（运筹学与控制论专业论文）求解变分包含问题的近近点算法和近似束方法.pdf

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m a x i m a lm o n o t o n i c i t ym a p p i n gi nh i l b e r ts p a c e s w ee x t e n dt h er e s o l v e n to p e r a t o r t e c h n i q u eb ys t u d y i n gt h ep r o p e a i e so f ( 4 ，t 1 ) 一m a x i m a la c c r e t i v eo p e r a t o r sa n dg e n e r a l i z e t h ec o n c e p to fr e s o l v e n to p e r a t o r sa s s o c i a t e dw i 廿lt h ea - m a x i m a lm o n o t o n i c i t ym a p p i n g st o t h eo n ea s s o c i a t e d 谢t l l ( 么，r 1 ) 一m a x i m a la c c r e t i v eo p e r a t o r s b yu s i n gt h en e wr e s o l v e n t o p e r a t o rt e c h n i q u e ，w ep r o v et h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h es o l u t i o nt oa c l a s so f n o n l i n e a rv a t i a t i o n a li n c l u s i o np r o b l e m s a tt h ee n do ft h i sp a r t ，w ed i s c u s st h ep r o p e r t i e so f t h i sn e wr e s o l v e n to p e r a t o r n e x t ，i nt h es e c o n dp a r t , ag e n e r a lf r a m e w o r kf o rah y b r i dp r o x i m a lp o i n ta l g o r i t h m u s i n gt h en o t i o no f ( a ，r 1 ) 一m a x i m a la c c r e t i v ei sp r o p o s e d c o n v e r g e n c ea n a l y s i sf o rt h i s a l g o r i t h mi nt h ec o n t e x to fs o l v i n gac l a s so fn o n l i n e a rv a r i t i o n a li n c l u s i o np r o b l e m si sa l s o e x p l o r e d t h eo b t a i n e dr e s u l t sg e n e r a l i z et h ec o n c l u s i o n so fn o n l i n e a rv a r i a t i o n a li n c l u s i o n s i n 【1 】t ot h eo n ea s s o c i a t e d 谢t l l ( 彳，t 1 ) - m a x i m a la c c r e t i v eo p e r a t o r s i nt h ef i n a lp a r t , f o rs o l v i n gac l a s so fg e n e r a l i z e dv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e sp r o b l e m s ， a u x i l i a r yp r i n c i p l ei sg e n e r a l i z e d b yc o m b i n i n gt h eb