（概率论与数理统计专业论文）斯特林公式及其在局部平均采样定理中的应用.pdf

中文摘要 阶乘计算及其误差估计问题有重要的理论意义和广泛的应用背景关于阶乘 估计的斯特林公式是一个周知的常用估计式，斯特林公式对于概率论及数理统计 的发展曾产生过重大的影响采样定理，又称香农采样定理、奈奎斯特采样定理， 是现代脉冲编码调制通讯系统的理论基础，也是信号处理中最常用的基本工具之 一采样定理是由c e s h a n n o n 在1 9 4 8 年9 月引入工程领域并得到世人认可的 e t w h i t t a k e r ，c e s h a n n o n 与v a k o t e l n i k o v 都对这一定理的深入研究作出 了重要贡献因此国外的文献习惯以他们的名字命名，称为w h i t t a k e r o k o t e l n i k o v - s h a n n o n 采样定理，简称为w s k 采样定理但香农采样重构展开式要求我们知道 无穷多个采样点的精确值，这在实践中很难做到，真实情况通常只能够得到有限 个采样点的值同时由于测量仪器的误差，我们通常也只能得到采样点如处的局 部平均值这时就需要对由局部平均后产生的截断误差进行讨论 本文将利用斯特林公式和s i n c 的泰勒级数展开估计局部平均采样产生的截断 误差，并讨论采用局部平均时所产生的修正后的截断误差的收敛性 关键词：斯特林公式；采样定理；局部平均；截断误差 a b s t r a c t f a c t o r i a lc o m p u t a t i o na n di t se r r o re s t i m a t ea r eo fm u c ht h e o r e t i c a ls i g n i f i c a n c e a n dw i d ea p p l i c a t i o nb a c k g r o u n d s t i r l i n g sf o r m u l a w h i c hi sa na p p r o x i m a t i o nf o r l a r g ef a c t o r i a l s ，i saw e l l - k n o w nf a c t o r i a le s t i m a t i o n ，w h i c hm a k e sm u c hc o n t r i b u t i o n t ot h ed e v e l o p m e n to fp r o b a b i l i t ya n dm a t h e m a t i c a ls t a t i s t i c s s a m p l i n gt h e o r e m ， a l s ok n o w na ss h a n n o ns a m p l i n gt h e o r e m ，n y q u i s ts a m p l i n gt h e o r e m ，i st h et h e o r e t i c a l f o u n d a t i o no fp u l s ec o d em o d u l a t i o ni nc o m m u n i c a t i o ns y s t e m sa n dt h em o s tc o m m o n l y u s e db a s i ct o o li ns i g n a lp r o c e s s i n gs y s t e m s t h es a m p l i n gt h e o r e mw a si n t r o d u c e di n t o t h ee n g i n e e r i n gl i t e r a t u r eo nc o m m u n i c a t i o nt h e o r yb yc e s h a n n o ni ns e p t e m b e r 1 9 4 8 ，t h e nh a sb e e nr e c o g n i z e db yt h ep e o p l eo ft h ew o r l d e t w h i t t a k e r ，c e s h a n n o na n dv a k o t e l n i k o va l lh a sm a d et h ei m p o r t a n tc o n t r i b u t i o n st dt h i