（应用数学专业论文）奇异非线性二阶三点边值问题的多重正解.pdf

摘要 非线性常微分方程奇异边值问题来源于力学，边界层理论，反应扩散过程，生物学 等应用学科中，是微分方程理论中一个重要的研究课题 本文给出了下面奇异三点边值问题 i + 口( ) 厂( t ，可) = o ，o 1 ， i 箩( o ) = o ，秒( 1 ) = y ( c ) ，o 1 ，o c 1 的两个正解的存在性结果，其中g ( t ) 允许在= o 处具有奇性，非线性项厂允许在= 0 处具有奇性存在性结果是通过l e r a y s c h a u d e r 抉择和锥不动点定理得到的 本文是文献【4 】中奇异问题一些结果的直接推广，其中技巧主要结合了 4 】中的锥不 动点理论，这些理论对此类型的问题都很适用本文就是利用 4 】中的锥不动点定理将两 点边值条件时的结果推广到三点边值条件时 文章共分为五部分首先是引言部分，介绍论文写作背景和要研究的问题，即奇异 非线性二阶三点边值问题简要概括已读文献中对该问题做出的成果，引入一些基本知 识理论以及在正文证明过程中需要用到的命题结果 其次给出了d i r i c h l e t 边值问题一般的存在性原理的证明，它将在第三章中得到应 用 第三部分是文章的主要结果，给出并证明了奇异非线性二阶三点边值问题至少有一 个正解的存在性定理，这些定理的证明用到了第二部分的结果，需要 4 】和 1 7 中所用 到的内容和方法 第四部分是第三部分的特殊情况，利用第三部分的结果给出并证明了奇异非线性二 阶三点边值问题两个正解的存在性 最后是例子，给出了具体例子说明上述定理 关键词：奇异边值问题；l e r a 矿s c h a u d e r 抉择；锥不动点定理；多重正解的存在性 a b s t r a c t s i n g u l a r b o u n d a 珂v a l u ep r o b l e 船f o rn o n l i n e a ro r d i n a r yd i 雎r e n t i a le q u a t i o i l s ，w h i c h a r i s ei nav a r i e t yo fa r e a ss u c ha sm e c h a n i c s ，b o u n d a 可l a 弘rt h e o r y d i h 、l s i o na n dr e a c t i o n e q u a t i o n s ，b i o l o g y e c t ，b e c o m ea ni m p o r t a n tt o p i ci no r d i n a r ye q u a t i o n sf i e l d s i nt h i sp 印e r ，e ) ( i s t e n c et h e o r yf 6 rt w op o s i t i v es o l u t i o n si 8p r e s e n t c dt os i n g u l a r t h r e e 卜p o i n tb o u n d r yv a l u ep r o b l e m j 圹+ g ( ) 厂( ，可) = o ，o t 1 ， i 可( o ) = o ，萝( 1 ) = 白( c ) ，o f l ，o c 1 t h ef u n c t i o ng ( ) m a yb es i n g u l a ra t = 0a n dt h ef u n c t i o n ，m a yb es i n g u l a ra ty = 0 t h e 嘲s t e n c eo fm u l t i p l ep o s i t i v es o l u t i o n si so b t a i n e dv i at h el e r a p s h a u d e ra l t e r n a t i v e a n dt h e 触e dp o i n tt h e o r e mi nc o n e s t h e p r e s e n tw o r ki sad i r e c te x t e n s i o no fs o m er e s u l t si nf 4 】f o rt h es i n g