（原子与分子物理专业论文）二维弹子球体系的谱分析.pdf

独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得 ( 注：如没有其他需要特别声明的，本栏可空) 或其他教育机构的学位或 证书使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在 论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：扬- 签字日期：2 0 0 4 年中月川日 导师签字： 签字日期：2 0 0 4 年中月巧日 素缝作青、导州。i 慧 鼻金文公霭 摘要 二维弹子球体系的谱分析 摘要 近二十年来，人造原子( 量子阱) 和纳米器件逐渐成为一个新的热门课题，研究这些 微腔结构及其输运问题对于新一代计算机的研制将产生重大的影响。量子弹子球( 特别 是二维弹子球) 作为这些研究的理论模型和应用半经典方法研究规则和混沌行为的典型 例子，一直是人们感兴趣的一个体系。本文将通过周期轨道理论( 闭合轨道理论) 和量子 波包回归理论两种半经典方法对该体系进行谱分析和动力学性质研究。 自从g u t z w i l l e r 提出量子体系态密度迹公式以来，周期轨道理论已经成为人们研 究定态体系的量子谱和所对应粒子经典运动的关系的主要工具。应用该理论，特别是在 此基础上发展的闭合轨道理论，能深刻了解所研究体系的动力学性质。对于体系的量子 描述和经典描述的对应关系，该理论也给出了深层次的解释。 应用波包分析量子体系的动力学性质也是近年来研究量子经典对应关系的一 个重要方面。根据定态体系的能量本征值和波函数构造含时高斯波包，把波包中的含时 部分以体系的某一个本征值e ( - o ) 为中心进行泰勒展开，定义经典周期，量子回归时间 等。根据计算得到体系的自动关联函数分析其动力学性质。 对于这两种谱分析方法，二维弹子球体系( 例如：正方形弹子球体系和正三角形弹 子球体系) 提供了最直观的例子。本文应用二维无限深方势阱中的能量本征值和本征函 数，计算该体系的量子能态密度的傅立叶变换p ( l ) 。在l p ( 三) 1 2 随变化的函数图像中出 现了一系列的峰，量子峰的位置与用经典方法得到的轨道长度符合得很好，这不但说明 了周期轨道理论( 闭合轨道理论) 的正确性，还给出了量子描述和经典描述精确符合的 典型例子。除了周期轨道理论以外，我们还应用高斯波包理论研究了正方形弹子球体系 中能量本征值谱和经典轨道的关系。根据正方形势阱中的能量本征值和本征函数构造含 对高斯波包，计算了经典回归周期，量子波包回归和超级回归等重要的时间标度量。应 用一维无限深势阱中高斯波包的展开系数口。的简单求和形式，在高能量( 初始动量 p o ：4 0 0 万) 下讨论波包的经典周期行为( 计算关联函数) ，其结论与经典结果符合得很 摘要 好。我们还讨论了量子波包的回归和部分回归，取p o = 0 ，即不存在经典周期，只有量 子波包回归，选取特殊的初始坐标( x o ，y 。) = ( 2 ，衫2 ) 研究了量子波包的部分回归的情 况。 本文的结构如下：第一章介绍了半经典周期轨道理论( 闭合轨道理论) 和量子波包 回归理论的发展。第二章给出了量子波包的构造和分析的一般过程，主要讨论了自动关 联函数，量子波包的经典回归周期和量子波包回归的基本概念，并把它推广到二维体系。 在第三章中，以二维方形弹子球体系为例，应用周期轨道理论和量子波包理论对其动力 学性质进行了详细的分析。把体系的量子行为和经典行为对照后，我们发现方形弹子球 体系的经典行为( 经典轨道信息) 和量子行为具有很好的对应。在本文的最后一章，应 用闭合轨道理论的思想，选取正三角形弹子球体系作为研究对象，把对弹子球体系的半 经典分析进一步推广到更一般的开轨道情况。我们用几何的方法详细的给出了经典轨道 的信息( 形状，轨道长度) ，并把这些轨道和体系的傅立叶变换的量子谱的峰一一对照。 这种半经典方法更具有现实性。最后我们还对傅立叶变换的精度进行了讨论。 关键词：周期轨道理论( 闭合轨道理论) ，量子波包回归，正方形弹子球体系，正三角 形弹子球体系，傅立叶变换 分类号：0 5 6 2 3 a b s t r j 玎 s p e c t r aa n a l y s i so f t w o d i m e n s i o n a lb i l l i a r d ss y s t e m s a b s t r a t i nl a s t2 0y e a r s ，t h es t u d yo f “a r t i f i c i a la t o m s ”( q u a n t u mw e l l ) a n dn a n o d e v i c e sh a sb e e n o f g r e a ti n t e r e s ti nt h er e l a t i v e l yn e wf i e l d ，t h i ss t u d yo fm i c r o j u n c t i o n sa n dt h e i rt r a n s p o r t b e h a