（概率论与数理统计专业论文）非调和傅立叶级数中某些问题的研究.pdf

摘要 非调和傅立叶级数主要是研究复指数系统f h 。) 在口 - a 州中的完备性，稳定性 及展开性质。本文对非调和傅立叶级数中的某些问题作了较为深入的研究，得出了一些 新结果，全文分五部分来阐述这些新结果：第一部分首先将( 陬p1 3 2 ) 完备复指数系统 的稳定性定理由实情形推广到复情形，并进一步将结果推广得到一个一般的s c h a u d e r 基或者r i e s z 基稳定性定理，最后通过一个反例来否定 2 2 中c a r l e m a n 定理和l e v i n s o n 定理条件的必要性；第二部分首先得到一个一般性的框架稳定性定理，然后将经典 k a d e c s 1 一定理由实一维推广到复高维情形；第三部分主要将一维f o u r i e r 框架的稳定 性定理推广到高维；第四部分主要研究不规则g a b o r 系统，首先就h r a m a n a t h a n a n d t o p i w a l a 猜想( 1 9 9 5 年提出，至今尚未解决) 的三种特殊情况给出了肯定的回答及证 明，还给出了不规则g a b o r 系统成为工2 ( 豫) 中框架的必要条件；第五部分将( 1 5 】，p 9 8 ) 中的例子 e k + 8 k + 1 ) 苍1 推广到 e k + e k 州 芒1 ，其中l 为任意自然数，得到( e k + e k + d 是l 是h i l b e r t 空间日中完备的极小列，且是日中一个b e s s e l 序列，但不是框架。 关键字；复指数系统，稳定性，框架，r i e s z 基，不规则g a b o r 系统。 a b s t r a c t i h et h e o r yo fn o n h a r m o n i cf o u r i e rs e r i e si sm a i n l yc o n c e r n e dw i t ht h ec o m p l e t e n e s s s t a - b i l i t ya n de x p a n s i o np r o p e r t i e so fs e t so fc o m p l e xe x p o n e n t i a l s e n “) i n _ a ，刎i nt h i s p a p e r ，w ef o c u so ns o m ep r o b l e m si nn o n h a r m o n i c f o u r i e rs e r i e sw ea r r i v e ds o m en e wr e s u l t s w h i c ha r es t a t e di nf i v ep a r t s t h en e wr e s u l t sa r et h ef o l l o w i n g ：i nt h ef i r s tp a r t ，w ef i r s t g e n e r a l i z e dt h ec o m p l e xe x p o n e n t i a l s s t a b i l i t yt h e o r e m ( j 2 ，p 1 3 2 ) t ot h ec o m p l e xs i t u a t i o n f u r t h e rw eo b t a i n e das t a b i f i t yt h e o r e mf o rg e n e r a ls c h a u d e rb a s i so rr i e s zb a s i sl a s tw e p r o v i d e dac o u n t e r e x a m p l et os h o wt h a tt h ec o n d i t i o n si nc a r l e m a nt h e o r e ma n dl e v i n s o n t h e o r e ma r en o tn e c e s s a r y ；i nt h es e c o n dp a r t ，w ef i r s t g o t ag e n e r a ls t a b i l i t yt h e o r e mf o r f r a m e s ，t h e nw eg e n e r a l i z e dt h ec l a s s i c a lk a d e c s 一t h e o r e mt ot h ec o m p l e xm u l t i v a r i a t es i t u - a t i o