u l a rp r o b l e m o u rt e c h n i q u eo fp r o o fu s e se s s e n t i a u yt h ef i x e dp o i n tt h e o r e mi nc o n e sw h i c hi sw e u a d a p t e dt ot h i st y p eo fp r o b l e m w be x t e n d e dt h er e s u l t so ft 、m o p o i n tb o u n d a r yv a l u e c o n d i t i o nt ot h r e e 卜p o i n tb o u n d a r yv a l u ec o n d i t i o nu s i n gt h ef e dp o i n tt h e o r e mi nc o n e s i n 4 】 t h i st h e s i si sc o m p o s e do f 丘v ep a r t s i nt h e 矗r s tp a r t ，w ei n t r o d u c et h eh i s t o r i c a lb a u c k g r o u do fp r o b l e m sw h i c hw i l lb ei n v e s t i g a t e da n dt h em 新np r o b l e ms t u d i e di n t h i sp a p e r ，n a m e l yn o n l i n e a rs i n g u l a rs e c o n d o r d e rt h r e 争p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m t h e r ei sab r i e fs u m m e r i z eo fr e s u l t so ft h i sp r o b l e mi no t h e rl i t e r a t u r e s ，a n di n t r o d u t i o n o fs o m eb a s i ck n o w l e d g ea n dp r o p o s i t i o n sw h i c hi sn e e e d e di nt h ep r o o fo ft h et h e o r e m i nt h es e c o n dp a r t ，w ep r o o fag e n e r a le x i s t e n c ep r i n c i p l ef o rt h ed i r i c h l e tb o u n d a r y v a l u ep r o b l e m ，i tw i l lb eu s e di nt h en e x tp a r t t h et h i r dp a r ti so u rm a i nr e s u l t s ，w ee s t a b l i s he x i s t e n c ep r i n c i p l e sf o rn o n l i n e a r s i n g u l a rs e c o n d o r d e rt h r 盼p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m i nt h i sp a r t ，w ew i ul l s e c o n t e n t sa n dm e t h o d sf r o m 4 a n d 【1 7 t h ef l o r t hp a t ti sap a r t i c u l a rc o n d i t i o no ft h et h i r dp a r t ，w ee s t a b l i s he x i s t e n c e p r i n c i p l e sf o rn o n l i n e a rs i n g u l a rs e c o n d _ o r d e rt h r e e - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mw