v i o r sw o u l db e c o m eu s e f u li nf u t u r eg e n e r a t i o n so f c o m p u t e r s a sat h e o r e t i c a lm o d e l o f t h i ss t u d ya n dam o d e lo f o r d e r l ya n d c h a o t i cb e h a v i o r , q u a n t u mb i l l i a r d sh a sb e e na na c t i v e r e s e a r c hf o rm a n y y e a r s i nt h i st h e s i s ，w ew i l la n a l y z et h eq u a n t u ms p e c t r aa n dd y n a m i c so f t h i s s y s t e mu s i n gp e r i o d i co r b i t st h e o r y ( c l o s e do r b i t st h e o r y ) a n dw a v ep a c k e td y n a m i c s m e t h o d s i n c et h ed e v e l o p m e n to fp e r i o d i co r b i tt h e o r yf o rc h a o t i cs y s t e m sb y g u t z w i l l e r , i th a s b e c o m ea ni m p o r t a n tt o o lo ft h es t u d yo ft h ec o n n e c t i o n sb e t w e e nt h eq u a n t i z e de n e r g y e i g e n v a l u e so f ab o u n ds t a t ea n dt h ec l a s s i c a lm o t i o n so ft h ec o r r e s p o n d i n gc l a s s i c a lp o i n t p a r t i c l e p e r i o d i co r b i tt h e o r ya n dc l o s e do r b i tt h e o r yw h i c hi sd e v e l o p e db yd ua n dd e l o s o p e n aw a yt oa d c 印u n d e r s t a n d i n g o ft h es y s t e m sd y n a m i c s ，f i l l t h e r l n o r et h e yg i v eam d g e l i n kt h ec l a s s i c a lm e c h a n i c so f m a c r o s c o p i cw o r l d t ot h eq u a n t u mm e c h a n i c so f m i c r o s c o p i c s y s t e m sa n d t h eu s eo fw a v e p a c k e td y n a m i c s t oa n a l y z et h eq u a n t u mm e c h a n i c a ls y s t e m si sa l s oa n i n c r e a s i n g l yi m p o r t a n ta s p e c to f t h es t u d y o f t h ec l a s s i c a l - q u a n t u mi n t e r f a c e w ec o n s t r u c tt h e t i m e d e p e n d e n tg a u s s i a nw a v ep a c k e ts o l u t i o n so fs c h r o d i n g e re q u a t i o nw i mt h ee n e r g y e i g e n v a l u e sa n de i g e n f u n c t i o n so f t h eb o u n ds t a t es y s t e m s ，a n dd e f i n et h ec l a s s i c a lp e r i o d ， q u a n t u mm e c h a n i c a lr e v i v a la n ds u p e r r e v i v a lt i m e sb ye x p a n d i n gt h ee n e r g ye i g e n v a l u e s a b o u tt h ec e n t r a lv a l u eo ft h eq u a n t u mn u m b e r n o f i n