u n d l em e t h o d sw i t ha u x i l i a r yp r i n c i p l e s ， w ep r o p o s ea na p p r o x i m a t eb u n d l e - t y p ea u x i l i a r yp r i n c i p l em e t h o df o r t h ec o n s i d e r e d p r o b l e mw h i c hi s t of i n d t h ez e r op o i n to ft h es u mo ft w oo p e r a t o r s ，o n ei sm o n o t o n i c s i n g l e v a l u e d , a n dt h eo t h e ri st h es u b d i f f e r e n t i a lo fal o ws e m ic o n t i n u o u s ，p r o p e r ，c o n v e x f u n c t i o n d u r i n gt h ec o n s t r u c t i o no ft h ea l g o r i t h m ，t h ec o n d i t i o ni m p o s e do nt h ea u x i l i a r y f u n c t i o ni sw e a k e n e d ，n o tn e c e s s a r i l ys t r o n g l yc o n v e x ，c o n v e xi se n o u g h f i n a l l y ，w ep r o v e t h ew e a kc o n v e r g e n c eo ft h ep r o p o s e da l g o r i t h m k e yw o r d s ：v a r i a t i o n a li n c l u s i o np r o b l e m ；h y b r i dp r o x i m a lp o i n ta l g o r i t h m ；( a ，1 1 ) m a x i m a l a c c r e t i v e ；b u n d l em e t h o d s i i i i i i i 1 3 一3 。4 。6 2 1 理论基础6 2 2 算法构造8 3 束方法在广义变分不等式中的应用1 l 3 1 束方法的由来与发展1 1 3 2 问题的产生。1 3 3 3 求解( g v p ) 的广义近似算法1 4 3 4 算法构造一l5 3 5 收敛性分析l7 结论2 5 参考文献2 6 攻读硕士学位期间发表学术论文情况3 0 致谢31 v 辽宁师范大学硕士研究生学位论文 引言 变分不等式和变分包含问题是一类重要的非线性问题，它们在数学、物理、最优化 和控制、非线性规划、经济、运输平衡和工程科学等学科中具有广泛应用变分不等式 始于一些力学问题的研究，早在1 9 3 3 年，s i g n o r i n i 研究一个线性弹性体和刚性体的 无摩擦接触问题时，就导出了被称为s i g n o r i n i 问题的变分不等式直到上世纪六十年 代，变分不等式方面才逐渐建立了严格的数学理论并形成了专门的数学学科近三十 年来，随着计算能力的快速提高和数值方法的深入发展，变分不等式的数值求解不仅 成为可能，而且可以模拟解决很多实际的问题，因而在最近几年众多学者对该问题深 入地进行了研究，见【1 9 】在变分不等式和变分包含问题的理论中，构造一种有效的数 值方法是很有意思和非常重要的，这些方法包括投影方法及其变形、文纳贺夫方程式、 附属原则技巧、下降法、牛顿法以及分解技巧这些方法的主要缺点是它们的收敛性分 析要求的条件比较严格，要求算子是强单调和l i p s c h i t z 连续的为了克服这个缺点， 投影方法被改进，这种改进后的方法被称为额外梯度和投影型方法这种方法的收敛 性要求基本映射r 必须是l i p s c h i t z 连续的，但这种假设也是比较苛刻的 1 9 9 8 年1 3 1 ，为了解决单调变分不等式，n o o r 提出了一种新的投影方法一修正投影方 法，它比二次投影法在每次迭代时要求的工作量少，这种新方法的收敛性分析只要求 基本算子( u n d e