数学建模论文—公司最优投资方案的数学模型

1 公司最优投资方案的数学模型 摘 要 本文解决的是某公司在未来 5 年内最优的投资方案问题， 通过对该公司财务 分析人员提供的数据（附录一到四）的统计分析，我们建立了三个最优化模型。 对于问题一，在考虑该公司现有资本及收益的情况下，以第五年末所得利润 的最大值作为目标函数，以每年的投资上限和各项目投资方式限制作为约束条 件， 建立了单目标最优化模型。然后利用 Lingo 编程求得该公司在第五年末可以 获利润 17.41405 亿元，5 年内最佳的投资方案如下表： 项目12345678 第 1 年5.1545453.003.8454553.003.002.0000 第 2 年00003.002.004.000 第 3 年0000.6168183.002.0003.00 第 4 年00.354.003.000000 第 5 年5.5218593.00000000 对于问题二，通过使用 EXCEL 软件对历年数据进行分析后发现其波动都很 大， 我们采用将灰色预测和二次指数平滑法组合的预测方式进行预测，预测了今 后五年各项目独立投资及项目之间相互影响下的投资的到期利润率， 以样本数据 的方差值作为各项目的风险损失率，运用 Matlab 编程求出到期利润率，并利用 Excel 求出风险损失率，其具体结果见表十、十一和十二。 对于问题三，结合问题二的预测结果，考虑该公司争取到的资金捐赠，建立 了与问题一相同的目标函数，即第五年末所得利润的最大值，改变了约束条件。 然后利用 Lingo 编程求得该公司在第五年末可以获利润 46.4932 亿元，最佳的投 资方案如见表十三。 对于问题四，建立了与问题三相同的模型，即目标函数相同。问题四是在问 题三的基础上考虑了风险投资率，即增加了约束条件。依照该模型求得该公司在 第五年末可以获利润 29.77449 亿元，最佳的投资方案见表十四。 对于问题五， 1.问题重述 2 1.1 问题背景 某公司现有数额为 20 亿的一笔资金可作为未来 5 年内的投资资金，市场上 有 8 个投资项目（如股票、债券、房地产、）可供公司作投资选择。其中项目 1、项目 2 每年初投资，当年年末回收本利（本金和利润） ；项目 3、项目 4 每年 初投资，要到第二年末才可回收本利；项目 5、项目 6 每年初投资，要到第三年 末才可回收本利；项目 7 只能在第二年年初投资，到第五年末回收本利；项目 8 只能在第三年年初投资，到第五年末回收本利。 在本文中，我们考虑提出该公司最优的投资方案。 该公司的财务分析人员收集了 8 个项目近 20 年的投资额与到期利润数据时 发现，在具体对这些项目投资时，实际还会出现项目之间相互影响等情况。而在 未来 5 年的投资计划中，还包含了对投资项目 1，公司管理层争取到一笔资金捐 赠，若在项目 1 中投资超过 20000 万，则同时可获得该笔投资金额的 1%的捐赠， 用于当年对各项目的投资；项目 5 的投资额固定为 500 万，可重复投资以及各投 资项目都有投资上限（见附录四）的情况。 1.2 需要解决的问题 问题一：根据附录一给出的数据，确定五年内如何安排该公司的投资计划， 并使得第五年末所得利润最大。 问题二：根据附录二和三提供的数据，预测今后五年各项目独立投资及项目 之间相互影响下的投资的到期利润率、风险损失率。 问题三：考虑到未来 5 年的投资计划中的其他情况，根据问题二预测结果， 确定 5 年内如何安排 20 亿的投资并使得第五年末所得利润最大。 问题四：将投资风险考虑到问题三中的投资问题，又该如何决策。 问题五：为了降低投资风险，公司可拿一部分资金存银行，为了获得更高的 收益，公司可在银行贷款进行投资，在此情况下，公司又应该如何对 5 年的投资 进行决策？ 2.模型的假设与符号说明 2.1 模型的假设 假设一：在投资期内，我们只考虑不可预测因素引起的平均风险损失； 假设二：投资项目以及银行的利润率在预测期内是稳定不变的； 假设三：附录一中给定的数据真实可靠，具有较好的代表性。 假设四：只考虑项目 3、4、5、6 和 5、6、8 同时投资时之间存在相互影响， 其他情况不做考虑。 假设五：当用 20 亿资金投资若干种项目时，总体风险可用所投资的项目中 最大的一个风险来度量 2.2 符号说明 3 符号符号说明 i投资项目，8 , 7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1i j投资年份，5 , 4 , 3 , 2 , 1j ij x项目i在第j年初的投资金额 ij y项目i在第j年末到期回收的本利（本金和利息的总和） i p 项目i的预计到期利润率 i u 项目i的投资上限 j Z第j年末到期回收的本利的总金额 j M表示第j年初可用于投资和存款的总金额 j T第j年初对所有项目投资的总金额 0 T 公司用于投资的本金（20 亿） ij p项目i在第j年投资后到期的预计到期利润率 i q 项目i的风险损失率 ij R项目i在第j年投资的实际利润率 j A第j年初投资金额和存款金额的总和 j B第j年末还贷款后回收的总金额 j C公司第j年存款的金额 j D公司第j年贷款的金额 3.