n ；i nt h et h i r dp a r t ，w eg e n e r a l i z e dt h eo n ed i m e n s i o ns t a b i l i t yt h e o r e mf o rf o u r i e rf l a m e s t om u l t i v a r i a t ed i m e s i o n ；i nt h ef o u r t hp a r t ，w em a i n l ys t u d i e dt h ei r r e g u l a rg a b o rs y s t e m w es h o wt h a thr a m a n a t h a na n d t o p i w a l ac o n j e c t u r e ( i tw a sf o r m u l a t e di n1 9 9 5a n d i ss t i l l o p e n ) h a sp o s i t i v ea n s w e r si nt h r e es p e c i a lc o n d i t o n s w ea l s og i v ean e c e s s a r yc o n d i t i o n f o ri r r e g u l a rg a b o rs y s t e mt ob eaf r a m e ；i nt h ef i f t hp a r t ，w eg e n e r a l i z e dae x a m p l e ( 1 3 ， p 9 8 ) e k + e k + l 墨lt o e k + e k + l 膣l ，w h e r e1 i saa r b i t r a r yn a t u r a ln u m b e r w ed e r i v e d t h a t e 七+ 8 制) 是li s a c o m p l e t em i n i m a l b e s s e ls e q u e n c ei nh i l b e r ts p a c eh ，b u tn o taf l a m e k e y w o r d s ：c o m p l e xe x p o n e n t i a l s ，s t a b i l i ty 1f r a m e ，r i e s zb a s i s ，i r r e g u l a rg a b o rs y s t e m 本文创新结果列表 i 将( 吼p 1 3 2 ) 完备复指数系统的稳定性定理由实情形推广到复情形( 定理1 1 ) 并进一步将结果推广得到一个一般的s c h a u d e r 基或者r i e s z 基稳定性定理( 定理1 2 ) 定理1 1 设 k ) 和 ) 是两列复数，满足 o o s u p i ，m a n j 。， l k 一l o 。 n n = l 若e i a n t 在l p 一a ，刎中完备，则 e m 。) 也在l p 一a ，a i 中完备 定理1 2 设 a 。) 和 胁) 是两列复数，满足 o o 一卢。l o 。 若 e n n 。) 是三2 - ”，”】中的一组( r i e s z ) 基，则( e 2 ) 也是n 2 一”，叫中的一组( r i e s 。) 基，且与p l n 。) 等价。 i i 得到一个框架稳定性定理( 定理2 1 ) ，且将经典k n d e e s 一定理由实维推广 到复高维( 定理2 2 ) 。 定理2 1 设( ，n ) 忍1 是可分h i l b e r t 空间h 中的框架，框架下界和上界分别为a 和 b ，若 跏) 。o o ：- 是口中一列函数满足i i 厶一g 。 墨锄，墨1e i 譬，则 9 n 甚1 也是日 中的框架，其框架下界和上界分别为a 一2 ( a 甚1e 。2jz 和2 ( b + 墨1e i ) 定理2 2 k ：n z 8 是c d 中的一个序列，满足 8 u 。p i i 蹦n 一圳i 一( i ，s u 。p i i i m n o 。 nqn 即 “9。要!。jr以n*一“女ji，潞要!。fimxntneza 1 。 l s 茎d q n 主d k d 。 。 则f e 2 ( 1 “) ：n z 4 ) 是l 2 一”，r 】d 中的r i e s z 基。 i 抗将一维f o u r i e r 框架的稳定性定理推广到高维( 定理3 1 ) 。 2 定理3 1 若妒1 叫) ：n z d 是工2 一 ，p 中的框架，则存在正数l 使得当 剃s u p 一圳o o 兰l 时，( e 。( 肌“) n z 4 也是上2 _ n ，”p 中的框架。 