（应用数学专业论文）一类二元神经网络模型解的定性研究.pdf

硕士学位论文 摘要 本文研究了一类具有时滞的二元神经网络模型解的动力学性质，其中信号函 数是三段常数不连续函数 对具有时滞的神经网络模型，本文利用分步法把复杂的时滞状态方程化成常微 分方程，通过解常微分方程来判断模型解的动力学性质考虑到闽值的变化，把闽值 分为三部分，在这三种情况下，对初值的取值范围进行划分，由于信号函数是三段常 数不连续函数，可以将初值的范围分为九个部分分别考虑初始值这九个区域内的 变化，结合阈值的大小可以得出每个范围内模型的解对不同的初值对应的解进行定 性讨论，判断解是收敛的还是周期的， 本篇论文由四章构成 第一章主要介绍了人工神经网络研究的背景、意义及进展情况、并简单介绍了 本文的主要工作 第二章研究阂值都大于等于1 时模型解的渐近性，我们发现在大多数情况下模 型的解是收敛的 第三章研究了一个阈值小于1 ，一个闽值大于等于1 时模型解的渐近性我们发现 在多数情形下，模型的解是收敛的 第四章在阈值都大于0 且小于1 时对模型的解进行了定性研究我们发现在大多 数情况下模型的解是收敛的，在某些适当的条件下，模型存在周期解 关键词：神经网络；时滞；阈值；收敛；周期解 i i 硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ea n a 妇z et h ed y n a m i c a lb e h a i o r 吕o fs o l u t i o n 8f o rac l a s so f n e u r a ln e t w o r km o d e lw i t ht w on e u r o n s a n dt h e8 i g n a lt r a n 8 m i s 8 i o nf u n c t i o ni s t h r e ep i e c e w i 8 ec o n g t a n td i s c o l l t i n u o u s f b rt h en e u r a ln e t w o r km o d e lw i t hd e l a 弘t h es t a t ee q u a t i o nw i t ht h es y n a p t i c t r a n s m i s s i o nd e l a yi 8t r a 璐f o r m e di n t oo r d i n a r yd i 行e r e n t i a le q u a t i o nb ym e a n so f t h e8 t e pm e t h o d t h e nt h ed y n a m i c 出b e h a v i o r 8o ft h em o d e lc a nb es t u d i e d b ya n a l y z i n gt h es o l u t i 0 璐o ft h eo r d i n a ud i 他r e n t i a le q u a t i o n s c o n s i d e r i n gt h e c h a n g eo ft h et h r e s h o l d ，t h ev 吐u e s t h et h r e s h o l d si nt h em o d e l 时ed i v l “di n t o t h r e ep a r t s i ne a c hc o n d i t i o n ，s i n c et h es i g n a lf u r l c t i o ni st h r e ep i e c e w i s ec o n 8 t a n t d i 8 c o t i n u o u s ，t h es c o d eo ft h ei n i t i a l 、吼l u ec a nb es u b d i v i d e di n t on i r 塘c a s e 8 c o m b i n i n gt h et r 锄s f o r m a t i o no ft h et h r e s h o l d ，t h e8 0 1 u t i o n s 盯eo b t 缸n e di ne v e r y i d e n t i c 砒s p a c e w bd i s c u s st h es o l u t i o n 8w i t hd i 如r e n ti n i t i a lv a l u e si ne v e r yp a r t a n di tc a nb ej u d g e dw h e t h e rt h e8 0 l u t i o n 8a r ec o n v e r g e n to rp e r i o d i c t h ep 印e rh a 8f o u rp a r t s i nt h e 矗r s tc h 印t e r ，t h eb a c k 盯。