y a x ( t ) = 6 ( 彳( f ) ，r l ( t ) ) d t + c r ( x ( t ) ，r l ( t ) ) d w ( t ) ，f 【0 ，t 】 w h e r ew ( t ) b ean - d i m e n s i o ns t a n d a r db r o w n m o t i o n ，7 7 ( f ) b eaf i n i t em a r k o vc h a i n a n dw ek n o wt h a ti t ss o l u t i o nb eas t r o n gm a r k o v p r o c e s s e s as u f f i c i e n tc o n d i t i o no ft h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h es t a t i o n a r yd i s t r i b u t i o ni s o b t a i n e d t h ec r i t e r i ac o n d i t i o nw eo b r a i no n l yn e e dt oc o m p u t es o m ec o u p l i n go p e r a t o r s n e e d n tc o n st r a c tl y a p u n o vf u n c t i o n a l s ow eg i v es o m ei l l u s t r a t i n ge x a m p l e si nt h i sa s p e c t k e yw o r d s ：m a r k o vp r o c e s s e s ；c o n d i t i o n a lm a t h e m a t i ce x p e c t a t i o n ；t w o p a r a m e t e rm a r k o v p r o c e s s e s ；s t a s i o n a r yd i s t r i b u t i o n ；s t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；c o u p l i n g ； p r o b a b i l i t ym e t r i c 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研 究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文 不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研 究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完 全意识到本声明的法律后果由本人承担。 论文作者签名：睾墨 日期：唧年，月刁日 学位论文使用授权说明 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即： 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存并向 国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，并提供目录检索与阅览服 务；学校可以允许采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存学位论文； 在不以赢利为目的的前提下，学校可以公开学位论文的部分或全部内容。( 保 密论文在解密后遵守此规定) 作者签名：季墨 指导教师签名：毒欤6 & 叉 日期：岬r - 矽 日期：叫j 7 7 。 第一章绪论 1 绪论 本文讨论m a r k o v 过程理论与应用中如下三个方面的问题： 1 1 条件数学期望平滑性质的某些推广与应用 将关于条件数学期望的讨论作为本论文的一部分，不仅在于条件数学期望在理论上 的深刻内涵和应用中丰富技巧，更是因为随机过程的m a r k o v 性就是用条件数学期望定 义的，在m a r k o v 过程的理论与应用中，对条件数学期望的运用技巧是最基本、最重要 的技巧。 