i v 就h r a m a n a t h a na n dt o p i w a l a 猜想的三种特殊情况给出了肯定的回答及证明 ( 定理4 1 ，定理4 , 2 ，定理4 3 ) ，还给出了不规则g a b o r 系统成为弘( 琏) 中框架的必 要条件( 定理4 4 ) 定理4 1 设e = k ) acr 足一个不可数集，h j ( 七j ) 。则 e 认。) ：1 在 f 上线性无关 定理4 2 n k ) 2 ：l 是一列两两不等的实数，g l 2 ( r ) ( o ) ，则如( 。一肌1 ) 2 ：1 在l 2 ( r ) 中线性无关。 定理4 3 设g l 2 ( r ) t o ，( a 1 ，“1 ) ( 2 ，p 2 ) ，则 e 2 “一。g 忙一p ) ) k ：1 2 线性无关 定理4 4a = x k k z ，f = 。e z 是r 中的两个序列，g l 2 ( r ) o ) ，则有 ( i ) 若( 黾。g ) k , n e z 是b c s s c l 序列，则d + ( a ) 和d + ( r ) 中至少有一个小于无穷 ( i - ) 若( b 。耳。9 e z 满足框架条件中的左不等式，则一定有d 。( r ) = 。 v 将( f 15 ，p 9 8 ) 中的例子 e + 。十1 ) 是l 推广到 e k + e “) 是 推广：设t “) 芒l 是可分h i l b e r t 空间h 中的一组标准正交基，f 为任意固定的自然数 ：= + 8 一f ， 自n 则有以下两个结论； ( 1 ) a ) 磊1 在h 中完备且有唯一的双正交序列 虮 臣1 若女= m 1 m 为自然数，则 若女= 女。上m f ，0 o f ，m 都足自然数，别 9 e = ( 一1 ) n e 聃“，n i s n 3 蚰= ( 一1 ) “1 ，m i s 。d d 削osme + h 1一 。d 乳 merm n 一 m = 啦 1复指数系统的完备性和稳定性 复指数系统 s n “) 在空间e 卜a ，州及l p 一a ：a 】( 1sp 。) 中的完备性和稳定性 是研究非调和傅立叶级数中的一个重要问题。非调和傅立叶级数一词的出现可以追索 到1 9 5 2 年d u f f i n 和s c h a e f f e r 的论文 1 1 ，该文中对非调和傅立叶级数和p a l e y w i e n e r 空间之间的关系做了较为深入的研究。在 2 】中r m y o u n g 对1 9 8 0 年以前的一些重要 的结果做了一个总结，r m r e d h e f f e r 在【3 中重点研究了 e n “ 的完备性与序列( a 。 的密度之间的关系， 4 】，( 5 】， 6 】研究了一类特殊复指数系统的完备性， 7 】中研究了一类 特殊复指数系统在铲 - 7 r ，叫中的稳定性近几年关又有一些很好的结果，尤其是2 0 0 2 年j o r t e g a c e r d a 和k s e i p 在f 8 中对p k ) 和p a r l e y w i n n e r 空间做了深入的 研究，给出了 e 订n 。) 构成驴 _ ”，” 中傅立叶框架的充分必要条件，但是在实际应用中 这个条件不便于验证在 2 】中给出了 e i a n t ) 完备的几个非常重要的充分条件，但是没 有指出是否是必要的。在这一节中我们首先对( 吼p 1 3 2 ) 的定理1 1 作了推广，将该定 理中的两个实数序列 h 和仙。) 推广到一般的复数序列，再进一步将结果推广到一 般的s c h a u d e r 基或者r i e s z 基，最后通过一个反例来否定【2 】中两个定理条件的必要性。 定义1 1 一列向量( 2 1 ，z 2 ，x 3 ，) 被称为是无穷维b a n a c h 空间x 中的一组( s c h a u d e r ) 基，如果对x 中的任何向量z 都存在唯一的一列数 c 1 ，c t ，c 3 ，- ) 使得 其中以上级数的收敛性应理解为在空间x 强拓扑意义下收敛，即 容易证明每个系数c n 都是向量z 的有界线性泛函，记作a ，因此我们有z = 墨，厶( 。) z 。 我们称( ，n ) 是与基 0 ，都 存在有限线性组合c 12 ；1 + c 2 2 2 + + e n x 。使得 z 一( c l x l + c 2 茁2 + + c n 。n ) l l e 由h a h n b a n a c h 定理知一列向量 z 。) 在x 中完备等价于下面的条件：如果p x 4 ( x 的对偶空间) 且芦( z 。) = o = 1 ，2 ，3 ，) ，则芦= 0 当x 是h i l b e r t 空间时，由r j e s z 表示定理知 z 。) 