u n d 趾dt l en e c e s s i t yf o rt h es t u d yo fn e u r a l n e t w o r l 【8a t ep r e s e r 扎e d t h e n ，s o m ek n o w nr e s u l t so fn e u r a ln e t w o r km o d e l sa r e i n t r o d u c e d a n dt h em 如w k t h i sp a p e ri s 出s os i m p bi n t r o d u c e d i nt h es e c o n dc h a p t e r ，t h e 鹊y m p t o t i cb e h a v i o r so ft h e8 0 i u t i o n sa r e8 t u d i e d w h e n 心l et w ot h r e s h 0 1 d sa 鹕b i g g e r 让衄1 a n di t i sf o u n dt h a tt h es o l u t i o n so f t h em o d e la r ec o n v e r g e n to nm 0 8 tc o n d i t i o 璐 i nt h et h i mc h a p t e r ，t h e 髂y m p t o t i cb e h a v i o r so ft h e8 0 1 u t i o 璐a r ed i s c u s s e d w h e no n et h r e s h o l di sb i g g e rt h a n1b u tt h eo t h e ro n ei 81 e 8 st h a n1 i ti sp r a v e d t h a tt h e8 0 l u t i o n so ft h em o d e la r ec o r e r g e r l to nm o s tc o n d i t i o n 8 1 nt h ef o u r t hc h a p t e r ，s o m ei m p o r t a i l td y n 锄i cp r o p e r t i e so ft h em o d e l 8a r e d e s c r i b e dw h e nt h et w ot h r e s h o l d sa r el e s st h a n1 i ti 8p r 刊t h a tt h es o l u t i o i l s o ft h em o d da r ec o n v e r g e n t0 nm o s tc o n d l t i o i l 8 ，a n do n8 0 m es u i t a b kc o n d i t i o l l 8 ， s u c har n o d e lh a sd e r i o d i cs o l u t i o n s k e yw o r d s ：n e u r a ln e t w o r k ；d e l a y ；t h r e s h o l d ；c o m r e r g e n c e ；p e r i o d i cs o l u t i o n i 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取 得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其 他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个 人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果 由本人承担。 作者签名：列亟熬日期：w 弼年上月二日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查 阅和借阅。本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位 论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密团。 