问题分析 此题研究的是某公司未来 5 年内的投资资金的使用问题， 属于经济模型中的 决策模型。虽然我们针对问题一、三和四建立的三个单目标最优化模型的目标函 数相同，但由于各个项目都有投资要求和回收本利的时间限制，所以对于不同的 情况，就具有不同的约束条件。 针对问题一，考虑到项目 1、2 每年初投资，当年年末回收本利；项目 3、4 4 每年初投资，要到第二年末才可回收本利；项目 5、6 每年初投资，第三年末才 可回收本利；项目 7 只能在第二年年初投资，到第五年末回收本利；项目 8 只能 在第三年年初投资，到第五年末回收本利作为约束条件，以及初始资金共 20 亿。 以第五年末所得利润最大为目标函数，建立了一个单目标最优化模型。 针对问题二， 要对各项目独立投资及项目之间相互影响下的投资的到期利润 率进行预测，首先，要求出历年来的各项目独立投资及项目之间相互影响下的投 资的到期利润率，然后考虑采用插值拟合对附录二、三的缺省值进行预测，在选 择适合本问题精度较高的预测模型，进行对比后，我们采用了综合灰色预测模型 和二次指数平滑法的预测方式。对于风险投资率，以样本数据的方差值作为各项 目的风险损失率。 针对问题三，在问题一的模型上改变了约束条件，即各项目的投资上限，项 目 5 的投资额固定为 500 万且可重复投资和资金捐赠问题。 结合问题二的预测结 果，和问题一相同的目标函数，建立了一个单目标最优化模型。 针对问题四，是在问题三的投资问题上增加了风险投资率。也就是将问题三 中的到期利润率换成实际利润率即可求解。即目标函数不变，增加了约束条件的 单目标最优化问题。 4.数据分析 4.1 数据处理 题目附录四中给出了各种投资项目的方案以及投资上限，我们利用 Excel 软件和 Matlab 编程对这些数据进行了相关统计分析和处理。 首先，我们根据附录二、三求出项目独立投资及项目之间相互影响下的投资 的到期利润率。 其中， )= ij p 到期回收利润 到期利润率（ 本金 整理求得后的数据见附录五、六（相关程序见附录） 。 4.2 数据预测 为方便分析以及组合预测法预测，我们对附录二、三的到期利润率的缺省值 进行预测，采用多项式插值拟合的方式。 4.2.1 多项式插值拟合的建立 所谓插值，就是由有限个已知数据点，构造一个解析表达式，由此计算数据 点之间的函数值。曲线拟合就是计算出两组数据之间的一种函数关系，由此可描 绘其变化曲线及估计非采集数据对应的变量信息。 我们选择项目一历年的到期利润率利用 Excel 软件对其分析，见下图。 5 可见历年来，项目一的利润率变化波动比较大，同样的操作，发现所有项目 的到期利润率波动都比较大。而且经过我们统计分析，这 8 个项目不管是独立投 资还是同时投资时，历年来到期利润率的波动性都比较大。 所以，我们采用三次多项式的插值拟合对数据进行预测。通过对每组数据， 使用 matlab 构造解析表达式，再进行预测(相关程序见附录)。 在本题中，我们将年份即从 1986 年开始到 2005 年之间的时间作为自变量， 设为t；到期利润率作为因变量，设为y。其中时间t，从 1986 年开始，即设为 单位 1，以此类推。 4.2.2 预测结果 通过插值拟合对各投资项目独立投资和一些项目同时投资时历年的到期利 润率的缺省值进行预测的结果记录于下表（具体数据见附录五、六） ： 表一：各投资项目独立投资时 0305 年的到期利润率及预测值（加粗斜体为预测值） 项目12345678 03年0.10390.18120.26400.37010.92911.1089.02079.02073.9019 04年0.19080.18040.31830.41590.870.58420.584211.255611.25561.1.80908090 05年0.13080.15480.50300.50300.72610.72612.1292.129-0.0405-0.040513.824113.82411.1.95589558 表二：一些同时投资的项目 04、05 年的到期利润率及预测值（加粗斜体为预测值） 项目 同时投资3、4同时投资5、6同时投资5、6、8 3456568 04年0.47090.47451.04451.04452.30772.30773.07293.0729-0.9029-0.9029-0.6520-0.6520 05年0.16310.16310.72680.72681.42991.42992.77572.77574.15624.1562-1.6356-1.6356-1.4579-1.4579 5.问题一的解答 问题一要求确定 5 年内的投资方案使得第五年末所得利润最大，且属于无风 险投资。