a l l y , w ea n a l y z et h ed y n a m i c so f s y s t e m sb yc o m p u t i n g t h ea u t o c o r r e l a t i o nf u n c t i o no f t h e s y s t e m s t w o d i m e n s i o n a lb i l l i a r ds y s t e m sh a v ep r o v i d e de a s i l yv i s u a l i z i b l ee x a m p l e sr e l e v a n t f o rb o t ht y p e so f a n a l y s e s a s a s i m p l ee x a m p l eo f t h ea p p l i c a t i o nt oab i l l i a r do ri n f i n i t ew e l l s y s t e mo fp e r i o d i co r b i tt h e o r yw ec o m p u t et h ef o u r i e rt r a n s f o r m ( p ( l ) ) o f t h eq u a n t u m 1 a b s l l t a t m e c h a n i c a le n e r g yl e v e ld e n s i t yo ft w o d i m e n s i o n a ls q u a r eb i l l i a r ds y s t e m sa n de q u i l a t e r a l t r i a n g l eb i l l i a r ds y s t e m s t h er e s u l t i n gp e a k si np l o t so f i p ( l ) 1 2 v e r s u sla r ec o m p a r e dt o t h el e n g t h so ft h ec l a s s i c a lt r a j e c t o r i e si nt h e s eg e o m e t r i e s t h el o c a t i o n so f p e a k si np ( l ) a g r e ew i t ht h el e n g t h so fc l a s s i c a lo r b i t sp e r f e c t l y , w h i c ht e s t i f i e st h ec o r r e s p o n d e n c eo f q u a n t u mm e c h a n i c s a n dc l a s s i c a l m e c h a n i c s f u r t h e r m o r e ，t h ec o n n e c t i o n sb e t w e e nt h e e n e r g ye i g e n v a l u e ss p e c t r u mo f t w o - d i m e n s i o n a lb i l l i a r ds y s t e m sa n dt h ec l a s s i c a ld y n a m i c s o f p a r t i c l e sc a l lb ee x p l o r e dt h r o u g ht h et i m e d e p e n d e n c eo fw a v ep a c k e ts o l u t i o n so ft h e s c h r o d i n g e re q u a t i o n f i r s tw ed e f i n et h ee x p a n s i o nc o e f f i c i e n t s f o rag e n e r a lg a u s s i a n w a v ep a c k e ti no n e d i m e n s i o n a li n f i n i t ew e l la n dg i v et h ea p p r o x i m a t i o nf o rt h ee x p a n s i o n c o e f f i c i e n t s t h ec l a s s i c a lp e r i o d ，q u a n t u mm e c h a n i c a lr e v i v a la n ds u p e r r e v i v a lt i m e sa r c d e t e r m i n e d 、i t ht h ee n e r g y e i g e n v a l u e sa n de i g e n s t a t e so ft h et w o d i m e n s i o n a lb i l l i a r d s y s t e m s w ec o m p u t et