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名：则玉熬 导师签名：施剞幺z 、 日期： 啪占年上月向日 日期知年厂月，2 日 硕士学位论文 第l 章绪论 1 1问题研究的背景及意义 人脑是具有高度智能的复杂系统，它不必采用繁复的数字计算和逻辑运算，却 能灵活处理各种复杂的、不精确的和模糊的信息利用机器模仿人类的智能是长 期以来人们的理想用仿生学观点，探索人脑的生理结构，把对人脑的微观结构研究 及对人脑智能行为的研究结合起来即人工神经网络人工神经网络以对大脑的生理 研究成果为基础，对人脑若干基本特性进行抽象和模拟，来实现大脑某些方面的功 能因此开展入工神经网络的研究具有重要的理论意义和实用价值自上世纪8 0 年 代中后期以来，全世界特别是一些工业发达国家，掀起了一股竟相研究开发人工神经 网络的热潮在人工神经网络这个涉及多种学科的新的高科技领域中，吸引了众多 的神经生理学家、心理学家、数理科学家、计算机与信息科学家，以及工程师和企 业家等 神经元是人脑的基本单元人脑大约包含1 0 ”一1 0 ”个神经元每个神经元大约 与1 0 2 一1 0 4 个其它神经元相连接，形成极为复杂又灵活多样的神经网络 神经元大体可分为两类，一类是投射神经元，它们具有长的轴突，可以联系远离 胞体的区域，起到传入或传出的作用另一类是局部回路神经元，其轴突较短，在胞体 附近反复分枝，形成局部的神经回路这些局部回路神经元在反射弧中介于传入和 传出神经元之间，故又称为中间神经元人体中枢神经系统的传出神经元数目总计 约数l o 万，传入神经元较传出神经元约多l 一3 倍，而大脑皮层所含的中间神经元就约 有1 4 0 亿之多神经元有兴奋和抑制两种状态，每一个神经元都是在与之相连的兴奁 性突触( s y n a p s e ，神经键是神经元与其它神经元的联系部分) 和抑制性突触综合作用 下活动的神经元的兴奋和抑制状态又对其它神经元产生影响当大量的兴奋性突触 进行活动时，神经元的膜电位升高超过一定的阔值后，丰申经元就被激励，细胞体产生 信息输出，当大量的抑制性突触影响超过兴奋性突触影响时，神经元膜电位降低，使 神经元受到抑制而不发生冲动，从而无信息输出神经元之间主要是以突触的方式进 行联系，前一个神经元兴奋时，其突起的末梢释放一种或几种化学物质( 神经递质和 突触调制物1 ，经过化学物质与受体的结合使下一级神经元产生兴奋或抑制反应两 个神经元的各个部分之间均可形成突触性联系| 1 】此外，一个神经元还可以改变其邻 近细胞的电场或化学微环境，从而改变它们的活动 神经网络是极端庞大复杂的，但是从简单的神经回路研究中已经得到了一些基 本规律：( 1 ) 聚合和辐射聚合表示一个神经元可以接受许多不同神经元的传入联 一类二元神经网络模型解的定性研究 系，来自不同神经元的兴奋和抑制信息会聚在同一个神经元上发生相互作用辐射 表示一个神经元可以通过其轴突分支与许多神经元建立突触性联系，使一个神经元 的兴奋同时扩布到许多其他神经元，从而扩大了影响范围神经系统内神经元间的联 系总是既有聚合又有辐射，每个神经元既接受许多神经元的传入信息，又把信息传出 到许多神经元( 2 ) 反馈一个神经元的轴突或其侧支与一级或多级中间神经元发生 直接或间接的信息传递，最后一级中间神经元的轴突末梢又与原来的神经元发生突 触性联系，从而构成一个闭合的回路，把该神经元输出的部分信息回输到原来的神经 元，以调节或校正其活动，这种联系方式称作反馈当神经元有冲动传出时，反馈回来 兴奋性信息，就叫正反馈如果中间神经元反馈抑制信息到原来的神经元，就叫负反 馈( 3 ) 前馈与返回抑制相反，某一神经元在接受传入兴奋的同时，也接受传入通路 侧支经过中间神经元的抑制信息，叫作前馈抑制或传入侧支性抑制( 4 ) 中间神经元 上的整合在各种神经回路中，中间神经元上有最广泛的传入整合此外，不同神经回 路的中间神经元间也有相互联系，例如，在脑的不同区域都看到返回抑制回路中的中 间神经元有交互抑制性联系，返回抑制性中间神经元对前馈抑制神经元也有抑制作 用 人工神经网络是由若干简单( 通常是自适应的) 元件一神经元及其层次组织，以 大规模并行连接方式构造而成的网络，按照生物神经网络类似的方式处理输入的信 息若干神经元连接成网络，其中的一个神经元可以接受多个输入信号，按照一定的 规则转换为输出信号它反映了人脑功能的许多基本特性，但它并不是人脑神经网 络系统的真实写照，而只是对其作某种简化、抽象和模拟模仿生物神经网络而建 立的人工神经网络，对输入信号有功能强大的反应和处理能力由于神经网络中神 经元间复杂的连接关系和各神经元传递信号的非线性方式，输入和输出信号间可以 构建出各种各样的关系，因此可以用来作为黑箱模型 1 - 2模型的提出以及问题研究的进展 人工神经网络通过电路模拟人脑神经细胞的结构和功能，来揭示生物神经网络 系统所具有的复杂动力学性质，表达那些用机理模型还无法精确描述，但输入和输 