r l y i n go p e r a t o r ) 是单调的，这是收敛性分析上的一个飞跃 随着科学技术的发展，人们开始研究更加一般化的变分问题一广义变分不等式，对 该问题的求解，人们探讨出了众多方法，如m a r t i n e t 【l o 】和r o c k a f e l l a r 【】提出的迫近 点方法，e c k s t e i n 和b e r s t s e k a s l l 2 提出的分裂方法，n e s t e r o v 和n e m i r o v s k i i 1 3 3 4 1 ，提 出的内点法和辅助问题方法辅助问题方法是由c o h e n l l 5 , 1 6 , 1 7 1 首先提出的，是一种用于 解决优化问题与广义变分不等式问题的方法2 0 0 4 年该方法被h u e ，s t r o d i o t 和 n g u y e n 1 8 】推广到了解广义变分不等式的近似辅助问题方法 一种重要的广义变分不等式被称为涉及非线性项的混合变分不等式由于非线性 项的存在，因此不能通过改进的投影方法、文纳贺夫方程式及下降法来解混合变分不等 式特别地，当非线性项是正常的、凸的和下半连续时，则广义混合变分不等式就等价 于不动点和预解方程问题但这种方法中，预解算子的计算是非常困难的，为了解决这 一问题，附属原则技巧被推广g l o w i n s k i ，l i o n s 和t r e m o l i e r e 应用推广后的技巧研 究混合变分不等式的解的存在性，这种技巧此后也被应用在构造和分析各种迭代算法 中在解决各种类型的变分不等式时，推广的附属原则技巧也存在缺点，它要求算子 或者是强单调的或者是上强制的值得注意的是上强制比强单调弱，但比单调强 求解变分包含问题的混合迫近点算法和近似柬方法 2 0 0 0 年【l9 1 ，n o o r 应用附属原则技巧提出一种迭代方法，这种迭代方法对部分松强 单调算子是收敛的( 松强单调比上强制弱) 随后在2 0 0 1 年【2 0 】，n o o r 为了求解广义 变分不等式，再次应用附属原则技巧提出一类预校正法，证明了预校正算法产生的迭 代序列的收敛性然而，n o o r 的证明并不完美，因此如何应用预校正迭代算法解广义 混合拟变分不等式仍是个开问题此后，d i n g 通过应用定义和附属变分不等式技巧， 证明了求解非线性混合拟变分不等式的预校正迭代算法的收敛性，弥补了这一空缺 随着迭代算法的发展，2 0 0 8 年【2 l ，r a mu v e r m a 为解包含问题0 m ( x ) ，提出了 一种混合版本的e s k s t a i n - b e r t s e k a s 迫近点算法被称为混合迫近点算法混合迫近点 算法是基于彳一极大单调和( 彳，t 1 ) 一极大单调的定义提出的，r a mu v e r m a 在文献【2 】中 证明了算法产生的序列的收敛性 本文的第一章和第二章，我们通过介绍b a n a c h 空间中的一类新的( 彳， 1 ) 一极大增 生算子，进一步将预解算子技巧进行了推广我们首先引入了b a n a c h 空间中的一类新 的一般的增生算子，( 4 ， 1 ) 一极大增生算子，接下来证明了一类非线性包含问题的解的 存在性和唯一性，为求解这类问题的近似解，我们给出了一种混合迫近点算法，并进 行了算法的收敛性分析 在第三章中，我们推广了解广义变分不等式的近似辅助问题方法，将非光滑优化 中的束方法思想与解变分不等式的辅助问题方法相结合，提出了一种解广义变分不等式 的近似束型辅助问题方法，其中对辅助函数的要求由原来的强凸减弱为凸 x 间的偶对，2 彳为 0 这里q l 是一个常数特别地，以是一般正则对偶映射当x 是严格凸时，是单 值映射 令m ：x - - 2 j 是x 上的一个极值映射， 缸，y ) l yem ( x ) 定义1 1 令m ：x _ 2 j 是一个极值映射， 称为： 我们可以定义m 的图，它是集合 1 r i ：x x x 是另外一个映射m 被 ( i ) ( ，1 1 ) 一强增生，如果存在一个非负常数，使得 似一v ，白 ，v 渤，一肛一v l | g ，vg ，材) ，( v ，v ) eg r a p h m ( i i ) ( m ，v 1 ) 一松增生，如果存在一个非负常数m 使得 ( 材一v $ 9 h 0 ，v 泐( 一所) 肛一h 1 9 ，v0 ，”) ，v ) e g r a p h m ( i i i ) ( 1 , t i ) 一强增生，如果 ( 甜一1 ，j q o ( u ，) ) ) i l u - v 叮，v ( u ，”+ ) ，( v ，v ) g r a p h m ( i v ) 1 r i l i p s c h i t z 连续，如果存在一个非负常数t 使得 i h ( 甜，v ) 0 t i b v l i ， v u ，v x 定义1 2 令m ：x 一2 彳是一个极值映射m 被称为： ( i ) ( ，) 一强增生，如果存在一个非负常数，- 使得 ( 甜，j q ( u 1 ，) ) ；：，i i 材- , 1 1 9 ，v ( u ，材) ，( ，v ) e g r a p h m ( ii ) ( 脚) 一松增生，如果存在一个非负常数m 使得 求解变分包含问题的混合迫近点算法和近似束方法 ( “一1 ，j q ( u 一1 ，) ) ( - r e ) f l u - v l l 9 ，v ( u ，z ，) ，( v ， ，) e g r a p h m 注1 1 如果令n ( u ，v ) = ”一1 ，则定义1 1 简化为定义1 2 中的( r ) 一强增生和m 一 松增生的定义 定义1 3 令a ：x 寸x 是( ，t 1 ) 一强增生的，m ：x 一2 x 被称作( 4 ，t 1 ) 一极大增生 的，如果 ( i ) m 是( m ，t 1 ) 一松增生 ( i i ) r ( a + 彬) = x ，对所有的p 0 定义1 4 令a ：x x 是( ，) 一强增生的，m ：x 一2 z 被称作a m 一极大增生的， 如果 ( i ) m 是( 聊) 一松增生的 ( i i ) r ( a + p m ) = x ，对所有的p 0 注1 2 如果令n ( u ，) = “一v ，则定义1 2 简化为彳一极大增生的定义 1 2 预解算子 命题1 1 令a ：x - - - - ) x 是( ，n ) 一强增生的， 如果， p 珑，则算子0 + p m ) - 1 是单值映射 证明：令”x ，x ，y 0 + p m f l ，则 土 一彳g ) ) m g ) ， p 因为m 是( 么，”) 一极大增生的，所以有 m ：x 寸2 x 是( a ，1 1 ) 一极大增生的 1 ( u 一彳) ) m ) ， p ( 三。一彳( x ) ) 一去 一彳她“g ，y ) ) ) 卜m ) i k y n pp 。” 即 ( 彳g ) 一彳) ，“g ，y ) ) ) ( m p ) l x - y 卜 由于彳是( ，1 1 ) 一强增生的，所以 p 所，因此 ( 1 2 ) 口 大学硕士研究生学位论文 定义1 5 令彳：x 寸x 是( r , t i ) 一强增生的，m ：x - - 2 x 是( 彳，t 1 ) 一极大增生的 则广义预解算子r 智：x j x 被定义为 r 等0 ) = 0 + p m ) 。1 0 ) ， 材x 光滑的x 的模是函数弘： 0 ，) 被定义为 斛( f ) = s u p + y l l + i | z y i i _ 1 = 0 ，使得 p x o ) c t g ，q 1 注意如果x 是一致光滑的，则是单值的 定理1 1 令x 是一个实的一致光滑的b a n a c h 空间则x 是q 一致光滑的充分 必要条件是存在一个常数c 。 0 ，使得对所有的x ，y x ， i i x + y l l 9 9 + g ( 弘g + q 9 求解变分包含问题的混合迫近点算法和近似束方法 2 混合迫近点算法 2 1 理论基础 令m ：x 一2 x 是一个极值映射我们考虑下面的问题，寻找”x ，使得 0 m 0 ) ( 2 1 ) 引理2 1x 是实的b a n a c h 空间，令a ：xj x 是( ，- ，n ) 一强增生的，m ：xj 2 j 是( 彳，t 1 ) 一极大增生的，并且令t 1 ：xxx x 是( c ) 一l i p s c h i t z 连续的则和m 相关的 广义预解算子 r 等0 ) = ( 彳+ p m ) - 1 0 ) ，甜x 是( 生) 一l i p s c h i t z 连续的，( g 1 ) ，一p m 证明：令材，1 ，是彳中任意给定的点，则 r p , u a m ) = ( 彳+ p 膨) - 1 0 ) ，尺智o ) = 0 + p m ) 。