h i c h h a st w op o s i t i v es 0 1 u t i o n s i i t h e1 a s tp a r ti sa ne x a m p l e ，t h ee x a m p l ei sg i v e nt oe x p l a i nt h em a i nr e s u l t s k e yw b r d s ：s i n g u l a r b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ；l e r a y s c h a u d e ra l t e r n a t i v e ；f i x e d p o i i l ti n d e xi nc o n e s ；t h ee x i s t e n c eo fm u l t i p l ep o s i t i v es o l u t i o n s i i i 独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师指导下独立进行研究工作所取得的 成果据我所知，除了特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或 撰写过的研究成果对本人的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确的 说明本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名： 三垒雪 日期 o 哥。s 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：东北 师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅本人授权东北师范大学可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编 本学位论文同意将本学位论文收录到( 中国优秀博硕士学位论文全文数据库( 中国 学术期刊( 光盘版) 电子杂志社) 、瑶中国学位论文全文数据库( 中国科学技术信息研 究所) 等数据库中，并以电子出版物形式出版发行和提供信息服务 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 日 期： 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 3 蛏 姆s 指导教师签名： 日期： 0 参、 电话： 邮编： 东北师范大学硬学位论文 第一章引言 菲线性常微分方程奇异边值问题来源于力学，边界层理论，反应扩散过程，生物学 等应用学科中，是微分方程理论中一个重要的研究课题自上世纪以来，奇异常微分方 程经常毒现在许多应用学科的数学模壅中，大量的关于特征形式魏奇异方程豹边值闻题 的研究结果也随之出现由于奇异边值问题在应用中的地位越来越重要，近四十年来， 数学工作者舞始系统地研究这类问题，得到了一些完整的般性结果。 近几十年来，奇异方程形式由e m d e n f b w l e r 方程发展成各种各样，方程的奇性不仅 仅产生子盘变量也产生于相变量同时奇异方程的应用越来越广泛，例如天体力学中的 n 问题、边界层理论、反应扩散理论，非n e 毗o n i a n 流理论、非线性流体理论等等此 外，奇异常微分方程与其它数学分支也有联系，例如求椭圆方程( 组) 竞相解以及偏微分 方程( 组) 平衡解闻题往往转化为奇异常微分方程总之，奇异方程已经成为常微分方 程中的一个重要分支根据实际问题的不同要求，各种定解条件的提法是多种多样的， 因此在奇异常微分方程边值阌题孛，边僵条箨的提法是多种多样的奇异二除常微分方 程包括二阶周期边值问题和奇异二阶d i r i c h l e t ( 或d i r i c h l e t n e u m a n n ) 边值问题虽 然奇异常微分方程很早就扶应用中产生，但由予奇异方穰本身带来的困难，早期太多数 研究都局限于特殊形式的初值问题和边值问题，其系统研究只有四十年的历史 g u p t a 【5 】受线性二阶常微分方程多点边值闻题的启发开始研究一些非线性常微分方 