st h e o r e m t h o r o u g hr e s e a r c h t h e r e f o r e ，i nt h eo v e r s e a sl i t e r a t u r e ，i tn a m e db yt h e i r sn a m e s ， c a l l e dt h ew h i t t a k e r - k o t e l n i k o v s h a n n o n ( o rw s k ) s a m p l i n gt h e o r e m h o w e v e r ，t h e r e c o n s t r u c t i o ne x p a n s i o ne q u a t i o no fs h a n n o ns a m p l i n gr e q u i r e st h a tw es h o u l dk n o w t h ee x a c tv a l u e so fi n f i n i t es a m p l i n gp o i n t s b u ti np r a c t i c e ，w eu s u a l l yc a no n l yh a v ea f i n i t en u m b e ro ft h e m o w i n gt o8 0 m ee r r o r so fm e a s u r i n gi n s t r u m e n t s ，w ec o u l do n l y g e tt h el o c a la v e r a g e so ft h es a m p l i n gp o i n t st k ，t h e nw en e e dt od i s c u s st h et r u n c a t i o n f r o mt h el o c a la v e r a g e s i nt h i sa r t i c l e w ew i l lu s et h es t i r l i n g sf o r m u l aa n dt h et a y l o rs e r i e se x p a n s i o n o fs i n ct oe s t i m a t et h et r u n c a t i o ne r r o rw h e nw eu s et h el o c a la v e r a g e st oa p p r o x i m a t e ， t h ec o n v e r g e n c eo ft h ea m e n d e dt r u n c a t i o ne r r o ra f t e ru s i n gt h el o c a la v e r a g ei sa l s o d i s c u s s e d k e yw o r d s ：s t i r l i n g sf o r m u l a ；s a m p l i n gt h e o r e m ；l o c a la v e r a g e s ；t r u n c a t i o ne r r o r 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的研 究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外j 论文中不包含其他人已经发表或撰 写过的研究成果也不包含为获得天津大学或其他教育机构的学位或证书而使用 过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示了谢意 学位论文作者签名：禾辛红、记签字日期：即7 年月 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解天津大学有关保留、使用学位论文的规定特授 权天津大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索并采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅同意学校向国家有 关部门或机构送交论文的复印件和磁盘 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名 豪格覆 签字日期：纱叩年细日 和加 p h 月 年伟 各 恪 彭 嗍 矿 日 i， r 剥 解 第一章绪论 第一章绪论 估计礼! 