（理论物理专业论文）外势阱中相互作用玻色气体的化学势.pdf

摘要 玻色一爱因斯坦凝聚( b e c ) 在实验上的成功，再次引发了大量关于b e c 性质的研究。迄今为止，实验上的b e c 都是在外势约束下实现的。当玻色气体 被束缚在一个空间变化的外势场中，能量和空间的耦合会使实现b e c 的条件发 生变化。 本文分别从能量球体和能量球壳两个不同角度推导出任意指数型外势中理 想玻色气体的能态密度，以及有相互作用的玻色气体的能态密度，并由能态密度 求解出转变温度、系统能量和比热，同时考虑了相互作用玻色气体化学势在转变 温度处的取值情况。 为了研究低温相互作用对玻色气体的影响，引进了标度参数，得出标度参数 与外势形式及相互作用之间的关系。标度参数使各个复杂的实验实现了可对比 性。 化学势对激发态的分布函数至关重要，因此，热力学性质常用化学势表示。 另一方面，化学势还取决于粒子间的相互作用。所以，化学势为研究相互作用对 热力学性质的影响提供了有效的起点。 然而，化学势通常表示为由总粒子数确定的一个参数。因此，给出化学势与 温度之间的清晰的依赖关系尤为重要。本文从h a n r e e - f o c k 近似出发，考虑了凝 聚部分以及热原子部分对化学势的贡献，推导出低温下的化学势与温度的依赖关 系的清晰表示式，修正了现有解析结果，在转变温度附近，这一修正效果特别明 显。 关键词：玻色气体；指数型外势；相互作用；标度参数；化学势 a b s t r a c t t h er e a l i z a t i o no fb o s e - e i n s t e i nc o n d e n s a t i o ni ne x p e r i m e n t si nr e c e n ty e a r sh a s a r o u s e dg r e a ti n t e r e s ti n t h i sp h e n o m e n o n s of a r , t h ea c h i e v e m e n t so fb e ci n e x p e r i m e n t sa r ea l li nv i r t u eo fe x t e r n a lp o t e n t i a l s w h e nc o n f i n e di na ne x t e r n a l s p a t i a lv a r i a b l ep o t e n t i a l ，t h ec o n d i t i o n so fb e cv a r yg r e a t l yb e c a u s eo ft h ec o u p l i n g b e t w e e ne n e r g ya n ds p a c e t h ep a p e rd e d u c e st h ed e n s i t yo fs t a t e sf o rb o t hn o n - i n t e r a c t i n gb o s eg a sa n d i n t e r a c t i n gb o s eg a sb a s e do nt h e e n e r g ys p h e r e a n d e n e r g ys h e l l r e s p e c t i v e l y a n dt h e n , w ec a l c u l a t et h es y s t e me n e r g ya n ds p e c i f i ch e a ta n do b t a i nt h eg e n e r i c e x p r e s s i o n sf o re n e r g ya n ds p e c i f i ch e a tt h a td e p e n d e n to nt h ep a r a m e t e ro ft h e e x t e r n a lp o t e n t i a l a tt h ec r i t i c a lt e m p e