本文并不对条件数学期望展开全面讨论，而是由以下最基本的平滑性质出发，讨论 其各种形式的推广： 设汐是基本矿域夕的一个子仃域，则 4 1 ( i ) 若7 7 为汐- 可测随机变量，则 研勿l 汐】- 7 7 e 【孝l 伊】 ( 1 - 1 ) ( i i ) 若，7 与汐独立，则 研蟹i 够】_ e r ( 1 - 2 ) ( i ) ( ) 的推广是2 1 ( i7 ) 若h ( x ，y ) 有界或非负可测函数，孝为汐可测，则 e h ( 孝，7 7 ) i 汐】= e ( 日( x ，7 7 ) f 汐】l ：善 ( 1 - 3 ) ( i i7 ) 若蟹与汐独立，可测，则 e f ( r ) i 汐】= 可( 7 7 ) ( 1 - - 4 ) ( i ) ( i i7 ) 的一个便于应用的形式是1 l ：在( i ) 的条件下，若还有f 与7 7 独立，则 ( i i i ) 肋( f ，刁) = l 阴( x ，7 7 ) 】晖( x ) ( 1 5 ) 其中名0 ) 是善的分布函数。 本文中，对( i i i ) 作了进一步推广：把随机变量孝推广为随机函数孝( ，缈) ，主要结果是 命题1 4 与命题1 5 ： 湖北大学硕士学位论文 命题1 4 设冒，是夕的二个独立子盯- 域，善( f ，缈) 关于劈呸可测，若随机变量z 与留独立，且皆关于彳可测，h ( x ，y ) 是二元非负或有界的b o r e l 函数，则 e 孝( z ( ) ，c o ) ，7 7 】= l e 阿 善( ，c o ) ，r 1 a f x ( t ) ( 1 6 ) 其中兄( ，) 是的分布函数。 当x 与r 不满足独立性时，我们有如下的命题1 5 ( 若f ( x ) 非负有界，其它条件同 命题1 4 ) e 【孝( x ( 缈) ，彩) 厂( 7 7 ) 】= le ( ，c o ) d r ( t ) ( 1 - 7 ) 其中v ( r ) = e f ( r 1 ) i ( x ，) 】 公式( 1 6 ) 也可视为通常的数学期望计算公式可( x ) = j f r 厂 ) d f x ( x ) 的推广，而在( 1 7 ) 中如果7 7 与x 独立，则v ( ，) = 可( 7 7 ) b ( ，) ，因此在1 7 与x 非独立时，我们可以记 v ( f ) = 巧口( r ) ，即这是一个与随机变量厂( 7 7 ) 有关的z 的分布函数，此时公式( 1 7 ) 可 表示为 e f ( n ) 孝( x ( 国) ，缈) = j i re 孝( f ，国) d 巧吁( f ) ( 1 8 ) 其中e 砌是巧7 ( f ) 决定的期望算子，即 e f ( n ) g ( x ) = l g ( f ) 僻( f ) ( 1 - 9 ) 这样我们有可能为解决一些复杂的计算问题提出一个新的可供选择的工具。 条件数学期望是用r a d o n - n i k o d y m 导数定义的，尽管它有着在理论上十分严谨并纳 入了测度论一般理论体系的优点，但如果我们注意到如下等价表述，在应用中也许更容 易掌握。 ( i ) 研孝l 汐】是一个汐一可测随机变量，特别地在常用场合汐= 盯( 7 7 ) 时有 e 孝i7 7 】= h 0 7 ) ( 1 - 1 0 ) 或表为 - 2 第一章绪论 其中h 是劈一可测函数 ( i i ) v a 汐有 e 孝l7 7 = y 】= 办( y ) e 厶e 乡l 汐】 = 研l 翱 ( 1 1 2 ) 这些内容应属条件期望的定义，一般并不纳入归平滑性质，但由于我们在后面的讨 论中经常用到，特别是由( 1 1 2 ) 直接可推出全期望公式的一般形式，并由它又可得到 一些具体的计算公式，其中有些公式在一般文献中不常见到，而在本文的其它部分有重 要作用，故我们在文中以较短的篇幅给一个叙述。 在这一部分的最后，我们提出二个可进一步讨论的问题。 