的值在理论研究中经常用到的如在概率论中我们熟知的二项 分布，超几何分布以及t 分布，且都可以归纳为阶乘的计算问题费勒也在 1 】 中比较详细的探讨了斯特林公式在概率中的应用关于其计算的探讨，由来 已久法国数学家亚伯拉罕棣美弗( a b r a h a md em o i v r e ，简称棣美弗) 在 1 7 3 0 分析杂论中最早发现了正态分布并给出了斯特林公式的雏形，形式 如下： 扎! c 礼t l + e - n 苏格兰j 斯特林证明了公式中的常数c 是何即斯特林公式： 几! 际( 兰) n 这就是说，当n 足够大时，这两个数互为近似值更加精确形式是： 1 i m 喜一1 扎一。o 、2 7 r 礼( 警) ” 或 l i l l l 尝：v 丽 n = =z 丌 n - - - o on ” 礼 本质上，斯特林公式就是一个用来取n ! 近似值的数学公式关于斯特林 公式的证明方法也多种多样在数学分析中，大多是利用r 函数、级数或含 参量积分等知识进行证明或推导，较为繁琐近年来，一些国内外的学者利用 概率统计中的指数分布、泊松分布、x 2 分布来证明但这些证明并未说出如 何看出或猜出公式的追寻过程最近，蔡聪明的谈s t i f l i n g 公式比较详细 讲述了这一猜想的演变过程，对于我们更加深刻的理解斯特林公式有一定意 义 信号是信息的物理表现形式，或者说是传递信息的函数而信息则是信 号的具体内容从数学的观点来说，信号都是自变量的函数自变量可以是 时间、频率、空间或其他的物理量，函数旨在突出变量间的数学描述和运算 关系；而信号则是揭示街理性质的载体采样定理，又称香农采样定理，奈奎 斯特采样定理，是信息论，特别是通讯与信号处理学科中的一个重要理论基 】 第一章绪论 础e t w h i t t a k e r ( 1 9 1 5 年发表的统计理论) 、克劳德香农与h a r r yn y q u i s t 都对它的理论研究作出过重要贡献另外，v a k o t e l n i k o v 是第一个将采样 定理引入信号处理领域的学者 采样是将一个信号( 即时间或空间上的连续函数) 转换成一个数值序 列( 即时间或空间上的离散函数) 采样定理指出，如果信号是带限的，并且 采样频率高于信号带宽的两倍，那么，原来的连续信号可以从采样样本中完 全重建出来带限信号变换的快慢受到它的最高频率分量的限制，也就是说 它的离散时刻采样表现信号细节的能力是有限的采样定理是指，如果信号 带宽不到采样频率的一半( 即奈奎斯特频率) ，那么此时这些离散的采样点 能够完全表示原信号高于或处于奈奎斯特频率的频率分量会导致混叠现 象大多数应用都要求避免混叠，混叠问题的严重程度与这些混叠频率分量 的相对强度有关 从信号处理的角度来看，采样定理描述了两个过程：其一是采样，这一 过程将连续时间信号转换为离散时间信号；其二是信号的重建，这一过程是 利用离散信号还原连续信号连续信号在时间( 或空间) 上以某种方式变化 着，而采样过程则是在时间( 或空间) 上，以t 为单位间隔来测量连续信号的 值t 称为采样间隔在实际中，如果信号是时间的函数，通常他们的采样间 隔都很小，一般在毫秒、微秒的量级采样过程产生一系列的数字，称为样本 样本代表了原来的信号每一个样本都对应着测量这一样本的特定时间点， 而采样间隔的倒数l i t 即为采样频率，其单位为样本秒，即赫兹( h e r t z ) 信号 的重建是对样本进行插值的过程，即从离散的样本z 七中，用数学的方法确定 连续信号z ( t ) 从采样定理中，我们可以得出以下结论：( 1 ) 如果已知信号的 最高频率知，采样定理给出了保证完全重建信号的最低采样频率这一最低 采样频率称为临界频率或奈奎斯特采样率，通常表示为瓜；( 2 ) 相反，如果已 知采样频率，采样定理给出了保证完全重建信号所允许的最高信号频率；( 3 ) 以上两种情况都说明，被采样的信号必须是带限的，即信号中高于某一给定 值的频率成分必须是零，或至少非常接近于零这样在重建信号中这些频率 成分的影响才可以忽略不计 用采样定理来重构信号时需要知道无穷多个采样点的精确值，但是我们 通常在实践中只能够得到有限个采样点的值，这时就会出现信息损耗和截断 误差另外，由于一些物理原因，比如说测量仪器的惯性，在实践中得到的采 2 第一章绪论 样值并不是信号，在时间如处的精确值，而是常常得到信号，在时间“处 的局部平均值本文主要研究在采样定理中使用局部平均值时所产生的截 