r a t u r e ，aj u m pe x i s t sf o rt h es p e c i f i ch e a t t h es c a l i n gp a r a m e t e rc h a r a c t e r i z i n gt h er o l eo fi n t e r a c t i o n si se x p r e s s e di nt e r m s o ft h ei n t e n s i t yo fi n t e r a c t i o n sa n dt h ee x t e r n a lt r a pp a r a m e t e r t h ec h e m i c a lp o t e n t i a li sa ni m p o r t a n tp r o p e r t yf o rb o s eg a sb e c a u s em a n y t h e r m o d y n a m i cp r o p e r t i e sd e p e n do ni t t h ec h e m i c a lp o t e n t i a lu s u a l l ya p p e a r s 弱a p a r a m e t e rf i x e db yt h et o t a lp a r t i c l en u m b e ri nt r a p s t h i sp a p e rg i v e sas i m p l e r e l a t i o nb e t w e e nl aa n dt h et e m p e r a t u r e t h ec h e m i c a l p o t e n t i a lo b t a i n e dh e r e p r o v i d e sac o r r e c t i o nt ot h ee x i s t i n ga n a l y t i c a lr e s u l t ，e s p e c i a l l yi nt h ec r i t i c a lr e g i o n o fb o s e e i n s t e i nc o n d e n s a t i o n k e y w o r d s ：b o s eg a s ；p o w e r - l a we x t e r n a lp o t e n t i a l ；i n t e r a c t i o n ；s c a l i n gp a r a m e t e r ； c h e m i c a lp o t e n t i a l 厦门大学学位论文原创性声明 本人呈交的学位论文是本人在导师指导下，独立完成的研究成 果。本人在论文写作中参考其他个人或集体已经发表的研究成果，均 在文中以适当方式明确标明，并符合法律规范和厦门大学研究生学 术活动规范( 试行) 。 另外，该学位论文为() 课题( 组) 的研究成果，获得() 课题( 组) 经费或实验室的 资助，在() 实验室完成。( 请在以上括号内填写课 题或课题组负责人或实验室名称，未有此项声明内容的，可以不作特 别声明。) 声明人( 签名) ：；饫若乏 加年6 月厂日 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人同意厦门大学根据中华人民共和国学位条例暂行实施办 法等规定保留和使用此学位论文，并向主管部门或其指定机构送交 学位论文( 包括纸质版和电子版) ，允许学位论文进入厦门大学图书 馆及其数据库被查阅、借阅。本人同意厦门大学将学位论文加入全国 博士、硕士学位论文共建单位数据库进行检索，将学位论文的标题和 摘要汇编出版，采用影印、缩印或者其它方式合理复制学位论文。 本学位论文属于： () 1 经厦门大学保密委员会审查核定的保密学位论文， 于年月日解密，解密后适用上述授权。 ， ( ) 2 不保密，适用上述授权。 ( 请在以上相应括号内打“ 或填上相应内容。