h ea u t o e o r r e l a t i o nf u n c t i o ni n p 0 = 4 0 0 za n dc o m p a r et ot h el o c a t i o n o ft h ec l a s s i c a lc l o s e d ( c o r r e s p o n d i n gt ot h ep e r i o d sf o rt h ec l a s s i c a lc l o s e do r b i t sd e d u c e d f r o ms i m p l eg e o m e t r i ca r g u m e n t s ) w ea l s od i s c u s st h er e v i v a lt i m eb yc o n s i d e r i n gz e r o m o m e n t u m ( p 0 = 0 ) a n dt h e 丘a c t i o n a lr e v i v a l s t h a ta r er e l a t e dw i t ht h e s p e c i a l c a s e ( 而，y 0 ) = ( 2 ，影2 ) ， t h i st h e s i si sd i v i d e di n t of o u rc h a p t e r s t h ef i r s t c h a p t e ri ss u m m a r i z a t i o n ，w h i c h b r i e f l yi n t r o d u c e st h ed e v e l o p m e n to f s e m i c l a s s i c a lp e r i o do r b i tt h e o r y ( c l o s e do r b i tt h e o r y ) a n dq u a n t u mp a c k e tw a v er e v i v a lt h e o r y t h es e c o n dc h a p t e ri n t r o d u c e st h ec o n s t r u c t i o n q u a n t u m w a v e p a c k e ta n d s o m eb a s i cc o n c e p t s i nt h et l l i r dc h a p t e r , a sat e s to fp e r i o d i co r b i t t h e o r ya n dq u a n t u mw a v ep a c k e tr e v i v a lt h e o r y , w ea n a l y z eat w o d i m e n s i o n a ls q u a r eb i l l i a r d s y s t e m i nt h el a s tc h a p t e r , w ee x t e n d t h ec l o s e do r b i t st h e o r yt ot w o d i m e n s i o n a le q u i l a t e r a l t r i a n g l eb i l l i a r d ，i nw h i c h t h eo r b i t sa r eo p e nf a s h i o n a l t h o u g ht h es y s t e mi si n t e g r a b l e ，t h e m e t h o do f s e p a r a t i o n o fv a r i a b l e sc a r l tb e e m p l o y e d t h ee n e r g ye i g e n v a l u e s a n d w a v e f i m c t i o n so ft h es y s t e mh a v eb e e nd e r i v e di nav a r i e t yo fd i f f e r e n tc o n t e x t sb yd i f f e r e n t g r o u p s i nt h i sc h a p t e r , w eu s et h es o l u t i o no fm a t h e w sa n dw a l k e r b yd e f i n i n gt h en e w e x p r e s s i o n so fq u a n t u ms p e c t r aa n di t s s e m i c l a s s i c a le x p r e s s i o n ，w ec a l c u l a t et h ef o u r i e r 4 t r a n s f o r mo ft h eq u a n t u ms p e c t r aa n de x a m i n et h ec o n n e c t i o n sb e t w e