1 2 二指标随机过程宽m a r k o v 性的定义与判定 称随机过程 墨，f 0 ) 具有m a r k o v 性，是指系统的运动具有的某种弱相关性，其直 观含义就是：置相对于历史条件的统计规律只与时间上最接近的k 有关而与其它更早 的历史无关，俗称为“在已知现在的条件下，将来与过去无关” 对于单参数情形，由于时间参数集t = o ，+ 0 0 ) 是全序集，“过去”和“将来 是明确 的，但对于时间参数集合是两参数或多参数集时，它是一个偏序集，情况要复杂得多， 针对于对“过去”，“现在，“将来”的不同理解，产生了各种不同的m a r k o v 性定义， 如单点m a r k o v 性，1 - m a r k o v 性，2 - m a r k o v 性，l e v y m a r k o v 性等，这些不同的定义分 别适应了各种不同的应用背景，在这一部分我们的主要工作如下： 1 ) 遵循一般m a r k o v 性的涵义给出了一类宽m a r k o v 性的定义，即 定义3 1 设 丝( 缈) ，z r ：) 是( q ，歹，p ) 上取值于可测空间( e ，莎) 的两参数随机过 程若v z 。z ，a 汐 j o x = 么i 。互) = 尸 t a i o 巧) ，a s ( 1 1 3 ) 则称 以( 缈) z r ： 是宽m a r k o v 过程 3 其中 “”表示通常平面上的偏序， 对z = ( z n ，z 2 ) “：( “，材2 ) ，z ( ，j ，z r ，i = l ，2 ，只叁仃( 一，“z 或“2 z ) ，职+ 表示由名 对应的边界过程所生成的仃域，即职+ 全万 ( 咒，纠1 = z ，“2 z 2 或 甜( 1 ) z ( n ，材( 2 = z 2 ) 2 ) 给出了验证宽m a r k o v 性的一个判定定理 命题3 1设 墨( 缈) ，z r ：) 是定义在( q ，歹，尸) 上而取值于可测空间( e ，莎) 的随机 过程，如果对v z z 有 五( 缈) = 厂( 墨伽，x ：。p 五，y ( 0 2 ) ) ( 1 1 4 ) 其中f 为( e ( 们，罗( 4 ) 一( e ，孑) 可测函数，】，( 彩) 与 k ，“1 z 1 或“2 为状态空间的有限 m a r k o v 链。 这类系统可视为+ 1 个参数各不相同的普通随机系统，随着时间f 的变化，系统不断地 转移，而转移规则受到一个m a r k o v 链r ( t ) 的控制，这种数学模型在许多科学领域都有 重要应用，受到学术界广泛关注，已经证明当系数满足局部l i p s c h i t z 条件和线性增长性 条件时，方程( 1 1 6 ) 有唯一强解，且解过程是一个强m a r k o v 过程【9 】。 众所周知，平稳分布的存在唯一性问题是m a r k o v 过程理论中的一个基本课题，它 表示了系统的一种稳定性，许多应用例如m c m c 算法，随机信号的m a r k o v 逼近【l l 】都 需要平稳分布的存在唯一性作为前提。对于m a r k o v 过程存在平稳分布的一般理论已有 许多工作，但以随机微分方程解的形式出现的m a r k o v 过程，对其平稳分布的讨论尚不 多见，文献 1 2 】中给出了i t 6 型线性系统存在平稳分布的一个充分条件，文中是用 l y a p u n o v 方法证明的，文献 1 3 】讨论了系统( 1 1 6 ) 平稳分布的存在性，本文将使用耦 合方法给出系统( 1 1 6 ) 平稳分布存在唯一性定理一个完整的证明。 耦合方法抽象地讲：是把低维问题放到高维空间( 耦合) 去讨论，得到适当的结果 后再返回低维空间中的原问题( 解耦) 。概率论领域中的耦合方法常与k r w 概率距离 彬( “，z ) 2 ，主f p ( x j ，恐) ( 出- ，呶) 相联系，其中- ，鸬是两个概率测度，而“与：的 耦合是乘积空间上满足边缘性的概率测度，k ( 。，鸬) 表示“与：的全体耦合，熟知 概率距离在概率统计中起着基础性的作用，例如在统计中，它可用来刻划两个母体的差 5 湖北大学硕士学位论文 异程度，在大样本理论中，它更是刻划各种收敛性的基本工具。当然，m a r k o v 过程平 稳分布，遍历性理论的许多问题也可用它来处理。概率距离种类很多，如l 6 v y p r o h o r o v 距离，三p 一距离，全变差距离，z 2 距离等 那么就本章的问题为什么采用耦合方法，即为什么把一个低维问题放到更复杂的高 维空间中去呢，这是因为k r w 距离可以用积分来表示，而对于积分，我们有许多处理 的办法与工具，比如各种不等式，收敛性定理等。相对于其它概率距离，所涉及数学工 具不深，尽管在高维空间中形式复杂了。 