（概率论与数理统计专业论文）多值随机微分方程的解的指数可积性.pdf

摘要 对于一般的随机微分方程，若漂移系数及扩散系数为l i p s c l l i t z 连续函数，则 该方程的唯一解是平方指数可积的。 本论文主要考虑带有一个多值极大单调算子的多值随机微分方程。多值随 机微分方程的主要特点是方程的系数不再是单值函数，而是包含了一个多值算 子a 。也就是说，a ( x ( t ) ) 不再是一个单点值，而是一个集合。其中最典型、最重 要的多值极大单调算子是凸函数的下微分算子。c 6 p a 给出了此类方程解的定义， 并证明了解的存在唯一性。正是由于算子a 的多值性，多值随机微分方程的解不 再是单一的过程，而是一对连续的适应过程。 本文利用多值极大单调算子和多值随机微分方程的已有性质，应用i t o 公式 和b d g 不等式，对于带有凸函数的下微分算子的多值随机微分方程，证明了这 类方程的解也具有平方指数可积性。 关键词：多值随机微分方程；多值极大单调算子；平方指数可积性 a b s t r a c t a sw ek n o w n ，t h eu n i q u es o l u t i o no fa no r d i n a r ys t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n w i t hl i p s c h i t zc o e f f i c i e n t si ss q u a r ee x p o n e n t i a li n t e g r a b l e i nt h i sp a p e r , w ec o n s i d e rt h em u l t i v a l v e ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t ha m u l t i v a l v e dm a x i m a lm o n o t o n eo p e r a t o ra t h ef e a t u r eo ft h em u l t i v a l u e ds t o c h a s t i c d i f f e r e n t i a le q u a t i o n si st h a tt h ec o e f f i c i e n ti sn ol o n g e ras i n g l e v a l u e df u n c t i o n ，b u t t h e e q u a t i o n i n c l u d e sam u l t i - v a l u e do p e r a t o ra f o r m a l l y , a ( x ( o ) i sn ol o n g e ra s i n g l e v a l u e ，b u tas e t a n dt h em o s tt y p i c a la n dm o s ti m p o r t a n te x a m p l e so ft h em u l t i - v a l u e d m a x i m a lm o n o t o n eo p e r a t o r sa r et h es u b d i f f e r e n t i a l so fc o n v e xf u n c t i o n s c 6 p ah a d d e f i n e dt h es o l u t i o no ft h ee q u a t i o n ，a n dp r o v e dt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s s b e c a u s e o ft h em u l t i - v a l u e do p e r a t o ra ，t h es o l u t i o ni sn ol o n g e ra s i n g l ep r o c e s s ，b u tap a i ro f t h ea d a p t e d ，c o n t i n u e p r o c e s s e s o nt h eb a s eo fs o m ef a c t sa b o u tt h em a x i m a lm o n o t o n eo p e r a t o r sa n dm u l t i v a l u e d s t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，u s i n gi t o - f o r m u l aa n db d g i n e q u a l i t y , w ea l s oo b r a i nt