出信号之间确实有客观的确定性的或模糊性的规律 人工神经网络理论是巨量信息并行处理和大规模平行计算的基础，人工神经网 络既是高度非线性动力学系统，又是自适应组织系统，可用来描述认知、决策及控制 的智能行为，它的中心问题是智能的认知和模拟从解剖学和生理学来看人脑是一 个复杂的并行系统，它具有“认知”、“意识”和“感情”等高级脑功能，这不同于传 统的n e l l n l a n n 式计算机因此，我们以人工方法摸拟这些功能，有助于加深对思维及 一2 硕士学位论文 智能的认识 人工神经网络的研究，可以追溯到上世纪4 0 年代初1 9 4 3 年，神经生物学家m c c u - u o c h 与青年数学家p i t t 8 合作，从人脑信息处理观点出发，采用数理模型的方法研 究了脑细胞的动作和结构及其生物神经元的一些基本生理特性，他们提出了第一个 神经f 司络计算模型，即神经元的闺值元件模型，简称m p 模型，从而开创了神经网络的 研究吼 1 9 5 2 年，英国生物学家h o d g k i n 和h u x l 呵建立了长枪乌贼巨大轴索非线性动力 学微分方程，简称h 。h 方程【3 】由于h o d 9 1 i n 和h 1 1 ) ( 1 e y 研究的成果有重大理论及应用 价值，他们荣获了诺贝尔生理医学奖他们的著名方程引起了许多学者的关注，方 程中包含了丰富的内容，对理论和实践产生了极大的作用，有些学者对h - h 方程研究 得到了很多有意义的结果珈发现了神经膜中所发生的非线性现象：自激振荡、混 沌及多重稳定性等，几乎都可用这个方程来描述 1 9 m 年，s t e i i l ，l e n i l g ，m a n g e r o n 和0 9 u z t o r e l i 提出了一种连续的神经元模型， 采用泛函微分方程来描述各种普通类型的神经元的基本特征【4 1 1 9 8 2 年，生物物理学家h o p f i e l d 详细阐述了k o h o n e n 提出的自组织映射网络模 型的特性，他对网络存储器描述得更加精细，他认识到这种算法是将联想存储器问题 归结为求某个评价函数极小值的问题，适合于递归过程求解，并引入l y a p u n o v 函数 进行分析吼在网络中，节点间以一种随机异步处理方式相互访问，并修正自身输出 值，可用神经网络来实现，从而这类网络的稳定性有了判据，其模式具有联想记忆和 优化计算的功能他给出了系统运动方程，即珏o p f i e l d 神经网络的神经元模型是一组 非线性微分方程 g 警= 讹) 一鼍“ 其中u t 是第 个神经元的膜电位，g 、r 分别是输入电容和电阻，五是电路外的输入 电流，是第j 个神经元对第渖9 经元的联系强度，( t ) 是钍的非线性函数，一般取s 型 曲线或阶跃函数他构造出l y a p u n 叫函数，并证明了在= 乃。情况下，网络在平 衡点附近的稳定性，并对这种模型以电子电路来实现这样，研究取得了重大的突破， 对神经9 i 9 络理论的发展产生了深远的影响，关于这方面的研究取得了许多丰富的成 果【6 一1 9 通过一些变量代换和重新参数化，该神经元的模型有如下形式： 圣= 一z + ，( z ( 亡一r ) ) ，z = ( 。1 ，。2 ，z 。) t 兄“ 这里士= 掣许多科研工作者曾研究过上述方程的相似模型【2 0 一2 3 类二元神经两络模型解的定性研究 二元神经网络是结构最为简单的神经网络，是大规模神经网络系统中最简单的 实例，二元神经网络模型的研究对研究大规模的神经网络模型具有重要的指导意 义，但是，即使最简单的二元神经网络也具有丰富的动力学行为近年来已有很多文 献对二元神经网络模型的动力学行为进行了定性分析，并且得到了一些比较好的 结论，如文献 2 4 3 9 但是大多数文献只考虑了模型的信号函数，为分段线性函数 或者光滑函数的情形，如文献 2 4 2 8 】，文献1 2 9 3 2 】研究了信号函数具有m c c u l l o c h _ p i t t s 非线性型即 玳，= 毒警 时模型解的长时间动力学性质，其中。抽，口r ，且o 6 1 3本文的主要工作 本文讨论了二元神经网络模型 惟二荔：篇二翁 ， 解的动力学特征这里p o ，表示衰减率；n ，匏 o ，表示突触滞后i 而信号函数，为 分段常数不连续函数，形如 球，：j ：；：高 。， 【一c ，( 6 ，。) ， 其中b o 0 ，c o 为已知常数 这种信号函数表明：如果某神经元的信号在。与6 之间活跃，则它对另一个神经 元产生恒定的激励效果；如果某神经元的信号低于o ，则它对另一个神经元不产生作 用；如果某神经元的信号高于6 ，则它对另一个神经元产生抑制效果 为简化讨论，作如下变换 矿( r ) = 知+ ) 棚+ ) = 知+ 秘+ = 如+ = 半， 八沪；蜒“。