这是线性规划中的最优解问题。针对问题一，我们建立了模型一。 5.1 模型一的建立 5.1.1 确定目标函数 该模型是为了解决公司在五年内如何安排投资和在第五年末所获得的最大 利润。为解决此问题，我们将公司在第五年末所得利润的最大值作为目标函数。 该公司第一年年初只能对前六个项目（项目 1，项目 2 项目 6）进行投资，且 6 个投资项目预计到期利润率都大于 0（见附录一），所以第一年 20 亿全用于投 6 资。 当第一年年末将本金和利息都回收后再在第二年利用该资金对一部分项目进 行再次投资即可，所以建立了如下的目标函数（第五年末所得利润值）： 20max 5 Zw 5.1.2 确定约束条件 （1）对于这 8 个项目，每年年初该公司的投资金额应不大于其各自的投资 上限（见附录一） ，即： 0 iji xu （2）每年年初总投资金额应不大于所有可投资的金额（前一年回收的本金 利润和） ，即： 8 1 ijj i xZ 其中，第一年的总投资金额不应大于 20 亿，则 j Z为： 8 ,1 1 20,1 ,2,3,4,5 j i j i j Z yj 注： 1 Z=20 亿元表示第一年年初可用于投资的总金额 （3）对于项目 1，2，每年初投资，当年年末回收本利；对于项目 7 只能在 第二年年初投资，到第五年末回收本利；对于项目 8 只能在第三年年初投资，到 第五年末回收本利；则： 5 , 4 , 3 , 2 , 18 , 7 , 2 , 1),1 (jipxy iijij 特别地， 5 , 4 , 2 , 1, 0 5 , 4 , 3 , 1, 0 8 7 jx jx j j （4）对于项目 3，4，每年年初投资，第二年末回收本利，则： ,1(1 ) iji ji yxp ， 3,4i ， 2,3,4,5j （5）对于项目 5，6 每年年初投资，第三年末回收本利，则： ,2(1 ) iji ji yxp ， 5,6i ， 3,4,5j 综合（1） 、 （2） 、 （3） 、 （4）和（5）可得到，问题一的约束条件。 5.1.3 综上所述，得到问题一的单目标最优化模型 20max 5 Zw 7 8 1 8 ,1 1 7 8 ,1 ,2 0 20,1 ,2,3,4,5 . . 0,1,3,4,5 0,1,2,4,5 (1),1,2,7,8,1,2,3,4,5 (1),3,4,2,3,4,5 (1),5,6,3,4,5 iji ijj i j i j i j j iji iji ji i ji xu xZ j Z yj st xj xj xpij yxpij xpij 5.2 模型一的求解 根据上述的目标函数，我们利用 Lingo 编程（相关程序见附录八） ，求出了 该公司 5 年内最佳的投资方案（投资金额（单位：亿元） ） ，具体数据见下表： 表三：5 年内最佳的投资方案（单位：亿元） 项目12345678 第 1 年5.1545453.003.8454553.003.002.0000 第 2 年00003.002.004.000 第 3 年0000.6168183.002.0003.00 第 4 年00.354.003.000000 第 5 年5.5218593.00000000 根据上表的投资方案，得出该公司在第五年末可以获利润 17.41405 亿元。 其数据的灵敏度分析同样适用 Lingo 求解，具体结果见附录八。 6.问题二的解答 对于问题二， 要预测今后五年各项目独立投资及项目之间相互影响下的投资 的到期利润率、风险损失率，首先要对提供的数据进行处理。我们已经通过插值 拟合对附录表二、三的数据的缺省值进行了预测，见附录五、六。 6.1 模型二的准备 首先对今后五年各项目独立投资及项目之间相互影响下的投资的到期利润 率进行灰色预测，得到的结果误差较大（最高的百分绝对误差为 5.3704%） ， 又利用时间序列预测模型中的一、二、三次指数平滑预测法进行预测，结果也都 不理想。通过用一、二、三次的指数平滑法来预测 19862005 年的到期利润率， 与真实值比较后发现，二次指数平滑法的预测效果要好于其他两种（具体对比数 据见附录七） 。 所以我们采用组合预测方法， 组合预测方法就是先利用两种或两种以上不同 的单项预测法对同一预测对象进行预测， 然后对各个单独的预测结果做适当的加 权平均，最后取其加权平均值作为最终的预测结果的一种预测方法。 6.2 模型二的建立 在本题中，我们采用灰色GM(1，1）法和二次指数平滑法的组合预测模型来 8 预测今后五年各项目独立投资及项目之间相互影响下的投资的到期利润率。 这里 采用均方误差确定加权系数。 首先，我们把1986-2005年分为两个时间段，即：前十年为一段，后十年为 一段。然后，我们分别用灰色GM(1，1）法和二次指数平滑法根据1986-1995年到 期利润率预测1996-2005年的到期利润率。 