h es q u a r ee x p o n e n t i a li n t e g r a b i l i t yo ft h es o l u t i o n so ft h em u l t i v a l u e ds t o c h a s t i c d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t ht h es u b d i f f e r e n t i a l so fc o n v e xf u n c t i o n s 关键词：m u l t i v a l v e ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n m u l t i v a l v e dm a x i m a lm o n o t o n eo p e r a t o r s q u a r ee x p o n e n t i a li n t e g r a b i l i t y 论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研 究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个 人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：召锄草淳 汐舻年手月坪日 学位论文使用授权声明 本人完全了解中山大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版，有权将学 位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆、院系资料室被查 阅，有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索，可以采用复印、缩印或其 他方法保存学位论文。 学位论文作者签名： 日期：，9 年歹月 獬i 琴 , g h 新虢删叫 日期：年月 日 第一章引言 多值随机微分方程源于金融控制领域，在最近二十年的时间里，越来越受 到研究人员的关注。此类方程具有如下形式： d x ( t ) 曲坐竹( x ( t ) ) d w o ) - a ( 飘f ) 渺，t e 【o j 】 ( 1 1 ) ix ( o ) = x o d ( a ) ， 其中a 是一多值极大单调算子。 它的主要特点在于方程的系数不再是单值函数，而是包含了一个多值算子。 由于多值算子的存在，很多已有的随机分析方法将失效，于是人们需要寻找新 的研究方法。首先回顾人们关于多值随机微分方程的主要研究成果。 1 9 8 2 年，k f e e 【l 】在某种特殊情况下首次讨论了多值随机微分方程的解的存 在唯一性。 1 9 8 7 年，l 6 p i n g l e 和m a r i o s 【1 5 i 正明了在一维情形下，对一个特殊的多值算 子一凸函数的下微分算子a = 却，若系数满足l i p s c h i t z 条件，则方程( 1 1 ) 存在唯 一解。 1 9 9 4 年，b e n s o u s s a n 和r a s c a n u 【1 4 】证明了任意有限维情形下，对带有凸函 数的下微分算子a = 却的随机微分方程，方程解的存在唯一性。 1 9 9 5 年，c 6 p a 【6 】在文章中指出，在有限维的情形下，对一般的多值极大单 调算子，若其扩散系数和飘移系数均满足l i p s c h i t z 条件，则该多值随机微分方程 存在唯一的强解。 2 0 0 7 年，z h a n g 【1 2 】又把c 6 p a 的结果推广到无穷维，并把漂移系数的条件扩 展到单调条件。 在过去的研究成果中可以看到，最典型、最重要的多值极大单调算子是恰 当凸函数的下微分算子a = a 妒。关于带有闭凸函数的下微分算子的多值随机微 分方程的研究刁 0 ，存在常数口 0 使得 e e 删1 纠 o o ， 其q 丁l l x i i r = m a x o r 丁隅i 。 本文的目的正是将上述性质推广到具有特殊多值极大单调算子的多值随机 微分方程，证明此类方程解也具有平方指数可积性。 文章第二部分介绍多值极大单调算子的基本定义及性质，这些性质对结果 的推导非常关键。多值极大单调算子最典型、最重要的例子是凸函数的下微分 算子。我们相应地给出此类算子的性质。 第三部分给出多值随机微分方程解的定义以及解的重要性质。 第四部分叙述本文的主要结果，即多值随机微分方程解的平方指数可积 性。 c 印a 【6 】在证明其解的存在唯一性时，附加了 i n t ( d ( a ) ) o 的条件，本论文均做此假设。 