+ = 如+ = ：a 一4 硕士学位论文 并将矿，旷，r ，7 ，+ ，矿，矿还是用记号qf ，t ，r ，口，6 表示，则模型( 1 1 ) 与函 数( 1 2 ) 分别化为 j 圣一z + m ( 。一7 ) ) ， 【雪= 一可+ ，( 石0 一下) ) ， 、 i o ， ( 一，口) ， ，( ) = 1 ， 【n ，6 】， ( 1 4 ) i 一1 ， ( 6 ，o 。) 对于具三段常数不连续信号函数的时滞神经网络模型，可以用分步法把复杂的 时滞状态方程化成常微分方程【帅4 ”，通过考虑微分方程来分析模型的动力学性质 阈值 6 满足6 n 0 ，考虑到阈值的变化，把阈值分为三部分：口l ，0 o l ，6 1 和0 n 6 1 ，若中j ，则 ( ) ，可( t ) ) t 一( o ，0 ) t 0 一o o ) 定理2 1 2设n = l ，若由x n u 墨2 u x l 3 u 为1 u x 3 1 ，则扛( t ) ，g ( t ) ) 一( o ，o ) 7 ( t 一 定理2 。1 。3 设8 = l ，羞圣j 嘞，则0 ( o ) ，f ( ) ) 一( 1 ，1 ) 7 一o 。) 定理2 1 4 设n = 1 ，圣x 2 3 则 ( 8 ) 若2 2 毕e 7 o 使得z ( t ) q 及g ( t ) sn 在t t 1 时成立从而对所有t t l ，有( z t + ，目t ”) t 墨1 由情形1 的证明，知( z ( t ) ，( t ) ) t 一( o ，o ) t ( t 一。) 类似于定理2 1 1 的证明可证定理2 1 2 与定理2 1 3 定理2 1 4 的证明 设o = l ，垂j 已3 由( 1 3 ) 及( 1 4 ) ，知( 。( t ) ，! ，( t ) ) 在( o ，f ) 上 满足系统 ， 像二麓 ( 2 a ) 且( 妒o r ) 一1 ) ( 妒( t r ) 一( 妒( t f ) 一b ) o 因此，对t 【o ，下 解( 2 4 ) 得： 然臻：甚 ( 2 s ) 【掣( 亡) = ( 妒( o ) 一1 ) e 一+ 1 设t 1 为( z ( ) 一1 ) ( 茁( t ) 一6 ) ( ( t ) 山) 在【o ，o o ) 上的第一个零点，则在( o ，t 1 + r ) 上( z ( t ) ，( t ) ) 满足系统( 2 4 ) 且( 2 5 ) 对t o ，l + r 】成立 ： 另一方面，在t ( o ，1 + r ) 上，z ( t ) 6 ，故有扛( t 1 ) 一1 ) ( g ( t 1 ) 一6 ) = o ，解得 t 1 = l n ( 妒( 0 ) 一1 ) 一l n ( 6 1 ) 一类二元神经网络模型解的定性研究 或者 t 1 = l n ( 妒( o ) + 1 ) 一l n 2 ( a ) 生墨早e 7 里吗粤这时 且v 口卜- r ，o 】，有 l = l n ( 妒( o ) 一1 ) 一l i l ( 6 一1 ) 坤州= 黼( 6 - 1 ) e 一1 可( 1 + 下) = ( 6 1 ) e 一+ 1 z t ，+ ，( 口) ( 1 ，6 ) ，玑。+ ，( 口) ( 1 ，6 】 所以( z h + ，玑。+ ，) x 珏由定理2 1 3 ，扣( t ) ，( t ) ) t 一( 1 ，1 ) t 0 一。) ( b ) 2 ：学e 7 亟学分两种情况证明 情形1 ：驾掣 1 ，故存在t 2 ( t 1 ，t 1 + r 】使得z ( t 2 ) = 1 ，即 t 2 = l n ( 妒( o ) + 1 ) 一l n 2 = t l + l n 七 由( 2 5 ) ，对t ( t 1 + r ，t 2 + r ) ，z 0 一r ) ( 1 扣) ，( 亡一r ) ( 1 扣) ，故扛( t ) ，9 0 ) ) t 在( 亡l + 7 - ，t 2 + r ) 上满足系统 悟二麓 e ， 因此，对t 陋1 + r ，t 2 + f 】有 z ( t ) = ( 。( t 1 + r ) 一1 ) e 一牡一“一7 + l = 2 ( 尼一e 7 ) e o 一“+ 1 ，( 2 7 ) 【( t ) = 0 ( t 1 + r ) 一1 ) e o 一。t 一7 1 + 1 = ( 6 1 ) e o 一- + 1 、 一8 一 硕士学位论文 由此有 且v 口卜7 - ，o ，有 z ( 2 + r ) = 2 ( 1 一鲁) e 一7 + l l 她z 川= 字e 1 + 1 ( 1 ，6 ) 。幻+ ，( 口) 曼l ，1 玑。