在x 中完备等价于：如果( z ，。) = 0 ( n = 1 ，2 ，) ，则z = 0 。 4 n z n c 脚 i | o 0 一 zc 。“ 一z 定义1 3b a n a c h ? - i ；qx 中的两组基 x 。) 和( y 。 称为是等价的，如果：怠lc n x 。收 敛当且仅当甚。c 。收敛。 命题1 1 ( 2 p1 3 2 ) 设l p o o ，( h ) 和 ) 是两个实数列满足 一弘。i o o 若 e 认n 。) 在l p 一a ，a 】中完备，则 e 川) 也在口 _ a ，a 中完备 命题1 1 中的 h ) 和 ) 是两个实数列，那么对复数列这个结论是否仍然成立 呢? 我们在命题1l 和下面的引理1 1 基础上可以得到类似命题1 1 的定理。 化) = a a 和“都是复数，如果f ( u ) = 0 且 出) = 三她) ， 则存在卢( t ) 驴 一a ，a 】使得 - a 9 ( 。) = 卢( t ) e 谢d t ， j 一 且下面的等式在 一a ，a 中几乎处处成立 犀o ) = o ( t ) + t ( a p ) e 一。o ( s ) e p 。d s ，c j a 定理1 1 设 h ) 和 p 。 是两列复数，满足 s u p i i m ) l n l o 。+ 一弘。l o 。 n一 n = l 若 e 。 在p 卜a ，a 中完备，贝i e t g n ) 也在l p 一a ，a 】中完备 证明：我们用反证法，反设 e p n 。) 在l p 一a ，a 】中不完备。则由表示定理知存在整函数 i ( z ) 0 ，每个p 。都是函数，的零点，且，有如下的表达式 ，a ，( z ) = 妒( 班；n d t j a 其中毋( t ) l q 一a ，a 1 ，；+ i 1 = 1 5 受引理11 的启发，我们递归定义如下一列函数，令妒o = 曲， 九( t ) = 一l ( 。) + i ( k p n ) e - i “t 上 奴一l ( s ) e i u s t 如 ( n = 1 ，2 ，3 ，) r 令 ( z ) = 匕咖。( t ) e i z t d t ，则由引理1 1 知 眦卜z - a 。 f n _ z ( z ) = ( 垂蒜) 他瑚s ， 且a h - ，a n , 扎z n + 2 ，是厶( z ) 的零点， ( 1 ) ( 2 ) 下面我们要证明 曲。) 在l q 一a ，a 】中是一个c a u c h y 序列。由定理条件易知 a 。 和 鼽 的虚部都是有界的。不妨设l j m 。l m ，i i r a # 。l m ，vn 由( 1 ) 知 忪。呐一b m 州= ( 褂咱矿m t c n _ l ( s ) e i 一 s d s lq d t ) 卿。嘞 ，( “； 鲥一i ( ( “。凇s ) 9 a t ) ； 由h s l d e r 不等式知 ( 川圳出) 。 则有 ( m s ) 5 ( “s 胪a s ) ( t 十a ) ；，l 机一1 ( 。) j a ( 仁( “s 舾) 4 出) ；s ( c 一s 坩删t ) = ( f _ ：f t a ( 川崩札小胪她) i ( f u b i n i ) = ( 仁“圳a ( t + a 沌t ) ； ( “驯a 出c z 出) i = ( 仁“圳( 2 ( 2 a ) ) i - ( 2 舭( 仁“圳) i 6 ( 4 ) 由( 3 ) 和( 4 ) 可得 j 如一砂。一1j j 2 a e 2 m 4j j 。一, u nj jj j 。一1 j 令。= 2 a e 2 ”4 l l 。一灿。忆则有 l l 咖n 曲。一1 | | ! c n t l ；i 。一1 | | 由定理条件知e 。 。，因此得到 ( 1 8 n ) f f n 一1 f f | | 靠f f ( 1 + e 。) i t 如一1 | i ， 由。 。知兀罂l ( 1 + e 。) o o ，则由( 6 ) 可得 i i 咖n i i ( 1 + e 1 ) ( 1 + s n ) l i i l c t l 1 l ， 其中c = n 是l ( 1 + e 。) 故i i 如忆n = l ，2 ，3 ，是有界的再由( 5 ) 可得 | | n + p 一咖n 1 1 冬l l + 1 一曲n | | + - + j | 妒。+ p 一。+ p 一1 | | se n + lj j j j + - + 。+ p jj + p ljj c l l 咖t l ( e n + l + + n + 口) 一0 f n ，p 叫o o ) ( 5 ) ( 6 ) 6 到此我们证明了( 。 