6.2.1 灰色预测模型的建立 原始数据，原始数据 1986-1995 年的到期利润率数据（即）表示为 )(,),2(),1 ( )0()0()0()0( nxxxx 计算生成序列 (1) X ，用 GM(1,1)建模时，首先我们对原始数据 (0) X作 一次累加得到 (1) X序列 (1)(0) 1 ( )( ) (1,2. ) i m xixmin 可以得到相应的 j K的递增系列 (1)(1)(1)(1) 1 ,2 ,Xxxxn 得到模型的白化方程，首先对 (1) X计算紧邻均值生成 (1) j Z： (1)(1)(1) 1 ( )(1) .(2, ) 2 j zmxmxmmn 接着我们根据 GM(1,1)建模，写出灰色函数： 01 xkazkb 根据最小二乘参数估计法估计参数矩阵再利用离散数据系列建立近似的微分方 程模型，得到 GM(1,1)的白化方程白化方程即： 1 1 dxt axtb dt 白化方程的求解，得到预测值 (0) X表达式，其白色方程的解为时间响应 函数 101 1 a t bb xkxe aa 通过改变k的值我们可以得出原始数据序列 (0) X的预测值为： 011 11(1,2.1)xkxkxkkn 6.2.2 灰色模型的预测 在已知各投资项目独立投资和一些同时投资的项目从1986年到2005年到期 利润率的前提下，应用灰色预测对 0610 年的到期利润率进行预测。预测结果 见表四、五。 表四：各投资项目独立投资时 0610 年的到期利润率的预测值 项目12345678 06年0.142520.229210.364070.518631.03061.3664.26661.8849 07年0.141830.238580.364340.552971.01921.46944.59331.9225 08年0.141140.248340.36460.589591.00791.58064.9451.9609 09年0.140460.258510.364870.628630.996731.70035.32362 10年0.139780.269080.365130.670260.98571.8295.73122.0399 表五：一些同时投资的项目从 0610 年的到期利润率的预测值 项目 同时投资3、4同时投资5、6同时投资5、6、8 3456568 06年0.462640.478791.31430.33205-1.71360.209460.88149 07年0.462430.482821.4380.3823-2.03470.19190.84306 9 08年0.462220.486891.57340.44016-2.41590.175820.80631 09年0.462020.490991.72150.50678-2.86860.161080.77116 10年0.461810.495121.88350.58347-3.40620.147580.73754 6.2.3 二次指数平滑法的建立 1原始数据，原始数据1986-1995年设为时间序列为 Tt yyyy, 21 ， 2取移动平均的项数TN ，则移动平均数的递推公式有 N yy MM Ntt tt )1( 1 )1( 以 )1( t M作为 Nt y 的最佳估计，则有 )1( 1 )1( 1 )1( 1 )1( ) 1 1 ( t ttt tt M NN y N My MM； 3计算一次指数平滑公式，令 N 1 ，为加权系数，对于该模型我们采 用.20（通过比较8 . 0 , 6 . 0 , 2 . 0分别取后的预测结果，我们采用误差较小的0.2 作为加权系数） ，以 t S代替 )1( t M，即得: 0 )1( 1 )1( )1 ()1 ( j jt j ttt ySyS，其中，1 )1 (1 )1 ( 0 j j 得到一次指数平滑公式为： )1( 1 )1( )1 ( ttt SyS 4建立二次平滑指数公式，根据一次指数平滑公式，再做二次指数平滑， 利用滞后偏差的规律建立直线趋势模型，计算公式为 )2( 1 )1()2( )1( 1 )1( )1 ( )1 ( ttt ttt SSS SyS 当时间序列 t y，从某时期开始具有直线趋势时，可用直线趋势模型 , 2 , 1, TTbay ttTt )( 1 2 )2()1( )2()1( ttt ttt SSb SSa 进行预测。 由于时间序列的数据较多， 为20个， 初始值对以后的预测值影响较小， 所以， 我们选用第一个数据为初始值。 10 6.2.4 二次指数平滑法的预测 应用二次指数平滑法对 20062010 年的到期利润率进行预测。预测结果见 表六、七。 