断误差，并结合斯特林公式给出一个很好的估计界限 本文以下几章安排如下：第二章主要介绍相关的预备知识和所用到的结 论第三章主要讨论斯特论公式，给出了相关参数的估计以及斯特林公式在 概率中的一些应用第四章给出斯特林公式在局部平均采样定理中的应用， 以及本文得出的一个结果第五章总括全文的工作 3 第二章采样定理的基础知识 第二章采样定理的基础知识 本章主要介绍研究背景和所研究的具体问题，同时对所用到的部分基础 知识和符号也给出解释和说明 2 1 香农采样定理的数学根源 采样定理，又称香农采样定理、奈奎斯特采样定理，是信息论，特别是通讯 与信号处理学科中的一个重要理论支撑采样定理是由c e s h a n n o n 在1 9 4 8 年 9 月引入工程领域并得到世人认可的在这之前，数学家e t w h i t t a k e r ( 1 9 1 5 ) 和俄国学者v k k o t e l n i k o v ( 1 9 3 3 ) 曾各自独立的提出了与香农采样定理相 似的定理e t w h i t t a k e r 、c e s h a n n o n 与v a k o t e l n i k o v 都对这一定理 的深入研究作出了重要贡献因此国外的文献习惯以他们的名字命名，称为 w h i t t a k e r - k o t e l n i k o v - s h a n n o n 采样定理，简称为w s k 采样定理采样是将一个 信号( 即时间或空间上的连续函数) 转换成一个数值序列( 即时间或空间上 的离散函数) 采样定理指出，如果信号是带限的，并且采样频率高于信号带 宽的两倍，那么，原来的连续信号可以从采样样本中完全重建出来香农采样 定理是信息论发展中的里程碑但追究其数学根源香农采样定理则来源于 插值理论，下面我们先回顾一下插值理论的有关内容 我们知道，在数值分析中，任一次数不超过n 的代数多项式 n r ( t ) 全f 钆t 詹 k - - o 的一个最基本的性质就是对于任意给出的n + 1 个相异的点t o ，t 1 ，t 一，t n ， 此多项式完全可以由r ( 如) 在这n + 1 个点的值来唯一确定 反过来考虑，我们是否总可以找到一个适合的多项式使得它在这佗+ 1 个相异点的值是我们给出的值? 拉格朗日插值公式可以回答这个问题 拉格朗日插值公式：一般的，设y ；f ( z ) 在互异的节点z o ，z l ，z 。处 的函数值为 y k = ，( 巩) ，k = 0 ，l ，n 4 第二章采样定理的基础知识 则有次数不超过礼的多项式r ( z ) 使满足插值条件 r ( z ) = ，( z j ) ，k = 0 ，1 ，2 ，n ； 则 r ( t ) 全y j k ( t ) = p n ( t k ) i k ( t ) ( 2 1 ) 其中，k = 0 ，1 ， 如( ) 全缺，n o ) = 石_ = ，u n + 1 ( t ) = 一t 。) ( t t ”) ( 2 2 ) 事实上，k 是唯一具有下列性质的代数多项式； 以咄 = r 篓 所以扎次多项式r ( t ) 是唯一确定的 公式( 2 1 ) 、( 2 2 ) 最早是由j - l l a g r a n g e1 7 9 5 在他的讲稿中给出的，后 被e w a r i n 9 1 7 7 9 2 】年在研究通过采样点来进行多项式插值的时候发现对已 知数据进行插值，将信号表示成一个基本级数的形式也是e ，t w h i t t a k e r 在 1 9 1 5 年著名论文中最先提出的 e t w h i t t a k e r 【3 】提出了寻找函数使其通过点( ，a ) ，其中，t k = a + j c 伽，f k = f ( t k ) ，n ，”c ，七z 它把所有这样的函数称为c o t a b u l a rs e t ，并指出 了这个集合中的一类特殊的成员： 啡。