程三点边值问题从此，许多作者通过l e r a y - s c h a u d e r 理论，l e r a p s c h a u d e r 非线性抉 择或重合度理论研究更一般的非线性多点边值问题我们给出读者非线性多点边值问题 的存在结果，见漆一l o ，王2 】 马如云 8 运用s c h a u d e r 不动点定理，获得了二阶三点边值问题 | 锚搿+ 8 ，( 锃) = o ，o l ， i “( o ) = o ， 札( 1 ) 一a 饥( 叩) = 6 ，o 叩 1 ，o o 叩1 正解的存在性结果其中鑫：f o ，王】_ 【o ，+ ) 连续，：泠，+ 。) _ 陋。) 连续。 马如云 1 0 】通过锥不动点理论证明三点边值问题 | 铭辩+ 6 ( 磅9 ( 锃) = o ，o l ， lu ( o ) = o ，u ( 1 ) 一狂u ( 7 7 ) ，o 叩 l ，o 口 i 的正解的存在幢。这里鑫耧g 0 是超线性或次线性。 东北师范大学硬士学位论文 姚庆六【1 2 j 利用锥拉律与锥压缩攒的k r 蹒n o s e l s i 不动点定理建立了非线性二阶 三点边值问题 j 协+ ，( z ，韧o ) ) = o ，o l ， l 训( o ) = o ，叫( 1 ) = o 叫( 叩) ，o 卵 1 ，o d o ，o t l 的 解 w e b b 【差5 】考虑三点边值问题正解的存在性特别遗，他研究兰点边僮闻题 l “+ 9 ( t ) ，( 札( ) ) = o ，o z l ， l 露( o ) = e ，艇( 王) 一盘链( 露；一o ，9 ，& 霹 l 。 其中9 厶1 o ，1 】，在s 【o ，l 】上9 ( s ) 2o 几乎处处成立，： o ，。o ) _ o ，。o ) 连续 j r l 。甄b b 用不动点指数理论证明一些关于至少存在一个或两个歪解的存在结果。 此外，有许多文章解决当，依赖于7 时的三点边值问题，例如，见【6 ，7 】 在本文，我们研究奇异三点边值阕题 j + g ( z ) ，( ，秒) 一o ，o l ， l 爹( o ) = o ，爹( 1 ) 一莓爹( e ) ，o 莓 圭，o c l ， 其中g ( ) 允许在z 一0 处具有奇性，非线性项，允许在3 ，一。处具有奇性 我们在文 王，2 ，麓中得到关于奇异两点边值闻题一些基本结论，这些文章中的讨论徽 赖于假设，( ，u ) 是正定的，这蕴含着解是凹的最近，一些作者利用s c h a u d e r 不动点定 理和l e r a 沙s c h a u d e r 非线性抉择理论研究d i r i e h l 蘸边值闻题，例如，见f 4 】 r p a g a r 、抛l 和d o r e g a n 考虑下面两点边值问题 | 爹+ g ( ) ，( ，爹) = o ，o o 在( o ，) 上 连续且单调不增， o 在 o ，0 0 ) 上连续，且：在( o ，。o ) 上单调不减； 2 东北师范大学硕士学位论文 ( 吼) ：对任意的h o 存在【o ，1 上的连续函数妇，在( o ，1 ) 上妇 o ，使得 在( o ，1 ) ( o ，日】上，( ，u ) 矽h ( ) ； ( 风) ：存在一个常数r 0 使得 1 厂rd u 碡止丽汕 成立，其中 6 0 = m a x 婀叫m 凇，2 婀叫北渺 则边值问题至少存在一个解可c o ，1 】nc 2 ( o ，1 ) ，在区间( o ，1 ) 上y o ，且m o r 现在的工作是关于奇异两点边值问题一些结论的直接推广，同文 4 一样，本文的理 论根据是l e r a y s c h a u d e r 非线性抉择定理和锥不动点定理不同之处是对t 的奇性估计 更精细 本文安排如下：第二节运用s c h a u d e r 不动点定理和l e r a y s c h a u d e r 非线性抉择给 出了一般的存在性原理的证明；第三节利用第二节的结论给出了奇异边值问题至少一个 正解存在性的证明；第四节在第三节的基础上给出了奇异边值问题两个正解存在性的证 明；最后，举例说明了主要结果 3 东北师范大学硬士学位论文 第二章一般的存在性原理 考虑下面的三点边值问题 笳竺艺盂2 瓣泌小c 1 注1 ， i 剪( o ) = 口，材( 1 ) 一剪( c ) = 6 ，o 亭 1 ，o c o ，存在k 厶k ( o ，1 ) 满足 瑟棘( ) 出 十1 6 | ，使得对满足方程 i 彭栉+ a ，( ，弘) = o ，o l ， i ( o ) = n ，掣( 1 ) 一耖( c ) = 6 ，o 1 ，o c 1 一e c ) 一一“ 。