3 第二章多值极大单调算子 2 1 一般多值极大单调算子 为叙述我们的结果，我们先介绍一些概念和记号设a 是r m 到r 卅的多值算子， 定义： d ( a ) ：= x r m ：a ( 力o ， 砌( a ) ：= u x e d ( a ) a ( x ) 。 g r ( a ) ：= o l y ) 珉p m ：x r m ，y a ( 曲 ， 定y a 一1 为：y a 一1 ( 功工a o 哆。 定义2 1 1 1 2 ，3 】( 1 ) 多值算子a 称为单- i # t 的。若 l y 2 ，x l x 2 ) 0 ，v ( x l ，y 0 ，( x 2 ，y 2 ) g r ( a ) ( 2 ) 多值单调算子称为极大的。若 ( x l ，y 1 ) g r ( a ) 兮 ( y l 一毙，x l x 2 ) 0 ，v ( x 2 ，y 2 ) g ，似) 后面我们将要用到多值极大单调算子的一些性质，我们把它们收集在下 面这些性质见文献【2 ，3 ，4 】。由于这些性质对我们以后的推导非常关键，而文 献 3 】在国内又不易找到，为读者方便起见我们给出它们的详细证明 命题2 i 2 1 2 ( 1 ) 设a 是舭到r 卅的单值单调算予，若a 关于强拓扑下的r 卅到弱拓 扑下的r 卅是连续的，则a 是极大单调的。 ( 2 ) 设a 是 到r 小的多值单调算子，则a 是极大的，当且仅当l + a 是满射。 命题2 1 3 1 3 ( 1 ) 对任意j d 似) ，a ( 功为r m 的闭凸子集。特别地，存在唯一一 点) ，a ( 曲满, l l y l = i n f i z l ：z a ( 力 ，a 。( 力：= y 称为a 的极小截口且有 x d 似) 铮i a 。( 硎 0 ，a ( 劝a ( 以( 曲) 证明：( a ) 因为 a ( 工) = n h a ( 力i o l 戗v ) g ，( a ) 且x 是固定的，( y ，v ) 取遍g r ( a ) ，因而 u a ( 力i = 似 ( ) ，1 ) 一a a ( ) ，2 ) ，厶i ) 一以2 ) ) + a0a ( y i ) 一a ( y 2 ) 0 2 6 | | 4 ( ) ，1 ) 一a 慨) 1 1 2 0 从而a 足单调的，且由命题( 2 1 2 ) 知山是极大的。 ( d ) 由( a ) 知坩( 曲唯一存在。对上d t a ) ，有 l la - ( 耐一r ( 砷1 1 2 = l l ( 砷旷+ l ia 。( 砷1 1 2 2 以 ( 曲，a 。) = 一1 ia j 0 2 + | | a 。( 砷f f 2 2 ( a j ，a 。一a | ) 由a 是单调的，a 。( 曲 ( 工) 和a ，l ( ) ，) ea ( j a ) 我们有 l ( a 。，a 。( 砷一山( 呻) 2 主鼻一 o ) ，a 。一a i ( 曲) 0 因而 0a t 曲一a 。o 。1 1 2 1 1a 。1 1 2 0a 0 2( 2 5 ) 对工d ( ) ，我们有 l l 工一 ( 神 | = 0a a ( x ) i 】 0a 。( 工) 0 从而对任意工d ( ) ，有l i m a wj a x = 算。 ( e ) 若 = z a a ( 柚且且( 神 ( ( 砷) ， 则) ，= a j 是方程y a ( x 一埘的解。反之，方程yea ( x a y ) 的解是y = a - 。 事实上， 工工一a y 十 a ( 工一a y ) ， 由j a x ) 的定义，有x 一毋= ( 神。 则y = j 扛一 ( 砷) = a a ( x ) 因而有，= a p + l 是方程) ，ea ( x 一( + u ) y ) = a ( x a y 一埘) 的解。 所以y a p ( x - l y ) 再应用到y o s i d a 逼吼。，足极大单调的。 得证y = “h ( 曲 由不等式( 2 5 ) 。一a 。( 砷1 1 2 0 。( 曲2 一 d | | 2 ， 第二章多值极大单调算子 7 将a 替换为a ，再由九的单值性，即 4 ( 力= 桦( 力 有 0a _ 印( 曲一色( 功2 = 0 ( ) a ( 工) 一九( 工) 0 2 i f ( 工) 0 2 一i l 心) ( 工) 1 1 2 所以i i 色2 是小于i la 。( 曲1 1 2 的一个上升的实数列。 设其收敛到实数a ，则有 舰i l a _ 印( 力一a 弘 ) 1 1 2 t r 一口= 0 则 是收敛到r m 中某数y 的c a u c h y 列。 因为a ( j ) a ( 乃( 力) ，且a 的图是闭的。所以1 ，a ( 曲。 ( f ) 用反证法证明结论：对x 譬d ( a ) ，有( 力lt 。 假设结论不成立。我们可以选取有界子列i la a ) ，有 l n i n l t o , , a 厶) 2 弘 其中而d ( a ) 。 