曼，( 口硼) 糟 ( 2 3 ) 七= 一 “ 他把这样的函数称为基本级数这一基本级数是e t w h i t t a k e r 最先提出的， 它是插值理论中最为常用的一种等距插值公式 事实上，我们由插值的性质： s i n 嚣( o + v w a k w )c 1 函丽i 而刮氟t ， 可以很容易得出c ( t 七) = f k w h i t t a k e r 的创新点在于c ( t ) ，c ( t ) 在复变函数论 中具有整函数的性质，这也就是我们今天所谓的带限函数 5 第二章采样定理的基础知识 从这一点上讲，e t w h i t t a k e r 是s h a n n o n 采样定理的先驱然而，遗憾的 是，w h i t t a k e r 在他的文集中并没有明确的指出c ( t ) = f ( t ) 或说明在何种条件 下这个等式成立 日本数学家k o g u r a ( 1 9 2 0 ) 在 4 】中给出了和我们今天熟悉的采样定理 相似的形式，并首次严格地证明了如果，是有限带宽或是上面所说的基本函 数，则有c ( t ) = ，( ) 他是第一个阐述w s k 采样定理并给出严格证明的数学 家正是因为这个原因，有人认为o g u r a 才是采样定理的最先发现者而不是 e t w h i t t a k e r 但由于e t w h i t t a k e r 3 】中所做的首创性工作，o g u r a 仍把采 样定理归功于e t w h i t t a k e r w h i t t a k e r - k o t e l n i k o v - s h a n n o n ( o rw s k ) 采样定理如下所述： 对每个定义在r 上且在 一7 r 彬7 r w l 上带限的信号函数，( t ) ，w 0 ，等距 分布在实轴r 上的节点- 6 ，k z ，则对所有的r ，f ( t ) 可以完全由采样点 ，( 每) 通过下式进行重构： 弛卜。墨砖，帮等刊栅，七曼砖，揣 仁4 ， 如果在( 2 3 ) 中我们令n = 0 ，w = 专，则由( 2 4 ) 式中我们可以得出c ( t ) = ，( t ) 这里带限信号是指信号，的频率不高于丌彬，或者按数学的术语来说，是 指厂在r 上连续且平方可积，其傅里叶变换在区间【一7 r 形丌缈】之外的值为零 下面比较采样定理和拉格朗日差值公式，以便发现两者之间的联系先 将( 2 1 ) ，( 2 2 ) 式改写成下面的形式： 若2 几次多项式l 2 n f ( t ) 与给定信号f ( t ) 在2 几十1 个相异的节点 t p = 蔫，p = 0 ，4 - 1 ，士2 ，士n 的值相同，则此多项式可以表示为： 如雕，= 塞f ( t 膏，若 l z n 雕) = 膏) 兀淼 彤= 一n 6 第二章采样定理的基础知识 其中g n ( t ) 是典范乘积，即： p = 1 ( 丢) 。) 口 ( 等) 2 = 州州锵 采样级数可以看做是有无限节点的拉格朗日差值级数( 2 4 ) 式的右边 可以看做是当节点个数趋于无穷时候，拉格朗日公式的极限形式也就是 l i ml 2 n f ( t ) 事实上，令g ( t ) 全查铲，t k = 锣，则c ( t k ) = 0 ，g 7 ( t ) = c o s ( w t ) ，g ，( “) = ( 一1 ) 七，k z ，于是有： s i nw ( t t k ) s i n ( w t ) ( - 1 ) 2 c ( t ) 一= 一= - - ：- - - w ( t 一如)w ( t t k ) ( t t k ) a 7 ( “) 从而可以得到； m)=主弛七)志c = - - 0 0 而又知s i n ( w t ) 的无限积表示为 咖( 删刊亟( 1 _ ( 等) 2 ) ， 则 蕊=踹p并=ltk)g(tk t t k 1 1c - 一c 黝 - - - - - ? - = 一o ll i l 一- 一 7 )( 一) p 、p 7 r 川 g - - 。r t 、 2 熙矿百, 丽。x - n 呻o 。ie z k 儿t i 【l - e t w h i t t a k e r 3 】对采样定理和拉格朗日差值公式之间的关系作出了 阐述，c e s h a n n o n 注意到如果t 足够大，在有限区间【- t ，卅上的有限带宽 函数所包含的信息和它在2 w t 的离散点所含的信息相同在这之前，w l f e r r a r 【5 】给出了另一个较接近于s h a n n o n 采样定理的形式，但他并没有指出基 本级数和带限信号之间的关系，故和s h a n n o n 的结果相比较为较逊色另外， 关于两者的更多的细节可以参看h i g g i n s 6 】、h i n s e n - k l a s t e r s 7 】、w l f e r r a r 8 】 7 一 一 l l n n 脚n n + o 1 1 1 l 佗 g 第二章采样定理的基础知识 2 2 基本定义和符号 在本节中，我们首先介绍一下本文中涉及到的一些基本定义 和习惯一致，我们仍用n 、z ，r 、c 分别表示自然数集，整数集，实数 集和复数集 定义2 1扩( r ) ( 1 p o o ) 空间：设p 为一实数( 1 pso 。) ，若r 上的 可测函数，满足： 。 