是l 7 卜a ，a i 中的一个c a u c h y 序列。因此存在妒口f _ 4 ，刎 使得 ) 在空间l q 一a ，州中收敛到妒由( 2 ) 知( 。) 不为零，再由( 6 ) 知 曲。) 收敛 到的妒也不为零。令 ，= 仁蚺出 因为 ( z ) 9 ( z ) m 0 ) ，故我们得到 9 ( a 。) = 0 v a 。 因此 e i a n t 在护【一a ，a 】中不完备，这与题设矛盾! 所以我们可以得到p “n 也在 l p 一a ，a 】中完备 口 定理1 1 给出了一个完备的复指数系统稳定性条件，在相同的条件下我们根据以 下的引理1 2 和引理1 3 可以得到一个关于s c h a u d e r 基或者r i e s z 基的稳定性定理。 引理1 2 ( 2 j ，p 2 3 ) 设 。) 是b a n a c h 空间x 中的一组基，f 厶) 是其对应的系数 泛函，则每个 x ，且存在常数m 使得 1 i l z 。”i i ，凡| | m( n = 1 ，2 ，3 ，) 7 引理1 3 ( 2 1p 4 0 ) 设 z 。) 是b a n a c h 空间x 中的一组基， ( 是其对应的系数泛 函，若 鲰 在x 中完备且有 。 慨一g 。川 o o n = 1 则 y 。) 也是x 中的一组基且与( z 。) 等价 定理1 2 设f h 和( 脚) 是两列复数，满足 o 。 s u p l i m a 小：o 。，一卢。i o 。 n = l 若p ) 是l 2 _ ”，丌 中的一组( r i e s z ) 基，则 e 。 也是l 2 卜”，”】中的一组( r i e 。：) 基，且与 e i a n t 等价 证明：令m = s u p 。l ，m a n | ，。= i a 。一肛。j ，则m o 。，= 。 。，且有 舱n “铲= 瓦1 _ l 。rp h 午d t = 去e - 2 ( i m , ) t d t e - 2 ，r l l m ) , m 。一。w ” 故有 忖1 “。j j e 一， vh 设 厶) 是与基 e f l n 。) 对应的系数泛函，由引理1 2 知存在常数c 使得 1 咿h 。i i 厶| | c 。 由( 7 ) 可得 s u p i l | 1 c e ”m 。 现在有 忙l 沙一忙去i ”妒叩蜒等p 一z m 又因为 f m ) l - 1 1 2 匡1 监拦幢i 譬， 抄一“”一= i 型学l 簪， f 七= 。 ft = 则 忙- e t m 妻等 故有 渺”一e 一。 8 1 ) 0 0 ( 7 ) ( 8 ) 盯 矿 | | 毫| 刖 吼 m 矿 一 簪 。 汹 m ， 一a n o o 。7 r 则 e 认n2 ) 在a 卜a ，川中完备。 命题1 , 3 中的条件是非必要的，我们给出以下的一个反例。 反例1 1 令a 。= n n l 2 ，n = 2 ，3 ，4 ，由( 2 p 1 1 7 ) 知 e 。1 n2 ) 在叫一a ，州中 完备显然a 。 0 ，但是 - 恐掣未= l i m i n f n - - ，o o # 薪= = ；n _ + nn 一礼1 ， 7 r 所以命题1 3 中的条件是非必要的 接下来我们要讨论复指数系统f “ 的稳定性，我们知道 e “2 ) 在2 - a ，州( 1 p o o ) 中是完备的，当在每个n 附近有一个小的扰动之后，得到的 e 认n ) 在护 _ a ，a 中是否仍然完备呢? l e v i n s o n 得到了以下一个重要定理：若 n 川+ 面1 ， 则p l n ) 在口 _ a ，卅( 1 p o 。) 中完备 题，该命题给出了完备性的一个充分条件， 9 n = 0 土1 4 - 2 该定理的证明中用到了一个非常重要的命 我们下面要证明该命题中的条件非必要。 设f a n ) 是一列复数，n ( r ) 表示位于圆i 。i r 内的k 的个数，我们用记号 ( r ，= ，”华n 命题1 4 ( 【2 】 p 1 1 8 ) k ) 是一列复数，l p 一o 。 r 。o p 则 e n n 在口卜- ”，” 中完备。 下面我们通过一个反例来说明命题1 4 中的条件非必要 反例1 2 令a n = n n 1 ? ，n = 2 ，3 ，4 ，由( p 1 1 7 ) 知 e 认n 。 在g 一a ，圳中 完备，则其必在口 - ”，” 中完备但是我有以下的结果：先计算( r ) ， n n 1 2 t 辛n 茎l + t v q + 一4 t 辛n 。) = p + 学j 一1 = 阽+ 二学 则 肌，= 7 学出s z t + 坚。d t = 7 ( 1 十- 1 + 。