1 0 ) 由于m 是( a ，n ) 一极大增生，所以m 是如，t 1 ) 一松增生的，并且有 鱼二竺筮堕颦幽，6 伍搿。) ，r 嚣( v 勘( - 聊壮劣。) 一r 翟耶， 即 ( ”一v ，6 伍等0 ) ，尺智( v 勘( 彳r 翟0 ) 一彳r 智) ，h 伍智0 ) ，尺智( v 协 一酬陋智0 ) 一r 描删g 根据c a u c h y s c h w a r z 不等式， 一v m 伍智 ) 一只智d ) 】j 州( ，一p m l r m ，( u ) 一r o 智( v t 卜 因此 盼( 甜) 一r 智啡品1 1 口 注2 1 如果令t 1 0 ，1 ，) = “一v ，则引理2 1 简化为引理2 2 引理2 2 令x 是b a n a c h 空间，a ：x x 是) 一强增生的，m ：x 一2 x 是0 ) 一 极大增生的则和m 相关的广义预解算子硭亿) = 0 + 附1 ， z ，ex 是 (! ) 一l i p s c h i t z 连续的，( o o 是一个常数 引理2 3x 是实的b a n a c h 空间，令a ：x z 是( ，1 1 ) 一强增生的，m ：x 一2 z 是( 么，1 1 ) 一极大增生的，并且令t 1 ：x x 专x 是( c ) 一l i p s c h i t z 连续的，则 瞅，( 彳 ”一尺智。删等v | i ，v 扰，v x 进一步我们有 r 搿。q ”一r 翔( 彳。她q 一，焉 v n v z ，1 ，x 证明：令u ，是x 中任葸给定的点，即 r o m , 2 0 ( ) ) = 0 + p m ) - 1 0 ( ) ) ，r ，0 ( v ) ) = 0 + p m ) - 1 0 ( v ) ) 则 ( 古o o ) 一彳月，a o ) ) ) 一古o o ) 一彳r z ，( 彳( v ) 崂j q 1 q z ，o q ) ) ，尺，o ( v ) 勘 ( _ 肌川尺z ，( 彳0 ) ) 一r ，( 彳( v 叫， 也就是 ( 彳0 ) 一彳( v ) ，。h 伍甜0 0 她尺甜( 彳o ) ) ( a r 。m ，一a l ( 彳0 ”一a r 。m 一a l ( 彳( v 溉，。( n ( c y ( 彳( ) ) ，r 智( 彳( 1 ，) ) ) ) 一( p m ) i r 2 ( 彳( “) ) 一只z ，( 彳( v ) ) 犷 根据c a u c h y s c h w a r z 不等式， l i 彳( “) 一4 ( v ) 1 ( r ，( 彳( “) ) ，r , m 2 ( a ( v ) ) ) 旷一( ，一o m ) l r 2 ( m ( 材) ) 一尺z ，( 彳( v ) ) 因为彳是( j ) 一l i p s c h i t z 连续并且”是( 下) 一l i p s c h i t z 连续的，因此 求解变分包含问题的混合迫近点算法和近似束方法 忙智( 撕) ) 一尺搿( 印) ) | | 焉v j f 进一步， ( r 。m ，一a l ( 么( 材) ) 一r 留( 彳( v ) ) ，( ”一1 ，) ) 0 r ，( 彳( ”) ) 一r 留( 彳( ，) ) l i p ，( “一v ) 0 鬲$ tq - i v n 口 注2 3 如果令n ( u - v ) = u - - v ，则引理2 3 简化为引理2 4 引理2 4x 是实的b a n a c h 空间，令a ：x 专x 是( ，) 一强增生的和( s ) 一l i p s c h i t z 连续的，m ：x _ 2 z 是彳一极大增生的，则 慨( 彳o ”一r 络( 彳去 v o ， 因此有 ( r 乜o o ) ) 一r 乜o o 姑o v i 专磊陋一v ， v “，v 工 2 2 算法构造 定理2 3x 是一个实的b a n a c h 空间，令彳：z 寸x 是( r , v 1 ) 一强增生和 ( j ) 一l i p s c h i t z 连续的，m ：j 一2 工是( a ，q ) 一极大增生的，q ：x xx x 是 1 3 c ) 一l i p s c h i t z 连续的对任意选定的初始点x o x ，由迭代 石翎= ( 1 一仅i ) + a t y ( 七o ) 产生序列 ) ，其中 y 满足 l y 一尺三( 彳( z ) ) 0 6 。i l y 一工j l ， 这里r 墨= ( 4 + p 。