+ 穹铲+ a 后止甓掣m ，可( s ) ) d s + a 后止锷掣，( s ，可( s ) ) d s + a 层萼兰吾厂( s ，可( s ) ) d s ， o c ， 。+ 掣+ a 偌坐挚j r ( s ，y ( s ) ) 幽+ a 斤皿鼍篝竽丑，( s ，y ( s ) ) 如 + a 詹等，( s ，耖( s ) ) d s ， c 1 如果y c o ，1 】满足( 2 8 ) a ，可得出剪7 l 1 o ，1 】，从而y a c o ，l 】，y 7 a a ( 0 ，1 ) ，并且 岁似) = 警+ a 后 l f c 。一j o + 入珐 絮+ 入偌 1 一f c 一j o + 吐 掣m ，( s ) ) d s + a 劈生掣，( s ，s ，( s ) ) 幽l 一 c j u f 、v ，仙u 器，( s ，可( s ) ) d s ， o z c ， 掣，( s ，y ( s ) ) d s + a岛，( s ，y ( s ) ) d s 尚，( s ，y ( s ) ) d s ， c ts1 对可似) 从0 到z ( z ( 0 ，1 ) ) 积分，变换积分次序，可得 剪他) 出= z 。d y ( ) = 可( z ) 一可( o ) z z 可俅) 班 6 一o ( 1 一) 2 口+ 甜 = z 2 c 号学 z + 入z 1g ( 叫) ，( s ，( s ) ) d s 一可( o ) + az 1g 觚5 ) ，( s ，y ( s ) ) ) 幽 = 警z + az 1 【g ( z ，s ) 一g ( 。，s ) 】，( s ，可( s ) ) d s = 掣z + az 1g ( z ，8 ) ，( s ，( s ) ) d s ， 所以y ( o ) = 口同样方法，对y 俅) 从z ( z ( o ，1 ) ) 到l 积分，变换积分次序，可 得可( 1 ) 一可( c ) = 6 因此，如果y 酬o ，1 满足( 2 8 ) a ，那么可是( 2 5 ) a 的解 定义算子：c o ，1 】_ c o ，l 】为 可( ) = 。+ 警+ a 詹g ( z ，s ) ，( s ，可( s ) ) d s 那么( 2 8 ) 等价于不动点问题 y = ( 1 一a ) p + 入y ， 其中p = n + 掣 5 ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) a 攀，、-l 东北师范大学硕士学位论文 设u = u c o ，1 】il 札l o m ) ，k = e = c o ，1 】，下面我们证明j i v ：可_ c o ，1 】在 o ，1 】上一致有界，等度连续，并且全连续 不失一般性，我们假设n = o ，6 = 0 i ( y ) ( ) i = iz 1g ( ，s ) 厂( s ，剪( s ) ) ( f s l z 1g ( ，s ) i 厂( s ，( s ) ) ld s ( 2 1 1 ) 上g ( ，s ) m ( s ) d s ：= y ( ) ， o ，1 】， 其中y ( ) 是下面方程的解，并且y c 【o ，1 】nc 2 ( o ，1 ) ；蔷等谅篙器小脉删 仁 iy ( o ) = o ，y ( 1 ) 一f y ( c ) = o ，o 1 ，o o ( 不依赖于可) o 6 l ，使得 ( ) ( ) f ； o ，2 吼 ( 2 1 3 ) 另一方面 i ( y ) 心) i = lz 1g 她s ) 弛，剪( s ) ) d sj 后掣i ，( s ，y ( s ) ) id s + 劈霉毪产i ，( s ，y ( s ) ) i d s 劈掣能，蓊脍；暑篷i 馋，可蕊篙q c 2 “， 劈掣l m ，( s ) ) id s + 厅舞i 馋，可( s ) ) jd s 卜“叫 + 口是l ，( s ，可( s ) ) ld s ， c 1 詹1 芋 m ( s ) d s + 后l 掣危m ( s ) d s 忙。) + 哆挂嘴乏，、0 ，g g ， ：m 蚓o ) 1 】， 岳掣 m ( s ) 如+ 膳甓( s ) d s u 叫 一r 叫 + 层圭丢九m ( s ) d s ， c 1 所以( 秒) 他) 在 占1 ，1 】上有界，即 i ( 可) 他) l l ，z 1 】 令如= 轰，那么对任意的，s 【6 1 ，1 ，i 一s i 如，有 ( 2 1 5 ) ( j 7 v y ) ( ) 一( y ) ( s ) l l l 一s i i ( 2 1 6 ) 6 东j 师范大学硕士学位论文 令6 = m i n 艿l 如) ，由( 2 1 3 ) ，( 2 1 6 ) 得 | ( 爹) ( ) 一( 箩) ( s ) | o ( o 曲 ) ，使得 l ( 鲰) 国一( 挈) ( 圳 ， 黔，毒l 】。( 2 。王9 ) 另一方面，由，的连续性，当竹_ o 。有 i ( ) ( ) 一( 秽) ( t ) l _ o ，p l ，l 】 ( 2 2 0 ) 结合2 。王9 ) ，当霸一o 。时，| ( 越歉) ( ) 一( 箩凇) | 。一o 因此：可_ c 【0 ，1 】是全连续 根据l e r a y s c h a u d e r 非线性抉择定理【1 4 】，有一个不动点，即( 2 。8 ) a 至少存在 一个解 ( j j ) ( 2 。1 ) 等价于不动点问题夥一箩其中的定义见( 2 ，9 ) 。由条件( 2 7 ) ，我 们有：g f o ，l 】_ g 【。，l 】是连续的，并且是紧的。这个结果遵循s e h a t l d e r 不动点定理 1 4 】 7 东北师范大学硕士学位论文 第三章奇异边值问题一个正解的存在性 ；：茹竺啬；三；。昌 j 三三 。，。 c 1 c 3 1 ， i ( o ) = o ，剪( 1 ) = y ( c ) ，o f 1 ，o c 1 。7 ；蔷竺誉乙智) i ：可。乌：委 。 1 ，。 c 。，仇n2 ，l c 3 m 【y ( o ) = 去，可( 1 ) 一可( c ) = 等，o 1 ，o o 存在函数妒日在 0 ，1 】连续，( 3 6 ) l 并且在( o ，1 ) 上妒日 o ，在( o ，1 ) ( o ，刎上，( t ，u ) 矽h ( t ) ； 、 刍，使得南z 7 争她 ( 3 7 ) 其中 6 。2 以。g ( ) 出 ( 3 8 ) 则( 3 1 ) 至少存在一个解y c o ，1 nc 2 ( o ，1 ) ，在( o ，1 ) 上，有 o ，并且 可l o o ，并且菇g ( ) 蹴 。，旯i l 边值问题 ；蔷竺：j ，：蓦彭监。嚣 l ，。 c 1 强9 ， ly ( o ) = o ，萝( 1 ) = 蓦彭( e ) ，o l ，o c 1 、 置少存在一个解箩，满足 掣( ) 2 七z i 掣i o ，( o ，1 】 英中 七一等 辩卜击( e z l ( 耄咖椰葶一f r e 叫如) 娴 绯) = 击( c z 。( 一s ) g ( s ) d s 一专z 。( c 叫如) 娴 f，c ( 1 ) 兰志上( 卜c ) s g ( s ) 幽o 警( o ，嗣时，有 盟) 二型盟 o 且e r 满足 南z 7 务 ( 3 1 0 ) 令m o l ，2 ， 的选取满足去 ，= m o ，m o + l ， 为谖明( 3 2 ) m ，m o 至少存在一个非负解，我们将考虑下面的方程 | ：蔷竺爹2 高二岂。吕三霉、 l ，。 c l ，m 。 c 3 m ，m 【y ( o ) = 去，! ，( 1 ) 一( c ) = 等，o l ，o c l ，m o 。叫 其中 尸c 。，“，= ；譬：，：量妻： 我们的想法首先是证明 笳笺? ：g 支c 譬筝圭二兰 笺言 c 1 ，m 。 洚1 2 ，? l 掣( o ) = 去，秒( 1 ) 一f 可( c ) = 等，o 毒 1 ，o c 1 ，m 0 _ 。掣a 至少存在一个鼹 假设剪是( 3 1 2 ) 霉的解，那么在( o ，1 ) 上， 矿o 在【o ，1 】上，秒( ) = 去+ 入站g ( 。