因此 l i m ( 而一，a 厶( 而) 一a 厶( ) ) = 0 n , m t 。 由a 的极大单调性，对v ( u ，们g r ( a ) ，有 j 一h ，a ( 砀) 一 ，) 0 ， 两边取极限， ( x 一“，y 一1 ，) 0 从而) ，a ( 功，特别地，工d ( a ) 。矛盾。 证毕。 8 命题2 1 4 4 见，7 )设a 是 到 的多值极大单调算子，则对任意的工d 似) ， 存在x 的邻域v ，使得 u a ( y ) y e y 是 中的有界集。 最后给出一个多值极大单调算子的例子( 见脚) ，方便读者理解。 例2 1 5 设d 是r m 的一个闭凸子集，t o 是d 的示性函数，定义为 = 我台 则t o 的下微分算子如下 o l o ( x ) ：= i ) ，r m ：l o ( x ) t o ( z ) + x z ，) ，) ，y z 0 f 0 ，若工譬0 ， 2 汜耋二主 其中人工是在x 处的法锥。显然，a j 是多值的，而且a 易是一个多值极大单调算子。 2 2 凸函数的下微分算子 多值极大单调算子最典型、最重要的例子是凸函数的下微分算子。更确切 地说，我们有下面的事实。设妒为r 上的恰当凸函数，即妒为从职到( 一o o ，+ 】的 凸函数，满足妒+ 且 似五工+ ( 1 一1 ) y ) 却( 曲+ ( 1 一a ) 妒( y ) ，v a ( 0 ，1 ) 妒称为下半连续( 1 s c ) ，若 l i m i n f o ( y ) 妒( 功，y x r m y _ j 对下半连续的恰当凸函数，定义其有效定义域为 d ( 驴) ：= ( x r , n ：妒( 力 + c ， y x r m 证明：记 k ( 妒) = k l 】r m r 1 ：妒( 力1 1 设x o r m 和，r 1 ，使得 认曲 r 由妒在r m 上是下半连续可知，存在x o 的开邻域v ( x o ) ，使得对v x v ( x o ) ，有 妒( 工) 厂 因此k ( 妒) 是r m r 1 上的闭凸集。 由分离定理，存在闭的超平面 hcr m r 1 分离k ( 妒) 和y ( x o ) ( 一o o ，r ) 设 h = 【ta 】r m r 1 ： x ，y ) + a = 口， 由 x o ( 一o o ，厂) c 【x ，a 】r ? r 1 和 似，y ) + 五 a ， 有 a ， v x ，a 】k ( 妒) 1 0 因此存在y ”和c r 1 ，使得 证毕。 妒( 曲( 五) ，) + c ， y x r 命题2 2 2 2 ，3 】设妒为”上的下半连续的恰当凸函数，则d ( 却) 为d ( 妒) 的稠密 子集。 证明：设x d ( 却) ，翔= 以工为方程 一曲+ , t o 妒( x a ) 弓0 的解。 由却的定义 妒( 勘) 妒( 功- 6 1 在方程( 2 6 ) 两边乘以翔一x ，有 0 翔一x1 1 2 = 一a ( 勘一五却( 蝴) ) a ( a 妒( 曲一却( 砀) ) 又由命题( 2 2 1 ) ，妒( 工) ( 工，r ) + p ，r ，1 r 1 从而， l ，t i m 勘= 工 由勋d ( 却) 可得， d ( 却) = d ( 妒) ( 2 6 ) 1 1 第三章多值随机微分方程 3 1 方程解的定义 我们的基本概率空间q 将取为【0 ，刀到彬的连续函数空间是，q 一般点记 为u 。令 w ( 氏0 2 ) ：= t o ( t ) p 表示标准w i e n e r 钡, l j 度，在此测度下t 卜w ( 力为从0 出发的标准b r o w n 运动。兵表q 上 的自然矿一代数流，即 巧：= n 纠矿( w ( v ) ，1 ， 0 ，c 2 o ，对任 意0 s t 0 ，使得 b ( a ，c 1 ) ct n t ( d ( a ) ) ， 令 c 2 ：= s u p iyi ：y a ( 工) ，工b ( a ，c 1 ) 由命题( 2 3 ) ，有0 c 2 o o i 主i d g ( t ) a ( f ( t ) ) d t 的定义，有 f ( h ) 一a c l e ，a 。( d + c l e ) d u ) 一( c 2if ( u ) 一ai + c l c 2 ) d u 设0 s = t o f l t p 2 t ， 第三章多值随机微分方程1 3 有 ( g ( + 1 ) 一g ( t i ) ，e ) = ( f ( u ) 一a t i e ，a 。( 口+ c l e ) d u ) 一( c 2lf ( h ) 一al + c l c 2 ) d u 设o s = t o ，l t p = f 是 5 ，力的一个分法。 