+ ，( 扫) 6 所以( z i 卅，轨：+ ，) t x 1 2 由定理2 1 2 ， ( t ) ，”( ) ) t 一( 0 ，o ) t 0 一o 。) 情形2 ：墨粤s 生2 学此时 t l = l n 和( o ) + 1 ) 一h 2 z ( t 1 + f ) = 2 e 一7 1 1 。- + r ) = ( 妒( 。) 一1 石币手石e 一7 + l 当虹等盟e rs 生罂学时，可 l + r ) 6 ，且v 口i - r ，o 】 也。+ ，( 日) s1 ，轨。+ ，( p ) 6 所以( 。+ ，执。+ 中) t 墨3 由定理2 1 2 ，缸( ) ，f ) t 一( o ，o ) t 8 一o o ) 当亟学毪掣 虹学r 时，令c = 1 + r ) = ( 6 1 ) 一7 + 1 b 又”( t 1 ) = ( 6 一1 ) c + l b ，故存在t 2 【t 1 ，i + r ) 使得f ( 幻) = b ，即 t 2 = l l l ( 妒( o ) 一1 ) 一l n ( 6 一1 ) = 1 + 1 i l c 由( 2 5 ) ，对t 0 1 + r ，t 2 + r ) ，z o r ) 6 ，故 o ) ，( t ) ) 在0 l + r ，t 2 + r ) 上满足系统 f 圣= 一z 一1 l 掣= 一掣t 一9 一 ( 2 8 ) = 耋三垂茎丝苎兰苎翌墼盟星竺翌耋 因此，对t 【t 1 + r ，屯+ f 】有 三篇黑二鬟：乏二并裂 皿。， i 可0 ) = 掣( 亡1 + r ) e 一( 亡一。- 一7 ) = ( ( 6 1 ) c + e 7 ) e o 一 r 叫 由此有 邢z + r ) = ；e 一l 1 ， 掣( 屯+ 下) = p 一1 ) e 一7 + i 6 若( t 2 + r ) 1 ，则y ( 屯+ r ) 1 1 ，6 ) ，且v 日 一下，o 】，有 z t 。+ ，( 口) 1 ，挑：+ ，( 口) 【l ，6 所以( 。针，+ ，) x 1 2 由定理2 1 2 ，( z ( t ) ，f ( t ) ) 7 一( o ，o ) t ( 亡一o o ) 若爹惋+ f ) l ，则存在t 3 ( t l + t ，赴+ f ) ，使得口( t 3 ) = 1 ，即 t 3 = t 1 + l n ( ( 6 1 ) c + e 下) 对t ( 亡2 + r ，t 3 + 丁) ，。 一r ) 1 ，0 一r ) ( 1 ，6 ) ，故( z ( t ) ，( 亡) ) 在( 亡2 + t ，t 3 + r ) 上 满足系统 侄二 皿埘 因此，对陋2 + r ，t 3 + r 有 j 茁( ) = 扛( 2 + r ) 一1 ) e 一( 。一圯一7 + 1 = 2 ( 1 一o e f ) e 一( 一- + 1 lg ( t ) = ( 如+ 丁_ ) e o 一：一7 ) = ( ( 6 1 ) c + e ) e o 一 从而 吣。州= 器e 1 + 1 ， 且v 畦【一f ，0 可( 0 3 + 丁) = e 一7 1 。圮+ ，( p ) 6 此时v 眶【一r ，o 】，z t 。+ ，( 8 ) 6 所以( 。t 。+ ，玑。+ ，) x 3 2 又 可知 黼【1 ，害+ 籍， 坐掣。r b ，口( t f ) ( 1 ，b ) ，故( ( 亡) ，管( t ) ) ：在( t 1 + r ，2 + f ) 上满足系统 f 茁( t ) = 扛 l + r ) 一1 ) e 一( “。1 7 ) + 1 一( ( 6 + 1 ) 一2 e ) e i ( t ) = 0 ( t 1 + f ) + 1 ) e o 一。t 一7 ) 一1 = ( 6 + 1 ) e 一( t 。1 ) 一1 由此有 z ( t ：+ 下) = ( 6 + 1 ) e r 一；+ 1 ( 1 ，6 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 绯。= 半e 一1 ! f ! ! ! ! 1 6 1 。 2 由定理2 1 5 ，( z ( t ) ，( ) ) 一( o ，o ) t ( 亡一。) 对销常赢的情形，由( 1 - 3 ) 的对称性，同理可证 ( b ) 2 e 7 1 6 2 e 2 7 1 一1 2 一 l l + 一 z 矿 一 一 | | 一一 z ，、【 有 1 + 幻 r+ 1p 对 此 因 硕士学位论文 先证；糌【l ，券) 这时z ( t l + r ) ( 1 ，6 ) ，同( a ) 中情形2 的讨论，有 z 0 2 + f ) = ( 6 + 1 ) e 一7 一i + l 【1 ，b ) ， 0 ( 屯+ r ) ：半e 一一l e 7 此时v 眶【一r ，0 】，z t ，+ ，( 口) 6 所以。