，8 ) q ( s ) f ( s ，y ( s ) ) 出丧令秒( ) 2 髫黼箩( ) ，由于箩( o ) 一啬，萝( 1 ) 一去= 等( 掣( e ) 一砉) 箩( c ) 一啬，所以存在仇g ( o ，1 ) ，在( o ，) 上，矿o ；在( ，1 ) 上， g0 同时注意到 ，( z ，暑) 夕( 挈) 十 ( y ) ，( o ，1 ) ， 子是对z ( 0 ，1 ) 有 叫蚓如) ) l + 嬲 ( 3 1 3 ) 对上式从( o o ，莠怠在( o ，1 ) ( o ，r 】t ，( t ，u ) 织( ) 利用g r e e n 函数表示( 3 1 1 ) m 的解为 ( t ) 一去+ z 1g ( 和) q ( s ) ，( s ，跏( s ) ) 如 从而 ( t ) 詹g ( ，s ) q ( s ) 佴( s ) 如三西，( ) ( 3 1 6 ) 其中唾( 妁满足 j 雪? ( ) + 妒，( ) = o ， o 1 ， 圣r o ) = o ，垂r ( 1 ) 一善圣，( e ) ，o l ，o c o 。 另一方丽，对( 3 。1 8 ) 从到( ) 积分得， 耥茎 l + 糍扩如邮 l + 豁 胁池吲训爆2 2 ， 由( 3 1 9 ) ，( 3 2 0 ) 和( 3 2 2 ) 得 揣 ，+ 粥，吲吣， 2 3 ， 其中 t ，( ) 。k q ( z ) 出。 注意嚣1 警，差1 定义，： o ，。) 州 o ，o 。) 为 m ) 一z 。嵩 j o 撂i 氍i 注意到，是【o ，o 。) 到 o ，。) 上单调递增的映射( 因为9 o 在( o ，o o ) 上不增，故 歹( ) = 。) 嬲有，对任意的a o ，j 在静，周上连续注意掰 ，( ) ) m 0 在【o ，1 】上是有界的等度连续族 ( 3 2 4 ) 等度连续性的证明如下( 这里，s 【o ，1 】) l 地。( t ) ) 一j ( ( s ) ) l = | 耥如| l + 粥 | 鬈材( z ) 如| 此不等式说明在 o ，( r ) 】上，。一致连续，并且 i ( ) 一( 8 ) i = l 厂1 ( ，( ( ) ) ) 一厂1 ( ，( ( s ) ) ) i 东北师范大学硕士学位论文 于是得到了( 3 1 7 ) a r z e l a - a s c o l i 定理保证了存在0 中的子序列和函数y c o ，1 】，使得在上，当 m _ o 。时，在 o ，1 】上一致收敛于y 又y ( o ) = o ，y ( 1 ) = 白( c ) ，川o 7 ，y ( z ) 舰 对 o ，1 成立，则有在( o ，1 ) 上，y ( ) o 取定( o ，t ) ，有( m ) 满 足积分方程 y 。( z ) = y m ( 1 ) + y 幺( 1 ) ( z 一1 ) + ! ( s z ) q ( s ) 厂( s ，( s ) ) d s 因为对s o ，1 有如( s ) r 由( 3 2 2 ) ，有 j 如( ，) j 夕( ( ，) ) ，+ 筹) g ( z ) 如9 ( 后) z + 筹) g ( z ) 如= g 所以 如( 1 ) ) ，m 是有界序列于是 唬( 1 ) ) 仇存在收敛子列，为方便起见，仍用 ( y 幺( 1 ) 。表示此子列，并且令r 0 r 表示其极限则对上面固定的t ，在上，令 m _ o 。( 我们注意到厂在紧子区间 ，( o ，r 】上一致连续) 得 y ( ) = 暑，( 1 ) + r 0 ( t 一1 ) + f ( s 一) g ( s ) ，( s ，( s ) ) d s 对每个t ( 0 ，1 ) ，有( t ) + g ( ) ，( 以( ) ) = o ，0 z 1 于是显而易见川o r ( 否 则，如果m o = r 则由( 3 1 3 ) 和( 3 1 4 ) 可以得到矛盾) 1 3 东北师范大学硕士学位论文 第四章奇异边值问题两个正解的存在性 本章我们给出下面奇异二阶d i r i c h l e t 问题两个正解的存在性定理 化蔷磐黝髦搿糕 0 1 泛匕1 ， iy ( o ) = o ，秒( 1 ) = 剪( c ) ，o 等 1 ，o c 1 、7 其中非线性项9 允许在箩= 0 处具有奇性 在证明主要结论之前，先给出不动点定理，我们将用来建立重合度理论 定理4 1 设e = ( e ，1 1 