则 作和可得 町1 f 1 ( 卿m 删蝴 晰1 一m m ld u + c 2 ( t i + l - - f i ) ig ( t i + 1 ) 一g ( 功l = s u p ：蚓e = 1 ，e r m c - 1f( ，( “) 一口，扣( “) ) 懈了1r 1if ( 沪口i 幽+ c 2 ( “l 叫 莩c - 1r 脚) - 吼据( 呦+ q 百1r if ( 比) - 口i 幽+ q ( 卜d f = 1 u ，f 由于0 s = t o t l t p = f 是k f 】的任一分法，从而 即 l g l ；f 跗) 吆把( 妫+ c 2f 帆卅批_ c 1 q 。叫 ， m ) 吧粥( 州c ( g ) 一k ( g ) ) 一q j c 帆旷训d u - c l c 2 ( f 叫 证毕。 “ r 工 引理3 2 2 1 13 p r o p 1 1 5 ，p 3 3 2 若m 为连续局部鞅m 的指数鞅 】2 掣( 加产印 m 一等【m 明： ， g ：6 - b e 5 1 m , m * 1 o o ，则6 ( 加是一致可积鞅，且皿融盯，】 。 证明：由e 陆m 加w 】 ， 可得对n 。o ，有 b ( m i 。) “ ， r h b d g 不等式，有 e m 特别地，m 是一致可积鞅。 又 已 虬= 目戚f m 加- ， 由c a u c h y s c h w a r z 不等式有 b 【 】e 似一b m * 】 因为b 【s ( 。】l ，所以吼亭 眦州k 】 要证明b 【f m * 】 o 使得 其畔 l l x l l r = m a x o f j 0 + 印r 瞰s ) - 如) i t - l d s + c p ( p 1 ) r 瞰s ) 一鼬扩2 如 令蚱：= s u p o 饩，i x ( s ) 一手( s ) l ，则 e 矽印f e 节1 出+ 印( p 1 ) f 0 e 节2 出 ，0 + s o , l y 。i x ( h f ( h ) ) i 尹2 ( x ( h ) 一手( “) ，。( x ( h ) ) d ，( ) i 】 c p ：础f 1 d s + c p 、p u 础f 2 d s + 叫ki x ( s ) - 手( s ) l p ) 5 ( 伽叫炉z 卅 印f e 节1 如+ 印p 1 ) f o e 节2 出+ 三e 矽 凼向 e y ：c p f e y - l d s + c p ( p t ) r e 节2 以 下面用归纳法证明存在常数c 使得 e f ( n ! ) f ，l 当n = 2 时，r hc e p a 6 1 已得结论知 e ls u pi x ( s ) 1 2 i c ( 力， o s c , t 。 从而 e s u pi x ( s ) 一f ( s ) 1 2 1 c ( f ) ， 。o s k t 。 因而有 e 蜉c 2 2 t 2 1 8 对n = l ，由 珏【瑚( e 砰】) 可得结论。 设当n = k l ，七时，该不等式成立。则 e 砰+ 1 + 1 ( 七+ 1 ) f ( 七! ) ，d s + c ( 七+ 1 ) 七f ( ( 忌一1 ) ! ) ，一1 d s j 0j o c k + 1 ( 七! ) 产+ 1 + c ( 七+ 1 ) ( ( 七一1 ) ! ) 产 + 1 ( k g 7 + 1 + c ( 七+ 1 ) ( ( 七一1 ) ! ) 产 c “1 ( i | 【：! ) 产+ 1 + 2 c t ( k ( k + 1 ) ) ( ( 七一1 ) ! ) 产 当t 1 时，结论成立。 当t l 时，取c 足够大，使得c t 4 ，则该结论成立。 综上所述，存在常数c 使得 e r , c ”( ，l ! ) ， 因此 球埘川+ 喜孚 l + 耋妒p 哮 打= l 由而! 一讵磊( 妒 凹+ 1 c 2 n + 2 p + 2 【( 2 ，l + 2 ) ! 】 ，l ! 叫+ 1 c 2 t 2 ( 2 n + 2 ) ( 2 n + 1 ) 】圭 l i r a 二_ ：一= l l m 二一 n - - ，o o ( y + 1 ) ! a ? c 2 一t 2 ，【( 2 ，z ) ! 】 n - - - + o o 仍+ 1 ) = 4 a l c 2 f 2 当4 以l c 2 户 0 使得 e p i 阜】_ e e x p o f m a x ri x , 1 2 ) 】 0 ，存在常数口 0 使得 e e 口嘲喀+ 噼】 o o 从结果可看到，多值随机微分方程与一般随机微分方程相比，由于多值随 机微分方程的解是一对过程，相应地，它的平方指数可积性也是关于一对过程 的结果。 对多值随机微分方程，本论文只讨论了其平方指数可积的性质，对于p 阶指 数可积，或是系数非l i p s c h i t z 条件的情况，因为时间关系，我没有作进一步的推 广。 