+ ，玑1 + ，) 托2 由6s2 e 打一1 ，知七 e 7 等+ 备，故苎( 铲e f 血学 由定理2 1 5 ，扛( t ) ，v ( t ) ) t 一( o ，o ) o o 。) 情形2 ：。( t l + r ) s6 ，即券s se 7 此时 。( t 2 + r ) = ( 6 + 1 ) e r 一；+ 1 ( 1 ，6 ) ， 们z 川= 半e 一1 1 又( 1 + r ) l ，故存在亡3 b 1 + r ，屯+ r 】，使得y ( t 3 ) = 1 ，即 屯：t l + l n 半 对t ( t 2 + 丁，t 3 + r ) ，z ( 亡一r ) ( 1 ，6 ) ，0 一下) ( 1 ，6 ) ，故( 茁( t ) ，( ) ) 在( t 2 + r ，t 3 + r ) 上 满足系统( 2 6 ) ，因此，对t 【2 + r ，亡3 + 计有 卫( 。) = ( z ( t 2 + r ) 一1 ) e 一! 叫2 一? + 1 = ( ( 6 + 1 ) 七一2 e 7 ? 一p i n + 1 ， ( 2 1 6 ) i ( t ) = ( t 2 + r ) 一1 ) e 一( t - 幻一7 ) + l = ( b + 1 2 忌e 7 ) e 一( t 叫t ) + 1 、7 从而 茁恤+ r ) = ( 2 七一篙) e 一+ l 【1 ，6 ) ， 卵s 川邛一等) e _ 7 + 1 1 i 且v 口 一丁，o 】，有 z 。+ ，p ) 【l ，b ) ，轨。+ ，( p ) 1 所以( 。t 3 + ，) t 恐1 由定理2 1 2 ， ( t ) ，( t ) ) t 一( o ，o ) t o o 。) 第3 章o 1 因此，v 徙 _ r ，0 】，有珥( 口) ( 1 ，砷和辨( 口) ( 1 ，砷即( 。，辨) t 五2 情形2 ：妒( o ) 1 ，妒( o ) 1 对v 眶卜r ，o 】，有珥( 日) 1 ，6 ) 和f ，( 口) ( o ，1 即( 。，3 h ) t 赫2 情形3 ：l 妒( o ) 砂( o ) 此时，增加时，。( 坟# ( ) 增加，但对t o ，r 1 有z ( ) ，# ( t ) 1 因此，v 眶卜7 - ，o j ，有研( 护) ( ，6 ) 和坍( 印，即( 岛，* ) 7 为2 妒( o ) o ，( z o ) ，可( t ) ) t 满足系统( 2 6 ) ，故( 3 1 ) 式对所有o 成立因此( z ( t ) ，可) t 一( 1 ，1 ) 7 0 一o 。) 定理3 1 3 的证明 设圣五2 ，由( 1 3 ) 及( 1 4 ) ，知( z ( t ) ，( t ) ) 在( o ，7 - ) 上满足系 统( 2 1 0 ) 且却( t f ) 一b ) ( 妒水r ) 一6 ) ( t 一 - ) 一6 ) o 因此，对【o ，解( 2 1 0 ) 得： 揪：2 譬篡二”e “， ( 3 2 ) 【g ( t ) = 妒( o ) e 、7 设t l 为扛( t ) 一口) ( ( t ) 一o ) ( ”( ) 一6 ) 在【0 ，o o ) 上的第一个零点，则在( o ，l + r ) 上( z ( t ) ，( t ) ) t 满足系统( 2 1 0 ) 且( 3 2 ) 对t 0 ，t l + r 】成立 另一方面，对t ( o ，1 + 7 ) ，”( t ) 且与铲警这时 t 1 = l n 妒( o ) 一l n ， 1 5 = 篓三歪苎丝翌竺竖翌堑塑塞丝翌蜜一：! ： - 川= 等舱1 + - ( t 1 + r ) = 0 e 1 n 分两种情形证明 情形1 ：! i 铲宇e 7 此时，z ( t l + f ) sn ，且对v 日【- r ，o 】，有 。t 。+ ，( 口) 口，玑。+ ，( 日) o 所以( z t ，+ ，玑。”) x 1 1 由定理3 1 1 ，( 嚣( t ) ，( t ) ) t 一( o ，o ) 0 一o 。) 情形2 ：等专铲 警r 令p = 与铲贵，则1 卢 。 又 z 0 1 ) = ( n 一1 ) 卢+ 1 n ， 故存在如p 1 ，t 1 + r ) 使得z ( t 2 ) = 口由( 3 2 ) ，显然 亡2 = l n ( 1 一妒( o ) ) 一1 1 1 ( 1 一n ) = t l + l p 由( 3 2 ) 对t 0 l + t ，t 2 + r ) ，。0 一r ) o ，( 一r ) o ，故0 ( t ) ，( t ) ) t 在( 亡l + r ，t 2 + r ) 上 满足( 2 1 ) 因此，对t t 1 + r ，t 2 + r 有 纂：祟鬻三罂磷扣1 e 一“n 。