表六：各投资项目独立投资时 0610 年的到期利润率的预测值 项目12345678 06年0.15460.21710.32280.40460.97771.02824.60611.8438 07年0.14490.19750.39830.56401.51320.57394.68461.9324 08年0.14860.21070.37160.53111.37400.72884.95391.9407 09年0.14690.21080.38570.57511.50470.64005.14691.9812 10年0.14740.21610.38350.58831.52740.64875.37042.0088 表七：一些同时投资的项目从 0610 年的到期利润率的预测值 项目 同时投资3、4同时投资5、6同时投资5、6、8 3456568 06年0.51880.44161.11232.08122.2284-0.27070.0904 07年0.36860.57031.32332.56033.2687-0.9997-0.7754 08年0.42070.53341.32292.57003.1218-0.8912-0.6755 09年0.39190.56271.40702.76753.4498-1.1177-0.9619 10年0.39550.56561.45732.88983.5878-1.2102-1.0938 6.2.5 组合预测模型的建立 应用两种预测法对 1996-2005 年的到期利润率进行预测。这 10 年的实际值 与预测值见附录五。由 1996-2005 年预测值与实际值的均方误差（MSE）确定 加权系数。 （1）设nxy tt ,（nt, 2 , 1）分别表示预测值，实际值和预测数据个数，那 么由公式 n t tt xy n 1 2 )( 1 MSE可分别求出灰色GM(1， 1） 法和二次指数平 滑法的均方误差 1 MSE， 2 MSE。故 ： 灰色GM(1，1）法的权系数： 21 1 MSEMSE MSE 1 二次指数平滑法的权系数： 21 2 MSEMSE MSE 1 （2）设 21, y y分别表示灰色GM(1，1）法和二次指数平滑法的预测值，则组合预 测值为 21 yyy。 6.2.6 组合预测模型的预测 应用 Excel 求出灰色 GM(1， 1） 法和二次指数平滑法的均方误差 1 MSE， 2 MSE 11 及权系数，见下表八，表九： 表八：各投资项目独立投资时的均方误差和权系数 项目12345678 1 MSE0.01090.09660.05050.05000.48300.33852.85663.2684 2 MSE0.01010.01340.04960.03880.31650.28273.39970.8640 0.48090.12150.49530.43660.39580.45510.54340.2091 0.51910.87850.50470.56340.60420.54490.45660.7909 表九：一些同时投资的项目时的均方误差和权系数 项目 同时投资3、4同时投资5、6同时投资5、6、8 3456568 1 MSE0.06630.03480.44050.53480.44510.30381.3773 2 MSE0.06180.03890.16460.41520.51510.30990.5516 0.48210.52770.27210.43710.53650.50500.2860 0.51790.47230.72790.56290.46350.49500.7140 6.2.7 模型的精度检验 为了检验预测效果，我们引入均方根误差（Root Mean Squared Error，简称 RMSE）对预测性能进行评价，它是一种常用的误差度量标准，其计算公式为： n i ii xx n xxRMSE 1 2 )( 1 ),( 其中， i x是实测值， i x为预测值，n为预测检验个数。 显然，该指标的值越小说明预测精度越高。 我们采用均方根误差对组合预测法进行精度检验，使用的数据中，预测值为 对 19962000 年五年的组合预测法计算出的数据， 实测值是这五年的真实数据。 采用 EXCEL 软件对数据统计分析，将计算得到结果记录于下表中： 项目RMSE 项目一0.002631 项目二0.003028 项目三0.014886 项目四0.005721 项目五0.133572 项目六0.110520 12 从上表可以看出得到的均方差的值都较小， 将其与灰色预测模型和二次指数 平滑法相比较，发现其效果稍好。说明检验效果很好。 