x ；1 - + 面) d t = ( r - 1 ) + z 7l 厕斟+ 4 t d t 一弘1 鲥； s ( r - 1 ) 一i l l o g r + 以诱1 出 = r - 1 ) + 2 以( 痧- 1 ) 一；l o g r 则有 ( r ) - 2 r + 1 r ( r 1 ) + 2 以( 1 ) l o g r - 2 r + 扣r = 一r + 2 瓜+ ( ：一；) l o g r 邮十2 以) 一o 。p _ + o 。) 故 】i ，1 2 。 1 8 。1 1 p ( r ) - 2 r + ；1 l o g r = - o 。 r + 口 所以命颞i4 中的条件韭，姝季 1 0 2 高维k a d e c s ；定理 k a d e c s 一定理是非调和傅立叶分析中的一个经典定理，该定理中的 a n ) 是一列 实数，且研究的是一维情况。近几年在经典k a d e c s - 定理的基础上不少数学家做了 很多的推广性的工作，其中有将原定理推广到实数高维情况的，也有推广到一维复数 情况的。在这一节里，我们要将原定理推广到高维复数情形。我们首先回顾一下一些 相关知识和已有的一些结果 定义2 1 一列函数 a ) 。j 被称为是可分h i l b e r t 空间h 中的框架，如果存在两个 正数a 和b 使得 4 j ，jj 2 j ( f ，厶) j 2 曼bj j ，1 1 2 ，v f h n e j 常数4 和b 分别称为框架的下界和上界。上式中若a 和口相等，则称f ，n 。，为紧 框架若个框架去掉一个元素之后不在是框架，则称该框架为恰当框架 定义2 2 一列函数 ，。) 。j 被称为是可分h i l b e r t 空间日中的p d e s z 基，如果( ，。) 。j 在打中完备且存在两个正数a 和b 使得 a 川2 剑c 。圳2 s b 川2 ， v c 。) 9 2 ( j ) n e jn e jn e j 由 1 】知恰当框架跟r i e s z 基是等价的。 关于框架的稳定性，我们首先得到了下面一个一般性的定理 定理2 1 设 ) 是1 是可分h i l h e r t 空间日中的框架，框架下界和上界分别为a 和 口，若 鼽) 墨1 是日中一列函数满足| f ，n g n f fs 。，墨l5 i 鑫，则 9 。) 县l 也是h 中的框架，其框架下界和上界分别为a 一2 ( s e 甚1e i ) 和2 ( b + e 是le i ) 证明：由 ，n ) 甚。是口中的框架知 考虑 g 。) 忍，由 知 。 a i i f l l 2 i ( f ，n ) 1 2 b i i f 2 ， v f 日 n = 1 ( f ，9 。) = ( f ，n ) + ( f ，g 。一厶) ( ，如) 1 2 2 ( ，厶) 1 2 + 2 l ，g 。一a ) 1 2 则有 另外有 故有 肌) 2 2 a ) 1 2 + 2 g n 一 ) 1 2 n = 1n = 1n = 1 o 。 2 9 l l f l l 2 + 2 ( 慨一川2 ) l l f t i 2 n = l 。 茎2 ( b + ) l l f l l 2 ( ，9 。) f 2 | | ( ， ) l l ( ，g n f n ) 1 1 2 = l ( ， ) 1 2 + i ( ，1 9 。一，n ) 1 2 2 l ( ，n ) i 1 ( ，】g n 一厶) j ，厶) j 2 2 i ( ，厶) | j 刘，i 奴一，nj j l ( f ，g 。) 2 0 0 。 l ( f ，n ) 1 2 2 1 1 1 1 - e 。厶) n = ln = 1 o 。o 。 a i i f l l 2 2 1 1 ：1 1 ( s ：) ( ，n ) 雕 n = ln = l a l l i f 2 2 1 1 ：1 1 ( e i ) 以i i ， n = 1 o o = 【a 一2 循( 。2 w l n 综上可知 9 。 罢l 是日中的框架，有框架界a 一2 ( 8 是le ：) 和2 ( b + 墨l i ) 。口 下面给出经典k a d e d s - 定理及其一些推广工作和证明。 命题2 1 ( k a d e c s 一定理) k ) 是一列实数满足 j a 。一nj s 三 i 1 ， n = o ，士1 ，士2 ， 贝 e n n 。) 是l 2 一7 r ，州中r i e s z 基 对于高维情况，令n 一( n l ，- - ，h a ) z 4 ，a 。= ( h - ， 。) 删，我们希望找到 一个常数o d 使得当 s u pj | a n n i i = s u ps u pj a 。