i ，( z ) i p 出 + 。 ，r 则称，在r 上p 幂绝对可积r 上的所有p 幂可积的函数全体，记为l p ( a ) 定义2 2 c o ( r ) 表示所有定义在r 上收敛于0 的连续函数构成的b a n a c h 空间 对于f l p ( x ) ，令 i i i l l ，( r ) = i ( u ) l p 砒) 刍， ， 我们称i i i l l ，( r ) 为，的护范数 特别的当p = l 时，范数为： i i f ( t ) i i l ( r ) 垒i f ( u ) d u 特别的当p = 2 时，范数为： j ( ) ij l 。( r ) 全( 上i m ) ) ； l r w 时，f ( v ) = 0 9 第二章采样定理的基础知识 定理2 1 p a l e y - w i e n e r 定理：函数，( t ) 联w 当且仅当，( t ) 的傅里叶变 i6 ( t ) = 0 ，t 0 ， 6 ( t ) = 0 0 ，t = 0 ， 【巴班= 1 5 ( t ) x ( t ) d t = z ( o ) 艿。一t o ) x ( t ) d t = x ( t o ) p ( x = 蠡) = 诺p q n 一。，南= 0 ，1 ，2 ；3 礼0 1 ，q 1 且；+ 弓1 = l ，则x y = ( 善1 ，7 1 ，已，7 2 ，) l 1 ，并且： o 。 i & 吼l 如( i 岛疹( i 哺m i = 1i = 1l = 1 2 3 采样中的误差分析 在实际应用中，采样值可能会有各种误差，从而会影响采样定理在实际 应用中的精确性下面，我们来介绍一下各种误差： 1 截断误差t n f ，当在采样级数中只取有限项而不是无穷项时，就会产 生截断误差更一般信息损耗误差，就是当某些采样值丢失后就会产生信息 损耗误差 2 振幅误差q 。f ，当不能得到精确的采样值，( 影) 而只能得到其逼近值 冗专) ，且i 冗专) 一，( 专) i e 时，这时就会产生振幅误差量化或噪音都可能造 成振幅误差 1 1 第二章采样定理的基础知识 3 时间颤抖误差西，当采样时采样的时间t 七被扰动，即采样的时间点 不是如而是如+ 靠，l 以i 6 ，此时就会产生时间颤动误差 在实际应用中，这几种误差经常会同时发生，从而产生混合误差一般在 应用采样定理时，由于某些物理原因，如测量仪器的惯性等，我们通常不能得 到在采样时间“的精确采样值，只能得到有限的采样值，这时我们就要同时 考虑由这些因素共同影响造成的混合误差 在本文中我们主要研究由局部平均产生的截断误差 截断误差，如上所述，就是截断之后产生的误差就是在计算中用有限项 之和的近似式代替( 无穷) 级数之和所产生的误差这种误差是最常见的，也 是在工程文献中讨论最多，研究最深入的误差 采样定理的截断误差有下式给出： 酬t ) = ，( t ) - 知砖) s i n c ( w t - k )七= 一川 = ，( 专) s i n c ( 叫 关于截断误差的估计，d j a g e r m a n 在 1 3 1 中给出了下面的定理： 定理2 4 若果，b 影满足条件： t 7 f ( t ) l 2 ( r ) ， 则有逐点估计式： i ( 珊) ( 删= o ( n 一 一；) ， n o 。 p l b u t z e r 在【1 0 】中给出了进一步的结果： 定理2 5 如果，b 影满足条件 i ，( ) i = o ( i t l l ) ，t 一。o ，7 0 则 0 ( z ，) ( 圳c = o ( n 一，y l o gn ) ， n _ 0 g p l b u t z e r 和w e n g e l s 在 1 1 】中利用s i n c 的泰勒展开式和斯特林公式 给出了下面的结果： 1 2 第二章采样定理的基础知识 定理2 6 如果f c ( r ) n 1 ( r ) 在卜7 r 彬7 r 彬】上是有限带宽的，且满 足：t f ( t ) l 2 ( r ) ，y n ，则当l t i o ； ( 2 ) 脚( t ) 0 ， f # k ( t ) d t = 1 此后p l b u t z e r 和j l e i 1 s ，【1 9 】中定义了一个连续线性泛函序列 入= ( k ) 知z ，此泛函将c 