e nt h e l e n g t ho ft h e c l a s s i c a l p a t h a n dt h el o c a t i o n so ft h e q u a n t u ms p e c t r a lp e a k s w ed e d u c et h a tt h e c o r r e s p o n d e n c ei sp e r f e c t i na d d i t i o n ，i nan u m e r i c a le v a l u a t i o n so n em u s tu s eaf i n i t e n u m b e ro fw a v cn u m b e r st ol i m i tt h ee n e r g y r e g i o n , w h i c hb r i n g si n t oar e s o l u t i o np r o b l e m ， w ea l s oa n a l y z e b r i e f l y t h i sp r e c i s i o np r o b l e mo f t h ef o u r i e r t r a n s f o r m k e yw o r d s ：p e r i o d i co r b i t s t h e o r y ( c l o s e d o r b i t st h e o r y ) ，q u a n t u mw a v ep a c k e t r e v i v a l ，s q u a r e b i l l i a r d s y s t e m ，e q u i l a t e r a lm a n g l eb i l l i a r ds y s t e m ， f o u r i e r 仃a n s f o i t u c l a s s i f i c a r i o n ：0 5 6 2 3 5 第一章综述 第一章综述 1 1 周期轨道理论和闭合轨道理论 量子力学诞生以来，其方法和计算技术已经成为原子和分子体系中精确计算的强大 工具。量子计算结果和实验测量结果的精确符合消除了人们对量子力学基本概念的任何 质疑，直到今天量子力学仍然是人们解决微观体系的精确理论。尽管如此，半经典理论 仍然引起了人们的广泛兴趣。半经典理论的复苏主要有以下两个方面的原因：首先，在 应用量子力学的方法解决多维不可积体系时需要进行大量的数值计算( 虽然通过可以选 取合适的基矢优化哈密顿量，但是对角化哈密顿量需要的计算量仍然十分庞大) ，而这 些数值计算的结果对于我们了解体系动力学性质的作用甚微。例如，1 9 8 6 年在德国的 b i e l e f e l d 大学的威尔格( w e l g e ) 教授首次用氢原子做实验时第一次发现了回归谱的例 子。在电离阈附近，氢原子的吸收谱出现振荡，变为许多振荡项的叠加。如果把能量的 分辨率提高很多倍以后，电离闽附近的振荡会突然消失，测到的吸收谱简直就象噪音一 样，如图1 1 ，从这种吸收谱中很难抽取有用的信息。但是当把吸收谱作为能量的函数 通过傅立叶变换而成为时间的函数时，在很多分立时间标度上，变换后的函数都有尖峰， 一个振荡峰对应着一条稳定的半经典闭合轨道的贡献，如图1 2 。因此半经典方法可以 很好的解释实验上或应用量子力学方法计算得到的数据，这种解释方法对于我们了解体 系的动力学性质起到了重要的作用。其次，微观体系中的量子力学和宏观世界中的经典 力学的对应关系一直是人们十分感兴趣一个方面，了解这种对应关系对人们更深的理解 自然的本质有着重要的意义。 早期的量子力学中，半经典技术给出的v k b ( w e n t z e 一k r a m e r s b r i l l o u i n ) 量子化方 法和e b k ( e i n s t e i n b r i l l o u i n k e l l e r ) 量子化方法分别适用于一维体系和n 个自由度 的体系 1 - - a 。但是，这些半经典量子化方法仅适用于可积体系。在不可积体系中k a m ( k o l m o g o r o v - k r n o l d - m o s e r ) 环面被破坏，体系的本征态不能通过一套量子数来表示“ ”。e i n s t e i n 早在1 9 1 7 年就曾经指出，用这些半经典量子化方法不可能对混沌的体系进 行量子化“3 。由于波动力学的发展和成功，半经典理论在后来的几十年并没有引起足够 的重视，特别是对于混沌体系来说，量子力学和经典动力学的对应关系一直是一个有待 于解决的问题。 6 第一章综述 董 害 匕 基 图1 1h 原子在强度为b = 5 9 6 t 的磁场中的光吸收谱。 图1 2 吸收谱的傅立叶变换图。每一个峰位与一个闭合轨道的运动时间相对应。 1 9 6 7 年，m a r t i n c g u t z w i l l e r 重新研究了这个问题阻”。