这一部分工作主要结果如下： 命题4 1 设b ( x ，耽c r ( x ，f ) 是方程( 1 1 6 ) 中的向量函数与矩阵函数，满足局部 l i p s c h i t z 条件和线性增长条件，令a ( x ，i ) = 万( x ，z ) 仃7 ( x ，f ) ，如果 ( i ) 存在三与的耦合算子三( 石( ( x ，岛) ，( y ，也) ) ，6 ( ( x ，墨) ，( y ，如) ) ) 和常数q o ，使 l p ( ( x ，岛) ，( y ，如) ) 一口。p ( x ，y ) ，( ( x ，毛) ，( 少，屯) ) r ”x s ( i i ) 存在q 与q 的耦合算子西和常数口， 0 ，使 ( ( ( x ，墨) ，( y ，哎) ) - a 2 p ( k l ，红) ，( ( x ，毛) ，( 少，乞) ) r ”s 那么系统( 4 1 3 ) 的解尸( f ) ( x ( ，) 的转移函数) 存在唯一的平稳分布m ( 算子l ，三，q ，西的定义参见p 2 8 4 3 ) 。 推论4 1 若在定理2 i 中将条件( i ) 换为 ( 17 ) a ( i ，) 皇霉南 i i o ( x , i ) - c r ( y , j ) 1 1 2 一燃号掣+ ( b ( x , i ) - b ( y , j ) , x - y ) ， 则有 e e ( 善j 汐) = e 孝 ( 2 6 ) 公式( 2 6 ) 通常称为一般形式的全期望公式，若7 7 是连续型随机变量密度为g ( y ) ，或刁 是离散型随机变量分布列为尸( 7 7 = 岛) f _ 1 ，2 ，则分别有具体的全期望公式。 或 骘 e ( 勤( 功= s r h ( y ) g ( y ) d y = l 研f l7 7 ：y g ( y ) d y ( 2 - 7 ) e 孝= e h ( r 1 ) = h ( k ，) p ( r l = 砖) = e 【孝i7 7 = 墨l p ( 7 7 = k d ( 2 8 ) 在( 2 7 ) ，( 2 - 8 ) 中取孝= s 爿( c o ) ( a 是任一随机事件) 则有如下全概公式 或 尸( 月) = s t 。p ( a r l = y ) g ( y ) d y( 2 - 9 ) 湖北大学硕士学位论文 j p ( 彳) = p ( ar l = k , ) p ( r l = t ) j 毕l ( 2 - 1 0 ) ( 2 1 0 ) 是初等概率论中我们所熟悉的形式，( 2 7 ) 一( 2 9 ) 无论在理论上实用中 也都是十分有用的工具，在第四章中有重要应用。 又由i ) ，当是随机变量一即少可测函数时，e 【孝l 够】是汐- 可测的，故随机变 量e 善 汐】( 缈) 取值为孝在缈所在的够的原子上的平均值，因此e 手f 汐】可视为对孝 的平滑算子( 在汐的原子上平滑) 熟知e 善 汐】有如下简单的平滑性质： i ) 若刁汐，则 e 【孝召i 汐】= 刁e 孝l 汐】 ( a e )( 2 1 1 ) i i ) 若7 7 与汐独立，则e 刁lw = e r ( a e )( 2 1 2 ) ( 2 1 1 ) 的含义是明显的，因为刁为汐可测，故汐的原子也即刁的原子，因此平滑算 子e 【孝 够】对努不起平滑作用。 考虑上述基本平滑性质( 2 11 ) ( 2 1 2 ) 的简单推广与应用，用测度论的典型方法， ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 有以下简单推广。 引理2 1 1 2 i ) 若7 7 汐，f ，g 为b o r e l 一可测函数，则 e f ( r 1 ) g ( 4 ) l 汐 f ( r 1 ) e g ( 4 ) i 汐】 ( a e )( 2 1 3 ) i i ) 若7 7 与汐独立，厂为b o r e l 一可测函数，则有 e ( 7 7 ) i 汐】可( 7 7 ) ( a e )( 2 1 4 ) 引理2 1 是函数h ( x ，y ) = f ( x ) g ( y ) 的特例，鉴于其广泛应用，我们自然关心当h ( x ，y ) 不 是可分离变量型函数时，引理2 1 将会以何种形式出现，事实上我们有以下重要公式： 定理2 1 2 1若h ( x ，y ) 有界可测( 或非负可测) ，孝为汐一可测随机变量，则有 e 日( 孝，刁) l 汐】- ( e ( x ，7 7 ) | 汐】) ，：f ( 2 - 1 5 ) 定理2 2 的作用是明显的，( 2 1 5 ) 右端条件期望中随机变量暂时地成为常量，这 一点在许多问题的讨论中会给我们带来方便，参见下面的应用： 1 2 第二章条件数学期望平滑性质的某些推广及应用 例2 1 ( m a r k o v 性的证明)设 毒，t o 是独立增量过程，彳是鸽，f o ) 的 自然仃流( 即彳= 盯( 六，s f ) ) ，则v s 。 