保密学位论文 应是已经厦门大学保密委员会审定过的学位论文，未经厦门大学保密 委员会审定的学位论文均为公开学位论文。此声明栏不填写的，默认 为公开学位论文，均适用上述授权。) 声明人( 签名) ：；跃若毛 加呵年月等 日 第一章引言 引言 1 1 玻色一爱因斯坦凝聚及其实验进展 量子力学将一个精彩纷呈的微观世界呈现在世人面前。得力于量子力学的发 展，人们发现微观世界存在一类这样的粒子：它们的自旋为整数，能量状态取不 连续的量子态，允许多个粒子同时占据同一个量子态，不遵守泡利不相容原理， 这就是玻色子( b o s o n ) ，由玻色子组成的系统称为玻色系统，其波函数具有交换 对称性。 此外，还有自旋为半整数的粒子，它们遵守泡利不相容原理，称为“费米子 ， 由费米子组成的系统称为费米系统，其波函数满足交换反对称性。 因为自旋差异，费米系统和玻色系统遵守截然不同的统计规律。前者遵循费 米一狄拉克统计，其中一个显著特点是1 9 2 5 年瑞士科学家泡利发现的“泡利不 相容原理，即在费米系统中，绝不可能存在两个或两个以上的费米子处于同一 个量子态。后者遵循玻色一爱因斯坦统计，玻色系统的显著特点是在温度足够低、 粒子运动速度足够慢的条件下，玻色气体将发生相变，所有粒子都会聚集于能量 最低的量子态，这就是玻色一爱因斯坦凝聚( b e c ) 1 】。 1 9 2 4 年，印度物理教师玻色绕过经典电动力学，另辟奚径，采用基于光子 状态的统计理论推导出普朗克黑体辐射公式。爱因斯坦敏锐地意识到玻色工作的 重要性，将玻色对光子的统计方法推广到单原子理想气体，并预言当这类原子的 温度足够低时，所有的原子都会突然聚集到一种能量尽可能低的状态，经过相变 成为全新的物质状态。 爱因斯坦的预言引起了实验物理学家的广泛兴趣，并部分实现了玻色一爱因 斯坦凝聚，例如超导中的库伯电子对无电阻现象，超流体中的无摩擦现象。但因 其系统特别复杂，难以对玻色一爱因斯坦凝聚现象进行充分的研究。 在实验上，要实验玻色一爱因斯坦凝聚，必须满足两个条件：一是原子气体 的温度极低，二是原子的密度很高。比如铷原子气体，要求温度丁l o 叫k ， 第一章引言 原子密度达到1 0 1 1 1 0 1 z c m 3 ，这是难度极高的实验。近年来，激光冷却气体 原子的技术获得了重大进展。在相干光与原子共振时，原子受到的光压很大，从 而可以利用激光的光压减小原子的热运动，降低原子的温度。利用三对从上下、 左右、前后射来的并交于一点的激光束照射到气体原子上，使原子不仅被冷却， 而且被囚禁在光束的交汇点处，利用激光冷却技术可将碱原子气体冷却到 t 1 0 - o k ，再用磁阱可将超冷原子气体囚禁于空间某一区域。由于激光冷却 技术的突破，1 9 9 5 年，人们观察到严格意义上的b e c 现象。 1 9 9 5 年7 月，美国c o m e l l 和w i c m a n 小组利用激光冷却和时间平均轨道势 ( t o p ) 阱中的射频蒸发冷却技术在碱金属铷( 彤7 i 曲) 原子蒸汽中观测到了b e c 2 。 对实验照片进行分析表明，随着温度的降低，铷原子的速度分布范围越来越小， 当温度下降到某个临界温度之下，速度为零或接近零的原子数急剧增加。显然， 这些铷原子( 大约超过1 0 0 0 个) 实现了玻色一爱因斯坦凝聚，并且保持的时间有 数秒之久。这种凝聚发生在宏观尺度，开辟了宏观量子现象研究的新天地。同年 1 1 月，美国m i t ( m a s s a c h u s e t t si n s t i t u t eo f t e c h n o l o g y ) 的k e t t e r l e 科学小组采用塞 曼减速技术冷却的原子束系统实现了钠( 2 3 n a ) 原子气体的b e c 3 。由于在稀薄碱 原子气体中实现b e c 以及对其凝聚态进行了基本性质的研究，他们荣获了2 0 0 1 年度的诺贝尔物理学奖。 