由于对混沌体系的分立 的本征态进行量子化是不可能的，g u t z w i l l e r 给出了一个态密度的半经典公式，他从格 林函数迹的精确的量子表达式出发，用格林函数的半经典近似代替它的量子形式，应用 稳定相近似得到态密度的半经典表达式，式中包括一个平滑项( w e y l 项) 和一个包含了 对应经典体系的所有周期轨道振荡求和项。g u t z w i l l e r 的理论通常又被称为周期轨道理 论，态密度是量子概念，轨道作用量是经典概念，“g u t z w i l l e r 迹公式提供了联系量子 一_-一c，-|一一、 第一章综述 性质和经典性质的唯一桥梁”。 g u t z w i l l e r 的半经典迹公式适用于完全混沌的体系，在这些体系中的周期轨道是分 立并且是不稳定的。比较常见的混沌体系有运动场型的弹子球体系i s - t o , 磁场中氢原子 在电离阈附近吸收谱问题 t l - j 3 o 对于可积体系来说，b e r r y 和t a b o r “4 “3 给出了一个类似与g u t z w i l l e r 迹公式的态 密度的半经典表达式，同样是把态密度表示成周期轨道求和的形式，因此被称为可积体 系中的周期轨道理论。b e r r y t a b o r 的迹公式与e b k 环面量子化在形式上是等价的，该公 式还可以推广到近可积体系“6 ”1 。 现实的体系通常既不是可积的又不是完全混沌的，而是混合体系。一个典型的例子 是磁场中的氢原子，在低能量时是一个近可积的，在电离阈附近是一个完全混沌的体系。 这些混合体系中周期轨道( 闭合轨道) 可能含有分岔，在分岔点处它们既不是分立的， 又不属于相空间中的一个规则环面。g u t z w i l l e r 的迹公式和b e r r y t a b o r 的迹公式的振 幅在分岔点附近都变得发散，就是说这两个公式在分岔点附近不再适用。 周期轨道理论受到人们的普遍重视是在闭合轨道理论提出以后，因为对于原子、分 子或其他体系，实际出现的是闭合轨道而不是周期轨道。1 9 8 8 年，杜孟利和j b d e l o s 等人在g u t z w i l l e r 周期轨道理论基础上采用格林函数和库仑散射方法提出了半经典闭 合轨道理论，并以磁场中的氢原子为例，给出了清晰的理论推导和物理图像的描述“。 作为周期轨道理论的修正和改进，闭合轨道理论由于具有物理图像清晰，应用范围广泛 等特点，成为人们解决原子或离子在强外场中的光吸收现象的主要工具，成为实现联结 经典理论和量子理论的重要桥梁。应用闭合轨道理论的统一近似方法不但能处理分岔点 附近的振幅发散问题“，还能够处理“鬼轨道”的问题。1 ”。 对于分立的周期轨道应用g u t z w i l l e r 的迹公式，对于规则的环面应用b e r r y t a b o r 的迹公式，当处理分叉问题和“鬼轨道”问题时应用闭合轨道理论统一近似方法，原则 上对于混沌、可积和混合体系，我们都可以应用半经典方法来处理。 1 2 波包动力学 随着实验上人们探测量子经典对应关系技术的提高，定态量子体系的能量本征值谱 和所对应经典体系的经典运动之间的对应关系问题愈发显得重要。对这些问题的研究除 了上面提到的周期轨道理论( 闭合轨道理论) 和回归谱学以外，还有一种重要的理论就 第一章综述 是量子波包动力学。 应用波包分析量子体系的动力学性质一直是人们研究量子经典相互作用的一个重 要的方面。薛定谔等人通过对一些基本体系的波包解的研究，讨论了对世界的经典描述 和量子描述的关系，这些基本体系有：自由粒子，谐振子和均匀磁场的粒子等，这在一 些早期量子力学教科书中都能找到。 尽管薛定谔曾预测过量子波包是氢原子电子的波动力学的的表达形式，但早期的研 究表明量子波包应用到库仑问题时存在一定的偏差。在薛定谔提出这个预测后，人们一 直试图构造一个满足库仑问题的波包解。里德堡波包的激光激发技术，泵浦探测技术和 相位调制技术的发展，使得对体系波函数含时部分的探测成为可能，这些实验技术的发 展引起了理论工作者对波包展开方法的浓厚兴趣 2 5 - 2 9 。人们对定态量子体系波包的长时 间演化行为进行了大量的研究探索，例如量子波包回归。p a r k e r 和s t r o u d 在对里德堡原 子的研究计算时首先发现了量子波包回归的现象c m oy e a z e l l 和s t r o u d 随后在实验上发 现了这种现象 3 1 , 3 2 o 对波包解含时部分的研究在很大程度上依赖于能量谱，特别是研究波包回归和超回 归时，这时随时间演化定域波包在短时间内对几条经典轨道迅速的展开，当展开部分以 量子回归的形式回到波包本身时，波包重新形成并重新定域，半经典周期重新形成。人 们已经在大量的物理体系中理论推导出这些波包回归的时间并在实验得到了证实口3 州。 这就是量子态含时部分的波包演化过程，波包中的含时部分e x p ( - i e 。t h ) 作为一个相因 子在分立的能级之间进行调制。 1 9 9 1 年，a v e r b u k h 和p e r e l m a n 在高激发态的原子与分子的波包动力学一文中给 出了关于量子波包回归和部分回归的详细讨论，并给出了实验中观察到的量子波包回归 和部分回归的精确描述“。同时，b l u h m 和k o s t e l e c k y 以更容易理解的方式讨论了量子波 包动力学哪! 