6.3 模型二的求解 （1） 对该公司从20062010年的各项目独立投资及项目之间相互影响下的投 资的到期利润率的组合预测值为： 表十：各投资项目独立投资时 0610 年的到期利润率的预测值 项目12345678 06年0.14880.21860.34320.45440.99861.18194.42161.8524 07年0.14340.20250.38150.55921.31770.98144.63501.9303 08年0.14500.21530.36810.55661.22911.11654.94911.9449 09年0.14380.21660.37540.59851.30361.12255.24291.9851 10年0.14370.22250.37440.62411.31301.18595.56652.0153 表十一：一些同时投资的项目从 0610 年的到期利润率的预测值 项目 同时投资3、4同时投资5、6同时投资5、6、8 3456568 06年0.49170.46121.16731.31660.1135-0.02820.3167 07年0.41380.52411.35451.60830.4234-0.3979-0.3125 08年0.44070.50891.39111.63900.1508-0.3524-0.2517 09年0.42570.52491.49261.77930.0600-0.4719-0.4662 10年0.42750.52841.57331.8817-0.1645-0.5245-0.5700 （2）风险损失率 由于投资越分散。 总的风险越小， 预测风险损失率可以通过方差分析来实现。 由此建立了如下的方差模型： 1 )( 22 n pp q ijij i 根据该方差模型可分别计算出今后五年各项目独立投资及项目之间相互影 响下的投资的风险损失率。 6.4 问题二的结果 最终今后五年各项目独立投资及项目之间相互影响下的投资的到期利润率 的预测结果见表十、十一；风险损失率的预测结果见表十二。 表十二：各投资项目独立投资时 0610 年的风险损失率（百分比）的预测值 项目1项目2项目3项目4项目5项目6项目7项目8 项目七0.133572 项目八0.312634 项目RMSE 同 时 投 资 项目三、 四 项目三0.019801 项目四0.007943 同 时 投 资 项目五、 六 项目五0.051283 项目六0.105772 同 时 投 资 项 目 五 、 六、八 项目五0.131105 项目六0.049964 项目八0.081647 13 0.015000.057000.121200.041901.018381.006844.210862.38320 同时投资项目 3、4同时投资项目 5、6同时投资项目 5、6、8 3456568 0.093200.079000.723700.945822.044381.037761.11849 7.问题三的解答 问题三是在问题二的预测结果基础上，利用公司争取到的资金捐赠，确定合 理的投资方案，使得第五年年末公司所得利润最大，且属于无风险有捐赠投资。 模型三同模型一， 建立以公司在第五年末所得利润的最大为目标的单目标最优化 模型。 7.1 模型三的建立 7.1.1 确定目标函数 由于问题三与问题一的目标函数相同，即使第五年末所得利润值最大，我们 建立了如模型一的目标函数： 20max 5 Zw 7.1.2 确定约束条件 由问题三可知， 模型三与模型一在各项目的投资回收要求上具有相同的约束 条件，再结合问题二的预测结果，得到关于各项目投资回收的新约束条件为： （1）对于项目 1，2，7，8： (1) ijijij yxp ， 1,2,7,8i ， 1,2,3,4,5j 特别地， 7 0,1,3,4,5 j xj ； 8 0,1,2,4,5 j xj （2）对于项目 3，4： ,1(1 ) iji jij yxp ， 3,4i ， 2,3,4,5j （3）对于项目 5，6： ,2(1 ) iji jij yxp ， 5,6i ， 3,4,5j 而对于问题三，该公司未来 5 年的投资计划中，还包含以下情况： （4）项目 5 的投资额固定，为 500 万，可重复投资，即： 5 0.05,1,2,3,4,5 j xj （5）对投资项目 1，公司管理层争取到一笔资金捐赠，若在项目 1 中投资超 过 20000 万，则同时可获得该笔投资金额的 1%的捐赠，用于当年对各项目的投 资。为方便建模，我们定义了一个判别函数： 1 1 1,2 ( ),1,2,3,4,5 0,2 j j x f tj x 即当在项目 1 中投资超过 20000 万时，1)(tf；反之，0)(tf。则对各项目投 14 资的总金额和到期回收的本利总金额，有： 第一年，对于投资项目 1，2，3，4，5，6，有 6 110111 1 2 11 1 ( )1% i i i i TxTf txM Zy 第二年，对于投资项目 1，2，3，4，5，6，8 ，有 7 22111122 1 4 22 1 ( )1% i i i i TxMTZf txM Zy 第三年，对于投资项目 1，2，3，4，5，6，8 ， 6 338322233 1 6 33 1 ( )1% ii i i i TxxMTZf txM Zy 第四年，对于投资项目 1，2，3，4，有 4 44333144 1 6 44 1 ( )1% i i i i TxMTZf txM Zy 第五年，对于投资项目 1，2，有 2 55444155 1 8 55 1 ( )1% i i i i TxMTZf txM Zy 综合（1） 、 （2） 、 （3） 、 （4）和（5）可得到，问题三的约束条件。 