， i ( ) = 可( t l + 丁) e 一( “1 7 ) = 0 e 一( “1 j 、7 故 z ( t 。+ 下) = ( 凸一1 ) e 一+ ；( n 一1 ) e 一7 + 1 l 6 ， ( t 。+ r ) = ；e 一。e 一7 。 注意到如= t l + 1 n 卢 1 + r ，幻+ 下 且1 p e 7 ，知 岛= t 1 + i n ( ( 8 1 ) p + ，) 一l n 口 此时 z 【t 3 + 下) = d e _ 1 1 若告崭卢 e r ，即u ( 卢) e r ，则( 古3 + r ) sn ，且v9 【一- o z t 3 + ，( 口) n ，玑3 + ，( 疗) n 所以( z 针，玑。”) x 1 1 由定理3 1 1 ，扛( t ) ，( t ) ) t 一( o ，o ) t 0 一o 。) 接下来讨论1sp 告崭的情况，即u ( 卢) n 一1 7 一 一类二元神经网络模型解的定性研究 又 可( 如) = ( o 一1 ) u ( 卢) + 1 凸， 故存在t 4 ( t 3 ，亡3 + r ) 使得( t 4 ) = o 由( 3 5 ) ，显然有 t 4 = t 1 + l n ( 卢e 7 一n ) 一l n ( 1 一口) = t 3 + h l u ( 卢) 由( 3 5 ) ，对( t 3 + r ，t 4 + r ) ，。( 亡一t ) ，0 一r ) n ，故 0 ) ，可0 ) ) 1 在( 如+ r ，t 4 + r ) 上满足( 2 1 ) 周此，对t 【t 3 + 丁，t 4 + r l 有 纂= = 嚣：三蔷i m 邓吨。 。，【可( t ) = 可( t 3 + r ) e o 一。s 一7 ) = ( ( o 一1 ) u ( p ) + e 7 ) e o 一虹) 、。 从而 z ( r ) 2 赢e 。 0 e - 7 。， 绯t 刊= ( 。_ 1 ) e 1 + 南 ( 。- 1 ) e 1 + l 1 乱 注意到t 4 = t 3 + l n 叫( 卢) t 3 + 7 - ，t 4 + 下 如十2 丁对t ( t 4 + 丁，t 3 + 2 7 - ) ，由( 3 5 ) ，。0 一 r ) 且1 u ( 芦) r ，知 此时 t 5 = t 3 + 1 i l ( ( 口一1 ) o ( p ) + ，) 一1 i l 口 坤m ，= 若羔m ”+ = 一1 ) ( 霹) e 一7 + 1 ， 簟( t 5 + r ) = 叶 1 若爷云! ：；：若萼su ( 卢) e r ，即u 。( p ) e 下，则。( t 。+ 下) sn ，且- v 日【一r ，0 】 z t 5 + ，( 口) s 口，纨6 + ，( 口) 口 所以( z 如押，) x 1 1 由定理3 1 1 ， ( t ) ，! ，( t ) ) 一( o ，o ) ( t o o ) 接下来讨论1 。( 卢) 告：差等的情况，即u 2 ( p ) a ，又。( 5 ) = ( a 一1 ) u 2 ( 卢) + 1 8 ，故存在如( 亡5 ，如+ r ) 使得z ( t 6 ) = n 由( 3 7 ) ，显 然有 6 = 3 + l n ( u ( 口) e f o ) 一l n ( 1 一n ) = 如+ l n u 2 ( p ) 由( 3 7 ) ，对t ( t 5 + f ，亡6 + r ) ，茹0 一下) n ，可0 一r ) o ，故扛( ) ，”( t ) ) t 在( t 5 + 下，0 6 + r ) 上满足( 2 1 ) ，因此，对t p 5 + r ，t 6 + 外行 j 。( t ) = 。 5 + r ) e o 。s 一7 ) 一( 0 1 ) u 2 ( p ) + 矿) e 一# 。”， 【可( t ) = 警( t 5 + 丁) e 一( 。一。5 7 ) ：= d e 一( i 一。5 ) 从而 啪州= ( 。_ 1 ) e 1 + 南 ( n - 1 ) e 1 + 1 1 6 ， 砸e 州2 南e 一7 。e ” 且1 u 2 ( 卢) e 7 ，解方程： 得到 从而 ( 。( t ) 一n ) ( 可( t ) 一n ) ( g ( t ) 一6 ) = 0 t 7 = 如+ l n ( ( 0 1 ) u 2 ( p ) + e 7 ) 一l n 口 。( t 7 + 7 - ) = n e 叫 o ， ”( t z + r ) = i 云j ! 赫n e 一7 + = 一1 ) u 3 ( 卢) e 一7 + 1 ， 其中u 3 ( 卢) = u ( 。2 ( p ) ) 若崭。2 ( 卢) e f ，即u 3 ( p ) e 7 ，