0 ( r ) 映入c p l b u t z e r 和j l e i 就将局部平均定义 为此线性泛函作用在在【一7 r 彬霄】( w 0 ) 上的有限带宽信号，( t ) 上的值，即 x k f ( + 专) ，用它来逼近采样值，( 专) ，显然有) k k f ( + 专) ，( 专) ，其误差有下式 衡量： e ( f ，a ) = 泌m ( 叶谚k ) 一，( 专) l ，_|cz77 则局部平均采样值对应的采样级数为： s w , x f ( t ) = 入七，( + 谚k ) s i n c ( w t 一七) 七= 一 我们希望在对，和a 合理的假设下，使得s w , x f ( t ) 是对，的最好逼 近：s w , a f = f p l b u t z e r 和j l e i 利用连续模在 1 9 】中给出了误差估计： 1 3 第二章采样定理的基础知识 定理2 7( 【1 9 ) a = ( a k ) k z 是有足够小支撑集的连续线性泛函，如果 ，c o ( r ) 且满足衰减条件： l f ( 0 ism ：i t l 一1( t 趴 0 ) ) ，( 2 5 ) m ，是常数，则： i i 一s w , a f l i c ( r ) k e ( ，a ) 地面蓊 其中k 是常数，独立于f - , ( i ，入) ，7 0 ，e ( f ，入) n f i n e 一 ，专) ，w 1 且对任一 g c o 假) ，有e ( g ，入) o o 定理2 8 ( 【2 0 】) 若，e 孙满足衰减条件( 2 5 ) ，局部平均采样值由下式 定义： 厶= 丽1 仁弛+ 扣 其中0 仃知s 口 ，且u ( ，仃) m i n e ，专) ，w 1 则： i i 一。三f k s i n c ( w t - - k ) l l c ( r ) 鲥( ，) 1 0 9 赤 = 一 其中k 1 = ( 6 6 + 3 ，1 m 1 ) ，m s ，7 是正常数 此后，孙文昌教授和周性伟教授分别利用局部平均对确定性信号发表了 一系列文章( 如：【2 1 】、 2 2 】等) ，对确定性信号的局部平均采样与重构问题进 行了深入的研究宋占杰教授( 2 3 】【2 4 】) 也对确定性信号与随机过程的局部 平均采样和重构做了深入的研究，在文献【2 3 】中改进了p l b u t z e r 和j l e i 等人的结果，得到了更加精确的误差估计 我们在本文中对局部平均采用下面的定义： a 知= = ，( z ) 弘七( z ) d z ， 且p 七满足如下条件： ( 1 ) s u p p # kc 【专一c r k ，专+ 吼】，其中署以， 善，口：、口是正常数； ( 2 ) p 七20 ，厂d k ( t ) d t = 1 ； ( 3 ) m5 心i n f # k ，其中m2 嚣舰( t ) d t 本文将在总结前人的基础上，利用上面的局部平均函数和斯特林公式推 广p l b u t z e r 和w e n g e l s 在【l l 】中给出的结果 1 4 第三章斯特林公式 第三章斯特林公式 3 1 斯特林公式简介 估计佗! 的值在理论研究中常常是必要的如在概率论中我们熟知的二 项分布，超几何分布以及t 分布，都可以归纳为阶乘的计算问题阶乘的计算 问题及其误差估计有着重要的实际意义 本质上，斯特林公式是一个用来取礼阶乘近似值的数学公式一般来说， 当7 很大的时候，扎阶乘的计算量十分大，这时用斯特林公式就方便的多，而 且，即使在r t 很小的时候，斯特林公式也可以使用关于阶乘的斯特林公式在 理论上和应用上都具有很重要的价值，它对于概率论及数理统计的发展有着 重大的意义 关于其计算的探讨，由来已久法国数学家亚伯拉罕棣美弗( a b r a h a m d em o i v r e ，简称棣美弗) 在1 7 3 0 分析杂论中首先发现了正态分布并给出 了初步的斯特林公式，形式如下： 佗! 。c 钆n + 圭e - n 苏格兰j 斯特林微分法( 或关于无穷级数的简述) 中证明了公式中的常 数c 是俪，给出了扎! 的斯特林公式： 肌厮( 这就是说，当几足够大时，这两个数互为近似值我们常见的形式是： n u m - - * o o 蒜乩、2 7 f n ( 詈) n 。 