一n 女i o a n z dn e z d1 兰t d 1 2 时，p 1 “) ：n z 4 是空间l 2 ( 一7 f ，丌 4 中的r i e s z 基。常数如称之为扰动界。很显然 我们希望这个界尽可能的大。 f a v i e r 和z a l i k 在 1 3 中证明了以下的命题。 命题2 2 设i 。一n k lsl ，女= 1 ，d ，其中l 。若b d ( l ) 1 有 b d ( l ) ：= b ：2 ( l ) + 一b 。1 2 ( 三) 1 + 口：2 ( j l ) ) 2 。 在 1 4 中，c h u i 和s h i 改进了上面的命题，他们证明了以下的命题。 命题2 3 彤( ) 一1 在区间 0 ，1 4 】中的( 唯一的) 零点钆是一个扰动界，其中 成( t ) ：= h ( t ) ：= 通过命题2 2 和命题2 3 给出的公式计算，我们很容易知道当d 很大的时候f a v i e r z a l i k 扰动界和c h u i - s h i 扰动界都很小1 9 9 9 年s u n 和z h o u 在他们的文章【1 1 1 中进一 步改进了f a v i e r - z a l i k 扰动界和c h u i - s h i 扰动界，得到了下面的命题，该命题类似于经 典k a d e c s 一定理，也是实数情况下高维k a d e e s 一定理最理想的结果。 命题2 4 ( 。：n z “) 是r d 中的一个序列，满足 1 工：= s u pl i h 一圳。 ；( 1 0 ) n z d - 则( e 2 ( 1 “一：n z 。 是三2 f _ 丌，”严中的r i e s z 基，有框架界( 2 ”) d 1 一b ( l ) 】2 。和( 2 ”) 8 1 + b ( 三) 严，其中b ( l ) = 1 一c o s r l + s i n r r l 。而且( 1 0 ) 式中的不等式不能改成等式。 命题2 2 ，命题2 3 ，命题2 4 都是在实数情况下对经典k a d e c s j 一定理做了高维推 广，下面我们将在复数情况下将k a d e c s 一定理推广到高维。 引理2 1 ( mp 1 9 6 ) f k ) 。z 是一列复数满足 s u 。p l r e s a - n i i 1 ，s 驯。m 。i 。onn 则 e t l n ) 是三2 _ ”，” 中的r i e s z 基 定理2 2 。：n z “) 是c 8 中的一个序列，满足 1 s u p i i r e s n n | o o ；，s u p | | i r e s 。| | 。 nn 1 3 即 sud。蜓supdm旷“kli，尝。蜓supneza d l m n t i 2 类似可证由引理2 1 知f 1 一“：n l z 和 e l h 。：n 2 z ) 都是工2 - 7 r ，7 r 中的r i e s z 基，设其下界和上界分别为a ，b 。 现对任意有限序列( c 。m ：l ，n 2 z ，c 。：e ，我们有 蒹c n t , n 2 e i ( 1 , w t + a n 2 w 2 ) 酽。上。上。i 荨( 丢c n l n 2 e l a n 2 , 。2 ) e nn 1 1 | 2 灿灿 口i c 。e n 一”1 2 扎。 j w n ln 2 = b j 。e n 一”j 2 山。 n l j a n 2 b 2 。1 2 类似以上证明可得 c 。：e 舭叫m 刑2 2 a 2 l c n l ，n 。1 2 n h n 2n l1 , 1 z 另一方面，由引理2 1 知p 1 “：n l z ) 和 e 1 1 一“。：n 2 z ) 是工2 一7 r ，7 r 中的r i e s z 基，则它们在工2 【_ ”，州中完备，故 e ( h - 。+ 1 n z 。) ：n l ，? 2 2 z ) 在l 2 r ，州2 中完备。由 r i e s z 基的定义知 e i ( a n l u 1 + ) 、n 2 w 2 ) ：n l ，n 2 z 是l 2 【_ ，丌 2 中的r i e s z 基，有下解a 2 ， 上界b 2 。而且( 2 ，p 1 2 2 - 1 2 5 ) 中的例子可以推广到高维情况，因此本定理中的 不能 被修改成更小的数。 口 3 高维f o u r i e r 框架的稳定性 2 】中指出，若 e f ) 是三2 【_ ”，” 中的框架( r i e s z 基) ，则当 。) 作适当扰动之 后( 例如l k p 。i l ，l 足够小) 仍然是框架( r i e s z 基) 对于高维情形是否有相应的 结论呢? 我们将在本节给出相应的答案。 记号：礼= ( n 1 ，一，礼d ) z 4 ，a 。