2 3 参考文献 【1 】p k r 6 e ，d i f f u s i o nf o rm u l t i v a l u e ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s j f u n c t a n a l ， 19 8 2 ，4 9 ：7 3 9 0 f 2 】j - pa u b i na n da c e l l i n a ，d i f f e r e n t i a li n c l u s i o n s g r u n d m a t h w i s s 2 6 4 ， s p r i o n g e r - v e r l a gb e r l i nh e i d e l b e r g ，1 9 8 4 【3 】h b r e z i s ，o p 6 r a t e u r sm o n o t o n e se ts e m i g r o u p sd ec o n 打a c t i o n sd a n sl e se s p a c e s d eh i l b e r t n o r t h h o l l a n d ，a m s t e r d a m ，1 9 7 3 【4 】vb a r b u ，n o n l i n e a rs e m i g r o u p sa n dd i f f e r e n t i a le q u a t i o n si nb a n a c hs p a c e s l e y - d e nn e h t e r l a n d ，n o o r d - h o f fi i n t e r n e tp u b l i s h i n g ，19 7 6 5 】a b e n s o u s s a na n dj l l i o n s ，a p p l i c a t i o n sd e si n 6 9 a l i t 6 sv a r i a t i o n n e l l e se n c o n t r f l es t o c h a s t i q u e d u n o d ，p a r i s ，1 9 7 8 【6 】e c 6 p a ，e q u a t i o n sd i f f 6 r e n t i e l l e ss t o c h a s t i c c q u e sm u l t i v o q u e s l e c t n o t e si n m a t h s d m p r o b x x i x , s p r i n g e r , b e r l i n ( 1 9 9 5 ) 8 6 1 0 7 【7 】e c 6 p a ，p r o b l e m ed es k o r o h o dm u l t i v o q u e a n n o f p r o b ，v 0 1 2 6 ，n o 2 ：5 0 0 - 5 3 2 ( 1 9 9 8 ) 【8 】a d e n j o y , s u rl e sf o n c t i o n sd 6 r i v 6 e ss o m m a b l e s ，b u l l s o c f r a n c e ，4 3 ( 19 15 ) 1 6 1 2 4 8 【9 】n i k e d a ，a n ds w a t a n a b e ，s t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dd i f f u s i o np r o c e s s e s 2 n de d ( k o d a n s h a ，t o k y o n o r t h h o l l a n d ，a m s t e r d a m ，19 8 9 ) 【1 0 】j r e n ，a n ds x u ，al i m i tt h e o r e mf o rm u l t i v a l u e ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，p r e p r i n t 【1l 】s x u ，d e n j o y sa p p r o x i m a t ec o n t i n u i t yf o rt h es o l u t i o n so fm u l t i v a l u e ds t o c h a s - t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，s t o c h a s t i c sa n dd y n a m i c s ，v 0 1 n o 1 ：l 一2 3 ( 2 010 ) 2 4 【12 】x z h a n g ，s k o r o h o dp r o b l e ma n dm u