。继此之后，在量子波包动力学方面人们又取得了很多的进展，在许多教学 文献中也出现了大量的关于量子波包回归的基本概念。研究量子波包的经典周期和波包 回归行为已经成为人们探索量子体系动力学性质的一个重要方法。 1 3 二维量子弹子球体系的特点和研究进展 自从混沌动力学出现以来，弹子球问题一直是人们研究混沌和规则行为的典型例 子。近二十年来，人造原子( 量子阱) 和纳米器件逐渐成为当前的热门课题，研究这些微 9 第一章综述 腔结构及其输运问题对于新一代计算机的研制将产生重大的影响。量子弹子球( 特别是 二维弹子球) 作为这些研究的理论模型成为人们感兴趣的一个体系。假设一个自由点粒 子完全限制在一个固定的区域内，粒子的运动完全由薛定谔方程和狄利希边界条件来描 述，且粒子与边界的碰撞为完全弹性碰撞。如果这个弹子球体系的边界条件不随时间变 化，且边界之问是可以完全分离的，那么这个弹子球体系是可积体系。 量子弹子球体系介于宏观和微观，可以假想为一个非常小的台球桌，一百个这样的 球桌才有一个针尖的大小，制造这样一个又光滑又平整的微器件需要很高的精度。弹子 球以每秒钟几百米的速度射到体系中并和球桌发生完全弹性碰撞，直到最后进入桌洞 中。 我们把电子看作入射的弹子球，众所周知，电子在直线导线中的运动并不是完全的 直线运动。金属导线中的杂质把电子反射到各个方向，因此电子在导线中的运动变得完 全不可预测。一种标度杂质对电子影响的物理量叫做自由程，这是电子在与杂质发生碰 撞之前运动的主要路径。在所研究的问题中，电子的自由程要远远大于弹子球台大小， 因此它在球台上的运动是完全自由的。 对于实验方面来说，晶体生长技术和光刻技术的发展，使得纳米器件的生产成为可 能。”。在纳米器件中，通过控制门电压可以控制电子的运动，这就是量子弹子球体系在 实验中的实现。人们应用微腔( 构造任意形状的二维弹子球体系) 的能级结构和统计数 字来探测和检验理论的正确性呻1 ，并得到体系混沌行为的统计数据。根据这些微观器件 电导波动性的测量数据，检验理论得到弹子球体系的能谱的频率特性 3 9 o 最近几年来， 通过激光构造任意形状的二维弹子球体系限定超冷原子，就是原子光学弹子球体系的实 现 4 0 3 0 电子器件已成为半导体制造业中一种高精的技术，制造这种器件是要使电子的平均 自由程变得很大，需要尽量提高半导体材料的纯度，为了达到这个目的，人们最常用的 是所谓的分子束生长技术。晶体在一定的时间内畏成一层原子，在这一层内的原子格点 完全被填满。由于这个过程是在原子尺度下进行的，因此我们在晶体中改变这一层的原 子组成是可能的。通过分子生长技术畏成的晶体就相当于我们弹子球体系的台球桌，虽 然不是特别的光滑，但是相当的平整。 对于上面提到的两种半经典理论，二维弹子球体系给出了非常直观的例子。 在本文中选取的正三角形弹子球体系和正方形弹子球体系的一个共同特征就是它 第一章综述 们都是可积体系。对于方形弹子球体系来蜕，粒子的运动方程( 薛定谔方程) 完全可解。 根据方形弹子球体系中的本征波函数和能量本征值，我们可以对体系进行周期轨道理论 分析和量子波包分析，寻求经典描述和量子描述的对应性。正三角形弹子球体系虽然是 一个可积体系，但不能用分离变量法求解。在不同的情况下，人们已经应用不同的方法 给出了其波函数和能量本征值的解，这里应用 l t a t h e w s 和w a l k e r 的解法“。1 应用闭合轨道理论的思想，我们把二维弹子球体系的半经典分析推广到更一般的情 况。因为在实际应用的量子弹子球中，电子产生的轨道一般情况下不是闭合轨道或周期 轨道，而是开轨道，这种情况对应微腔输运的问题。我们运用一个新的量子谱函数，对 正三角形弹子球体系进行量子谱分析，量子和经典结果仍然精确符合。本文的讨论对于 实验研究有一定参考价值。 第二章量子波包的构造和分析 2 1 高斯波包 第二章量子波包的构造和分析 应用波包分析量子体系的动力学性质是人们在研究经典量子相互关系是十分 重要的一种方法。人们已经用波包法研究了几种一维情况下量子体系的跃迁和散射问 题，近年来，波包回归方法还被应用到大家熟悉的一维定态体系( 例如，一维无限深势 阱) 中。 对于任意几何形状的弹子球体系，应用满足自由粒子的运动方程( 薛定谔方程) 的 标准解构造的初始高斯波包。虽然这种解不能完全满足体系的边界条件，但随着它离势 阱边界距离的逐渐增大，得到的误差呈指数形式减小，所以这个高斯波包解可以展开成 该弹子球体系的本征态的形式。在一维动量空间中的初始高斯波包的形式如下 ( p i g ) = 九( 刖) = 等e 。削咯础 ( 2 1 ) 在坐标空间中 xj g ) = ( 圳) = 煮万e 巾刊2 刊p 圳6 ( 2 2 ) 这里6 = - a h 。上面两个关于同个希尔伯特态矢i g ) 的在不同空间中的表达形式是完全 等价的，它们可以通过傅立叶变换相互转化 ( 五。) = 嘉亡九( p , o ) e 叫和 ( 2 3 ) 一般情况下的初始的平均值如下 ( z ) 。嘞 ( x 2 ) 。= + 譬，瓴= 击 ( 2 t ) ( p ) 。= 岛，( p 2 ) 。