或 溉丽e n n ! = 压恶元砺2 v 斯 现在我们常用的更加精确的形式是： 拈俪( k 1 5 第三章斯特林公式 关于斯特林公式的证明方法多种多样在数学分析中，大多是利用r 函 数、级数或含参量积分等知识进行证明或推倒，较为繁琐近年来，一些国内 外的学者利用概率统计中的指数分布、泊松分布或x 2 分布来证明但这些 证明并未说出如何看出或猜出公式的追寻、探索过程，有些美中不足，蔡聪 明的谈s t i r l i n g 公式比较详细讲述了这一猜想的演变过程，弥补了上述缺 憾，对于我们更加深刻的理解斯特林公式也是有一定意义 3 2 斯特林公式的参数估计及应用 现在我们熟知的s t i r l i n g 公式的形式是； 礼! = 际( 罟) “少 人们对k 的研究有很多，其目的就是是e k 有更精确的表达式h e r b e r t r o b b i n s 在【2 5 】中用初等方法证明了k 满足双边不等式： 西丽1 k 去西i 万 k 丽 有许多书也经常用比较弱的不等式： 0 a “壶， 或 丽1 入n 丽1 西i 而 入n 丽。 a j m a r i a 在 2 6 】中用更简便的方法改进了双面的不等式，给出了更精确 的不等式： -二一h，12n + 莉丽3 一” 并得到了： 小= l + 去+ 去+ 咖2 ) 因此，我们可以写成： n ! 际( 詈) “( 1 + 面1 + 瓣1 ) ( 3 1 ) 这对于以后的计算研究提供了方便 1 6 第三章斯特林公式 我们看到，二项分布和超几何分布的计算问题可归结为阶乘的计算问 题所以，在本节我们将以二项分布的近似计算问题为例，揭示斯特林公式在 阶乘计算问题中的应用 当n 0 假定：u ( ，署) 0 ，成立： ，曼| s i n c ( w t 叫卜- + ( 罢) 。奇 1 由引理4 1 ，我们有： ( i s i n c ( w t k ) 1 9 ) i 1 ( l s i n c ( w t k ) 1 9 ) i 1 p ； n 证明：利用衰变条件( 4 3 ) ，我们有： ( 嘉胪) ；1 sa ( 2 ( 1 + f 嘉| ) 一邓1 a ( 2 嘲唧) ； 2 ；a ( f ( 毒p 蛳1 2 ；a ；( 引理4 4若，c ( r ) n l ( r ) 且在 一7 r 彤7 r 】上是有限带宽的，且满足衰 减条件( 4 3 ) ，则对p 7 2 有： 七n ，c 南，壹= p n c 叫带i sc - + 2 墨 ，嘉面1 嘉t 嚣c + 掣，训 ( 4 5 ) 证明：由s i n c ( w t k ) 的泰勒展式在r 上收敛，则： = a n 、叫。 r ( w t 一詹) ) 2 硝 ( 2 p n + 1 ) ! s i n ( o r + t 2 p n + 1 7 r ) 第四章局部平均香农采样定理的误差估计 l 七三n 砖，量户铲i 一- 詹n 砖飞 7 r ( w 丽t - k 矿) 2 p ns i i l ( 侥+ t 2 p n + 1 刮 蠡。叁i 砖炉声c 缸叁i 篇： s a ( 壹 11+i专-仰声(2+1)百1(|ti+)2p瓦菊k= - n 、。一7 、。7 洲1+萎n”引k俐(2+1)：(wltl+n)2丽高k- - 一k # o 、7 一。，、1 。7 茎a 【1 + ( n l嘉i-仰)；】(2+1)j(w+)2瓦丽k= - n k # o 、。7、。7 ( 怼n 护郾2 ( 争d z ) 1 l ( 1；k ( i 嘉p ) ；2“( 警) 憎； = - n 知0 一 = 2 ； ( 丙1 一而im l _ l ，( 嘉) ； = 2 ； ( = 一篇) p p ( 二) 2 ；1 彬 ；( 斋一而1 ) - 1 n 2 ；彬 i ( 三一= ) ； 利用s t i r l i n g s 公式 ( 2 俐= 佩( 等) 2 p n e k ， 一2 4 p n ! + 一一i k 上2 4 p n ， n 【斋p 声 纠a ( 争+ ( 1 叫( 澌2f ( 专p 如) - 1 2 ；州墓) + ( 1 叫( 孤万w m 箩驾蔓局部平均香农采样定理的误差估计 l r ff n l l ，f n 一芒、，、；1 ，1 、j n户错j七= 一 ，= 0 、o1 ，。 + 七n 砖) j ( l 户丽 r ( w t - k ) v i 邓翩+ i 。n 叭争州刷p n - 1 ( _ 1 ) ，锵i= 一i = o 、v 。1 ，。 + | 七n 砖) ，量( 叫丽 7 r ( w t - k ) 2 j i ， 定义 ，砭p 。三n 砖) j 主= p n ( _ l 户锵j 舢 k = 一 、。，。 咖垆七三n 【，( 争州州p 篆l v - 1 ( _ 1 ) ，锵 r 跏)