m ) ， 伐七) p t ) 0 ，o o ) 是数列，使得仅= ! 鳃仪t ，0 l t 1 ，p t 个p 如果( 2 1 ) 有解，并且( ( 1 一a ) - + a ( 1 - c t ) g 丛i c q o lq ( 生) - ) 吉 o 和定理1 1 中的一样 证明：假设x 是肘的一个零点由定理2 1 ，x 是r 墨( 彳) 的不动点对所有的七0 ， 因而有 z “1 - ( 1 - a i ) x + 0 l i r 墨( 彳( x ) ) 我们有， l k + l x 0 = l l ( 1 一a 。) x + a 。r 鬈墨( 彳( x 。) ) 一【( 1 一a 。) x + a 。尺墨( 么( x ) ) 】i g ( 矿一x ) ) 因为= ( 1 一a 女) + c t 女y 8 ，我们有x 肿1 一x = 仅i ( y 。一) 于是 i k “i _ z k + l i - - t l o - a 。) x + a 。j ，一【( 1 一a 。) x + a 。尺三( 彳( x ) ) 】| | = k ( y - g y , 3 ( a ( x ) ) ) 0 伍。6 。l i x 一x 0 ， 并且 妒“一x z “1 一x i + l l x 川一z “10 i k + i x 0 + a 。6 。0 j ，一x l 0 z + l x l + 6 。l 卜+ l 一工i i + 6 。i 卜- - x * l l 得到x k + l - - x * 百o k + s k i l x k - - x * ， 这里 。l i m 。o l k 一+ 6 6 。k 一= 。l i 。r a 。= ( ( 1 - c t ) q + ( x ( 1 - c t ) q + 。t ( 1 - c t ) g ；s l q p - ，l i r 。矿、，s tq p - m i ) 9 ) 圭贝。当 k _ 时，jx 。令y 是( 2 1 ) 的另一个解，类似于上面的结论，我们有 u y - x l l p l l y 一x i i ，p = 。l i + m 。o 。k 一+ 6 s 。k 一， 因为0 p 1 ，所以有y = x ，i 玉i d ：x 是问题( 2 1 ) 的唯一解 口 定理2 4x 是一个实的b a n a c h 空间，令a ：x _ x 是( ，) 一强增生和 ( s ) - l i p s c h i t z 连续的，m ：x 一2 x 是( a ) 一极大增生的，r l ：x xx x 是 g ) 一l i p s c h i t z 连续的对任意选定的初始点x o x ，由迭代 x = ( 1 一a t ) + 0 【女y ( 七0 ) 产生的序列 ) ， j ，) 满足 炒y _ r m m ( 彳( x 侧6 。杪一x l i ， 求解变分包含问题的混合迫近点算法和近似束方法 这里r ，一= ( 4 + p 。m ) 一， 仅i ) p 。 6 。) 【o ，) 是数列，使得主6 。 o ，a = 。l i 。r a 。a 。， 0 【t ) 当v 是单值映射并且m 。) 。“是远离零点的有界序列时，这种方法在文献中被集中研究 过上面提到的辅助问题方法就是要产生一个序列m 。k “，对给定的“，“州是 ( o p ) 的唯一解然而当叩是一个非光滑凸函数时，( o p ) 很难求解为了克服这种 困难，一些作者提出利用一个相对简单的函数来代替q ，见4 8 ，4 9 ，5 0 j 人们用下面这个 凸函数( p 替代( o p ) 中的叩， p p ，并且q 。与p ( 3 2 ) 其中与表示m o s c o 收敛例如，当9 = q ，u = 仁h i g ， ) o ，江1 ，朋) ，其中 ( x ) ：日专r 是连续凸函数，此时序列b j 可以取成 q ( ) = 6 ( ，t k ) ， 肘 i1l 其中6 ( x ，气) = 卅1 0 9 ( i 山 专，一( x ) ) ，v x h 敝) 序列是一个严格递增到+ 的正 t = ll 厶j 的障碍参数序列文献【5 1 1 证明了这个对数障碍函数序列的定义是合理的并且它满足性 质( 3 2 ) 本章的目的是利用近似函数值，借助束方法思想构造一种对9 的下近似，并研究 解决问题( g v i p ) 的广义近似算法 3 3 求解( g v l p ) 的广义近似算法 近似算法的一般框架：给定u