= ( a ：，一，a j ) ，p 。= ( p ：，一，p i ) ，a 。c d ，p 。c 4 o= ( d 1 ，一，o d ) ，其中o 一，a d 均为非负正数，= o l + + 0 1 d ，a ! = o l ! a d ! ，x = ( 趴，z d ) c d ，护= z ? 1 z 挈，吲。= i q i “l z d l “设，( 钆，d ) 为d 元函数， 记俨，= 磊暑：岛若，在。的一个邻域中解析，则，可展开为t a y l o r 级数，即 f ( x + ) ：妻_ o a f ( x 广) h a 1 4 其中h = ( h h - - ，h d ) c “令 p = ( ，：，( z ) = ( t 一，妇) e 巾，2 ) d r l 出d ， j wj 一 z = ( z l ，一，z d ) g 4 ，t = ( t 1 ，一，d ) ，l 2 一7 r ，丌】4 ) 当d = 1 时，p 就是通常的p a l e y w i e n e r 空间，p a l e y w i e n e r 空间在非调和傅立叶分 析，调和分析，信号处理等方面都有着重要的作用 2 】， 9 1 给出了p a l e y - w i e n e r 空间的 一些基本性质，【1 0 研究了p a l e y w i e n e r 空间中的t o e p l i t z 和h a n k e l 算子。 引理3 1 a 。) 。z a 是c 8 中的一个序列满足 l ，( 。) 1 2 b l l f l l 2 ， v ，p n 若c 。中的另一个序列 p 。，。z a 满足 s u p l | a 。一p 。i i 。= s u ps u pi a ：一p ：i l ” n e z a l 茎k 兰d 则对任何f p 有 i f ( ：k 。) 一，( p 。) 1 2 b ( e 打一1 ) 2 i l f l 2 n 证明：设，是空间p 中的一个函数，将，在 n 点作t a y l o r 展开， m n ) 一m n ) = 壶a 。m n 一h ) 。 ，善la n ，( a 。)p i o l ( p 。一a 。) a 。毛丽面矿一 其中p 是任意一个正数由s c h w a r z 不等式可得 l m 小m 川蠢锱l a 妻l = 。出举 因为p 在微分运算下是闭的且0 俨f l | ”l f l l ，则可以得到 1 a 。，( 。) 1 2 墨且l i a 。，2s b ”2 i i 州2 n 1 5 ( 1 2 ) 结合( 1 1 ) 和( 1 2 ) ，我们有 z n ( _ ，( k 刚i 。霉两7 r 2 1 。q 。霎掣 = b i i f l t 2 睦1 筹c l 薹刮睦1c 圳2 h i 刮 = 2 i 箸( 壶) ( 班) 2 【壶) i ik = i q = 女iik =l 口1 = ki = 2(薹菩，吉)(酽oobiifll严dkk11，击) = 2 ( 箸，吉 ( ( 倒“者j = 。 = ， ：b i i f l l 2 ( e 4 ”2 p 2 1 ) ( e 旷一1 ) ( 1 3 ) 由于s u p 。l l k 一胁i i 。曼l ，在( 1 3 ) 中取p = 何即得引理结论 口 注：上面的等式推倒过程中用到了公式： 丽1 = 簧，其中。= ( a 一，a d ) ，n w 一，a d 均为非领正数 定理3 1 若( e t ( h ，w ) ：n z d ) 是工2 【一”，”p 中的框架，则存在正数l 使得当 s u p 1 a 。一p n i i m l n e z d 时，f ( w ) ：n z 。 也是l 2 卜，7 r 】8 中的框架。 证明：妒 1 n 一) ：”z 4 ) 是上2 - “，”】4 中的框架，设其下界和上界分别为a 和b ，则有 a i i f i l 2 i ( x 。) | 2s b i i 1 1 2 ， v f p n z d 设三是一个正数， 脚) 。z a 是c 4 中的一列数满足s u p 。一肌墨三，则由引理3 1 知对任意，p 有 i ( ：x 。) 一，( p 。) 1 2 b ( e 打 n z d 其中c = 鲁( e 打一1 ) 2 应用m i n k o w s k i s 不等式，我们可以得到 1 ) 2 i l f l l 2 c i f ( a 。) j 2 n z d 压而一压而l 2 令= z g ( z ) ，5 ，” 是两个正常数，如果 ：= 塑s ( 9 ，虺6 ) 1 2 + 竺s ( 酏6 ) 1 2 + 訾s 皿6 ) l 2 0 ；若常数6 使对任意，有i 一划5 ， 则称d 为分离常数。( i i )