迄今为止，国际上已有4 0 多个实验室采用各种冷却技术，以及囚禁与操控 技术实现t ) k 种元素原子的b e c ，即：具有正散射长度碱金属原子( 2 3 n a ，8 7 r b ) 的b e c ；负散射长度碱金属原子( 7 l i ，4 1 k8 7 r b , 1 3 3 c s ) ( 鬟jb e c ；自旋极化氢1 h 原子， 亚稳态氦4 h e 原子和具有2 个价电子的1 7 稀土原子的b e c 以及由费米原子 形成的6 l i 2 和4 0 k 2 分子 4 - 1 3 】。 玻色一爱因斯坦凝聚体所展现出的宏观相干、隧穿和量子超流性等奇特的量 子性质，不仅对基础研究有重要意义，在原子激光、原子钟、原子芯片技术、精 密测量、量子计算机和纳米技术等领域都有很好的应用前景。 外势中的玻色气体理论研究 实现b e c 的几个实验都是在外势存在的条件下进行的，例如，1 9 9 5 年人类 第一章引言 首次实现的b e c 实验就是应用磁陷阱技术和激光冷却技术实现了外势对原子气 体的约束和冷却的结果，因此研究外势阱中的玻色气体性质显得非常有意义。 b a g n a t o 等人研究了任意指数型外势中的玻色气体的性质，给出了在这样外势中 玻色气体的转变温度、比热、凝聚比率等的通用表达式 1 4 】。此外，外势约束下 的玻色气体的重要特征是凝聚体粒子数密度不均匀和粒子数有限，现有实验中的 粒子数从几千到上百万不等。有限粒子数，空间维数，粒子间的相互作用等对玻 色系统的性质具有非常重大的影响。相对于粒子数无穷大的玻色系统，有限粒子 数系统具有更小的凝聚比率和更低的转变温度 1 5 1 7 。由于热激发引起的涨落非 常剧烈，一维和二维理想玻色系统不可能产生b e c ，也就是说，在热力学极限 下，b e c 的转变温度会趋于零温。但在简谐外势约束下，二维理想玻色系统却 可以有b e c 的产生 1 8 2 0 】。 由于外势的存在，相互作用的玻色气体导致一些非预期的实验现象。早在 1 9 5 6 年，杨振宁，李政道，黄克逊等人从统计物理的角度，对弱相互作用的玻 色系统进行了相当深入的研究，推广了e n r i c of e r m i 在1 9 3 6 年提出的赝势方法， 导出了粒子间存在硬球势相互作用的非理想气体系统的热力学性质。这一成果是 势阱中的碱金属气态b e c 、特别是大散射长度情况下理论研究的基础。如果考 虑粒子之间的相互作用，系统哈密顿量将是非线性的，零温近似下相应的非线性 薛定谔方程即g p 方程( g r o s s p i t a e v s k i ie q u a t i o n ) 为研究该系统提供了有效的工 具，这是一个与凝聚态相关的序参量的平均场( m e a n f i e l d ) 近似方法，为描述b e c 相关现象提供了一个简单而直接的等式，这一理论非常适用于描述零温近似下， 二体相互作用对稀薄玻色气体的影响。而在低温( 非零温) 下，h a r t r e e f o c k 近 似能准确描述玻色气体的行为【2 2 】；g i o r g i n i 引入了标度参数用于衡量相互作用 对玻色气体的影响，并采用h a r t r e e f o c k 近似研究处于简谐外势中的排斥相互作 用玻色气体在低温下的性质。 值得注意的是，相互作用的影响会大大改变低维玻色气体的相变特性；特别 是在二维的相互作用玻色气体中会存在b e r e z i n s k y - k o s t e r l i t z t h o u l e s s 转变现象 2 9 ，3 0 】。 1 3 三维空间中自由理想玻色气体 第一章引言 考虑束缚在体积为v 的空间内由n 个玻色子组成的系统，系统的总粒子数 n 由下式给出： 莓如占声；考呵 n ， 其中z 为逸度，它通过下式与化学势建立联系： z = e x p ( p k t ) ( 1 2 ) 对于体积足够大的系统，单粒子的能谱趋于连续。利用系统的能态密度： 口( 占) 如= 葛v ，2 7 r ( 2 聊) 占如 ( 1 3 ) 可将系统总粒子数( 1 1 ) 式的求和用积分替代，此外，由于该积分没有计及处于能 级基态即s = 0 的粒子对总粒子数的贡献，必须对处于基态的粒子单独求和。