1 i ) 是b o 仃口c 空间，kce 是锥，常数r ，r 满足o r o ，j k o ) ，当z 9 9 q ，n 时，z a ( z ) + 6 ( 4 3 ) + 则a 在kn z e ：r 忙| | r ) 上也有一个不动点 定理4 2 设e = ( e ，1 1 1 i ) 是b o 佗n c 危空间， kce 是锥，且令i i 1 l 相对k 是严格增的此外，常数r ，兄满足o r l l z i i( 4 5 ) + 则a 在kn z e ：r 恻i r ) 上也有一个不动点 现在令e = ( c 【o ，1 】，i i o ) ( 这里川o = s u p 挺【o ，1 】i 札( t ) i ，u c o ，l 】) 是b a n a c h 空 间，定义c ( o ，1 ，( 一。o ，+ 。) ) 中的非负函数锥如下( 其中南1 ) = 可c ( o ，l 】，( 一o 。，+ 。) ) ：可( ) 七i lyl l ，【o ，1 】，y ( ) 在 o ，1 】上是凹函数) ( 4 6 ) 定理4 3 假设1 列条仟成立 g c ( o ，1 ) ，在( o ，1 ) 上q o ，并且以。q ( ) 出 0 在( 0 ，。) 上连续且单调不增； o 在 o ，。o ) 上连续，鲁在( o ，。o ) 上单调不减； 。，使得南z 7 争蛾 ( 4 7 ) ( 4 8 ) ( 4 9 ) ( 4 1 0 ) 其中6 0 = 幻( t ) 砒( 4 1 1 ) 则( 4 1 ) 至少存在一个解可c 【o ，1 】nc 2 ( o ，1 ) ，在( o ，1 ) 上，有y o ，并且川o r 满足 丽茄鬻丽 o ，并且 r 渔均 碍上孬 4 - 4 令m o l ，2 ， 给定且满足击 ，去 七糖咫，且飓= m o ，m o 十l ， 为证( 4 1 ) 有一个满足r 引o 霞的非负解剪c p ，l 】nc 2 ( o j1 ) ，我们将证疆 掣，：，g ( ? b ( 彭譬? + 危y ? ) ) i ? ，o ! l ，( 莲。王5 ) 饼 【( o ) = 去，秽( 1 ) 一白( e ) = 警，o f l ，o c 去并且r 引。竖冗 为证明对每个m o ，( 4 。1 5 ) m 有解，看下面的方程 ；蔷! 挲该暑芝多黔竺喜气乏竺_ c 1 降王妒 i 寥( o ) = 去，拶( 1 ) 一曲( c ) = 等，o l ，o c 0 时，有g + ( 珏) 爹链) 固定m o ，令e = ( g f o ，1 ，1 1 0 ) ，且( 其中豇1 ) = 程g ( f 。，l 】，( 一o 。，+ ) ) ：珏固兢陋乳【o ，王】，越在【。，l j 上是凹函数 ( 4 。1 7 ) 很明显k 是e 中的锥。令a ：k _ 瓯l 】有如下定义 a ! ，( ) = 去+ z 1g ( 铀) q ( s ) 【矿( 拶( ) ) + ( ( ) ) 】幽 ( 4 1 8 ) 更| ja ：k _ d 【o ，l j 连续且一致连续 下面证明a ：一k 如果让k ，那么避 o ，l 】时，有a u ( ) o ；注意 裂：在( o ，薹) 上，( 冀嚣) 疗( ) o ，a 链( o ) 一去，a 锯( 王) 一莓a 锃= 等，所以在p ，王j 上， a ( ) 是凹函数利用引理3 1 有， a 毪( o ) 一去= o ，a 牡( 1 ) 一去= ( a 铭( e ) 一：熹) a 钍( c ) 一熹 砖程一去兢l 么嚣一去| | 兢翻a 嚣l 一熹) 于是a 可( ) 后圳a 乱l i 因此，a u ，从而a ：_ 令 q 】= 札e f o ，1 1 ：| 乱| o r ，q 2 一f “e f o ，1 1 ：i 训o r ， 1 6 工：= ；= 胃二一一一 首先证明 一 当a 【o ，1 ) 且秒knq l 哟a a 寥成立 ( 4 1 9 ) 假设不成盥，则存在y nq l 和a 【o ，1 ) 满足可= a a 剪不妨假设a o 因为 秽= a a 萝，有 掣锱竺翥矬攀? 乏泌“ m 【( o ) = 击，笋( 1 ) 一芎拶( c ) = 警，o f 1 ，o c 1 。 r “叫 因为在( o ，董) 上，o ，所以箩是凹函数，并且在f o ，l 】上( ) 去南于箩( o