7.1.3 综上所述，得到问题三的单目标最优化模型 20max 5 Zw 15 5 1122334455 7 8 ,1 ,2 0 0.05,1,2,3,4,5 , 0,1,3,4,5 . . 0,1,2,4,5 (1),1,2,7,8,1,2,3,4,5 (1),3,4,2,3,4,5 (1),5,6,3,4,5 ijij j j j ijij iji jij i jij xu xj TM TMTM TMTM xi st xj xpij yxpij xpij 7.2 模型三的求解 根据上述的目标函数，我们利用 Lingo 编程（相关程序见附录八） ，求出了 该公司 5 年内最佳的投资方案 （投资金额 （单位： 亿元） ） ， 具体数据见下表十三： 表十三：5 年内最佳的投资方案（投资金额（单位：亿元） ） 项目12345678 第 1 年66.003.5030.052.0000 第 2 年031.00863.000.052.004.000 第 3 年031.62193.000.052.0003.00 第 4 年 4.72789 3.003.503.000000 第 5 年03.00000000 根据上表的投资方案，得出该公司在第五年末可以获利润 46.4932 亿元。 8.问题四的解答 问题四是在问题三的基础上，考虑投资风险，即问题四是有风险有捐赠的投 资。目标函数相同，针对问题四，我们建立了模型四。 8.1 模型四的建立 8.1.1 确定目标函数 为使第五年末所得利润值最大，我们建立了目标函数： 5 max20wZ 8.1.2 确定约束条件 对于问题四，当考虑投资风险时，那么投资时就要考虑投资风险率，即实际 利润率=到期利润率风险损失率；表示为： iijij qpR 所以，对于问题四，是在问题三的基础上考虑了风险投资率；所以问题四只需在 问题三的模型中，将到期利润率换成实际利润率即可求解。得到关于各项目投资 回收的新约束条件为： （1）对于项目 1，2，7，8： (1) ijijij yxR ， 1,2,7,8i ， 1,2,3,4,5j 特别地， 16 7 0,1,3,4,5 j xj ； 8 0,1,2,4,5 j xj （2）对于项目 3，4： ,1(1 ) iji jij yxR ， 3,4i ， 2,3,4,5j （3）对于项目 5，6： ,2(1 ) iji jij yxR ， 5,6i ， 3,4,5j 特别地， 5 0.05,1,2,3,4,5 j xj （4）对于问题四，考虑投资项目 1 的捐赠问题，同问题三，使用判别函数 )(tf，即： 1 1 1,2 ( ),1,2,3,4,5 0,2 j j x f tj x 对于第一年，投资项目 1，2，3，4，5，6，有 6 110111 1 2 11 1 ( )1% i i i i TxTf txM Zy 对于第二年，投资项目 1，2，3，4，5，6，7 ，有 7 22111122 1 4 22 1 ( )1% i i i i TxMTZf txM Zy 对于第三年，投资项目 1，2，3，4，5，6，8 ，有 6 338322233 1 6 33 1 ( )1% ii i i i TxxMTZf txM Zy 对于第四年，投资项目 1，2，3，4，有 4 44333144 1 6 44 1 ( )1% i i i i TxMTZf txM Zy 对于第五年，投资项目 1，2，有 17 2 55444155 1 8 55 1 ( )1% i i i i TxMTZf txM Zy 综合（1） 、 （2） 、 （3）和（4）可得到，问题四的约束条件。 8.1.3 综上所述，得到问题四的单目标最优化模型 20max 5 Zw 5 1122334455 7 8 ,1 ,2 0 0.05,1,2,3,4,5 , 0,1,3,4,5 . . 0,1,2,4,5 (1),1,2,7,8,1,2,3,4,5 (1),3,4,2,3,4,5 (1),5,6,3,4,5 ijij j j j ijij iji jij i jij xu xj TM TMTM TMTM xi st xj xRij yxRij xRij 8.2 模型四的求解 根据上述的目标函数，我们利用 Lingo 编程（相关程序见附录八） ，求出了 该公司 5 年内最佳的投资方案 （投资金额 （单位： 亿元） ） ， 具体数据见下表十四： 表十四：5 年内最佳的投资方案（投资金额（单位：亿元） ） 项目12345678 第 1 年63.003.5000.052.0000 第 2 年3.47293802.8245913.000.052.004.000 第 3 年0003.000.052.0003.00 第 4 年6.003.0003.000000 第 5 年03.00000000 根据上表的投资方案，得出该公司在第五年末可以获利润 29.77449 亿元。 