= 露+ 瓦1 ，瓴= 去= 去 ( 2 ts ) 上面的参数分别为初始坐标，初始动量风和波包的宽度，对于一个一维定态体系 能量( 动能) 的平均值为 第二章量子波包的构造和分析 ( 童) = 去( p 2 ) = 去( 胪2 万h 2 ) 汜。， 表示粒子的质量。把初始的高斯波包展开为本征态虬( 工) 的形式 c g ( x ，o ) = 口。( x ) ( 2 7 ) 其中展开系数为 q = e “：( x ) ( x ，o ) 出 ( 2 8 ) q 2l “一( x ) ( x ，o ) 出 l z g ) 且系数口。必须满足下面两个条件 蚶= l ( 2 9 ) 喜蚶e = ( 壹) = 去( 露+ 矛h 2 ) ( 21 0 ) e 为能量本征值，最后得到的含时高斯波包的形式如下( 忽略下标) y o ，f ) = q 扛弦一峨 ( 2 1 1 ) 在短时间内( 在初始高斯波包与势阱的边界碰撞以前) ，该定态体系中的含时高斯波包 的行为与自由粒子的含时高斯波包行为非常相似。 r ) 1 2 = 丽1 扩7 删 ( 2 1 2 ) 其中 岛= 口a 扛刁了 ( 2 1 3 ) 缸= 瓴乒丽 ( 2 1 4 ) f 0 = 譬= ( 静 ( 2 1 5 ) f 05 寺2 ( 舌) “ “j 纠 ( 2 1 5 ) 式定义了波包展开的时间量。 第二章量子波包的构造和分析 2 2 自动关联函数 研究薛定谔方程波包解的含时部分时，人们最常用到的一个概念是t 时刻的波函数 ( 1 ) ) 和初始时刻的波函数( | ) ) 的交叠( ( 奶i ) ) 。这个交叠项就是自动关联函数，自 动关联函数既可以在坐标空间中求得，也可以在动量空间中给出 彳( r ) = ( j ) = e + ( z ，f ) ( x , o ) a x = e + ( p ，f ) 地o ) a p ( 2 1 6 ) 通过上式可以看出，为了得到对于大标度的时间的1 4 ( f ) l ，在f 时刻的波函数不论在坐标 空间还是在动量空间都应该与初始时刻的波函数有一个明显的交叠。 对于自动关联函数来说，最有用的表达形式为 a ( t ) = l + ( 茁，f ) 妒( 工，o ) a x = e c 6 匹q ( x ) ( 曲e 哪7 ( 2 1 7 ) ：妻蚶p 通过上面的表达式对关联函数求值是研究量子波包行为的主要手段，除了对含时部分进 行理论分析，关联函数在实验中也起到重要的作用。在光泵浦探测中，观测到的电离信 号和自动关联函数密切联系，通过分析电离信号得到体系的基本性质“。 量子态长时演化行为也是人们研究的一个主要内容，例如，b o c c h i e r i 和l o i n g e r 提出了“量子回归理论”，认为拥有分立能量本征值的体系都可以任意无限地接近体系 的初态，就是说0 一| | 的值可以无限小“。 2 3 一维高斯波包的含时项和经典周期 通常，根据定态体系的本征态0 ) 和能量本征值e 得到的任意含时波包( z ，) 的 行为是非常复杂的。但是，激发态定域波包可以以一个大的量子数为中心进行展开 就是将能量本征值e = e ( h ) 写成下面的形式 e ( n ) e ( ) + e ( ) ( n - n o ) + - e ( ) 铆一n o ) 2 + 专e ”( ) ( q - - n o ) 3 + ( 2 1 8 ) ，n 第二章量了波包的构造和分析 其中n o a n 1 ，e ( ) = ( a e o l a ) ，( ) ，e ”( 月。) 等依此类推，应用上式把单个 量子态的含时部分写成 p 叫即 = e x p ( 一i h e ( n o ) f + 一n o ) e ( v + 三。一，2 0 ) 2 e 。( y + 吉e ”( ) 。一) 3 + 】) ；e x p ( 一i c o o t 一2 z i ( n 一, o ) t t c 一2 r c i ( n n o ) 2 r 瓦。一2 z i ( n n o ) 3 f 瓦p 。，+ _ ) ( 2 1 9 ) 展开式的每一项( 第一项除外) 都定义了一个重要的时间标度 毛=旦，=旦r。pe,2嘶2zhie(-ol e ( n o ) l 2 ( 2 2 0 ) 1 “2 。m v 2 2 f 研2 。2 0 第一项( 6 9 0 = e ( n o ) h ) 是一个不依赖于量子数疗的位相，这一项对展开式中的每 一项的贡献都是相同的( 贡献非常微小) ，对于要研究的展开项( 第一项除外) 并没有 什z , 影响。 根据对应性原理，( 2 1 9 ) 中的第二项对应于定态体系的经典周期运动 毛= 网2 z h ( 2 2 1 ) 这种对应关系在应用半经典结论和w k b 量子化条件时是常见的 4 6 , 4 7 。 对于一个在一维势阱矿( x ) 中运动的给定能量的粒子，能量e = m y ( x ) 2 2 + v ( x ) 。如 果粒子经过d x 所用的时间为d t ，设起点和终点分别为a 点和b 点，那么经典周期r 可以 通过对路径的积分得到 西= 志= 店南寸主= 肛拦r 南眨z z ，积2 百万。、了了云7 丽寸j 2 上班2 、i 上了丽 咄甜 在同样的条件下，应用w