易于验证三是髟一系 又令= a xb ，么，b 劈 贝, t ja t 是万一系且叮( ) = 劈孙，由已证三包含中任一 集合的示性函数，由函数形式的单调类定理，三包含一切仃( ) 可测函数) 命题2 4 证毕。 下面我们考虑去掉x 与叩独立的条件，我们先给出命题再进行一些讨论。 命题2 5 设钎，呸是少的二个独立子盯一域，随机变量7 7 ，x 为晖一可测，( x ) 为非 负有界b o r e l 可测函数，随机函数考( f ，国) 关于劈锈有界可测，则 e 【孝( 彳( 缈) ，彩) 厂( 7 7 ) 】= le f ( f ，国) 咖( f ) ( 2 - 2 2 ) 其中v ( f ) = e f ( r 1 ) i ( x f ) 】 证明： 由于厂( z ) 非负有界，故1 ，( f ) 是关于f 的单调增函数( 2 2 2 ) 右端积分有定 义。 为证( 2 2 2 ) ，先设f ( ，c o ) = i n ( t ) i l ( ) ，其中b ，a 够，注意到a 呸，x ，r l 霹， 故( 2 。2 2 ) 左端： 1 5 湖北大学硕士学位论文 e 孝( x ( 彩) ，c o ) f ( q ) 】= e i ( c o ) 厶( x ( 缈) ) 厂( 7 7 ) = 吼( ) e 【厶( x ( 缈) ) 厂( ，7 ) 】= e 厶( ( 缈) ) 厂( 7 7 ) 】尸( 彳) 注意到，占( ，) 是确定性函数，故( 2 2 2 ) 右端： le f ( f ，c o ) d v ( t ) = 1 1 。 e i b ( t ) i a ( c o ) d v ( t ) = l 厶( ，) 吼( 缈) 咖( ，) = p ( 彳) l 厶 ) 咖( ，) = p ( a ) i bd v ( t ) = p ( a ) 1 ，( b ) = 尸( 彳) e 厂( 7 7 ) ，( z b ) 】 = 尸( 彳) e l ( x ( 缈) ) 厂( 7 7 ) 】 利用测度论中的典型方法可证对一般有界可测函数4 ( t ，国) ( 2 2 2 ) 仍成立。 由命题2 4 ，2 5 ，我们作一些有关分布函数的讨论。 若随机函数退化为确定性函数，即f ( ，c o ) = h ( t ) ，此时( 2 2 2 ) 为 科乃( x ) 厂( 7 7 ) 】= i rh (t)dv(t)(2-23) 若仍有x 与7 7 独立，则( 2 2 0 ) 为 删( 办( x ( 缈) ) ，7 7 ) = l 删( 乃( f ) ) ，7 7 ) 峨( f ) ( 2 - 2 4 ) 这是( 2 2 0 ) 的一个容易理解的形式 当日为可分离变量函数即( 2 2 2 ) e 办( x ) 厂( 7 7 ) 】= ie h ( t ) f ( r 1 ) d f x ( t ) ( 2 - 2 5 ) 由独立性可( 刁) - e h ( x ) = e f ( r 1 ) i kh ( t ) d f x ( t ) 由e f ( 刁) 0 时，即通常的数学期望计算公式 舶( x ) = ih (t)dfx(t)(2-26) 因此命题2 4 ，命题2 5 可视为经典计算公式( 2 2 6 ) 的推广。 i , - j - 论当x 与r l 并非相互独立时的情形也许更有启发性。鉴于x 与7 7 独立时有， v ( f ) = 可( 7 7 ) 只，( f ) ，当x 与7 7 非独立时v ( t ) = 可( 7 7 ) ，( ，) 仍具有分布函数最主要的性 质( 但不具正规性) ，因此此时我们有理由把v ( r ) 记为 v o ) = 髟( 7 7 ) ，( x r ) 全，y 叩( ，) ( 2 2 7 ) 1 6 第二章条件数学期望平滑性质的某些推广及应用 巧4 o ) 仍是x 的分布函数，但取值与随机变量厂( 7 7 ) 有关，把由分布嘭”( f ) 决定的期 望算子记为e l ( q ) ，即 e m g ( x ) = lg ( f ) 珥( f ) 当f ( f ，( - 0 ) 非退化时( 2 2 2 ) 可表示为 ( 2 - 2 8 ) e ，7 孝( x ( 国) ，彩) = 且e ( 孝o ，彩) ) z 曙功( f ) ( 2 - 2 9 ) ( 2 2 3 ) 可表示为 e l ( q ) 办( 彳) = f kh ( t ) d f x ：( ) ( ，) ( 2 - 3 0 ) 这就把通常数学期望计算公式( 2 2 6 ) 作了推广，而( 2 3 0 ) 的独立形式即( 2 - 2 6 ) 关于分布函数( 2 2 7 ) 我们可以象初等概率论中对足( x ) 的讨论一样，作更仔细的 探讨，限于时间与篇幅，这里不再展开了 在命题2 5 中，当f ( x ) = x ，x ( c o ) 关于晖非负可测时即 3 中引理5 1 ，但那里没有 给出完整的证明，该引理在生存分析中的鞅方法的核心定理的证明中有重要应用，由于 篇幅较长，这里不便引出，可参见 1 p 1 1 4 定理5 5 的证明过程。 进一步的思考：在命题2 5 中，本质上孝与7 7 是分离变量的形式，对于一般情形是 否有类似于命题2 4 的结果，即能否用与x 有关的分布得到明【( x ( 缈) ，c o ) ，7 7 】的积分表 达式 此外，易于证明在公式( 2 2 9 ) 中r 为n 维随机向量时仍成立，但当1 7 为随机序列 ( 刁，仍，巩，) 时，( 无穷维，此时日是泛函) 我们猜想( 2 - 2 0 ) 仍成立，即 若卣，色，六，与7 7 独立，则仍有 e h ( r l ，螽，色，磊，) 】2f r e h ( x c f f l ，彘，己，) 峨( x )( 2 - 3 1 ) 若( 2 3 1 ) 成立，则例2 2 中等式的证明将更为简单( 沿用原有记号) 取 h ( q ，卣，色，) = 卣+ 岛+ + 磊，则由( 2 - 3 1 ) ( 离散形式) ，n、 e ( 舌+ 参+ + 岛) = e l 色l 尸( 7 7 = ) = n e 善, p ( r l = ) = e 备e r l t = i女= lk = 1 1 7 湖北大学硕士学位论文 从本节的讨论可以看到，尽管条件数学期望从理论上讲已是完善的，但考虑到其各 种不同的应用背景，仍有许多有意义的问题值得作进一步研究与探讨。 1 8 第三章二指标随机过程的宽m a r k o v 性及判定 3 二指标随机过程的宽m a r k o v 性及判定 3 1 引言 二指标随机过程是多指标( 或称玎指标) 随机过程的代表，就象二元函数作为疗元 函数的代表一样，应当指出它不是初等概率论中的随机向量我们知道所谓随机过程是 指一个随机函数五( c o ) = x ( t ，国) ，当时间参数( 未必一定是时间) f 给定时它是一个随 机变量，当样本点缈q 给定时它是f 的函数，是一个一元函数，而二指标随机过程 x ( ，t 2 ，f o ) 的定义也是类似的，但当国固定时它是一个二元函数，因此其应用背景是显 然的，故对它的研究引起了许多作者的关注，使多指标随机过程己形成概率论中的重要 研究领域随机场理论 而所谓随机过程 z ，0 ) 具有m a r k o v 性，是指系统的运动具有的某种弱相关性， 其直观含义：置相对于历史条件的统计规律只与时间上最接近的x ，有关而与其它更早 的历史无关，俗称“在已知现在的条件下，将来与过去无关 对于单参数情形，由于时间参数集t = 0 ，+ o 。) 是全序集，“过去”和“将来”是明确 的，但对于时间参数集合是两参数或多参数集时，它是一个偏序集，情况要复杂得多， 针对于对“过去 ，“现在 ，“将来”的不同理解，产生了各种不同的m a r k o v 性定义， 如单点m a r k o v 性，1 - m a r k o v 性，2 - m a r k o v 性，l e v y m a r k o v 性等们。这些不同的定义 分别适应了各种不同背景应用的需要，在这一章2 中我们仍遵循一般m a r k o v 性的涵 义，定义了一类宽m a r k o v 性，在3 中我们将单参数情形下的一个判定定理【7 3 以相应的 形式建立到两参数的情形。作为应用我们利用该判定定理证明了一类两指标v o l t e r r a 型 随机积分方程的强解( 即轨道解) 具有2 所定义的宽m a r k o v 性 本章主要参考文献是 6 ， 7 ，【8 】 3 2 二指标随机过程宽m a r k o v 性的定义 记= o ，+ o o ) x 0 ，佃) 在r 2 中引入偏序，z l = ( z f l ) z