基 于上述的考虑，( 1 1 ) 式可表示为， = 等c 2 m ，b 笔+ 者= 蒡吲卅击 m 4 ， 其中，力为粒子的平均热波长，表示为， i i 五= ( 2 m n k t ) 2( 1 5 ) g 。( z ) 为玻色一爱因斯坦函数，表示为， “z ) - 高赫出( o 1 ) ( 1 6 ) 第一项为处于激发态的粒子总数也，第二项为处于基态的粒子数o 。 ( 1 2 ) 式定义的逸度z 的取值范围为0 z 1 ，在z 时，上式第二项相对第一项为小量，可以忽略，因此， p ：竽芦弘竿如= 学睁拟垆等脚 将( 1 1 0 ) 式代入，可以得到， p = 铷r 器 如果黔，贝| jz 1 ) 为黎曼一泽塔( m 锄锄z e t a 劬c t i o n ) 函数。 j = l ( 2 7 ) 在零温和疋。之间，基态粒子占据比例由以下关系确定： 等小c 扩 亿8 ， 系统总能量为： 第二章外势中的玻色爱因斯坦凝聚 e ( 乃= r 翻。口。d g l l 三+ 三，7 = r 篙1 丝h 娑盹。u 如 = - 一一，i r f f - 以f 与z 一1 p 肛一 3u 1 r 2 矿3 尸。 = 地学贮眦均。u 善芳 比热由下式求得： c c 耻百o e ( y ) = 华均。u 胀均r 雩寿矿2 嘉善_ 生j r + l 当丁 瓦。时，o = 0 ，由( 2 6 ) 式得： ：2rc(学2m)2(kat),即：)凇+1)妻善j 办3 ”、 7 智h 1 对上式两边同时对丁求导，由于系统粒子数保持恒定，可以得到： 筹= 学。u 毗邶圳嘻芳+ 1 嘉善争= 。 拟矧寺一喾一啉斌删： c 。啪= 丝串! 瞰均。f 3 ) 陋删：七州错， 将( 2 6 ) 式代入并令o = 0 ，得到： 警= 器 ( 蛾+ 2 ( 矿”) 错g 】脓口g ( z ) ” ”“、 7 。( z ) 1 第二章外势中的玻色爱因斯坦凝聚 警咏圳2 ，篇七州2 等 当t 乙。时，( q 服口) 随乏。增加而减小，并趋近于3 0 ，在r = 疋。处，( c ，脓口) 存在跃点。 t 耋 蓝 图3 自由玻色气体及简谐势中玻色气体的比热( c v 胍占) n ( r r p 变化曲线 2 3 有限粒子数的影响 当理想玻色气体处于( 2 1 1 ) 式定义的简谐外势中时，粒子能级e 可由三维简 谐势中的薛定谔方程求得： e = h ( n ，u + 厅j ，+ 力：) ， l ，n ) ，n ：= 0 , 1 2 ” 处于能级e 的平均粒子数为： 声兀b：妻gje-jis 旭 声两2 备 ” 第二章外势中的玻色爱因斯坦凝聚 由于粒子数有限，系统的总粒子数不能近似为对玻色分布的连续积分，而必须由 对玻色分布的分立求和来表示： n - - = z 7 p 一假= z j ( 1 - e 一肌) 。1 ( 1 - e - j f f h w y ) 。1 ( 1 - e 一肌) 。1 j jj = l j = l 如果系统能级间距远小于k t ，即励w 1 ，则利用 e 一庳w ：争! 二丝塑：l 一励w + 望盟， 篙 力! 。 2 可以得到， e 伽 1 一励w + 掣弘h 脚一躞2 】， 而 ( 1 - - e - j 肋w ) _ l 啪脚一竿】) - 1 ( j f i h w ) 万1 则系统的总粒子数可近似为： = 善o oz j + 蔷o oz 7 ( j f l h w x ) 一+ 去 u ) - l + 万1 哆) - 1 + 古】 ，= l，= l _ ，o ， o ， 击+ 私c 槲3 叱叱+ 击t 古+ 去+ 去， = 壹恼c 等，3 赤+ - 9 2 1 c 等，2 等 亿 由( 2 1 3 ) 式可求得系统的能态密度： 础，= 互1 丽e 2 畦警e ( 2 1 4 ) 第二章外势中的玻色爱闪斯坦凝聚 如果简谐势是各向同性的，即w = = = ，则有， = 圭+ 9 3 ( z ) ( 等) 3 了1 + 虿1 猷枞等) 2 万3 邪，= 丢品t 斋e ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 在三维各向同性简谐势中，能量为e = n h w =