9.问题五的解答 在问题五中，为了降低投资风险，该公司选择拿出一部分资金存银行。针对 该问题，我们建立了模型五。 9.1 模型五的准备 为了获得更高的收益， 当投资风险率高时， 公司应选择在银行存大部分资金， 而用小部分资金投资；当投资风险率低时，公司应选择在银行贷款进行投资。我 们在网上查得银行的存款利润率为 3.50%（取中国人民银行一年定期存款年利 率） ，设为k，银行的贷款利润率为 6.40%（取中国人民银行中长期贷款年利率） ， 设为l。 9.2 模型五的建立 9.2.1 确定目标函数 18 模型五的目标函数是在模型一的基础上考虑了存款本息以及利息，即第五 年末还贷款后回收的总金额（包括投资本利和，存款本金及利息） ，所以建立了 如下的目标函数： 20max 5 Bw 9.2.2 确定约束条件 （1）对于项目 1，2，7，8： (1) ijijij yxR ， 1,2,7,8i ， 1,2,3,4,5j 特别地， 7 0,1,3,4,5 j xj ； 8 0,1,2,4,5 j xj （2）对于项目 3，4： ,1(1 ) iji jij yxR ， 3 ,4i ， 2, 3, 4, 5j （3）对于项目 5，6： ,2(1 ) iji jij yxR ， 5,6i ， 3,4,5j 特别地， 5 0.05,1,2,3,4,5 j xj （4）考虑到投资项目的风险损失率及银行存款和贷款，为方便建模，定义 了如下的判别函数： 1 1,0.5 ( ) 0,0.5 i i q g t q ， 2 1,0.5 ( ) 0,0.5 i i q g t q 它们分别表示当投资风险率高时，公司应选择在银行存大部分资金，而用小部分 资金投资；当投资风险率低时，公司应选择在银行贷款进行投资。则对各项目投 资金额和存款金额的总和以及还贷款后回收的总金额，有： 第一年，对于投资项目 1，2，3，4，5，6，有 6 1111211 1 2 111121 1 ( )20( ) ( )(1)( )(1) i i i i Axg tCg tDM Byg tCkg tDl 第二年，对于投资项目 1，2，3，4，5，6，8 ，有 7 2212111222 1 4 221222 1 ( )( ) ( )(1)( )(1) i i i i Axg tCMABg tDM Byg tCkg tDl 第三年，对于投资项目 1，2，3，4，5，6，8 ，有 19 6 3313222233 1 6 331323 1 ( )( ) ( )(1)( )(1) i i i i Axg tCMABg tDM Byg tCkg tDl 第四年，对于投资项目 1，2，3，4，有 4 4414333244 1 6 441424 1 ( )( ) ( )(1)( )(1) i i i i Axg tCMABg tDM Byg tCkg tDl 第五年，对于投资项目 1，2，有 2 5515444255 1 8 551525 1 ( )( ) ( )(1)( )(1) i i i i Axg tCMABg tDM Byg tCkg tDl 综合（1） 、 （2） 、 （3）和（4）可得到，问题五的约束条件。 9.2.3 综上所述，得到问题五的单目标最优化模型 5 max20wB 5 , 4 , 3, 6 , 5),1 ( 5 , 4 , 3 , 2, 4 , 3),1 ( 5 , 4 , 3 , 2 , 1, 8 , 7 , 2 , 1),1 ( 5 , 4 , 2 , 1, 0 5 , 4 , 3 , 1, 0 20,20 0, 0 , 0 . . s 1, 8 7 5544332211 jiRx jiRx jiRx y jx jx DC DC MAMAMAMAMA ux t ijij ijji ijij ij j j jj jj ijij 9.3 模型五的求解 根据上述的目标函数，我们利用 Lingo 编程（相关程序见附录） ，求出了该 公司 5 年内最佳的投资方案（投资金额（单位：亿元） ） ，具体数据见下表十三： 表十三：5 年内最佳的投资方案（投资金额（单位：亿元） ） 项目12345678 第 1 年66.003.5030.052.0000 第 2 年031.00863.000.052.004.000 20 第 3 年031.62193.000.052.0003.00 第 4 年 4.72789 3.003.503.000000 第 5 年03.00000000 根据上表的投资方案，得出该公司在第五年末可以获利润 46.4932 亿元。 10.模型的评价、改进及推广 10.1 模型的评价 优点： （1） 我们考虑各个项目都有投资要求和回收本利的时间限制这些